ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ"

Транскрипт

1 Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу важнейших задач современной математики и исследуются во многих математических курсах таких, как, например, «Экстремальные задачи», «Оптимальное управление», «Линейное программирование», «Выпуклое программирование» и некоторых других Вариационное исчисление является классическим разделом математики, основы вариационного исчисления заложены еще в 7-8 веках Функционалы, которые исследуются в вариационном исчислении, будут описаны ниже Функционал это оператор, множество значений которого состоит из чисел Мы будем рассматривать только вещественные функционалы, множествами значений которых являются вещественные числа В дальнейшем вместо слов «вещественный функционал» мы будем говорить просто «функционал» Простейший пример функционала - интеграл ( x Каждой функции x, ( ) интегрируемой по Риману на отрезке [,, ] сопоставляется число значение интеграла Типичной задачей вариационного исчисления является задача Дидоны: среди всех замкнутых плоских кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь Хорошо известно, что это окружность Понятие функционала Вариация функционала Мы будем изучать функционалы, действующие из линейного нормированного пространства Y в пространство вещественных чисел R В качестве пространства Y мы будем рассматривать следующие пространства: ) C [, ] пространство непрерывных на отрезке [, ] функций, в котором определена норма = mx ( ) x C[, ] x [, ] Напомним, что сходимость по норме этого пространства называется равномерной сходимостью на отрезке [, ] ) C () [, ] пространство функций, непрерывных вместе со своими первыми производными на отрезке [, ] Норма в этом пространстве определяется как = mx ( x ) + mx ( x ) C () [, ] x [, ] x [, ] Можно ввести эквивалентную норму: = mx{, } C () [, ] C[, ] C[, ] (сходимость функциональных последовательностей по обеим введенным нормам одна и та же - равномерная на отрезке [, ] сходимость как последовательности функций, так и их первых производных) В дальнейшем мы будем пользоваться только первой нормой ( p 3) C ) [, ] пространство функций, непрерывных на [, ] вместе со своими p -ми производными включительно, нормированное с помощью 59

2 p ( p ) C [, ] ( k ) mx k = x [, ] x = ( ) Сходимость по норме этого пространства равномерная на отрезке [, ] сходимость с производными до p - го порядка включительно Итак, функционал V[ ] : Y R, где в качестве Y мы будем рассматривать только введенные выше функциональные пространства или их подмножества Y Y, тогда V : Y R Приведем пример функционала: V[ ] = + ( ( ) x - длина кривой, () описываемой функцией x, ( ) V : C [, ] R Определение Функционал V [] называется непрерывным в точке Y, если ε > δ > такое, что Y : δ выполняется неравенство V [ ] V[ ] ε Аналогично можно дать определение непрерывности функционала в точке Y ', если функционал рассматривается только на множестве Y Функционал называется непрерывным на всём пространстве Y (множестве Y ), если он непрерывен в каждой точке YY ( ) Определение Будем называть (замкнутым) шаром с центром в точке и радиусом r > множество точек: ) = { Y : } S r ( r Определение Точка является точкой локального минимума (максимума) функционала V[ ], если найдется r > такое, что V[ ] V[ ] ( V[ ] V[ ] ) для любого S r ( ) (или Sr ( ) Y, если речь идет о локальном минимуме на множестве Y ) В дальнейшем мы будем говорить об отыскании только локальных минимумов или максимумов (локальных экстремумов), причем слово «локальный» мы будем опускать Пусть Y - произвольная фиксированная точка, h Y - произвольный элемент Y Рассмотрим функцию Φ ( t ) V[ + th] вещественной переменной t Определение Если для любого h Y существует производная Φ () t = V[ + th], то эта производная называется вариацией функционала V[ ] в t точке и обозначается δ V ( Очевидно, что V[ + th] V[ ] = tδv( + o( t ) Чтобы разъяснить смысл введенного понятия, вспомним математический анализ и рассмотрим случай, когда V : R n R (функция многих переменных) Тогда Φ () t = V[ + th] называется производной функции V по направлению h t Теперь определим, что такое дифференцируемый функционал Функционал V[ ] называется дифференцируемым в точке, если для любого h Y V[ + h] V[ ] = V( + o( h ), где V ( - линейный и непрерывный по h функционал, который иногда называют сильной вариацией в точке (в отличие от функционала δ V ( (от аргумента h ), называемого в этом случае слабой вариацией в точке ) Заметим, что точно такое же определение дифференцируемости вводилось и в курсе математического анализа для функций многих переменных V : R R При этом n 6

3 доказывалось, что, если функция многих переменных дифференцируема в точке, то в этой точке существуют производные по всем направлениям Обратное, вообще говоря, неверно Точно такая же ситуация и в вариационном исчислении - если существует сильная вариация, то существует и вариация (слабая вариация) Обратное неверно Далее мы будем использовать только данное выше следующее вариации δ V V[ + th ( = ] t Теорема (необходимое условие экстремума) Пусть Y - точка экстремума функционала V [], и для всякого h Y существует δ V ( Тогда δ V ( = Доказательство Пусть для определённости - точка минимума функционала V [] (для максимума доказательство аналогично) Тогда существует шар S r ( ), r >, r такой, что V[ ] V[ ] для любого S r ( ) Если t, то + th S r ( ) и h V[ + th] V[ ] Рассмотрим функцию Φ ( t ) = V[ + th] Заметим, что для тех же t выполнено неравенство Φ( t ) Φ() По условию теоремы Φ (t) дифференцируема в точке t = и, следовательно, Φ () t = Таким образом, δ V (, ) h =, что и требовалось доказать Теорема справедлива и в случае, когда функционал рассматривается на множестве Y Y, но для таких h Y, что + th Y по крайней мере для достаточно малых t В этом случае нужно соответствующим образом изменить и определение вариации 3 Задача с закреплёнными концами Необходимое условие экстремума Будем рассматривать множество функций Y Y = C () [, ] такое, что: () Y = { C [, ], ( ) = A, ( ) = B}, где A и B - заданные числа, те множество непрерывно дифференцируемых на [, ] функций, у которых известны значения на концах отрезка (концы закреплены) Рассмотрим функционал V [ ] x, ) x = Простейшая задача вариационного исчисления (задача с закрепленными концами): найти экстремум этого функционала на множестве Y В вариационном исчислении принята следующая терминология Будем говорить, что на функции ( ) достигается сильный минимум, если V ] V[ ] для всякого x [ Y из окрестности в метрике пространства С [, ] : mx x ( ) ( r, r> x [, ] (шар с центром в радиуса r ) Определение слабого минимума дается аналогично, но окрестность выбирается в () метрике C [, ] : mx ( ( + mx ( ( r, r > x [, ] x [, ] В первом случае требуется, чтобы функции x ( ) были равномерно «близки» к функции ( x ), а во втором случае дополнительно требуется равномерная «близость» и 6

4 первых производных Очевидно, что, если функционал имеет сильный минимум в точке ( x ), то он имеет и слабый минимум в той же точке Обратное, вообще говоря, неверно Определения слабого и сильного максимума даются аналогично Необходимое условие экстремума, полученное в предыдущем параграфе, δ V ( =, справедливо как для слабого, так и для сильного экстремума Получим необходимое условие для задачи с закрепленными концами Для этого найдем вариацию δv( = V[ + th] t Cначала вычислим производную V[ + th] = F( x, th, th ) x t t + +, предполагая, что функция F имеет все необходимые для этого непрерывные частные производные () Относительно h( C [, ] потребуем, чтобы x ( ) + thx ( ) Y, те h ( ) =, h ( ) = Итак, V [ + th ] = [ F ( x, th, th ) h F ( x, th, th ) h ] x t Полагая t = и приравнивая нулю получившуюся вариацию, получаем, что для функции (, на которой достигается экстремум, имеет место δ V( = [ F( x, ) h+ F ( x, ) h ] x= Разобьем интеграл на два и проинтегрируем по частям второй: Fhx = F h Fhx x = Так как h ( ) = h ( ) =, то подстановка F ' h = Объединяя оба интеграла в один, получаем ( F F h ) x = x Ниже мы докажем, что, если этот интеграл равен нулю для любой функции () h( C [, ], обращающейся в нуль на концах отрезка h ( ) = h( ) =, то F F, при условии, что в скобках стоит непрерывная функция Поэтому в x качестве необходимого условия экстремума для задачи с закрепленными концами мы получаем следующую краевую задачу для уравнения Эйлера: F F = x ( ) = A, ( ) = B Теорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленными концами) ) Пусть ( осуществляет экстремум (сильный или слабый) в задаче с закреплёнными концами и дважды непрерывно дифференцируема ) Функция F( x, ) непрерывна с частными производными до второго порядка включительно Тогда ( является решением краевой задачи для уравнения Эйлера 6

5 или Теорема уже доказана F F = x, ( ) = A, ( ) = B F F F F = ; ( ) = A, ( ) = B x Основная лемма вариационного исчисления Пусть ϕ ( - фиксированная непрерывная на отрезке [, ] функция, и для всякой непрерывно дифференцируемой функции h ( такой, что h ( ) = h( ) =, имеет место ϕ ( h( x = Тогда ϕ ( Доказательство Пусть ϕ ( не равна нулю тождественно Не ограничивая общности, будем считать, что эта функция принимает положительные значения (если ϕ ( для всех x [, ], то заменим ϕ ( на ϕ( ) Тогда в силу непрерывности ϕ ( существуют точка x (, ) такая, что ϕ ( x ) >, и интервал ϕ( x ) [ x δ, x + δ ] (, ), δ > такой, что ϕ( для любого x [ x δ, x + δ ] Пусть теперь h ( - непрерывно дифференцируемая функция, причем h(, x ( x δ, x + δ ); h( >, x ( x δ, x + δ ) x + δ x + δ ( ) Тогда ( ) ( ) = ϕ x ϕ x h x x ϕ( h( x ( ) > h x x, что приводит к противоречию с x δ x δ условием теоремы В качестве примера функции hx ( ), удовлетворяющей записанным выше условиям, можно взять ( x ( x δ )) ( x ( x + δ)), x ( x δ, x + δ); hx ( ) =, x ( x δ, x + δ ) Приведем некоторые простые примеры π = Рассмотрим функционал V[ ] x и зададим различные граничные условия а) Пусть ( ) =, ( π ) = Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид =, а его решение, удовлетворяющее граничным условиям, есть x ( ) На этом решении, очевидно, достигается минимум исследуемого функционала б) Пусть () =, ( π ) = Тогда краевая задача для уравнения Эйлера не имеет решений в классе непрерывно дифференцируемых функций π Пусть V [ ] = ( ( ) ) x, а граничные условия () =, ( π ) = Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид " + =, а его общее решение есть = C sn x + C cos x Краевая задача имеет бесконечно много решений, так как C =, а C - произвольная постоянная Рассмотрим некоторые частные случаи зависимости функции F ( x, ) от своих аргументов 63

6 ) F ( x, ) = F ( x, ) Уравнение Эйлера имеет вид F ( x, ) = и не является дифференциальным, поэтому его решение (если оно существует), вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям ( ) = A, ( ) = B Следовательно, решение краевой задачи для уравнения Эйлера, вообще говоря, не существует ) F( x, ) = M( x, ) + N( x, ) (линейность по ) Уравнение Эйлера имеет вид M + N N( x, ) = M + N N x N =, x или M N x = Полученное уравнение также не является дифференциальным, и краевая задача для уравнения Эйлера, вообще говоря, не имеет решения 3) F = F ( ) Уравнение Эйлера имеет вид F =, и существуют две возможности а) "= ; его общее решение = Cx + C, где C и C произвольные постоянные б) F ( ) = Если k - корни последнего уравнения, то = k, а соответствующие решения уравнения Эйлера - также линейные функции = kx+ C Итак, экстремалями в этой задаче являются прямые [ ] ( '( )) ; ( ), ( ) В частном случае, когда l= + x x = A = B (длина кривой, соединяющей две точки на плоскости), доказанное выше отражает известный факт, что среди всех кривых, соединяющих две точки плоскости ( A, ) и ( B,, ) минимальную длину имеет отрезок прямой 4) F = F( x, ) Уравнение Эйлера имеет вид F ( x, ) = x или F ( x, ) = C 5) F = F( ) Уравнение Эйлера имеет вид F F F " ' =, или ( F F ) = x Это уравнение, очевидно, имеет первый интеграл F F ' = C В качестве конкретного примера такого типа рассмотрим классическую задачу о брахистохроне - кривой, по которой материальная точка в поле тяжести скатывается за наименьшее время из точки (, ) в точку ( x, ) Эта задача была решена Иоганном Бернулли еще в 696 году Пусть на плоскости ( x, ) ось направлена вниз, и в том же направления действует и сила тяжести Заметим, что при движении в поле силы тяжести S g t =, где S - путь, g - ускорение свободного падения С другой стороны, = +, S ( ) x 64

7 где = ( - траектория движения материальной точки Время движения по этой траектории определяется функционалом x + ( ) T[ ] = x g Определим траекторию, для которой функционал T[ ] принимает минимальное значение, те ту, где перемещение из точки (, ) в точку ( x, ) происходит за наименьшее время Заметив, что подынтегральная функция не зависит явно от x, запишем сразу первый интеграл уравнения Эйлера (см выше) F F = C, или + ( ) ( ) = C ( + ( ) ) Отсюда = C ( + ( ) ) = C ( + ( ) ) Вводя параметр t по формуле = ctg t, найдем C C t () = = C sn ( cos) t + ctg t Теперь определим x() t Имеем C snt cost t x = = = Csn t t = C( cos t) t, ctg t C откуда x C = (t sn t) Из полученных выражений для x() t, t ( ) и условия ( ) =, находим C = После замены t = t и C ~ = C получаем уравнение брахистохроны x = C ( t sn t), = C ( cos t ) ~ Итак, брахистохрона это циклоида, а C находится из условия ( x ) = Рассмотрим теперь некоторые обобщения Пусть функционал граничные условия имеют вид: ( ) = ( n) [ ] (,,,, ) V = F x x, а ( n ) () ( n ) () ( ) = n, ( ) = n Запишите самостоятельно уравнение Эйлера для этой задачи Пусть теперь функционал имеет вид () ( ) = (), ( ) = (), ( ) = ; () V[ ] = x,, n;,, n) x, ; 65

8 n = (,, ) - вектор-функция Рассмотрим задачу с закрепленными концами ( ) = A, где =,, n; A, B - заданные числа ( ) =, B ) Теорема Пусть: Функции (,, n ( x ) осуществляют экстремум функционала V [ ] в задаче с закрепленными концами и дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке[, ] ) F( x,, n;,, n) непрерывна с частными производными до второго порядка включительно Тогда (,, n ( x ) удовлетворяют системе уравнений Эйлера F F = x ( ) = A ; ( ) = B ; где =, n Для доказательства сформулированного выше необходимого условия экстремума x ( ) = (, (,, ( осуществляет достаточно заметить, что если вектор-функция ( n ) экстремум функционала [ ] V в задаче с закрепленными концами в случае, когда можно изменять все компоненты вектор-функции, то эта же вектор-функция осуществляет экстремум V [ ] в случае, когда меняется одна компонента, а остальные фиксированы Отсюда немедленно следует, что x ( ) удовлетворяет записанной выше системе уравнений Эйлера Пример Рассмотрим задачу из механики Пусть n материальных точек, имеющих массы m и координаты ( x,, z ), =,,, n, движутся под действием сил u u u F =,,, x z порожденных потенциальной функцией u = u( x, z,, xn, n, zn) Считая, что координаты точек зависят от времени t, заметим, что кинетическая энергия системы материальных точек имеет вид n m T = (( x ) + ( ) + ( z ) ) = Введем функционал действия t t L t, где L функция Лагранжа L = T u, или n m L= (( x ) + ( ) + ( z ) ) u( x, z,, xn, n, zn) = По принципу наименьшего действия (принцип Гамильтона) материальные точки движутся t по траекториям, для которых значение функционала L t минимально Система уравнений Эйлера для функционала t t 66 t L t имеет вид:

9 L L = x t x L L =, где =,, n t L L = z t z Вычисляя производные, получаем систему уравнений движения (к которым нужно добавить начальные условия): u m x = ; x u m = ; где =,, n u m z = ; z Читателю предлагается самостоятельно получить первый интеграл этой системы - закон сохранения энергии: T + u = const 67

10 Экзаменационные вопросы ) Определения и формулировки теорем Сформулировать определение функционала Сформулировать определение непрерывного функционала 3 Сформулировать определение дифференцируемого функционала 4 Сформулировать определение вариации функционала 5 Сформулировать постановку простейшей задачи вариационного исчисления задачи с закрепленными концами 6 Сформулировать определение сильного минимума функционала 7 Сформулировать определение сильного максимума функционала 8 Сформулировать определение слабого минимума функционала 9 Сформулировать определение слабого максимума функционала Сформулировать определение строгого минимума (максимума) функционала Сформулировать необходимое условие экстремума для задачи с закрепленными концами Сформулировать основную лемму вариационного исчисления 3 Сформулировать постановку задачи с закрепленными концами и необходимые условия экстремума для функционала V[ ] = x,, n;,, n) x ) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать Теоретические задачи Доказать, что необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации при условии, что вариация существует Сформулировать постановку задачи с закрепленными концами и получить необходимое условие экстремума 3 Доказать основную лемму вариационного исчисления 4 Сформулировать постановку задачи с закрепленными концами и получить необходимые условия экстремума для функционала V[ ] = x,, n;,, n) x 5 Привести пример первой краевой задачи для уравнения Эйлера для функционала V [ ] x, ) x, которая не имеет решения = 6 Привести пример первой краевой задачи для уравнения Эйлера для функционала V [ ] x, ) x, которая имеет неединственное решение = 7 Записать решения уравнения Эйлера для функционала V [ ] ) x 8 Записать первый интеграл уравнения Эйлера для функционала V [ ] x, ) x 9 Записать первый интеграл уравнения Эйлера для функционала V [ ] ) x Сформулировать и решить задачу о брахистохроне Исходя из вариационного принципа наименьшего действия, получить уравнения движения материальной точки в потенциальном поле = = = 68

11 69

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами. ТЕМА 8 Основные понятия вариационного исчисления Задача с закрепленными концами Основные определения и теоремы Если на некотором множестве функций указано правило, которое ставит в соответствие каждой

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Курс лекций для студентов «Прикладная информатика», «Бизнес-информатика» всех форм обучения

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Курс лекций для студентов «Прикладная информатика», «Бизнес-информатика» всех форм обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Кафедра Информационных технологий и моделирования ГЛНохрина ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский Государственный Университет Факультет математического моделирования и процессов управления Специальность Программное обеспечение вычислительной техники

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

Глава 4. Задачи оптимального управления

Глава 4. Задачи оптимального управления Глава 4 Задачи оптимального управления В этой главе рассматриваются задачи оптимального управления. Приводится формулировка принципа максимума Понтрягина в общем случае, а также в частном случае для задачи

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Условия второго порядка в вариационном исчислении

Условия второго порядка в вариационном исчислении Глава 5 Условия второго порядка в вариационном исчислении В этой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления и задаче Больца. Это классические условия

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

4 Изопериметрическая задача

4 Изопериметрическая задача 4 Изопериметрическая задача 4.1 Постановка задачи Изопериметрической задачей в вариационном исчислении называется следующая экстремальная задача в пространстве C 1 ([t, t 1 ]): J i (x( )) = J (x( )) =

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава. 8 1.Понятие дифференциального уравнения.математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.11 3.Решение

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

В. Т. Волков, А. Г. Ягола

В. Т. Волков, А. Г. Ягола В Т Волков, А Г Ягола ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (курс лекций) Предисловие Учебное пособие "Интегральные уравнения Вариационное исчисление (курс лекций)" написано на основе опыта чтения

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ.

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. Журнал технической физики, том XVIII, вып 7, 1948 А Н Тихонов, А А Самарский О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ Несмотря на то, что утверждение о возможности разложения произвольного

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. М. Ильин, М. А. Меленцов, Асимптотика решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при больших значениях времени, Тр. ИММ УрО РАН, 25,

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения. Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (2 СЕМЕСТР) ФОРМУЛИРОВКИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (2 СЕМЕСТР) ФОРМУЛИРОВКИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (2 СЕМЕСТР) ФОРМУЛИРОВКИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ А. А. Пожарский Содержание Числовые ряды 1.1. Понятие числового ряда 3 Функциональные ряды 2.1. Функциональные последовательности

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача 1 Задача Лагранжа Все задачи, изученные нами в предыдущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении Аналитическая

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Составили: 1. Д.ф.-м.н., проф.м.а.ягубов 2. Д.ф.-м.н., проф.г.ф.кулиев П Р О Г Р А М М А

Составили: 1. Д.ф.-м.н., проф.м.а.ягубов 2. Д.ф.-м.н., проф.г.ф.кулиев П Р О Г Р А М М А МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУЬЛИКИ БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ» Составили: 1. Д.ф.-м.н., проф.м.а.ягубов

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

Конечномерные задачи

Конечномерные задачи Глава 1 Конечномерные задачи 1 Конечномерные гладкие задачи без ограничений В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких переменных. 1.1 Постановка задачи

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МОиАИС 1-Й СЕМЕСТР ГРАЖДАНЦЕВА Е.Ю.

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МОиАИС 1-Й СЕМЕСТР ГРАЖДАНЦЕВА Е.Ю. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МОиАИС 1-Й СЕМЕСТР ГРАЖДАНЦЕВА Е.Ю. Глава 1 Исследование функции одной переменной 1.1 Признаки возрастания и убывания. Определение. Функция f(x), определенная

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее