тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

Транскрипт

1 Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно заключается в круглые скобки Обозначение матриц: а а а а а а А или А а ) где i j а а а ПРИМЕР А C ) Определение Числа входящие в матрицу называются элементами матрицы Элементы матрицы нумеруются двумя индексами: -й индекс элемента это номер строки -й индекс номер столбца в которых стоит элемент Например элемент находится во -й строке в -м столбце Определение Если число строк матрицы равно числу столбцов ) то матрица называется квадратной -го порядка а а а а а а ПРИМЕР А квадратная матрица -го порядка а а а А квадратная матрица -го порядка Определение Элементы а а а квадратной матрицы А называются диагональными а их совокупность главной диагональю матрицы Элементы а а а образуют побочную вспомогательную) диагональ ПРИМЕР А ) главная диагональ ) вспомогательная диагональ Определение Матрица называется нулевой если все ее элементы равны нулю Определение Квадратная матрица называется единичной если все элементы главной диагонали равны единице а остальные элементы равны нулю ПРИМЕР Е единичная матрица -го порядка Е единичная матрица -го порядка Определение Транспонированной матрицей матрицы А называется матрица А t которая получается из матрицы А заменой строк матрицы А столбцами с теми же номерами 9 t ПРИМЕР А А 9 Определение Матрица называется ступенчатой если ) все её строки ненулевые ) первый ненулевой элемент каждой строки начиная со второй находится правее первого ненулевого элемента предыдущей строки

2 ПРИМЕР 9 А C ) Действия над матрицами Определение Элементы матриц А и В стоящие на одинаковых местах называются соответствующими Определение Матрицы одинаковой размерности называются равными если равны соответствующие элементы этих матриц Действия над матрицами: Суммой матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц: С А где b с ПРИМЕР Произведением матрицы А на число λ называется матрица А λ элементы которой равны произведению элементов матрицы А на заданное число λ : ) а А λ λ ПРИМЕР Произведением матриц ) ik p а i p k и ) kj p b p k j называется матрица ) С элементы с которой равны произведению i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В ПРИМЕР ) ) ) ) ) ) Замечания ) Для того чтобы можно было выполнить умножение число столбцов первой матрицы должно быть равным числу строк второй матрицы ) Матрицы в произведении нельзя переставлять местами так как при этом может измениться результат или умножение потеряет смысл то есть в общем случае А В В А ПРИМЕР Найти значение выражения D где D Е единичная матрица соответствующей размерности Найдем C где ; 9 ) ) ) с ; ) ) ) с

3 ; ) с ) с Следовательно 9 C Найдём Согласно определению суммы матриц для того чтобы сумма D имела смысл размерности матриц D и Е должны совпадать следовательно di то есть Тогда Итак получим 9 D ) Элементарные преобразования строк матрицы Над строками матриц можно осуществлять четыре типа элементарных преобразований: α перестановка местами двух строк; β умножение строки на число отличное от нуля; γ прибавление к одной строке другой умноженной на число отличное от нуля; δ отбрасывание нулевой строки При помощи этих преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице Определение Рангом матрицы называется число строк соответствующей ей ступенчатой матрицы: А ступенчатая матрица rg А ПРИМЕРЫ ) ступенчатая то есть rg А ) 9 9 α ступенчатая то есть rg В ) ) δ γ C ступенчатая то есть rg С ) ) D αβγδ ступенчатая то есть rg D тема ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ) Вычисление определителей Определение Каждой квадратной матрице А соответствует некоторое число А или det называемое ее определителем det ) Правила нахождения определителей: Определитель -го порядка равен произведению элементов стоящих на главной диагонали минус произведение элементов стоящих на побочной диагонали: b d d b

4 ПРИМЕР ) Определитель -го порядка равен произведению элементов стоящих на главной диагонали плюс произведение элементов стоящих в вершинах двух треугольников одна из сторон которых параллельна главной диагонали минус произведение элементов стоящих на побочной диагонали минус произведение элементов стоящих в вершинах двух треугольников одна из сторон которых параллельна побочной диагонали: b d e f ek bfg dh ge dbk hf g h k ПРИМЕР Определение Минором M определителя называется определитель который получается из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца Определение Алгебраическим дополнением элемента равное произведению i j ) на соответствующий минор M : i j ) M определителя называется число Общее правило: определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки столбца) определителя на их алгебраические дополнения Замечания ) Удобно вести разложение определителя по той строке столбцу) в которой больше нулей ) Определитель имеющий нулевую строку столбец) равен нулю ) Определитель имеющий две одинаковые строки столбцы) равен нулю ПРИМЕР Вычислить определитель: ) по правилу треугольников; ) разложив по общему правилу например по строке ) ) ) M ) M ) M 9 9 ) тема НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ПРИ ПОМОЩИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Определение Квадратная матрица называется обратной по отношению к матрице А если их произведение равно единичной матрице Обратную матрицу обозначают : Определение Матрица А называется невырожденной если она имеет обратную матрицу

5 Теорема Всякая невырожденная квадратная матрица А имеет единственную обратную матрицу t ) где определитель матрицы А ) матрица из алгебраических дополнений элементов определителя матрицы t обозначает операцию транспонирования ПРИМЕР Найти обратную матрицу для матрицы Найдём определитель матрицы А: Составим матрицу ) из алгебраических дополнений элементов определителя матрицы А: ) где ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Следовательно ) t Тогда её транспонированная матрица есть ) t Обратная матрица примет вид: ) тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СЛАУ) ) Основные понятия Определение Системой линейных алгебраических уравнений СЛАУ) называется система уравнений вида b b *) b

6 где неизвестные системы которые требуется найти решая систему; b i i ; j коэффициенты при неизвестных системы; i свободные члены системы Здесь система имеет уравнений и неизвестных Определение Решением системы называется упорядоченная последовательность чисел удовлетворяющих всем уравнениям системы Определение Матрицей системы *) называется матрица составленная из коэффициентов при неизвестных системы а а а а а а А а а а Определение Расширенной матрицей системы *) называется матрица составленная из коэффициентов при неизвестных системы и свободных членов b i а а а b а а а b а а а b Матричная запись СЛАУ *): где а а а b а а а А b b а а а b ПРИМЕРЫ Записать расширенную матрицу СЛАУ сделать матричную запись СЛАУ ) y y ) запишем её в виде y тогда y y Метод Гаусса метод последовательного исключения неизвестных) ) расширенную матрицу системы привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; ) записать систему уравнений соответствующую ступенчатой матрице; ) решить полученную систему поднимаясь «снизу вверх» ПРИМЕР Решить систему уравнений ) В расширенная матрица системы Приведем её к ступенчатому виду: b i )

7 ) Запишем систему уравнений соответствующую ступенчатой матрице: ) Решим полученную систему: Ответ: ; ; ) Правило Крамера Пусть система имеет уравнений и неизвестных Тогда при она имеет единственное k решение k k где определитель матрицы системы k определитель полученный из основного определителя заменой k-го столбца на столбец свободных членов системы b k ПРИМЕР Решить систему уравнений ) Найдём определитель системы: ) Найдём определители ) Решение системы: Ответ: ; ; ) Матричный метод Пусть система имеет уравнений и неизвестных Тогда при она имеет единственное решение b где ПРИМЕР Решить систему уравнений

8 ) Запишем систему в матричной форме b : ) Найдём обратную матрицу матрицы А системы через алгебраические дополнения: ) t см пример темы ) ) Решение системы: b то есть Ответ: ; ; )