1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы"

Транскрипт

1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СПЕКТР ОПЕРАТОРА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть : ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве над полем. C. Определение. Точка C называется регулярной точкой оператора, если оператор ( I) существует и является ограниченным оператором на, т.е. оператор ( I ): обратим. Множество всех регулярных точек обозначается через ( ) и называется резольвентным множеством оператора. Определение. Комплексное число, не являющееся регулярным, называется спектральным. Множество спектральных точек ( ) оператора называется спектром оператора, т.е. ( ) =C \ ( ). Определение. Операторнозначная функция R( ; ) ( I), ( ) называется резольвентой оператора. ТЕОРЕМА. Резольвентное множество ( ) оператора открыто в C, а резольвента R( ; ) является аналитической функцией в ( ). Отметим следующие важные свойства спектра ( ) оператора :. ( ) ;. ( ) есть компактное подмножество C;. ( ) Z C: Z. Из теоремы Банаха об обратном операторе следует, что если ( ), то возможны две ситуации : I. Оператор I не является инъекцией. Тогда существует x, x такое, что ( I) x x x. Определение 4. Комплексное число при котором уравнение x x имеет ненулевое решение называется собственным значением оператора, а множество g( ) всех собственных значений оператора дискретным спектром оператора. Ненулевые решения уравнения x x называются собственными векторами оператора, отвечающими собственному значению оператора. II. Оператор I: инъективен, но не является сюръекцией. def 56

2 Определение 5. Множество всех таких ( ), при которых оператор I является инъекцией, но не является сюрьекцией, называется непрерывным спектром оператора. Обозначим его через H( ). Ясно, что ( ) = g ( ) H( ). Понятие спектра оператора обобщает хорошо известное из алгебры понятие множества собственных чисел матрицы. Литература : [] с.8-4 ; [] с. 9- ; [5] с З А Д А Ч И. Найти дискретный и непрерывный спектр оператора L(, ), где С[, ]. N. ( x)( t) tx( ). ( x)( t) t x( ). ( x)( t).4 ( x)( t) x( t).5 ( x)( t) tx( t).6 ( x)( t) x( ) tx( ) t.7 ( x)( t) x( ) d.8 ( x)( t) t t x( t).9 ( x)( t) tx( ) t x( ). ( x)( t) t t x( t). ( x)( t) x( ) tx( ). ( x)( t) t x ( t ). ( x)( t ) ( t ) x( t ).4 ( x)( t) tx( ).5 ( x)( t) t( x( ) x( )).6 ( x)( t) t ( x( ) x( )) Решение задачи.6. Найдем дискретный спектр оператора. Он состоит из всех таких комплексных чисел, для которых существует ненулевое решение уравнения: x x t ( x( ) x( )) x( t). () Рассмотрим случай, когда =. Тогда уравнение () перепишется в виде t ( x( ) x( )) и ненулевым его решением будет, например, функция x( t) t( t ) ( ибо x( ) x( ) ). Итак = - точка дискретного спектра. Пусть, тогда () перепишем в виде x( t) t ( x( ) x( )). () 57

3 Отсюда видно, что если ненулевое решение уравнения () есть, то его можно записать в форме x( t) t. Для нахождения, положим в () t : x( ) ( x() x( )). Теперь, если, то и x( t), т.е. () имеет только нулевое решение. Если же =, то ненулевым решением () будет, например, x( t) t. По- этому g( )=,. Найдем H( ). Он состоит из тех C\ g( ), для которых при некотором y C[,] уравнение ( x)( t) x( t) y( t ) не имеет решения в C[,]. Последнее для данного оператора запишется в виде t ( x( ) x( )) x( t) y( t). () Поскольку, его можно переписать в виде x( t) x( ) x( ) t y( t). Положим t и t. Тогда x( ) y( ), x( ) x( ) x( ) y( ) x( ) y( ), x( ) y( ) y( ) и при любом y C[,] уравнение () имеет решение t x( t) y( ) y( ) y( ) y( t) из C[,]. Поэтому H( ).. Найти дискретный и непрерывный спектр оператора L(, ).. l x ( x, x, x 4,...). l x (, x, x, x,...) x. l x x x,,,....4 l x ( x,, x,, x5,...) 58

4 .5 c x (, x, x,,,...).6 l x ( x,..., x n,,,...) x.7 l x x,,,....8 c x ( x, x,,,...).9 l 4 x ( x, x,,,...). l x x,..., n x n,.... c x (, x,,,...). l x ( x,, x,,,...). l x (,, x, x,,,...).4 l x ( x,, x, x,...).5 l x ( x, x4,,,...).6 l x ( x, x,...) ( n ), n M Решение задачи.6. Из лабораторной работы 9 (см. решенную там задачу) следует, что sup n M, т.е. ограниченный оператор. Найдем g( ). x x x x x x. Оно экви- n Уравнение x x примет вид (,,,...) (,,,...) валентно бесконечной системе уравнений x x, x x,..., nxn xn,... * Эта система имеет ненулевое решение x l только в том случае, когда i при некотором i N. Поэтому g( ),,,.... Найдем H( ). Поскольку из свойства следует, что спектр ( ) является замкнутым множеством, то все предельные точки последовательности n, не совпадающие с точками самой этой последовательности, принадлежит H( ). Покажем, что других точек в H( ) нет. Действительно, если не является предельной точкой последовательности n и не совпадает ни с одной точкой самой этой последовательности, то n c и последовательность n ( n,,...) ограничена. Но I y y, y,..., y,... n n и, следовательно, оператор I вида, причем I ( ). sup n также является оператором диагонального n c, т.е. он ограничен. Поэтому 59

5 b a. Найти спектр и резольвенту интегрального оператора ( x)( t ) K( t, s) x( s) ds в пространствах L [a,b] и C[a,b]. a b K( t, s) a b K( t, s). t s. e t s. t s.4 t s.5 s t.6 e t s.7 sin( t s ).8 cos( t s ).9 t s. ts. ts t s. sin t t coss. ts.4 ts t s. t t s.6 ts 5 те Решение задачи.6. Найдем дискретный спектр оператора C, для которых уравнение stx( s) ds x( t) в C[,], т.е. (4) имеет ненулевое решение x( t) C[,]. Пусть, тогда (4) примет вид t sx( s) ds и ненулевым решением (4) при будет, например, функция x( t) ( t ). Пусть. Тогда уравнение (4) можно переписать в виде x( t) t sx( s) ds. (5) Следовательно, если решение уравнения (4) есть, то оно имеет вид x( t) t. Константу находим, подставляя такое x( t) в (5) : 6

6 t t s sds t t. Если, то и x( t), т.е. уравнение (4) имеет только нулевое решение, а следовательно, такие не принадлежат g( ). Если, то ненулевым решением уравнения (4) будет, например, x ( t) t, поэтому дискретный спектр в C[,] равен g( )=,. Поскольку функции x t ( ) и x ( t) L[, ], то анализ приведенных выше рассуждений позволяет заменить C[,]на L [, ], и поэтому таким же будет дискретный спектр в L [, ]. Найдем H( ) в C[,]. Для этого при C \, и y C[,] рассмотрим уравнение stx( s) ds x( t) y( t) (6) Покажем, что оно имеет решение в C[,] для любой функции y(t) из C[,]. Действительно, переписав (6) следующим образом x( t) t sx( s) ds y( t), (7) t видим, что если решение для (6) есть, то оно имеет вид x( t) y( t). Константу находим, подставляя x ( t) в (7) : t y( t) t s s y( s) ds y( t) t t sy( s) ds sy( s) ds sy( s) ds. Итак уравнение (6) при C \, и любом y C[,] имеет решение 6

7 x( t) tsy( s) ds y( t), (8) которое также принадлежит C[,]. Поэтому H( )=. Очевидно, что если бы y L [, ], то решение (8) также бы находилось в L [, ]. Поэтому и в L [, ] непрерывный спектр оператора равен H( )=. Осталось найти резольвенту. Поскольку формула (8) дает решение уравнения (6), то тем самым мы нашли оператор R(, ) I, если, : R(, ) y( t) I y( t) tsy( s) ds y( t). 4. Если следующие множества C могут быть спектром некоторого линейного ограниченного оператора, то привести пример такого оператора, для которого ( ) =. 4.,, 4. C: 4. C: 4.4 C: it, t ,,,... C: t it, t 4.6,,,, C: C: I m 4.,i 4. C: 4. C: it, t 4.4,,i 4.5 C: t it, t 4.6 C: Решение задачи 4.6. Приведем три различных решения этой задачи : I. Рассмотрим оператор :l l, определенный равенством x ( x, x, x4,...). Так как уравнение x x в данном случае имеет вид ( x, x, x4,...) ( x, x, x,...), (9) 6

8 а последнее равносильно бесконечной системе уравнений x x, x x, x4 x,...; то ненулевым решением (9) может быть только последовательность * * вида x ( z, z, z, z,...) ( z C, z ), если x l. Но * x l z n n n n. Последний ряд сходится только при. Итак, только при уравнение (9) имеет ненулевое решение из l. Поэтому g( )= :. Поскольку (доказать!), то в силу свойства спектра имеем ( ) С :. С другой стороны, спектр оператора (свойство ) замкнутое множество. Поэтому H( ) : и ( ) :. II. Рассмотрим оператор нормального вида в l : x ( x, x, x,...), i. Из решения задачи.6 следует, что g( ) = i. Поскольку множество i D :, a ib; a, b Q является счетным и всюду плотным в замкнутои множестве M= :, то выбирая в качестве последовательности i все элементы множества D, будем иметь g( )=, а H( ) \ : \. Итак, ( ) = :. III. Пусть C(M) множество всех непрерывных комплексных функций на заданном множестве M, наделенное равномерной нормой. Положим ( x)( z) zx( z ) в C(M). Тогда ( ) =M (смотри задачу 9). Варианты задания Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант

9 Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н Ы Е З А Д А Ч И И У П Р А Ж Н Е Н И Я 8. Пусть конечномерное нормированное пространство над C. Доказать, что непрерывный спектр линейного оператора : пуст. 9. Пусть - компактное топологическое пространство и C( ) банахово пространство комплексных непрерывных функций на с нормой x( t) sup x( t) : x. Найти спектр оператора действующего в C( ) по формуле x( t) x ( t) x( t), где x( t) C( ). 4. Может ли дискретный спектр быть не замкнутым множеством? 4. Показать, что любое компактное множество комплексной плоскости C может быть спектром некоторого оператора. 4. Показать, что если собственное значение оператора такое, что, то сопряженное к нему число является собственным значением сопряженного оператора *. 4. Доказать что : n а) если собственное значение оператора, то собственное n значение оператора ( n N ) ; б) если собственное значение оператора, то или является собственным значением оператора 64

10 44. Пусть оператор L(, ) обратим. Доказать, что ( ) = ( ). 45. Пусть, L(, ). Доказать что ненулевые элементы ( ) и ( ) совпадают. 46. Пусть ограниченный линейный оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве, С и существует такая последовательность x n n ( )., что x n и x x n n при n. Доказать, что 65

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников 2. Основные понятия и теоремы.. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Пусть линейный оператор

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Жорданова форма нормальная Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

Теория меры, лекция 10: эргодические меры

Теория меры, лекция 10: эргодические меры Теория меры, лекция 10: эргодические меры Миша Вербицкий 9 мая 2015 НМУ 1 Эргодическое действие группы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть (M, µ) пространство с мерой, а G группа, действующая на M, сохраняя µ. Действие

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 16 октября 010 г. На современном уровне излагается теория условий оптимальности второго порядка в нелинейном

Подробнее

Лекции по комплексному анализу

Лекции по комплексному анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Д66 Домрин А. В.,

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.. Линейное пространство Определение. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в соответствие

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Скачано с antigtu.ru. Скачано с http://antigtu.ru. Задача Кузнецов Пределы 1-22. Условие задачи. Доказать, что (указать ). Решение

Скачано с antigtu.ru. Скачано с http://antigtu.ru. Задача Кузнецов Пределы 1-22. Условие задачи. Доказать, что (указать ). Решение Скачано с http://antigtu.ru Задача Кузнецов Пределы 1-22 Доказать, что (указать ). По определению предела: Проведем преобразования: (*) Очевидно, что предел существует и равен 2. Из (*) легко посчитать

Подробнее

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА В. А. Шарафутдинов В этой главе, если не оговорено противное, многообразие означает многообразие без края. Марстон Морс первый обратил внимание на важные связи между топологией

Подробнее

Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность.

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ЛЕКЦИЯ 2 ТОПОЛОГИЯ ОСЕНЬ 2010 Г Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. Топологическим

Подробнее

ЯЗЫКИ ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ. 1.1. Алфавиты и языки. Часть I: ЯЗЫКИ, ГРАММАТИКИ, АВТОМАТЫ. Глава 1

ЯЗЫКИ ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ. 1.1. Алфавиты и языки. Часть I: ЯЗЫКИ, ГРАММАТИКИ, АВТОМАТЫ. Глава 1 Часть I: ЯЗЫКИ, ГРАММАТИКИ, АВТОМАТЫ Глава 1 ЯЗЫКИ ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 1.1. Алфавиты и языки Приступая к изучению теории языков, прежде всего следует определить, что мы подразумеваем под термином язык. Энциклопедическое

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

Функции Уолша и их приложения

Функции Уолша и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

14. Гармонические формы

14. Гармонические формы 14. Гармонические формы В этой лекции мы под дифференциальными формами будем (до поры до времени) понимать дифференциальные формы класса C. Мы разрешаем дифференциальным формам быть комплекснозначными.

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее