Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:"

Транскрипт

1 Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок матрицы). Вектор это элемент линейного (векторного) пр-ва.их можно +,умножать на число как и матрицы. Линейные матричные операции По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы. Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых. Произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если,, то произведением матриц A и B, называется матрица, элементы которой вычисляются по формуле c ij =a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj, i=1,..., m, j=1,..., k. Произведение матриц A и B обозначается AB, т.е. C=AB. Для квадратных матриц определена единичная матрица - квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные - нули:

2 Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или E n, где n - порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы: AE=EA=A. Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами на главной диагонали; единичная матрица - частный случай скалярной матрицы. Для квадратных матриц определена операция возведения в целую неотрицательную степень: A 0 =E, A 1 =A, A 2 =AA,..., A n =A n-1 A,... Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается A T : Верны соотношения: (A T ) T =A; (A+B) T =A T +B T ; (AB) T =B T A T.,. Квадратная матрица A, для которой A T =A, называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица X, что AX=XA=E. Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A -1, т.е. A A -1 =A -1 A=E. Известно, что если матрица A невырождена (т.е ее определитель отличен от нуля), то у нее существует обратная матрица A -1. Верно соотношение: (A -1 ) T =(A T ) -1. Квадратная матрица U, для которой U -1 =U T, называется ортогональной матрицей.

3 Свойства ортогональной матрицы: Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице. Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице. Сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы. Билет 2 Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число det A= =, где M 1 <j> - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a 1j. Формула det A = называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке. Число (-1) j+1 M 1 <j> называется алгебраическим дополнением элемента a 1j. Пусть M i <j> - определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (минор элемента a ij ). Число (-1) j+i M i <j> называется алгебраическим дополнением элемента a ij матрицы A. Справедливы формулы вычисления определителя квадратной матрицы A разложением по i-й строке и разложением по j-му столбцу:

4 det A= = = = для i=1,2,...,n, j=1,2,...,n. Для квадратной матрицы второго порядка формула вычисления определителя упрощается: det = = a 11 a 22 - a 12 a 21, поскольку, например, в формуле разложения определителя по 1-ой строке M 1 < 1> =a 22, M 1 < 2> =a 21. Для квадратной матрицы третьего порядка формула вычисления определителя разложением по 1-ой строке имеет вид: = - +. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю. Если у матрицы умножить любую строку (любой столбец) на какое-либо число, то определитель матрицы умножится на это число. Определитель не меняется при транспонировании матрицы. Определитель меняет знак при перестановке любых двух строк(столбцов) матрицы. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами)равен нулю. Определитель не меняется, если к какой-нибудь строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ,ведущая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

5 Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы,расположенные ниже или выше главной диагонали, равны нулю. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов,расположенных на ее главной диагонали: Свойства определителей 1. Определитель не меняется при транспонировании. 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак. 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k. 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. 7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a i j = b j + c j (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b j, в другом - из элементов c j. 8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы. Минором M i j элемента a i j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента a i j определителя d называется его минор M i j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента a i j будем обозначать A i j. Таким образом, A i j = (-1) i + j M i j. Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема. Теорема (разложение определителя по строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i a i n A i n (i = ) или j- го столбца d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j a n j A n j (j = ).

6 В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение. Формула вычисления определителя третьего порядка. Для облегчения запоминания этой формулы: Рассмотрим квадратную матрицу Обозначим Δ =det A. Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0. Квадратная матрица В есть обратная матрица для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В. Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратная матрица матрице А, обозначается через А 1, так что В = А 1 и вычисляется по формуле.

7 где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j матрицы A.., (1) Вычисление A -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ранга матрицы можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы. Элементарные преобразования -1)перестановка двух строк (столбцов);2)умножение всех элементов строки (столбца) на число не равное 0;3) сложение строк (столбцов),умноженных на одно и то же число. Вырожденная матрица это матрицы, определитель которых равен нулю Невырожденная матрица это все остальные матрицы, не удовлетворяющие условию вырожденности Билет 3 Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1, x 2,..., x n : Эта система в "свернутом" виде может быть записана так: Σ n i=1a ij x j = b i, i=1,2,..., n.

8 В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где,,. Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы. Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением. Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой: x=a -1 b. Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера). Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x 1, x 2,..., x n, определяемое формулами Крамера x i =D i / D, i=1,2,..., n, где D i - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом правых частей b. Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x 1, x 2,..., x n приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

9 решение которой находят по рекуррентным формулам: x n =d n, x i = d i -S n k=i+1 c ik x k, i=n-1, n-2,...,1. Матричная запись метода Гаусса. 1. Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции: o o o перестановка строк; умножение строки на число, отличное от нуля; сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло). 2. Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица, последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

10 Система линейных уравнений имеет вид: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, (5.1) a m1 x 1 + a m1 x a mn x n = b m. Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде: AX = B, (5.2) где A = (а i j ) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x 1, x 2,..., x n ) T, B = (b 1, b 2,..., b m ) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i. Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1, c 2,..., c n ) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1, x 2,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1, c 2,..., c n ) T такой, что AC = B. Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений. Матрица, образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы. Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой. Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и совпадают, т.е. r(a) = r( ) = r. Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности: 1) M = (в этом случае система несовместна); 2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

11 3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений. Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(a) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной. Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, (5.3) a n1 x 1 + a n1 x a nn x n = b n. Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом. Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x 1, x 2,..., x n : Решением системы называется совокупность n значений неизвестных x 1 =x' 1, x 2 =x' 2,..., x n =x' n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: где A матрица системы, b правая часть, x искомое решение, A p расширенная матрица системы:

12 Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения несовместной. Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:. Матричный вид однородной системы: Ax=0. Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение: x 1 =0, x 2 =0,..., x n =0. Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной. Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю. Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения, приведем матрицу системы к ступенчатому виду. Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы, обозначаем r=rg(a) или r=rg(a).

13 Справедливо следующее утверждение. Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n. Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением. Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений. Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы e 1, e 2,..., e n-r образуют ее фундаментальную систему решений (Ae i =0, i=1,2,..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде x=c 1 e 1 + c 2 e c n-r e n-r, где c 1, c 2,..., c n-r произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы. Исследовать однородную систему значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы. Исследуем однородную систему методом Гаусса. Пусть матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r< n. Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду.

14 Соответствующая эквивалентная система имеет вид Отсюда легко получить выражения для переменных x 1, x 2,..., x r через x r+1, x r+2,..., x n. Переменные x 1, x 2,..., x r называют базисными переменными, а переменные x r+1, x r+2,..., x n свободными переменными. Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы которые определяют общее решение системы. Положим последовательно значения свободных переменных равными и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные n-r решений линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы:

15 Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x 1, x 2,..., x n : В отличие от однородной системы, эта система совместна не всегда. Справедливо следующее утверждение (теорема Кронекера-Капелли). Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы. Исследовать неоднородную систему это значит установить, является ли она совместной, и если является найти выражение для общего решения системы. Исследуем неоднородную систему методом Гаусса. Пусть расширенная матрица исследуемой системы, ранг которой r равен рангу матрицы системы и r< n. Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду.

16 Соответствующая эквивалентная система имеет вид Отсюда легко получить выражения базисных переменных x 1, x 2,..., x r через свободные переменные x r+1, x r+2,..., x n. Формулы определяют общее решение системы. Положив свободные переменные равными нулю, x r+1 =0, x r+2 =0,..., x n =0, и вычислив соответствующие значения базисных переменных, получим частное решение исследуемой системы x 1 =d 1, x 2 =d 2,..., x r =d r, x r+1 =0, x r+2 =0,..., x n =0. Билет 4 Определение. Линейным пространством или векторным пространством над полем называется множество с двумя операциями: -- сложение, где ; -- умножение на скаляр, где, для которых выполнены условия: коммутативность сложения: для любых, ассоциативность сложения: для любых,

17 существования нейтрального элемента : для любого, существования противоположного элемента : для любого, для любых и, для любого, для любых и, для любых и. Следствие. Нейтральный элемент единственен. Противоположный элемент единственен.... тогда и только тогда, когда или. Определение. Пусть дана система векторов, где. Линейная комбинация векторов системы -- это выражение вида, где. Линейная комбинация называется тривиальной, если. Система векторов называется линейно зависимой, если существует такая нетривиальная линейная комбинация, что

18 следует, что.. Система векторов называется линейно независимой, если из равенства Утверждение.[Свойства линейной зависимости] Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда. Если, то система линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через остальные. Если подсистема системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. Если система линейно независима, а система линейно зависима, то вектор линейно выражается через вектора. Лемма.[Основная лемма о линейной зависимости и независимости системы] Пусть система векторов линейно независима, а каждый ее вектор линейно выражается через векторы системы. Тогда. Определение. Система называется максимальной линейно независимой системой в линейном пространстве, если любое расширение этой системы линейно зависимо. Следствие. Если и две максимальные линейно независимые системы в, то. Определение. Пространство называется -мерным ( ), если в есть максимальная линейно независимая система, состоящая из векторов. Если такой подсистемы нет ни для какого, то. Если, то по определению

19 Определение. Система векторов называется базисом линейного пространства, если каждый вектор единственным образом записывается в виде линейной комбинации,. Предложение. Система векторов является базисом в пространстве тогда и только тогда, когда является максимальной линейно независимой системой в. Предложение. Пусть -- -мерное векторное пространство,. Тогда в существует хотя бы один базис. Более того, каждая линейно независимая система может быть дополнена до некоторого базиса. Предложение. Система является базисом в -мерном векторном пространстве тогда и только тогда, когда эта система линейно независима и. Предложение. Система является базисом в -мерном векторном пространстве тогда и только тогда, когда и каждый вектор линейно выражается через эти векторы. Рассмотрим арифметическое пространство, состоящее из множества строк,. Вектора (на месте стоит ) -- образуют базис. Следствие. В пространстве система,, является базисом тогда и только тогда, когда Матрица перехода

20 Координаты вектора в базисе -- это коэффициенты разложения вектора по базису, где. Пусть даны два базиса и, причем,,. Определение. Матрица -ый столбец которой составлен из координат вектора в базисе, называется матрицей перехода от базиса к. Имеем. Лемма. Пусть -- базис, а и -- матрицы размера над полем, причем. Тогда. Теорема. Матрица перехода от базиса к невырождена. Для любого базиса и любой невырожденной квадратной матрицы порядка существует и при том единственный базис с матрицей перехода, т.е.. Теорема. Если -- матрица перехода от базиса к, то для любого вектора справедливо равенство, где и -- столбцы координат вектора в базисах и соответственно, т.е.. Определение. Биекция линейного пространства над полем на линейное пространство над полем называется изоморфизмом линейных пространств, если для любых векторов и.

21 Следствие. Справедливы равенства, и. Если система линейна независима, то система тоже линейна независима. Отображение -- изоморфизм. Определение. Два линейных пространства называются изоморфными, если существует изоморфизм одного пространства на другое. Теорема. Два конечномерных пространства над полем изоморфны тогда и только тогда, когда. Следствие. Любое -мерное векторное пространство изоморфно. Отображение определено так:. Билет 5 Определение. Непустое подмножество линейного пространства называется подпространством, если для любых векторов и. Замечание. В любом пространстве содержится нулевое подпространство (самое маленькое). Пространство самое большое. Если, то и. Если и, то. Теорема. Пусть и подпространства конечномерного пространства, причем. Тогда и из равенства размерностей следует равенство подпространств. Определение. Пусть,. Линейной оболочкой системы называется множество значений всевозможных линейных комбинаций, где. Линейная оболочка пустого множества -- это нулевое подпространство. Теорема. Линейная оболочка является подпространством пространства.

22 Всякое подпространство конечномерного линейного пространства является линейной оболочкой некоторой системы,. Определение. Две системы векторов и называются эквивалентными, если каждый вектор второй системы линейно выражается через вектора первой системы и наоборот. Определение. Рангом системы называется число векторов максимальной линейно независимой подсистемы. Теорема. Если две системы и эквивалентны, то.. Если -- базис в пространстве, то равен рангу матрицы, столбцами которой являются столбцы координат векторов в базисе. Пусть,, -- подпространства линейного пространства. Тогда их пересечение является подпространством в. Действительно, оно непусто (есть нулевой элемент); если, то для любого, и, следовательно, при любых имеем, т.е.. Рассмотрим множество. Множество является подпространство в. Действительно, оно непусто (есть нулевой элемент); если, то, и, следовательно, при любых имеем. Теорема. Пусть и -- подпространства конечномерного пространства. Тогда.

23 Определение. Линейное пространство является прямой суммой своих подпространств, если каждый вектор допускает, причем единственное, разложение в сумму, где. Вектора называются проекциями вектора на подпространство вдоль подпространств. Пишут. Теорема. Пусть -- конечномерное пространство и, где -- подпространства в. Тогда следующие свойства равносильны: ; для любых базисов пространства,, система является базисом в ; для некоторых базисов пространства,, система является базисом в ; ; для любого выполнено, где. Билет 6 Определение. Пусть и -- два линейных пространства над полем. Отображение называется линейным, если для любых и. Замечание. Если, то получим определение линейной функции. Если, то линейное отображение называется линейным оператором. Пример.

24 Нулевой оператор: для любого. Тождественный оператор: для любого. Пусть. Положим. Тогда -- линейный оператор. Определим формулой при и при. Пусть -- пространство вещественных многочленов. Определим формулой. Пусть. Определим формулой, где. Определение. Ядром линейного отображения называется множество. Образом линейного отображения называется множество существует такой что. Утверждение. Ядро и образ являются подпространствами в. Теорема. Пусть -- линейное отображение конечномерного пространства в пространство. Тогда. Теорема. Пусть -- базис пространства над полем. Тогда для любых векторов,, линейного пространства над существует, причем единственное, линейное отображение со свойством. Определение. Матрицей линейного оператора в базисе линейного пространства называется квадратная матрица порядка, столбцы которой составлены из координат образов базисных векторов в базисе, т.е.

25 Следствие. Пусть -- базис пространства. Тогда для любой квадратной матрицы порядка существует, причем единственный, линейный оператор с матрицей в этом базисе. Теорема. Пусть -- матрица линейного оператора в базисе. Тогда для любого вектора столбец координат его образа в базисе находится по формуле, где -- столбец координат вектора. Лемма. Пусть и -- матрицы размера. Если для любого столбца высоты справедливо равенство, то. Теорема. Пусть и -- матрицы линейного оператора в базисах и соответственно. Тогда, где -- матрица перехода от базиса к. Определение. Определителем линейного оператора называется определитель матрицы оператора в каком-то базисе. Оператор называется вырожденным, если. Лемма. Определитель оператора не зависит от выбора базиса. Определение. Рангом линейного оператора называется ранг его матрицы в каком-то базисе. Замечание.. Лемма. При умножении матрицы справа или слева на невырожденную матрицу ранг матрицы не меняется. Из этой леммы получаем Теорема. Ранг оператора не зависит от выбора базиса. Лемма. Пусть и -- два линейных оператора. Тогда отображение, определенное по формуле для любого вектора, является линейным оператором;, определенное по формуле для любого вектора, является линейным оператором;

26 ,, определенное по формуле для любого вектора, является линейным оператором. Верно равенство. Теорема. Пусть и -- два линейных оператора c матрицами и соответственно в базисе. Тогда матрицей оператора в базисе является матрица ; матрицей оператора в базисе является матрица ; матрицей оператора,, в базисе является матрица. Определение. Оператор является обратным для, если, где -- тождественный оператор. Определение. Оператор называется невырожденным, если его матрица в некотором базисе невырождена. Теорема. Следующие свойства линейного оператора на -мерном линейном пространстве равносильны. Оператор невырожден. Оператор обратим. Для всякого базиса в образы составляют базис в. Для некоторого базиса в образы составляют базис в. Оператор сюръективен. Ядро тривиально, т.е.. Оператор инъективен.

27 Билет 7 Характеристический многочлен Определение. Характеристическим многочленом оператора называется многочлен. Теорема. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением 12) оператора. Предложение 2. Собственное значение оператора является корнем характеристического многочлена, т.е.. Обратно, любой корень характеристического многочлена является собственным значением оператора. Определение 7. Кратность как корня многочлена называется алгебраической кратностью собственного значения оператора. Теорема 3. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности. Диагонализируемые линейные операторы Определение 8. Линейный оператор называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид. Теорема 4. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем. Теорема 5. Пусть линейный оператор на конечномерном векторном пространстве над полем. Для диагонализируемости необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий: 1. все корни характеристического многочлена лежат в ; 2. геометрическая кратность каждого собственного значения совпадает с его алгебраической кратностью. Собственные вектора и собственные значения Определение 2. Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно, называется собственным вектором оператора. Таким образом, собственный вектор оператора удовлетворяет условию. При этом скаляр называется собственным значением 3 оператора. Определение 3. Подпространство ) называется собственным подпространством оператора. Размерность называется геометрической кратностью 6) собственного значения.

28 Определение 4. Множество всех собственных значений линейного оператора называется спектром 7) этого оператора и обозначается символом. Точка спектра называется простой 8), если ей соответствует геометрическая кратность 1. Спектр называется простым 9), если каждая точка спектра проста. Предложение 1. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма прямой. Билет 8 является Определение. Подпространство линейного пространства называется инвариантным для линейного оператора, если для любого, т.е.. Замечание. Будем обозначать через ограничения оператора на подпространство. Пример. Все пространство и нулевое подпространство инвариантны относительно любого оператора. Любое подпространства инвариантно относительно оператора, заданного формулой. Пусть и, где,. Тогда подпространства и инвариантны относительно ( переходит в себя, а -- в ноль). Ядро и образ оператора являются инвариантными подпространствами в относительно оператора. Теорема. Пусть -- инвариантное подпространство -мерного линейного пространства для оператора. Пусть -- базис в, а -- базис в. Тогда в базисе матрица оператора имеет следующий вид

29 Если прямая сумма инвариантных подпространств для, и -- базисы в и соответственно, то в базисе пространства матрица оператора имеет вид Замечание. Если, где каждое является инвариантным подпространство для. В каждом из выбран базис и объединение базисов -- это базис в. Тогда в этом базисе матрица оператора имеет блочный вид, количество блоков равно. Определение. Вектор называется собственным вектором (для) оператора, если для некоторого. Число называется собственным значением оператора. Пример. Любой вектор является собственным вектором с собственном значением 0. Теорема. Следующие утверждения равносильны. Матрица оператора в базисе диагональна.

30 Базис состоит из собственных векторов оператора. Пространство является прямой суммой одномерных инвариантных подпространств, т.е.. Определение. Характеристический многочлен квадратной матрицы -- это. Замечание. и, и. Определение. Характеристический многочлен линейного оператора -- это характеристический многочлен его матрицы в каком-то базисе. Теорема. Характеристический многочлен оператора Определение. След оператора -- это след его матрицы в каком-то базисе. Теорема. След оператора не зависит от выбора базиса. не зависит от выбора базиса, т.е. в любом базисе имеет одинаковый вид. Теорема. Число является собственным значением линейного оператора, где -- -мерное векторное пространство, тогда и только тогда, когда является корнем характеристического многочлен. Определение. Оператор называется диагонализируемым, если в некотором базисе он имеет диагональную матрицу. Лемма. Пусть -- собственные векторы для разных собственных значений. Тогда система линейно независима. Определение. Пусть -- собственное значение оператора. Собственное подпространство линейного пространства -- это. Замечание. Если и, то -- собственный вектор. Таким образом состоит из нуля и собственных векторов.

31 Лемма. Если, где, -- собственные подпространства в оператора для разных собственных значений, то их сумма является прямой. Определение. Число называется геометрической кратностью собственного значения. Алгебраическая кратность собственного значения -- это кратность как корня характеристического многочлена оператора. Лемма. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраическую кратность. Пример. Рассмотрим линейный оператор, где -- -мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей. Тогда -- собственное значение, и, где. Получаем, что геометрическая кратность, равная, меньше алгебраической кратности, которая равна. Заметим, что оператор не диагонализируем. Теорема. Если характеристический многочлен линейного оператора на -мерном пространстве разлагается на линейные множители, т.е., где при, то необходимым и достаточным условием диагонализируемости оператора является совпадение геометрической и алгебраической кратности каждого собственного значения, т.е. для каждого. Следствие. Если характеристический многочлен линейного оператора разлагается на линейные множители, и все корни его являются простыми, то оператор диагонализируем. Определение. Спектром оператора называется множество его собственных значений. Спектр оператора называется простым, если все простые. Следствие. Всякий комплексный оператор с простым спектром диагонализируем.

32 Замечание. Простота спектра является достаточным условием, но не необходимым. Рассмотрим произвольный многочлен и линейный оператор. Можно определить новый оператор, положив. Лемма. Пусть даны два многочлена и. Тогда операторы и перестановочны, т.е., причем оператор совпадает с оператором. Если матрица оператора, то матрица оператора в том же базисе. Теорема.[Гамильтон-Кэли] Всякий линейный оператор -мерного векторного пространства является корнем своего характеристического многочлена, т.е., где -- нулевой оператор. Определение. Ненулевой многочлен ( ) называется минимальным многочленом оператора (матрицы ), если ( ); многочлен ( ) имеет наименьшую степень среди всех многочленов со свойством. Пример. Рассмотрим линейный оператор, где -- -мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей. Тогда и. Теорема. Если для некоторого многочлена и оператора, то делится на минимальный многочлен оператора. Следствие. Минимальный многочлен оператор единственен (с точностью до скаляра). Теорема. Если линейный оператор -мерного,, вещественного пространства, то для в существует -мерное или - мерное инвариантное подпространство. Определение. Подпространство линейного пространства называется инвариантным для линейного оператора, если для любого, т.е..

33 Замечание. Будем обозначать через ограничения оператора на подпространство. Пример. Все пространство и нулевое подпространство инвариантны относительно любого оператора. Любое подпространства инвариантно относительно оператора, заданного формулой. Пусть и, где,. Тогда подпространства и инвариантны относительно ( переходит в себя, а -- в ноль). Ядро и образ оператора являются инвариантными подпространствами в относительно оператора. Теорема. Пусть -- инвариантное подпространство -мерного линейного пространства для оператора. Пусть -- базис в, а -- базис в. Тогда в базисе матрица оператора имеет следующий вид Если прямая сумма инвариантных подпространств для, и -- базисы в и соответственно, то в базисе пространства матрица оператора имеет вид

34 Замечание. Если, где каждое является инвариантным подпространство для. В каждом из выбран базис и объединение базисов -- это базис в. Тогда в этом базисе матрица оператора имеет блочный вид, количество блоков равно. Определение. Вектор называется собственным вектором (для) оператора, если для некоторого. Число называется собственным значением оператора. Пример. Любой вектор является собственным вектором с собственном значением 0. Теорема. Следующие утверждения равносильны. Матрица оператора в базисе диагональна. Базис состоит из собственных векторов оператора. Пространство является прямой суммой одномерных инвариантных подпространств, т.е.. Определение. Характеристический многочлен квадратной матрицы -- это. Замечание. и, и. Определение. Характеристический многочлен линейного оператора -- это характеристический многочлен его матрицы в каком-то базисе.

35 Теорема. Характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса, т.е. в любом базисе имеет одинаковый вид. Определение. След оператора -- это след его матрицы в каком-то базисе. Теорема. След оператора не зависит от выбора базиса. Теорема. Число является собственным значением линейного оператора, где -- -мерное векторное пространство, тогда и только тогда, когда является корнем характеристического многочлен. Определение. Оператор называется диагонализируемым, если в некотором базисе он имеет диагональную матрицу. Лемма. Пусть -- собственные векторы для разных собственных значений. Тогда система линейно независима. Определение. Пусть -- собственное значение оператора. Собственное подпространство линейного пространства -- это. Замечание. Если и, то -- собственный вектор. Таким образом состоит из нуля и собственных векторов. Лемма. Если, где, -- собственные подпространства в оператора для разных собственных значений, то их сумма является прямой. Определение. Число называется геометрической кратностью собственного значения. Алгебраическая кратность собственного значения -- это кратность как корня характеристического многочлена оператора. Лемма. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраическую кратность.

36 Пример. Рассмотрим линейный оператор, где -- -мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей. Тогда -- собственное значение, и, где. Получаем, что геометрическая кратность, равная, меньше алгебраической кратности, которая равна. Заметим, что оператор не диагонализируем. Теорема. Если характеристический многочлен линейного оператора на -мерном пространстве разлагается на линейные множители, т.е., где при, то необходимым и достаточным условием диагонализируемости оператора является совпадение геометрической и алгебраической кратности каждого собственного значения, т.е. для каждого. Следствие. Если характеристический многочлен линейного оператора разлагается на линейные множители, и все корни его являются простыми, то оператор диагонализируем. Определение. Спектром оператора называется множество его собственных значений. Спектр оператора называется простым, если все простые. Следствие. Всякий комплексный оператор с простым спектром диагонализируем. Замечание. Простота спектра является достаточным условием, но не необходимым. Рассмотрим произвольный многочлен и линейный оператор. Можно определить новый оператор, положив. Лемма. Пусть даны два многочлена и. Тогда операторы и перестановочны, т.е., причем оператор совпадает с оператором. Если матрица оператора, то матрица оператора в том же базисе.

37 Теорема.[Гамильтон-Кэли] Всякий линейный оператор -мерного векторного пространства является корнем своего характеристического многочлена, т.е., где -- нулевой оператор. Определение. Ненулевой многочлен ( ) называется минимальным многочленом оператора (матрицы ), если ( ); многочлен ( ) имеет наименьшую степень среди всех многочленов со свойством. Пример. Рассмотрим линейный оператор, где -- -мерное линейное пространство, заданный в некотором базисе матрицей. Тогда и. Теорема. Если для некоторого многочлена и оператора, то делится на минимальный многочлен оператора. Следствие. Минимальный многочлен оператор единственен (с точностью до скаляра). Теорема. Если линейный оператор -мерного,, вещественного пространства, то для в существует -мерное или - мерное инвариантное подпространство. Собственным подпространством линейного преобразования для данного собственного числа (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его. По определению, где единичный оператор. Жорданова нормальная форма линейного оператора и матрицы Определение. Жордановой клеткой порядка называется матрица порядка вида

38 Жордановой матрицей называется матрица, состоящая из жордановых клеток. Лемма. Для нильпотентного оператора на -мерном векторном пространстве существует базис, в котором матрица оператора жорданова (с нулями на главной диагонали). Теорема. Если характеристический многочлен линейного оператора разлагается на линейные множители, то существует базис пространства, в котором матрица оператора жорданова (на диагонали стоят собственные значения оператора ). Следствие. Для каждого комплексного оператора существует жорданов базис. Обозначим через количество жордановых клеток порядка с на диагонали. Через, где матрицы, будем обозначать матрицу, вдоль диагонали которой идут матрицы, а остальные нули. Теорема. Если и -- жордановы матрицы оператора в разных базисах, то для всякого и всякого имеет место равенство, т.е. матрицы и отличаются только порядком расположения жордановых клеток ``вдоль'' диагонали. Следствие. Жорданова клетка не диагонализируема (иначе получили бы две разные жордановы формы). Определение. Матрица подобна матрице, пишут, если существует такая невырожденная матрица, что. Замечание. Отношение подобия является отношением эквивалентности: рефлексивность:,

39 симметричность: если, то, транзитивность: если и, то. Определение. Жордановой формой квадратной матрицы называется жорданова матрица, которая подобна. Теорема. Каждая матрица над полем комплексных чисел обладает жордановой формой, причем единственной (с точностью до порядка жордановых клеток). Две матрицы над подобны тогда и только тогда, когда их жордановы формы совпадают (с точностью до порядка жордановых клеток). Теорема. Линейный оператор в комплексном -мерном пространстве диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней. Билет 9 Комплексные линейные пространства См билет 8 про структуры

40

41

42

43

44

45 Билет 10+билет 11

46 Евклидовы и унитарные пространства Определение. Евклидовым пространством называется вещественное линейное пространство с заданной на положительно определенной симметрической билинейной функцией, которая называется скалярным произведением и обозначается. Пример. Рассмотрим примеры евклидовых пространств.. Арифметическое пространство. Если и -- столбцы координат векторов и соответственно в стандартном базисе, то Пространство непрерывных функций на. Для любых двух функций полагаем. Пространство многочленов степени не больше. Для любых двух многочленов полагаем. Определение. Пусть -- -мерное евклидово пространство с базисом. Матрица Грамма базиса -- это матрица Определитель матрицы Грамма называется определителем Грамма. Определение. Вектора называются ортогональными, если. Длина вектора -- это неотрицательное число. Если, то угол между и определяется по формуле.

47 Теорема. Если векторы ортогональны, то. Теорема. Если -- ортогональная система ненулевых векторов, то она линейно независима. Теорема.[Неравенство Коши-Буняковского] Для любых векторов евклидова пространства справедливо неравенство. Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы. Следствие.[Неравенство Коши] Для всяких векторов чисел и справедливо неравенство. Следствие.[Неравенство Буняковского] Для любых чисел и любых непрерывных функций справедливо неравенство. Следствие.[Неравенство треугольника] Для всяких векторов евклидова пространства справедливо неравенство. Определение. Унитарным пространством называется линейное пространство над полем комплексных чисел, на котором определена эрмитова положительно определенная функция. Она обозначается также. Теорема. Для любых векторов унитарного пространства справедливо неравенство. Определение. Базис в евклидовом (унитарном) пространстве называется ортогональным нормированным (ортонормальным), если для любых базисных векторов справедливо равенство. Замечание. Из следствия следует, существования такого базиса. Заметим, что матрица Грамма в этом базисе единична.

48 Определение. Пусть -- произвольная квадратная матрица над. Система столбцов в называется ортонормальной системой, если. Матрица называется ортогональной, если система ее столбцов ортонормальна. Теорема. Для всякой квадратной вещественной матрицы порядка следующие условия равносильны: система строк матрицы ортонормальна; система столбцов матрицы ортонормальна;. Следствие. Если -- ортогональна, то. Если -- ортогональна, то -- ортогональна. Если и -- ортогональные матрицы, то матрица тоже ортогональна. Замечание. Ортогональные матрицы образуют группу. Определение. Комплексная матрица называется унитарной, если. Теорема. Если -- унитарная матрица, то. Если -- унитарная матрица, то -- унитарная матрица. Если и -- унитарные матрицы, то матрица тоже унитарная. Замечание. Унитарные матрицы образуют группу.

49 Теорема. Пусть -- ортонормальный базис евклидова (унитарного) пространства. Базис является ортонормальным тогда и только тогда, когда матрица перехода от базиса к является ортогональной (унитарной). Определение. Изоморфизмом евклидовых (унитарных) пространств и называется такой изоморфизм линейных пространств, для которого для любых векторов. Теорема. Два конечномерных евклидовых (унитарных) пространства и изоморфны тогда и только тогда, когда. Пусть -- -мерное евклидово пространство, и -- его сопряженное. Положим для любого вектора по определению, где. Теорема. является линейной функцией на, т.е.. Имеется естественный изоморфизм между -мерными евклидовым пространством и. Процесс ортогонализации. Пусть даны линейно независимые векторы. Требуется найти такие векторы, что при и. Тогда и. Берем. Хотим и, тогда ( ). На -ом шаге получаем, и.

50 Определение. Определитель матрицы Грамма векторов называется квадратом -мерного объема параллелепипеда, натянутого на. Теорема. Определитель Грамма не меняется при процессе ортогонализации. Грама. Определитель Грамма, его геометрический смысл Пусть - система векторов в евклидовом (унитарном) пространстве. Матрицей Грама данной системы векторов называется матрица вида:. Матрице Грама поставим в соответствие ее определитель:. Свойства определителя Грама: линейно зависимы. 3. Для, - квадрат длины вектора., - квадрат площади., - квадрат объема., - квадрат объема -мерного параллелепипеда, со сторонами. 4. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта не меняет определитель Грама.

51 Для доказательства этого установим, что если к одному из векторов прибавить линейную комбинацию остальных, состоящую из одного вектора, то определитель не изменится. Умножим первый столбец на и прибавим к -тому столбцу: умножим первую строку на и прибавим к -той строке, получим определитель Грама:. Что и требовалось доказать. Используя это обстоятельство, мы ортогонализируем систему векторов методом Грама-Шмидта:, где.следовательно

52 . При этом, для, - квадрат площади, для, - квадрат объема исходного параллелепипеда. Чтобы найти высоту, опущенную из на основание достаточно вычислить. Скалярное произведение в произвольном базисе Пусть - базис евклидова пространства, рассмотрим скалярное произведение:, = (*) Если записать (*) в матричном виде, то получим:

53 . Если базис - ортонормированный, то, то. Ортогональное дополнение подпространства M из L Пусть - евклидово (унитарное) пространство, подпространство. Вектор называется ортогональным к подпространству, если для всех. обозначается. Множество всех векторов ортогональных к подпространству называется ортогональным дополнением и Очевидно, М является подпространством пространства, причем для размерности подпространств и размерность пространства связаны соотношением. Действительно, выберем базис подпространства, дополним его до базиса, получим. Ортогонализируем данный базис методом Грамма-Шмидта, получим: - базис пространства, - базис подпространства, - базис подпространства ортогонального дополнения.

54 Говорят, что пространство является прямой ортогональной суммой своих подпространств и : Прямая сумма подпространств Пространство является прямой суммой подпространств, если 1. любой вектор представляется в виде, где 2. представление единственно. Обозначается. Если пространство евклидово и выполняется дополнительно условие 3. при, то прямая сумма состоит из попарно ортогональных подпространств (ортогональная сумма) и обозначается так Билет Теорема. Пусть -- линейный оператор в евклидовом (унитарном) пространстве. Сопоставим ему билинейную (полуторалинейную) функцию,. Это соответствие является биекцией между операторами и билинейными (полуторалинейными) функциями. Рассмотрим билинейную (полуторалинейную) функцию, заданную формулой. Тогда матрица для функции в ортонормированном базисе -- это матрица, т.е.. Будем говорить, что функция определяет сопряженный оператор. Более подробно Определение. Сопряженным оператором к оператору называется такой оператор, который удовлетворяет равенству.

55 Определение. Оператор называется самосопряженным или симметричным (эрмитовым), если, т.е.. Оператор называется кососимметричным ( косоэрмитовым), если, т.е.. Оператор называется ортогональным (унитарным для ), если. Теорема. Пусть -- ортонормальный базис в евклидовом (унитарном) пространстве, и -- линейный оператор. Оператор является самосопряженным (эрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица в базисе симметрична (эрмитова ). Теорема. Пусть -- ортонормальный базис в евклидовом (унитарном) пространстве, и -- линейный оператор. Оператор является кососимметричным (косоэрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица в базисе кососимметрична (косоэрмитова ). Лемма. Если -- инвариантное подпространство для самосопряженного оператора в евклидовом (унитарном) пространстве, то тоже инвариантно относительно. Лемма. Пусть -- самосопряженный оператор на -мерном евклидовом пространстве. Тогда для существует собственный вектор. Теорема. Для всякого самосопряженного оператора в -мерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов оператора, т.е. в таком базисе матрица оператора диагональна. Матрица оператора одна и та же во всех таких канонических базисах, с точностью до перестановки диагональных элементов. Верно и обратно. Замечание. В унитарном пространстве все собственные числа для самосопряженного оператора вещественны,. Если ( -- евклидово или унитарное пространство) -- собственные векторы с разными собственными значениями для самосопряженного оператора, то, так как.

56 Следствие. Для всякой (эрмитовой) квадратичной функции в -мерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормальный базис, в котором ( ). При этом, система не зависит от выбора базиса, с точностью до перестановок. Пусть -- ортогональный (унитарный) оператор в евклидовом (унитарном) пространстве. Тогда Лемма. Ортогональный (унитарный) оператор невырожден., т.е.. Если -- собственное значения, то, так как. Теорема.Следующие свойства линейного оператора в -мерном евклидовом (унитарном) пространстве равносильны. -- ортогональный (унитарный) оператор. В любом ортонормальном базисе матрица оператора ортогональна (унитарна, т.е. ). В некотором ортонормальном базисе матрица оператора ортогональна (унитарна). Оператор переводит любой ортонормальный базис в ортонормальный базис. Оператор переводит некоторый ортонормальный базис в ортонормальный базис. Лемма. Если -- ортогональный (унитарный) оператор в евклидовом (унитарном) пространстве, и -- инвариантное для подпространство в, то ортогональное дополнение также является инвариантным подпространством для. Лемма. Пусть -- ортогональный оператор без собственных векторов в -мерном евклидовом пространстве. Тогда в ортонормальном базисе его матрица имеет вид. Теорема. Для всякого ортогонального (унитарного) оператора в -мерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора имеет вид:

57 для евклидова случая и, где, для унитарного пространства. Определение. Пусть -- самосопряженный оператор в -мерном евклидовом пространстве. Он определяет билинейную функцию, заданную формулой. Оператор называется положительно определенным, если -- положительно определенная симметрическая функция, т.е. для любого вектора. Лемма. Для всякого невырожденного оператора в -мерном евклидовом пространстве произведение является положительно определенным самосопряженным оператором. Лемма. Самосопряженный оператор в -мерном евклидовом пространстве является положительно определенным тогда и только тогда, когда все собственные значения для положительны. Лемма. Для всякого невырожденного положительно определенного самосопряженного оператора в -мерном евклидовом пространстве существует такой невырожденный положительно определенный самосопряженный оператор, что.


Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений 1 ГОУ ВПО РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ КАФЕДРА НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ГЛОССАРИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА" для направления подготовки 080100 "Экономика" Алгебраическое дополнение

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т В БОРОДИЧ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА. П. С. Колесников, й семестр. 1. Векторные пространства. Матрицы и определители

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА. П. С. Колесников, й семестр. 1. Векторные пространства. Матрицы и определители ВЫСШАЯ АЛГЕБРА П. С. Колесников, 2013 1-й семестр 1. Векторные пространства. Матрицы и определители Поле комплексных чисел. [1, гл.1; 3, 17-19; 2, ч.1, гл.5, 1]. Алгебраическая операция, поле. Поле комплексных

Подробнее

Свойства собственных векторов линейного оператора.

Свойства собственных векторов линейного оператора. Свойства собственных векторов линейного оператора. 1. Если λ 1,..., λ k (k n) различные собственные числа оператора ϕ, тогда соответствующие собственные векторы x 1,..., x k линейно независимы. Доказательство:

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1.

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Комплексные числа и действия с ними. 1. Сказать несколько вводных слов о матрице, как основном

Подробнее

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов 1Дать определение линейного (векторного) пространства. Множество R элементов x, y, z,... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1. z=x+y.

Подробнее

41. Симметрические операторы

41. Симметрические операторы 41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Задачи по линейной алгебре 1

Задачи по линейной алгебре 1 Задачи по линейной алгебре А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 9 августа г. c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 4.4 Оглавление Линейные пространства

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЛИАЛ в г. ОБНИНСКЕ С.М. Коломиец ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Обнинск 6 УДК 5.64+54. (83) ББК В К 6 Коломиец С.М.

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее