2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n."

Транскрипт

1 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы пространства R n будем называть векторами, или точками, числа x k, k = 1,..., n, компонентами вектора x.

2 2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

3 3 Вектор, у которого все компоненты равны нулю, будем называть нулевым и обозначать символом 0: 0 = (0, 0,..., 0).

4 4 Вектор i k = (0, }. {{.., 0 }, 1, 0, }. {{.., 0 } ), k 1 n k у которого компонента с номером k равна единице, а все остальные компоненты нули, будем называть единичным. В пространстве R n есть ровно n единичных векторов: i 1, i 2,..., i n.

5 5 На пространстве R n вводятся линейные операции: умножение векторов на вещественные числа и сложение векторов. Именно, по определению для любого вещественного числа α и любого x R n положим αx = (αx 1, αx 2,..., αx n ). Для любых x, y R n по определению x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ).

6 6 Отметим следующие свойства введенных операций, справедливость которых очевидным образом вытекает из определений. Эти свойства называются аксиомами линейного пространства.

7 7 Для любых x, y, z R n и для любых вещественных чисел α, β: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения. В силу коммутативности сложения чисел имеем (x + y) k = x k + y k = y k + x k = (y + x) k, k = 1, 2,..., n.

8 8 2) (x + y) + z = x + (y + z) ассоциативность операции сложения. В силу ассоциативности сложения чисел имеем ((x + y) + z) k = (x + y) k + z k = (x k + y k ) + z k = = x k + (y k + z k ) = x k + (y + z) k = (x + (y + z)) k, k = 1, 2,..., n.

9 9 3) x + 0 = x нейтральность нулевого вектора. В силу нейтральности числа нуль имеем (x + 0) k = x k + 0 k = x k + 0 = x k, k = 1, 2,..., n.

10 10 4) x + ( x) = 0, где по определению x = ( 1)x, существование для каждого вектора противоположного. Действительно, (x + ( x)) k = x k + (( 1)x) k = x k x k = 0, k = 1, 2,..., n.

11 11 5) α(x+y) = αx+αy дистрибутивность по сложению векторов. Используем дистрибутивность сложения чисел: (α(x + y)) k = α(x + y) k = α(x k + y k ) = = αx k + αy k = (αx) k + (αy) k, k = 1, 2,..., n.

12 12 6) (α+β)x = αx+βx дистрибутивность по сложению скаляров. Опять используем дистрибутивность сложения чисел: ((α + β)x) k = (α + β)x k = = αx k + βx k = (αx) k + (βx) k, k = 1, 2,..., n.

13 13 7) (αβ)x = α(βx) ассоциативность по умножению скаляров. В силу ассоциативности умножения чисел имеем ((αβ)x) k = (αβ)x k = α(βx k ) = α(βx) k, k = 1, 2,..., n.

14 14 8) 1x = x нейтральность единичного скаляра. Действительно, (1x) k = 1x k = x k, k = 1, 2,..., n.

15 15 Нетрудно заметить, что аксиомы 1) 8) в точности соответствуют свойствам линейных операций над векторами трехмерного евклидова пространства.

16 16 Важно иметь в виду, что R 1 одновременно является и линейным пространством и множеством всех скаляров. В дальнейшем будем обозначать R 1 через R.

17 17 Пространство C n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) комплексных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы пространства C n будем называть векторами, или точками, числа x k, k = 1,..., n, компонентами вектора x.

18 18 Два вектора x, y C n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

19 19 Вектор, у которого все компоненты равны нулю, будем называть нулевым и обозначать символом 0: 0 = (0, 0,..., 0).

20 20 Вектор i k, у которого компонента с номером k равна единице, а все остальные компоненты нули, будем называть единичным. В пространстве C n есть ровно n единичных векторов: i 1, i 2,..., i n.

21 21 На пространстве C n вводятся линейные операции: умножение векторов на комплексные числа (скаляры) и сложение векторов. Именно, по определению для любого комплексного числа α и любого x C n положим αx = (αx 1, αx 2,..., αx n ). Для любых x, y C n по определению x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ).

22 22 Пример. Множество всех матриц размера m n с введенными на нем операциями умножения матрицы на число и сложения двух матриц естественно интерпретировать как пространство C mn векторов длины mn. В этом примере векторы записываются в виде прямоугольных таблиц, но с точки зрения операций умножения вектора на число и сложения векторов это не имеет значения.

23 23 Для линейных операций, введенных на пространстве C n, также справедливы свойства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x + y) + z = x + (y + z) ассоциативность операции сложения; 3) x + 0 = x нейтральность нулевого вектора; 4) x + ( x) = 0, где по определению x = ( 1)x, существование для каждого вектора противоположного; 5) α(x+y) = αx+αy дистрибутивность по сложению векторов; 6) (α+β)x = αx+βx дистрибутивность по сложению скаляров; 7) (αβ)x = α(βx) ассоциативность по умножению скаляров; 8) 1x = x нейтральность единичного скаляра.

24 24 Важно иметь в виду, что C 1 одновременно является и линейным пространством и множеством всех скаляров. В дальнейшем будем обозначать C 1 через C.

25 2. Общие линейные и пространства 25 Говорят, что множество X является линейным пространством над полем вещественных чисел, или просто вещественным линейным пространством, если для любых элементов x, y X определена операция сложения, т. е. определен элемент z = x + y X, называемый суммой элементов x, y; для любого элемента x X и любого вещественного числа α определен элемент αx X, называемый произведением α и x.

26 26 Предполагается, что для этих двух операций выполнены аксиомы линейного пространства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x + y) + z = x + (y + z) ассоциативность операции сложения;

27 27 3) существует единственный элемент 0 X такой, что x+0 = x для любого элемента x X; элемент 0 называют нулевым элементом пространства X;

28 28 4) для любого элемента x X существует единственный элемент x такой, что x+x = 0; элемент x называют противоположным элементу x;

29 29 5) α(x+y) = αx+αy дистрибутивность по сложению векторов; 6) (α+β)x = αx+βx дистрибутивность по сложению скаляров; 7) (αβ)x = α(βx) ассоциативность по умножению скаляров; 8) 1x = x нейтральность единичного скаляра.

30 30 Если при определении пространства X допускается умножение на комплексные числа, то X называется линейным пространством над полем комплексных чисел, или комплексным линейным пространством. При этом предполагается, что выполняются аксиомы 1) 8).

31 31 Элементы линейного пространства X будем называть векторами, а само пространство векторным. В дальнейшем на протяжении всей книги буквам X, Y, Z будем обозначать линейные пространства. Если не оговорено противное, пространства будут предполагаться комплексными.

32 32 Приведем примеры линейных пространств. Упражнение. Проверить, что вводимые ниже множества действительно являются линейными пространствами, т. е. для определенных на них операций сложения и умножения на число выполняются аксиомы 1) 8).

33 33 1) Множество всех векторов трехмерного евклидова пространства с введенными обычным образом операциями умножения вектора на число и сложения векторов.

34 34 2) Множество всех вещественных функций вещественного переменного, определенных на интервале (a, b) вещественной оси, является вещественным линейным пространством, если определить обычным образом понятие суммы двух функций и умножение функции на вещественное число.

35 35 3) Множество всех вещественных функций, определенных и непрерывных на замкнутом отрезке [a, b] вещественной оси, является вещественным линейным пространством. Это пространство обозначают через C[a, b]. При проверке того, что C[a, b] линейное пространство, надо иметь в виду, что сумма двух непрерывных функций есть непрерывная функция, при умножении функции на любое число непрерывность функции также сохраняется.

36 36 4) Множество всех функций из пространства C[a, b], равных нулю в некоторой фиксированной точке c из отрезка [a, b], вещественное линейное пространство.

37 37 5) Множество всех полиномов с комплексными коэффициентами, на котором обычным образом определены операции сложения двух полиномов и умножения полинома на число, является комплексным линейным пространством.

38 38 6) Множество Q n всех полиномов степени не выше n, где n 0 есть фиксированное целое число, является комплексным линейным пространством. Здесь надо иметь в виду, что сумма полиномов есть полином, степень которого не превосходит максимальной степени слагаемых.

39 39 Упражнения 1) Рассмотрим множество всех положительных функций, определенных на вещественной оси. Определим на этом множестве операцию сложения функций f и g как их произведение, а операцию умножения функции f на число α как возведение ее в степень α. Будет ли описанное нами множество линейным пространством?

40 40 2) Рассмотрим множество всех четных функций, определенных на отрезке [ 1, 1]. Определим на этом множестве операцию сложения двух функций как их произведение, а операцию умножения функции на число будем понимать обычным образом. Будет ли описанное нами множество линейным пространством?

41 3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ 41 Векторы a, b из линейного пространства X будем называть коллинеарными (пропорциональными, линейно зависимыми), если существуют такие числа α, β, не равные одновременно нулю, что αa + βb = 0. Понятно, что в этом случае либо a = γb, либо b = δa, где γ, δ некоторые числа.

42 42 Примеры. 1) Единичные векторы i k, i l пространства C n при k l неколлинеарны (докажите).

43 43 2) Векторы из пространства C 4 x 1 = (1 + i, 3, 2 i, 5), x 2 = (2, 3 3i, 1 3i, 5 5i) пропорциональны, так как т. е i = 3 3i 3 = 1 3i 2 i = 5 5i 5 = 1 i, x 2 = (1 i)x 1.

44 44 Будем говорить, что система векторов {a i } m i=1 = {a1, a 2,..., a m }, m 1, a 1, a 2,..., a m X, линейно зависима, если существуют числа x 1, x 2,..., x m C, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что x 1 a 1 + x 2 a x m a m = 0.

45 Пример. Система векторов a 1 = 5 2 1, a2 = 1 3 3, a3 = 9 7 5, a4 = из пространства R 3 линейно зависима, так как, положив x 1 = 4, x 2 = 1, x 3 = 3, x 4 = 2, получим x 1 a 1 +x 2 a 2 +x 3 a 3 +x 4 a 4 = = = 0. 45

46 46 Полезно отметить, что это не единственный набор коэффициентов x 1, x 2, x 3, x 4, при котором x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 = 0, так, например, 2a 1 + a 2 a 3 = = 0.

47 Следующая линейная комбинация также обращается в нуль: 3a 2 + a 3 2a 4 = = 0. 47

48 48 Определению линейной зависимости векторов удобно придать матричную формулировку. Символом A m = {a 1, a 2,..., a m } обозначим упорядоченный набор векторов из пространства X. Для x C m положим A m x = x 1 a 1 + x 2 a x m a m.

49 49 Можно сказать, что векторы a 1, a 2,..., a m, линейно зависимы, если существует 0 x C m такой, что A m x = 0.

50 50 Говорят, что вектор a X линейно выражается через векторы b 1, b 2,..., b p, p 1, (является линейной комбинацией этих векторов), если существует вектор x C p такой, что a = x 1 b 1 + x 2 b x p b p, в матричной записи: a = B p x.

51 51 Упражнения 1) Доказать, что система векторов линейно зависима, если она содержит линейно зависимую подсистему, в частности, если она содержит нулевой вектор.

52 52 2) Доказать, что для того, чтобы система векторов {a i } m i=1 была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы она содержала вектор a k, который линейно выражается через остальные.

53 53 Говорят, что система векторов A m = {a i } m i=1 линейно выражается через систему векторов B p = {b i } p i=1, если существует такая матрица X(p m), что A m = B p X(p m). В более подробной записи это означает, что p a k = x jk b j, k = 1,..., m. j=1

54 54 Свойство транзитивности: если система векторов {a i } m i=1 линейно выражается через систему векторов {b i } p i=1, а та, в свою очередь, через систему векторов {c i } q i=1, то система векторов {ai } m i=1 линейно выражается через систему векторов {c i } q i=1.

55 55 Действительно, по определению имеем A m = B p X(p, m), B p = C q Y (q, p), Подставляя в первое из этих равенств выражение для B p, получим A m = C q Z(q, m), где Z(q, m) = Y (q, p)x(p, m).

56 56 Системы векторов A m = {a i } m i=1, B p = {b i } p i=1 называются эквивалентными, если существуют матрицы X, Y такие, что A m = B p X(p, m), B p = A m Y (m, p), т. е. каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой системы.

57 57 Упражнение. Используя свойство транзитивности, показать, что если вектор x X линейно выражается через систему векторов {a i } m i=1, то он линейно выражается и через эквивалентную систему векторов {b i } p i=1.

58 4. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 58 Будем говорить, что система векторов A m = {a i } m i=1 линейно независима, если из равенства A m x = 0 вытекает, что x = 0.

59 59 Линейно независимые системы векторов существуют. Приведем простые примеры.

60 60 1) Любой вектор a 0 образует линейно независимую систему, состоящую из одного вектора: xa = 0 = C x = 0.

61 61 2) Единичные векторы линейно независимы. i 1, i 2,..., i m C n, m n,

62 62 Это утверждение сразу же вытекает из того, что для любого вектора x C m вектор x 1 i 1 + x 2 i x m i m C n имеет вид (x 1, x 2,..., x m, 0,..., 0) и, следовательно, равен нулю тогда и только тогда, когда x = 0.

63 63 3) Система векторов {1, z, z 2,..., z k }, где z комплексная переменная, k 0 целое число, линейно независима в пространстве полиномов.

64 64 Для доказательства этого утверждения достаточно вспомнить, что если полином равен нулю, x 0 + x 1 z + x 2 z x k z k = 0, то все его коэффициенты нули: x 0 = x 1 = x 2 = = x k = 0.

65 65 Теорема. Любая подсистема линейной независимой системы векторов {a i } m i=1 линейно независима.

66 Доказательство. Предположим противное. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что векторы a 1, a 2,..., a p, p < m, линейно зависимы. Тогда существуют числа x 1, x 2,..., x p, не все одновременно равные нулю, и такие, что x 1 a 1 + x 2 a x p a p = 0, следовательно, x 1 a 1 + x 2 a x p a p + 0a p a m = 0, т. е. вопреки сделанному предположению система {a i } m i=1 линейно зависима. 66

67 67 Теорема. Любая система a 1, a 2,..., a n, b C n из n + 1 вектора линейно зависима.

68 68 Доказательство. Пусть система векторов {a i } n i=1 линейно зависима. Тогда доказываемое утверждение верно. Если векторы {a i } n i=1 линейно независимы, то система уравнений Ax = b, где A матрица, столбцами которой являются компоненты векторов a k, k = 1, 2,..., n, крамеровская, и потому имеет решение x при любой правой части b, значит, x 1 a x n a n = b, т. е. система векторов a 1, a 2,..., a n, b линейно зависима.

69 69 Как очевидное следствие только что доказанного утверждения получаем, что любая система векторов {a i } m i=1 Cn, m > n, линейно зависима.

70 70 Теорема. Пусть система векторов A m = {a i } m i=1 пространства X линейно независима и линейно выражается через систему B p = {b i } p i=1. Тогда m p.

71 71 Предположим противное, т. е. пусть m > p. По определению существует матрица X размера p m такая, что A m = B p X. Как следствие для любого вектора y C m имеем A m y = B p Xy. Столбцы матрицы X векторы из пространства C p. Их количество m > p, следовательно, они линейно зависимы.

72 72 Поэтому существует вектор y C m, не равный нулю и такой, что Xy = 0, но тогда и A m y = B p Xy = 0, т. е. вопреки предположению векторы a 1, a 2,..., a m линейно зависимы.

73 73 Следствие. Любые две эквивалентные линейно независимые системы векторов имеют равные количества векторов.

74 74 Теорема. Пусть {a k } m k=1 линейно независимые векторы. Предположим, что система векторов {b k } m k=1 линейно выражается через систему векторов {a k } m k=1, т. е. существует квадратная матрица X порядка m такая, что B m = A m X. Для того, чтобы система векторов {b k } m k=1 была линейно независимой необходимо и достаточно, чтобы матрица X была невырожденной. Упражнение. Доказать теорему следуя рассуждениям при доказательстве предыдущей теоремы.

75 75 Заметим, что матрица X, такая, что B m = A m X, однозначно определяется по системам векторов A m, B m. В самом деле, если существует матрица X X такая, что B m = A m X, то A m ( X X) = 0, что вследствие линейной независимости A m невозможно, если X X.

76 5. РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. 76 Фиксируем в пространстве X некоторую систему векторов {a i } m i=1. Будем считать, что не все векторы этой системы нулевые. Тогда указанная система обязательно содержит линейно независимую подсистему векторов. В частности, она сама может быть линейно независимой.

77 77 Подсистема {a i k} r k=1 {ai } m i=1, называется максимальной, если она состоит из линейно независимых векторов и добавление к ней любого нового вектора из {a i } m i=1 приводит к линейно зависимой системе.

78 78 Пример. Рассмотрим систему векторов a 1 = 2, a 2 = 9, a 3 = , a 4 = пространства R 3. Векторы a 1, a 2, очевидно, линейно независимы и образуют максимальную линейно независимую подсистему, так как следующие определители равны нулю: = = 0, = = Следовательно, векторы a 1, a 2, a 3 и a 1, a 2, a 4 линейно зависимы.

79 79 Система {a i } m i=1 может содержать несколько максимальных линейно независимых подсистем, однако, справедлива Теорема. Любые две максимальные линейно независимые подсистемы системы {a i } m i=1 содержат одно и то же количество векторов.

80 80 Доказательство. Заметим, во-первых, что из определения максимальной линейно независимой подсистемы непосредственно вытекает, что любой вектор из {a i } m i=1 линейно выражается через векторы подсистемы {a i k} r k=1.

81 81 Вследствие очевидного равенства a i k = a i k + m i=1,i i k 0a i справедливо и обратное, т. е. любой вектор из подсистемы {a i k} r k=1 линейно выражается через векторы системы {a i } m i=1.

82 82 Итак, система {a i } m i=1 и любая ее максимальная линейно независимой подсистема эквивалентны. Но тогда, очевидно, эквивалентны и любые две максимальные линейно независимые подсистемы системы {a i } m i=1.

83 83 Итак, любые две максимальные линейно независимые подсистемы одной системы эквивалентны. Следовательно, они имеют равные количества векторов.

84 84 Полученный результат позволяет ввести следующее определение. Рангом системы векторов пространства X называется количество векторов ее максимальной линейно независимой подсистемы.

85 85 Пример. Ранг системы векторов 2 1 a 1 = 2, a 2 = 9, a 3 = , a 4 = пространства R 3 равен двум, т. к. векторы a 1, a 2 образуют максимальную линейно независимую подсистему.

86 86 Пример. Количество линейно независимых векторов пространства C n не превосходит n. Поэтому ранг любой системы векторов из C n не превосходит n.

87 87 Ясно, что система векторов {a i } m i=1 любого линейного пространства X линейно независима тогда и только тогда, когда ее ранг равен m.

88 6. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 88 БАЗИСЫ Базисы в пространстве C n. Всякая линейно независимая система {e k } n k=1 (состоящая из n векторов) называется базисом пространства C n. Единичные векторы {i k } n k=1 образуют так называемый естественный базис пространства C n.

89 89 Для того, чтобы система {e k } n k=1, ek C n, была базисом необходимо и достаточно, чтобы матрица E n, столбцами которой служат векторы e 1, e 2,..., e n, была невырожденной.

90 90 Если {e k } n k=1 базис пространства Cn, то любой вектор x C n, может быть представлен в виде линейной комбинации x = ξ 1 e 1 + ξ 2 e ξ n e n векторов базиса (Почему?).

91 91 Коэффициенты линейной комбинации x = ξ 1 e 1 + ξ 2 e ξ n e n однозначно определяются по вектору x, так как удовлетворяют крамеровской системе линейных алгебраических уравнений E n ξ = x. Здесь ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) есть столбец коэффициентов разложения вектора x по базису {e k } n k=1.

92 92 Конечномерные пространства. Линейное пространство X называется конечномерным, если существуют векторы E n = {e 1, e 2,..., e n }, образующие линейно независимую систему в пространстве X, и такие что любой вектор x X представим в виде линейной комбинации n x = ξ k e k = E n ξ, ξ C n. k=1

93 93 Говорят, что векторы {e k } n k=1 образуют базис пространства X: x = n k=1 ξ k e k = E n ξ, ξ C n. Число n называют размерностью пространства X. Линейное пространство X размерности n будем обозначать через X n. Коэффициенты разложения ξ 1,..., ξ n называют координатами вектора x в базисе {e k } n k=1.

94 94 Координаты любого вектора x X n однозначно определяются по базису {e k } n k=1.

95 95 Действительно, если наряду с разложением x = E n ξ существует разложение x = E n ξ, то, очевидно, E n (ξ ξ) = 0, и вследствие линейной независимости системы векторов E n имеем ξ = ξ.

96 96 Теорема. В n-мерном линейном пространстве X n любая система Ẽ n = {ẽ k } n k=1, состоящая из n линейно независимых векторов является базисом.

97 97 Доказательство. Достаточно убедиться, что любой вектор x X n представим в виде линейной комбинации x = Ẽn ξ.

98 98 По определению n-мерного пространства в нем существует базис E n. Следовательно, любой вектор из Ẽn представим в виде линейной комбинации векторов базиса E n, иными словами существует квадратная матрица T порядка n такая, что Ẽ n = E n T.

99 99 Поскольку E n базис, существует вектор ξ C n такой, что x = E n ξ. Поскольку матрица T невырождена, можно найти вектор ξ C n такой, что ξ = T ξ. В результате, получим соотношение x = E n T ξ = Ẽn ξ.

100 100 Если пространство не является конечномерным, его называют бесконечномерным.

101 101 Примеры. 1) Любые три некомпланарных вектора пространства V 3 образуют базис. Пространство V 3 трехмерно.

102 102 2) Пространства C n, R n, очевидно, конечномерны. Их размерность равна n.

103 103 3) Пространство Q n всех полиномов степени не выше n конечномерно. Его размерность равна n. Базисом в пространстве полиномов степени не выше n является, например, система векторов {1, z,..., z n }, где z комплексная переменная.

104 104 4) Пространство всех полиномов бесконечномерно. Действительно, в нем линейно независима система векторов {1, z,..., z k } при любом, сколь угодно большом, целом k.

105 105 5) Пространство C[a, b] бесконечномерно, так как содержит полиномы с вещественными коэффициентами любого порядка.

106 7. ЗАМЕНА БАЗИСА 106 Пусть E n = {e k } n k=1, Ẽ n = {ẽ k } n k=1 есть базисы пространства X n. Как уже говорилось, E n, Ẽn эквивалентные системы векторов, существуют квадратные матрицы T, T порядка n такие, что E n = Ẽn T, Ẽ n = E n T.

107 107 Матрицу T называют матрицей перехода от базиса E n к базису Ẽn: Ẽ n = E n T.

108 108 Матрицы T и T взаимно обратны.

109 109 Действительно, подставляя выражение для Ẽn из равенства Ẽ n = E n T. в E n = Ẽn T, получим E n = E n T T, и вследствие линейной независимости векторов базиса E n имеем T T = I.

110 110 Пусть известны коэффициенты ξ разложения некоторого вектора x C n по базису E n : x = E n ξ. Пусть задана матрица перехода T к базису базису Ẽn: Ẽ n = E n T. Получим формулу для вычисления коэффициентов ξ разложения того же вектора x по базису Ẽn.

111 111 С одной стороны, имеем x = E n ξ, но E n = ẼnT 1, следовательно, x = ẼnT 1 ξ, а это означает, что x = Ẽn ξ, где ξ = T 1 ξ.

112 Пример. Пусть векторы e 1, e 2, e 3 образуют базис в трехмерном пространстве X 3. Рассмотрим векторы ẽ 1 = 5e 1 e 2 2e 3, ẽ 2 = 2e 1 + 3e 2, ẽ 3 = 2e 1 + e 2 + e 3. Записывая эти равенства в матричном виде, получим Ẽ = ET, 112 подробнее, {ẽ 1, ẽ 2, ẽ 3 } = {e 1, e 2, e 3 }

113 113 Матрица T = невырождена. Действительно, det T = = Поэтому векторы Ẽ = ET, = 1. также образуют базис пространства X 3.

114 114 Рассмотрим вектор a = e 1 + 4e 2 e 3. Координатами этого вектора в базисе E являются числа ξ 1 = 1, ξ 2 = 4, ξ 3 = 1, т. е. a = Eξ, где ξ =

115 Найдем координаты того же вектора, но в базисе матрицу T 1. Получим: T 1 = 1 1 3, Ẽ. Вычислим и, следовательно, ξ = T 1 ξ = = 6, т. е. a = 13ẽ 1 + 6ẽ 2 27ẽ 3. Мы нашли, таким образом, представление вектора a в базисе Ẽ. 115

116 116 В любом пространстве X n существует сколько угодно базисов.

117 117 Действительно, если система векторов является базисом, то система векторов Ẽ n = E n T, где T произвольная невырожденная матрица, также базис. E n

118 118 Примеры базисов в пространстве Q n полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше n.

119 119 1) Естественным базисом в этом пространстве называют базис, составленный из степеней независимой переменной {1, z,..., z n }.

120 120 2) Базис Лагранжа.

121 121 Жозеф Луи Лагранж (Joseph Louis Lagrange; ) французский математик, астроном и механик итальянского происхождения.

122 122 Теорема. Пусть даны попарно различные числа z 0, z 1,..., z n и произвольные числа h 0, h 1,, h n. Тогда существует и при том только один полином P n (z) такой, что P n (z j ) = h j, j = 0, 1,..., n.

123 123 Доказательство. Условия P n (z j ) = a 0 + a 1 z j + a 2 zj a nzj n = h j, j = 0, 1,..., n. представляют собой систему линейных уравнений относительно коэффициентов полинома P n : 1 a 0 + z 0 a 1 + z0 2a z0 na n = h 0, 1 a 0 + z 1 a 1 + z1 2a z1 na n = h 1, a 0 + z n a 1 + zna zna n n = h n.

124 124 Определитель системы 1 a 0 + z 0 a 1 + z0 2a z0 na n = h 0, 1 a 0 + z 1 a 1 + z1 2a z1 na n = h 1, a 0 + z n a 1 + zna zna n n = h n равен определителю Вандермонда: z 0 z 1 z 2... z n z 0 2 z1 2 z z2 n z1 n zn 2... zn n z n 0.

125 Числа z 0, z 1,..., z n попарно различны. Следовательно, z 0 z 1 z 2... z n z 0 2 z1 2 z z2 n = (z i z j ) 0. 0 j<i n z1 n zn 2... zn n z n 0 Поэтому система уравнений a 0 + z 0 a 1 + z0 2a z0 na n = h 0, 1 a 0 + z 1 a 1 + z1 2a z1 na n = h 1, a 0 + z n a 1 + zna zna n n = h n имеет единственное решение при любой правой части.

126 126 Теперь ясно, что, если полином всюду (по крайней мере в n + 1 различных точках) равен нулю, то все его коэффициенты нули. Действительно, однородная крамеровская система 1 a 0 + z 0 a 1 + z0 2a z0 na n = 0, 1 a 0 + z 1 a 1 + z1 2a z1 na n = 0, a 0 + z n a 1 + zna zna n n = 0 имеет только тривиальное решение.

127 127 Построим в явном виде полином, удовлетворяющий условиям P n (z j ) = h j, j = 0, 1,..., n. Решение этой задачи дает интерполяционная формула Лагранжа P n (z) = P n (z 0 )Φ 0 (z) + P n (z 1 )Φ 1 (z) + + P n (z n )Φ n (z), где Φ j полином степени n, удовлетворяющий условиям Φ j (z k ) = 0, k = 0, 1,..., j 1, j + 1,..., n, Φ j (z j ) = 1, для j = 0, 1, 2..., n.

128 128 Полином своими корнями определяется с точностью до постоянного множителя: Используя Φ j (z) = A j (z z 0 )(z z 1 ) (z z j 1 )(z z j+1 ) (z z n ). найдем значение постоянной: т. е. A j = Φ j (z j ) = 1, 1 (z j z 0 )(z j z 1 ) (z j z j 1 )(z j z j+1 ) (z j z n ), Φ j (z) = (z z 0)(z z 1 ) (z z j 1 )(z z j+1 ) (z z n ) (z j z 0 )(z j z 1 ) (z j z j 1 )(z j z j+1 ) (z j z n ), где j = 0, 1, 2,..., n.

129 129 Как было сейчас показано, полиномы Φ j (z) = (z z 0)(z z 1 ) (z z j 1 )(z z j+1 ) (z z n ) (z j z 0 )(z j z 1 ) (z j z j 1 )(z j z j+1 ) (z j z n ), где j = 0, 1,..., n, а z 0, z 1,..., z n произвольные попарно различные комплексные числа, образуют базис в пространстве Q n : P n (z) = P n (z 0 )Φ 0 (z) + P n (z 1 )Φ 1 (z) + + P n (z n )Φ n (z), Этот базис принято называть базисом Лагранжа.

130 130 3) Базис Ньютона. Покажем, что полиномы ϕ 0 (z) 1, ϕ 1 (z) = (z z 0 ), ϕ 2 (z) = (z z 0 )(z z 1 ),..., ϕ n (z) = (z z 0 )(z z 1 ) (z z n 1 ), где z 0, z 1,..., z n 1 произвольные попарно различные числа, образуют базис.

131 Для этого достаточно установить, что система уравнений 131 c 0 ϕ 0 (z j ) + c 1 ϕ 1 (z j ) + + c n ϕ 0 (z j ) = h j, j = 0, 1,..., n, где z n z 1, z 2,..., z n 1, имеет единственное решение при любых числах h 0, h 1,... h n, но это очевидно, т. к. эта система треугольная: c 0 = h 0, c 0 + c 1 (z 1 z 0 ) = h 1, c 0 + c 1 (z 2 z 0 ) + c 2 (z 2 z 0 )(z 2 z 1 ) = h 2, c 0 + c 1 (z n z 0 ) + + c n (z n z 0 )(z n z 1 ) (z n z n 1 ) = h n, причем коэффициенты, стоящие на диагонали, отличны от нуля. Базис {ϕ j } n j=0 называют базисом Ньютона.

132 132 Исаак Ньютон (Isaac Newton, ) английский физик, математик, механик и астроном.

Предполагается, что для этих двух операций выполнены аксиомы линейного пространства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x+y)+z =

Предполагается, что для этих двух операций выполнены аксиомы линейного пространства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x+y)+z = 2. Общие линейные и евклидовы пространства Говорят, что множество X является линейным пространством над полем вещественных чисел, или просто вещественным линейным пространством, если для любых элементов

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n Е.М. Карчевский, И.Л. Александрова, К.Н. Стехина Семинары по линейной алгебре и аналитической геометрии Часть 2 Учебное пособие Казанский университет 2015 Оглавление Предисловие...................................

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Многочлены Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail: melnikov@k66.ru,

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Вопросы к экзамену по алгебре, гр лектор Е.С.Голод уч.г.

Вопросы к экзамену по алгебре, гр лектор Е.С.Голод уч.г. Вопросы к экзамену по алгебре, гр. 101 106. лектор Е.С.Голод 2014-2015 уч.г. 1. Системы линейных алгебраических уравнений и связанные с ними матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому и сильно ступенчатому

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны.

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны. Лекция 3 Тема: Уравнение прямой на проективной плоскости Принцип двойственности Теорема Дезарга Проективные отображения и проективные преобразования План лекции 1 Уравнение прямой на проективной плоскости

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Задачи по линейной алгебре 1

Задачи по линейной алгебре 1 Задачи по линейной алгебре А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 9 августа г. c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 4.4 Оглавление Линейные пространства

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО» А. М. Водолазов, О.А. Королева,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. 1. Арифметическое пространство

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. 1. Арифметическое пространство . ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ 1. Арифметическое пространство 1. Понятие арифметического пространства Из школьного курса математики известно, что если на плоскости или в пространстве задана система декартовых координат,

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Глава 9 Линейные пространства 91 Аксиоматическое определение линейного пространства Пусть V непустое множество, F поле V называется линейным (или векторным) пространством над полем F, если I задано правило

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее