МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев"

Транскрипт

1 МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного решения БВ Заятуев

2 Введение В данном пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии приведены базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного решения Как показывает практика именно эта тема часто вызывает затруднение у студентов Это пособие как раз преследует цель усвоение знаний и развитие навыков решения задач по разделу многомерной геометрии в ходе самостоятельной подготовки к лекциям и практическим занятиям и непосредственно на самих практических занятиях Тематика пособия является актуальной так как -мерная геометрия обеспечивает необходимую фундаментальную подготовку студентов для овладения основных идей и методов современной математики

3 ВЕКТОРНОЕ -МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Определение Непустое множество V называется абстрактным векторным пространством над полем действительных чисел R если на нем определены операция сложения :V V V и операция умножения на число : R V V удовлетворяющие следующим условиям аксиомам векторного пространства: I Для любых векторов и из V ; II Для любых векторов и c из V c c; III Существует вектор нуль-вектор такой что для любого вектора ; IV Для каждого вектора существует вектор противоположный вектор такой что ; V Для любого вектора ; VI Для любых действительных чисел α β и любого вектора α β α β ; VII Для любых действительных чисел α β и любого вектора α β α β ; VIII Для любого числа α и любых векторов и α α α Определение Векторы существуют числа α такие что а называются линейно зависимыми если α α среди которых хотя бы одно отлично от нуля и

4 а α α α Если равенство имеет место только при α α α то векторы называются линейно независимыми Определение Упорядоченная система векторов { e e e } называется базисом векторного пространства V если Система { e } состоит из линейно независимых векторов; Любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов данной системы то есть e e e Число называется размерностью векторного пространства обозначение dm V а упорядоченный набор чисел называется координатами вектора в базисе { e e e } Векторное пространство размерности обозначается через V Основные свойства: y y то y y ; ο Если ο Если то α α Пусть { e } другой базис пространства V j и e A e j Тогда если j вектор имеет в базисе { e } координаты а в базисе { e } координаты y то j Aj y j Формулы называются формулами преобразования координат вектора В матричном виде они примут вид A A A A A A A y A y A y

5 Определение Два базиса { e j } и { e A e j} векторного пространства V j называются одинаково ориентированными если de A > Множество всех базисов пространства V разбивается на два класса одинаково ориентированных между собой базисов называемых ориентациями Векторное пространство V j с фиксированной ориентацией называется ориентированным Базис принадлежащий не принадлежащий фиксированной ориентации называется правым левым Теорема Если дана система векторов имеют координаты то ранг матрицы которые в данном базисе равен максимальному числу линейно независимых векторов системы Пример Пусть R { а : где R} множество состоящее из упорядоченных наборов из вещественных чисел Операции сложения и умножения на число в R определены по законам: ; λ λ λ λ Доказать что множество R образует -мерное векторное пространство R называется -мерным арифметрическим пространством Решение: Аксиомы I VIII векторного пространства легко следуют из свойств сложения и умножения вещественных чисел Так же как и в Задаче можно показать что упорядоченная система из векторов вида { } линейно независима и любой вектор является линейной комбинацией этих векторов:

6 Базис { } называется стандартным базисом пространства R Пример На множестве всех положительных действительных чисел операции сложения и умножения на действительные числа по законам: R : ; R α R: λ λ R введены Доказать что это множество является одномерным векторным пространством над полем R Решение: Проверим условия I-VIII аксиомы векторного пространства: I те II c c c c те c c III те нулевой вектор в R IV те противоположный вектор V ; β α αβ VI α β αβ ; VII α β α β α β α β α β ; α α α α α VIII α α α α Покажем теперь что любое положительное число является базисом R Для любого вектора log R имеем: log то есть {} базис R Значит пространство R одномерно Пример 6

7 7 В V векторы e e e e и 6 заданы своими координатами в некотором базисе Показать что векторы { } e e e e сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе Решение: Определитель матрицы составленной из координат векторов { } e e e e отличен от нуля: de Следовательно согласно Теореме эти векторы линейно независимы и в силу четырехмерности V они образуют его базис Найдем координаты вектора способ Чтобы найти координаты вектора используем формулу : 6 y y y y Отсюда 6 6 y y y y те в новом базисе способ Пусть α e β e γ e δ e Отсюда 6 γ β α δ γ α δ γ α δ γ β то есть

8 8 6 γ β α δ β α δ γ α δ γ β Решив данную систему линейных уравнений получим α β γ δ те в новом базисе Задачи для самостоятельного решения На множестве МR всех квадратных матриц го порядка над полем вещественных чисел определены операции сложения и умножения на действительные числа по законам: λ λ λ λ λ Доказать что это множество является четырехмерным векторным пространством Доказать что все многочлены степени от одного неизвестного с коэффициентами из поля R образуют векторное пространство над R если за операции взять сложение многочленов и умножение многочленов на число Найти базис и размерность этого пространства Доказать что в векторном пространстве МR матриц -го порядка векторы 6 образуют базис и найти координаты вектора 8 в этом базисе Найти координаты многочлена f а в базисе { } ;

9 б в базисе { α α } Векторы e e e и v заданы своими координатами в некотором базисе Показать что векторы e e e сами образуют базис и найти координаты вектора v в этом базисе: а e e e v 69; б e e e e v 7 6 В векторном пространстве V заданы две системы векторов: e } и e { e e e e { e e e e } в некотором базисе Показать что e и e базисы Найти формулы преобразования координат вектора при переходе от базиса e к базису e 7 Доказать что если базисы e и e e e и одинаково ориентированы то базисы e и e также одинаково ориентированы Подпространство векторного пространства Определение Непустое подмножество W V называется подпространством векторного пространства V если оно есть векторное пространство относительно операции из V Теорема Критерии подпространства Подмножество W V подпространство пространства V тогда и только тогда когда W W ; λ R W λ W Пусть векторы V Определение Множество 9

10 { V : где R} L есть векторное подпространство V называемое подпространством натянутым на векторы или линейной оболочкой векторов Из Теоремы получаем Следствие Размерность подпространства L натянутого на векторы равняется рангу матрицы составленной из координат этих векторов Пусть W и W - два подпространства векторного пространства V Определение Суммой подпространств W и W называется подпространство W W { V : W W прямой обозначение W W если W W {} } Сумма называется Определение Пересечением подпространств W и W называется подпространство W W { V : W W } Основные свойства: ο Если базис подпространства W то W L ; в частности V L e e e ο Для любых векторов m : L L m L m В частности если L L m {} то L L L m m ο dmw W m dmw dmw m dmw W m В частности dmw W m dmw dmw m Пример

11 В V дано подпространство W натянутое на векторы c 8 Определить принадлежит ли вектор этому подпространству Решение Из векторного равенства α β γ c находим пять уравнений на координаты вектора : α β γ β α γ β γ α 8 Эта система уравнений несовместна следовательно W Пример В пространстве V заданы векторы в базисе { } e e e e Найти базис подпространства натянутого на векторы Решение: Рассмотрим матрицу строки которой состоят из координат векторов : Приведя ее к ступенчатому виду получим Следовательно первые три строки образуют максимальную линейно независимую подсистему векторов и значит векторы образуют базис подпространства L

12 Пример В векторном пространстве V выбран базис Доказать что множество всех векторов координаты которых удовлетворяют однородной системе линейно независимых уравнений образуют подпространство W пространства V размерности Решение: Используем критерий подпространства пространства V Пусть координаты векторов и y y y y удовлетворяют системе те α Где α и получим α α y Тогда складывая почленно первое второе ое равенства из y те координаты вектора y удовлетворяют системе то есть y W Умножив все равенства из на λ получим λ α те если координаты вектора удовлетворяют системе то и координаты вектора λ для любого λ R удовлетворяют системе Таким образом по критерию подпространства получаем что множество всех векторов координаты которых удовлетворяют системе образуют подпространство W векторного пространства Найдем размерность этого подпространства Как известно [] фундаментальная система решений состоит из - линейно независимых векторов и любое решение можно представить как линейную

13 комбинацию векторов фундаментальной системы Следовательно векторы образуют базис подпространства W и значит размерность этого подпространства равна - Пример В V дан базис e Подпространство W задано системой двух линейно независимых уравнений а Найти базис подпространства W ; б Выяснить принадлежит ли вектор подпространству W Решение Найдем фундаментальную систему решений : 7 Отсюда 7 Положив соответственно р р р р р р р р р получим базис { } подпространства W б Так как координаты вектора удовлетворяют системе то W з Пример В V дан базис Подпространства W к и W m заданы системами линейно независимых уравнений

14 W к : W m : m m m Найти пересечение W к W m если m Решение Рассмотри систему состоящую из всех уравнений систем и Если W к W m то координаты вектора удовлетворяют системе Тк m к то m следовательно минимальное число линейно независимых уравнений в системе равно Пусть ранг основной матрицы системы равен r тогда r Если r - то W к W m и W к W m W к Если r то W к W m { } Если -< r < то W к W m W r где W r задается системой состоящей из всех r линейно независимых уравнений системы Пример 6 Найти пересечение двух подпространств в V если W : W *: Решение Пересечение подпространств W и W * задается системой

15 Найдем ранг ее основной матрицы: Следовательно ранг матрицы равен двум и см Пример W W * Так как размерности подпространств W и W * совпадают то W W * Пример 7 Найти уравнения подпространства L в V если Решение Для любого вектора L : Следовательно Из первых трех уравнений выражая через х х х и подставляя в последнее уравнение получим уравнение подпространства L : х х Пример 8 Найти базис суммы и пересечения подпространств W и W натянутых на векторы и Решение Найдем базис подпространства L L L Для этого рассмотрим матрицу составленную из координат векторов : и приведем ее к ступенчатому виду:

16 Первые три строки образуют максимальную линейно независимую подсистему векторов и значит { }-базис L Найдем базис подпространства L L Для этого найдем уравнения подпространств L и L см Пример 7: L : 7 ; L : Следовательно подпространство 7 L L задается системой Находя обычным образом ее фундаментальную систему решений получим что вектор базис L L Задачи для самостоятельного решения Является ли подпространством векторного пространства V все векторы координаты которых удовлетворяют уравнению: а ; б Найти размерность и базис подпространств натянутых на следующие системы векторов: а ; б В V 6 дано подпространство W натянутое на векторы Найти уравнения подпространства W и 6

17 определить принадлежат ли векторы 7 и y подпространству этому В V 6 подпространство W задано системой 6 а Найти базис подпространства W ; б Проверить принадлежит ли вектор подпространству W Найти базис суммы и пересечения подпространств в V натянутых на векторы: а и ; б и 6 Доказать что пространство R есть прямая сумма двух подпространств W - : и W : 7 Доказать что если сумма размерностей двух подпространств -мерного векторного пространства больше то подпространства имеют общий ненулевой вектор 8 Пусть W и W два подпространства V Доказать что всякий вектор W W единственным образом записывается в виде где W тогда и только тогда когда W W { } БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ Определение Билинейной формой определенной на векторном пространстве V называется отображение g: V V R линейное по каждому аргументу те g α β y α g y β g y ; 7

18 y g α y βy α g y β g y Если { e } -базис векторного пространства V и e y e то g y j j g y j где g g e e -координаты компоненты формы g в базисе { e } Матрица j j g j называется матрицей билинейной формы g Определение Билинейная форма g называется симметрической если для любых векторов y V выполняется равенство g y g y В координатном виде это очевидно равносильно g j g j то есть симметричности матрицы g j Если j e A e j -другой базис пространства то j g j l A A g l j j В матричном виде соотношения примут вид g A ga j где g g g g A j j A Определение Симметрическая билинейная форма называется положительно определенной если g > для любого ненулевого вектора Теорема Критерий Сильвестра Симметрическая билинейная форма j g y g y положительно определена тогда и только тогда когда все ее j j главные миноры положительны: g > g g g g g > > g g g g g g g g Пример 8

19 В V дан базис и векторы х y y Отображение g: V V R задано по законам а г Выяснить какие из заданных форм являются билинейными а g y х у х у б g y х /у х /у х /у х /у в g y х у х у г g y х у х у х у х у Решение Из следует что только формы а и г являются билинейными Причем в а g g остальные нули g g остальные нули; в г g g Пример В V дан базис векторы х y y и билинейные формы Выяснить какие из данных форм являются симметрическими положительно определенными а g y х у х у х у б g y х у х у х у y - х у х у в g y х у х у х у х у х у х у х у Решение а Эта форма симметрическая так как ее матрица g j симметрична Но ее главный минор < По теореме она не положительно определена б Эта форма не симметрическая так как ее матрица g j не симметрична 9

20 в Данная билинейная форма симметрическая так как ее матрица g j симметрична Кроме того g g g g g g > > g g g > g g g g g Следовательно эта форма положительна определена Пример В V билинейная форма g задана своей матрицей g j Найти g g e где Решение Имеем g y х у х у х у х у х у х у х у х у Следовательно для заданных векторов и g 7 Вектор e имеет координаты следовательно g e Задачи для самостоятельного решения В V п даны две билинейные формы g y и g y Является ли билинейной формой отображение а f y g y g y ; б f y g y g y Если g y билинейная несимметрическая форма то будет ли форма f y g y g y симметрической?

21 Если векторы и y не сопряжены относительно симметрической билинейной формы g y то могут ли быть сопряженными относительно этой формы векторы y и y те g y y В V дана билинейная форма g y х у х у х у х у х у х у х у Выписать ее матрицу и найти ее ранг В базисе { e e e } матрица билинейной формы g имеет вид g j Найти компоненты формы g в новом базисе e e e e e e e e e e e e Указание Использовать формулу 6 На евклидовой плоскости в базисе e j e j найти компоненты скалярного произведения ЕВКЛИДОВО -МЕРНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Определение Векторное пространство V называется евклидовым -мерным векторным пространством если на нем фиксирована симметрическая положительно-определенная билинейная форма g Число g y называется скалярным произведением векторов и y Имеет место обозначение g y y

22 Число g называется длиной вектора Основные свойства: ο y y неравенство Коши-Буняковского ο Для ненулевых векторов y y y где > Угол между векторами и y определяется по формуле y cos y y где y π Векторы и y называются ортогональными обозначение y если y Вектор называется ортогональным подпространству W обозначение W если W Подпространства W и W называются ортогональными обозначение W W если W и y W y Определение Базис { e e } называется ортонормированным если все его e векторы единичные и попарно ортогональные те e и e e j если j В ортонормированном базисе y y y y cos y y y y y y Пример Доказать что в евклидовом -мерном векторном пространстве выполняются равенства: а λ λ ; б : неравенство треугольника

23 Решение а λ λ λ б С учетом неравенства имеем те Пример В -мерном евклидовом векторном пространстве дан ортонормированный базис и векторы Найти вектор с ортогональный векторам и Решение Пусть вектор c ортогонален векторам и то есть c и c В координатном виде эти равенства примут соответственно вид: Любой вектор координаты которого удовлетворяют этой системе ортогонален векторам и Например c Пример В -мерном евклидовом векторном пространстве V дано -мерное < к < подпространство W и подмножество W { V : W} Доказать что W - к-мерное подпространство V и W W { }; V W W ; Подпространство W называется ортогональным дополнением подпространства W Решение

24 Пусть { e e e } ортонормированный базис данного -мерного векторного пространства а { } ортонормированный базис подпространства W и в базисе { } Тогда вектор W λ λ к λ λ к R те λ λ к λ λ к R e { } * Тк векторы линейно независимы то ранг матрицы α равен Следовательно * однородная система к линейно независимых уравнений с неизвестными По задаче из Í множество всех векторов координаты которых удовлетворяют системе * образуют мерное подпространство те множество векторов W образует п к-мерное подпространство Пусть W W Тогда λ λ к и Следовательно λ λ к λ λ к λ λ к те те W W { } Пусть W ο L Тогда с учетом свойств и ο из п получаем W W L L L V Пример В -мерном евклидовом векторном пространстве дан ортонормированный базис { e e e } и к-мерное подпространство W заданное системой линейно независимых уравнений Доказать что векторов образуют базис ортогонального дополнения W подпространства W

25 Решение C учетом ортонормированности базиса { e e e } систему можно переписать в виде где произвольный вектор принадлежащий W Следовательно векторы W Так как ранг основной матрицы системы равен то векторы линейно независимы и кроме того dm W см Пример Следовательно { } базис W Пример В -мерном евклидовом векторном пространстве дан ортонормированный базис { e e e e } а Найти систему уравнений определяющую ортогональное дополнение W подпространства W L где ; б Подпространство W задано системой уравнений Найти систему уравнений определяющую W Решение а Вектор W { } те W : б Из Пример следует что W L где и - Вектор х х х х W те х

26 х х х - Из последних двух уравнений выразим и через х и х и подставим найденные выражения в первые два уравнения Получим W : 7 Задачи для самостоятельного решения В базисе { e e e } пространства V задана билинейная форма g матрицей g j Доказать что пространство V g евклидово Пусть { e } { e } два ортонормированных базиса евклидова векторного пространства V j j и e A e j Доказать что матрица A A ортогональна j те A и de ± A A Доказать что если W W то W W { } Доказать что подпространства L и L m только тогда когда α α ; β m β ортогональны тогда и В -мерном евклидовом векторном пространстве дан ортонормированный базис { e e e } и подпространство W L где Найти систему уравнений определяющую ортогональное дополнение W подпространства W 6 В евклидовом векторном пространстве V 6 дан ортонормированный базис и 6

27 подпространство W заданное системой уравнений W : 6 Найти систему уравнений определяющую W ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Пусть V ориентированное -мерное евклидово векторное пространство и { e e e } правый ортонормированный базис Определение Смешанным или косым произведением векторов составленный из координат этих векторов те называется определитель Определение Векторным произведением - векторов [ ] называется вектор e e e Выражение можно переписать в следующем виде: [ ] e e e 7

28 Из известных свойств определителя следует что смешанное и векторное произведения обладают свойствами: ο те смешанное произведение l кососимметрично; ο векторы l линейно зависимы; ο [ l ] [ l кососимметрично; ο [ ] векторы линейно зависимы; ο [ ] ] те векторное произведение Определение Определителем Грама системы векторов определитель вида G где j скалярное произведение векторов называется Пример Доказать что для любой системы векторов векторного пространства V выполняется равенство: G -мерного еклидова те Решение С учетом имеем 8

29 T Пример Доказать что векторное произведение ] [ векторов евклидова пространства V ортогонально каждому сомножителю α α ο ο Решение С учетом свойств и имеем: ] те [ α α [ ] α Пример Доказать что для любой системы векторов векторного пространства V выполняется равенство: G 6 [ ] -мерного еклидова ο Решение С учетом свойства имеем: [ ] [ ] [ ] Следовательно в силу и Пример [ ] те [ ] [ ] G те G [ ] [ ] [ ] G 9

30 Пример В -мерном евклидовом векторном пространстве дан ортонормированный базис { e e e e } Найти базис ортогонального дополнения W подпространства W L где Решение Так как dm W dm W см Пример из п Следовательно вектор ] базис подпространства W [ Из имеем ] [ e e e e e e e e те базис W Задачи для самостоятельного решения Доказать что если заменить ортонормированный базис { e } на другой ортонормированный базис e } то смешанное произведение не { изменится если базисы { e } и { e } если они противоположно ориентированы одинаково ориентированы и меняет знак Пусть { e e e e } правый ортонормированный базис пространства V Доказать что [ e e e] e [ e e e] e [ e e e ] e [ e e e] e Доказать что в евклидовом -мерном векторном пространстве выполняется равенство:

31 В -мерном евклидовом векторном пространстве дан ортонормированный базис { e e e e e } Найти базис ортогонального дополнения W подпространства W L если 6 АФФИННОЕ -МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Определение Множество А называется -мерным аффинным пространством над - мерным векторным пространством V если задано отображение σ : А А V сопоставляющее каждой упорядоченной паре точек A B из А вектор из V который обозначается через AB σ A B и выполнены следующие аксиомы аксиомы Вейля: A А V! X А : AX A B C А AB BC AC аксиома треугольника Определение Множество состоящее из точки О и произвольного базиса { e e } называется аффинной системой координат пространства А и e обозначается символом координат а векторы Oe e e или короче e e координатными векторами Пусть М- произвольная точка пространства и e Oe Точку О называют началом OM e e e Упорядоченный набор чисел называется координатами точки М в аффинной системе координат Основные свойства: ο A А AA ; ο Если AB то A B ; A B А AB BA ο ο Если Oe A B y то AB y

32 Пусть I Oe и II O e две аффинные системы координат и OO j e e A e j Тогда j M I М y II j Aj y 6 j Формулы называются формулами преобразования координат точки В матричном виде они примут вид: A A A A A A A y A y 6 A y Определение Отрезком соединяющим точки A и B называется множество { M A : AM AB где } [ AB] Говорят что точка С делит отрезок [AB] в отношении AB C λ если AC λcb Если λ то точка С называется серединой отрезка [AB] Если λ > то говорят что точка С лежит внутри отрезка [AB] λ обозначение Пример Доказать что -мерное арифметическое пространство R является - мерным аффинным пространством Решение Рассмотрим R одновременно как точечное множество и векторное пространство Для произвольных точек A и B положим σ A B Относительно этого σ легко проверить R является - мерным аффинным пространством Пример В А дана система координат Oe e e и такие точки Е что OE e Найти а координаты точек O E E E ; б координаты точки P если M и MP OE EE

33 Решение а Имеем OO O OE e E E б EE OE OE e e OP и OM MP e e e e e e e e e e P то есть Замечание Упорядоченная система точек { O E } называется аффинным репером E Пример В А дана система координат Oee e и две точки A B Найти координаты точки C если AB C λ Решение Пусть точка C имеет координаты с Тогда условие AB C λ те AC λcb примет вид AC с λ CB λ c Следовательно с λ c Отсюда λ с λ В частности координаты середины отрезка [AB] равны с Пример В А дана система координат точки M P и MP A Найти координаты точки A Решение Пусть A По условию MA AP Приравняв соответствующие координаты равных векторов MA и AP найдем координаты точки А :

34 Пример В А даны две системы координат I e e Oe e и II e e e Oe I O e I I e I e I e Найти а координаты точки I A в системе II; б точки имеющие одинаковые координаты в системах I и II Решение а С учетом формул преобразования координат 6 имеем: y y y y то есть y y y y y y y y Решив систему получим II A б Пусть II I M Тогда или Данная система уравнений несовместна следовательно такой точки нет Пример 6

35 В А даны три системы координат I Oe II O e j j j III O e j e A e j e B e O O I II Найти формулы преобразования координат при переходе от системы I к системе III Решение Если A y M M y и M z III то I II j j j и j j j y B z Следовательно j j j j Aj B z AjB z Aj j j координат при переходе от системы I к системе III - формулы преобразования j Пример 7 Всегда ли формулы вида j Aj y j являются формулами преобразования координат точки в А Решение Формулы являются формулами преобразования координат точки в А если матрица A невырождена Так как только в этом случае векторы j j j e A e j образуют базис направляющего пространства А Задачи для самостоятельного решения Доказать что -мерное векторное пространство V является -мерным аффинным пространством Доказать что в А для любых точек М М М к выполняется равенство M M M M M M M M Определить координаты новых базисных векторов и нового начала координат в старой системе если даны формулы преобразования координат:

36 а б y y ; y 6 y y y y y y y В А даны две системы координат I Oe ee e и II Oe e e e e I в системе I e I e I e I O I Найти координаты точки В II В А дана система координат и точки M P K MP A PB K CK M Найти координаты точек B C 6 Написать формулы преобразования координат в А если e e e O j j 7 Записать формулы преобразования координат A B z A j j j см Пример в матричном виде 7 -ПЛОСКОСТИ В А Пусть W -мерное подпространство -мерного векторного пространства V где < M точка аффинного пространства А над V Определение -плоскостью в А заданной точкой 6 M и направляющим подпространством W называется множество П { } M W M A M M W : -плоскость называется прямой а -плоскость гиперплоскостью Основные свойства:

37 ο Если точка M П M W то П M W П M W ο П M W m m m П M W W W ο Любая -плоскость M W пространством над векторным пространством W П является -мерным аффинным Пример В аффинной системе координат O заданы точка M и e подпространство W к системой независимых однородных уравнений Написать уравнение -плоскости П проходящей через точку M и имеющей направляющее подпространство W к Решение Произвольная точка M принадлежит плоскости П тогда и только тогда когда вектор M M W те когда 7 Таким образом 7 - уравнения плоскости П M W Пример Доказать что множество точек пространства А координаты которых удовлетворяют совместной системе независимых линейных уравнений 7 есть -плоскость направляющее подпространство которой задается системой 7

38 Решение Так как система 6 совместна то она имеет хотя бы одно решение те Выражая отсюда и подставляя в 7 получим эквивалентную систему которая представляет собой уравнения -плоскости П M W см 7 Уравнения 7 называются общими уравнениями -плоскости Пример В аффинной системе координат Oe заданы точка M и подпространство W L где Написать уравнения -плоскости П M W Решение Произвольная точка M те П M M W M M в координатном виде: где параметры 7 пробегают все вещественные значения Уравнения 7 называются параметрическими уравнениями -плоскости Замечание Если исключить из уравнений 7 все параметры то очевидно получим общие уравнения плоскости П M W Пример 8

39 В аффинной системе координат подпространство W L П M W O заданы точка M и e где Доказать что уравнение гиперплоскости можно записать в виде: 7 Решение Точка M П M M векторы M M линейно зависимы Пример Составить общие уравнения прямой П М W в А если M и W : Решение С учетом 7 получаем или П : П : - общие уравнения плоскости П М W 9

40 Пример 6 Составить параметрические уравнения плоскости W M П в А если M и L W где Решение С учетом 7 получаем - параметрические уравнения плоскости W M П Пример 7 В А даны параметрические уравнения П и общие уравнения П : П : П : Найти а общие уравнения П ; б параметрические уравнения П Решение а Из пяти параметрических уравнений П выбираем два уравнения например первое и второе и выражаем и через х и х Найденные выражения подставляем в оставшиеся три уравнения Получаем П : 7

41 б Из общих уравнений П з выражаем х и х через х х х Затем обозначаем х х х и подставляем эти обозначения в найденные выражения для х и х Получаем П : 7 Пример 8 В А даны -плоскости П : и П : а Найти точки принадлежащие этим плоскостям; б Найти векторы принадлежащие направляющим подпространствам этих плоскостей; в Проверить принадлежат ли точка М- этим плоскостям; г Проверить принадлежит ли вектор -- направляющим подпространствам этих плоскостей Решение а Чтобы найти координаты точки М П надо придать двум переменным из системы конкретные значения и найти значения двух других переменных Например если х х то х х Чтобы найти координаты точки М П * надо придать параметрам и конкретные значения и из системы найти координаты точки Например если то х х х х

42 б Чтобы найти координаты вектора из направляющего подпространства П надо найти хотя бы одно ненулевое решение системы W : Чтобы найти координаты вектора из направляющего подпространства плоскости П * надо найти его базис из системы : -- - и найти координаты вектора α β для конкретных значений α и β в Чтобы проверить принадлежит ли точка М плоскости П надо проверить удовлетворяют ли координаты этой точке системе Чтобы проверить принадлежит ли точка М плоскости П * надо в систему подставить вместо х координаты точки М Из двух уравнений найти и Если эти найденные значения и удовлетворяют двум оставшимся уравнениям то точка М П * г Вектор принадлежит направляющему подпространству плоскости П если его координаты удовлетворяют системе Вектор принадлежит направляющему подпространству плоскости П * если он является линейной комбинацией базисных векторов Пример 9 Точка В аффинного пространства А не принадлежит плоскости П M W Доказать что существует единственная -плоскоcть П содержащая точку В и плоскость П Решение Точка П B M B W Плоскость П В W где W W L M B очевидно содержит точку В и плоскость П Докажем ее единственность Пусть П В W плоскость содержащая точку В и * * плоскость П Тогда вектор M B W и W W Следовательно W L M B W * W W те П П * * * *

43 Задачи для самостоятельного решения В А составить уравнения плоскости: а W M П если M - и L W где -; б W M П если M - и W : Перейти от одного способа задания плоскости к другому а В А П з : б В А П з : В А даны плоскости П з : П * : а Найти точки принадлежащие этим плоскостям б Найти векторы принадлежащие направляющим подпространствам этих плоскостей в Проверить принадлежат ли точка М/ / этим плоскостям

44 г Проверить принадлежит ли вектор / -/ направляющим подпространствам этих плоскостей Составить уравнения плоскости П з в А если М - М М з П з и - W Составить уравнения плоскости П в А если А- В С- П 6 Составить уравнения плоскости П в А если А- П П : 7 и П П 7 Точки М М М к аффинного пространства А называются линейно независимыми если система векторов { М М ММ ММ к } линейно независима Докажите что линейная независимость точек М М М к не зависит от порядка выбора этих точек 8 В А даны линейно независимых точек М М М к где Доказать что существует одна и только одна -плоскость проходящая через эти точки 9 В репере Ое в А даны точки A A A A Доказать что эта система точек линейно независима 8 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

45 Определение Непересекающиеся плоскости П к М W к и П m M W m в А называются скрещивающимися если W к W m { } Определение Непересекающиеся плоскости П к М W к и П m M W m в А к m называются полностью параллельными если W к W m W к Определение Непересекающиеся плоскости П к М W к и П m M W m в А к m называются частично параллельными если W к W m W s где < s < к Пример В А даны общие уравнения плоскостей П к М W к и П m M W m : П : П m : m m m Выяснить их взаимное расположение Решение Чтобы выяснить пересекаются или нет плоскости П к и П m надо выяснить имеет ли решения система состоящая из всех уравнений и : П к П m : m m m m I Пусть система совместна те плоскости П к и П m пересекаются Как известно система уравнений совместна тогда и только когда когда r R где r ранг основной матрицы а R ранг расширенной матрицы системы Без

46 ограничения общности допустим что dm П m dm П к те m к или п к п m Тогда в п к r п а Если r R п то система имеет единственное решение следовательно П к П m {М} б Если r R п к то в системе первые п к уравнений линейно независимы а оставшиеся п m являются их линейными комбинациями Поэтому все решения системы являются решениями системы Следовательно П к П m В Если r R и п к < r < п то система задает п r-плоскость П п-r и только координаты всех общих точек плоскостей П к и П m удовлетворяют этой системе Следовательно П к П m П п-r II Пусть система несовместна те плоскости П к и П m не пересекаются Система уравнений несовместна тогда и только тогда когда r R Чтобы выяснить взаимное расположение плоскостей П к и П m найдем W к W m Направляющие подпространства плоскостей и задаются соответственно системами: W : W m : m m Чтобы выяснить каким векторным подпространством является W к W m W s надо выяснить что является решениями системы состоящей из всех уравнений и : 6

47 7 W s : m m m 6 Заметим что в системе 6 ранги основной и расширенной матриц совпадают поэтому W к W m а Если r п то система 6 имеет единственное нулевое решение поэтому W к W m { } следовательно П к и П m скрещиваются б Если r п к то решения системы 6 совпадают с решениями системы поэтому W к W m следовательно плоскости П к и П m полностью параллельны в Если п к <r < п то только координаты всех общих векторов W к и W m удовлетворяют линейно независимой однородной системе из r уравнений поэтому W к W m W п r и следовательно плоскости П к и П m частично параллельны Пример Выяснить взаимное расположение многомерных плоскостей в А если П : и П : 6 Решение Рассмотрим систему уравнений состоящую из уравнении плоскостей П и П :

48 8 6 Приведем ее расширенную матрицу 6 к ступенчатому виду: Значит ранги основной и расширенной матриц r R Следовательно см Пример плоскости пересекаются и П П {М} Пример Доказать что если две различные гиперплоскости П - и П - * аффинного пространства А имеют общую точку то П - П - * П - Решение Пусть общие уравнения гиперплоскостей имеют вид: П - : ; П - *: Тогда пересечение П - и П - * задается системой: П - П - *: Так как гиперплоскости имеют общую точку то система совместна те r R А так как гиперплоскости различны то r R Следовательно П - П - * П -

49 Пример Доказать что через точку В не принадлежащую -плоскости П к М W к аффинного пространства А проходит единственная -плоскость П к * полностью параллельная П к Решение Докажем существование Рассмотрим -плоскость П к *BW к и покажем что она не пересекается с плоскостью П к М W к Допустим что точка М П к П к * те М М W к и ВМ W к Тогда М В М М МВ W к те В П к что противоречит условию задачи Значит плоскость П к * не пересекается с плоскостью П к и значит полностью параллельна ей Докажем единственность Если плоскость П к **B W к ** полностью параллельна плоскости П к М W к то W к W к ** Следовательно W к W к ** то есть П к ** П к * Пример В аффинном пространстве A даны две плоскости П к М W к и П m М W m Доказать что П к П m «тогда и только тогда когда Решение Пусть W L и W m L Пусть точка M П к П m те M M α α M M β β Тогда и m m m M W к W m M m MM MM M M α α β β m W к W m Пусть M M W к W m те M M α α β β m m Рассмотрим точку M П к : M M α α Тогда M M M M M M m β β m W m те M П m и M П к П m Пример 9

50 Пусть плоскости П к М W к и П m М W m в A имеют общую точку М Доказать что П П m П s М W s где W s W к W m Решение По условию задачи имеем: M M W к и M M W m Докажем что П П m П s Пусть M П к П m то есть M M W к и M W m Тогда M M M M MM W к M M M M M M W m M M W к W m W s те M П s П П m П s Докажем что П s П П m Пусть M П s те M M W s W к W m те M M M W к и M M W m Тогда M MM M M W к M M M M M M W m M П M П m те M M П П m П s П П m Из и следует что П П m П s Замечание Если W к W m { } то П П m M } { Пример 6 В аффинном пространстве А даны плоскости П к М W к и П m M W m m m где W L W L Пусть rg m P rg M dm W W s Доказать что m M I П к П m «P m s m s а П П П P и s m m б П П M } P { и II П П m «P m s а П и б П и в П и m s те когда P m m П полностью параллельны P m ; m П частично параллельны P < m ; m П скрещиваются P m ο Решение С учетом свойства из п имеем dm L m dm L L m m s * m I Из Пример следует что П к П m «P те когда P m s Пункты а и б следуют из Пример и *

51 II Из Пример следует что П к П m «P те когда P m s m а П и П полностью параллельны те W к W m W к s те когда P m б П и m П частично параллельны > s те когда P < m m в П и П скрещиваются те W к W m { } s те когда P m Пример 7 Выяснить взаимное расположение плоскостей П и П заданных параметрическими уравнениями П : и П : 7 Решение Имеем П M W где M W L и П M W где W L 7 Следовательно rg P rg M M Значит плоскости П и П скрещиваются см Пример 6 Пример 9 Найти пересечение гиперплоскости П : и прямой П :

52 Решение Подставив выражения из в уравнение найдем значения параметра соответствующего точке пересечения П и П : те Следовательно П П {С} где С- Пример Как могут быть расположены многомерные плоскости: а П и П в А ; б П и П в А 6 ; в П и П в А 9 Решение а Общие уравнения плоскости П в А имеют вид: а общее уравнение П в А : Рассмотрим систему состоящую из уравнений и Тогда ранги основной и расширенной матриц этой общей системы могут принимать значения или Если rr то П з П Если r R то плоскости полностью параллельны Если r R то П з П П Б Ранги основной и расширенной матриц системы состоящей из общих уравнений плоскостей П и П в А 6 могут принимать значения 6 Если r R то П П Если r R или 6 то плоскости полностью параллельны Если r R6 то плоскости частично параллельны Если r R6 то плоскости имеют только одну общую точку те П П {М} в Ранги основной и расширенной матриц системы состоящей из общих уравнений плоскостей П и П в А 9 могут принимать значения 6789 Если r R 6 то П П Если r Rs и 6<s<9 то П П П 9-s Если r 6<R то плоскости полностью параллельны Если r<r и 6<r<9 то плоскости частично

53 параллельны Если r<r и r 9 то плоскости скрещиваются Если rr9 то П П {М} Пример Могут ли плоскости П и П в А 7 скрещиваться? Решение В А 7 плоскости П и П задаются соответственно системами трех и двух линейно независимых уравнений Система для определения взаимного расположения этих плоскостей состоит из уравнений и ее ранг r не больше Следовательно скрещиваться плоскости не могут тк r не может быть равен 7 Пример Доказать что через две скрещивающиеся плоскости П к М W к и П m М W m m < всегда проходит плоскость П m и не существует плоскости П s П к П s П m s m Решение Так как плоскости скрещиваются то W к W m { } и M M W к W m см Пример Следовательно подпространство W к W m L M M m -мерно Плоскость П m М W кm где W кm W к W m L M M очевидно содержит плоскости П и П m Если плоскость П s с направляющим подпространством W s s m содержит плоскости П и П m то W к W s W m W s и M M W s Следовательно W кm W к W m L M M W s Но m -мерное подпространство не может содержатся в подпространстве размерности s m Следовательно не существует плоскости П s где s m содержащей скрещивающиеся плоскости П и П m Задачи для самостоятельного решения Выяснить взаимное расположение многомерных плоскостей:

54 а В А П : и П * : б В А П : и П * : в В А П : 7 и П :{ г В А П : и П * : д В А П : и П :

55 е В А П : и П *: 8 ж В А П : и П * : Выяснить взаимное расположение многомерных плоскостей: а П : и П : б П : и П * : Могут ли плоскости а П и П в А 8 пересекаться по прямой б П 6 и П 7 в А быть полностью параллельны в П и П * в А быть частично параллельны г П и П 6 в А 7 пересекаться в точке Как могут быть расположены многомерные плоскости: а П и П в А 6 б П и П в А 6

56 Доказать что две любые плоскости П к и П m в А содержатся в плоскости П кm 6 Доказать что если в А даны плоскости П к АW к и П m ВW m и W к W m V то плоскости П к и П m пересекаются 7 Доказать что если в А плоскости П и П * имеют единственную общую точку то существует единственная гиперплоскость содержащая эти плоскости 8 Доказать что плоскости П к М W к и П m М W m не пересекаются тогда и только тогда когда M W к W m M 9 Доказать что если две плоскости П к и П * аффинного пространства А принадлежат плоскости П к и П к П * «то П к П * П к- 9 ЕВКЛИДОВО -МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Определение Аффинное пространство А над векторным пространством V называется евклидовым мерным пространством если V евклидово векторное пространство измерений Евклидово мерное пространство обозначается через E Очевидно что -плоскость П к MW к в евклидовом пространстве E является -мерным евклидовым пространством над W к Определение Расстоянием A B между точками A и B в E называется длина вектора AB : A B AB 9 Расстоянием между множествами F и F ` в E называется число F F f M M 9 M F M F Основные свойства: 6

57 A E A B B A ; ο B ο Если A B ο A B C то A B ; E A B B C A C В лежит между A и C ο A B B C A C Определение Система координат Oe e декартовой если базис { e e e } ортонормированный В прямоугольной декартовой системе координат e в E называется прямоугольной Oe e e расстояние между точками A и B y y y вычисляется по формуле A B y y y 9 Определение Плоскости П к АW к и П m ВW m в Е п называются перпендикулярными если W к : W m Определение Плоскости П к АW к и П m ВW m в Е п называются полностью перпендикулярными если W к W m Если П к П то очевидно определения и совпадают Определение 6 Прямая П называется перпендикуляром к плоскости П к если П перпендикулярна плоскости П к и П П к {М} Пример Доказать что в Е через любую точку B проходит единственная плоскость П п-к полностью перпендикулярная плоскости П к АW к и П к П п-к {B } Решение Докажем сначала существование и единственность Как известно W п- к W к -единственное --мерное подпространство ортогональное подпространству W к Следовательно плоскость П п-к ВW п-к где W п-к W к является единственной --плоскостью проходящей через точку В и полностью перпендикулярной плоскости П к АW к 7

58 Так как W W - W W V и W W - { } см Пример п П к П п-к {B } см Примеры и п8 Пример Доказать что через точку В П к в Е п можно провести единственный перпендикуляр П к плоскости П к Решение Пусть П к П к АW к Тогда плоскость П п-к ВW п-к где W п-к W к полностью перпендикулярна к плоскости П к и П к П п-к {B } см Пример Очевидно что все прямые проходящие через точку В и перпендикулярные плоскости П к содержатся в плоскости П п-к BB -единственный перпендикуляр к плоскости П к Следовательно прямая Замечание Точка В называется ортогональной проекцией точки В на плоскость П к Пример Доказать что если каждая из двух несовпадающих плоскостей П к и П к * полностью перпендикулярна плоскости П п-к то П к и П к * полностью параллельны Решение Пусть П к М W к П к *М W * П п-к М W п-к Тогда по условию W к W п-к и W * W п-к Следовательно W к W п-к и W * W п-к Значит W к W * Так как плоскости П к и П к * различны то они полностью параллельны Пример В прямоугольной декартовой системе координат Oe заданы точка M и подпространство W L где Доказать что уравнения --плоскости П M W где W W имеют вид 8

59 9 9 Решение Имеем П M W M M W } { M M M M M M те когда M M M M Пример Доказать что расстояние от точки В до плоскости П к равно расстоянию между точками В и В где В ортогональная проекция точки В на плоскость П к Решение Для любой точки П M и B M имеем M B BB Следовательно M B BB B M BB BM BB BM > BB BM > те П M M B B B f те П В B В Пример 6 Доказать что расстояние от точки B до гиперплоскости П - : вычисляется по формуле П B 9 Замечание Во всех задачах этого пункта где заданы координаты точек и уравнения плоскостей предполагается что данная система координат прямоугольная декартова

60 Решение Пусть точка B ортогональная проекция точки В на плоскость П к Направляющее подпространство плоскости П - уравнением W - : задается Следовательно вектор базис подпространства W - ^ и коллинеарен вектору B B По определению скалярного произведения B B С другой стороны согласно BB Следовательно B B cos BB ± B B B П ± B П W Пример 7 Доказать что расстояние от точки B до гиперплоскости П M W где L вычисляется по формуле M B B П 9 [ ] или G M B B П 96 G где G определитель Грама Решение Пусть П Тогда вектор [ ] B ортогональная проекция точки В на гиперплоскость коллинеарен вектору BB Значит 6

61 [ BB ] ± [ ] BB ± [ ] B П ο ο С другой стороны с учетом свойств и из п [ BB ] BB Следовательно M B B П [ ] Формула 96 следует из 9 и 6 M B M B M B Пример 8 Доказать что расстояние от точки B до -плоскости П M W где W L вычисляется по формуле B П G M B G 97 Решение Пусть точка B П Тогда см Пример 9 из п6 существует - плоскость П содержащая точку B и плоскость П Рассмотрим П как евклидово пространство В этом евклидовом пространстве согласно 96 расстояние от точки B до П M W вычисляется по формуле 97 Пример 9 Вычислить координаты ортогональной проекции B точки B- на гиперплоскость П: Решение Найдем уравнения прямой П проходящей через точку В и полностью перпендикулярной гиперплоскости П Вектор ортогонален гиперплоскости П Следовательно параметрические уравнения прямой П имеют вид: П : 6

62 Согласно Пример ортогональная проекция B П П Подставив выражения из уравнений прямой в уравнение гиперплоскости П получим 9 9 Следовательно B ортогональная проекция точки В Пример Вычислить координаты ортогональной проекции точки B- на прямую П : Решение Найдем уравнение гиперплоскости П проходящей через точку B и полностью перпендикулярной прямой П Так как вектор является базисом направляющего подпространства прямой П то точка M П BM те П : 6 Подставив выражения из уравнения прямой в уравнение гиперплоскости П 8 получим Следовательно B ортогональная проекция точки В Пример Вычислить координаты ортогональной проекции точки плоскость B- на П : Решение Найдем уравнения плоскости П * проходящей через точку B и полностью перпендикулярной плоскости П Векторы и ортогональны плоскости П и образуют базис направляющего подпространства плоскости П * см Пример из п Следовательно параметрические уравнения плоскости П * имеют вид: 6

63 6 П * : Подставив выражения из уравнений плоскости П * в уравнения гиперплоскости П получим Следовательно B ортогональная проекция точки В Пример Вычислить расстояние от точки B- до координатных плоскостей O и O Решение Общее уравнение гиперплоскости O очевидно имеет вид: Воспользовавшись формулой 9 получаем O B С учетом формулы 97 имеем: e e e G OB e e e G O B OB e e e G e e e G Следовательно O B Задачи для самостоятельного решения

64 6 Доказать что если плоскость П перпендикулярна плоскости П m то плоскость П m перпендикулярна П В евклидовом пространстве E дана плоскость П : и точка M Написать уравнения -плоскости проходящей через точку M и полностью ортогональной П В Е дана точка М- и гиперплоскость П з : х х х х Написать общие уравнения прямой проходящей через точку М и перпендикулярной плоскости П з В Е даны плоскости П и П * Доказать что они полностью перпендикулярны П : П * : Вычислить координаты ортогональной проекции B точки B- на гиперплоскость П: 6 В Е даны плоскости П и П * Доказать что они полностью перпендикулярны

65 6 П : П * : 7 Вычислить расстояние от точки А до плоскости П : а А- П : ; б А- П : 8 Найти центр и радиус гиперсферы в Е проходящей через точки А В-- С- Д E-- 9 Написать уравнения общего перпендикуляра прямой АВ и плоскости PQR: а А B-- P- Q- R-; б А B- P- Q-- R- Вычислить расстояние от прямой АВ и плоскости PQR: а А B- P Q-- R-; б А B- P Q-- R--

66 В евклидовом пространстве E относительно аффинной системы координат Oe e скалярное произведение имеет вид: e g y х у х у х у х у х у х у х у Найти расстояние между точками А и B- Вопросы к зачету Векторное -мерное пространство Подпространства векторного пространства Уравнения подпространства Нахождение базиса линейной оболочки системы векторов Нахождение базиса суммы и пересечения подпространств векторного пространства Евклидово -мерное векторное пространство Свойства Ортогональное дополнение векторного подпространства Нахождение базиса ортогонального дополнения 6 Векторное и смешанное произведения в евклидовом вектором пространстве Свойства 7Аффинное -мерное пространство Аффинная система координат Вывод формулы преобразования аффинной системы координат 8 -мерные плоскости в А Уравнения -плоскостей 9 Взаимное расположение многомерных плоскостей в аффинном пространстве Евклидово -мерное пространство Существование и единственность перпендикуляра к -плоскости Доказать что расстояние от точки B до -плоскости равно расстоянию между точками В и В где В ортогональная проекция В на -плоскость Вывод формулы расстояния от точки до гиперплоскости заданной общим уравнением Вывод формулы расстояния от точки до гиперплоскости Вывод формулы расстояния от точки до -плоскости 66

67 Вопросы к экзамену по теме «Многомерная геометрия» Векторное -мерное пространство Подпространства векторного пространства Уравнения подпространства Нахождение базиса линейной оболочки системы векторов Нахождение базиса суммы и пересечения подпространств векторного пространства 6 Евклидово -мерное векторное пространство Свойства 7 Ортогональное дополнение векторного подпространства 8 Нахождение базиса ортогонального дополнения 9 Векторное произведение в евклидовом вектором пространстве Свойства Смешанное произведение в евклидовом вектором пространстве Свойства Аффинное -мерное пространство Аффинная система координат Преобразование аффинной системы координат -мерные плоскости в А Уравнения -плоскостей Взаимное расположение многомерных плоскостей в аффинном пространстве 6 Евклидово -мерное пространство 7 Существование и единственность перпендикуляра к -плоскости 8 Расстояние от точки до -плоскости 9 Расстояние от точки до гиперплоскости заданной общим уравнением Расстояние от точки до гиперплоскости заданной точкой и направляющим подпространством Вывод формулы расстояния от точки до -плоскости 67

68 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛС Атанасян ВТ Базылев Геометрия ЧI М: Просвещение 986 ВТ Базылев КИ Дуничев ВП Иваницкая Геометрия ЧI М: Просвещение 97 НС Денисова Многомерная геометрия материалы для практических занятий М: МПГУ НВ Ефимов ЭР Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия М: Наука 97 АГ Курош Курс высшей алгебры М 96 6 ММ Постников Аналитическая геометрия М: Наука 97 7 БА Розенфельд Многомерные пространства М: Наука Сборник задач по геометрии под редакцией ВТБазылева М: Просвещение 98 68

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет «Утверждаю», зав каф высшей математики профессор КП Арефьев А М Сухотин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0.

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0. Лекция 10 1 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 11 Определение Пусть V (R) ЛП над полем вещественных чисел Скалярное произведение на V это произвольная функция V V R, ставящая в соответствие упорядоченной паре векторов

Подробнее

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

В. А. Скляренко О. И. Трубина. Практикум

В. А. Скляренко О. И. Трубина. Практикум Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет В. А. Скляренко О. И. Трубина АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений 1 ГОУ ВПО РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ КАФЕДРА НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ГЛОССАРИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА" для направления подготовки 080100 "Экономика" Алгебраическое дополнение

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB=

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB= Глава 1 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ n R. 1.1. Точечные пространства Ранее было рассмотрено арифметическое пространство строк В математике конечный упорядоченный набор координат может интерпретироваться не только

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 3. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ КУРС ЛЕКЦИЙ

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 3. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ КУРС ЛЕКЦИЙ В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 3. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ КУРС ЛЕКЦИЙ 1 1. Аффинные преобразования 1. Определение движений и аффинных преобразований 2. Аналитическое выражение

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

Лекция 9 AB + BC = AC.

Лекция 9 AB + BC = AC. Лекция 9 1 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО Для построения полноценной геометрии одних векторов недостаточно, необходимы еще точки Пространство, состоящее из точек, и называется аффинным (или точечным) пространством;

Подробнее

Лекция 7. Теорема. Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной

Лекция 7. Теорема. Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной Лекция 7 1 ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА КАПЕЛЛИ Теорема Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы: Совместность системы rka =

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n Е.М. Карчевский, И.Л. Александрова, К.Н. Стехина Семинары по линейной алгебре и аналитической геометрии Часть 2 Учебное пособие Казанский университет 2015 Оглавление Предисловие...................................

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ n-мерного АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ n-мерного АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ -МЕРНОГО АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА Определение. Аффинное -мерное пространство A над полем F это множество, состоящее из элементов двух родов: «точек» и «векторов» пространства, о порядке которых

Подробнее

Государственный университет- Высшая школа экономики

Государственный университет- Высшая школа экономики Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации Государственный университет- Высшая школа экономики Факультет Мировая Экономика Программа

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Задачи по линейной алгебре 1

Задачи по линейной алгебре 1 Задачи по линейной алгебре А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 9 августа г. c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 4.4 Оглавление Линейные пространства

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ

Подробнее