Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m"

Транскрипт

1 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Тема Множества точек пространства R Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R Сформулируйте определение прямоугольной окрестности точки пространства 3 Сформулируйте определение окрестности точки пространства R 4 Сформулируйте определение внутренней точки множества D точек пространства R 5 Сформулируйте определение изолированной точки множества D точек пространства R 6 Сформулируйте определение граничной точки множества D точек пространства R 7 Сформулируйте определение границы множества 8 Сформулируйте определение открытого множества точек пространства R 9 Сформулируйте определение замкнутого множества точек пространства R Сформулируйте определение предельной точки множества D точек пространства R Сформулируйте определение связного множества точек пространства R Сформулируйте определение прямой в пространстве R 3 Сформулируйте определение непрерывной кривой в пространстве R Вопросы и задачи Замечание: Пустое множество считается одновременно открытым и замкнутым Докажите, что объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством Докажите, что любая внутренняя точка множества является его предельной точкой 3 Докажите, что граничная точка множества является либо предельной точкой, либо изолированной точкой этого множества 4 Докажите, что граница сферы в пространстве R совпадает с самой сферой 5 Приведите пример множества точек, которое является одновременно открытым и замкнутым 6 Приведите пример непустого множества точек на плоскости, которое не имеет внутренних точек 7 Может ли множество, содержащее хотя бы одну свою граничную точку, быть открытым? 8 Приведите пример непустого множества точек на плоскости, все точки которого граничные 9 Приведите пример непустого множества точек на плоскости, все точки которого предельные Приведите пример непустого множества точек на плоскости, которое совпадает со своей границей Приведите пример непустого множества точек на плоскости, для которого множество всех предельных точек не совпадает с множеством всех граничных точек Приведите пример непустого замкнутого множества точек на плоскости, которое не имеет ни одной предельной точки 3 Докажите, что любая точка множества точек на плоскости, которая не является внутренней, является его граничной точкой 4 Приведите пример множества, каждая граничная точка которого является его предельной точкой 5 Приведите пример множества, каждая граничная точка которого является его изолированной точкой 6 Найдите все граничные точки множества точек на плоскости, : 7 Найдите все предельные точки множества точек на плоскости, : 3 Задачи повышенной трудности R

2 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 3 Докажите, что дополнение к открытому множеству является замкнутым 3 Докажите, что дополнение к замкнутому множеству является открытым 33 Докажите, что сфера в пространстве R является замкнутым множеством 34 Докажите, что пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством Верно ли это для любого числа открытых множеств? 35 Докажите, что объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством Верно ли это для любого числа замкнутых множеств? 36 Докажите, что пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством 37 Найдите все граничные точки множества точек на плоскости cos, sin,n N n n 38 Найдите все предельные точки множества точек на плоскости cos, sin,n N n n 39 Найдите все множества точек на плоскости, которые не имеют граничных точек Тема Последовательности точек пространства R Определения Сформулируйте определение ограниченной последовательности точек пространства R Сформулируйте определение неограниченной последовательности точек пространства 3Сформулируйте определение предельной точки последовательности точек пространства 4 Сформулируйте определение предела последовательности точек пространства R 5 Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R 6 Сформулируйте определение фундаментальной последовательности точек пространства R Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности точек пространства Сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрасса 3 Теоремы с доказательством 3 Докажите, что ограниченная последовательность точек n( n, n) крайней мере одну предельную точку 3 Докажите, что если последовательность точек n( n, n) сходящейся, то числовые последовательности n и n R R R M на плоскости имеет по M на плоскости является являются сходящимися 33 Докажите, что если числовые последовательности n и n являются сходящимися, то последовательность точек Mn( n, n) на плоскости является сходящейся 34 Докажите теорему о критерии Коши сходимости последовательности точек пространстваr 4 Вопросы и задачи 4 Докажите, что сходящаяся последовательность точек пространства R является ограниченной 4 Докажите, что если числовые последовательности n и n являются сходящимися, то последовательность точек Mn( n, n) на плоскости является ограниченной 43 Докажите, что если числовые последовательности n и n являются фундаментальными, то последовательность точек Mn( n, n) на плоскости является фундаментальной 44 Докажите, что последовательность точек на плоскости, расположенных на окружности, имеет по крайней мере одну предельную точку 45 Найдите предел последовательности точекm n cos, sin на плоскости n n

3 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 5 Задачи повышенной трудности 5 Найдите предел последовательности точек, n 4 n, n n, n N n M на плоскости, если, n n n Тема 3 Функции, предел, непрерывность Определения Сформулируйте определение ограниченной сверху функции u(m), заданной на множестве D точек пространства R Сформулируйте определение неограниченной сверху функции u(m), заданной на множестве D точек пространства R 3 Сформулируйте определение ограниченной снизу функции u(m), заданной на множестве D точек пространства R 4 Сформулируйте определение неограниченной снизу функции u(m), заданной на множестве D точек пространства R 5 Сформулируйте определение точной верхней грани функции переменных на множестве D точек пространства R 6 Сформулируйте определение точной нижней грани функции переменных на множестве D точек пространства R 7 Сформулируйте определение по Коши предела функции um ( ) в точке M R 8 Сформулируйте определение по Гейне предела функции um ( ) в точке M R 9 Сформулируйте определение по Гейне предела функции um ( ) при M Сформулируйте определение по Коши предела функции um ( ) при M Сформулируйте определение непрерывной функции u (, ) по переменной в точке M(, ) Сформулируйте определение непрерывной функции u (, ) по совокупности переменных в точке M(, ) Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте теорему о критерии Коши существования предела функции um ( ) в точке M R Сформулируйте теорему о непрерывности суммы непрерывных функций нескольких переменных 3 Сформулируйте теорему о непрерывности произведения непрерывных функций нескольких переменных 4 Сформулируйте теорему о непрерывности частного двух непрерывных функций нескольких переменных 5 Сформулируйте теорему о прохождении непрерывной функции нескольких переменных через любое промежуточное значение 6 Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса для функции нескольких переменных 7 Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса для функции нескольких переменных 8 Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции нескольких переменных 9 Сформулируйте теорему Кантора для функции нескольких переменных 3 Теоремы с доказательством 8 3

4 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 3 Докажите теорему о непрерывности суммы двух непрерывных функций нескольких переменных 3 Докажите теорему о непрерывности произведения двух непрерывных функций нескольких переменных 33 Докажите теорему о непрерывности частного двух непрерывных функций нескольких переменных 34 Докажите теорему о непрерывности сложной функции нескольких переменных 35 Докажите теорему о прохождении непрерывной функции нескольких переменных через любое промежуточное значение 36 Докажите первую теорему Вейерштрасса для функции нескольких переменных 37 Докажите вторую теорему Вейерштрасса для функции нескольких переменных 38 Докажите теорему Кантора для функции нескольких переменных 4 Вопросы и задачи 4 Сформулируйте определение по Коши того, что функция um ( ) не имеет предела в точке M 4 Сформулируйте определение по Коши того, что функция um ( ) не имеет предела при M 43 Сформулируйте определение по Гейне того, что функция um ( ) не имеет предела в точке M 44 Сформулируйте определение по Гейне того, что функция um ( ) не имеет предела при M 45 Сформулируйте по Гейне отрицание того, что число b является пределом функции um ( ) точке M 46 Нарисуйте семейство линий уровня функции 46 u, 46 u, 463 u, 464 u, 465 u, 466 u, 467 u, 47 Приведите пример ограниченной сверху и неограниченной снизу функции, определённой на множестве (, ): 48 Приведите пример неограниченной сверху и ограниченной снизу функции, определённой на множестве (, ): 49 Приведите пример неограниченной снизу и неограниченной сверху функции, определённой на множестве (, ): 4 Приведите пример функции двух переменных, которая является равномерно непрерывной на заданном множестве 4 Приведите пример непрерывной функции, которая не является равномерно непрерывной на заданном множестве 4

5 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 4 Приведите пример функции двух переменных, которая непрерывна на заданном ограниченном, но незамкнутом множестве, и является неограниченной на этом множестве 43 Приведите пример функции двух переменных, которая непрерывна и ограничена на заданном ограниченном множестве, но не достигает на этом множестве своей точной верхней грани 44 Найдите предел функции u (, ) при M (, ) или докажите, что предел не существует: 3 3 u, ; u, ; u, ; u, sin ; u, sin 5 Задачи повышенной трудности 5 Исследуйте функцию на непрерывность по каждой из переменных и по совокупности переменных в заданной точке,, 5 u, в точке (,);, 3 3,, 5 u, в точке (,);, e,, 53 u, в точке (,);, sin,, 54 u, в точках (,) и (,);, sin,, 55 u, в точках (,), (,), (,);, sin,, 56 u, в точке (,), ln( ),, 57 u, в точке (,), ln( ),, 58 u, в точке (,), Тема 4 Дифференцируемые функции Определения 5

6 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Сформулируйте определение дифференцируемой функции f (,, ) в точке M (,,, ) Сформулируйте определение частной производной функции f (,, ) по переменной k в точке M (,,, ) 3 Сформулируйте определение первого дифференциала функции нескольких переменных 4 Сформулируйте определение касательной плоскости к графику функции z f, в точке,,, M f 5 Сформулируйте определение n раз дифференцируемой функции нескольких переменных в данной точке 6 Сформулируйте определение второго дифференциала функции u,, в данной точке 7 Сформулируйте определение n ого дифференциала функции u,, в данной точке 8 Сформулируйте определение градиента функции fz (,, ) в данной точке M (,, z ) 9 Сформулируйте определение производной по направлению l (cos, cos, cos ) для функции fz (,, ) в точке M (,, z ) Основные теоремы и формулы (без доказательства) Сформулируйте теорему о необходимых условиях дифференцируемости функции u (, ) в точке Сформулируйте теорему о достаточных условиях дифференцируемости функции f (,, ) в точке M(,,, ) 3 Сформулируйте теорему о достаточных условиях равенства u u в данной точке 4 Сформулируйте теорему о касательной плоскости к графику функции двух переменных 5 Сформулируйте теорему о дифференцируемости сложной функции 6 Запишите формулу для частных производных сложной функции 7 Запишите выражение производной функции fzпо (,, ) заданному направлению в данной точке через частные производные функции в этой точке 8 Запишите выражение производной функции fzпо (,, ) заданному направлению в данной точке через градиент функции в этой точке 9 Запишите формулу Лагранжа конечных приращений для функции нескольких переменных При каких условиях эта формула верна? Запишите выражение для второго дифференциала функции нескольких независимых переменных Запишите выражение для дифференциала n го порядка функции нескольких независимых переменных Запишите выражение для второго дифференциала сложной функции нескольких переменных 3 Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f (,, ) с центром разложения в точке M(,,, ) 4 Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функции f (,, ) с центром разложения в точке M(,,, ) 3 Теоремы с доказательством 3 Докажите теорему о необходимых условиях дифференцируемости функции f (,, ) в точкеm(,,, ) 6

7 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 3 Докажите теорему о достаточных условиях дифференцируемости функции f (,, ) в точке M(,,, ) 33 Докажите теорему о достаточных условиях равенства u u в данной точке 34 Докажите теорему о касательной плоскости к графику функции двух переменных 35 Докажите теорему о дифференцируемости сложной функции 36 Докажите, что производная дифференцируемой в точке M (,, z ) функции fz (,, ) по направлению l (cos, cos, cos ) равна скалярному произведению вектора l и градиента функции f в точке M 37 Докажите теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f (,, ) с центром разложения в точке M(,,, ) 4 Вопросы и задачи 4 Докажите, что если функция u, имеет частные производные первого порядка в любой точке круга единичного радиуса и u,, u,, то для любых двух точек M и N этого круга справедливо неравенство um ( ) un ( ) 3 4 Что такое инвариантность формы первого дифференциала? 43 Что такое неинвариантность формы дифференциала второго порядка? 44 Пусть функция f () дифференцируема в точке, функция g () дифференцируема в точке Докажите, что функция u (, ) f () g () дифференцируема в точке M (, ) 45 Пусть функция f () дифференцируема в точке, функция g () дифференцируема в точке Докажите, что функция u (, ) f() g () дифференцируема в точке M (, ) 46 Для функции z u(, ) найдите частные производные первого порядка, градиент, первый и второй дифференциалы в точке M,, запишите уравнение касательной плоскости к поверхности z u(, ) в точке Mu (,, (, )), найдите вектор нормали к этой плоскости Вычислите все указанные величины в точке M(, ) Вычислите производную по направлению заданного вектора в точке, 7 M 46 u, 3, M (3;), (3; ) ; u, 8, M (;), ( ; ) ; 463 u, (3 ), M (;), ( ; ) ; u, (6 3 ), M (;), ( ; ) ; u, 3 M (;), ( ; ) ; 466 u, arctg, 3, M, ; 3, 3;; 467 u,, M (; e e ), M (;), (; ) ; u,, образует угол с осью O 6 47 Для функции fz (,, ) найдите частные производные первого порядка, градиент, первый и второй дифференциалы Вычислите все указанные величины в точке M(,, z ) Найдите производную по направлению заданного вектора в точке M,, z 3 47 u,, z z, M (;;),,, ; 47 u,, z ln( z),,, z, M,,, (;;) 473 u,, z z(4 z ), M (;;),,, ; ;

8 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики u,, z z ( z ), M (;;),,, u,, z z, M (;;),,, 3 3 z u u 48 Для функции u,, z e найдите, z 49 Найдите дифференциалы первого и второго порядка сложной функции u, если f дважды дифференцируемая функция, и независимые переменные: 49 u f(, ),, ; 49 u f(,, ),,, 4 Предполагая, что функции и дифференцируемы достаточное число раз, проверить следующее равенство: z z z 4, если z ( ); z z 4 z, если z ; z z 43 a, если z ( a) ( a) 4 Запишите формулу Тейлора порядка n с центром разложения в точке M и с остаточным членом в форме Пеано для функций: 4 u, arctg, M,3, n ; 4 u, M e, e, n ; 43 u e sin, M,, n 3 ; 44 u ln( ), M,, n 3 ; 3 45 u,, z z, M,, n 3 5 Задачи повышенной трудности 5 Пусть u f(, ), du в точке M, существует и является положительно определённой квадратичной формой Докажите, что при этом условии в некоторой окрестности точки N,, f, касательная плоскость к графику функции u f(, ) в точке N имеет единственную общую точку с графиком 5 Имеет ли функция u, частные производные первого порядка в точке (,)? Если имеет, найдите их и исследуйте эти частные производные на непрерывность в точке(,) 3 3 u, ; u, ; u, ; u, ;, u ; u, ; u, ; u, 53 Является ли функция u, дифференцируемой в точке(,)? u, 3 3 ; u, ; u, ; u, ; u, ; 8

9 , 3 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики u ;, 3 u ;, ln u, если, u, ; u, sin, если, u, ; u, sin, если, u, 54 Пусть функция u, дважды дифференцируема в точке M, и в некоторой окрестности точки N (,,u(, )) касательная плоскость к графику функции в этой точке имеет единственную общую точку с графиком Докажите, что второй дифференциал в указанной точке является либо положительно определённой, либо квазиположительно определенной квадратичной формой 55 Известно, что касательная плоскость к графику в точке N (,,u(, )) дважды дифференцируемой функции z u, имеет в любой окрестности точки N не менее двух общих точек с графиком Может ли при этом условии второй дифференциал du в точке M (, ) являться знакоопределенной квадратичной формой? 56 Докажите, что отличный от нуля градиент дифференцируемой функции z u, в точке M, направлен перпендикулярно касательной к линии уровня функции u, в точке M 57 Пусть функция u(,) дифференцируема два раза в точке, M и R3(, ) u(, ) P(, ) остаточный член формулы Тейлора, гдеp, многочлен Тейлора второго порядка Докажите, что функция R3, и все её частные производные первого и второго порядка обращаются в нуль в точке M 58 Пусть функция, u M, du, d u Докажите, что, u такова, что в точке M (, ) M M u o при, где Тема 5 Локальный экстремум Определения Сформулируйте определение локального экстремума функции нескольких переменных Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте необходимые условия локального экстремума в точке M, функции u,, дифференцируемой в этой точке Сформулируйте достаточные условия локального экстремума в точке M, дважды дифференцируемой в этой точке функции u, 3 Теоремы с доказательством 3 Докажите теорему о необходимых условиях локального экстремума функции нескольких переменных 3 Докажите теорему о достаточных условиях локального экстремума функции нескольких переменных 4 Вопросы и задачи 4 Пусть функции u, и v, имеют локальный минимум в точке M, Докажите, что функция u, v(, ) также имеет локальный минимум в указанной точке 9

10 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 4 Приведите пример функций u, и v,, которые имеют локальный минимум в точке M,, а функция u, v(, ) имеет локальный максимум в указанной точке 43 Приведите пример функций u, и v,, которые имеют локальный минимум в точке M,, а функция u, v(, ) не имеет локального экстремума в указанной точке 44 Пусть функция u (, ) f () g () имеет локальный экстремум в точке M (, ), функция f ( ) дифференцируема в точке, f ( ), функция g ( ) дифференцируема в точке, ' ' g ( ) Докажите, что f ( ), g( ) 45 Пусть функция f ( ) имеет локальный минимум в точке, f ( ), функция g ( ) имеет локальный минимум в точке, g ( ) Докажите, что функция u (, ) f () g () имеет локальный минимум в точке M (, ) 46 Найдите все точки локального экстремума функций: u, ; u, 3; u, ; u, 5 e ; u,, z z ; u,, z z z; u,, z z(4 z ); u,, z z z z ; z u,, z 4 z 47 Исследуйте на экстремум функцию u cos zcos в точке M ;; 48 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области: u,, 5 Задачи повышенной трудности 5 Докажите, что если dum - знакопеременная квадратичная форма, то функция u не имеет локального экстремума в точке M 5 Докажите, что если в точке M, функция u (, ) трижды дифференцируема, du M, du 3 M M, du, то функция u не имеет локального экстремума в точке M ' 53 Пусть функция f ( ) дважды дифференцируема в точке, f ( ), функция g ( ) ' '' '' дважды дифференцируема в точке, g( ), f ( ) g ( ) f( ) g( ) Докажите, что функция u (, ) f () g () имеет локальный экстремум в точке M (, ) 54 Пусть функция f ( ) имеет локальный минимум в точке, f ( ), функция g ( ) имеет локальный максимум в точке, g ( ) Докажите, что функция u (, ) f () g () не имеет локального экстремума в точке M (, ) 55 Пусть функция u, имеет локальный минимум в точке M,, а функции t, s и t, s имеют отличный от нуля первый дифференциал в точке Ks, t, причем t, s и t, s Докажите, что сложная функция u(, t s), (, t s ) имеет локальный минимум в точке K 56 Пусть непрерывные функции t, s и t, s имеют локальный максимум в точке Ks, t, а дифференцируемая в точке M, функция u, такова, что u ( M ) и

11 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики u ( M ), причем t, s и t, s Докажите, что сложная функция u(, t s), (, t s ) имеет локальный максимум в точке K Тема 6 Неявные функции Определения Сформулируйте определение зависимости функций,, n Сформулируйте определение независимости функций,, n f,, fk,, n f,, fk,, n Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте теорему о существовании и непрерывности функции f, заданной неявно уравнением F, Сформулируйте теорему о дифференцируемости функции f, заданной неявно уравнением F, 3 Сформулируйте теорему о существовании и непрерывности функции z f,, заданной неявно уравнением F,, z 4 Сформулируйте теорему о дифференцируемости функции z f,, заданной неявно уравнением F,, z 5 Сформулируйте теорему о существовании и дифференцируемости функций f( ), F,, z, z g(), заданных неявно системой уравнений G,, z 6 Сформулируйте теорему о достаточных условиях независимости функций 7 Сформулируйте теорему о зависимости и независимости функций 3 Теоремы с доказательством 3 Докажите теорему о существовании и непрерывности функции f, заданной неявно уравнением F, 3 Докажите теорему о дифференцируемости функции f, заданной неявно уравнением F, 33 Докажите теорему о существовании и непрерывности функции z f,, заданной неявно уравнением F,, z 34 Докажите теорему о существовании и дифференцируемости функций f(), z g(), F,, z, заданных неявно системой уравнений G,, z 35 Докажите теорему о достаточных условиях независимости функций 4 Вопросы и задачи 4 Докажите, что уравнение 3 окрестности точки (;) однозначно определяет функцию ( ) 4 Докажите, что уравнение ln в окрестности точки (; 5) однозначно определяет функцию ( )

12 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 43 Пусть функции u, z v заданы системой уравнений fz,,, gz,, Вычислите первый дифференциал функции u ( ) 44 Пусть функции fuv,, guv, заданы неявно системой уравнений Найдите v 45 Пусть функции f, z g заданы неявно системой уравнений Найдите dz d 46 Докажите, что дифференцируемая функция, F, u, G, v F,, z, G,, z z, определяемая уравнением F z, ( z), где F дифференцируемая функция, является решением уравнения z z ( z ) z 47 Проверьте, что дифференцируемая функция z (,), определяемая уравнением z F,, где F дифференцируемая функция, является решением уравнения z z z 48 Найдите первую и вторую производные, найдите все точки возможного экстремума, проверьте выполнение достаточных условий экстремума для дифференцируемой неявной функции f(), определяемой уравнением F, F, 3 ; F, 8,, ; 483 F, a sin, 49 Найдите частные производные первого порядка и первый дифференциал дифференцируемой функции z z(, ), заданной неявно уравнением 49 z z ; 49 zcos cosz cos 3 ; 493 z z 4 Пусть в окрестности точки (,, z ) данное уравнение имеет единственное решение вида z z(, ) Найдите указанные частные производные функции z z(, ) в точке (, ) 4 arctg z z ; z z z,, ; z z z 4 ln( z) z,,, 4 Найдите первый и второй дифференциалы функций u(,) и v(,), заданных неявно u v, системой уравнений u v

13 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 4 Предполагая, что дифференцируемая функция, проверьте выполнение равенства: z z z z, если z 43 Преобразуйте уравнение, введя новые переменные d 43 ( ), d t, ( t) ; d d 43 3, d d t e, ( t) 44 Приняв v за новую функцию v(,), преобразуйте уравнение u u u u, u ve 45 Приняв u и v за новые независимые переменные, а w за новую функцию от u и v, преобразуйте уравнение z z 45 4, u, v, w z; z z 45, u, v, w z 46 Приняв u и v за новые независимые переменные, преобразуйте уравнение z z z, u, v, ( ) 5 Задачи повышенной трудности 5 Найдите du и dv, если функции u f(, ), v g(, ), заданы неявно системой F,, u, v, уравнений Сформулируйте достаточные условия существования и G,, u, v дифференцируемости неявных функций 5 Найдите du и dv, если функции u f(, ), v g(, ), заданы неявно системой F u, v, уравнений Сформулируйте достаточные условия существования и G u, v дифференцируемости неявных функций Тема 7 Условный экстремум Определения Сформулируйте определение экстремума функции u, с условием связи f, Сформулируйте определение экстремума функции u,, z с условием связи f,, z 3 Сформулируйте определение экстремума функции u,, z с двумя условиями связи f,, z, g,, z Основные теоремы (без доказательства) 3

14 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума функции u, с условием связи f, в форме Лагранжа Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции u, с условием связи f, в форме Лагранжа 3 Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума функции u,, z с условием связи f,, z в форме Лагранжа 4 Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции u,, z с условием связи f,, z в форме Лагранжа 5 Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума функции u,, z с двумя условиями связи f,, z, g,, z в форме Лагранжа 6 Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции u,, z с двумя условиями связи f,, z, g,, z в форме Лагранжа 3 Теоремы с доказательством 3 Докажите теорему о необходимых условиях экстремума функции u, с условием связи f, в форме Лагранжа 3 Докажите теорему о необходимых условиях экстремума функции u,, z с условием связи f,, z в форме Лагранжа 33 Докажите теорему о необходимых условиях экстремума функции u,, z с двумя условиями связи f,, z, g,, z в форме Лагранжа 4 Вопросы и задачи 4 Используя метод Лагранжа, найдите все точки экстремума функции u при заданных условиях связи 4 u, при условии ; 4 u, при условии ; 43 u, при условии ; u, при условии ; 45 u,, z z при условии z ; u,, z z при условии 3 4z 9; 47 u,, z z при условиях z, z 5 Задачи повышенной трудности 5 Пусть в точке N,, выполнены необходимые (в форме Лагранжа) условия экстремума функции u, с условием связи f (, ) и к тому же gradu,, gradf, Докажите, что в точке M, градиенты функций u, f (, ) коллинеарны 5 Пусть в точке N,, выполнены необходимые (в форме Лагранжа) условия экстремума функции u, с условием связи a b c и M, Докажите, что в точке, 53 Пусть в точке,, 4 du, M M имеет место экстремум указанной функции с указанным условием связи N выполнены необходимые (в форме Лагранжа) условия экстремума функции u (, ) ab с условием связи f, и df, M, M

15 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Докажите, что в точке, условием связи M имеет место экстремум указанной функции с указанным Тема 8 Кратные интегралы Определения Дайте определение интегральной суммы для двойного интеграла Для двойного интеграла дайте определение предела интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте теорему о сведении двойного интеграла к повторному Сформулируйте теорему о формуле замены переменных для двойного интеграла 3 Теоремы с доказательством 3 Докажите теорему о сведении двойного интеграла к повторному 3 Докажите теорему о формуле замены переменных в двойном интеграле для случая линейной замены переменных 4 Вопросы и задачи 4 Измените порядок интегрирования в повторных интегралах Вычислите повторный интеграл d d ; sin d d ; d d ; / d cosd arcsin 4 Сведите двойной интеграл fdd (, ) к повторному двумя способами: 4 D (, ): ; 4 D (, ):, 43 Вычислите dd, D 6 ; 43 G 43 D dd, D 4 arctg 6 4 G 44 Найдите замену переменныхuv,,, при которой область D на плоскости (,), ограниченная линиями 6, 9,, 4, переходит в прямоугольник на плоскости (u,v) Вычислите площадь области D, используя замену переменных в двойном интеграле 45 Найдите замену переменныхuv,,, при которой область D на плоскости (,), ограниченная линиями e, e, e, e, переходит в прямоугольник на плоскости ( uv, ) Вычислите площадь области D, используя замену переменных в двойном интеграле 46 Вычислите массу dd, статические моменты M dd, M dd и моменты инерции I G dd, G ограниченной линиями 46, ; I G G dd однородной пластинки с плотностью G, 5

16 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 46 4, (4 ); 463, sin ; 464 3, 47 Изобразите на плоскости (,) область D, для которой верна формула сведения двойного 3 интеграла к повторному: f, dd d f, d Измените порядок интегрирования D 48 Изобразите на плоскости (,) область D, для которой верна формула сведения двойного интеграла к повторному: f, dd d f, d Вычислите указанный интеграл для D f(,) = 49 Вычислите координаты центра масс и моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат, если фигура ограничена линиями,,, ; поверхностная плотность 4 Вычислите координаты центра масс плоской фигуры, ограниченной кривыми cos, sin / 4 5 / 4 ; поверхностная плотность 4 Вычислите момент инерции относительно оси O плоской фигуры, ограниченной линиями,,, arcsin ; поверхностная плотность 4 Вычислите тройной интеграл ( ) dddz, где область G ограничена поверхностями, z z G 43 Сведите тройной интеграл f,, z dddz к повторному, если G - область, G ограниченная поверхностями,, z, z 44 Вычислите моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела z (плотность ), ограниченного поверхностями, z, z a b c 45 Вычислите координаты центра масс и момент инерции относительно начала координат тела с плотностью z,, z, ограниченного поверхностями z 4, z z 46 Пусть G тело, ограниченное поверхностями z 4, z z Найдите силу притяжения этим телом материальной точки массы, находящейся в начале координат Тема 9 Криволинейные интегралы Определения Сформулируйте определение криволинейного интеграла I рода от функции f, по заданной кривой Сформулируйте определение криволинейного интеграла II рода P, d 3 Сформулируйте определение криволинейного интеграла II рода Q, d AB AB 6

17 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Основные теоремы и формулы (без доказательства) Сформулируйте достаточные условия существования криволинейного интеграла f, dlпо кривой Сформулируйте достаточные условия существования криволинейного интеграла P, d AB 3 Сформулируйте достаточные условия существования криволинейного интеграла Q, d AB 4 Запишите формулу Грина и сформулируйте достаточные условия применимости 3 Теоремы с доказательством 3 Докажите теорему о вычислении криволинейного интеграла первого рода с помощью определённого интеграла 3 Докажите теорему о вычислении криволинейного интеграла второго рода с помощью определённого интеграла 33 Докажите теорему об условиях независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования 34 Докажите теорему о достаточных условиях того, что выражение P, d Q, d является полным дифференциалом 35 Пусть функции P, и Q, таковы, что криволинейный интеграл второго рода P, d Q, d не зависит от пути интегрирования Докажите, что P Q AB 36 Пусть функции P, и Q, таковы, что выражение P, d Q, d представляет собой полный дифференциал Докажите, что P Q 37 Докажите теорему о формуле Грина 4 Вопросы и задачи 4 Выразите криволинейный интеграл f, dl через определённый интеграл 4 Запишите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением f( ), a b, и сформулируйте достаточные условия ее применимости 43 Запишите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной параметрически, и сформулируйте достаточные условия ее применимости 44 Запишите формулу для вычисления массы кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана в параметрической форме: () t, () t, a t b; линейная плотность равна ( t ) 45 Запишите формулу для вычисления массы кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана уравнением (), a b; линейная плотность равна ( ) 46 Запишите формулу для вычисления координаты центра масс кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана уравнением (), a b Линейная плотность постоянна 47 Запишите формулу для вычисления координаты центра масс кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана уравнением (), a b; линейная плотность постоянна 7

18 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 48 Запишите формулу для вычисления координаты центра масс кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана в параметрической форме: () t, () t, a t b; линейная плотность постоянна 49 Запишите формулу для вычисления координаты центра масс кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана в параметрической форме: () t, () t, a t b; линейная плотность постоянна 4 Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси O кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана в параметрической форме: () t, () t, a t b; линейная плотность постоянна и равна 4 Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси O кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана в параметрической форме: () t, () t, a t b; линейная плотность постоянна и равна 4 Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси O кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана уравнением f( ), a b; линейная плотность постоянна и равна 43 Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси O кривой на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана уравнением f( ), a b; линейная плотность постоянна и равна 44 Выразите криволинейный интеграл P, d через определённый интеграл AB 45 Выразите криволинейный интеграл Q, d через определённый интеграл AB 46 Вычислите значение интеграла cos n, cos n, ds, где замкнутый контур, n внешняя нормаль к 47 Докажите, что если замкнутый контур и l постоянный вектор, то cos ln, ds 48 Пусть G ограниченная область на плоскости с гладкой границей Запишите формулу, выражающую площадь области G через интеграл вида f d, 49 Пусть G ограниченная область на плоскости с гладкой границей и площадью Запишите формулу для вычисления координаты центра масс области G через интеграл, вида f d, если поверхностная плотность равна 4 Пусть G ограниченная область на плоскости с гладкой границей и площадью Запишите формулу для вычисления координаты центра масс области G через интеграл, вида f d, если поверхностная плотность равна 4 Пусть D ограниченная область на плоскости с гладкой границей Запишите в виде двойного интеграла по области D формулу для вычисления работы силы F, P, ; Q, при перемещении материальной точки по замкнутому контуру против часовой стрелки, если все функции непрерывно дифференцируемы в D 4 Вычислите криволинейные интегралы первого рода 8

19 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики t 4 ds, где кривая t,, t ; 4 ds, где кривая e, ; 43 dl, где часть ломаной линии,,, 44 dl, где (, ): 4cos, t sin, t t 43 Вычислите длину кривой, Вычислите массу кривой, 3 с линейной плотностью () 3 45 Вычислите -координату центра масс кривой cost, sint, t, если линейная плотность постоянна 46 Вычислите момент инерции относительно оси O кривой cost, sint, t, если линейная плотность 47 Вычислите момент инерции относительно оси O кривой cost, sint, t ; линейная плотность () t sint 48 Найдите координаты силы притяжения материальной точки массы однородной полуокружностью массой M и радиусом R; точка помещена в центре соответствующей окружности 49 Вычислите криволинейные интегралы второго рода: 49 d d, где кривая AB задана уравнением, A,, B, AB 49 ( d ) d, где кривая задана уравнениями t sin t, cos t, t и пробегается в направлении возрастания параметра t 493 d d, где кривая задана соотношениями,,, d d, где замкнутый контур, заданный уравнением 495 d zd dz, где кривая cos t, sin t, z t, t, пробегаемая в направлении возрастания параметра t 43 С помощью криволинейного интеграла найдите площадь области, ограниченной: 43 эллипсом asin t, bcos t, t, a, b ; 43 параболой ( ) a a и осью O астроидой a 43 Вычислите моменты инерции относительно осей координат кривой, заданной как пересечение поверхности z и плоскости z 9

20 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 43 Вычислите работу силы, F вдоль части параболы, пробегаемой от точки A(, ) до точки B(, ) 433 Вычислите работу силы F, вдоль контура, заданного как пересечение эллипсоида 3 z 4 и плоскости z, пробегаемого против часовой стрелки, если смотреть из точки (,,-3) 4 Задачи повышенной трудности 44 Пусть число lt () равно длине кривой на плоскости, заданной уравнением, lt () t Найдите li t t 45 Пусть функции u,, v, и их частные производные первого и второго порядка непрерывны в замкнутой области G, ограниченной гладкой кривой Докажите, что u v u v справедлива формула: u vdl dd (вторая формула Грина), где u u v n - G n n u u производная по направлению внешней нормали к, u, а интеграл в левой части есть криволинейный интеграл первого рода 46 Вычислите интеграл I cos cos dl, где замкнутая гладкая кривая, ограничивающая область площади ; и - углы между вектором внешней нормали n к кривой в точке M, и осями O и O 47 Докажите, что если функция u, имеет в замкнутой области G непрерывные производные второго порядка, то справедлива формула u u u dd u udd u dl, где гладкий контур, ограничивающий n G G область G, u - производная по направлению внешней нормали к n 48 Применяя формулу Грина, найти li dl d F n, где площадь области, ограниченной контуром, окружающим точку,, d - диаметр области, n единичный вектор внешней нормали к контуру и F, Тема Поверхностные интегралы Определения Сформулируйте определение площади поверхности Сформулируйте определение поверхностного интеграла первого рода 3 Сформулируйте определение поверхностного интеграла второго рода Основные теоремы и формулы (без доказательства) Запишите формулу площади поверхности, заданной уравнением z= h(, ), (, ) Î D, и сформулируйте условия ее применимости

21 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Запишите формулу площади поверхности, заданной параметрически, и сформулируйте условия ее применимости 3 Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода òò f (,, z) ds при условии, что поверхность задана в виде z = h(, ), (, ) Î G, G область на плоскости (,) 4 5 Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода òò f (,, z) ds при условии, что поверхность задана в параметрической форме 6 Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода òò f (,, z) cosgds при условии, что поверхность задана в виде z = h(, ), (, ) Î G, G область на плоскости (,), g - угол между нормалью к выбранной стороне поверхности и осью Oz 7 Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода òò f (,, z) cosads при условии, что поверхность задана в параметрической форме, a - угол между нормалью к выбранной стороне поверхности и осью O 8 Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода òò Pddz + Qddz + Rdd при условии, что поверхность задана в параметрической форме 3 Теоремы с доказательством 3 Докажите теорему о вычислении площади поверхности, заданной уравнением z= h(, ), (, ) Î D 3 Докажите, что если функция f(,,z) непрерывна на поверхности, то поверхностный интеграл первого рода òò f (,, z) ds существует Требования к поверхности сформулируйте самостоятельно 33 Докажите, что если функция P(,,z) непрерывна на поверхности, то поверхностный интеграл второго рода P(,, z) cosads òò существует Требования к поверхности сформулируйте самостоятельно 34 Докажите теорему об условиях независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве 4 Вопросы и задачи 4 Найдите вектор нормали и запишите уравнение касательной плоскости к поверхности в заданной точке М: 4 : z = + ; M (3, 4,5) 4 : + + z + z = ; M (,, ) 43 : = uv, = u + v, z = u + v, Mu ( (, v), u (, v), zu (, v)), где u =, v =- 4 Найдите площадь поверхности с помощью двойного интеграла:

22 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики 4 z = 3 + 4, 4 43 z = +, z = +, 44 z =, a z =, z ³, + 46 = ucos v, = usin vz, = v, u a, v p 43 Вычислите поверхностные интегралы I рода 43 òò d, где поверхность : + + z =, Î- [ ;], Î- [ ;] 43 ( + + z) d + + z =, Î- [ ;], Î- [ ;] òò, где поверхность : 433 òò ( + + z) d, где поверхность : + + z = z ³ 434 ( + ) ds, где граница тела V={(,,z): + z } òò òò 435 ( + + z - ) ds, где часть параболоида z = - -, z ³ 44 Найдите координаты центра масс части однородной сферы + + z = R, ³, ³, z ³ с помощью поверхностного интеграла 45 Вычислите поверхностные интегралы второго рода: 45 ddz + dzd + zdd + + z =, Î- [ ;], òò, где верхняя сторона плоскости Î- [ ;], то есть нормаль к плоскости составляет острый угол с осью Oz 45 ( + z ) dd, где - часть внешней стороны цилиндрической поверхности òò z = a -, b 453 ( + + z ) dd òò, где - часть внешней стороны конической поверхности z = +, z c (внешняя нормаль образует тупой угол с осью Oz ) 454 òò + + ddz dzd z dd + - z =, z òò ddz + dzd + z dd, где - часть внутренней стороны гиперболоида, где внешняя сторона сферы + + z = Тема Кривые на плоскости Определения Сформулируйте определение того, что две кривые касаются (соприкасаются) в данной точке Сформулируйте определение порядка касания кривых в данной точке 3 Сформулируйте определение огибающей однопараметрического семейства плоских кривых 4 Сформулируйте определение кривизны плоской кривой Основные теоремы и формулы (без доказательства)

23 МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Сформулируйте теорему о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы порядок касания двух кривых в данной точке был равен n Сформулируйте теорему о необходимых условиях огибающей однопараметрического семейства кривых 3 Запишите формулу для вычисления кривизны плоской кривой, заданной в виде = f() 4 Запишите формулу для вычисления радиуса кривизны в заданной точке кривой = f() 5 Запишите формулу для вычисления кривизны плоской кривой, заданной в параметрической форме 3 Теоремы с доказательством 3 Докажите теорему о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы порядок касания двух кривых в данной точке был равен n 3 Докажите теорему о необходимых условиях огибающей однопараметрического семейства кривых 33 Выведите формулу для вычисления кривизны кривой, заданной уравнением f( ) 34 Выведите формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в параметрической форме 4 Вопросы и задачи 4 Какой порядок касания с осью O имеют в начале координат кривые: cos ; e ; tg sin 4 При каком выборе коэффициентов a, b и с парабола a b c и кривая e имеют в точке с абсциссой касание второго порядка? 43 Найдите огибающие однопараметрических семейств плоских кривых (С параметр): a C a const; C lnc ; C C ; C C C 44 Определите радиус кривизны параболы p в точке (, p ) 5 Задачи повышенной трудности 5 Выведите формулу для вычисления кривизны плоской кривой, заданной в неявной форме 5 Выведите формулу для вычисления радиуса кривизны плоской кривой, заданной в неявной форме 53 Определите радиусы кривизны следующих кривых в произвольной точке: R ; ; a b a b 3

I. Точки и множества в пространстве. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции.

I. Точки и множества в пространстве. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции. МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II СЕМЕСТР I Точки и множества в пространстве Найдите все граничные и все предельные точки

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Кафедра математики

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Кафедра математики МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ВФ Бутузов, АА Быков, НТ Левашова, НЕ Шапкина ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (II

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли Множества и последовательности точек Сформулируйте определение изолированной точки множества D R Приведите пример Сформулируйте определение внутренней точки множества D точек пространства Приведите пример

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В.

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В. Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» СИ, Бородина, МЮ Старовская ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 Занятие 1 Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 2x 3, (б) f(x) = 6 cos 2x + 8 sin 2x. Занятие 2 2. Мат индукция.

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Вычислите криволинейные интегралы первого рода: а) (x + y) dl, где L граница треугольника с вершинами А(1, 0), В(0,

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

4 Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание Наименование раздела

4 Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание Наименование раздела 1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент логического анализа, численных

Подробнее

МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике ОГЛАВЛЕНИЕ Аналитическая геомегрия на плоскости

МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике ОГЛАВЛЕНИЕ Аналитическая геомегрия на плоскости МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. 13-е изд. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2010. 336 с ISBN 9785-94052-184-6. ОГЛАВЛЕНИЕ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Подробнее

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях.

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях. Математика 2 Билет 1 Лектор Конев В.В. 1. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, основные понятия (определение, решение уравнения, общее и

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика» Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет дистанционных форм обучения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа и контрольные работы

Подробнее

y x dxdy, Записывая интеграл в виде повторного, вычисляем его xe xy dxdy,

y x dxdy, Записывая интеграл в виде повторного, вычисляем его xe xy dxdy, ПРИМЕР.4.. Вычислить интеграл где D {,: e,4 6}. D dd, Записывая интеграл в виде повторного, вычисляем его e 6 dd e d d 6 d D Вычислить интеграл 4 D 4 e e dd, где D {,:, }. Если записать интеграл в виде

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет Московский Государственный Университет имени МВ Ломоносова Биологический факультет УТВЕРЖДАЮ " " 00 г Рабочая программа дисциплины Высшая математика Направление подготовки Биология Профили подготовки Форма

Подробнее

Вычисление и приложения криволинейного интеграла

Вычисление и приложения криволинейного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности Оглавление Глава Евклидово пространство Понятие m- мерного евклидова пространства Множества точек m мерного евклидова пространства 4 m Последовательности точек пространства R 5 4 Предел функции m переменных

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть V для студентов-заочников всех специальностей МИНСК 999 4 Составители Гладков Л.Л. Назарова И.В.

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

1. Модуль 1 (7 лекций, 7 семинаров, 28 часов)

1. Модуль 1 (7 лекций, 7 семинаров, 28 часов) Министерство экономического Министерство развития и торговли образования Российской Федерации Российской Федерации Государственный университет - Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Рабочий

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

1. Кратные интегралы

1. Кратные интегралы Пособие предназначено для студентов заочников КГТУ второго года обучения. В пособии в краткой и доступной форме рассмотрены темы: Кратные интегралы, Криволинейные интегралы, Ряды, Теория вероятностей.

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

3. Кратные и криволинейные интегралы

3. Кратные и криволинейные интегралы 3 Кратные и криволинейные интегралы 3 Повторный интеграл По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с

Подробнее

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Подробнее

Теория функций нескольких переменных (аргументов)

Теория функций нескольких переменных (аргументов) Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения 1 Теория функций нескольких переменных (аргументов) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Определение функции

Подробнее

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр)

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Московский физико-технический институт РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Москва 2002 Составитель Л.Д. Кудрявцев УДК 517 Рекомендуемые вопросы по курсу математического

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с теоретическими и практическими основами математического

Подробнее

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ;

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ; Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы 6 Определение свойства вычисление и приложения поверхностного интеграла -го рода 6 Определение свойства и вычисление поверхностного интеграла -го рода 6 Определение

Подробнее

Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Логвенков СА, Мышкис ПА Самовол ВС СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии Москва Издательство МЦНМО

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

Подробнее

Задача 5. Задача 1. Задача 2. Задача 6. Задача 3. Задача 7. Задача 4. Задача 8. Вычислить площадь части поверхности

Задача 5. Задача 1. Задача 2. Задача 6. Задача 3. Задача 7. Задача 4. Задача 8. Вычислить площадь части поверхности Задача 1 Найти координаты центра тяжести полуокружности y = r 2 x 2. Задача 5 площадь части поверхности z = 1 4 xy, расположенной внутри поверхности x 2 + y 2 = 16. Задача 2 Изменить порядок интегрирования

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания»

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания» Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том 3, под ред. Рябушко А.П. для студентов дневной формы

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y ), : O(М, ) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Подробнее

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции 272 Глава 2 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Интегралы по фигуре от скалярной функции Определение Множество точек называется связным, если две любые точки можно соединить линией, все точки

Подробнее

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений,

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

I. Цель и задачи курса

I. Цель и задачи курса Аннотация дисциплины «Математический анализ» Направления подготовки: 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» Профиль подготовки: Системное программирование и компьютерные технологии" Квалификация

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Подробнее

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика Аннотация рабочей программы дисциплины Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

Подробнее

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ

Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ Направление подготовки: 080100.62 «Экономика» Профиль: «Экономика и информационно-математическое управление» 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.11.1 Математический анализ 1 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) Цель формирование представлений о понятиях и методах математического анализа,

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Основы математического анализа

Основы математического анализа Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов Преподаватель может разнообразить стандартные задачи Задание 1 (сдать к 4 октября) 1. Построить график функции y = 3x+2 2x 3. 2. Построить

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

ГЛОССАРИЙ. Методические указания. Часть III

ГЛОССАРИЙ. Методические указания. Часть III МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) ГЛОССАРИЙ Методические

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Глава 4. Функции одной переменной 69

Глава 4. Функции одной переменной 69 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Введение 5 Часть первая. Математический анализ функций одной переменной 10 Глава I. Вещественные числа 10 1. Множества. Обозначения. Логические символы 10 2. Вещественные числа

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

òò, где поверхность S : 1

òò, где поверхность S : 1 ОБЩИЙ ЗАЧЕТ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) Площадь поверхности Поверхностные интегралы первого рода Приложения Найдите поверхностные интегралы I рода d, где поверхность : + y + z =, Î- [ ], y Î-

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Ю.Г. Костына, Г.П. Мартынов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных,

Подробнее

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава 7 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Пусть { r = ( uv, ) ( uv, ) } непрерывно дифференцируемая поверхность, а квадрируемая область Рассмотрим разбиение плоскости переменных u и v на квадраты

Подробнее

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» направленность (профиль) программы Организация

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Методические указания к практическим занятиям Часть 2

Методические указания к практическим занятиям Часть 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова Шахтинский институт (филиал) ЮРГПУ(НПИ) им. М.И. Платова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Указывается трудоемкость в зачетных единицах.

Указывается трудоемкость в зачетных единицах. Аннотация рабочей программы дисциплины Б2. Б1 «Математический анализ» Направление подготовки 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, бакалавр 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

Несобственные интегралы, зависящие от параметра Определенный интеграл, зависящий от параметра... 28

Несобственные интегралы, зависящие от параметра Определенный интеграл, зависящий от параметра... 28 Физический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yande.ru План лекций по курсу математического анализа, версия 04 от 30.08.010 Московский государственный университет Физический факультет Кафедра

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее