ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции."

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки....3.простейшие классы аналитических функций Вычеты функции относительно изолированной особой точки Основная теорема о вычетах Вычисление вычета функции относительно полюса Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Приложение теории вычетов к вычислению интегралов Окрестность бесконечно удаленной точки. Исследуя поведение однозначной функции в окрестности изолированной особой точки, мы предполагали, что эта точка является конечной. Окрестностью изолированной особой точки а, являлось множество точек, отличных от точки а, лежащих внутри круга с центром в точке а столь малого радиуса, чтобы во всех таких точках функция была голоморфной. Опишем из нулевой точки, как центра, окружность радиуса R и допустим, что при достаточно большом R данная функция f() не имеет особых точек вне круга радиуса R. Тогда говорят, что бесконечно удаленная точка является изолированной особой точкой для данной функции. Множество всех точек плоскости, лежащих вне этого круга радиуса R (или большего, чем R), назовем окрестностью бесконечно удаленной точки. Множество всех точек плоскости, лежащих вне этого круга радиуса R (или радиуса большего, чем R), называют внешностью круга R, и это множество есть окрестность бесконечно удаленной точки. Пусть f() голоморфная в окрестности бесконечно удаленной точки, то есть при >R. Полагая / / видим, что ϕ( / )f(/ / )f() определена и голоморфна при / </R, за исключением точки / 0. Поэтому, окрестности бесконечно удаленной точки плоскости соответствует окрестность нулевой точки плоскости /, причем в соответствующих точках и / функции f() и ϕ( / ) имеют равные значения. Естественно называть бесконечно удаленную точку существенно особой точкой функции f(), полюсом порядка или устранимой особой точкой в зависимости от того, будет ли нулевая точка для ϕ( / ) существенно особой точкой, полюсом порядка или устранимой особенностью..разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Напишем соответствующее разложение для функции ϕ( / ) в окрестности нулевой точки ϕ( / ) b /, / </R, () и полагая / /, будем иметь f() c ( >R), (), где c b - (0; ±; ±; ). Разложение () может содержать бесконечное множество положительных степеней, конечное число этих степеней или совсем их не содержать в зависимости от того, будет ли

2 разложение () содержать бесконечное множество отрицательных степеней /, конечное число этих степеней или совсем их не будет содержать. Поэтому, заключаем, что бесконечно удаленная точка будет для функции f(): а) существенно особой точкой, если () содержит бесконечное множество положительных степеней, то есть f() c F () F () 0 Функция F () стремится к конечному пределу при, в то время как c не стремится ни к какому пределу при (теорема Сохоцкого), б) полюсом порядка, если в разложение () входит конечное число положительных степеней, причем c есть последний при них коэффициент, отличный от нуля ( ), то есть f() c (c 0). Здесь l ; 0 в) устранимой особой точкой, если в разложении () совсем нет положительных степеней, то есть c 0 (,, ), то есть f() F ( ) 0 Принимая с 0 за значение функции f() в бесконечно удаленной точке, мы уничтожаем эту особенность, так как ϕ( / ) будет при этом голоморфной функцией в нулевой точке l l F ( ) c0. Поэтому, говорят, что f() голоморфная в бесконечно удаленной точке. Рассмотрим для случая в), б), а): в) π, где - - произвольный контур, ориентированный по часовой стрелке, y содержащий внутри себя окружность R. - R x Можно считать, что точка находится внутри контура - - конутр - обходит точку, оставляя ее слева. б) c c π, потому что 0 0( ) f а) ) c ( π. Почленное интегрирование здесь возможно, так как интеграл можно заменить на интеграл по окружности радиуса ρ>r, на которой ряд () равномерно сходится. c

3 3.Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Так как определение характера поведения функции f() в окрестности бесконечно удаленной точки приводится с помощью новых обозначений к исследованию поведения функции ϕ( / ) в окрестности нулевой точки, то все заключения предыдущих параграфов переносятся на случай бесконечно удаленной точки. Так, если функция f() имеет в бесконечности полюс, то l, для существенно особой точки функция неопределенна. Наконец, в достаточно малой окрестности устранимой бесконечно удаленной особой точки функции f() эта функция является ограниченной. Обратно, функция f(), для которой бесконечность есть изолированная особая точка, имеет в ней: а) полюс, если она в достаточно малой окрестности этой точки становится сколь угодно большой (по модулю); б) существенно особую точку, если f() в сколь угодно малой окрестности бесконечно удаленной точки становится неопределенной; в) устранимую особую точку, если в достаточно малой окрестности этой точки функция f() ограничена..простейшие классы аналитических функций. На основании характера особых точек можно определить различные классы функций. Например, всякая целая рациональная функция имеет единстенную особую точку в бесконечности, которая служит для нее полюсом. Обратно, если однозначная функция f() имеет в бесконечности единственную особую точку полюс, то такая функция есть целая рациональная. Функция, изображаемая бесконечным степенным рядом с радиусом сходимости R, называется целой трансцендентной функцией. Такая функция имеет единственную особую точку в бесконечности, которая является для нее существенно особой. Верно и обратное. Итак, целой функцией называют всякую функцию, голоморфную во всей плоскости, за исключением бесконечно удаленной точки, причем эта функция будет трансцендентной, рациональной или постоянным числом, смотря по тому будет ли бесконечно удаленная точка существенно особой, полюсом или устранимой особенностью. Более общим, чем класс целых функций, является класс мероморфных функций. Мероморфной называют всякую однозначную функцию, не имеющую в конечной части плоскости других особых точек кроме полюсов. В частности, всякая рациональная функция принадлежит к этому классу. 5.Вычеты функции относительно изолированной особой точки. Если функция f() голоморфна в некоторой точке а, то по теореме Коши, имеем 0 (), где С произвольный замкнутый контур, содержащий внутри себя точку с а и малый настолько, что функция f() голоморфна всюду внутри контура и на контуре. Если же а будет изолированной особой точкой функции f(), и замкнутый контур С 3

4 целиком лежит в окрестности этой точки а, то значение будет отличным от нуля. с Это значение, как следует из теоремы Коши, не зависит от формы контура С. В окрестности точки а [0< - <r] функция f() может быть разложена в ряд Лорана с f()c 0 c (-) c (-) c ( ) ( ) (), который будет равномерно сходящимся на линии С, так как контур С лежит в окрестности точки а. Интегрируя почленно ряд () вдоль С, получим π (3), так как ( ) 0 dt, (0,,, ); π ; 0, (, 3, ) ( ) С Значение интеграла π называют вычетом (resdue) функции f() относительно особой точки а. Итак, вычет f() относительно особой точки а равен c -, то есть коэффициенту при первой отрицательной степени разложения Лорана (). Поэтому, вычет может быть отличен от нуля только в том случае, если а есть полюс или существенно особая точка. Для устранимой особой точки с Основная теорема о вычетах. Теорема. Пусть f() функция, голоморфная во всякой точке области G, кроме конечного числа особых точек а, а,,. Обозначим через Г произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, содержащий внутри себя точки,,, и целиком лежащий в области G. Тогда, интеграл π Г равен сумме вычетов функции f() относительно,,,. Доказательство. Опишем из точек,,, как центров, окружности γ, γ,, γ настолько малые, что они попарно не пересекались и целиком лежали внутри Г. Г γ γ а γ Так как f() голоморфна в каждой точке замкнутой области, ограниченной сложным _ контуром Г γ γ... γ, то по теореме Коши π π π π (). Г γ γ γ Интегрирование совершается по контурам Г, γ, γ,, γ в положительном направлении. Это и доказывает теорему о вычетах, так как в правой части этого равенства стоят вычеты функции f(), соответствующие точкам,,,.

5 7.Вычисление вычета функции относительно полюса. Пусть точка а есть простой полюс функции f(). В этом случае главная часть разложения Лорана содержит лишь одну первую отрицательную степень -: с f()c 0 c (-) c (-) (5). Умножим обе части на -: (-)f()c 0 (-)c (-) c (-) c - (6). Сумма степенного ряда справа в (6)- непрерывная функция в точке а. Поэтому, переходя к пределу при, получим: с - l( ) (7). Точка а есть простой полюс функции f(), если ϕ() и ψ() голоморфные функции ψ ( ) в точке а, причем ϕ() 0; ψ()0; ψ / () 0. l( ) l l Итак, с ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ), так как ψ()0 и ψ ( ) ψ ( ) ϕ ( ) / l ϕ ( ), тоl ψ ( ) 0 ; c - / (8). ψ ( ) Пусть полюс произвольный -го порядка. В этом случае разложение Лорана: с f()c 0 c (-)... (9). ( ) ( ) Умножив обе части на (-) : (-) f()c c - (-) c - (-) - c 0 (-) c (-) (0) Продифференцировав (0) - раз, мы получим в правой части обыкновенный степенной d [( ) ] ряд, свободный член которого c - (-)!. Поэтому, l c ( )!, откуда d [( ) ] с - l ( )!. s Пример. Найти вычет функции f() cos в точке π/. В данном случае f(), где ϕ()s ; ψ()cos. ψ ( ) Точка π/ простой полюс функции f(), так как ϕ(π/) 0, ψ(π/)0, ψ / ()-s, ψ / ϕ ( π / ) (π/)- 0. Значит, res π / / ψ ( π / ) Пример. Найти вычет функции exp(/) в точке 0; exp(/)//! Итак, 0 является существенно особой и res Пример 3. Найти вычет функции f() ( полюс второго порядка, поэтому 0 относительно точки. Эта точка ) ( 3) d[( ) ] d res l l ( ) l 3 ( 3). 5

6 8.Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки. Распространим понятие вычета на случай бесконечно удаленной точки. Пусть бесконечно удаленная точка является изолированной особой точкой функции f() и обозначим через С произвольный замкнутый контур, лежащий целиком в окрестности этой точки. Вычетом функции f() относительно бесконечно удаленной точки будет тоже π, но интегрирование совершается теперь по контуру С в отрицательном направлении, так как контур С нужно проходить по часовой стрелке, чтобы бесконечно удаленная точка оставалась все время с левой стороны. В окрестности бесконечно удаленной точки разложение Лорана: f()c 0 с c... c c... (). Так как ряд () равномерно сходится на С, то можно интегрировать вдоль С - : с π. Откуда с (), res, то есть вычет π функции относительно бесконечно удаленной точки равен коэффициенту при первой отрицательной степени разложения Лорана, взятому с противоположным знаком. В случае устранимой особой точки, лежащей на конечном расстоянии, вычет всегда равен нулю. Этого может не быть в случае бесконечно удаленной точки, так как в ряду Лорана функции f() отсутствуют положительные степени, а - может присутствовать. особенность в точке и c -, значит, res ( ) 0 0 ( ) Пример. f() ( ). имеет устранимую Теорема. Если f() функция, голоморфная во всякой точке расширенной плоскости комплексного переменного, кроме конечного числа особых точек, то сумма вычетов относительно всех ее особенностей (включая и бесконечно удаленную точку) всегда равна нулю. Доказательство. Опишем из нулевой точки, как центра, окружность С столь большого радиуса, чтобы все особые точки функции (кроме бесконечно удаленной) лежали внутри этой окружности. По основной теореме о вычетах значение интеграла π равно сумме вычетов относительно всех особых точек функции f(), лежащих внутри С. С другой стороны, вычет той же функции относительно бесконечно удаленной точки. π π Поэтому, π Итак, res... res res 0 0 (3), что и требовалось доказать. Применение этой теоремы сводится к следующему: если затруднительно вычислить один из интегралов, входящих в (3), то можно попытаться вычислить все остальные интегралы и искомый интеграл получить из (3). Само вычисление этих интегралов сводится к разложению функции f() в ряд Лорана в окрестности соответствующих особых точек. В сущности и эти разложения не надо знать 6

7 полностью. Достаточно только знать члены вида c - /(-) этих разложений, чтобы прийти к цели. Нули функции. Замечание. Нулем кратности называется точка а, если f()0, f / ()0,, f (-) ()0, f () () 0. Если, то а простой нуль. Если нуль -го порядка, то f()(-) ϕ(), где ϕ() аналитична в точке а и ϕ() 0. Пример. Найти нули функции f()cos и определить их порядок. Решение. cos0; cos-; ππ; f / ()-s; f / (ππ)-s(ππ)0; f // ()-cos; f // (ππ)-cos(ππ) 0. Точки ππ - нули кратности. Пример. f() ; 0; ( )0;, 0; 3, ±; f / () 3 8; f / (0)0; f // () 8; f // (0) 0;, 0 нули -го порядка; f / () ; ± простые нули. Итак, если а нуль порядка, то f()(-) ϕ(), где ϕ() голоморфна в а и ϕ() 0. ψ ( ) Обратная величина, причем ψ() - голоморфна в ( ) ( ) точке а и ψ() 0. Имеем ψ()ψ()ψ / ()(-) / ( ) ( ) Тогда,... ( ) ψ ψ, то есть точка а является полюсом порядка для f ( ) ( ) функции. Итак, если точка а есть нуль порядка для функции f(), то та же точка для функции будет полюсом порядка (и обратно: если а полюс порядка для функции f(), то та же точка будет нулем порядка функции ). Рациональная функция, изображаемая несократимой дробью p0 q 0 p q... p,... q имеет полюсами нули знаменателя, причем порядок каждого полюса равен порядку соответствующего нуля. 9.Приложение теории вычетов к вычислению интегралов. Пусть f() функция, голоморфная всюду в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек,,,, лежащих сверху от действительной оси. Кроме того, предположим, что бесконечно удаленная точка является нулем функции f() порядка по крайней мере второго. Тогда имеет место формула f ( x) dx π res относительно,,,. В самом деле, разложение Лорана функции f() в окрестности бесконечно удаленной с 3 точки будет: f()... 3 (). Опишем из нулевой точки, как центра, полуокружность К, лежащую в верхней полуплоскости, радиуса R столь большого, чтобы все особые точки,,, находились внутри полукруга, граница которого состоит из полуокружности К и отрезка (-R, R) действительной оси. 7

8 К а а а В силу основной теоремы о вычетах f x) dx R ( π res (**) R Покажем теперь, что стремится к нулю, когда радиус R стремится к бесконечности. В самом деле, во всех точках полуокружности К имеем f() c [...] 3 R R R R R (). Выражение в скобках неравенства () может быть сделано сколь угодно малым, например, меньше единицы, начиная с достаточно большого R. Следовательно, из () получаем f() с < R (3) всюду на полуокружности К, начиная с достаточно большого R. Пользуясь неравенством (3), оценим величину модуля интеграла : c c f -R O R ) < π R π, то есть имеем l 0 R. R R ( Заметив это, из формулы (**) переходим к пределу при R f ( x) dx π res, что и требовалось доказать. dx Пример. x Функция f() - аналитична в верхней полуплоскости, за исключением точек e π/ ( ), e 3π/ ( ), в которых она имеет простые полюсы. Кроме того, f() (>). Найдем вычеты f() в точках, ; res / (j, ), где ψ() о ψ ( ) Итак, ψ / () 3 ; ψ / ( )e 3π/ -e -π/ 0. Отсюда, res / f() e π π / ; res e π / π / dx π π / π / e e π По формуле (): ( e e ) π π s π x j 8

9 Теорема. Пусть функция f() удовлетворяет условиям, отмеченным в предыдущем разделе и l 0 равномерно относительно rg ϕ. Тогда, x f ( x) e dx π j j res e Замечание. Если под знаком интеграла есть сомножитель s x или cos x, то часто удобно рассматривать интеграл от функции, где s x или cos x заменяют на e. Это объясняется тем, что s и cos - не стремятся к определенному пределу, а e e -y 0 при y (y>0). Поэтому, поведение функции f() s cos функции f(). Затем, получив значение интеграла будет, вообще говоря, другое, чем у x f ( x) e dx, выделяя действительную и мнимую часть, найдем, cosα xdx Пример. (α, а>0) x 0 f ( x) cos xdx и f ( x) s xdx Рассмотрим функцию e α /( ). Эта функция аналитична в верхней полуплоскости, кроме точки. Функция f()/( ) 0 при равномерно относительно rg ϕ. dx α e e e π α Поэтому, по теореме dx π res π e x Выделяя действительную и мнимую часть, получим 0 cosα x π dx e x α. cosα x x dx π e α ; 9

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

c в разложении функции z

c в разложении функции z Практическое занятие 8 Вычеты 8 Определение вычета 8 Вычисление вычетов 8 Логарифмический вычет 8 Определение вычета Пусть изолированная особая точка функции в изолированной особой Вычетом аналитической

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Интеграл от функции комплексного переменного. Предел интегральной суммы Римана σ = кривой АВ и обозначают f ( z)

Интеграл от функции комплексного переменного. Предел интегральной суммы Римана σ = кривой АВ и обозначают f ( z) Интеграл от функции комплексного переменного интеграла от ФКП Предел интегральной суммы Римана σ = = f ( t Δ для функции f ( по кривой АВ, если он не зависит ни от способа разбиения кривой АВ на элементарные

Подробнее

k называется рядом Лорана. Здесь k, z

k называется рядом Лорана. Здесь k, z Практическое занятие 6 Ряды Тейлора и Лорана 6 Ряд Тейлора 6 Ряд Лорана 6 Ряд Тейлора Т е о р е м а ( Т е й л о р а ) Функция однозначная и аналитическая в круге R единственным образом разлагается в этом

Подробнее

Элементы теории вычетов

Элементы теории вычетов Лекция 9 Элементы теории вычетов 9.1 Определение вычета В этом параграфе введём важное для приложений понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке. Немного о самом термине. Считается,

Подробнее

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1 М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Подробнее

Операционное исчисление.

Операционное исчисление. Глава 1 Операционное исчисление. 1. Определение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F () комплексной переменной = x + iy

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость. Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

Старков В.Н. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Разложение аналитических функций в степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида ( ( (... (..., где комплексные постоянные (коэффициенты ряда

Подробнее

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0 Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Лекции по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Лекции по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Н.А. Бушуева, В.М. Трутнев Лекции по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Красноярск 2007 Оглавление ЛЕКЦИЯ. Ряд Лорана 4.. Ряды Лорана и их области сходимости........ 4.2. Разложение голоморфной

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Лекция 5 (апрельские тезисы 2) Применение формулы Коши

Лекция 5 (апрельские тезисы 2) Применение формулы Коши Лекция 5 (апрельские тезисы 2) Применение формулы Коши Начнем с примера Пусть требуется вычислить γ: z =2 z 2 +. Подинтегральная функция не голоморфна всюду внутри контура: имеются две особые точки i и

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет НИ Ильинкова, ОАКононова, НКФилиппова Приложение теории вычетов к вычислению интегралов Минск УДК 575/55(75) Решение

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Опорный конспект лекций по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Опорный конспект лекций по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Н.А. Бушуева, В.М. Трутнев Опорный конспект лекций по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Красноярск 2007 Оглавление ЛЕКЦИЯ 1. Ряд Лорана 5 1.1. Ряды Лорана и их области сходимости........ 5

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

16-е занятие. Изолированные особые точки однозначного характера (ИОТОХ) Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр

16-е занятие. Изолированные особые точки однозначного характера (ИОТОХ) Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр стр. из 9 6-е занятие. Изолированные особые точки однозначного характера (ИОТОХ) Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A Разложить функцию ln z + 2 z 3 в ряд Лорана в окрестности точки. Корни и кратности

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Комплексные числа, функции и действия над ними. x=re z действительная часть z действ. число, y=im z мнимая часть z действительное число

Комплексные числа, функции и действия над ними. x=re z действительная часть z действ. число, y=im z мнимая часть z действительное число Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика

Подробнее

Вычисление интегралов со степенным и логарифмическим весом

Вычисление интегралов со степенным и логарифмическим весом Лекция 11 Вычисление интегралов со степенным и логарифмическим весом 11.1 Интегралы со степенным весом Рассмотрим интеграл вида x α 1 f(x) dx, (11.1) где α нецелое действительное число, а f(x) рациональная

Подробнее

Задачи по теории функций комплексного переменного Часть 2

Задачи по теории функций комплексного переменного Часть 2 Задачи по теории функций комплексного переменного Часть На дневном на вечернем и на заочном отделениях факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИННОВАЦИОННЫЙ ЕВРАЗИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е.А. Ковина ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА КОШИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИННОВАЦИОННЫЙ ЕВРАЗИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е.А. Ковина ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА КОШИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИННОВАЦИОННЫЙ ЕВРАЗИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи ЕА Ковина ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА КОШИ Магистерская диссертация на соискание академической

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Методические указания по выполнению самостоятельной работы

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Методические указания по выполнению самостоятельной работы Багачук А.В. Бушуева Н.А. Полякова И.А. Трутнев В.М. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические указания по выполнению самостоятельной работы Красноярск 2007 Содержание. Общие сведения 3 2. Задания

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А П СТАРОВОЙТОВ Г Н КАЗИМИРОВ Ж Н КУЛЬБАКОВА ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Лекция 6. Интегральная формула Коши

Лекция 6. Интегральная формула Коши С А Лавренченко wwwlawrcoru Лекция 6 Интегральная формула Коши Теоремы Коши Различные варианты теоремы Коши дают достаточные условия при которых для функций аналитичных в некоторой области D интеграл d

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Лекция Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание

Лекция Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание Лекция 3-18. Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание Определение 1 Радиусом сходимости степенного ряда an z n (1) называется такое R, что вне круга радиуса R с центром в нуле ряд расходится,

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Лекция 3. Представление функций степенными рядами

Лекция 3. Представление функций степенными рядами С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 1»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 1» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» КУРС ЛЕКЦИЙ И ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебное электронное

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Лекция Замечание об аналитических функциях. 3.2 Степенная функция

Лекция Замечание об аналитических функциях. 3.2 Степенная функция Лекция 3 3. Замечание об аналитических функциях 3.2 Степенная функция Степенная функция w = z n, (3.) где n > натуральное число, является аналитической во всей комплексной плоскости C. Ее производная w

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: факультеты: для всех факультетов кафедра: курс:

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: факультеты: для всех факультетов кафедра: курс: УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ Теория функций по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: 010600 факультеты: для всех факультетов

Подробнее

ВАРИАНТ 13 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ): 6

ВАРИАНТ 13 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ): 6 ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch( L( В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Подробнее

4. Функциональные ряды, область сходимости

4. Функциональные ряды, область сходимости 4. Функциональные ряды, область сходимости Областью сходимости функционального ряда () называется множество значений аргумента, для которых этот ряд сходится. Функция (2) называется частичной суммой ряда;

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) Формируемые компетенции

4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) Формируемые компетенции I Аннотация Цель и задачи дисциплины (модуля) Цель освоения дисциплины: дать студентам систематические знания по методам комплексного анализа и научить их применять эти знания к решению задач математического

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Лектор Никита Александрович Евсеев Программа курса лекций (3-й семестр, лекции 36 ч., семинары 36 ч., экз.). Аналитические функции комплексного переменного Комплексные

Подробнее

Сборник задач по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Сборник задач по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Н.А. Бушуева, В.М. Трутнев, И.А. Полякова Сборник задач по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Красноярск 007 Ряд Лорана Ряд вида n= c n (z a) n, () где a фиксированная точка комплексной плоскости,

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, НО Фастовец ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Лекция 7 Аналитическое продолжение. Примеры

Лекция 7 Аналитическое продолжение. Примеры Лекция 7 Аналитическое продолжение. Примеры Рассмотрим область V комплексной плоскости C и пусть f (z), f 2 (z) две голоморфные в V функции. Если их значения совпадают в непустой подобласти U V (т.е. f

Подробнее

9 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости. 10 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости z 3 4z = 0

9 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости. 10 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости z 3 4z = 0 Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Задача. 1 Вычислить интеграл + xcosx dx x 2 2x+1 2 Вычислить интеграл + xsinx dx x 2 +4x+2 3 Вычислить интеграл + cosx x 2 +1 x 2 +4 dx 4 Вычислить интеграл +

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10А Банаховы пространства 3. Банаховы алгебры. Элементы спектральной теории

ЛЕКЦИЯ 10А Банаховы пространства 3. Банаховы алгебры. Элементы спектральной теории ЛЕКЦИЯ А Банаховы пространства 3. Банаховы алгебры. Элементы спектральной теории. Некоторые понятия и факты теории аналитических банаховозначных функций Пусть B банахово пространство. В частности, в качестве

Подробнее

ОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ИСКОМЫЕ ФУНКЦИИ

ОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ИСКОМЫЕ ФУНКЦИИ ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2006, том 49, 10-12 МАТЕМАТИКА УДК 517.554 ОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ИСКОМЫЕ ФУНКЦИИ

Подробнее

17-е занятие. Вычисление вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр

17-е занятие. Вычисление вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр стр. из 0 7-е занятие. Вычисление вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр Классификация ИОТОХ повторение) Найти ИОТОХ заданной функции и определить их тип: В 4.33 z 3 2 cos z). В 4.37 ez/ z).

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Ряды аналитических функций

Ряды аналитических функций Лекция 6 Ряды аналитических функций 6.1 Функциональные последовательности Пусть D C и f n : D C. Последовательность функций {f n } сходится поточечно (converges pointwise) к функции f : D C если для каждого

Подробнее

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ.

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. Журнал технической физики, том XVIII, вып 7, 1948 А Н Тихонов, А А Самарский О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ Несмотря на то, что утверждение о возможности разложения произвольного

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее