Математическая логика

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математическая логика"

Транскрипт

1 Математическая логика Лектор: Подымов Владислав Васильевич , весенний семестр

2 Лекция 11 Формальная арифметика Явные логические определения Теорема Гёделя о неполноте Аксиомы равенства Арифметика Пресбургера

3 Напоминание Лекция 10 начиналась с такого примера: выполняется ли предложение ϕ в естественной арифметической интерпретации I ar? (например, ϕ : 2 2 = 4, или ϕ произвольное предложение логики предикатов) Если удастся построить теорию, адекватно описывающую интерпретацию I ar, то можно будет описывать (и даже иногда решать) арифметические задачи логическими методами Попробуем выбрать небольшой, но при этом достаточно выразительный фрагмент арифметики, и построить для него адекватную теорию T ar Остановимся на таком фрагменте: арифметика целых неотрицательных чисел со сложением, умножением и равенством

4 Формальная арифметика Сигнатура формальной арифметики: σ ar = {0}, { + (2), (2), S (1)}, { = (2)} Арифметическая интерпретация I ar символов сигнатуры σ ar задаётся так: предметная область: N 0 = {0, 1, 2, 3,...} 0 = 0, S(d) = d + 1 +,, = сложение, умножение и равенство чисел Формальная арифметика это любая теория, более-менее адекватно описывающая интерпретацию I ar Перед исследованием того, как такая теория может выглядеть, попробуем оценить, насколько выразителен выбранный фрагмент арифметики Проверка соотношения I ar = ϕ это обоснование/опровержение арифметического утверждения, записанного в виде формулы ϕ

5 Определимость σ ar = {0}, { + (2), (2), S (1)}, { = (2)} Некоторые арифметические понятия можно явно определить, используя только понятия сигнатуры σ ar Содержательные примеры: 1 = S(0) n = S(S(... S(0)... )) (n N) }{{} n раз x 2 = x x x y z (x = y + z) Рассмотрим сигнатуру σ и содержащийся в ней символ s: константу, функциональный символ или предикатный символ σ s это сигнатура, получаемая из σ удалением символа s σ +s = σ, если σ = σ s

6 Определимость Определение константы 1 c (в сигнатуре σ c ) это формула вида ϕ(x c ) (сигнатуры σ c ) Определение функционального символа 1 f (n) это формула вида ϕ(x f, x n ) Определение предикатного символа 1 P (n) это формула вида ϕ( x n ) Примеры определений в сигнатуре σ ar для константы 1: x 1 = S(0) функционального символа 2(1) : x 2 = x 1 x 1 предикатного символа (2) : y (x 1 = x 2 + y) 1 Более точное название такого определения явное определение: А это Б (не зависящее от А)

7 Определимость Если ϕ(x c ) определение c, то аксиома ϕ {x c /c} определяет константу c Если ϕ(x f, x n ) определение f, то аксиома x n (ϕ {x f /f( x n )}) определяет функциональный символ f (n) Если ϕ( x n ) определение P, то аксиома x n (P( x n ) ϕ) определяет предикатный символ P (n) Примеры аксиом, определяющих (в сигнатуре σ ar ) константу 1: 1 = S(0) функциональный символ 2: x 1 (x 1 2 = x 1 x 1 ) предикатный символ : x 1 x 2 (x 1 x 2 y (x 1 = x 2 + y))

8 Определимость Теорема о разрешимости доопределения теории Если теория T сигнатуры σ разрешима, то теория T {ϕ} сигнатуры σ +s, где ϕ аксиома, определяющая символ s, также разрешима Доказательство. Сведём проблему (T {ϕ})-общезначимости формул сигнатуры σ +s к проблеме T -общезначимости формул сигнатуры σ Покажем, как можно преобразовать формулу ψ сигнатуры σ +s в формулу ψ сигнатуры σ, такую что = T {ϕ} ψ = T ψ Для этого, в числе прочего, потребуется формула D, равносильная определению, используемому в аксиоме ϕ, и не содержащая связанных переменных, встречающихся в ψ

9 Определимость Теорема о разрешимости доопределения теории Если теория T сигнатуры σ разрешима, то теория T {ϕ} сигнатуры σ +s, где ϕ аксиома, определяющая символ s, также разрешима Доказательство. Устранение предикатного символа s = P (n) Каждый атом P(t 1,..., t n ) заменяется на формулу D {x 1 /t 1,..., x n /t n } Например: (D : u (x 1 = x 2 + u)) x y ((x + 1) 2 y) x y u ((x + 1) 2 = y + u)

10 Определимость Теорема о разрешимости доопределения теории Если теория T сигнатуры σ разрешима, то теория T {ϕ} сигнатуры σ +s, где ϕ аксиома, определяющая символ s, также разрешима Доказательство. Устранение константы s = c Все вхождения константы c в формулу ψ заменяются на свежую переменную y, и полученная формула χ заменяется на y (D {x c /y} χ) Например: (D : x 1 = S(0)) x y u ((x + 1) 2 = y + u) v (v = S(0) x y u ((x + v) 2 = y + u))

11 Определимость Теорема о разрешимости доопределения теории Если теория T сигнатуры σ разрешима, то теория T {ϕ} сигнатуры σ +s, где ϕ аксиома, определяющая символ s, также разрешима Доказательство. Устранение функционального символа s = f (n) Пока это возможно, выбирается атом A с входящим в него термом f(t 1,..., t n ) выбранный терм заменяется в атоме на свежую переменную y полученный атом A заменяется на формулу y (D {x f /y, x 1 /t 1,..., x n /t n } A )

12 Определимость Теорема о разрешимости доопределения теории Если теория T сигнатуры σ разрешима, то теория T {ϕ} сигнатуры σ +s, где ϕ аксиома, определяющая символ s, также разрешима Доказательство. Устранение функционального символа s = f (n) Например: (D : x 2 = x 1 x 1 ) v (v = S(0) x y u ((x + v) 2 = y + u)) v (v = S(0) x y u w (w = (x + v) (x + v) w = y + u))

13 Определимость Теорема о разрешимости доопределения теории Если теория T сигнатуры σ разрешима, то теория T {ϕ} сигнатуры σ +s, где ϕ аксиома, определяющая символ s, также разрешима Доказательство. И что же осталось для обоснования теоремы? Показать, что для любой формулы ψ до преобразования и соответствующей ей формулы ψ после преобразования верно = T {ϕ} ψ = T ψ Можете попробовать доказать это самостоятельно

14 Определимость Теорема о разрешимости доопределения теории Если теория T сигнатуры σ разрешима, то теория T {ϕ} сигнатуры σ +s, где ϕ аксиома, определяющая символ s, также разрешима Теперь можно по умолчанию считать, что помимо маленького набора понятий, указанного в сигнатуре σ, теорией описывается намного больший набор понятий s: все те предметы, функции и отношения, которые можно явно определить на основе имеющихся в σ

15 Формальная арифметика Примеры определений и предложений в сигнатуре σ ar определение натурального числа n: x n = S(S(... S(0)... )) }{{} n раз определение чётности числа (Even (1) ): y (x 1 = y 2) определение простоты числа (Prime (1) ): y z (x 1 = y z y = 1 z = 1) гипотеза Гольдбаха: x (Even(x) & x 4 y z (Prime(y) & Prime(z) & x = y + z)) (и это далеко не всё, на что способна формальная арифметика)

16 Формальная арифметика Чтобы была хоть какая-нибудь возможность анализировать истинность предложений в естественной интерпретации I ar логическими методами, необходимо иметь теорию T ar, адекватно описывающую эту интерпретацию: I ar = T ar теория T ar полна Существует ли такая теория T ar? Да, например, элементарная теория интерпретации I ar Но наличие такой теории никак не поможет в логическом анализе арифметических высказываний: чтобы описать элементарную теорию, необходимо решить проблему, для исследования которой эта теория описывается А можно ли описать систему аксиом попроще и попонятнее?

17 Теорема Гёделя о неполноте Любая рекурсивно перечислимая 1 теория в сигнатуре формальной арифметики, моделью которой является интерпретация I ar, неполна Набросок доказательства Докажем более простое утверждение: любая конечная теория с моделью I ar неполна От противного предположим, что существует конечная полная теория T, такая что I ar = T Докажем, что в любой такой теории T необходимо присутствует парадокс лжеца: существует предложение, утверждающее, что это предложение ложно 1 Существует алгоритм, перечисляющий аксиомы одну за одной; останавливаться алгоритм не обязан

18 Теорема Гёделя о неполноте Набросок доказательства Предметы интерпретации I ar целые неотрицательные числа, поэтому начнём доказательство с сопоставления каждой формуле такого числа 1 Сопоставим натуральное число каждому символу алфавита сигнатуры σ ar : g(0) = 1, g(+) = 2, g( ) = 3, g(=) = 4 g(() = 5, g(,) = 6, g()) = 7 g(&) = 8, g( ) = 9, g( ) = 10, g( ) = 11, g( ) = 12, g( ) = 13 g(x 1 ) = 14, g(x 2 ) = 15, g(x 3 ) = 16,... 1 То есть с описания нумерации Гёделя

19 Теорема Гёделя о неполноте Набросок доказательства Сопоставим формуле ϕ натуральное число (код формулы) g(ϕ) = p g(ϕ[1]) 1 p g(ϕ[2]) 2 p g(ϕ[ ϕ ]) ϕ Здесь p i i-е простое число ϕ[i] i-й символ в записи формулы ϕ ϕ размер записи формулы ϕ Утверждение Существует алгоритм, проверяющий, является ли число i, i N 0, кодом формулы (здесь и дальше алгоритм это машина Тьюринга, с алфавитом ленты {0, 1, Λ}, работающая с двоичными кодами чисел)

20 Теорема Гёделя о неполноте Набросок доказательства Используя тот же приём со степенями простых чисел, можно определить код конечной последовательности формул конечной семантической таблицы конечного табличного вывода В теореме полноты табличного вывода был описан алгоритм построения успешного вывода Tab(ϕ) для таблицы T ϕ, где ϕ произвольная T -общезначимая формула Утверждение Существует алгоритм, останавливающийся тогда и только тогда, когда на вход подан код какой-либо общезначимой формулы ϕ, и выдающий в ответ код вывода Tab(ϕ)

21 Теорема Гёделя о неполноте Набросок доказательства И как существование всех этих алгоритмов нам поможет в сооружении парадокса лжеца? Вычислимая функция это частично определённое отображение f : N 0 N 0, такое что существует реализующий его алгоритм (предполагаю, что понятие вычислимой функции вам знакомо, поэтому подробнее на нём не останавливаюсь) График функции f : N 0 N 0 это множество всех пар чисел (i, j), таких что значение f (i) определно и равно j

22 Теорема Гёделя о неполноте Набросок доказательства Отношение R N n 0 арифметизуемо, если существует формула ϕ( x n ) в сигнатуре формальной арифметики, такая что I ar = ϕ( x n )[ d n ] ( d n ) R Утверждение График любой вычислимой функции арифметизуем (это утверждение непростое, но доказывать его долго и сложно) Как следствие, арифметизуемым будет график такой функции: g(tab(g 1 (i))), если i код f t (i) = T -общезначимой формулы не определено, иначе

23 Теорема Гёделя о неполноте Набросок доказательства Это означает, что существует формула Proof (x, y), такая что I ar = Proof (x, y)[d 1, d 2 ] d 2 код табличного вывода Tab(ϕ), где ϕ формула, кодом которой является число d 1 Рассмотрим такую формулу Val(x): y (Proof (x, y) Proof (neg(x), y)) (neg(x) терм, описывающий код формулы g 1 (x)) Что означает формула Val? I ar = Val[d] d код формулы, истинной в I ar Мы выразили свойство истинности формул арифметики на языке самой арифметики, и теперь наконец-таки можем попытаться формализовать парадокс лжеца

24 Теорема Гёделя о неполноте Набросок доказательства Лемма о диагонали Для любой арифметической формулы ϕ(x) существует арифметическое предложение ψ, такое что I ar = (ψ ϕ(x))[g(ψ)] (это второе нетривиальное утверждение, которое приведено без доказательства) Применим лемму о диагонали к формуле ϕ = Val: И что же это означает? Существует предложение ψ, такое что I ar = (ψ Val(x))[g(ψ)] Предложение ψ истинно в I ar оно ложно в I ar

25 Аксиомы равенства Предикатный символ = (2) нередко используется в реальных теориях с одинаковым смыслом: равенство предметов Аксиомы, используемые для придания символу = (2) смысла равенства, также оказываются похожими в разных теориях Множество аксиом равенства произвольной сигнатуры σ, содержащей предикатный символ = (2), состоит из: всех аксиом теории равенства T = аксиом x n ỹ n (x 1 = y 1 &... & x n = y n f(x 1,..., x n ) = f(y 1,..., y n )) для всех функциональных символов f (n) сигнатуры σ аксиом x n ỹ n (x 1 = y 1 &... & x n = y n (P(x 1,..., x n ) P(y 1,..., y n ))) для всех предикатных символов P (n) сигнатуры σ, кроме = (2)

26 Арифметика Пресбургера А есть ли нетривиальный фрагмент арифметики, который всё-таки можно адекватно описать хорошей системой аксиом? Исключим умножение из рассмотренного фрагмента арифметики: σ pa = {0}, { + (2), S (1)}, { = (2)} I pa это интерпретация, получаемая из I ar удалением оценки функционального символа Каковы выразительные возможности такого фрагмента арифметики? Можно ли предоставить хорошую систему аксиом, адекватно описывающую интерпретацию I pa? Так как ответы на эти вопросы давно известны, начнём непосредственно с системы аксиом

27 Арифметика Пресбургера σ pa = {0}, { + (2), S (1)}, { = (2)} Арифметика Пресбургера это теория T pa сигнатуры σ pa, состоящая из аксиом равенства аксиом, определяемых схемой математической индукции ϕ(x) {x/0} & x (ϕ(x) ϕ(x) {x/s(x)}) x ϕ(x) ещё четырёх аксиом: x (S(x) = 0) x y (S(x) = S(y) x = y) x (x + 0 = x) x y (x + S(y) = S(x + y)) Утверждение. I pa = T pa Доказательство. Очевидно?

28 Теорема разрешимости арифметики Пресбургера Теория T pa разрешима Доказательство. Введём несколько сокращений: (α N, β N 0, x / Var t1 Var t2 ) α это S(S(... S(0)... )) }{{} α раз βt это } t + t + {{ + } t β раз t 1 > t 2 это x (t 1 = t 2 + x & (x = 0)) t 1 α t 2 это x (t 1 + αx = t 2 ) x (t 2 + αx = t 1 ) все отношения, обратные к >, α, =, введём как отрицания этих отношений Будем в доказательстве считать α и βt термами, а остальные сокращения атомами

29 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера Рефлексивность равенства: = Tpa 0 = 0 Симметричность равенства и аксиома x S(x) 0: (α N 0 ) = Tpa S(α) 0 и = Tpa 0 S(α) Аксиомы равенства и x y (S(x) = S(y) x = y): (β N 0 ) = Tpa S(α) = S(β) = Tpa α = β Непротиворечивость теории: = Tpa 0 0, = Tpa S(α) = 0 и = Tpa 0 = S(α) Значит, = Tpa α = β I pa = α = β Аналогично (хотя и технически сложнее) можно показать, что = Tpa α > β I pa = α > β = Tpa α γ β I pa = α γ β Бескванторная формула это формула, не содержащая кванторов Итог: для любого бескванторного предложения ϕ верно = Tpa ϕ I pa = ϕ

30 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера А как быть с произвольной формулой ϕ( x n )? Шаг 1: перейти к предложению ψ: x n ϕ (очевидно, = Tpa ϕ = Tpa ψ) Шаг 2: преобразовать ψ в бескванторное предложение χ, такое что = Tpa ψ = Tpa χ Шаг 3: общезначимость предложения χ проверяется легко: это булева формула над высказываниями о равенстве, равенстве по модулю и неравенстве целых неотрицательных чисел Осталось показать, как преобразуется формула на шаге 2 На некоторое время забудем о теории T pa : = Tpa ψ = Tpa χ I pa = ψ I pa = χ

31 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера Каждый шаг преобразования состоит из нескольких этапов: заменим все кванторы на : x ϕ x ϕ рассмотрим подформулу x ϕ(x, x n ), где ϕ бескванторная формула преобразуем ϕ в ДНФ, используя законы булевой алгебры вынесем за квантор x слагаемые, не содержащие x: x (ϕ( x n ) ψ(x, x n )) ϕ( x n ) x ψ(x, x n ) перенесём квантор x под каждое слагаемое: x (K 1 K n ) x K 1 x K n каждую формулу x K i преобразуем в бескванторную с сохранением её значения в I pa Формула K i (x, x n ) трактуется в I pa как система (не)равенств над N 0 Покажем, как исключить x из произвольной системы с сохранением проекции множества решений на x n

32 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера Каждое (не)равенство системы можно привести к одной из следующих форм: (t 1, t 2 не зависят от x) αx + t 1 = t 2 αx + t 1 < t 2 αx + t 1 t 2 αx + t 1 β t 2 αx + t 1 t 2 αx + t 1 > t 2 αx + t 1 t 2 αx + t 1 β t 2 A β B A B A β B + 1 A β B A β B + (β 1) [ A > B A < B A B A B [ A = B A > B [ A = B A < B Значит, достаточно рассмотреть системы только над такими (не)равенствами: αx + t 1 = t 2 αx + t 1 < t 2 αx + t 1 β t 2 αx + t 1 > t 2

33 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера Если система содержит хотя бы одно равенство =, то исключить x можно так: { t αx + t1 = t 1 α t 2 2 S( x n ) ( x n ) t 2 t 1 S( x n ) αx + t 1 = t 2 βx + t 3 t 4... αx + t 1 = t 2 βx + t 3 γ t αx + t 1 = t 2 αt 3 + βt 2 αt 4 + βt 1 αx + t 1 = t 2 αβx + αt 3 αγ αt 4 Пусть теперь система не содержит равенств = αx + t 1 = t 2 αt 3 + βt 2 αγ αt 4 + βt 1...

34 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера Во всех строгих неравенствах системы можно получить одинаковые левые части: αx + t 1 1 t 2 βx + t 3 2 t 4... αβx + βt 1 + αt 3 1 βt 2 + αt 3 αβx + βt 1 + αt 3 2 αt 4 + βt 1... Если система содержит много строгих неравенств (в одну сторону) с одинаковыми левыми частями, то можно исключить x из всех неравенств, кроме одного: αx + t t 1 αx + t t { αx + t t1 t 1 t 2 { αx + t t2 t 2 t 1

35 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера Равенства по модулю разных чисел можно привести к равенствам по модулю одного числа: αx + t 1 γ t 2 βx + t 3 δ t 4... αδx + δt 1 γδ δt 2 βγx + γt 3 γδ γt 4... Итог: осталось показать, как исключить x из системы, содержащей не более одного неравенства αx + t > t 1, не более одного неравенства αx + t < t 2 с той же левой частью и произвольное число равенств β i x + t i 3 γ t i 4 по одинаковому модулю γ

36 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера Как исключить x из неравенства >: αx + t > t 1 αx + t < t 2 βx + t 3 γ t 4... Если t > t 1, то неравенство выполнено Для каждого решения системы, такого что t t 1, найдётся решение, отличающееся только значением x: αx + t {t 1 + 1,..., t 1 + αγ} Значит, неравенство αx + t > t 1 можно заменить на совокупность t > t 1 αx + t = t αx + t = t αx + t = t 1 + αγ

37 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера Как исключить x из < и γ, когда он исключён из >: [αx + t < t 2 ] βx + t 3 γ t [t < t 2 ] t 3 γ t 4 [α + t < t 2 ] β + t 3 γ t 4... [α(γ 1) + t < t 2 ] β(γ 1) + t 3 γ t 4...

38 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера И причём здесь теория T pa? Сохранение T pa -(не)общезначимости формулы на каждом элементарном шаге преобразования системы (не)равенств, записанном как преобразование формулы, обосновывается аналогично тому, как обосновывалось точное арифметическое осмысление бескванторных предложений в начале доказательства Примеры таких элементарных шагов: перестановка слагаемых вынесение переменной x в каждой части добавление [вычитание] равных чисел к частям [из частей] (не)равенства умножение (не)равенства на число (для (не)равенства по модулю с домножением основания на то же число)...

39 Доказательство разрешимости арифметики Пресбургера Вопрос на понимание: А где в доказательстве применяется схема математической индукции?

40 Арифметика Пресбургера Теорема полноты арифметики Пресбургера Арифметика Пресбургера полна Теорема о выразительности арифметики Пресбургера Существует формула ϕ( x n ) сигнатуры σ pa, выполняющаяся в интерпретации I pa в точности на наборах предметов множества D Существует совокупность систем линейных (не)равенств вида =,, >, <,,, α, α над N 0 с множеством решений D

41 Арифметика Пресбургера Доказательство теорем полноты и выразительности. Внимательно изучив доказательство теоремы разрешимости, можно убедиться, что каждую формулу ϕ( x n ) можно преобразовать в бескванторную формулу ψ( x n ) над сигнатурой, расширенной всеми требуемыми (не)равенствами, имеющую тот же арифметический смысл формула ψ( x n ) имеет в интерпретации I pa смысл совокупности систем линейных (не)равенств над N 0 если ϕ предложение, то ψ бескванторное предложение, для которого верно либо = Tpa ψ, либо = Tpa ψ

42 Конец лекции 11

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика и логическое программирование Лектор: Подымов Владислав Васильевич 2016, весенний семестр e-mail: valdus@yandex.ru Лекция 10 Аксиоматические теории Основные свойства теорий Теория

Подробнее

Вывод в исчислении предикатов

Вывод в исчислении предикатов Вывод в исчислении предикатов В.Я. Беляев Лекция 1. Аксиомы и правила вывода В лекции приводится один из наиболее простых вариантов построения аксиоматики исчисления предикатов. Во-первых, мы ограничиваемся

Подробнее

1 Арифметическая иерархия

1 Арифметическая иерархия ФИВТ МФТИ, весна 2013. Краткие заметки по курсу математическая логика. Часть четвертая: арифметическая иерархия и теорема Гёделя о неполноте (лекции 10 12). А.Е. Ромащенко. Заметки написаны для студентов,

Подробнее

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия i Лекции по Математической логике, часть 2 Профессор, член-корреспондент РАН С.С.Гончаров Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия gonchar@math.nsc.ru L 1 Модели и алгебраические

Подробнее

Логика предикатов лекция 5

Логика предикатов лекция 5 Логика предикатов лекция 5 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2009 lbekl@yandex.ru 12.03.2008 Предикаты и функции Пусть M непустое множество. n-арный предикат на M: подмножество Q M n

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 14. Теория множеств Цермело Френкеля. Наш предварительный план состоял в том, чтобы (1) выбрать язык для записи математических утверждений (в

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ УТВЕРЖДАЮ 06 сентября 2011г. Рабочая программа дисциплины

Подробнее

Основы математической логики и логического программирования. ЛЕКТОР: В.А. Захаров

Основы математической логики и логического программирования. ЛЕКТОР: В.А. Захаров Основы математической логики и логического программирования ЛЕКТОР: В.А. Захаров Лекция 20. Правильные программы. Императивные программы. Задача верификации программ. Логика Хоара. Автоматическая проверка

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЛЕКЦИЯ 7 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА ЛЕКЦИЯ 7 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Введение в логику первого порядка Есть два основных квантора существования ( ) и всеобщности ( ). Помимо кванторов есть также не логические, а математические знаки, связывающие

Подробнее

1 Аксиоматическая теория множеств

1 Аксиоматическая теория множеств ПРОГРАММА обязательного курса для студентов кафедры математической логики и теории алгоритмов. 1 Аксиоматическая теория множеств 1. Понятие множества. Равенство множеств. Аксиома объемности. Противоречивость

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2010 Математика и механика 1(9) В.М. Зюзьков НЕРАЗРЕШИМЫЕ КОСВЕННО РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2010 Математика и механика 1(9) В.М. Зюзьков НЕРАЗРЕШИМЫЕ КОСВЕННО РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2010 Математика и механика 1(9) УДК 519.95 В.М. Зюзьков НЕРАЗРЕШИМЫЕ КОСВЕННО РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Для теории формальной арифметики доказывается обобщение

Подробнее

Основы математической логики и логического программирования

Основы математической логики и логического программирования Основы математической логики и логического программирования ЛЕКТОР: Владимир Анатольевич Захаров zakh@cs.msu.su http://mathcyb.cs.msu.su/courses/logprog.html Лекция 2. Классическая логика предикатов первого

Подробнее

Основные определения и примеры ( )

Основные определения и примеры ( ) Э. А. Гирш: с/к Сложность пропозициональных доказательств, осень 2010 г. 1 Лекция 1 Основные определения и примеры (09.09.2010) (Конспект: А. Бешенов) 1.1 Введение. Основные определения (Детерминированный)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

Подробнее

Задачи по монадической логике второго порядка

Задачи по монадической логике второго порядка Задачи по монадической логике второго порядка I. Логика конечных слов Обозначения и соглашения. Рассматриваются слова над конечным алфавитом Σ. Формулы интерпретируются на начальных отрезках натурального

Подробнее

42. Булева алгебра. Функции алгебры логики

42. Булева алгебра. Функции алгебры логики Е.В.Просолупов 42. Булева алгебра. Функции алгебры логики 1 Булевы функции Будем рассматривать булевы функции функции, аргументы и значения которых принимают значения истина и ложь. Истину и ложь будем

Подробнее

Теоремы Гёделя о неполноте и результаты о неразрешимости Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2009 г.

Теоремы Гёделя о неполноте и результаты о неразрешимости Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2009 г. Теоремы Гёделя о неполноте и результаты о неразрешимости Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2009 г. Л.Д. Беклемишев 1 Теорема Гёделя о неполноте 1.1 Арифметика Пеано и арифметика Робинсона Мы докажем несколько

Подробнее

Введение в математическую логику. Лекция 4

Введение в математическую логику. Лекция 4 Введение в математическую логику Лекция 4 1 Логика высказываний Построение сложных высказываний из простых Для простых существенна только их истинность. О чем высказывания не существенно и не видно. 2

Подробнее

Формальные модели программ

Формальные модели программ Формальные модели программ Менее известные модели вычислений. Тезис Чёрча- Тьюринга. Теорема Райса о неразрешимости нетривиальных свойств. Формальные системы. Истинность и ложность в формальных системах.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ. ИГРА ЭРЕНФОЙХТА

ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ. ИГРА ЭРЕНФОЙХТА ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ. ИГРА ЭРЕНФОЙХТА 1. Элиминация кванторов На предыдущей лекции была изучена элиминация кванторов в случае натуральных чисел, равенств и операции прибавления единицы. В результате

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Министерство по образованию и науке Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса А.А. СТЕПАНОВА Т.Ю. ПЛЕШКОВА Е.Г. ГУСЕВ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 5 Логика отношений До сих пор мы рассматривали некоторую структуру и анализировали формулы в этой структуре. Так, мы рассматривали натуральный

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 3 Нормальные формы Определение 10 Литерал это переменная или ее отрицание. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) это дизьюнкция нескольких

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы математической логики: исчисления Раздел электронного учебника для сопровождения лекции

Подробнее

Основы математической логики и логического программирования. ЛЕКТОР: В.А. Захаров

Основы математической логики и логического программирования. ЛЕКТОР: В.А. Захаров Основы математической логики и логического программирования ЛЕКТОР: В.А. Захаров Лекция 8. Алгоритм унификации. Подстановка θ называется наиболее общим унификатором (НОУ) выражений E 1 и E 2, если 1. θ

Подробнее

Метод резолюции в Исчислении высказываний

Метод резолюции в Исчислении высказываний Метод резолюции в Исчислении высказываний В.Я. Беляев Лекция 1. Метод Правило резолюции в логике высказываний представляет собой умозаключение со следующей структурой A B, A C B C Здесь A, B и C - произвольные

Подробнее

Запросы к базам знаний

Запросы к базам знаний Глава 8 Запросы к базам знаний База знаний представляет собой совокупность утверждений о некоторой предметной области, собранную экспертами в этой области. Чтобы этими знаниями можно было пользоваться,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Булевы и логические функции Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

Направление подготовки МАТЕМАТИКА. Профиль подготовки: все профили. Квалификация (степень) выпускника. Бакалавр, дипломированный специалист

Направление подготовки МАТЕМАТИКА. Профиль подготовки: все профили. Квалификация (степень) выпускника. Бакалавр, дипломированный специалист РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ Направление подготовки МАТЕМАТИКА Профиль подготовки: все профили Квалификация (степень) выпускника Форма обучения Бакалавр, дипломированный

Подробнее

Свойства булевых операций. Двойственность

Свойства булевых операций. Двойственность Математическая логика Свойства булевых операций. Двойственность Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru Курс математической

Подробнее

Лекция 3: множества и логика

Лекция 3: множества и логика Лекция 3: множества и логика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Мы уже использовали понятие множества и в дальнейшем будем его использовать постоянно. Сейчас

Подробнее

Исчисление предикатов

Исчисление предикатов Исчисление предикатов Оглавление 1. Определение предиката 2. Множество истинности предиката 3. Классификация предикатов 4. Теоремы о тождественно истинных (тождественно ложных) и равносильных предикатах

Подробнее

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 7

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 7 Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 7 Л.Д. Беклемишев 3.12 Теории и их модели Определение 3.64. Теорией сигнатуры Σ называем произвольное множество T замкнутых

Подробнее

Вычислительная сложность логики ALC

Вычислительная сложность логики ALC Глава 5 Вычислительная сложность логики ALC 5.1 Верхняя оценка сложности логики ALC Обычно длиной какого-либо синтаксического объекта (концепта, TBox, ABox и т.п.) называют число символов, использованных

Подробнее

Лекция 14. Теорема о неподвижной точке

Лекция 14. Теорема о неподвижной точке Лекция 14. Теорема о неподвижной точке Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Универсальную вычислимую функцию удобно представлять как язык программирования: первый

Подробнее

1 Логика и арифметике

1 Логика и арифметике Московский физико-технический институт (ГУ) Факультет инноваций и высоких технологий Математическая логика и теория алгоритмов, весна 2016 Программа экзамена Экзамены, сэр, это чистейшая чепуха, от начала

Подробнее

5. Исчисление высказываний и предикатов

5. Исчисление высказываний и предикатов 5. Исчисление высказываний и предикатов Пусть дано непустое множество простых предложений Q. Расширим это множество, присоединив к нему все те предложения, которые можно образовать с использованием сентенциональных

Подробнее

Введениевматематическую логику. Лекция 8

Введениевматематическую логику. Лекция 8 Введениевматематическую логику Лекция 8 1 Логикавысказываний (напоминание) ФормулыстроятсяизлогическихпеременныхА 0,А 1,А 2,... с помощьюлогическихсвязок,,,, искобок. Для формулы определено её значение

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Курс лекций по математической

Курс лекций по математической ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................. 3 Часть I. логике Курс лекций по математической Введение............................... 7 Глава 1. Алгебра логики...................... 11 1. Понятие

Подробнее

Неравенства с двумя переменными и их системы. Взаимно-обратные функции.

Неравенства с двумя переменными и их системы. Взаимно-обратные функции. 9 класс Модуль «Системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными. Степени и корни.» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Проверяемые знания/ умения Уравнения второй степени

Подробнее

или непосредственно выводимым выражением из формул, полученным по правилу вывода R. Если существует R l

или непосредственно выводимым выражением из формул, полученным по правилу вывода R. Если существует R l Лекция 4 Формальные системы и умозаключения Логика предикатов Цель лекции познакомить студентов с формальными системами, с исчислением высказываний и предикатов, с умозаключениями как формой мышления 4

Подробнее

Лекция 16. Универсальная машина Тьюринга

Лекция 16. Универсальная машина Тьюринга Лекция 16. Универсальная машина Тьюринга Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Важнейшим свойством вычислимых функций является существование универсальной вычислимой

Подробнее

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод Аксиоматический метод Лекция по предмету «основы мат. Обработки информации» Составитель: доцент кафедры ИТОиМ КГПУ им. В.П. Астафьева Романова Н.Ю. Аксиоматический метод построения научной теории заключается

Подробнее

Лекция 1: математическая индукция

Лекция 1: математическая индукция Лекция : математическая индукция Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 04 весна 05) Математическая индукция очень популярный способ рассуждений. Он будет часто применяться дальше

Подробнее

Лекция 13. Вычислимые функции, перечислимые и разрешимые множества 2

Лекция 13. Вычислимые функции, перечислимые и разрешимые множества 2 Лекция 13. Вычислимые функции, перечислимые и разрешимые множества 2 Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) 1 Перечислимые множества в терминах вычислимых функций

Подробнее

Логика предикатов лекция 8

Логика предикатов лекция 8 Логика предикатов лекция 8 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2008 lbekl@yandex.ru 27.03.2008 Полнота и компактность Tеорема. Теория T непротиворечива T выполнима (имеет модель). Tеорема.

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И АЛГОРИТМЫ

ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И АЛГОРИТМЫ Ю. И. Журавлёв, Ю. А. Флёров, М. Н. Вялый ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И АЛГОРИТМЫ Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в

Подробнее

ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА» учебный год Лектор член-корр. РАН, д.ф.-м.н. С.С. Гончаров. 1-й семестр курса лекций

ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА» учебный год Лектор член-корр. РАН, д.ф.-м.н. С.С. Гончаров. 1-й семестр курса лекций ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА» 2012 2013 учебный год Лектор член-корр. РАН, д.ф.-м.н. С.С. Гончаров Обучение по основному курсу «Математическая логика» ведется в течение двух семестров: во втором

Подробнее

Теория вычислительных процессов и структур. Лекция 2. Стандартные схемы программ

Теория вычислительных процессов и структур. Лекция 2. Стандартные схемы программ Теория вычислительных процессов и структур Лекция 2. Стандартные схемы программ Содержание лекции Программа как объект исследования Стандартные схемы Класс стандартных схем Интерпретация схемы Программа

Подробнее

Логика предикатов лекция 7

Логика предикатов лекция 7 Логика предикатов лекция 7 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2009 lbekl@yandex.ru 26.03.2009 Подстановка в логике предикатов Подстановка C[P/A] разрешена, если P не находится в C в области

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УТВЕРЖДАЮ Начальник Управления образовательных программ и стандартов высшего и профессионального образования В.И. Кружалин 2003 г. УТВЕРЖДАЮ Зам. председателя

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Лекция 9. Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 9. Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 9 Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Функции конечнозначных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значной логики: таблицы, формулы, I-я и II-я формы, полиномы. Полнота. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет математический Кафедра

Подробнее

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 15. Функции конечно-значных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значной логики: таблицы, формулы, I-я и II-я формы, полиномы. Полнота. Лектор - доцент Селезнева

Подробнее

Введениев математическуюлогику итеориюалгоритмов

Введениев математическуюлогику итеориюалгоритмов Введениев математическуюлогику итеориюалгоритмов Лекция 8 АлексейЛьвовичСеменов 1 22.10.2012 Модель теории. Семантические свойства. M= структура, Φ замкнутаяформула, M Φ означает, чтоформула

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Системы линейных уравнений Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

Лекция 5: упорядоченные множества

Лекция 5: упорядоченные множества Лекция 5: упорядоченные множества Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) 1 Отношения порядка Отношения порядка возникают, когда мы хотим сравнивать элементы множеств.

Подробнее

1.ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1.ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Специальность 010101 «Математика» Квалификация Математик ОПД.Ф.06 Математическая логика Логические исчисления, модели: исчисление

Подробнее

Программа коллоквиума по дискретной математике (основной поток)

Программа коллоквиума по дискретной математике (основной поток) Программа коллоквиума по дискретной математике (основной поток) В начале коллоквиума Вы получите билет, в котором будет три вопроса: вопрос на знание определений, задача, вопрос на знание доказательств.

Подробнее

Лекция 14. Константный в худшем случае. алгоритма поиска идентичных объектов. Оценки памяти константного в худшем случае

Лекция 14. Константный в худшем случае. алгоритма поиска идентичных объектов. Оценки памяти константного в худшем случае Лекция 14. Константный в худшем случае алгоритм поиска идентичных объектов. Оценки памяти константного в худшем случае алгоритма поиска идентичных объектов. 1 Константный в худшем случае алгоритм поиска

Подробнее

Естественные негёделевы определения неполноты

Естественные негёделевы определения неполноты Естественные негёделевы определения неполноты Ватолин Дм. Даны определения «полноты» и «неполноты» для математических теорий, отличные от гёделевых. Исключены противоречия гёделевых доводов. Найдены теоремы,

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Кодирование. В.Е. Алексеев

Кодирование. В.Е. Алексеев http://vmcozet/ Кодирование ВЕ Алексеев Задача оптимального кодирования Побуквенное кодирование Пусть A a a a } и B b b b } два алфавита Побуквенное кодирование состоит в том что в кодируемом тексте слове

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

А. А. Шум ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ

А. А. Шум ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ & А. А. Шум ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 2 Министерство образования Российской Федерации Тверской государственный технический университет А. А. Шум ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Учебное

Подробнее

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Системы линейных уравнений Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр.

Подробнее

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 4

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 4 Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 4 Л.Д. Беклемишев 2.6 Непротиворечивые множества формул Определение 2.22. Множество формул Γ называется противоречивым,

Подробнее

Тождества Булевой алгебры

Тождества Булевой алгебры Тождества Булевой алгебры Основная задача математической логики на основании ложности или истинности простых высказываний определить значение сложного высказывания. Логические операции алгебре высказываний

Подробнее

О ФУНКЦИЯХ, КОММУТИРУЮЩИХ С ПОЛУГРУППАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ АЛГЕБР А. Г. Пинус

О ФУНКЦИЯХ, КОММУТИРУЮЩИХ С ПОЛУГРУППАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ АЛГЕБР А. Г. Пинус Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 41, 6 УДК 519.48 О ФУНКЦИЯХ, КОММУТИРУЮЩИХ С ПОЛУГРУППАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ АЛГЕБР А. Г. Пинус Аннотация: Указаны индуктивные определения функций,

Подробнее

Терминологии. Глава 2

Терминологии. Глава 2 Глава 2 Терминологии Концепты ДЛ интересны не столько сами по себе, сколько как инструмент для записи знаний об описываемой предметной области. Эти знания подразделяются на общие знания о понятиях и их

Подробнее

Логика предикатов. Задача 3. Привести к предварённой нормальной форме формулу x yp(x, y) x yq(x, y).

Логика предикатов. Задача 3. Привести к предварённой нормальной форме формулу x yp(x, y) x yq(x, y). Логика предикатов Основные задачи Задача 1. На множестве натуральных чисел заданы трехместные предикаты S(x, y, z) x + y = z, P (x, y, z) x y = z. На языке первого порядка с предикатными символами S, P

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Математическая логика и теория алгоритмов

Математическая логика и теория алгоритмов Математическая логика и теория алгоритмов Лектор: А. Л. Семенов Лекция 2 Попытка расширить пределы вычислимого Наряду с теми операциями над вычислимыми функциями, которые мы рассматривали, возможны более

Подробнее

Математическая логика и теория алгоритмов

Математическая логика и теория алгоритмов Математическая логика и теория алгоритмов Лектор: А. Л. Семенов Лекция 2 Оглавление Теория множеств. Продолжение...1 Теория множеств. Пределы расширения...2 Гипотеза Континуума...3 Геометрия. Пятый постулат...4

Подробнее

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2013 г. Л.Д. Беклемишев

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2013 г. Л.Д. Беклемишев Логика и Алгоритмы Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2013 г. Л.Д. Беклемишев 1 Аксиомы теории множеств Основными неопределяемыми понятиями теории множеств являются понятие множества и понятие быть

Подробнее

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекций 1 и 2

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекций 1 и 2 Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекций 1 и 2 Л.Д. Беклемишев 1 Логика высказываний 1.1 Алфавит, буква, слово Определение 1.1. Алфавитом будем называть любое

Подробнее

Программа коллоквиума по дискретной математике на пилотном потоке

Программа коллоквиума по дискретной математике на пилотном потоке Программа коллоквиума по дискретной математике на пилотном потоке В начале коллоквиума Вы получите билет, в котором будет три вопроса: вопрос на знание определений, задача, вопрос на знание доказательств.

Подробнее

Практические задания... 69

Практические задания... 69 ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ... Введение... 2 I. ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ... 6 I.. Примитивно рекурсивные функции. Базис элементарных функций. Операции подстановки и примитивной рекурсии. Основные

Подробнее

Вычислимые функции. Перечислимые и разрешимые множества

Вычислимые функции. Перечислимые и разрешимые множества Лекция 15 Вычислимые функции. Перечислимые и разрешимые множества Последним обширным сюжетом нашего курса будет введение в теорию алгоритмов. Понятие алгоритма кажется современному человеку столь же привычным

Подробнее

2. Метод математической индукции. Множества и отображения

2. Метод математической индукции. Множества и отображения 2. Метод математической индукции. Множества и отображения 2.1. Метод математической индукции. Строение множества натуральных чисел порождает метод математической индукции доказательства утверждений, истинность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

Оптимизация систем логического программирования посредством преобразований их программ

Оптимизация систем логического программирования посредством преобразований их программ МАТЕМАТИКА УДК 519.68:510 С. А. Нигиян, Л. О. Хачоян, В. Р. Акопян Оптимизация систем логического программирования посредством преобразований их программ (Представлено академиком Н.У. Аракеляном 14/X 2003)

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Лекция 11. Булевы схемы.

Лекция 11. Булевы схемы. Лекция 11. Булевы схемы. Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Булевой схемой от переменных x 1,..., x n мы будем называть последовательность булевых функций g

Подробнее

Тема: Предел функции

Тема: Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции предел функции и его свойства, бесконечно большие функции и их свойства Лектор Янущик ОВ 215 г 3 Предел функции 1 Определение предела

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УДК О квазирезольвентных моделях. А.Н.Хисамиев

УДК О квазирезольвентных моделях. А.Н.Хисамиев УДК 512.540+510.5 О квазирезольвентных моделях А.Н.Хисамиев В монографии Ю. Л. Ершова [1] введено важное понятие квазирезольвентного допустимого множества и доказаны: 1. Если M модель регулярной (т.е.

Подробнее

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина» Кафедра алгебры, геометрии и математического моделирования

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина» Кафедра алгебры, геометрии и математического моделирования УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина» алгебры, геометрии и математического моделирования О.В. Матысик Д.В. Грицук ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ Курс лекций для студентов

Подробнее

Глава III. Алгебра логики

Глава III. Алгебра логики Глава III. Алгебра логики Современная алгебра логики делится на алгебру высказываний и алгебру предикатов. Под высказыванием понимается имеющее смысл языковое выражение, относительно которого можно утверждать,

Подробнее

Универсальная теория сжатия данных: сложность по Колмогорову

Универсальная теория сжатия данных: сложность по Колмогорову Универсальная теория сжатия данных: сложность по Колмогорову 6.03.2013 Возможна ли универсальная теория информации? Можем ли мы определить, сколько информации содержится в строке? A = 01010101010101010101010101010101

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее