СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.."

Транскрипт

1 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных непрерывные на множествах 5 Лекция 4 Частные производные 3 Лекция 5 Дифференцируемость функции нескольких переменных 4 Лекция 6 Производная по направлению 5 Лекция 7 Частные производные и дифференциалы высших порядков 57 Лекция 8 Теорема Тейлора для функции нескольких переменных 65 Лекция 9 Экстремум функции многих переменных 7 Лекция Неявные функции 8 Лекция Условный экстремум 9 Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция Криволинейные интегралы первого рода Лекция криволинейные интегралы второго рода Тема 3 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция Мера Жордана в R 4 Лекция Двойные интегралы 3 Лекция 3 Сведение двойного интеграла к повторному 39 Лекция 4 Формула Грина 47 Лекция 5 Замена переменных в двойном интеграле 54 Лекция 6 Приложения двойного интеграла 6 Лекция 7 Тройной интеграл 68 Лекция 8 Замена переменных в тройном интеграле 76 Лекция 9 -кратные интегралы 83 Тема 4 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция Элементы теории поверхностей 9 Лекция Площадь поверхности 98 3 Лекция 3 Поверхностный интеграл первого рода 5 Лекция 4 Поверхностный интеграл второго рода Лекция 5 Формула Остроградского-Гаусса Формула Стокса Тема 5 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Лекция Скалярные поля 3 Лекция Векторные поля 37 Лекция 3 Циркуляция и ротор векторного поля 48 Лекция 4 Специальные виды векторных полей 57 Тема 6 ИНТЕГРАЛЫ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Лекция Собственные интегралы зависящие от параметра 66 Лекция Несобственные интегралы зависящие от параметра 73 Лекция 3 Свойства несобственных интегралов зависящих от параметра 45 Лекция 4 Интегралы Эйлера 9 Лекция 5 Интеграл Фурье 96 Лекция 6 Обобщенные функции 35 ЛИТЕРАТУРА 35 4

2 ВВЕДЕНИЕ Настоящее учебное «Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных» пособие является четвертой частью текстов лекций по математическому анализу для студентов физического факультета Их содержание включает материал второго семестра в соответствии с учебной программой по данной дисциплине Как и в предыдущих частях вначале каждой лекции сформулированы основные рассматриваемые вопросы отражающие ее содержание Далее приводятся определения основных понятий формулировки теорем и следствий из них доказательства наиболее важных теорем Теоретические положения иллюстрируются решениями задач многие из которых имеют прикладную направленность Каждая лекция имеет свою нумерацию определений теорем рисунков и таблиц В конце каждой лекции сформулированы вопросы позволяющие обучаемому организовать самоконтроль знаний Поскольку объем пособия не позволяет привести доказательства всех утверждений то читателю предлагается воспользоваться учебниками приведенными в списке литературы Пособие рекомендуется для использования студентами при самостоятельном изучении математического анализа является основой для подготовки к сдаче экзаменов и зачетов Автор надеется что пособие будет полезным и для преподавателей в работе со студентами и с благодарностью воспримет все критические замечания и пожелания направленные на улучшение его содержания 5 Лекция ПРОСТРАНСТВО Определение -мерного пространства Сходимость последовательности точек в -мерном пространстве 3 Основные подмножества пространства R 4 Предельные точки Замкнутые множества Определение -мерного пространства При изучении многих физических процессов часто приходиться иметь дело с такими функциональными зависимостями в которых числовые значения одной из них полностью определяется значениями нескольких других Примеры Температура T тела в данный момент времени t может меняться от точки к точке Каждая точка определяется тремя координатами x y z Если при этом учитывать время то температура в общем случае зависит от четырех переменных T = T ( x y z t При изучении звуковых колебаний газа плотность ρ и его давление P определяются значениями переменных x y z t 3 Объем параллелепипеда есть функция трех переменных x y z те V = V ( x y z Для изучения таких закономерностей вводится понятие функции нескольких переменных и рассматривается аппарат для исследования таких функций Определение -мерным арифметическим точечным пространством называется множество всех упорядоченных наборов ( x ; x;; x действительных чисел x x x и обозначается R а его элементы точками или векторами пространства R ( -мерными точками или -мерными векторами Числа x x x называются координатами точки (вектора ( x ; x;; x Точки пространства R обозначаются M ( x ; x;; x или 6 R

3 = ( x x Точка ( ;;; x x O называется началом координат Для -мерного пространства ( произвольное вводится понятие расстояния между двумя точками Определение Расстоянием (метрикой ρ ( x x ' между двумя точками x = ( x; x;; x и x ' = ( x ; x ;; x -мерного пространства называется число ( x; x' = ( x x + ( x x + + ( x x = ( x x ρ Расстояние ( x; x' ( x ; x = ; x и x ' = ;; x -мерного пространства R обладает свойствами: рефлективность: ρ ( x; x' = тогда и только тогда когда x = x' ; ρ x ; x' = ρ x' ; x ; i= ρ между двумя точками x ( x x ;; симметричность: ( ( 3 транзитивность: ρ ( x; x '' ρ( x; x' + ρ( x' ; x '' Если положить = то получается формула расстояния между двумя точками на прямой (в пространстве R : ' ( x x' = x x ρ при = формула для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости (в пространстве при = 3 в пространстве ' ' ( x; x' = ( x x + ( x x ρ 3 R : ' ' ' ( x; x' = ( x x + ( x x + ( x x i i R : ρ 3 3 Арифметическое -мерное пространство в котором определено расстояние между двумя точками называют метрическим пространством R (евклидовым пространством R координатным про- R установлено взаимно однозначное соответствие которое позволяет изучать реальные геометрические объекты При = 3 между точками пространства прямой R (координатной плоскостью 3 странством R и числовой аналитически При > 3 пространство R является абстракцией при которой можно рассматривать произвольные подмножества этого пространства удовлетворяющие некоторым условиям как определенные «фигуры» Они задаются аналитически 3 так же как в R и R те с помощью уравнений неравенств и их систем которым удовлетворяют координаты этих точек Сходимость последовательности точек в -мерном пространстве x = x x ;; x последовательность то- Пусть ( = x ( ; чек метрического пространства R Определение 3 Говорят что последовательность точек ( x = сходится к точке a a = ( a; a;; a (имеет предел a если li ρ ( ; a = x li = a x Определение 4 Последовательность точек ( = x называется ограниченной если любого C R и a X такие что для выполнено неравенство ( C Если последовательность ( = N ρ x ; a Свойства сходящихся последовательностей x = x x ;; x имеет предел то она ограничена Последовательность ( = сходиться к двум различным точкам x ( ; x x ( x x ;; x = не может ; 3 Для того чтобы последовательность точек ( = ( x x x x ; ;; a = a ; a;; необходимо и достаточно чтобы выполнялись равенства li x = a li x = a li x = a x = сходилась к пределу ( R 4 Если последовательность точек ( = x метрического пространства a R сходится то она является фундаментальной 7 8

4 Пусть ( = x ( ; Замечание Обратное утверждение для произвольного метрического пространства неверно Фундаментальная последовательность может и не быть сходящейся Определение 5 Метрическое пространство R называется полным если любая фундаментальная последовательность его точек сходится В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности пространство R действительных чисел является полным Теорема Пространство R полное x = x x ;; x фундаментальная последовательность точек в R По определению фундаментальной последовательности > N ε такое что для любых ε ( N( ε выполнено неравенство ρ ( x < ε l > 9 l x Рассмотрим числовые последовательности ( k = = Тогда x ρ ( x x < ε k l k k числовые последовательности ( k = ( = l x x k = Значит x k = являются фундаментальными В силу критерия Коши они являются сходящимися По свойству 3 сходится и последовательность точек x в R 3 Основные подмножества пространства R Определение 6 Множество точек x = ( x ; x;; x R расстояние от каждой из которых до фиксированной точки x = ( x ; x ;; x не превосходит положительного числа r называется -мерным замкнутым шаром радиусом r с центром в точке x B[ ] ( ( ( x = r x R x x x x x x r В частности или B[ ] x ( x x { r} x r = ρ R при = имеем B те одномерный замкнутый шар это отрезок длиной центром в точке x ; при = имеем [ x r ] = { x x x r} = { x r x x + r} { } r [ x y ; r ] ( x y( x x + ( y y r с B = те это множество является кругом радиусом r с центром в точке P ( x; y ; 3 при = 3 { } r [ M r ] M ( x y z( x x + ( y y + ( z z B = те это множество является шаром радиуса r с центром в точке M ( x; y; z Определение 7 Открытым -мерным шаром с центром в точке x называется множество точек x пространства R расстояние от каждой из которых до точки x меньше r : ρ x x < ( r { r} B( x ( x x M r = ρ < R Определение 8 Множество точек x R удовлетворяющих условию ρ ( x x = r называется -мерной сферой радиусом r с центром в точке x { = r} x R ρ( x x Определение 9 ε -окрестностью точки ( x x x x = ; ;; называется открытый -мерный шар радиусом ε с центром в точке x U ( ε x = { x ρ( x x < ε} В частности при = ε -окрестность U ( ε x = { x x ε < x < x + ε} те окрестностью точки x является интервал ( x ε ; x + ε ; при = ε -окрестность

5 ( U ε M ( ( ( = M x; y R x x + y y < r те ε -окрестностью точки M будет множество точек открытого круга радиусом ε с центром в этой точке Определение Множество точек x = ( x; x;; x пространства R координаты которых удовлетворяют неравенст- вам x x d x x d x x d называется - мерным замкнутым параллелепипедом с центром в точке x = ( x ; x ;; x P [ d d d x ] = ; {( x x x R x x d x x d x x d } = Аналогично открытому -мерному параллелепипеду определяется открытый -мерный параллелепипед Определение Множество точек x = ( x; x;; x пространства R координаты которых удовлетворяют неравенст- вам x x d x x d x x d называется - мерным открытым кубом с центром в точке x = ( x ; x ;; x { R x x < d x x < d x x d } ( x = ( x x x P d ; < Определение Всякий -мерный открытый параллелепипед P ( d d d x = ; {( x x x R x x < d x x < d x x < d } = называется прямоугольной окрестностью точки x = ( x ; x ;; x Лемма Любая ε -окрестность U ( ( x x x ; ;; x ε точки x = содержит некоторую прямоугольную окрестность P [ d d d ; x ] и наоборот Без доказательства Определение 3 Проколотой ε -окрестностью точки x R радиусом ε называется множество точек x R удовлетворяющих неравенству < ρ ( x x < ε o { ε} ( x = x R < ρ( x x U ε < Из определения проколотой окрестности точки x R следует что эта окрестность состоит из множества точек открытого -мерного шара исключая его центр 4 Предельные точки Замкнутые множества Пусть G некоторое множество пространства R Определение 4 Точка x = ( x; x;; x называется внутренней точкой множества G если существует ε - окрестность U ( ε x точки x целиком принадлежащая множеству G Определение 5 Множество G R называется открытым если все его точки внутренние Определение 6 Точка x = ( x; x;; x называется граничной точкой множества G если в любой ε -окрестности U ( ε x точки x содержатся точки как принадлежащие множеству G так и не принадлежащие ему Множество граничных точек называется границей множества G и обозначается G Граничная точка может как принадлежать множеству G так и не принадлежать ему Определение 7 Точка x = ( x; x;; x называется предельной точкой множества G если в любой ε -окрестность U ε x точки x содержатся точки множества G отличные от ( x Точка x ( x x ;; = ; x не являющаяся предельной точкой

6 множества G называется изолированной точкой множества G Если точка x = ( x; x;; x является изолированной точкой множества G то существует такая ε -окрестность U ( ε x точки x в которой нет точек множества G отличные от x Определение 8 Множество G R называется замкнутым если оно содержит все свои предельные точки Множество которое получается если присоединить к множеству G все его предельные точки называется замыканием G G Пример B ( x r = B[ x r ] Определение 9 Множество G R называется ограниченным если существует такой -мерный шар который содержит внутри себя все точки множества G Определение Множество L = { P( x ; x;; x x = ϕ( t x = ϕ( t x = ϕ ( t ; α t β} где ϕ i ( t i = непрерывные функции на отрезке [ α; β ] называется непрерывной кривой в пространстве R соединяющей концы P ( ϕ( α ; ϕ( α ;; ϕ ( α и P ( ϕ( β ; ϕ( β ;; ϕ ( β кривой Γ Определение Множество G R называется линейно связным (связным если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой Γ целиком принадлежащей этому множеству Определение Открытое связное множество называется областью объединение области и ее границы называется замкнутой областью Определение 3 Множество G R называется компактом в R если из любой последовательности точек ( x = можно выделить подпоследовательность сходящуюся к точке принадлежащей множеству G a; b есть компакт в R а промежуток Пример Отрезок [ ] [ a; b не является компактом в R 3 На пространство R обобщается теорема Больцано Вейерштрасса Теорема Из любой ограниченной последовательности точек пространства R можно выделить сходящуюся подпосле- довательность точек Следствие Для того чтобы множество G R было компактом необходимо и достаточно чтобы множество G было ограниченным и замкнутым Вопросы для самоконтроля Дайте определения: -мерного арифметического пространства расстояния в пространстве R -мерного евклидова пространства Дайте определения: -мерного открытого шара - мерного замкнутого шара -мерной сферы -мерного параллелепипеда (открытого и замкнутого -мерного куба ε - окрестности точки в пространстве R 3 Дайте определения внутренней точки множества Может ли внутренняя точка не принадлежать множеству? 4 Дайте определение граничной точки множества Может ли точка одновременно быть внутренней и граничной для некоторого множества? 5 Какие точки множества называются предельными? 6 Дайте определение открытого и замкнутого множества 7 Что является границей -мерного замкнутого шара и параллелепипеда 8 Дайте определения: ограниченного множества непрерывной кривой в пространстве R связного множества Являются ли связными множествами -мерная сфера -мерный шар прямая в пространстве R? 9 Дайте определения открытой и замкнутой области Приведите примеры Дайте определение компакта в пространстве R 4

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Практические занятия 1 неделя Элементы теории множеств. Мощность 4 Построение графиков функций. 2 неделя Действительные числа. Функция.

Практические занятия 1 неделя Элементы теории множеств. Мощность 4 Построение графиков функций. 2 неделя Действительные числа. Функция. Кафедра математического анализа и теории функций Календарный план учебных занятий по дисциплине математический анализ Индекс специальности НФ курс I семестр 1 Ведущий дисциплину к.ф.-м.н., доцент Будочкина

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 курс, 2 семестр) Жирным шрифтом ниже выделены (за исключением названий разделов) важнейшие понятия этого семестра 0 Определения и формулировки из программы

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНИК В 2 частях Часть 2 2-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» направленность (профиль) программы Организация

Подробнее

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях.

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях. Математика 2 Билет 1 Лектор Конев В.В. 1. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, основные понятия (определение, решение уравнения, общее и

Подробнее

ПРОГРАММА. зачет 1-4 семестр. Содержание лекционного материала

ПРОГРАММА. зачет 1-4 семестр. Содержание лекционного материала ПРОГРАММА курсу «Математический анализ» 4 Факультет математический Специальность 010101 Математика Семестр 1 4 Лекции 280 час. Практические занятия 280 час. Самостоятельная работа 250 час. Форма проверки

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Обновлено 8 января 2015 г. Лекция 18 (прод.)/

Обновлено 8 января 2015 г. Лекция 18 (прод.)/ Лекция 18 (прод.)/ III. Интеграл 1. Определение интеграла Римана и его свойства Определение разбиения Определение интеграла Римана Как понимать предел интегральных сумм О геометрической интерпретации Определение

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

Домашнее задание: [1] 13: 1(4), 2(4), 6(3), 11(3), 12(5), 14(3), 19; 14: 1(2), 2(6), 3(6), 4(7), 5(6), 6(6), 7(7), 8(8)

Домашнее задание: [1] 13: 1(4), 2(4), 6(3), 11(3), 12(5), 14(3), 19; 14: 1(2), 2(6), 3(6), 4(7), 5(6), 6(6), 7(7), 8(8) Содержание лекций и текущие домашние задания по курсу «Математический анализ-3» для студентов 2-го курса (группы БПМИ 144 и БМПИ145) направления подготовки «Прикладная математик и информатика», факультет

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

3. Используемые методы обучения

3. Используемые методы обучения 3.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Семестр I Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Практическое занятие 1 1. Цель: Рассмотреть задачи на вычисление определителей второго

Подробнее

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр)

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Московский физико-технический институт РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Москва 2002 Составитель Л.Д. Кудрявцев УДК 517 Рекомендуемые вопросы по курсу математического

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

понимание концепций и абстракций, способность использовать на практике базовые математические дисциплины (ПК-15).

понимание концепций и абстракций, способность использовать на практике базовые математические дисциплины (ПК-15). 2 1. Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Кратные интегралы и ряды» призвана расширить имеющиеся у студентов знания в области математического анализа. Эти знания необходимы как при проведении теоретических

Подробнее

I. Цель и задачи курса

I. Цель и задачи курса Аннотация дисциплины «Математический анализ» Направления подготовки: 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» Профиль подготовки: Системное программирование и компьютерные технологии" Квалификация

Подробнее

23. Предельный переход и Функциональные последовательности и ряды. 24. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы функционального

23. Предельный переход и Функциональные последовательности и ряды. 24. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы функционального Программа курса "Математический Анализ". Семестр 1 (72 часа лекций, 72 часа практических занятий) Тематический план лекций. I. Введение в анализ. 1. Элементы теории множеств. 2. Натуральные числа. Математическая

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Лектор проф. В. С. Белоносов. 3-й семестр. 1. Теорема о неявных функциях и ее приложения

Лектор проф. В. С. Белоносов. 3-й семестр. 1. Теорема о неявных функциях и ее приложения МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лектор проф. В. С. Белоносов 3-й семестр 1. Теорема о неявных функциях и ее приложения 1.1. Частные производные высоких порядков. Условия равенства смешанных производных. 1.2. Дифференциалы

Подробнее

4 Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание Наименование раздела

4 Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание Наименование раздела 1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент логического анализа, численных

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (2 СЕМЕСТР) ФОРМУЛИРОВКИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (2 СЕМЕСТР) ФОРМУЛИРОВКИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (2 СЕМЕСТР) ФОРМУЛИРОВКИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ А. А. Пожарский Содержание Числовые ряды 1.1. Понятие числового ряда 3 Функциональные ряды 2.1. Функциональные последовательности

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических. Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол

УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических. Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических дисциплин Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» Специальности «Информационные системы и технологии» заочной формы получения

Подробнее

Обновлено 4 сентября 2014 г. Лекция 1

Обновлено 4 сентября 2014 г. Лекция 1 Лекция 1 Глава V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение) 6. Теорема об обратной функции Замечание разрешимости системы линейных уравнений Ax = y, m = n, m > n, m < n. Теорема

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ 1. Цель и задачи дисциплины Математический анализ Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование у будущих специалистов знаний и умения применять математический аппарат и математические

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика» Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет дистанционных форм обучения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа и контрольные работы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

, называют суммой числового ряда

, называют суммой числового ряда Вопросы и ответы к зачету по математическому анализу 2 курс 3 семестр(207) 1. Определение сходимости числового ряда., называют суммой числового ряда 2. Критерий Коши сходимости числового ряда (необходимое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Дифференциальное. УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины Дифференциальное. УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Дифференциальное УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет исчисление и аналитическая геометрия" геофизики. на осенний семестр

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии»

Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии» Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии» 1. Цель и задачи дисциплины Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии»

Подробнее

Глава 4. Функции одной переменной 69

Глава 4. Функции одной переменной 69 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Введение 5 Часть первая. Математический анализ функций одной переменной 10 Глава I. Вещественные числа 10 1. Множества. Обозначения. Логические символы 10 2. Вещественные числа

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика Аннотация рабочей программы дисциплины Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Б.П.Демидович СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В сборник (11-е изд. 1995 г.) включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ:

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

Подробнее

I. Цель и задачи преподавания дисциплины.

I. Цель и задачи преподавания дисциплины. I. Цель и задачи преподавания дисциплины. Рабочая программа составлена на основании государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования и учебных планов математического факультета

Подробнее

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Департамент прикладной математики и бизнес-информатики И. Г. Михайлова Дифференциальное исчисление и исследование

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Направление подготовки «Информационная безопасность»

Направление подготовки «Информационная безопасность» Аннотация рабочей программы дисциплин: Б2.Б.1.1 Математический анализ, Б2.В.ОД.1.1 Практикум по математическому анализу, Б3.В.ОД.8 Дополнительные главы математического анализа Направление подготовки 090901.62

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

Формулировка дисциплинарной части компетенции Способность самостоятельно находить решения поставленной математической задачи.

Формулировка дисциплинарной части компетенции Способность самостоятельно находить решения поставленной математической задачи. 1 2 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Практические занятия по дисциплине «Математика» проводятся с целью: 1. Формирования умений: - систематизировать полученные на лекционных занятиях знания и практические

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Факультет математики и компьютерных наук П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ В МАГИСТРАТУРУ

Министерство образования и науки РФ. Факультет математики и компьютерных наук П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ В МАГИСТРАТУРУ Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Ивановский государственный университет» Факультет математики и компьютерных наук П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ В МАГИСТРАТУРУ для обучения по

Подробнее

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.11.1 Математический анализ 1 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) Цель формирование представлений о понятиях и методах математического анализа,

Подробнее

Раздел 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Раздел 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. Раздел 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. Требования к студентам: базовые знания по элементарной математике в рамках школьной программы. Краткая характеристика данной дисциплины, ее особенности Курс посвящен изучению

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Код дисциплины в учебном плане

Аннотация рабочей программы дисциплины Код дисциплины в учебном плане Аннотация рабочей программы дисциплины Код дисциплины в учебном плане Название дисциплины Код и направление подготовки Профиль (и) подготовки Б.Б.1.1 Математический анализ 01100.6 Физика Фундаментальная

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ

Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ Направление подготовки: 080100.62 «Экономика» Профиль: «Экономика и информационно-математическое управление» 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с теоретическими и практическими основами математического

Подробнее

Тематическое содержание дисциплины

Тематическое содержание дисциплины АННОТАЦИЯ дисциплины Б1.В.ДВ.1.1 Дополнительные главы анализа 1 1. Цель и задачи изучения дисциплины Цель формирование у студентов представлений об основных понятиях и методах анализа. Задачи: 1. формирование

Подробнее

Жуков В. М. Практические занятия по математике : теория, задания, ответы / В. М. Жуков. Ростов н/д : Феникс, , [1] с. : ил.

Жуков В. М. Практические занятия по математике : теория, задания, ответы / В. М. Жуков. Ростов н/д : Феникс, , [1] с. : ил. Жуков В. М. Практические занятия по математике : теория, задания, ответы / В. М. Жуков. Ростов н/д : Феникс, 2012. 343, [1] с. : ил. (Высшее образование). СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 5

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА Шифр, наименование дисциплины (модуля)

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА Шифр, наименование дисциплины (модуля) АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА Шифр, наименование дисциплины (модуля) С2.Б.1 Математика Направление 23.05.01Наземные транспортно-технологические средства подготовки Наименование ОПОП

Подробнее

Метрические и нормированные пространства

Метрические и нормированные пространства Метрические и нормированные пространства А. Л. Лисок, Р. О. Резаев, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Функциональный анализ Лекция Фундаментальным в анализе является предельный переход (сходимость). Для

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В.

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В. Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Кафедра Высшей математики ММФ Автор программы: доцент М.П.Вишневский Лектор: 1-й семестр 1. Введение. Множества и операции над ними. Отображения множеств. Счетные множества. Действительные

Подробнее

Лекция 7. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского

Лекция 7. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского С. А. Лавренченко www.lawenceno.u Лекция 7 Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского Формулу Стокса можно рассматривать как трехмерный аналог формулы Грина. Формула Грина сводит двойной интеграл по плоской

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Программа лекционного курса по математическому анализу, 3-й семестр. Множества и функции.

Программа лекционного курса по математическому анализу, 3-й семестр. Множества и функции. 1 ИЕСиЭН Специальность - химик-фармацевт 3 семестр 44 ч (62)лекций, 54 ч практики экзамен Программа лекционного курса по математическому анализу, 3-й семестр Множества и функции. 1. Числовые множества.

Подробнее

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Будочкина Светлана Александровна к.ф.-м.н., доцент

Будочкина Светлана Александровна к.ф.-м.н., доцент ПРОГРАММА Наименование дисциплины МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НФ Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей)) 011200 Физика Квалификация (степень) выпускника бакалавр (указывается квалификация

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИБ Болотин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть Федеральное агентство по образованию Смоленский государственный университет ИБ Болотин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Практические занятия для студентов курса специальности

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N19. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность.

ЛЕКЦИЯ N19. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность. ЛЕКЦИЯ N9. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность..Основные определения и обозначения.....понятие функции нескольких переменных.... 3.Предел функции нескольких переменных.... 3 4.Непрерывность

Подробнее

Указывается трудоемкость в зачетных единицах.

Указывается трудоемкость в зачетных единицах. Аннотация рабочей программы дисциплины Б2. Б1 «Математический анализ» Направление подготовки 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, бакалавр 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Математический анализ.

Математический анализ. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В МАГИСТРАТУРУ. Математический анализ. 1. Производные и дифференциалы функций одной и нескольких переменных. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых

Подробнее

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции 272 Глава 2 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Интегралы по фигуре от скалярной функции Определение Множество точек называется связным, если две любые точки можно соединить линией, все точки

Подробнее

«О» Определение несобственного интеграла для бесконечной и конечной точки «Т» Теорема 1 (критерий Коши сходимости числового ряда)

«О» Определение несобственного интеграла для бесконечной и конечной точки «Т» Теорема 1 (критерий Коши сходимости числового ряда) БИЛЕТ 1 «О» Определение разбиения «О» Определение интеграла Римана «Т» Теорема 5 (первая теорема о среднем) «Т» Теорема 15 (о длине кривой) «О» Определение абсолютно и условно сходящегося ряда «Т» Теорема

Подробнее

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14 Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Математика

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности Оглавление Глава Евклидово пространство Понятие m- мерного евклидова пространства Множества точек m мерного евклидова пространства 4 m Последовательности точек пространства R 5 4 Предел функции m переменных

Подробнее

5. Содержание дисциплины

5. Содержание дисциплины Аннотация рабочей программы дисциплины Б2.Б.1 Математический анализ Направление подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» Профиль: Математическое и компьютерное моделирование 1. Цели и

Подробнее

Институт транспортных систем. Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» Направление подготовки

Институт транспортных систем. Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» Направление подготовки Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Матрицы и определители Система линейных алгебраических уравнений Элементы векторной и линейной алгебры

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Матрицы и определители Система линейных алгебраических уравнений Элементы векторной и линейной алгебры ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Матрицы и определители................................... 6 1.1. Матрицы. Действия над матрицами................... 6 1.2.

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Математика для направления торговое дело

Математика для направления торговое дело Математика для направления 8..6 торговое дело Контрольные вопросы по курсу Математика семестр. п мерные векторы. п мерное векторное пространство.. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц..

Подробнее

Тематика контрольных (самостоятельных) работ

Тематика контрольных (самостоятельных) работ Фонды Фонды оценочных средств по дисциплине Б.2.1 «Математический анализ» для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по направлению 080100.62 «Экономика» Тематика

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m

Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Тема Множества точек пространства R Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R Сформулируйте определение

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Подробнее

информатикой и информационными технологиями (ОПК 1).

информатикой и информационными технологиями (ОПК 1). 2 1 Цели и задачи дисциплины Целью дисциплины «Дополнительные главы математики» является освоение ключевых понятий, вопросов теории дифференциальных и разностных уравнений, постановок задач, формулируемых

Подробнее

Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (математический анализ)

Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (математический анализ) Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе УО «ГГУ им. Ф. Скорины» И.В. Семченко Регистрационный УД- /р. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Подробнее

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» АННОТАЦИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ ДИСЦИПЛИНЫ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» АННОТАЦИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ ДИСЦИПЛИНЫ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СОГЛАСОВАНО: Выпускающая кафедра

Подробнее

2. Сформулировать и доказать теоремы о почленном дифференцировании и почленном интегрировании

2. Сформулировать и доказать теоремы о почленном дифференцировании и почленном интегрировании Билет 1 1. Дать определение и вывести свойства двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Формулировка теорема существование. Билет 2 1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ Рабочая программа дисциплины «Высшая математика» разработана в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по направлению подготовки 20.03.01

Подробнее

Обновлено 29 декабря 2013 г. Лекция 1 /

Обновлено 29 декабря 2013 г. Лекция 1 / Лекция 1 / 2.09.2013 I. Предел и непрерывность функций одной переменной 1. Общематематические понятия Высказывания Способы построения высказываний Обратное утверждение Предложения с переменными и кванторы

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов 2-й семестр

Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов 2-й семестр Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов 2-й семестр 10. Неявные функции и гладкие многообразия Теорема о неявной функции: Наводящие соображения. Одна функция двух переменных. Одна

Подробнее