ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА"

Транскрипт

1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные пространства над одним и тем же полем ( =R или C). Отображение : с областью определения D( ) и областью значений R( ) называется линейным оператором из в, если для любого, y и : ) ( y) y (аддитивность); ) ( ) (однородность). Обозначим через (, ) множество всех линейных операторов из в, область определения которых совпадает с E. Для, (, ) и определим операторы, (, ) формулами : def def ( ) ;( ). Тогда (, ) становится векторным пространством. В частном случае, когда (поле является векторным пространством!), элементы (, ) называется линейными функционалами на. Пусть теперь на i определены нормы i (i, ), т.е., нормированные пространства (, Norm ). Определение. Оператор (, ) называется ограниченным оператором из в, если существует такая постоянная c, что для любых имеет место равенство c. Определение. Нормой оператора (, ) называется число def sup. Можно показать, что c из определения. есть точная нижняя грань множества всех констант

2 ТЕОРЕМА. Пусть (, ), где, Norm. Тогда следующие утверждения эквивалентны : ) оператор является непрерывным оператором из в ; ) оператор является ограниченным оператором из в ; ). Пусть, (, ), где, Norm. Справедливы соотношения: ) ; ) ; ),. Поэтому, если, ограниченные операторы, то операторы, тоже ограничены. Следовательно, если обозначать через L(, ) множество всех линейных ограниченных операторов из в, то L(, ) векторным подпространством (, ). является ТЕОРЕМА. Если Norm, а банахово ( Ba ), то L(, ) Ba. Все сказанное относится и к функционалам. В этом случае, норма на, поэтому функционал f (, ) называется ограниченным на Norm, если существует такая постоянная c, что f ( ) c для любых. Тогда норма функционала f есть число def f sup f ( ) if c:, f ( ) c. Так как Ba, то по теореме L(, ) Ba. Определение. Банахово пространство L(, ), состоящее из линейных ограниченных функционалов на, будем обозначать через * и называть сопряженным пространством к E. Литература: [] стр , 9-56; [] стр. 8-5; [5] стр З А Д А Ч И

3 . Пусть, Norm. Найти область определения def D( ) : оператора и установить, совпадает ли она с. Если D( ) Norm, то выяснить, является ли оператор линейным ограниченным оператором из D( ) в? E. l c. c l. L [,] L [,] ( )( t) t ( s). L [,] L [,] ( )( t) ( t ).5 L [,] L [,] ( )( t) ( t).6 C[,] C[,] ( )( t) ( t).7 C[,] C () [,] ( )( t) ( t ).8 C () [,] C[,] ( )( t) ( t ).9 c R. l l,,,.... l l,,,.... L [-,] L [-,] ( )( t) ( 5 t ). C[,] R ( )( t) () (). L [-,] L [-,] ( )( t) t ( s).5 L `[,] L [,] ( )( t) ( t) Решение задачи.5. Найдем D( ) L [, ] : L[, ] область определения оператора. Поскольку 8 ( t) ( t), то D(A)=L L {, ] 8 [,] L [,]. Итак, область определения оператора совпадает с нормированным пространством [, ] [, ] L 8 [,], отличным от исходного. Проверим линейность на D( ) : возьмем ( t) y( t) L 8 [,], тогда

4 ( y) y. Поэтому оператор не является линейным на D( ), а следовательно и ограниченным. -5. Задает ли данная формула линейный ограниченный оператор :? В случае ограниченности оператора, найти его норму.. Оператор умножения. C[,] C[,] ( )( t) ( t t) ( t). C[-,] C[,] ( )( t) ( t t ) ( t). L [,] L [,] ( )( t) t ( t). L [,] L [,] ( )( t) ( t t) ( t).5 L [-,] L [-,] ( )( t) t ( t).6 L [-,] L [,] ( )( t) t( t ).7 L [,] L [,] ( )( t) ( t ) ( t).8 C[-,] C[,] ( )( t) ( t t ) ( t).9 L [-,] L [-,] ( )( t) t ( t ). C () [-,] C[,] ( )( t) si t( t ). L [,] L [,] ( )( t) t( t ). C[-,] C[-,] ( )( t) ( t ) ( t), t [, [ ( t t ) ( t), t [, ]. C[,] L [,] ( )( t) t ( t) t( t), t [, ]. L [-,] L [-,] ( )( t), t [, [ Решение задачи.. Область определения оператора D( ) L [-,] (произведение ( t) на непрерывную функцию не "выводит" это произведение из L [-,]). Линейность оператора очевидна. Так как для L [-,]

5 L t t t [, ] ( ) ( ) L {, ], ограни- то в качестве константы c в определении можно взять c=. Итак, ченный оператор и. Пусть ( t) ( t).тогда L [, ] [, ] и sup sup sup t = sup t sup sup. Следовательно. Оператор замены переменной. C[,] C[,] ( )( t) t ( t ). C[-,] C[,] ( )( t ) ( t t) ( t ). L [,] L [,] ( )( t) t( t ). L [,] L [,] ( )( t) ( t ).5 L [-,] L [-,] ( )( t) ( t ).6 L [-,] L [,] ( )( t) t ( t ).7 L [-,] L [-,] ( )( t) ( t ).8 C[,] C[,] ( )( t ) ( t ) t( t ).9 L [,] L [,] ( )( t) t( t ). L [-,] L [,] ( )( t) t ( t ). C () [,] C () [,] ( )( t) t( t ). L / [,] L / [,] ( )( t ) ( t t) ( t )

6 . L [,] L [,] ( )( t) t( t ). L [-,] L [,] ( )( t) t ( t ) Решение задачи.. Пусть L [-,]. Тогда t ( t ) L [, ] u t du t t u = du ( u ) ( u) ( u ) ( u) du u ( u) du L [, ]. Из последнего соотношения следует, что D( ) L [-,]. Очевидно, что оператор линеен и из доказанного неравенства вытекает, что A ограничен и. Рассмотрим последовательность функций ( t) ( t) L [, ],. Тогда [, ] L [, ] sup L [, ] sup sup ( u ) du L[, ] L [, ] sup 5 Итак 5 sup 5 5!. Учитывая предыдущее, имеем.. Операторы в пространствах последовательностей l l (,,,...) 5

7 . l l (,,,...). c c (,,...,,,,...). l l,,,....5 l l,,,,....6 l l,,,,,....7 l l,...,,....8 c c,...,,....9 c si c,..., si,.... l l (,,,,,,...). l c,,,.... l l,,,.... l c (,,,...). l l,,,... где M, N Решение задачи.. Так как для l sup sup, то D( ) l и линейность оператора проверяется без труда. Отсюда же имеем sup I. В силу определения точной верхней грани, для существует такое, что I. Тогда для l (,,...,,,...) l, l и sup l I. Переходя в последнем неравенстве к пределу при I sup, т.е. sup 5. Интегральный оператор получим 6

8 5. L [,] L [,] ( )( t) t s( s) 5. L [,] L [,] ( )( t ) ( t ) s( s) 5. C[,] L [,] ( )( t ) ( t s) ( s) 5. L [,] C[-,] ( )( t) ts ( s ) 5.5 L [,] l t( t),..., t ( t), L [,] l t( t),..., t ( t), L [,] L [-,] ( )( t) t s( s) 5.8 C[-,] L [,] ( )( t) tsig s( s) 5.9 L [,] L [,] ( )( t) t s ( s) 5. L [,] L [,] ( )( t ) ( t ) s ( s ) 5. C[,] L [,] ( )( t) sig( s ) ( s) t( ) 5. L [-,] L [,] ( )( t ) ( t ) s ( s ) 5. C[,] C[,] ( )( t ) ( t s ) ( s) 5. L [,] l t( t),..., t ( t),... 7

9 Решение задачи 5.. Пусть L [,]. Тогда l t ( t) ( t) L. [, ] Поэтому D( ) L [,] и линейность оператора следует из линейности интеграла. Из установленного неравенства следует тамкже, что 8. С другой стороны, если ( t) ( t), то, и L, [, ] sup L[, ] l sup l sup t sup ( ) 8. Следовательно, Пусть Ba, К или С. Задает ли данная формула линейный ограниченный функционал f :? В случае положительного ответа, найти его норму. f 6. c С f ( ) lim 6. l R f ( ) 8

10 6. l R 6. c С 6.5 l R 6.6 c R f ( ) f ( ) ( i) f ( ) f ( ) 6.7 l С f ( ) 6.8 c R f ( ) l R f ( ) 6. l R f ( ) 6. l С f ( ) i 6. l С f ( ) 6. c R f ( ) lim 6. l С f ( ) Решение задачи 6.. Линейность функционала проверяется без труда. Пусть l. Тогда применяя неравенство Коши-Буняковского, будем иметь : l f ( ) () Отсюда D( f ) l, функционал f ограничен на l и f что константа c. Покажем, является наименьшей из всех возможных в неравенстве (). Для этого достаточно указать такой ненулевой элемент l, для которого () становится цепочкой равенств. Равенство в () может нарушается после применения неравенства Коши-Буняковского. Последнее не нарушает равенства, если * 9

11 N,. f ( ) * * Возьмем, тогда для * (,,,...), 8. Итак, f. 7. L [,] R f ( ) t ( t) 7. L [,] C f ( ) i t ( t ) 7. C[,] R f ( ) ( ) ( ) 7. C[,] R f ( ) lim ( t ) 7.5 L [,] C f ( ) t( t ) 7.6 L [-,] R f ( ) t ( t ) 7.7 L [,] R f ( ) t ( t ) 7.8 L 6 [,] R f ( ) t ( t ) 7.9 C () [,] C f ( ) ( ) i ( ) 7. C () [,] R f ( ) ( t) ( t) 7. C () [-,] C f ( ) ( ) 7. C () [,] C f ( ) i( ) ( ) 7. L [,] R f ( ) t ( t) 7. L [,] C f ( ) i t ( t ) f * и

12 Решение задачи 7.. Линейность функционала вытекает из линейности интеграла. Пусть L [,]. Тогда произведя замену переменных в интеграле, а затем применяя неравенство Коши-Буняковского, получим f ( ) t ( t ) u t u t udu u u du u du u du ( ) ( ). () Следовательно, D( f ) l, функционал ограничен и f. Возьмем * ( u ) u (почему?), тогда из () имеем * * f ( ) u u du u du. Отсюда следует, что константа c возможных. Поэтому f в () является наименьшей из всех Варианты задания Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант

13 Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н Ы Е З А Д А Ч И И У П Р А Ж Н Е Н И Я. Доказать, что функционал f : ( t) ( t ) R ( t) C () [,] непрерывен. 5. Доказать, что функционал f : ( t) ( t ) R линеен и неограничен на линейном подпространстве C () [,] нормированного пространства C[,]. 6. В l рассмотрим оператор (......) (......). При каких он ограничен на l? Найти его норму. 7. Пусть -оператор умножения на ограниченную измеримую функцию a( ), действующей в пространстве L p (, ). Доказать, что ограничен и найти его норму. 8. Найти норму тождественного оператора, действующего из Lp[ a, b] в Lq[ a, b] при p q.

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СПЕКТР ОПЕРАТОРА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть : ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве над полем. C. Определение. Точка C называется регулярной

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Скачано с antigtu.ru. Скачано с http://antigtu.ru. Задача Кузнецов Пределы 1-22. Условие задачи. Доказать, что (указать ). Решение

Скачано с antigtu.ru. Скачано с http://antigtu.ru. Задача Кузнецов Пределы 1-22. Условие задачи. Доказать, что (указать ). Решение Скачано с http://antigtu.ru Задача Кузнецов Пределы 1-22 Доказать, что (указать ). По определению предела: Проведем преобразования: (*) Очевидно, что предел существует и равен 2. Из (*) легко посчитать

Подробнее

Теория меры, лекция 10: эргодические меры

Теория меры, лекция 10: эргодические меры Теория меры, лекция 10: эргодические меры Миша Вербицкий 9 мая 2015 НМУ 1 Эргодическое действие группы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть (M, µ) пространство с мерой, а G группа, действующая на M, сохраняя µ. Действие

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.. Линейное пространство Определение. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в соответствие

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

14. Гармонические формы

14. Гармонические формы 14. Гармонические формы В этой лекции мы под дифференциальными формами будем (до поры до времени) понимать дифференциальные формы класса C. Мы разрешаем дифференциальным формам быть комплекснозначными.

Подробнее

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников 2. Основные понятия и теоремы.. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Пусть линейный оператор

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Функции Уолша и их приложения

Функции Уолша и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

Лекции по комплексному анализу

Лекции по комплексному анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Д66 Домрин А. В.,

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность . Числовые ряды.. Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x, а члены

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее