, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ", (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным"

Транскрипт

1 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,..., x s } с 2 s < Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода. Определение 1.1. Случайная последовательность ξ n, n 0, 1, 2,..., со значениями в множестве {x 1,..., x s } называется однородной цепью Маркова 1, если ее конечномерные распределения задаются следующим образом: n 0 : P(ξ 0 x i ) a i 0, i 1,..., s, a i 1; (1.1) n > 0 : P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1,..., ξ n 1 x in 1, ξ n x in ) a i0 π i0 i 1...π in 1 i n, (1.2) где π i некоторые числа, i, 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным образом. Определение 1.2. Значение x i назовём i-м состоянием цепи Маркова. Если произошло событие ξ n x i, то будем говорить, что цепь Маркова на n-м шаге пребывала в i-ом состоянии. Равенства (1.1) задают распределение цепи Маркова на первом шаге, или начальное распределение. Видно, что формула (1.1) никак не ограничивает вид этого (дискретного) распределения. Смысл коэффициентов π i в (1.2) раскрывают следующие рассуждения. Для n 1, 2 равенства (1.2) принимают вид P(ξ 0 x i, ξ 1 x ) a i π i, P(ξ 0 x i, ξ 1 x, ξ 2 x k ) a i π i π k, отсюда следует, что π k P(ξ 0 x i, ξ 1 x, ξ 2 x k ) P(ξ 0 x i, ξ 1 x 2, ξ 2 x k ) a i π i P(ξ 0 x i, ξ 1 2 x ) P(ξ 2 x k ξ 1 x, ξ 0 x i ). (1.3) C другой стороны, по определению условной вероятности P(ξ 2 x k ξ 1 x ) P(ξ P(ξ 0 x i, ξ 1 x, ξ 2 x k ) 2 x k, ξ 1 2 x ) i1 P(ξ 1 x ), P(ξ 0 x i, ξ 1 x ) где мы разложили события {ξ 2 x k, ξ 1 x } и {ξ 1 x } по полной группе попарно несовместных событий {ξ 0 x i }, i 1,..., s. Подставляя определение (1.2), получаем a i π i π k i1 P(ξ 2 x k ξ 1 x ) π k. (1.4) a i π i i1 1) Смысл термина «однородность» будет раскрыт далее. 1 i1 i1

2 Сравнивая формулы (1.3) и (1.4), приходим к выводу, что π k P(ξ 2 x k ξ 1 x ) P(ξ 2 x k ξ 1 x, ξ 0 x i ). Аналогично, для общих значений n 3 имеем π in 1 i n P(ξ 0 x i1, ξ 1 x i2,..., ξ n 2 x in 2, ξ n 1 x in 1, ξ n x in ) a i0 π i0 i 1...π in 2 i n 1 P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1,..., ξ n 2 x in 2, ξ n 1 x in 1, ξ n x in ) P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1,..., ξ n 2 x in 2, ξ n 1 x in 1 ) P(ξ n x in ξ n 1 x in 1,..., ξ 0 x i0 ). C другой стороны, разлагая по состояниям на шагах с номерами 0, 1,..., n 2, получаем P(ξ n x in ξ n 1 x in 1 ) P(ξ n x in, ξ n 1 x in 1 ) P(ξ n 1 x in 1 ) P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1,..., ξ n 2 x in 2, ξ n 1 x in 1, ξ n x in ) (i)1 (i)1 P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1,..., ξ n 2 x in 2, ξ n 1 x in 1 ) (i)1 a i0 π i0 i 1...π in 2 i n 1 π in 1 i n π in 1 i n, a i0 π i0 i 1...π in 2 i n 1 (i)1 где суммирование по (i) означает (n 1)-кратное суммирование по всем индексам i 0,..., i n 2, изменяющимся от 1 до s. Таким образом, и P(ξ n x in ξ n 1 x in 1,..., ξ 0 x i0 ) P(ξ n x in ξ n 1 x in 1 ) (1.5) π i P(ξ n x ξ n 1 x i ), i, 1,..., s, n 1, 2,.... (1.6) Условные вероятности (1.6) образуют матрицу π размера s s, которая называется матрицей перехода за один шаг. Равенство (1.5) часто принимают вместо (1.2) за определение цепи Маркова. Нетрудно доказать, что из (1.5) следует (1.2): в самом деле, из определения условной вероятности следует, что а из (1.5) мы имеем P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1,..., ξ n 1 x in 1, ξ n x in ) P(ξ n x in ξ n 1 x in 1,..., ξ 1 x i1, ξ 0 x i0 ) P(ξ n 1 x in 1,..., ξ 1 x i1, ξ 0 x i0 ), P(ξ n x in ξ n 1 x in 1,..., ξ 1 x i1, ξ 0 x i0 ) P(ξ n x in ξ n 1 x in 1 ) π in 1 i. 2

3 Таким образом, мы получаем P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1,..., ξ n 1 x in 1, ξ n x in ) π in 1 ip(ξ n 1 x in 1,..., ξ 1 x i1, ξ 0 x i0 ). Применяя аналогичные рассуждения к P(ξ n 1 x in 1,..., ξ 1 x i1, ξ 0 x i0 ), получаем P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1,..., ξ n 1 x in 1 ) π in 2 i n 1 P(ξ n 2 x in 2,..., ξ 1 x i1, ξ 0 x i0 ) и, объединяя две последние формулы, имеем P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1,..., ξ n 1 x in 1, ξ n x in ) Продолжая эту процедуру до π in 1 i π in 2 i n 1 P(ξ n 2 x in 2,..., ξ 1 x i1, ξ 0 x i0 ). P(ξ 0 x i0, ξ 1 x i1 ) P(ξ 1 x i1 ξ 0 x i0 )P(ξ 0 x i0 ) π i0 i 1 a i0, в конечном итоге приходим к (1.2). Отметим, что в (1.6) условные вероятности P(ξ n x ξ n 1 x i ) определяются только индексами i, и не зависят от n, т. е. по сути от момента времени t n. Такое свойство называется однородностью цепи Маркова. Итак, мы рассматриваем однородные цепи Маркова с конечным числом состояний s. Замечание 1.1. Если случайные ξ 0, ξ 1,..., ξ n независимы при всех n 1, 2,..., то условие (1.5), очевидно, выполнено, причём π i P(ξ n x ξ n 1 x i ) P(ξ n x ), i, 1, 2,..., s, (1.7) и мы видим, что в этом случае элементы матрицы перехода не зависят от первого индекса, т. е. в матрице перехода за один шаг все строки одинаковы (как обычно, считаем, что первый индекс элемента матрицы отвечает номеру строки, а второй номеру столбца). Замечание 1.2. Условие (1.5) означает, что если фиксированы состояния на начальном и первых n 1 шагах, то вероятность на n-м шаге находиться в определённом состоянии зависит (как функция от своих аргументов) только от состояния на предыдущем (n 1)-м шаге и не зависит от более ранних состояний. При этом данное условие не влечёт статистическую независимость случайной величины ξ n от случайных величин ξ 1,..., ξ n 2 все шаги цепи Маркова статистически зависимы. По аналогии с (1.6) определим вероятность перехода за m > 1 шагов π (m) i P(ξ n+m x ξ n 1 x i ), i, 1, 2,..., s, (1.8) и соответствующую матрицу π (m) перехода за m шагов размера s s с элементами (1.8). Тогда последнее замечание можно переформулировать так: в общем случае матрица перехода за m шагов не обязана иметь одинаковые строки. 3

4 Докажем несколько утверждений, вытекающих непосредственно из определения цепи Маркова. 1. Очевидно, что, как и любая вероятность, условная вероятность лежит в интервале [0, 1], поэтому 0 π (n) i 1, n 1, 2,..., i, 1,..., s. 2. Для любого m 1, 2,... и всех i 1,..., s 1 π (m) i P(ξ m+n x ξ n x i ) 1 1 P(ξ n x i ) 1 1 P(ξ m+n x, ξ n x i ) P(ξ n x i ) P(ξ m+n x, ξ n x i ) P(ξ n x i ) P(ξ n x i ) 1 в силу того, что последняя сумма отвечает разложению события {ξ m+n x } по полной группе событий {ξ n x i }, i 1,..., s. Последняя цепочка равенств показывает, что сумма элементов в каждой из строк матрицы перехода за m шагов равна 1. Это свойство по сути есть условие нормировки условного распределения случайной величины ξ m+n (при условии, что ξ n x i ). Матрица π (n) с неотрицательными элементами, удовлетворяющая условию называется стохастической. 1 π (n) i 1, (1.9) Используя матрицу перехода за n шагов, мы можем записать, что вероятность того, что на (n + 1)-м шаге цепь Маркова окажется в k-м состоянии, равна P(ξ n x k ) P(ξ n x k ξ 0 x )P(ξ 0 x ) 1 C другой стороны, в силу (1.2) P(ξ n x k ) n 1 1 n a π (n) k, (1.10) P(ξ 0 x, ξ 1 x 1,..., ξ n 1 x n 1, ξ n x k ) a π 1...π n 1 k, где мы вновь применили разложение события {ξ n x k } по полной группе событий, образованной всевозможными состояниями цепи Маркова на шагах с номерами 0, 1,..., n 1. Сравнивая последнее выражение с (1.10), видим, что 1 a π (n) k n 1 1 a π 1...π n 1 k,

5 причём это равенство имеет место при любых начальных вероятностях a 1,..., a s. Положим a i 1 и a i 0 при i i. Отсюда получим π (n) ik n 1 1 π i1 π π n 1 k. (1.11) Видно, что в правой части мы имеем элемент π n ik матрицы πn π...π, и мы получаем важнейшее свойство матриц перехода в однородных цепях Маркова. 3. Матрица перехода за n шагов есть n-я степень матрицы перехода за один шаг, π (n) π n (1.12) при любых n 1, 2,... (для красоты формулы мы положили π π (1) ). 4. C учетом последнего свойства, записав равенства π (n+m) π n+m π n π m, получаем уравнение π (n+m) i π (n) π (m), (1.13) которое связывает различные матрицы в бесконечном семействе матриц перехода {π (n) } n1, и представляет собой частный случай знаменитого уравнения Чепмена Колмогорова Эргодичность цепи Маркова. Естественно предположить, что система должна «забывать» о своём начальном состоянии в пределе бесконечно большого числа шагов. С точки зрения матриц перехода это означает, что переходная вероятность не должна зависеть от начального состояния при n. Определение 1.3. Если для любых i, 1,..., s существует предел переходной вероятности p lim n π(n) i, (1.14) и величина этого предела не зависит от i, то будем говорить, что у цепи Маркова существуют финальные вероятности. Теорема, в которой формулируется достаточное условие существования финальных вероятностей, называется теоремой Маркова. Предпошлём её доказательству техническую лемму, справедливую для любых стохастических матриц. Лемма 1.1. Пусть матрица π с неотрицательными элементами удовлетворяет условию стохастичности, т.е. s 1 π i 1 для любого i 1,..., s. Рассмотрим две строки матрицы π с фиксированными номерами α и β. Положим S + (α, β) (π π βk ). (1.15) k: π π βk 0 Имеют место следующие утверждения: 1) S + (α, β) S + (β, α); 2) если найдется номер столбца {1, 2,..., s} такой, что π i δ > 0 для всех i 1, 2,..., s, то S + (α, β) 1 δ. (1.16) 5

6 Доказательство. Заметим, что S + (β, α) (π βk π ) k: π βk π 0 k: π π βk 0 (π π βk ). Понятно, что из суммы можно исключить слагаемые, равные нулю, т. е. S + (β, α) (π π βk ). (1.17) k: π π βk <0 Разобьем множество {1,..., s} на два подмножества K + { k: π π βk 0 }, K { k: π π βk < 0 } (вариант разбиения, конечно, зависит от α и β). В этих обозначениях (1.15) и (1.17) запишутся как S + (α, β) (π π βk ), S + (β, α) (π π βk ). k K + k K Отсюда ( S + (α, β) S + (β, α) k K + + k K ) (π π βk ) (π π βk ) в силу стохастичности матрицы π, таким образом, равенство S + (α, β) S + (β, α) доказано. Далее, 1 следовательно, π k1 k K + π + S + (α, β) k K π, k K + (π π βk ) 1 k1 k K + π 1 k K π k K π, k K + π βk. (1.18) Пусть номер столбца взят из второго утверждения леммы. Очевидно, что, каков бы ни был этот номер {1,..., s}, либо K +, либо K. Если K +, то в силу неотрицательности всех элементов матрицы π имеем π βk π β δ, π 0. k K + k K Если K, то наоборот В любом случае в (1.18) k K π π α δ, k K π + k K + π βk 0. k K + π βk δ. Подставляя эту оценку в (1.18), получаем неравенство (1.16). 6

7 Перейдем к теореме Маркова. Теорема 1.1. Пусть найдется натуральное число n 0 такое, что матрица перехода π (n 0) за n 0 шагов цепи Маркова имеет хотя бы один столбец, не содержащий нулевых элементов. Тогда: 1) для любого 1,..., s существуют финальные вероятности p lim n π (n) i, которые не зависят от номера i начального состояния; 2) вероятности p 0, 1, 2,..., s, образуют распределение, т.е. s 1 p 1; 3) для любого 1, 2,..., s и для любого m 1, 2,... имеет место равенство p k1 p k π (m) k ; (1.19) 4) финальные вероятности также являются предельными значениями для распределения на n-м шаге, p lim n P(ξ n x ), 1,..., s. (1.20) Доказательство. Для 1,..., s ведем обозначения M (n) тогда для любых i 1, 2,..., s max 1 i s π(n) i, 0 m (n) π (n) i m(n) Применим к матрице π (n+1) уравнение (1.13), получим M (n+1) max 1 i s π(n+1) i max 1 i s k1 π ik π (n) k min 1 i s π(n) i, M (n) 1. (1.21) M (n) max 1 i s k1 π ik M (n) max 1 1 i s M(n) в силу стохастичности матрицы перехода за один шаг. Таким образом, для каждого фиксированного 1,..., s последовательность {M (n) } n1, не возрастает и ограничена снизу, следовательно, существует предел M lim. Аналогичные рассуждения доказывают, что последовательность {m (n) и существует m lim. Очевидно, M m. n m(n) n M(n) } n1, не убывает Если мы покажем, что два указанных предела совпадают, m M k p, то в силу (1.21) этого будет достаточно для того, чтобы p lim n π (n) i. Рассмотрим матрицу π (n+n 0), где n 0 задано в условии теоремы. Имеем M (n+n 0) m (n+n 0) max 1 i s π(n+n 0) i min 1 i s π(n+n 0) i π (n+n 0) α π (n+n 0) β, (1.22) где мы обозначили через α номер строки, на которой достигается максимум, и через β номер строки, на которой достигается минимум (разумеется, номера α, β разные для разных n и, но до некоторого момента мы считаем n и фиксированными). Вновь применим уравнение (1.13): π (n+n 0) π (n+n 0) βk n (π (n 0) π(n 0) βk )π(n) k k1 7 ( k K + + k K ) (π (n 0) π(n 0) βk )π(n) k, (1.23)

8 где мы воспользовались обозначениями леммы 1, заменив в ней матрицу π на также стохастическую матрицу π (n 0), другими словами, в нашем случае K + { k: π (n 0) βk 0 }, K { k: π (n 0) βk < 0 }. Оценим сверху каждую из двух сумм в правой части (1.23). Для k K + мы имеем оценку π (n 0) βk 0, тогда в силу π (n) k M (n) (π (n0) βk )π(n) k k K + Для k K множитель π (n 0) βk (π (n 0) βk )π(n) k Тогда M (n) (π (n0) βk ). k K + отрицателен, поэтому для оценки величины сверху нам придется оценить множитель π (n) k (π (n0) βk )π(n) k k K m (n) k K (π (n0) βk ). снизу: π (n) k m (n). Подставим полученные оценки в (1.23) и затем учтем равенство (1.22), в итоге получим M (n+n 0) m (n+n 0) M (n) (π (n0) βk ) + m(n) (π (n0) βk ). k K + k K В обозначениях леммы 1 первая сумма в правой части последнего неравенства есть S + (α, β). Преобразуем вторую сумму аналогично тому, как мы поступали при доказательстве леммы 1: (π (n0) βk ) k K k: π (n 0 ) βk π(n 0 ) (n (π 0 ) βk ) βk 0 k: π (n 0 ) π(n 0 ) (n (π 0 ) βk 0 ) S+ (β, α) S + (α, β), где в последнем равенстве мы учли первое утверждение леммы 1. Таким образом, M (n+n 0) m (n+n 0) M (n) S + (α, β) m (n) S + (β, α) ( M (n) m (n) ) S + (α, β). По условию теоремы в матрице π (n 0) найдется столбец, в котором нет нулевых элементов, т. е. при некотором 0 δ min 1 i s π(n) i 0 > 0. (1.24) Используем оценку (1.16) S + (β, α) (1 δ) и учтем, что M (n) M (n+n 0) m (n+n 0) ( M (n) m (n) 0, получим m (n) ) (1 δ). (1.25) Заметим, что в последнем неравенстве уже нет номеров α, β, зависящих от n и, и мы можем утверждать, что это неравенство верно при всех n 1, 2,... и 8

9 1,..., s. Перейдем в обеих частях неравенства к пределу при n и фиксированном : M m (M m )(1 δ). Если M m > 0, то, сокращая на M m, получаем 1 δ 1, т. е. δ 0, что невозможно вследствие (1.24). Поэтому M m 0. Пункт 1 теоремы доказан: существует p lim, 1,..., s. n π(n) i Пункты 2, 3 теоремы получаются путём перехода к пределу при n в равенствах 1 π (n) i, π(n+m) i 1 k1 π (n) ik π(m) k соответственно. Пункт 4 также вытекает из предельных соотношений lim P(ξ n+1 x ) lim n n i1 π (n) i P(ξ 1 x i ) p a i p, 1,..., s. Здесь мы учли условие нормировки начального распределения: s i1 a i 1. Теорема доказана. Замечание 1.3. Если дополнительно потребовать, чтобы вся матрица π (n0) не содержала нулевых элементов, т. е. π (n 0) i > 0 для всех i, k 1,..., s, то поэтому m (n 0) π (n 0) i δ, следовательно, m (n) i1 δ min 1 i, s π(n 0) i > 0, δ для всех n > n 0 в силу неубывания последовательности {m (n) } n1,. Таким образом, p lim n m (n) δ > 0 для всех 1,..., s. Другими словами, все финальные вероятности отличны от нуля. Замечание 1.4. Равенство (1.19) можно интерпретировать следующим образом: если начальное распределение совпадает с финальным, a p, 1, 2,..., s, то это распределение сохраняется на любом шаге цепи Маркова, P(ξ n x ) p для любого n 1, 2,.... Такое распределение называется стационарным, и мы получили, что финальное распределение (если оно существует) с необходимостью является стационарным., равную количеству моментов времени из t 1, 2,..., n, в которые система пребывала в состоянии x. Тогда τ (n) /n это доля времени, которое цепь Маркова провела в состоянии x. Пусть динамика некоторой физической системы происходит по законам цепи Маркова, т. е. в каждый из моментов времени t 1, 2,... система может находиться в одном из состояний x, 1,..., s, а переходы от одного состояния к другому происходят случайным образом с вероятностями, заданными матрицей π. Зафиксируем некоторое состояние x и введем случайную величину τ (n) Представим τ (n) в виде τ (n) n m1 χ (m), χ (m) 9 { 1, если ξ m x, 0, если ξ m x,

10 другими словами, τ (n) есть количество тех шагов, на которых произошло событие ξ m x. Тогда математическое ожидание случайной величины τ (n) /n равно M τ(n) n 1 n n m1 Mχ (m) 1 n n P(ξ m x ). (1.26) Покажем, что если P(ξ m x ) p при m, то Mτ (n) /n p. Для этого воспользуемся следующим простым утверждением математического анализа. Лемма 1.2. Пусть последовательность действительных чисел {a m } n1, сходится к a при m. Тогда a a n n m1 a, n. Доказательство. Выберем произвольное натуральное m 0 < n и запишем цепочку соотношений a a n a n 1 n n (a m a) m1 1 m 0 n (a m a) + 1 n n (a m a) S 1 n + S 2 n. (1.27) m1 mm 0 +1 Оценим величины S 2 и S 1, пользуясь сходимостями a m a и 1/n 0 соответственно. Возьмем произвольное ε > 0 и зафиксируем его. В силу сходимости a m a найдется номер m 0 m 0 (ε) такой, что a m a < ε/2 для всех m > m 0. Тогда для любого n > m 0 величина S 2 оценивается как m S 2 (a m a) m a m a (n m 0 ) ε 2 < nε 2, mm 0 +1 mm 0 +1 поэтому S 2 /n < ε/2 при n > m 0. Рассмотрим первое слагаемое в правой части (1.27). Пусть S 1 m 0 m1 (a m a). В силу того что 1/n 0 при n, найдется номер N 1, для которого 1/n < ε/2s 1 при всех n > N 1. Заметим, что N 1 зависит только от S 1 и ε. Далее, величина S 1 определяется только номером m 0 (и, разумеется, последовательностью {a m } n1,, но ее мы считаем фиксированной), а номер m 0 зависит только от ε. Таким образом, N 1 N 1 (ε). Теперь мы должны взять номера n, при которых оба слагаемых в правой части (1.27) малы. Положим N max(n 1, m 0 ). Поскольку N 1 и m 0 зависят только от ε, мы имеем N N(ε) Тогда для n > N(ε) a a n a n S 1 n + S 2 ε. n Лемма доказана. 10

11 Теорема 1.2. Пусть P(ξ m x ) p при m, тогда Mτ (n) /n p. Доказательство. Положим в лемме 2 a m P(ξ m x ) и a p lim m a m. Из (1.26) получаем lim M τ(n) n n lim Теорема доказана. n 1 n n m1 P(ξ m x ) lim m P(ξ m x ) p. (1.28) Можно показать, что если цепь Маркова имеет строго положительные финальные вероятности, то τ (n) n P n p, (1.29) в этом соотношении имеется в виду сходимость последовательности случайных величин τ (n), n 1, 2..., по вероятности. Рассмотрим физическую интепретацию полученных результатов. Предположим, что мы имеем множество (ансамбль) систем, динамика которых происходит по правилам цепи Маркова и определяется матрицей переходных вероятностей. Будем считать, что текущий момент времени достаточно удален от начального, и распределение уже пришло к стационарному: P(ξ n x ) p для каждой из систем. Тогда в частотной интерпретации вероятность p примерно равна доле систем, находящихся в данный момент времени в состоянии x. Утверждения (1.28) и (1.29) говорят о том, что доля времени, которое одна фиксированная динамическая система пребывает в состоянии x в процессе своей динамики, приблизительно равна среднему количеству систем в ансамбле, пребывающих в этом состоянии в один фиксированный момент времени. Это свойство в физике называют эргодичностью, и мы приходим к следующему определению. Если предельные вероятности существуют и отличны от нуля, то цепь Маркова называется эргодической. Пример 1.1. Пусть 2s частиц, из которых s черных и s белых, размещены по s штук в два сосуда А и Б. В каждый момент времени t 2, 3,... в каждом сосуде наугад выбирают по одной частице, после чего выбранные частицы меняют местами. Будем говорить, что ξ n i, если после обмена в момент времени t n в сосуде А оказалось ровно i белых частиц, n 1, 2,..., i 0, 1,..., s. Найдем вероятности перехода за один шаг в данной цепи Маркова. Пусть в момент времени t n система находится в состоянии i. Тогда в сосуде А находятся i белых частиц и n i черных частиц, а в сосуде Б наоборот n i белых и i черных частиц. Найдем вероятности тех возможных состояний, которые могут иметь место после обмена частицами. 1. Если мы обменяли белую частицу из сосуда А на черную частицу из сосуда Б, то в сосуде A окажется i 1 белых частиц. При этом вероятность вынуть белую частицу из сосуда А равна i/s, а вероятность вынуть черную частицу из сосуда Б равна i/s. Таким образом, вероятность обмена белой частицы на черную равна (i/s) (i/s). 11

12 2. Вероятность обмена черной частицы из сосуда А на белую частицу из сосуда Б, есть (1 i/s) (1 i/s), при этом после обмена в сосуде А окажется i+1 белых частиц. 3. Обмен частицами одного цвета (либо белого, либо черного) происходит, очевидно, с вероятностью (i/s) (1 i/s)+(1 i/s) (i/s), при этом число i белых частиц в сосуде А остается неизменным. Формируем матрицу перехода. Для любых 0 i, s (i/s) 2, i 1, (1 i/s) 2, i + 1, π i. 2(i/s)(1 i/s), i, 0, i > 1. Рассмотренный пример представляет модель смешивания двух несжимаемых жидкостей (модель Бернулли Лапласа). Пример 1.2. Показать, что в цепи Маркова события ξ n 1 x i и ξ n+1 x k независимы при условии, что произошло событие ξ n x, т. е. P(ξ n+1 x k, ξ n 1 x i ξ n x ) P(ξ n+1 x k ξ n x ) P(ξ n 1 x i ξ n x ). Решение. Запишем цепочку простейших соотношений P(ξ n+1 x k, ξ n 1 x i ξ n x ) P(ξ n+1 x k, ξ n x, ξ n 1 x i ) P(ξ n x ) P(ξ n+1 x k ξ n x, ξ n 1 x i )P(ξ n x ξ n 1 x i )P(ξ n x ) P(ξ n x ) P(ξ n+1 x k ξ n x )P(ξ n 1 x i ξ n x ). Говорят, что при фиксированном настоящем (т. е. при фиксированном состоянии на n-м шаге) прошлое, (n 1)-й шаг, и будущее, (n+1)-й шаг, цепи Маркова независимы. Полезно сопоставить это факт с общей статистической зависимостью шагов цепи Маркова, если мы не фиксируем «настоящее» (см. замечание 1.2). 12

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега.

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Введение На прошлой лекции мы рассмотрели построение

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Лекция 1 Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Теория случайных процессов является частью теории вероятностей. Специфика теории случайных процессов состоит в том, что в ней рассматриваются

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m Ф О Р М У Л А Б И Н Е К О Ш И Напомним, что если имеется произвольная матрица А = размером x, то обычно используется следующее обозначение : А = () то есть А это минор порядка р данной матрицы, в который

Подробнее

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. Курс лекций. М. Л. Сердобольская

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. Курс лекций. М. Л. Сердобольская ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Курс лекций М. Л. Сердобольская 014 1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Пусть (Ω, F, P) некоторое вероятностное пространство. Пусть T подмножество действительной прямой. Определение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 7.1 Определение гильбертова пространства.

Подробнее

4. Некоторые классические пределы

4. Некоторые классические пределы 4. Некоторые классические пределы После экскурса в теорию множеств вернемся к более конкретным задачам. Предложение 4.1. Если q < 1, то lim n q n = 0. Доказательство. Заметим, что в силу самог о определения

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение 5 Линейная замена переменной Для введения операции линейной (точнее, аффинной замены переменной, как и прежде, воспользуемся принципом продолжения с множества регулярных

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010 4 (0) 00 Байесовский анализ когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом Рассмотрена задача байесовского оценивания последовательности неизвестных средних значений q q... q... по

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ 3 2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ Рассмотрим пару скалярных ПОСДУ с параметрами a i, σ i, ζ i, f i, i = 1, 2. ξ i (θ) = x + θ y i () = ζ i + a i (, ξ i (), y i (), z i ())d + θ f i (θ, ξ i (θ), y i (θ),

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы ТЕМА 7. Случайные процессы. Цель контента темы 7 дать начальные понятия о случайных процессах и цепях Маркова в частности; очертить круг экономических задач, которые используют в своем решении модели,

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА "Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Лекция 8. Вероятность: первые шаги.

Лекция 8. Вероятность: первые шаги. Лекция 8. Вероятность: первые шаги. Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) О вероятности говорят, когда мы не знаем, каким будет исход того или иного события, но

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических

В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических 7 РАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических систем. 7.1 Флуктуации энергии Рассматривается закрытая система, состояние которой представляется каноническим

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро: Специально для библиотеки материалов MathProfi.com. Вариант 15

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро:  Специально для библиотеки материалов MathProfi.com. Вариант 15 Специально для библиотеки материалов MathProf.com Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ Международный институт государственной службы и управления Задание 2

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция Понятие о системе случайных величин Законы распределения системы случайных величин Часто возникают ситуации когда каждому элементарному

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм биномиальных

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2009 Теоретические основы прикладной дискретной математики 3(5) УДК 519.7 О СЛОЖНОСТИ МЕТОДА ФОРМАЛЬНОГО КОДИРОВАНИЯ ПРИ АНАЛИЗЕ ГЕНЕРАТОРА С ПОЛНОЦИКЛОВОЙ ФУНКЦИЕЙ ПЕРЕХОДОВ

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

1.3. Распределение молекул газа в сосуде.

1.3. Распределение молекул газа в сосуде. .3. Распределение молекул газа в сосуде..3.. Распределение молекул между двумя половинками сосуда. Применим элементы теории вероятности для описания поведения одноатомного газа в сосуде. Рассмотрим распределение

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 23 февраля 2012 г.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 2008 А. М. Фрумкин

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 2008 А. М. Фрумкин УДК: 59.85.4 ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 008 А. М. Фрумкин доц. кафедры электротехники, электроники и автоматики, к.т.н., e-mil: frumkinm@mil.ru

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что Математика. О некоторых экстремальных прямых Ипатова Виктория физико-математический класс ГБОУ «Химический лицей» город Москва Научный руководитель: Привалов Александр Андреевич МПГУ доцент к.ф.-м.н. Пусть

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Разложение Вольда для полиномиальных последовательностей

Разложение Вольда для полиномиальных последовательностей Вiсник Харкiвського нацiонального унiверситету iменi В.Н. Каразiна Серiя "Математика, прикладна математика i механiка" УДК 517.948 850, 2009, с.57 70 Разложение Вольда для полиномиальных последовательностей

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее