множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B)."

Транскрипт

1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и Y соответственно. Систему подмножеств {A B A S, B S Y } множества Z = Y называют произведением полуколец S и S Y и обозначают S S Y. Для A S, B S Y положим A B)= (A) Y(B). ТЕОРЕМА. Система множеств S S Y является полукольцом. Функция является мерой на полукольце S S Y и обозначается Y. Эта мера - аддитивна, если меры и Y -аддитивны. Определение. Если и Y -аддитивные меры, заданные соответственно на -алгебрах и Y, то их (тензорным) произведением называется лебегово продолжение меры Y. Обозначается это произведением символом Y. Если и Y линейные меры (меры Лебега в R), то их произведение Y является плоской мерой Лебега (мерой Лебега в R ). ТЕОРЕМА (Фубини). Пусть и Y определены на -алгебрах, - аддитивны и полны, = Y. Пусть, далее, (,) интегрируема по мере на A Y. Тогда d (, ) d Y ( ) d ( ) (, ) d ( ) d Y ( ), A A Y A где A = { Y (,) A}, A = { (,) A}. Утверждение теоремы включает существование внутренних интегралов при почти всех значениях переменного, по которому берутся соответствующие внешние интегралы. 5

2 ТЕОРЕМА 3 (Тонелли). В существования одного из интегралов ( (, ) d ( )) d ( ) A Y обозначениях предыдущей теоремы из или ( (, ) d ( )) d ( ) Y A Y вытекает существование A d при условии, что функция -измерима. Пусть (,S, ) пространство с полной мерой, p [, + ). Обозначим через L P (, ) множество всех -измеримых функций на, для которых функция P -интегрируема, и пусть ~ есть класс всех таких функций из L P (, ), которые -почти всюду на Х совпадают с. Множество L P (, ) = ={ ~ L P (, )}наделяется метрикой / d P ( ~ g ~ )= g d и становится полным метрическим пространством. Если это не приводит к недоразумениям, то, допуская вольность речи, элементы из L P (, ) называют функциями. ТЕОРЕМА 4 (неравенство Гельдера). Пусть p, p',. Если p p' L P (, ), g Lp (, ), то g L (, ), причем p gd d g d p / p / p' p (числа p и p называются сопряженными показателями). Часто бывает полезна следующая теорема, устанавливающая связь между интегралом Лебега и несобственным интегралом Римана. ТЕОРЕМА 5. Пусть функция имеет на (конечном или бесконечном) промежутке ]a,b] лишь конечное число точек разрыва. Для того чтобы была интегрируема по Лебегу на ]a,b], необходимо и достаточно, чтобы 5

3 несобственный интеграл Римана b ( ) d сходился абсолютно. В этом случае интегралы Римана и Лебега от функции по ]a,b[ совпадают. a Это вытекает из теоремы Б.Леви о предельном переходе под знаком интеграла (докажите!). ЛИТЕРАТУРА: [, с , 4-4]; [, с. 35-3, 43-44]; [3, c. 8-9]. II. З а д а ч и В нижеследующих задачах рассматривается только линейная и плоская мера Лебега.. Доказать существование и вычислить d плоская мера Лебега. A, где A = [,] [,],...3 e, Q ;, Q, Q; si, Q, Q; 3, Q.4.5., Q ;, Q, N;, N si, Q; e, Q e, ;, si si, (, ) Q R ;, (, ) Q R si, Q;, Q... 53

4 l, ;, cos, Q;, Q 3 tg, Q; 3 3, Q ctg,,, tg,, 3, 3, Q;, Q Решение задачи.5. Для любого q Q положим Г q = {(,) Тогда ( Г q ) =. Поэтому множество R = q}. M {(, ) R Q} Гq q Q имеет нулевую -меру. Таким образом, (,)= Фубини имеем d d d A -почти всюду и в силу теоремы 4.. Известно, что при пересечении измеримого множества E [,] [,] каждой вертикальной прямой =c, c [,] получается множество линейной меры (с). Найти меру множества E, если: e 3 c 4 c c cos c 3 c tg c ( 3c ) l( c ) arctg c 3 ( c ) c( c) 54

5 ce -c ( c ) c( + c ) ctg( c) c si c Указание. Примените теорему Фубини к интегралу E d, где плоская мера Лебега. 3. При каких значениях параметра функции принадлежат пространству L p [,]? si tg (si ) (tg ) cos e (arcsi ) arcsi e ( arctg ) arctg l ( +) (e ) (si(si )) Решение задачи 3.5. При функция непрерывна. Пусть <. В силу теоремы 5 достаточно исследовать сходимость несобственного интеграла Римана p (si(si )) d. Для этого воспользуемся признаком сравнения. Поскольку si p ~ при, то наш интеграл сходится одновременно с интегралом ( ) d. Последний интеграл, как известно, сходится лишь при p <. Итак, принадлежат пространству принадлежат пространству L p [,] если и только если p. 4. Докажите, что функция принадлежит пространству L [,/], но не принадлежит пространству L [,/]. 55

6 l 3 si tg si tg tg (si ) l si l arctg l arcsi ( tg) / 3 / e 3 3 l( ) / l( ) l e l 4 l Решение задачи 4.5. Рассмотрим несобственный интеграл / e d. l 4 Поскольку e ~ при, то вопрос о сходимости данного интеграла сводится / к сходимости интеграла 4 l d. С помощью подстановки t =l легко убедится, что этот интеграл сходится. Итак, L [,/]. Для доказательства соотношения L [,/] нам нужно доказать расходимость интеграла / / e 4 l 8 l d. d, или, что равносильно, доказать расходимость интеграла 8 П о правилу Лопиталя lim l, следовательно, при достаточно малом имеем l 8 для ], [. Поэтому 8 l d d, последний же интеграл расходится. 5

7 5. Приведите пример последовательности точек из L p [,] L q [,], сходящейся в L p [,], но не сходящейся в L q [,] (p;q) (;) (;4) (;7) (3;4) (;5) (p;q) (3.) (5.8) (4;9) (;7) (;3) (p;q) (4;5) (3;7) (3;5) (;4) (;) Решение задачи 5.5. Пусть [ ; ] ( А характеристическая функция множества А). Тогда в метрике пространства L [,] имеем / / 3 d (, ) ( ) d d при / 3 / / /, т.е. в пространстве L [,]. С другой стороны, при m > имеем / / m m m m d (, ) ( ( ) ( )) d ( ( ) ( )) d / / m / / ( m ) d / / / / ( m ) m (нарисуйте графики функций m и ). Поэтому 57

8 / d ( 4, ) 4. Отсюда следует, что последовательность { } не фундаментальна в пространстве L [,], а потому не может иметь в этом пространстве предела.. Докажите включение L q [,] L p [,]. Будет ли здесь иметь место равенство (p и q те же, что и в задаче 5)? Решение задачи.5. Если L [,], то L 3 [,]. Так как функция тождественно равная единице принадлежит L q [,], где q удовлетворяет равенству /3 + /q =, то в силу теоремы 4 имеем = L [,], т.е. L [,], что доказывает включение L [,] L [,]. Осталось заметить, что функция ()= / 3 принадлежит L [,], но не принадлежит L [,]. Варианты заданий Вариант :.;.; 3.; 4.; 5.;.. Вариант :.;.; 3.; 4.; 5.;.. Вариант 3:.3;.3; 3.3; 4.3; 5.3;.3. Вариант 4:.4;.4; 3.4; 4.4; 5.4;.4. Вариант 5:.5;.5; 3.5; 4.5; 5.5;.5. Вариант :.;.; 3.; 4.; 5.;.. Вариант 7:!.7;.7; 3.7; 4.7; 5.7;.7. Вариант 8:.8;.8; 3.8; 4.8; 5.8;.8. Вариант 9:.9;.9; 3.9; 4.9; 5.9;.9. Вариант :.;.; 3.; 4.; 5.;.. Вариант :.;.; 3.; 4.; 5.;.. Вариант :.;.; 3.; 4.; 5.;.. Вариант 3:.3;.3; 3.3; 4.3; 5.3;.3. Вариант 4:.4;.4; 3.4; 4.4; 5.4;.4. Вариант 5:.;.9; 3.; 4.; 5.7;.3. Вариант :.;.8; 3.; 4.; 5.;.4. Вариант 7:.3;.3; 3.; 4.4; 5.9;.5. 58

9 Вариант 8:.4;.; 3.; 4.3; 5.8;.3. Вариант 9:.5;.; 3.; 4.9; 5.;.. Вариант :.;.; 3.9; 4.8; 5.5;.. Вариант :.7;.; 3.8; 4.4; 5.3;.3. Вариант :.8;.5; 3.7; 4.; 5.;.4. Вариант 3:.9;.7; 3.; 4.3; 5.;.8. Вариант 4:.;.4; 3.5; 4.; 5.;.. Вариант 5:.;.3; 3.4; 4.; 5.;.. III. Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а ч и и у п р а ж н е н и я В задачах 4-47 m мера Лебега на R. 4. Показать, что для функции e si si существуют повторные интегралы: [, [ [, [ e si si dm ( ) dm ( ), [, [ [ e si si dm( ) dm( ) [, [ и величины этих повторных интегралов совпадают. Интегрируема ли на [,+ [ [,+ [ эта функция относительно плоской меры Лебега? 43. Показать, что функция (, ) относительно плоской меры Лебега, но повторные интегралы не интегрируема на [,] [,] [, ] [, ] (, ) dm( ) dm( ) и (, ) dm( ) dm( ) [, ] [, ] существуют и равны. 44. Показать, что для функции (, ) ( ) существуют оба повторных интеграла на [,][ [,], но их величины не совпадают. 45. Доказать, что следующие множества плотны в пространстве L ([,], m): 59

10 разрыва; а) множество кусочно-постоянных функций с конечным числом точек б) множество непрерывных кусочно-линейных функций с конечным числом точек излома; в) множество всех многочленов P( ) a г) множество всех тригонометрических многочленов T( ) c e. 4. Доказать, что в пространстве L (R, m) плотны следующие множества: a) всех кусочно-постоянных финитных функций (т.е. кусочно-постоянных функций, равных нулю вне некоторого отрезка); b) всех непрерывных финитных функций; c) всех функций вида P( ) e, где P многочлен. 47. Пусть L (R, m). Доказать, что ( ) ( ) d Другими словами, сдвиг является непрерывной операцией в L (R, m) k R k k ; k k ik при.

11 ЛИТЕРАТУРА. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Минск: Изд-во Университетское, с.. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, с. 3. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, с. 4. Кириллов А..А. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, с. 5. Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Минск: Вышейшая школа, с.

12 С О Д Е Р Ж А Н И Е Введение... 3 Лабораторная работа. Множества. Отображения. Системы множеств... Лабораторная работа. Лебегово продолжение меры... Лабораторная работа 3. Измеримые функции... Лабораторная работа 4. Интегрируемые функции... Лабораторная работа 5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега... Лабораторная работа. Теорема Фубини. Пространства Lp,... Литература...

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные

Подробнее

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СПЕКТР ОПЕРАТОРА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть : ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве над полем. C. Определение. Точка C называется регулярной

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Функции Уолша и их приложения

Функции Уолша и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл.

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Е. В. Щепин октябрь декабрь 2 года Оглавление Интегральная формула Коши................... 2 2 Особые точки и вычеты....................... 2. Топология плоскости.....................

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность . Числовые ряды.. Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x, а члены

Подробнее

14. Гармонические формы

14. Гармонические формы 14. Гармонические формы В этой лекции мы под дифференциальными формами будем (до поры до времени) понимать дифференциальные формы класса C. Мы разрешаем дифференциальным формам быть комплекснозначными.

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

Лекции по комплексному анализу

Лекции по комплексному анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Д66 Домрин А. В.,

Подробнее

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.. Линейное пространство Определение. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в соответствие

Подробнее

Старков ВН Материалы к установочной лекции Вопрос 17 1 Аналитические функции Условия аналитичности Понятие аналитической функции [3,4] является основным понятием теории функций комплексного переменного

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее

Ветвящиеся процессы и их применения

Ветвящиеся процессы и их применения Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 8 Издание выходит с 26 года В. А. Ватутин Ветвящиеся процессы и их применения Москва 28 УДК 519.218.23 ББК

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

Задачи с зачётов по теории вероятностей

Задачи с зачётов по теории вероятностей Задачи с зачётов по теории вероятностей Преподаватель Александр Евгеньевич Кондратенко 4 семестр, архив за 4 8 г Издание -е, исправленное и дополненное Предисловие ко второму изданию В прошлом семестре

Подробнее

Теория меры, лекция 10: эргодические меры

Теория меры, лекция 10: эргодические меры Теория меры, лекция 10: эргодические меры Миша Вербицкий 9 мая 2015 НМУ 1 Эргодическое действие группы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть (M, µ) пространство с мерой, а G группа, действующая на M, сохраняя µ. Действие

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Лекция 3.6. Работа силы. Кинетическая энергия Наряду с временнóй характеристикой силы ее импульсом, вводят пространственную, называемую работой. Как всякий вектор, сила

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее