КВАЗИСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ТРЕХМЕРНЫХ НЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "КВАЗИСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ТРЕХМЕРНЫХ НЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ"

Транскрипт

1 SS Вестник РГРТУ Вып 3 Рязань 8 УДК 5964 АА Фефелов ОЦЕНКА КВАЗИСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ТРЕХМЕРНЫХ НЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Описывается методика численной оценки интегралов входящих во вторую формулу Грина при решении задачи об отыскании значений температуры в точках вблизи определяющих границ трехмерной не осесимметричной области Введение Ряд задач математической физики таких как отыскание распределения потенциала в области в отсутствие пространственного заряда или расчет поля температур в среде в отсутствие конвекции описывается дифференциальным уравнением Лапласа U M () где - оператор Лапласа в трех- x y z мерном случае; U M - искомая функция некоторой физической величины (например температуры или электростатического потенциала); M - точка в трехмерной области В случае сложной геометрии поверхности S области V при решении () эффективным является применение метода граничных элементов (МГЭ) позволяющего рассчитать значение функции U M в любой точке области V при соответст- вующим образом заданных на поверхности S граничных условиях При этом необходимо сделать переход от дифференциальной формы записи задачи выражаемой уравнением () к ее интегральному аналогу выражаемому некоторым интегральным уравнением (или системой таких уравнений) Один из способов перехода к интегральной форме записи () связан с использованием второй формулы Грина [] поскольку для () известно фундаментальное решение M M r M : M M M M V M V и M M В трехмерном случае интегральный аналог U M в выражения () для расчета значения области V имеет вид M U M 4 U M q p p M ds U p p M ds S где p S M V V V S S q p U p p p M p M p () p - вектор внешней единичной нормали к поверхности S в точке p После введения на S сетки из граничных элементов (ГЭ) можно записать дискретный аналог () в виде где 4 U M q p M ds S S U p M ds p M ds p M ds S S (3) q U ds - интеграл по поверхности ГЭ с но- S мером q cot U cot - значения функций q p и U p в пределах данного ГЭ При расчете по формуле (3) в случае если точка M находится вблизи поверхности S возникают затруднения с численной оценкой интегралов и поскольку поведение подынте- гральных функций в выражениях для и при таких условиях будет иметь квазисингулярный характер В работе [] предложены способы оценки данных интегралов для случая аксиально

2 SS Вестник РГРТУ Вып 3 Рязань 8 симметричных задач теории потенциала и в частности описана оригинальная методика оценки квазисингулярных интегралов Применение данной методики для расчета трехмерных не осесимметричных полей удовлетворяющих () требует дополнительной проработки поскольку подынтегральные функции в случае аксиальной симметрии и в ее отсутствие будут иметь существенно различный вид В данной статье рассматривается один из возможных способов повышения точности оценки интегралов и исследуется возможность применения метода оценки интегралов описанного в [] применительно к трехмерным полям не обладающим аксиальной симметрией Постановка задачи Рассмотрим интеграл в декартовой системе координат O'X'Y'Z' связанной с граничным элементом (ГЭ) с номером (см рисунок ) f l x x x x 3 3 x x x x 3 y y z x x 3 x x 3 y 3 y z на рассматриваемом интервале интегрирования по от до Рисунок Вид треугольного ГЭ в системе координат O'X'Y'Z' 3 вершины треугольника с координатами x y x y и x 3 y 3 соответственно Тогда интеграл может быть записан в виде dx dy (4) y x x x y y z Первое интегрирование по x дает y l 3 x x x x 3 3 x x x x 3 y y z x x x x 3 3 y 3 y z (5) d где y y 3 На рисунке показано поведение подынтегральной функции f(): Рисунок Характер изменения подынтегральной функции f на интервале интегрирования Функция построена при значениях постоянных x y x y x x 3 y 3 x 3 и x x3 y y 3 3 z x Введем обозначение f ( ) d Применение для оценки данного интеграла квадратурной формулы Гаусса с -тью узлами дает значение 3396 Вычисление интеграла в среде MathCAD дает 3438 Относительная погрешность вычислений ε 5 Увеличение количества узлов квадратурной формулы до -ти приводит к следующим результатам: 3344 ε 8495 Квадратурная формула с числом узлов равным 4 дает погрешность вычисления интеграла ε 77 Величина ε f с ростом убывает медленно Применение численной методики расчета величины предложенной Хаммером [3] для интегрирования функции F( x y ) x x y y z

3 SS Вестник РГРТУ Вып 3 Рязань 8 в выражении (4) по плоской треугольной области приводит к таким же по порядку величины значениям погрешности ε что и квадратуры Гаусса примененные для подынтегральной функции в (5) Применение модифицированных квадратурных формул Гаусса-Кронрода [4] для расчета интегралов типа (5) с применением алгоритма данного в [5] дало возможность получить погрешность вычислений При этом использование квадратуры с 6 узлом потребовало разбиения исходного отрезка интегрирования на две части что с точки зрения затрат машинного времени аналогично использованию квадратуры Гаусса со узлами Применение эффективного метода мультипликативного исключения особенности [6] затруднено ввиду сложного вида подынтегральной функции f() Необходимо отметить что оценка интегралов с наперед заданной точностью в принципе возможна Для этого например можно использовать формулу трапеций с разбиением исходного отрезка интегрирования на большое число интервалов Можно также использовать и квадратуры Гаусса (или Кронрода) с большим числом узлов Однако при численной реализации МГЭ количество интегралов содержащих квазисингулярности может быть достаточно большим Поэтому использование громоздких квадратурных формул (с числом узлов 6 или более) крайне нежелательно В связи с вышесказанным возникает необходимость в разработке методики оценки интегралов типа (5) позволяющей повысить точность вычислений при использовании квадратурных формул Гаусса с относительно небольшим числом узлов (не более 6 ) Метод численной оценки интегралов Рассматривая (5) вводим обозначения: x x x x 3 l x x x x 3 d y 3 y z x x x x d 3 l 3 y 3 y z f x x x x 3 x x x x 3 3 y y z f x x 3 y 3 y z 3 x x Рисунок 3 иллюстрирует характер поведения функций f f на интервале интегрирования Рисунок 3 Характер изменения подынтегральных функций f f и на интервале интегрирования Будем искать значения и соответствующие минимумам функций f f Найдя производные f f и приравняв их к нулю после соответствующих преобразований получим y y 3 y x x D x x 3 y 3 x x 3 x x 3 y 3

4 SS Вестник РГРТУ Вып 3 Рязань 8 y x D x 3 y y 3 x 3 y 3 x 3 y 3 4 y x x D 4 x x 3 y 3 x x 3 z x x 4 x x y y3 4 y x D 4x 3 y 3 x 3 zx 3 4 x 3 y 3 y 3 Интервал интегрирования разделим на две части руководствуясь при этом следующим правилом: ) если минимум функции находится в пределах интервала [] то границу разделения проводим через этот минимум (см график функции f на рисунке 3); ) если минимум функции находится за пределами интервала интегрирования (см график функции f на рисунке 3) то: f p p - строим касательную к функции в точке a соответствующей (при ) или (при ); - находим точку p пересечения касательной с прямой параллельной оси и проходящей через точку b ; - проводим границу разделения через точку p В областях F F F F интерполируем функции f многочленами -й степени p При этом руководствуемся следующим правилом Для функций типа f в области F интерполяцию про- p водим по трем точкам в малой δ - окрестности радиусом h δ вблизи точки b Если hδ rε то полагаем hδ rε в противном случае полагаем hδ h (значение h установлено опытным путем) Таким же образом осуществляем интерполяцию в области F проводя ее в малой δ - окрестности радиусом h δ вблизи точки c Здесь полагаем hδ h независимо от значения r ε Для функций типа f в области F интерполяцию проводим по трем точкам в малой δ - окрестности радиусом h вблизи точки p δ При этом если hδ rε то как и ранее полагаем hδ rε иначе hδ h Аналогично поступаем при интерполяции функции f в области F Проводимая таким образом интерполяция преследует основную цель максимально точно описать характер поведения функции на интервале интегрирования вблизи точки квазисингулярности положение которой определяется положением минимума функции Далее воспользуемся известной методикой аддитивного исключения особенности [6] Интеграл (5) представим в виде: где 3 4 y 3 (6) l l f p d l p d l l f p d l p d 3 l l f p d l p d 4 l l f p d l p d Под χ надо понимать абсциссу точки p Подынтегральные функции l l l l g l f p g l f p g l f p g l f p достаточно гладкие поэтому содержащие их интегралы могут быть оценены численно с высокой точностью с помощью квадратурных формул Гаусса Так как интерполяционный многочлен -й степени всегда может быть приведен к виду p c a b

5 SS Вестник РГРТУ Вып 3 Рязань 8 интегралы l p d берутся аналитически а именно [7]: ) если p c a b то l l l l c a a b a a b arctg b p d c a b d p c a b то ) если l l l l c a a b a b a b l a b p d c a b d Вычисление по (6) значения интеграла и затем погрешности ε показало что при использовании квадратурных формул Гаусса с 6-тью узлами для интегрирования функций последняя оказалась равной по модулю Выигрыш в точности по отношению к рассмотренным выше способам вычисления интегралов объясняется тем что предлагаемый метод позволяет определить положение особенности подынтегральной функции в (5) Кроме того функции f и f лучше подходят для интерполяции многочленами в окрестности особенности чем исходная функция f 3 Численная оценка интегралов В системе координат O'X'Y'Z' выражение для интеграла будет иметь вид dx dy z 3 y x x x y y z После интегрирования по x получаем zy 3 y 3 y z x x x x 3 x x x x3 y 3 y z ; x 3 x d x 3 x y 3 y z Характер изменения подынтегральной функции f y y z 3 3 x x x x3 3 3 x x x x y 3 y z x x 3 x x y y z представлен на рисунке 4 Рисунок 4 Характер изменения подынтегральной функции f на интервале интегрирования Функция построена при следующих значениях параметров: x y x y x y и x x3 y 5y 3 z x Вычисленное с применением квадратурной формулы Гаусса с -тью узлами значение интеграла f d оказалось равным 6966Ч 4 В то же время значение интеграла даваемое 6 MathCAD - 69Ч те отличается примерно в 6 раз Такая погрешность не позволяет проводить расчеты значений функции U M вблизи границ области с необходимой точностью

6 SS Вестник РГРТУ Вып 3 Рязань 8 В [] была предложена методика оценки интегралов согласно которой интеграл представляется в виде r (7) где - значение интеграла вычисленное с применением квадратурной формулы Гаусса - поправка величина которой зависит от r расстояния r между узловой точкой ξ го ГЭ и точкой M в которой определяется значение U M функции Для функции r было предложено следующее выражение: k δ r p r (8) Параметр p для каждого интеграла легко определяется (см []) а значение показателя степени k устанавливается опытным путем для данного вида подынтегральной функции и затем в процессе расчетов является уже известным (в [] k оказалось равно 4) Такой способ учета погрешности позволил повысить точность вычисления значений функции U M вблизи определяющих границ тестовой области Вместе с тем анализ поведения подынтегральной функции на интервале интегрирования по от до при различных значениях величины показал что степень гладкости функции r f зависит не столько от величины r сколько от отношения r l где l - характерный размер ГЭ (в ходе отработки численного алгоритма в качестве l принималась длина наибольшей стороны треугольного ГЭ) В связи с этим представляется целесообразным записать выражение для r в виде p δr (9) k r l l Если размеры всех ГЭ одинаковы те cot то расчеты по (9) аналогичны (8) При k этом p pl Однако алгоритмы триангуляции поверхности учитывающие возможное наличие сильных локальных градиентов функции U M приводят к построению гранично-элементной сетки с существенно различающимися размерами ГЭ В этом случае применение (9) может оказаться полезным Значение показателя степени k в формуле (9) устанавливалось путем численного моделирования распределения температуры в тестовой области имеющей форму куба на двух противоположных гранях которого заданы значения функции U и U а на остальных гранях U M Полученные в результате расчетов значения U M вблизи границ области сравнивались с известным аналитическим решением [8] Наилучшее совпадение результатов было получено также при значении k 4 4 Заключение Разработана методика расчета квазисингулярных интегралов позволяющая локализовать положение особенности и повысить точность вычислений В выражении для поправки r в формуле (7) предложено внести уточнение: учесть влияние отношения r l на гладкость функции f и рассчитать r по формуле (9) Установлено значение показателя степени k в случае расчета значений U M в системах не обладающих аксиальной симметрией Библиографический список Бреббия К и др Методы граничных элементов: пер с англ/ Бреббия К Теллес Ж Вроубел Л - М: Мир с Трубицын АА Вычисление сингулярных интегралов методом граничных элементов // Журнал вычислит матем и матем физики 995 Т Hammer PC Marlowe OJ ad Stroud AH umerical itegratio over implexe ad coe Math Table Other Aid Comput Кронрод АС Узлы и веса квадратурных формул (шестнадцатизначные таблицы) - М: Наука с Амосов АА Дубинский ЮА Копченова НВ Вычислительные методы для инженеров: учеб пособие - М : Высш шк с 7 Двайт ГБ Таблицы интегралов и другие математические формулы: пер с англ - М: Наука с 8 Карслоу Г Егер Д Теплопроводность твердых тел: пер с англ - М: Наука с

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

Численное решение уравнений эллиптического типа на неструктурированных сетках

Численное решение уравнений эллиптического типа на неструктурированных сетках Численное решение уравнений эллиптического типа на неструктурированных сетках Кошкина Алиса Александровна Томский Государственный университет (Томск), Россия alsakoskna@yandex.ru Введение Бурное развитие

Подробнее

Факультатив. Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей. W. = мы получили E= ϕ. ϕ r E dl

Факультатив. Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей. W. = мы получили E= ϕ. ϕ r E dl Факультатив Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей W F ' ϕ и E ϕ r E d q' q' = мы получили E= ϕ и из ( ) r Тогда, повторив выкладки, мы из равенства W( r) ( F, d) = r получим

Подробнее

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0 Глава Вычисление определенных интегралов! " #%$&' %(" # )* +,- "#' dx. В общем виде задача решается путем аппроксимации функции другой функцией, для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

1.10. Общая задача электростатики

1.10. Общая задача электростатики 1 110 Общая задача электростатики Вектор напряженности электрического поля неподвижного точечного заряда вычисляется по формуле 1 Q E =, (1) 3 4π Используя принцип суперпозиции, нетрудно вычислить напряженность

Подробнее

1. Функция Грина задачи Дирихле.

1. Функция Грина задачи Дирихле. Функция Грина задачи Дирихле 0 Определение и свойства функции Грина Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа с краевыми условиями I-го рода Постановка задачи: Пусть D область евклидова пространства

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой

Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой Вісник Харківського національного університету 89, УДК 539.3:533.6 Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой И. Ю. Кононенко, Е. А. Стрельникова Харьковский

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил.

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил. Печатается по решению Ученого совета Московского университета Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с. : ил.

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов Метод конечных элементов 1. Область применения МКЭ. 2. Основная концепция МКЭ. 3. Преимущества МКЭ. 4. Разбиение расчётной области на конечные элементы. 5. Способ аппроксимации искомой функции в конечном

Подробнее

Численное интегрирование функций

Численное интегрирование функций ( часа) Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов интегрирования функций, программной реализации их на компьютере, оценки погрешности решения, сравнение эффективности квадратурных

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

ЭВОЛЮЦИЯ ФОРМЫ АНОДНОЙ ГРАНИЦЫ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ

ЭВОЛЮЦИЯ ФОРМЫ АНОДНОЙ ГРАНИЦЫ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 4 7 УДК 621.9.047 ЭВОЛЮЦИЯ ФОРМЫ АНОДНОЙ ГРАНИЦЫ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ Л. М. Котляр, Н. М. Миназетдинов Камский государственный

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

8 Методы численного интегрирования.

8 Методы численного интегрирования. интеграла. 8 Методы численного интегрирования. В данной главе будут рассмотрены методы вычисления определенного Методы численного интегрирования находят широкое применение при автоматизации решения научных

Подробнее

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР И. С. Ахмедьянов

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР И. С. Ахмедьянов УДК 59. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР 7 И. С. Ахмедьянов Самарский государственный аэрокосмический университет Рассматривается применение

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Министерство образования и науки Российской Федерации (МИНОБРНАУКИ РОССИИ) НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (НИ ТГУ) Физико-технический факультет Кафедра математической

Подробнее

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

Квадратурные и кубатурные формулы

Квадратурные и кубатурные формулы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Квадратурные и кубатурные формулы Методические

Подробнее

функции. многочленов на ошибку степени многочлена степени ростом ошибку? таблицы?

функции. многочленов на ошибку степени многочлена степени ростом ошибку? таблицы? Разработчик методических указаний для выполнения лабораторных работ доцент, к.ф.-м.н. Ласуков В. В. Интерполяция с помощью многочленов Задание 1. С помощью интерполяционных многочленов Лагранжа (илии Ньютона)

Подробнее

цель работы Обобщение и применение метода С. М. Никольского для вывода формул площадей и объемов основных тел в курсе элементарной геометрии пример

цель работы Обобщение и применение метода С. М. Никольского для вывода формул площадей и объемов основных тел в курсе элементарной геометрии пример 2 знания теории пределов, мы считаем, что такие знания должны даваться на следующем этапе изучения математики.) Настоящая научно-практическая работа демонстрирует упрощенный вывод формул площадей и объёмов

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ УДК 538 УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Тарабара ИЮ Перешиткин КА студенты группы ПГС Бородачева ТИ ст преп Национальная академия природоохранного и курортного строительства

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика.

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Е. А. Энбом Самарский государственный педагогический университет

Е. А. Энбом Самарский государственный педагогический университет Е А Энбом Самарский государственный педагогический университет ОБ ОДНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ В данной работе доказана однозначная разрешимость

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями Митюков В.В. Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации институт, программист ОВТИ, v.tukov@gal.co Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями КЛЮЧЕВЫЕ

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал С. Д. Алгазин, Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение уравнения Пуассона для внешности тела вращения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993,

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СПЛАЙН-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СПЛАЙН-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ ВИДмитриев, ИВДмитриева, ЖГ Ингтем ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СПЛАЙН-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ Ведение Задачи аппроксимации неточно заданной функции возникают во многих практических проблемах При математическом

Подробнее

r 2 r. E + = 2κ a, E = 2κ a

r 2 r. E + = 2κ a, E = 2κ a 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 2 Теорема Гаусса 1.1. (1.19 из задачника) Используя теорему Гаусса, найти: а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью σ; б) поле плоского конденсатора;

Подробнее

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1. В.А. Коробицын. Томский государственный университет.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1. В.А. Коробицын. Томский государственный университет. УДК 59.63 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В.А. Коробицын Томский государственный университет. Методом базисных операторов построены согласованные осесимметричные

Подробнее

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1)

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1) 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид ot E, div E ρ (4 Безвихревой характер поля позволяет ввести скалярный потенциал электрического поля: E gad, для которого

Подробнее

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по

Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по 46 Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по обобщенным формулам средних прямоугольников, трапеций,

Подробнее

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ ОБРАЗЦОВ ИЗ СОСНЫ В ПРОДОЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПРИ КОНВЕКТИВНОЙ СУШКЕ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ ОБРАЗЦОВ ИЗ СОСНЫ В ПРОДОЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПРИ КОНВЕКТИВНОЙ СУШКЕ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 23. Т. 44, N- 3 117 УДК 532.72; 669.15.23 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ ОБРАЗЦОВ ИЗ СОСНЫ В ПРОДОЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПРИ КОНВЕКТИВНОЙ СУШКЕ Ю. А.

Подробнее

РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ТЕЛ. ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ

РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ТЕЛ. ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ УДК 550.831.01 РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ТЕЛ. ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ В.И. Старостенко, Ю.В. Пятаков*, В.И. Исаев** Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины,

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

Преобразование произвольного тела в сферу комплексного радиуса Якубовский Е.Г.

Преобразование произвольного тела в сферу комплексного радиуса Якубовский Е.Г. Преобразование произвольного тела в сферу комплексного радиуса Якубовский ЕГ e-m uov@rmerru Произвольное тело можно преобразовать с помощью ортогонального преобразования сохраняющего углы в сферическое

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛ

ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имен»! академика С.П. КОРОЛЕВА ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛ САМАРА 1997 Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Самарский

Подробнее

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных. Краткие теоретические сведения Задачей приближения или аппроксимации функций (от лат. approimo приближаюсь) называется задача замены одних математических

Подробнее

r12 q r rik r i r 3 r i.

r12 q r rik r i r 3 r i. 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 1 Закон Кулона Сила, действующая со стороны заряда 1 на заряд 2 равна F 12 = C 1 2 12, 12 2 12 где величина C множитель, зависящий от системы единиц. В системе

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины 1. Цели и задачи дисциплины 1.1 Цель дисциплины Дисциплина «Вычислительные методы на ЭВМ» согласно государственному образовательному стандарту 220200.62 «Автоматизация и управление» относится к естественнонаучным

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ.

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ. www.reshuzdch.ru Задание.5. Найти произведение приближенных чисел и указать его погрешности (Δ и δ), если считать в исходных данных все значащие цифры верными.,8,55, Решение. По условию:,8, b, 55, c,,,,

Подробнее

МКЭ в расчетах подпорных стен с учетом нелинейных свойств грунта

МКЭ в расчетах подпорных стен с учетом нелинейных свойств грунта Актаукенова Гулнур Сарбасовна (ЕНУ им. Л.Н.Гумилева. г.астана) МКЭ в расчетах подпорных стен с учетом нелинейных свойств грунта Numrcal calculaton of gravty rtanng wall and analyss of strss-strand condton

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ТЕПЛОВЫХ БАЛАНСОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ. В.И.Антонов. Аннотация.

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ТЕПЛОВЫХ БАЛАНСОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ. В.И.Антонов. Аннотация. dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 1, 2002 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Прикладные задачи ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

Подробнее

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Формула Ньютона - Лейбница f C a b b a ; f d F b F a F f b a f d Точные методы Приближённые методы Первообразная известна, формула Ньютона- Лейбница

Подробнее

УДК А. В. К у п а в ц е в, А. А. Т о м ч у к АНАЛИТИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

УДК А. В. К у п а в ц е в, А. А. Т о м ч у к АНАЛИТИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА УДК 531.1 А. В. К у п а в ц е в, А. А. Т о м ч у к АНАЛИТИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА Рассмотрены геометрический и кинематический подходы к вычислению кривизны кривой, заданной как параметрическим способом, так

Подробнее

1. Геометрия масс (продолжение) Рис. 10.1

1. Геометрия масс (продолжение) Рис. 10.1 ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА 1. Геометрия масс (продолжение) Рис. 10.1 Выберем

Подробнее

Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов

Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов УДК 519.624.1 Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов Введение Корчагова В.Н., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана кафедра «Прикладная математика»

Подробнее

НЕЯВНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА КВАДРАТНОЙ АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ

НЕЯВНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА КВАДРАТНОЙ АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ НЕЯВНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА КВАДРАТНОЙ АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ Н.Г. КАРЛЫХАНОВ, А.В. УРАКОВА Российский федеральный ядерный центр Всероссийский НИИ технической физики им. акад.

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем

Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ Практикум Часть Составитель:

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА УДК 58:575:536 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА Докт физ-мат наук МЕЛЕШКО И Н Белорусский национальный технический университет

Подробнее

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа Глава 6 Приложения поверхностного интеграла 1-го типа 6.1 Необходимые сведения На прошлых занятиях мы уже освоили методы вычисления поверхностных интегралов 1-го типа, оперируя при этом преимущественно

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Направление 02.06.01 Компьютерные и информационные науки Профиль 01.01.07 «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» 1. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции. 2.

Подробнее

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ 8-9 Вычисление потока векторного поля через поверхность Формула Остроградского-Гаусса Потоком вектора a через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения

Подробнее

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD Алешин А. О., Растеряев Н.В. Донской государственный технический университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Подробнее

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА 2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА Поток вектора напряжённости электростатического поля сквозь поверхность. Используя закон Кулона, можно доказать электростатическую теорему Гаусса. Для этого необходимо

Подробнее

Развитие библиотеки конечных

Развитие библиотеки конечных Развитие библиотеки конечных элементов ПК ЛИРА 1 Евзеров И. Д. lira-soft.com Стержень переменного сечения Размеры сечения линейно изменяются по длине стержня. При построении матрицы жесткости используются

Подробнее

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАГНИТОСТАТИКИ ДЛЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАГНИТОСТАТИКИ ДЛЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ Вычислительные технологии Том 8 4 2003 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАГНИТОСТАТИКИ ДЛЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ В.В. Альчиков Красноярский государственный технический университет Россия e-mail: bykov@fivt.krasn.ru

Подробнее

Точность вычислений при программировании алгоритмов численного интегрирования /671065

Точность вычислений при программировании алгоритмов численного интегрирования /671065 Точность вычислений при программировании алгоритмов численного интегрирования 77-48211/671065 # 12, декабрь 2013 Папшев И. С., Булатова И. Г. УДК 519.6 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана ispapshev@rambler.ru

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

( ) ( ) ( ) I = f x dx= F b F a. (1)

( ) ( ) ( ) I = f x dx= F b F a. (1) - 65 - Глава. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Формула Ньютона-Лейбница и численное интегрирование. Из курса математического анализа Вы знакомы с вычислением определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница

Подробнее

Квадратурные и кубатурные формулы

Квадратурные и кубатурные формулы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Квадратурные и кубатурные формулы Методические

Подробнее

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1.

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1. Контрольная работа по численным методам с решением Задание На отрезке [;] методом Ньютона найти корень уравнения + = с точностью, График функции Условие сходимости метода Ньютона: f f ''(, ( > где = начальное

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра информационной безопасности ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Методические указания к выполнению

Подробнее

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

E(r) = W = 1. q i ϕ k = 1 ( (6) = 1

E(r) = W = 1. q i ϕ k = 1 ( (6) = 1 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 8 Электростатика в среде Уравнения Максвела в однородной среде с диэлектрической проницаемостью в дифференциальной форме имеют вид: div D = 4πρ своб, rot E =

Подробнее