ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;"

Транскрипт

1 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных. Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. п. 1 Основные понятия 1 Функции двух переменных Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел ( ; ). Соответствие, которое каждой паре чисел ( ; ) D сопоставляет одно и только одно число R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значением в R, и записывается в виде ( ; ) или : D R. При этом и называются независимыми переменными (аргументами), а - зависимой переменной (функцией). Множество D D( ) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E ( ) или E. Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны и : S. Областью определения этой функции является множество ;,, Функцию ( ; ), где ( ; ) D можно понимать (рассматривать) как функцию точки М ( ; ) координатной плоскости Оху. В частности областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью. Значение функции ( ; ) в точке М ( ; ) обозначают ( ; ) или ( M ) и называют частным значением функции. Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке М ( ; ) области D в системе координат Оху соответствует точка М ( ; ; ), где ( ; ) - аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию.

2 Например, функция 1 имеет область определения круг 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке О ( ;;) и радиусом R=1 (см. рис. 5). Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы. п. Предел функции Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М ( ; ) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству ( ) ( ), называется - окрестностью точки М ( ; ). Другими словами - окрестность точки М -это все внутренние точки круга с центром М и радиусом (см. рис. 6). Пусть функция ( ; ) определена в некоторой окрестности точки М ( ; ), кроме быть может самой этой точки. Число А называется пределом функции ( ; ) при и (или, что то же самое, при M ; ) M ( ; ) ), если для любого существует, такое, ( что для всех и и удовлетворяющих неравенству ( ) ( ) выполняется условие ( ; ) A. Записывают: A lim ( ; ) или A lim ( M ) M M Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной по двум направлениям: справа и слева!) Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число, найдется - окрестность точки М ( ; ), что во всех ее точках М ( ; ), отличных от М, аппликаты соответствующих точек поверхности ( ; ) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на. Пример Найти предел lim.

3 Решение: Будем приближаться к О ( ;) по прямой k, где k - некоторое 1 1 число. Тогда lim k k k lim lim. k 1 k 1 k Функция в точке О ( ;) предела не имеет, т.к. при разных значениях k предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения). Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной (см. п. 17.3). Это означает, что справедливы утверждения: если функции (M ) и g(m ) определены на множестве D и имеют в точке М этого множества пределы А и В соответственно, то и ( M ) функции ( M ) g( M ), ( M ) g( M ),,( g( M ) ) имеют в точке М пределы, g( M ) A которые соответственно равны A B, A B, ( B ). B п.3 Непрерывность функции двух переменных Функция ( ; ) (или (M ) ) называется непрерывной в точке М ( ; ), если она: а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности б) имеет предел lim ( M ), М М в) этот предел равен значению функции в точке М, т.е. lim ( M ) ( M ) или lim ( ; ) ( ; ). М М Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва ( ; ) могут образовать целые линии разрыва. Так функция имеет линию разрыва. Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции ( ; ) в точке. Обозначим,, ( ; ) ( ; ). Величины и называются приращениями аргументов и, а - полным приращением функции ( ; ) в точке М ( ; ). Функция ( ; ) называется непрерывной в точке М ( ; ) D, если выполняется равенство lim, т.е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов и стремятся к нулю.

4 Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям подобные теоремы имели место для функций одной переменной. (см. п. 19.4). п.4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие области. Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности. Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки. Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области. Точка N называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается D. Рис. 7 Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной - окрестность точки М (х ; у ). Теорема Если функция = (N) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое число R >, что для всех точек N в этой области выполняется неравенство (N) < R; б) имеет точки, в которых принимает наименьшее m и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и М. Теорема дается без доказательства.. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ п.1. Частные производные первого порядка Пусть задана функция = (; у). Так как х и у независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение х, сохраняя значение у неизменным.

5 Тогда получит приращение, которое называется частным приращением по х и обозначается. Итак, = ( + х; у) - (; у). Аналогично получаем частное приращение по у: = (; + ) - (; ). Полное приращение функции определяется равенством = ( + х; у + ) - (; у). Если существует предел ; ; lim lim то он называется частной производной функции = (; у) в точке М (х; у) по переменной х и обозначается одним из символов:,,,. Частные производные по в точке М (х ; у ) обычно обозначают символами ( ; ),. M Аналогично определяется и обозначается частная производная от = (; у) по переменной у: ; ; lim lim Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции (; ) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной). Пример.1. Найти частные производные функции = у + е х у +1. Решение: e 1 e 1 e e e e ; 1 п. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Графиком функции = (; у) является некоторая поверхность (см. п. 1.1). График функции = (; ) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = у Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п..), заключаем, что ( ; ) = tg, где угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой = (; ) в точке М (х ; у ; (х ; у )) (см. рис. 8).

6 Аналогично, ( ; ) = tg. п.3. Частные производные высших порядков Частные производные ; и ; называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х; у) D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом: ; ; ; ; ; ; ; Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков. Так,, 4 3 (или 4 ) и т. д. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

7 Пример.. Найти частные производные второго порядка функции = х 4 х у 3 + у Решение: Так как ' = 4х 3 4ху 3 и ' = 6 + 5у 4, то , Оказалось, что. Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства. Теорема.1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для = (х;у) имеем:. 3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции Пусть функция = (х;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке M: = (х + ; у + ) (х;у) Функция = (х;у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде = А + В + +, (.1) где = ( х, ) и = (, ) при ;,. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (.1) представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращение функции = (х;у), линейная относительно и, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом d: d = A +В. (.) Выражения А и В называют частными дифференциалами. Для независимых переменных и у полагают = dх и = dу. Поэтому равенство (.) можно переписать в виде d = Аdх + В d. (.3) Теорема. (необходимое условие дифференцируемое функции). Если функция = (х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и, причем = А, = В. Так как функция дифференцируема в точке M, то имеет место равенство (.1). Отсюда вытекает, что lim =. Это означает, что функция непрерывна в точке

8 M. Положив =, в равенстве (.1), получим: = А +. Отсюда находим = А +. Переходя к пределу при, получим lim, т. е. = А. Таким образом, в точке M существует частная производная (х;у) = А. Аналогично доказывается, что в точке M существует частная производная (х;у) = = B. Равенство (.1) можно записать в виде, где = + при,. Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функция не дифференцируема в точке (;). Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (.3) принимает вид: d d d (.5) или d = d + d, где d = dх, d = d частные дифференциалы функции = (х;у) Теорема.3 (достаточное условие дифференцируемое функции). Если функция = (х;у) имеет непрерывные частные производные и в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (.5). Примем теорему без доказательства. Отметим, что для функции у=(х) одной переменной существование производной '(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке. Чтобы функция = (х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные. Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных. 4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

9 Из определения дифференциала функции = (х;у) следует, что при достаточно малых х и у имеет место приближенное равенство d (.6) Так как полное приращение = (х + х;у + ) - (;у), равенство (44.6) можно переписать в следующем виде: ; ; ; ;. (.7) Формулой (.7) пользуются в приближенных расчетах. Пример 4.1. Вычислить приближенно 1, 3,1. Решение: Рассмотрим функцию = х у. Тогда 1, 3,1 = (х + х) у+ у, где х = 1, =,, у = 3, =,1. Воспользуемся формулой (44.7), предварительно найдя ' и ' у : ' = (х у )' х = ух у-1, ' у = (х у )' у = х у lnх. Следовательно, 1, 3, , +1 3 In 1,1, т. е. 1, 3,1 1,6. Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: 1, 3,1 1, Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д. 5. Дифференцирование неявной функции Функция = (х;у) называется неявной, если она задается уравнением F(; у; ) =, (5.11) неразрешенным относительно. Найдем честные производные и неявной функции, заданной уравнением (5.1). Для этого, подставив в уравнение вместо функцию (; у), получим тождество F(; у; (х;у)) =. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю: F F F(; у; (х; у)) = = (у считаем постоянным), F F F(; у; (х; у)) = = (х считаем постоянным), откуда F F и, F (5.) F F Замечания. а) Уравнение вида (5.1) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х + у + 4 = определяет функции 1 = 4 и = 4 4, определенные в круге х + у 4, 3 =, определенную в полукруге х +у 4 при у и т. д., а уравнение cos ( + + 3) 4 = не определяет никакой функции.

10 Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(; у; ) и ее производные F (; у; ), F (; у; ), F(; у; ) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M ( ; у ; ), причем F ( ; у ; ) =, а F ( ; у ; ), то существует окрестность точки M, в которой уравнение (5.1) определяет единственную функцию = (х; у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х ; у ) и такую, что (х ; у ) =. б) Неявная функция у = (х) одной переменной задается уравнением F(; у) =. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле: F F F. Пример 5.1. Найти частные производные функции, заданной уравнением е + х у + 1 =. Решение: Здесь F (; у; ) = е + х у + 1, F = ху, F = х, F = е + 1. По формулам (44.1) имеем:, e 1 e 1 d Пример 5.. Найти, если неявная функция у = (х) задана уравнением d у 3 + =. Решение: Здесь F(; у) = у 3 + у х, F =,, 3 т.е. d d 3 F= 3у +. Следовательно, 6. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция = (х ;у) дифференцируема в точке (х ; у ) некоторой области D R. Рассечем поверхность S, изображающую функцию, плоскостями х = и у = у (см. рис. 6.1). Рис. 6.1 Плоскость х = пересекает поверхность S по некоторой линии (), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции = (х; у) вместо х числа. Точка М (х ; у (х ;У )) принадлежит кривой (у). В силу дифференцируемости функции в точке M функция (у) также является дифференцируемой в точке у =. Следовательно, в этой точке в плоскости х = к кривой (у) может быть проведена касательная l 1.

11 Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = у, построим касательную l к кривой (х) в точке х =. Прямые l 1 и l определяют плоскость а, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке M. Составим ее уравнение. Так как плоскость, проходит через точку М (х ; у ; ) то ее уравнение может быть записано в виде A B C, которое можно переписать так: A B (6.1) 1 1 A B (разделив уравнение на - С и обозначив A 1, B1 ). C C Найдем A 1 и B 1. Уравнения касательных l 1 и l имеют вид ;, ; ;, соответственно. Касательная l 1 лежит в плоскости, следовательно, координаты всех точек l 1 удовлетворяют уравнению (6.1). Этот факт можно записать в виде системы ;, ; =, A B. 1 1 Разрешая эту систему относительно B 1, получим, что B 1 = ;. Проводя аналогичные рассуждения для касательной l, легко установить, что A 1 = ;. Подставив значения A 1 и B 1 в уравнение (6.1), получаем искомое уравнение касательной плоскости: ; ; (6.). Прямая, проходящая через точку M и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью. Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали: ; ; 1 (6.3) Если поверхность S задана уравнением F(; у; ) =, то уравнения (6.) и (6.3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции: ; F ; F ;, ; F F (см. формулы (6.),(6.3)), примут соответственно вид ; ;

12 F ; F ; F ; F ; F ; F ;. Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка M поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем. Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к параболоиду вращения = х + у в точке M (1; -1;). Решение: Здесь = ;, ;, 1; 1, 1; 1. Пользуясь формулами (45.) и (45.3) получаем уравнение касательной плоскости: 1 1 или и уравнение нормали: ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ п.1 Основные понятия Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной Пусть функция = (х; у) определена в некоторой области D, точка ; D. Точка (х ;у ) называется точкой максимума функции ;, если существует такая -окрестность точки (х ; ), что для каждой точки (х;у), отличной от ( ; ), из этой окрестности выполняется неравенство (х;у) < ( ;у ). Аналогично определяется тонка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от ( ; ), из -окрестности точки ( ; ) выполняется неравенство: (х;у) > ( ; ). На рисунке 7.1: N 1 точка максимума, N - точка минимума функции = (;). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами. Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке ( ; ) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к ( ; ). В области D функция Рис. 7.1

13 может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного. п.. Необходимые и достаточные условия экстремума Рассмотрим условия существования экстремума функции. Теорема 7.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N( ; ) дифференцируемая функция = (х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ;, ;. Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=. Тогда получим функцию (х;у ) = одной переменной, которая имеет экстремум при х =. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной ; переменной, =, т. е.. Аналогично можно показать, что ;. ; ; Геометрически равенства и означают, что в точке экстремума функции = (х; у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию (х; у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть = (см. формулу (6.)). Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция = 1 имеет максимум в точке О(; ) (см. рис. 11), но не имеет в этой точке частных производных. Точка, в которой частные производные первого порядка функции = (; у) равны нулю, т. е. =, =, называется стационарной точкой функции. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются Рис. 7. критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию = ху. Для нее точка О(; ) является критической (в ней и обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция = ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки O(;) найдутся точки для которых > (точки I и III четвертей) и < (точки II и IV четвертей). Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию. Теорема 7. (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке {х о ;у о ) и некоторой ее окрестности функция (х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

14 Вычислим в точке ( ; ) значения А = Обозначим B ( ; ). В = ;, С = ; A B AC B C.. Тогда: 1.если >, то функция (х;у) в точке ( ; ) имеет экстремум: максимум, если А < ; минимум, если А > ;. если <, то функция (х;у) в точке ( ; ) экстремума не имеет. В случае = экстремум в точке ( ; ) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования. Примем без доказательства. Пример 1. Найти экстремум функции = О Решение: Здесь 6 3, 3 4. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют. Найдем стационарные точки, решая систему уравнений: 6 3, Отсюда получаем точки М 1 (6; 3) и M (;). Находим частные производные второго порядка данной функции:. 6 6, 6, 1. B точке M 1 (6; 3) имеем: А = -18, В = 36, С = -18, отсюда AC B , т.е. >. Так как А < О, то в точке М 1 функция имеет локальный максимум: 3 4 ma = 6; В точке M(;): А =, В =, С = и, значит, =. Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке M равно нулю: (; ) =. Можно заметить, что = - 4 < при х =, у ; = - х 3 > при х <, у =. Значит, в окрестности точки M (; ) функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке M функция экстремума не имеет.

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений,

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Дифференциальное исчисление функций многих переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций СЮ Галкина ОЕ Галкин

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения. Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия Глава 3 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Пусть имеется n+1 переменная 1,,, n,, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных 1,,, n соответствует единственное

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Теория функций нескольких переменных (аргументов)

Теория функций нескольких переменных (аргументов) Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения 1 Теория функций нескольких переменных (аргументов) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Определение функции

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N19. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность.

ЛЕКЦИЯ N19. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность. ЛЕКЦИЯ N9. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность..Основные определения и обозначения.....понятие функции нескольких переменных.... 3.Предел функции нескольких переменных.... 3 4.Непрерывность

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. Московский Государственный Технический Университет имени НЭ Баумана Дубограй ИВ Скуднева ОВ Левина А И Функции нескольких переменных методические указания для подготовки к аттестации Москва Издательство

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра высшей математики

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. - дифференцируемые функции, то сложная функция y f ( g( тоже дифференцируема, причѐм:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. - дифференцируемые функции, то сложная функция y f ( g( тоже дифференцируема, причѐм: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Дифференцирование сложных и неявных функций Приложения понятия частных производных(производная по направлению, градиент функции) Дифференцирование

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

«Функции нескольких переменных»

«Функции нескольких переменных» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальное исчисление функций нескольких

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Лекция 3. Рис. 1. , где функция f имеет непрерывные первые частные производные. Пусть, далее, P x, y, ) точка на S.

Лекция 3. Рис. 1. , где функция f имеет непрерывные первые частные производные. Пусть, далее, P x, y, ) точка на S. СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 3 Касательные плоскости и дифференциалы Касательные плоскости Рис Пусть поверхность S задана уравнением z f где функция f имеет непрерывные первые частные производные

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее