Лекция 8. Слабая и сильная производные

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 8. Слабая и сильная производные"

Транскрипт

1 Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г.

2 Определение слабой производной Определение 1. Функция v(x) называется слабой частной производной функции u(x) и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции ϕ(x) C c () имеет место равенство ( 1) α u(x) α ϕ(x) dx = v(x)ϕ(x) dx. (1)

3 Одна лемма Лемма Слабая частная производная порядка α функции u, если существует, определяется единственным образом с точностью до множества меры нуль. Пусть v 1, v 2 L p () такие, что u α ϕ dx = ( 1) α v 1 ϕ dx = ( 1) α v 2 ϕ dx для всех ϕ C c (). Тогда (v 1 v 2 ) ϕ(x) dx = 0 для всех ϕ C c (), откуда v 1 v 2 = 0 почти всюду.

4 Пример 1-1 Пусть = (0, 2) Определим u(x) = v(x) = { x, 0 < x 1, 1, 1 x < 2. { 1, 0 < x 1, 0, 1 x < 2. Покажем, что u = v в слабом смысле. Чтобы убедиться в этом, выберем произвольно ϕ C c (). Надо показать, что 2 2 uϕ dx = vϕ dx. 0 0

5 Пример 1-2 Легко вычислить, что 2 0 uϕ dx = xϕ dx+ 1 1 ϕ dx = 0 2 ϕ dx+ϕ(1) ϕ(1) = 0 vϕ dx.

6 Пример 2-1 Пусть = (0, 2). u(x) = { x, 0 < x 1, 2, 1 x < 2. Мы покажем, что производная u не существует в слабом смысле. Для этого надо показать, что не существует функции v L 1 loc () такой, что uϕ dx = 0 vϕ dx (2) для всех ϕ C c (). Предположим противное.

7 Пример 2-2 Пусть (2) выполняется для некоторой функции v и всех функций ϕ. Тогда 2 0 vϕ dx = 2 0 uϕ dx = xϕ dx ϕ dx = Выберем последовательность {ϕ m } m=1 гладких функций таких, что 0 ϕ dx ϕ(1). 0 ϕ m 1, ϕ m (1) = 1, ϕ m 0 для всех x 1. Заменив ϕ на ϕ m в (3) и полагая m +, получаем предельное равенство = lim ϕ m(1) = lim vϕ m dx ϕ m dx = 0, m + m + которое противоречиво. 0 0 (3)

8 Сильная производная Определение 2. Функция v(x) L p () при p 1 называется сильной производной α го порядка от функции u(x) L p (), если найдется такая последовательность {u n (x)} C α (), что u n u сильно в L p (), α u n v сильно в L p (). (4)

9 Связь двух определений Теорема Пусть граница области R N достаточно гладкая. Тогда понятия слабой и сильной производной равносильны.

10 Доказательство-1 Пусть v(x) это сильная производная функции u(x). Значит, существует такая последовательность {u n (x)} C α (), что u n u сильно в L p (), α u n v сильно в L p (). Заметим, что для каждой функции u n (x) C α () справедливо равенство: ( 1) α u n (x) α ϕ(x) dx = α u n (x)ϕ(x) dx (5) для всех ϕ(x) C c ().

11 Доказательство-2 Поскольку из сильной сходимости в L p () вытекает слабая сходимость в этом же пространстве, то переходя к пределу в равенстве (5) при n мы получим следующее равенство: ( 1) α u(x) α ϕ(x) dx = v(x)ϕ(x) dx для всех ϕ(x) C c (), т. е. пришли к определению слабой производной функции u(x) L p ().

12 Доказательство-3 Теперь докажем, что из определения слабой производной вытекает определение сильной производной. Пусть v(x) L p () это слабая производная функции u(x) L p () : ( 1) α u(x) α ϕ(x) dx = v(x)ϕ(x) dx для всех ϕ(x) C c (). (6) Рассмотрим срезку функции u(x) с параметром срезки ε = 1/n.

13 Доказательство-4 Итак, u n (x) = n N ω(n x y )u(y) dy C (). Теперь заметим, что имеет место следующая цепочка равенств: α u n (x) = n N x α ω(n x y )u(y) dy = = ( 1) α n N = ( 1) α n N ( 1) α α y ω(n x y )u(y) dy = ω(n x y )v(y) dy при n n 0 N.

14 Доказательство-5 Важный момент!!! При переходе к последнему равенству мы воспользовались формулой (6), поскольку функция ω(n z ) C c () при достаточно большом n N. Теперь осталось воспользоваться теоремой 39 второй главе и получить, что u n (x) u(x) сильно в L p (), α u n (x) v(x) сильно в L p ( т. е. мы пришли к определению сильной производной.

15 Производная от произведения Лемма Пусть функции u(x), v(x) L p () имеют слабые производные u(x), v(x) L p () и граница области достаточно гладкая, тогда справедлива следующая формула (uv) = u v + v u, (7) понимаемая в слабом смысле, т. е. для любой функции ϕ(x) C c () : (u(x)v(x))ϕ(x) dx = u(x) v(x)ϕ(x) dx+ v(x) u(x)ϕ(x) dx.

16 Доказательство-1 Пусть сначала v(x) C 1 (), а функция u(x) L p () имеет слабую производную u(x) L p (). Тогда из теоремы 1 и определения 2 мы получим, что существует такая последовательность {u n (x)} C 1 () L p (), причем имеет место следующие свойства: u n u сильно в L p () и u n u сильно в L p (). Тогда справедлива классическая формула дифференцирования произведения двух функций. Действительно, (u n v) = u n v + v u n.

17 Доказательство-2 Умножим это равенство на произвольную функцию ϕ(x) C c () и проинтегрируем по области, тогда получим равенство (u n (x)v(x))ϕ(x) dx = u n (x) v(x)ϕ(x) dx+ + v(x) u n (x)ϕ(x) dx. (8) Рассмотрим отдельно два слагаемых в правой части равенства (8). Действительно, u n (x) v(x)ϕ(x) dx = [u n (x) u(x)] v(x)ϕ(x) dx+ + u(x) v(x)ϕ(x) dx = I 1 + I 2.

18 Доказательство-3 Рассмотрим интеграл I 1. Справедлива следующая оценка: I 1 u n (x) u(x) v(x)ϕ(x) dx u n (x) u(x) p dx 1/p [meas()] 1/p sup v(x)ϕ(x) x K v(x)ϕ(x) p dx 1/p u n (x) u(x) p dx 1/p

19 Доказательство-4 Отметим здесь следующий тонкий момент. Функция v(x) C() и, естественно, функции из этого класса могут быть неограниченными в окрестности границы области, но функция ϕ(x) имеет компактный носитель K, и поэтому v(x) C b (K).

20 Доказательство-5 Теперь осталось заметить, что из сильной сходимости u n u в L p () интеграл в конце цепочки неравенств для I 1 стремится к нулю. Следовательно, lim u n (x) v(x)ϕ(x) dx = u(x) v(x)ϕ(x) dx. n + Аналогичным образом, доказывается, что lim v(x) u n (x)ϕ(x) dx = v(x) u(x)ϕ(x) dx. и lim n + n + (u n (x)v(x))ϕ(x) dx = lim n + = u n (x)v(x) ϕ(x) dx = u(x)v(x) ϕ(x) dx.

21 Доказательство-6 Таким образом, из (8) предельным переходом при n + мы получим равенство: u(x)v(x) ϕ(x) dx = [u(x) v(x) + v(x) u(x)] ϕ(x) dx, т.е. имеет место равенство в слабом смысле (u(x)v(x)) = u(x) v(x) + v(x) u(x) (9) для функции u(x) L p (), u(x) L p () и v(x) C 1 ().

22 Доказательство-7 Для того чтобы распространить формулу (9) на случай v(x) L p (), v(x) L p () надо снова взять существующую в силу теоремы 1 последовательность {v n (x)} C 1 ()L p () такую, что v n v сильно в L p () и v n v сильно в L p (). И далее воспользоваться той же схемой, что и ранее в доказательстве этой леммы.

23 Производная сложной функции Лемма Пусть функция f(t) C 1 ( R 1) и f (t) L ( R 1) и функция u(x) L p () и имеет слабую производную u(x) L p (). Тогда справедлива следующая формула слабой производной сложной функции: f(u)(x) = f (u) u(x). (10)

24 Доказательство-1 Пусть {u m (x)} C 1 () L p () и u m u сильно в L p (), u m u сильно в L p (). Тогда для каждой функции u m (x) C 1 () справедлива формула производной (классической) сложной функции f(u m )(x) = f (u m ) u m (x). Умножим обе части этого равенства на функцию ϕ(x) C c () и проинтегрируем по области, тогда получим равенство f(u m )(x)ϕ(x) dx = f (u m ) u m (x)ϕ(x) dx.

25 Доказательство-2 Рассмотрим отдельно эти два интеграла. Имеет место следующая цепочка равенств: f(u m )(x)ϕ(x) dx = = f(u m )(x) ϕ(x) dx = [f(u m )(x) f(u)(x)] ϕ(x) dx Заметим, что справедливо следующее неравенство: f(u m )(x) f(u)(x) c u m (x) u(x), поскольку f (t) L (R 1 ). f(u)(x) ϕ(x) dx. (11)

26 Доказательство-3 Поэтому имеет место неравенство [f(u m )(x) f(u)(x)] ϕ(x) dx c u m (x) u(x) ϕ(x) dx 1/p ck 1/p u m (x) u(x) p dx 0, supp{ϕ} K K при m + по построению последовательности {u m }. Поэтому из (11) вытекает, что lim f(u m )(x)ϕ(x) dx = f(u)(x) ϕ(x) dx. (12) m +

27 Доказательство-4 Рассмотрим теперь интеграл = f (u m ) u m (x)ϕ(x) dx = [ ] f (u m ) u m (x) f (u) u(x) ϕ(x) dx+ f (u) u(x)ϕ(x) dx. (13)

28 Доказательство-5 Справедлива следующая цепочка неравенств: +c 1 K [ ] f (u m ) u m (x) f (u) u(x) ϕ(x) dx c 1 f (u m ) f (u) u m (x) dx+ K u m (x) u(x) f (u)(x) dx = I 1 +I 2, c 1 = sup ϕ(x). x K (14)

29 Доказательство-6 Справедлива следующая цепочка неравенств для I 2 : I 2 c 1 K c 1 c 2 K 1/p u m (x) u(x) p dx K 1/p u m (x) u(x) p dx K 1/p f (u) 1/p p 0 при m +. Теперь заметим, что последовательность {u m } C 1 () и, поэтому для любого компакта K имеем {u m } C 1 (K) и, в частности, u m L (K). В следующих оценках мы будем использовать этот факт.

30 Доказательство-7 Рассмотрим теперь I 1 из (14) I 1 = c 1 K f (u m ) f (u) u m (x) dx c 1 c 3 K 1/p K f (u m ) f (u) p dx Поскольку последовательность u m сильно сходится к u в L p () c p [1, + ], то в силу теоремы 35 второй главе вытекает, что найдется такая подпоследовательность {u mn } {u m (x)}, что u mn (x) сходится почти всюду к u(x) на. 1/p

31 Доказательство-8 Поскольку f (t) C ( R 1), то приходим к выводу, что f (u mn ) (x) f (u)(x) при n + для почти всех x. Следовательно, по теореме Лебега приходим к выводу, что lim I 1(u mn ) = 0. n + Таким образом, из (13) вытекает, что lim f (u mn ) u mn (x)ϕ(x) dx = n + f (u) u(x)ϕ(x) dx. Значит, пришли к следующему равенству f(u)(x) ϕ(x) dx = f (u) u(x)ϕ(x) dx. А отсюда и вытекает утверждение леммы.

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера.

Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера. Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Лекция 3. Нелинейные операторы.

Лекция 3. Нелинейные операторы. Лекция 3. Нелинейные операторы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 12 сентября 2012 г. Обозначения. Пусть B 1 и B 2 это два банаховых пространства относительно

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости.

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Определения Итак, напомним, что действие линейного функционала

Подробнее

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Определение топологического

Подробнее

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Лекция 2 ПРОСТРАНСТВО AC И ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА. 1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) AC[,b], если для любого ε > 0 найдется такое

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение 5 Линейная замена переменной Для введения операции линейной (точнее, аффинной замены переменной, как и прежде, воспользуемся принципом продолжения с множества регулярных

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Лекция 11. Метод Галеркина в сочетании с методом компактности.

Лекция 11. Метод Галеркина в сочетании с методом компактности. Лекция 11. Метод Галеркина в сочетании с методом компактности. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 5 ноября 211 г. Постановка задачи. Пусть Ω ограниченная область

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение В этой лекции мы продолжим

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера Лекция АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Интеграл Бохнера Перейдем к построению интеграла Бохнера, являющегося банаховозначным обобщением интеграла Лебега. Как и в случае интеграла Лебега путь у нас имеется

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 23 февраля 2012 г.

Подробнее

Лекция 3 ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. 1. Гладкость гармонических функций

Лекция 3 ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. 1. Гладкость гармонических функций Лекция 3 ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. Гладкость гармонических функций Справедлива следующая важная теорема: Теорема. Если u(x) C(U) обладает свойством (??): u(x) = u(y) ds ω N r N y = α N r N u(y) dy B(x,r) B(x,r)

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО

Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО Лекция 11 ЛЕММА ЖИРО 0. План лекции 1. Предварительные условия. 2. Теорема типа Жиро. 3. Контрпример к теореме Жиро в случае области с угловой точкой на границе. 4. Принцип максимума модуля. 5. Единственность

Подробнее

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА Лекция ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В этой лекции мы рассмотрим основные свойства решений уравнения Лапласа и уравнения Пуассона в гладких областях. Многие результаты известны из курса лекций ММФ для третьего курса.

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Лекция 8. Вариационные методы. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева.

Лекция 8. Вариационные методы. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева. Лекция 8. Вариационные методы. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 26 октября 2011 г. Введение. В этом параграфе мы

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

u(x, y) dx + v(x, y) dy = dxdy. (4.1) y γ f(z k ) (z k+1 z k ), (4.2)

u(x, y) dx + v(x, y) dy = dxdy. (4.1) y γ f(z k ) (z k+1 z k ), (4.2) Лекция 4 Комплексный интеграл В этой части курса нам потребуется следующее утверждение Теорема 6 (формула Грина) Пусть - ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая без самопересечений и пусть Ω ограниченная

Подробнее

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования Тема 5 Интеграл Лебега. Напомним, что такое интеграл Лебега и обсудим основные его свойства. Нам понадобятся следующие естественные соглашения, одно из которых мы уже использовали. 5.1 Соглашения и обозначения

Подробнее

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств.

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу

Подробнее

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега.

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Введение На прошлой лекции мы рассмотрели построение

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Лекция 7. Банаховы пространства

Лекция 7. Банаховы пространства Лекция 7. Банаховы пространства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 декабря 2012 г. Определение. Определение 1. Банаховым пространством

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса.

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Лекция 9-10. Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Мы докажем теорему существования и единственности обобщенного решения системы уравнений Навье Стокса с

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

Лекция 18 МЕТОД АПРИОРНЫХ ОЦЕНОК

Лекция 18 МЕТОД АПРИОРНЫХ ОЦЕНОК Лекция 18 МЕТОД АПРИОРНЫХ ОЦЕНОК 0. План лекции 1. Постановка задачи для равномерно эллиптического оператора. 2. Определение слабого решение. 3. Теорема Брауэра. 4. Лемма об остром угле. 5. Выбор ортонормированного

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой лекции мы рассмотрим некоторые результаты об операторах со слабой особенностью и теорию поверхностей Ляпунова. 0. План лекции. Свойства a), b) и c). 2. Теорема

Подробнее

СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II Ю. Г. Решетняк

СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II Ю. Г. Решетняк Сибирский математический журнал Июль август, 2004. Том 45, 4 УДК 517.54 СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II Ю. Г. Решетняк Аннотация: Доказывается эквивалентность определений

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример.

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример. 21. Компактность Компактность чрезвычайно важное техническое понятие топологии и анализа. Начнем с определения. Определение 21.1. Топологическое пространство X называется компактным, если оно обладает

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория.

Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория. Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 22 января 2012 г. Определение гильбертова пространства.

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ В этой лекции мы продолжим рассмотрение пространств Лебега, начатое в третьей лекции предыдущего семестра. Для более полного понимания следует посмотреть эту лекцию..

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА В этой лекции мы рассмотрим такие фундаментальные понятия современного нелинейного функционального анализа, как сильная, слабая и слабая

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Лекция 9 ТРАНСПОНИРОВАННЫЙ ОПЕРАТОР. 1. Обозначения

Лекция 9 ТРАНСПОНИРОВАННЫЙ ОПЕРАТОР. 1. Обозначения Лекция 9 ТРАНСПОНИРОВАННЫЙ ОПЕРАТОР В этой лекции мы рассмотрим важное понятие транспонированного оператора и докажем важную теорему о равенстве скобок двойственности. 1. Обозначения Пусть заданы два банаховых

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

Тематическая лекция 5 ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. 1. Оператор Немыцкого

Тематическая лекция 5 ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. 1. Оператор Немыцкого Тематическая лекция 5 ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ В этой лекции мы рассмотрим первый базовый оператор эллиптического типа следующего вида: u + f(x,u), где функция f(x, u) принадлежит к так называемому

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. В.А.Ильин, А.А.Кулешов Рассмотрим на этот раз в открытом с одной стороны

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

7. Преобразование Фурье.

7. Преобразование Фурье. 7. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье занимает важнейшее место в теории распределений, теории дифференциальных уравнений и математике вообще. Хорошо известно, что преобразование Фурье интегрируемой

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой

Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой 582, 586, 588, 574, 58, 583, 585, 587, 584.. Формула Пуассона В n-мерном Евклидовом пространстве E n = x = x,..., x n } рассмотрим задачу Коши для простейшего

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Лекция Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание

Лекция Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание Лекция 3-18. Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание Определение 1 Радиусом сходимости степенного ряда an z n (1) называется такое R, что вне круга радиуса R с центром в нуле ряд расходится,

Подробнее

О. Б. Васюнина, С. В. Самуйлова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

О. Б. Васюнина, С. В. Самуйлова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» О. Б. Васюнина, С. В.

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

B ЗНАЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА

B ЗНАЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА Лекция 12 B ЗНАЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА 1. Пространства L p ([, T], µ; B) Теперь определим классы функций, интегрируемых по Бохнеру. Дадим определение. Определение 1. Классом функций L p ([,T],µ; B) при

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. пространство

Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. пространство Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Пространство P Напомним, что топология τ пространства Фреше P, τ) порождена следующим счетным семейством полунорм: def f n p n f) max sup + x 2) n fx)..) n x Определение.

Подробнее

Лекция Последовательности комплексных чисел

Лекция Последовательности комплексных чисел Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Подробнее

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах ЛЕКЦИЯ 7Б Линейные функционалы (продолжение). Некоторые следствия из теорем Банаха Штейнгауза и Хана Банаха. Нерефлексивность некоторых функциональных пространств 1. Некоторые общие свойства линейных функционалов

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом " > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. < " при x > x 0. (17.1)

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом  > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. <  при x > x 0. (17.1) 17. Дополнения На этой сокращенной лекции последней лекции первого семестра мы осветим два вопроса, на которые не хватило времени в прошлый раз. Мы видели, что для раскрытия неопределенности вида 0=0,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее