ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Транскрипт

1 . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1

2 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление вектора указывается стрелкой. Обозначается вектор двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой (или чертой) наверху, при условии, что первая буква обозначает его начало, а вторая - его конец. Например, вектор AB. Прямая (AB), на которой лежат точки A и B, называется носителем вектора AB. Два вектора AB и CD называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: AB CD. B D A B D C A C Рис. 1 Рис. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными (сонаправленными) (рис. 1) или противоположно направленными (рис. ). Обозначения: AB CD, соответственно AB CD. Векторы, лежащие в одной плоскости или на прямых, параллельных одной плоскости, называются компланарными. Два вектора всегда компланарны. Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и его концом. Обозначение: AB. Вектор, длина котогого равняется единице, называется единичным. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину (рис. 3 и 4). Обозначение: AB = CD. A C B D A B C D Рис. 3 Рис. 4 Отложить вектор от данной точки A - значит построить вектор, равный данному вектору и имеющий начало в точке A. Если два равных вектора отложить от одной и той же точки, они будут совпадать. В геометрии принято не различать друг от друга равные векторы, а считать, что речь идёт об одном и том же векторе, отложенном от разных точек. При такой точке зрения вектор называется свободным. В физике употребляются также связанные и скользящие векторы, мы же будем рассматривать только свободные векторы. Свободный вектор принято обозначать одной строчной латинской буквой: a, b,.... Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Обозначение: 0. Нулевой вектор не имеет определённого направления. Его можно считать коллинеарным любому вектору. Очевидно, длина нулевого вектора равна нулю: 0 = 0.

3 Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, противоположно направлены и имеют одинаковые длины (рис. 5 и 6). Вектор, противоположный вектору a, обозначается a. Очевидно, BA = AB, а также ( a ) = a. D C A B A B D C Рис. 5 Рис. 6. Линейные операции над векторами Пусть даны два вектора a и b. Построим равные им векторы AB = a и BC = b (т. е. отложим вектор b от конца вектора a ) (рис. 7). Тогда вектор AC называется суммой вектороа a и b. Обозначение: a + b. Такое правило построения суммы двух векторов называется правилом замыкающей или правилом треугольника. Пусть векторы a и b неколлинеанарны. Отложим их от общей точки O : OA = a и OB = b и построим параллелограмм OACB (рис. 8). Тогда вектор OC, где OC - диагональ построенного параллелограмма, равен сумме векторов a и b : OC = a + b. Такое правило построения суммы двух векторов называется правилом параллелограмма. B a b A a + b C A a O a + b b B Рис. 7 Рис. 8 C Из определения суммы векторов непосредственно следует ещё так называемое правило 3 точек: A, B, C, AB + BC = AC. D Кроме того, для 3 некомпланарных векторов имеет место следующее правило построения суммы, называемое правилом параллелепипеда: C c сумма трёх некомпланарных векторов a + c b + c 6 B равна вектору OD, где OD - диагональ a + b параллелепипеда, построенного на векторах b a = OA, b = OB и c = OA, A a O отложенных от общей точки O (рис. 9). Рис. 9 3

4 Произведением вектора a на число (скаляр) λ называется вектор b, удовлетворяющий условиям: 1) b a, ) b = λ a, 3) векторы b и a сонаправлены, если λ > 0, и противоположно направлены, если λ < 0 (при λ = 0 из второго условия следует, что b = 0 ). Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Их основные свойства рассматриваются в школе. Перечислим их без доказательства. 1) a, b, a + b = b + a (коммутативность), ) a, b, c, ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (ассоциативность), 3) a, a + 0 = a (закон поглощения 0 ) 4) a, a + ( a ) = 0 ; 5) a, λ, µ, λ(µ a ) = (λµ) a, 6) a, λ, µ, (λ+µ) a = λ a+µ a (дистрибутивность относительно сложения чисел), 7) a, b, λ, λ( a+ b ) = λ a+λ b (дистрибутивность относительно сложения векторов), 8) a, 1 a = a. Разностью a b векторов a и b называется a b вектор такой, что b + = a (рис. 10). Очевидно, a b = a + ( a b b). (правило параллелограмма для вычитания векторов). Рис. 10 Вычитание определяется через сложение, поэтому не будем считать его отдельной операцией. Точно так же не будем считать отдельной операцией деление вектора на число, т. к. его можно определить как умножение вектора на обратную величину этого числа: a λ = 1 λ a. В частности, при λ = a получаем единичный вектор называемый ортом вектора a. Очевидно, a 0 = a a = 1 a a, a, a = a a 0, то есть любой вектор можно представить как произведение его орта на его же модуль. С помощью линейных операций над векторами мы можем составлять выражения вида λ 1 a 1 +λ a +...+λ k a k, называемые линейными комбинациями векторов. Числа λ 1, λ,..., λ k при этом называются коэффициентами линейной комбинации. Из 4

5 свойств линейных операций следует, что выражения, составленные из линейных комбинаций, можно преобразовывать по правилам алгебры: можно раскрывать скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые члены в другую часть равенства с противоположным знаком и т. д. Полезно отметить ещё следующие свойства линейных операций над векторами: a) a, ( 1) a = a, b) a, b, a + b a + b (неравенство треугольника). 3. Проекция вектора на ось Пусть векторы a и b коллинеарны ( a b ), причём b 0. Тогда имеет смысл следующая операция, называемая делением коллинеарных векторов: Из определения следует,что Действительно, Кроме того, ясно, что a b = a = b. a = a b b. a = b = b = = a b. a b = a b > 0 и a b = a b < 0. Прямая l называется осью, если на ней указаны: начальная точка (начало оси), единица длины и направление движения. Для превращения данной прямой в ось достаточно задать на ней единичный вектор (орт) e (рис. 11). e O l B b O a A Рис. 11 Рис. 1 Углом между двумя ненулевыми векторами a и b называется наименьший из двух углов AÔB, где OA = a и OB = b (рис. 1). Обозначение: ( a, b ). Очевидно, угол между двумя векторами может принимать значения от 0 до π. В частности, { ( a, 0, если a b ) = b, π, если a b. Если ( a, b ) = π, то векторы a и b называются ортогональными и при этом пишут: a b. Нулевой вектор 0 можно считать ортогональным любому вектору. 5

6 Углом между вектором a и осью l называется угол между вектором a и ортом e этой оси. Пусть AB = a, а A и B - ортогональные проекции точек A и B на ось l (рис. 13). Тогда проекцией вектора a на ось l называется число P r e a = P r l a = A B Очевидно, оно равно длине вектора A B, взятой со знаком "плюс" при A B e и со знаком "минус" при A B e. e. e A B A B l Рис. 13 A a ϕ O e A Рис. 14 l Основные свойства проекции вектора на ось (без доказательства): 1) a e = P r e a = 0, ) a = b = P r e a = P r e b, 3) b = λ a = P r e b = λ P r e a, 4) P r e ( a + b) = P r e a + P r e b, 5) P r e a = a cos ϕ, где ϕ = ( a, e ) (рис. 14). 4. Координаты вектора Теорема 1. Если на прямой задан ненулевой вектор e, то всякий вектор a этой прямой (или ей параллельный) можно представить и притом единственным образом в виде a = e. (1) Доказательство. Так как a e и e 0, имеет смысл отношение a/ e, то есть существует число такое, что a e =, то есть a = e. Для доказательства единственности числа предположим, что существует ещё число такое, что a = e. Тогда откуда a a = e e = ( ) e = 0, = 0, то есть =. Выражение (1) называется разложением вектора a по вектору e. 6

7 Если на прямой задан ненулевой вектор e и ставится задача о разложении всевозможных векторов этой прямой по вектору e, то вектор e называется базисным, а коэффициент в разложеннии (1) называется координатой вектора a относительно базисного вектора e. Теорема. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора e 1 и e, то всякий вектор a этой плоскости (или ей параллельный) можно разложить и притом единственным образом по векторам e 1 и e, т. е. представить его в виде a = e 1 + y e. Доказательство. Отложим векторы a, e 1 и e от общей точки O. Через конец M вектора OM = a проведём прямые, параллельные векторам e 1 и e до пересечения с их носителями соответственно в точках A и B. Тогда по правилу параллелограмма будем иметь а в силу теоремы 1 Следовательно, a = OM = OA + OB, () OA = e 1, OB = y e, (3) a = e 1 + y e. (4) Единственность разложения (4) следует из единственности разложений () и (3). Если требуется разложить всевозможные векторы плоскости по двум фиксированным некомпланарным векторам e 1, e этой плоскости, взятым в определённом порядке (вектор e 1 - первый, а e - второй), то векторы e 1, e называются базисными, а коэффициенты и y в разложении (4) называются координатами вектора a относительно базиса e 1, e ; при этом называется абсциссой, а y - ординатой вектора a. Обозначение: a = (, y) или a (, y). M B e O M a Рис. 15 A e 1 B e 3 a e C e 1 O Рис. 16 A Теорема 3. Всякий вектор a пространства можно разложить и притом единственным образом по трём данным некомпланарным векторам e 1, e, e 3. Доказательство. Отложим векторы e 1, e, e 3 и вектор a от общей точки O. Через конец M вектора OM = a проведём плоскости, параллельные плоскостям, 7

8 определяемым парами векторов ( e 1, e ), ( e 1, e 3 ), ( e, e 3 ) (рис. 16). Обозначим точки пересечения этих плоскостей с носителями векторов e 1, e, e 3 соответственно через A, B, C. По правилу параллелепипеда будем иметь а по теореме 1 Следовательно, a = OM = OA + OB + OC, (5) OA = e 1, OB = y e, OC = z e 3. (6) a = e 1 + y e + z e 3. (7) Единственность разложения (7) следует из единственности разложений (5) и (6). Если речь идёт о разложении векторов пространства по трём некомпланарным векторам e 1, e, e 3, то упорядоченная тройка векторов ( e 1, e, e 3 ) называется базисом, а коэффициенты, y, z в разложении (7) называются координатами вектора a относительно этого базиса. При этом называется абсциссой, y - ординатой, а z - аппликатой. Обозначение: a = (, y, z) или a (, y, z). Если базисные векторы e 1, e, e 3 единичны и попарно ортогональны, то базис ( e 1, e, e 3 ) называется ортонормированным. В этом случае вместо e 1, e, e 3 пишут i, j, k. Заметим, что в случае ортонормированного базиса координаты вектора получают следующую интерпретацию: поэтому a = i + y j + z k = P r i a, = P r j a, = P r k a, = a cos( a, i ), y = a cos( a, j ), z = a cos( a, k ). (8) В дальнейшем мы будем пользоваться почти везде ортонормированными базисами. Пусть даны два вектора и своими координатами относительно некоторого ортонормированного базиса ( i, j, k) : a = (, y, z), то есть a = i + y j + z k, b = (, y, z ), то есть a = i + y j + z k. Тогда из свойств линейных операций над векторами следует, что a ± b = ( ± ) i + (y ± y ) j + (z ± z ) k, λ a = (λ ) i + (λ y) j + (λ z) k. Таким образом, при сложении векторов их одноимённые координаты складываются, а при умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр. 8

9 Линейная комбинация 5. Линейная зависимость векторов λ 1 a 1 + λ a λ k a k векторв a 1, a,..., a k называется нетривиальной, если хоть один из коэффициентов λ 1, λ,..., λ k отличен от нуля (т. е. если не все коэффициенты равны нулю). Она называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю, то есть λ 1 = λ =... = λ k = 0. Векторы a 1, a,..., a k называются линейно зависимыми, если существует хотя бы одна их нетривиальная линейная комбинация, равная 0. Они называются линейно зависимыми, если нулевому вектору равняется только их тривиальная линейная комбинация, то есть если равенство λ 1 a 1 + λ a λ k a k = 0 возможно только при λ 1 = λ =... = λ k = 0. Основные свойства: 1) Если система векторов a 1, a,..., a k линейно зависима, один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных. ) Если какой-нибудь вектор системы a 1, a,..., a k является линейной комбинацией остальных, то система линейно зависима. 3) Если часть системы векторов (подсистема) линейно зависима, то и вся система линейно зависима. В частности, система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. 4) Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема линейно независима. 5) Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. 6) Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. 7) Любые четыре вектора линейно зависимы. 6. Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначения: a b, a b, ( a, b) и другие. Таким образом, a b = a b cos( a, b). Если хотя бы один из векторов a, b нулевой, то их скалярное произведение считается равным нулю по определению. Основные свойства: 1) Скалярное произведение двух векторов коммутативно: a, b, a b = b a. Действительно, a b = a b cos( a, b) = b a cos( b, a) = b a. ) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: a, a = a a = a. 9

10 Действительно, a = a a = a a cos( a, a) = a cos 0 = a. 3) Скалярное произведение двух ортогональных векторов равно нулю: a b = a b = 0. Действительно, так как cos( a, b) = π/, то a b = a b cos π = a b 0 = 0. 4) Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны: a b = 0 = a b. Действительно, если a b = a b cos( a, b) = 0, и a 0, b 0, то a = 0, b = 0, поэтому cos( a, b) = 0, то есть ( a, b) = π, а значит, a b. Так как нулевой вектор не имеет определённого направления, его можно считать ортогональным к любому другому вектору. Поэтому свойство имеет место и в случае, когда хоть один из векторов a и b нулевой. Таким образом, a b = 0 a b. b ϕ O a 0 a Рис. 17 5) a b = a Pr a b = b Pr b a. Действительно, a b = a b cos ϕ = = a ( b cos ϕ) = a P r a0 b = = b ( a cos ϕ) = b P r b0 a. 6) Скалярное произведение двух векторов ассоциативно относительно умножения вектора на скаляр: Действительно, a, b, λ, λ ( a b) = (λ a ) b = a (λ b ). a (λ b) = a Pr a (λ b ) = a (λ Pr a b ) = λ ( a Pr a b ) = λ ( a b ). Аналогично доказывается, что a (λ b ) = λ ( a b ). Таким образом, умножение скалярного произведения двух векторов на число равносильно умножению на это число одного из сомножителей. 7) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: a, b, c, a ( b + c ) = a b + a c, ( a + b ) c = a c + b c. Действительно, a ( b + c ) = a Pr a ( b + c ) = a (Pr a b + Pr a c) = 10

11 = a Pr a b + a Pr a c = a b + a c ; ( a + b ) c = c ( a + b ) = c a + c b = a c + b c. Замечание 1. Свойство 7 по индукции легко распространяется на любое число слагаемых: a ( b 1 + b b k ) = a b 1 + a b a b k. Замечание. Свойство 7 имеет место и для разности двух векторов: Действительно, a, b, c, a ( b c ) = a b a c. a ( b c ) = a [ b + ( c) ] = a b + a ( c) = a b a c. 8) (, a = 0) = ( a = 0 ) Действительно, так как a = 0 при любом, то в частности, при = a будем иметь: a = a a = a = a = 0, откуда a = 0 и, следовательно, a = 0. Таким образом, только нулевой вектор ортогонален любому вектору. 9) (, a = b ) = ( a = b ). Действительно, ( a = b ) ( a b = 0 ) ( a b ) = 0, откуда, в силу произвольности, по свойству 8 следует, что a b = 0, то есть a = b. Замечание 3. Из предыдущего видно, что скалярное умножение векторов имеет много общего с умножением чисел. Однако имеются и существенные отличия. Например, 1) при скалярном умножении векторов получается не вектор, а число, ) скалярное произведение определено только для двух векторов, 3) равенство a b = 0 возможно даже если a 0 и b 0 одновременно, 4) из равенства a c = b c при c 0 не обязательно следует, что a = b (сокращение не всегда возможно). 7. Координатное выражение скалярного произведения двух векторов Заметим, что если базис ( i, j, k ) - ортонормированный, то Поэтому если даны векторы i + j + k = 1, i j = i k = j k. a = i + y j + z k, b = i + y j + z k, 11

12 то, пользуясь свойствами скалярного произведения, получим a b = ( i + y j + z k )( i + y j + z k ) = + y y + z z. В частности, Так как a = a a = ( i + y j + z k ) = + y + z., отсюда следует, что a = a = + y + z. Условие коллинеарности векторов a = (, y, z ) и b = (, y, z ), полученное ранее (при b 0 ) в виде a = λ a, может быть записано теперь в виде = y y = z z, а условие ортогональности векторов a и b в координатной форме имеет вид: a b = 0 + y y + z z = 0. Из определения скалярного произведения легко вывести формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами: в координатной форме: a b = a b cos ( a, b) = cos ( a, b) = a b a b ; cos ( a, b) = + y y + z z + y + z + y + z. Введём обозначения: α = ( a, i ), β = ( a, j ), γ = ( a, k ). Углы α, β, γ полностью определяют положение вектора a относительно базиса ( i, j, k ). Поэтому косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора a. Они обладают следующим свойством: Действительно, с одной стороны, cos α + cos β + cos γ = 1. = a cos α, y = a cos β, z = a cos γ, 1

13 поэтому С другой стороны, + y + z = a (cos α + cos β + cos γ). + y + z = a = a. Сравнивая два последних выражения, получим доказываемое. Заметим, что координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: a 0 = a a = i cos α + j cos β + k cos γ. Замечание. В случае векторов плоскости ортонормированный базис состоит из двух векторов i и j и всякий вектор a плоскости задаётся в таком базисе двумя координатами, y : a = i + y j. Поэтому все полученные выше формулы верны и для плоскости, если в них положить k = 0 и z = 0 ( z = 0 и т. д.). 8. Определители -го и 3-го порядков Общая теория определителей n -го порядка будет изложена в рамках темы "Элементы линейной алгебры", а на данном этапе можно ограничиться элементарными сведениями об определителях -го и 3-го порядков. Пусть даны 4 числа a 1, b 1, a, b, расположенные в виде таблицы (называемой квадратной матрицей -го порядка) ( ) a1 b 1. (1) a b Определителем -го порядка, соответствующим таблице (1), называется число, обозначаемое символом a 1 b 1 a b и равное a 1 b 1 a b = a 1 b a b 1. () Рассмотрим теперь 9 чисел a 1, b 1, c 1, a, b, c, a 3, b 3, c 3, расположенных в виде таблицы (называемой квадратной матрицей 3-го порядка) a 1 b 1 c 1 a b c. (3) a 3 b 3 c 3 Определителем 3-го порядка, соответствующим таблице (3), называется число a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3 = a 1 b c 3 + b 1 c a 3 + c 1 a b 3 c 1 b a 3 b 1 a c 3 a 1 c b 3. (4) 13

14 Запомнить формулу (4) сложно, поэтому на практике пользуются так называемым правилом Саррюса (или правилом треугольников), которое схематически выглядит так: Вычисление определителя 3-го порядка можно свести к вычмслению трёх определителей -го порядка: a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3 = a 1(b c 3 b 3 c ) b 1 (a c 3 a 3 c ) + c 1 (a b 3 a 3 b ) = b = a c 3 1 b 3 c 3 b 1 a c 3 a 3 c 3 + c 1 a b 3 a 3 b 3. (5) Выражение (5) называется разложением определителя 3-го порядка по первой строке. Аналогичным образом можно получить разложение определителя 3-го порядка по любой строке или по любому столбцу. Пример = ( 4) = = 3 ( 3 + 4) ( ) 4 (8 5) = 3 1 ( ) 4 3 = = Векторное произведение двух векторов Векторным произведением вектора a на вектор b называется третий вектор c, удовлетворяющий следующим трём условиям: 1) c a, c b, ) c = a b sin ( a, b ), 3) тройка ( a, b, c ) - правая. Обозначения: [ a, b ], [ a b ], a b и другие. Таким образом, по определению 1 o. [ a, b ] a, [ a, b ] b ; o. [ a, b ] = a b sin ( a, b ) ; 3 o. тройка a, b, [ a, b ] - правая. Замечание. Упорядоченная тройка векторов называется правой (левой), если для наблюдателя, смотрящего из конца третьего вектора кратчайший поворот от 14

15 первого вектора ко второму виден в положительном (отрицательном) направлении, т. е. против часовой стрелки (по часовой стрелке). Рассмотрим простейшие свойства векторного произведения двух векторов, вытекающие непосредственно из определения. 1. Модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах. b a S S = a b sin ( a, b ) = [ a, b ]. Векторное произведение антикоммутативно: при перестановке сомножителей оно заменяется противоположным вектором: a, b, [ a, b ] = [ b, a ]. (1) 3. Векторное произведение двух коллинеарных векторов равняется нулевому вектору. Действительно, коллинеарность двух векторов a и b означает, что Во всех случаях то есть 1) либо ( a, b ) = 0, 3) либо a = 0, ) либо ( a, b ) = π, 4) либо b = 0. [ a, b] = a b sin ( a, b ) = 0, (3) () [ a, b] = 0. (4) 4. Если векторное произведение двух векторов a и b равно нулевому вектору, то эти векторы коллинеарны. Действительно, равенство (4) равносильно равенству (3), из которого следует выполнение одного из условий (), что иозначает коллинеарность векторов a и b. Свойства 3 и 4 можно сформулировать вместе следующим образом: Для того, чтобы два вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору: a b [ a, b ] = 0. (5) Остальные свойства векторного произведения будут рассмотрены в п Смешанное произведение трёх векторов Пусть дана упорядоченная тройка векторов a, b, c. Умножим сначала a на b векторно, а затем полученный вектор [ a, b ] умножим скалярно на c. Тогда получим число, которое называется смешанным произведением векторов a, b и c. Обозначения: ( a, b, c ), ( a b c ), a b c, a b c. 15

16 Таким образом, по определению ( a, b, c ) = [ a b ] c. (1) Рассмотрим основные свойства смешанного произведения 3 векторов. 1. (Геометрический смысл смешанного произведения 3 векторов) Смешанное произведение трёх векторов a, b, c равно объёму параллелептпеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком "плюс", если тройка a, b, c - правая, и со знаком "минус", если эта тройка - левая. [ a b ] Доказательство. Обозначим через e орт векторного про- изведения [ a b ]. Тогда (рис. 19) [ a b ] = S e, где c S = [ a b ] = a b sin ( a, b ) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, который можно считать основанием параллелепипеда, о котором говорится в теореме. Следовательно, С другой стороны, h b S a Рис. 19 ( a, b, c ) = [ a b ] c = ( S e ) c = S e c = S Pr e c. Pr e c = ±h, где h - высота параллелепипеда (рис. 19). Поэтому ( a, b, c ) = ±V, () где V - объём параллелепипеда. Знак "плюс" в равенстве () соответствует случаю, когда угол ( c, e ) острый, а знак "минус" случаю, когда угол ( c, e ) тупой. В первом случае тройки ( a, b, c ) и ( a, b, [ a b ] ) одинаково ориентированы, то есть тройка ( a, b, c ) - правая. Во втором случае указанные тройки ориентированы противоположно, поэтому тройка ( a, b, c ) - левая. Теорема доказана.. Смешанное произведение трёх компланарных векторов равно нулю. Действительно, если векторы a, b, c компланарны, можно считать, что они лежат в одной плоскости. Но тогда вектор [ a b ] ортогонален этой плоскости. Следовательно, c [ a b ] и поэтому ( a, b, c ) = [ a b ] c = Если смешанное произведение трёх векторов равно нулю, то эти векторы компланарны. 16

17 Действительно, если эти векторы были некомпланарны, то на них можно было бы построить параллелепипед с объёмом а это означало бы, что ( a, b, c ) 0. V = ( a, b, c ) 0, Свойства и 3 можно сформулировать вместе следующим образом: Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю. 4.Смешанное произведение трёх векторов a, b, c не меняется при циклической перестановке сомножителей. Действительно, при циклической перестановке векторов a, b, c не изменяется ни объём параллелепипеда, на них построенного, ни ориентация тройки a, b, c. Следовательно, при циклической перестановке векторов a, b, c не изменяется ни модуль смешанного произведения, ни его знак. 5.При перестановке двух сомножителей смешанное произведение трёх векторов a, b, c меняет знак на обратный. Действительно, при такой перестановке объём параллелепипеда, построенного на этих векторах, не меняется, а ориентация тройки a, b, c меняется на противоположную. Поэтому модуль смешанного произведения ( a, b, c ) не меняется, а его знак меняется на обратный. Резюмируя содержание свойств 4 и 5, приходим к следующим соотношениям: ( a, b, c) = ( b, c, a) = ( c, a, b) = = ( a, c, b) = ( c, b, a) = ( b, a, c). (3) 6. Ещё одно важное свойство смешанного произведения трёх векторов: a, b, c, [ a, b ] c = a [ b, c ]. (4) Действительно, в силу коммутативности скалярного произведения и соотношений (1) и (3), будем иметь: a [ b, c ] = [ b, c ] a = ( b, c, a) = ( a, b, c) = [ a, b ] c. 9. Продолжение свойств векторного произведения 5. Векторное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения: a, b, λ, [ λ a, b ] = λ [ a, b ] ; (1) a, b, λ, [ a, λ b ] = λ [ a, b ]. (1 ) Другими словами, скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения. 17

18 Доказательство. Пусть - произвольный вектор. В силу известных свойств скалярного и смешанного произведений векторов, имеем: Таким образом, откуда [ λ a, b ] = (λ a ) [ b, ] = λ ( a [ b, ] ) = λ ([ a, b ] ) = (λ [ a, b ] )., [ λ a, b ] = ( λ [ a, b ] ), [ λ a, b ] = λ [ a, b ]. Соотношение (1 ) доказывается аналогично, но может быть доказано и непосредственно с помощью (1): [ a, λ b ] = [ λ b, a ] = λ [ b, a ] = λ [ a, b ]. 6. Векторное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: a, b, c, [ a + b, c ] = [ a, c ] + [ b, c ] ; () a, b, c, [ a, b + c ] = [ a, b ] + [ a, c ]. ( ) Доказательство. Пусть - произвольный вектор. Пользуясь свойствами скалярного и смешанного произведений векторов, будем иметь: [ a + b, c ] = ( a + b ) [ c, ] = a [ c, ] + b [ c, ] = Таким образом, = [ a, c ] + [ b, c ] = ( [ a, c ] + [ b, c ] ). откуда, [ a + b, c ] = ( [ a, c ] + [ b, c ] ), [ a + b, c ] = [ a, c ] + [ b, c ]. Соотношение ( ) доказывается аналогично, но может быть доказано и непосредственно с помощью (): [ a, b + c ] = [ b + c, a ] = ( [ b, a ] + [ c, a ] ) = = [ b, a ] [ c, a ] = [ a, b ] + [ a, c ]. 11. Координатное выражение векторного и смешанного произведений векторов Пусть ( i, j, k ) - ортонормированный базис (например, правый). Из определения векторного произведения следует "таблица умножения" ортов i, j, k : [ i, i ] = 0, [ j, j ] = 0, [ k, k ] = 0, [ i, j ] = k, [ j, k ] = i, [ k, i ] = j, (1) [ j, i ] = k, [ k, j ] = i, [ i, k ] = j. 18

19 Пусть векторы a, b, c даны своими координатами относительно ортонормированного базиса ( i, j, k ): a = (, y, z), то есть a = i + y j + z k, b = (, y, z ), то есть b = i + y j + z k, () c = (, y, z ), то есть c = i + y j + z k. Пользуясь свойствами векторного произведения и соотношениями (1), получим: или [ a, b ] = [ i + y j + z k, i + y j + z k ] = = [ i, i ] + y [ i, j ] + z [ i, k ]+ +y [ j, i ] + y y [ j, j ] + y z [ j, k ]+ +z [ k, i ] + z y [ k, j ] + z z [ k, k ] = = y k z j y k + y z i + z j z y i = = ( y z z y ) i + ( z z ) j + ( y y ) k. С помощью определителей полученный результат можно представить в виде: [ a, b ] = y z y z i z z j + y y k (3) [ a, b ] = i j k y z y z Умножая скалярно вектор (3) на вектор c, получим: ( a, b, c ) = [ a, b ] c = = y z y z z z y + y y z =. (4) y z y z y z. (5) С помощью полученной формулы (5) условие компланарности трёх векторов может быть сформулировано так: Для того, чтобы три вектора a, b, c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы определитель третьего порядка (5), составленный из их координат, равнялся нулю: y z y z y z = 0. 19

20 . Метод координат 1. Декартовы системы координат Пусть в пространстве зафиксирована точка O. Тогда между точками и векторами пространства можно установить взаимно однозначное соответствие по правилу: ( M r ) ( OM = r ). Вектор r = OM называется радиусом-вектором точки M относительно начала (или полюса) O. Тот факт, что точка M имеет относительно данного начала (полюса) радиус-вектор r, обычно записывают так: M ( r ). Декартовой системой координат или репером в пространстве называется совокупность точки O (начала координат) и трёх некомпланарных векторов e 1, e, e 3 (базиса). Обозначение: ( O ; e 1, e, e 3 ). Пусть в пространстве задана произвольная точка M. Координаты её радиусавектора r = OM относительно базиса ( e 1, e, e 3 ), то есть числа, y, z такие, что r = OM = e 1 + y e + z e 3, называются декартовыми координатами точки M относительно репера ( O ; e 1, e, e 3 ). Тот факт, что точка M имеет относительно данного репера координаты, y, z, записывается так: M (, y, z ). Числа, y, z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой точки M. При произвольном выборе базисных векторов e 1, e, e 3 система координат ( O ; e 1, e, e 3 ) называется аффинной, а координаты относительно неё - аффинными координатами. Мы будем пользоваться главным образом такими реперами, базисные векторы которых ортонормированы, т. е. реперами вида ( O ; i, j, k ), где векторы i, j, k единичны и попарно ортогональны. Такой пепер называется ортонормированным репером или прямоугольной декартовой системой координат, а координаты точки относительно него - прямоугольными декартовыми координатами. Оси с общим началом O и единичными векторами i, j, k называются осями координат или координатными осями и обозначаются соответственно через O, Oy, Oz. Кроме того, каждая из них имеет название: O - ось абсцисс, Oy - ось ординат, Oz - ось аппликат. Три пары координатных осей определяют три координатные плоскости: Oy, Oz, Oyz. Декартовы координаты на плоскости определяются совершенно аналогично. Разница лишь в том, что на плоскости репер состоит из начала O и двух базисных векторов i и j, а точка имеет только две координаты: абсциссу и ординату y : M (, y ) OM = i + y j. Аналогично на прямой репер состоит из начала O и одного базисного вектора i, а каждая точка имеет одну единственную координату : M ( ) OM = i. 0

21 Так как радиус-вектор каждой точки разлагается по базисным векторам единственным образом, то координаты каждой точки относительно данного репера определяются однозначно. Обратно, для любых трёх вещественных чисел, y, z можно найти одну и только одну точку M, имеющую относительно данного репера эти числа своими координатами: это - конец вектора OM = i + y j + z k (рис. 0). Таким образом, задание репера в пространстве определяет взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками вещественных чисел. Аналогично, задание репера на плоскости определяет взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами вещественных чисел, а задание репера на прямой определяет взаимно однозначное соответствие между её точками и вещественными числами. M z z OM = OM + OM y + OM z = k O i M j Рис. 0 M M y y = i + y j + z k. = P r i y = P r j OM, OM, z = P r k OM.. Простейшие задачи аналитической геометрии 1. Расстояние между двумя точками. Заметим сначала, что если известны координаты двух точек A и B относительно данного репера ( O ; i, j, k ), то легко определить координаты вектора AB относительно базиса i, j, k. Действительно, пусть A ( 1, y 1, z 1 ), B (, y, z ), то есть Тогда то есть OA = 1 i + y 1 j + z 1 k, OB = i + y j + z k. AB = OB OA = ( 1 ) i + ( y y 1 ) j + ( z z 1 ) k, AB = ( 1, y y 1, z z 1 ). Таким образом, для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конца B вычесть координаты его начала A. Отсюда легко получить формулу для вычисления расстояния между двумя точками A и B. Действительно, AB = AB = AB = ( 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ). 1

22 Аналогично, на плоскости, если A ( 1, y 1 ) и B (, y ) то а на прямой, если то AB = ( 1 ) + (y y 1 ), A ( 1 ) и B ( ), AB = ( 1 ) = 1.. Деление отрезка в данном отношении. Говорят, что точка M делит направленный отрезок AB в отношении λ, если AM MB = λ. (1) Так как соотношение (1) имеет смысл лишь при AM MB и MB 0, то точка M, делящая отрезок AB в отношении λ, лежит на прямой (AB), но отлична от точки B. Будем считать, что точки A и B различны. Тогда λ 1. Действительно, если AM MB = 1, то AM = ( 1) MB = AM = MB = AM + MB = 0 = AB = 0, что противоречит условию, что точки A и B различны. Легко видеть также, что при различных (допустимых) значениях λ положение точки M на прямой (AB) определяется следующим образом: λ < 1 A B M 1 < λ < 0 M A B λ = 0 M A B λ > 0 A M B Рассмотрим теперь такую задачу: даны две точки A ( 1, y 1, z 1 ) и B (, y, z ) своими координатами относительно некоторого репера ( O ; i, j, k ), а также некоторое число λ 1 ; найти точку M (, y, z ), делящую направленный отрезок AB в отношении λ, т. е. удовлетворяющую условию (1).

23 Перепишем условие (1) в виде AM = λ MB и заметим, что Тогда будем иметь: или откуда Так как OM = (, y, z ), AM = OM OA, MB = OB OM. OM OA = λ ( OB OM) OM + λ OM = OA + λ OB, OM = OA + λ OB. () 1 + λ OA = ( 1, y 1, z 1 ), OB = (, y, z ), одноимён- а линейные операции над векторами сводятся к тем же операциям над ными координатами векторов, то из () следует, что = 1 + λ 1 + λ, y = y 1 + λ y 1 + λ, z = z 1 + λ z 1 + λ. В частности, для того, чтобы точка M была серединой отрезка AB, необходимо и достаточно, чтобы λ = 1, т. е. чтобы = 1 +, y = y 1 + y, z = z 1 + z 3. Площадь треугольника. Пусть даны три точки пространства своими координатами относительно некоторого ортонормированного репера ( O ; i, j, k ) : A ( 1, y 1, z 1 ), B (, y, z ), C ( 3, y 3, z 3 ) и пусть требуется найти площадь треугольника ABC. Для этого заметим, что площадь ABC равняется половине площади параллелограмма, построенного на векторах AB и AC, которую можно найти по формуле Так как S = [ AB, AC ]. AB = ( 1, y y 1, z z 1 ) и AC = ( 3 1, y 3 y 1, z 3 z 1 ),. будем иметь [ AB, AC ] = ( y y 1 z z 1 y 3 y 1 z 3 z 1, 1 z z z 3 z 1, 1 y y y 3 y 1 ), 3

24 поэтому = 1 y y 1 z z 1 y 3 y 1 z 3 z 1 S ABC = 1 [ AB, AC ] = + 1 z z z 3 z y y y 3 y 1. (3) Если точки A, B, C лежат на плоскости, можно считать, что их третьи координаты равны нулю, то есть A ( 1, y 1 ), B (, y ), C ( 3, y 3 ). Следовательно, полагая в (3) z 1 = z = z 3 = 0, получим формулу для вычисления площади треугольника на плоскости: S = 1 1 y y y 3 y 1 = 1 mod 1 y y y 3 y 1. (4) Объём параллелепипеда. Пусть требуется найти объём параллелепипеда, если известны координаты его вершин относительно некоторого ортонормированного репера: A ( 1, y 1, z 1 ), B (, y, z ), C ( 3, y 3, z 3 ), D ( 4, y 4, z 4 ). Не нарушая общности, можно считать, что речь идёт о параллелепипеде, построенном на векторах AB ( 1, y y 1, z z 1 ), AC ( 3 1, y 3 y 1, z 3 z 1 ), AD (4 1, y 4 y 1, z 4 z 1 ). Из геометрического смысла смешанного произведения 3 векторов следует, что объём параллелепипеда ABCD вычисляется по формуле: 1 y y 1 z z 1 V ABCD = mod 3 1 y 3 y 1 z 3 z y 4 y 1 z 4 z 1. (5) Замечание. Если требуется найти объём тетраедра по известным координатам его вершин, правая часть равенства (5) делится на 6. (Почему?) 3. Полярные координаты Кроме декартовых систем координат (аффинной и прямоугольной), на плоскости применяются и другие системы координат. Наиболее распространённой из них является полярная система координат. Она состоит из фиксированной точки O, называемой полюсом, и луча, исходящего из точки O, на котором задана единица длины; он называется полярной осью. Полярная ось вполне определяется заданием единичного вектора i. Для полного определения полярной системы координат нужно ещё указать положительное направление вращения вокруг точки O. Обычно положительным считается направление вращения против часовой стрелки. 4

25 M ρ ϕ O i Рис. 1 Пусть дана произвольная точка M на плоскости. Расстояние ρ = OM этой точки до полюса называется её полярным радиусом. Угол ϕ = ( i OM ), на который нужно повернуть вокруг точки O единичный вектор i полярной оси, чтобы совместить его направление с направлением радиуса-вектора точки M, называется полярным углом точки M (рис. 1). В зависимости от направления вращения угол ϕ берётся со знаком "плюс" или "минус". Полярный радиус ρ и полярный угол ϕ вполне определяют положение точки M. Они называются полярными координатами точки M. Тот факт, что точка M имеет координаты ρ и ϕ, записывается так: M ( ρ, ϕ ). Легко видеть, что все точки плоскости можно получить при следующих значениях полярных координат: ρ 0, 0 ϕ < π или ρ 0, π < ϕ π. При этом не только каждой паре значений ρ и ϕ соответствует единственная точка плоскости, но и обратно, каждой точке плоскости соответствует единственная пара значений координат ρ и ϕ. Исключение составляет лишь полюс O, для которого ρ = 0, а значение ϕ остаётся неопределённым. Однако во многих вопросах бывает удобно отказаться от ограничений на изменение полярного угла ϕ и считать, что он может принимать любые (как положительные, так и отрицательные) значения. Тогда одной и той же точке будет соответствовать бесконечное число значений полярного угла, отличающихся друг от друга на kπ. В некоторых случаях удобно считать, кроме того, что полярный радиус ρ может принимать не только положительные, но и отрицательные значения. Тогда, конечно, не только полярный угол, но и полярный радиус точки определяется неоднозначно. Наряду с полярной системой координат на плоскости рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, связанную с ней, как показано на чертеже (рис. ). Если некоторая точка M плоскости имеет декартовы координаты (, y ) и полярные координаты ( ρ, ϕ ), причём ρ > 0, то, как легко видеть, = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. y M(, y) ρ j ϕ O i Рис. Действительно, = P r i OM = ρ cosϕ, y = P r j OM = ρ cos( π ϕ) = ρ sin ϕ. Обратно, ρ = + y, ϕ = arctg y, 5

26 где угол ϕ определяется с учётом соотношений cos ϕ = ρ = + y, sin ϕ = y ρ = y + y. 4. Уравнение линии на плоскости Рассмотрим произвольное уравнение с двумя неизвестными и y : F (, y ) = 0. (1) Будем интерпретировать переменные и y как прямоугольные декартовы координаты точек плоскости относительно некоторого ортонормированного репера ( O; i, j ). Тогда совокупность всех точек плоскости можно разбить на два непересекающихся класса: а) множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), и б) множество точек, координаты которых не удовлетворяют уравнению (1). Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), будем называть геометрическим местом точек (г. м. т.), определяемым уравнением (1). Рассмотрим примеры г. м. т., определяемых различными уравнениями вида (1). 1 o. + y + 1 = 0 - пустое множество. o. + y = 0 - одна точка (начало координат). 3 o. 1 + y = sin - бесконечное множество "изолированных"точек: = π + kπ, y = 0. 4 o. y y = 0 - множество точек, заполняющих всю верхнюю полуплоскость. 5 o. y = 0 - множество всех точек, лежащих на оси абсцисс. 6 o. y = 0 - множество всех точек, лежащих на биссектрисе 1-го и 3-го координатных углов. 7 o. + y 1 = 0 - множество точек, отстоящих от начала координат на расстоянии 1, т. е. окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Нас будет интересовать в основном случай, когда рассматриваемое г. м. т. представляет собой линию, как в последних трёх примерах. В таком случае уравнение (1) будет называться уравнением линии. Вместо выражения "линия, определяемая уравнением (1)" будем говорить короче "линия (1)" или "кривая (1)". Таким образом, уравнение (1) является уравнением некоторой линии L, если координаты всех точек, лежащих на линии L, удовлетворяют уравнению (1) и координаты никакой точки, не лежащей на линии L, не удовлетворяют уравнению (1). Предыдущие примеры показывают, что г. м. т., определяемое уравнением вида (1), не всегда является линией в обычном понимании. Понятие линии, определяемой уравнением, тесно связано с понятием графика функции. Действительно, пусть уравнение (1) можно разрешить относительно y, т. е. выразить из (1) y как функцию от : y = f ( ). () 6

27 Тогда, если уравнения (1) и () равносильны, то легко видеть, что линия (1) есть график функции y = f ( ). В аналитической геометрии обычно рассматривают следующие две основные задачи: 1) по известным геометрическим свойствам линии составить её уравнение; ) по заданному уравнению линии (вообще г. м. т.) определить её вид. Проиллюстрируем это на простейших примерах. Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке C ( 0, y 0 ). Очевидно, точка M (, y) лежит на окружности тогда и тлько тогда, когда (рис. 3) то есть CM = CM = R, ( 0 ) + ( y y 0 ) = R. (3) Уравнение (3) и есть уравнение искомой окружности. В частности, если её центр совпадает с началом координат, то 0 = y 0 = 0 и уравнение (3) принимает более простой вид: + y = R. Пример. Найти г. м. т., определяемое уравнением Переписывая уравнение (4) в виде + y + A + By + C = 0. (4) ( + A ) + ( y + B ) = A + B C, легко сообразить, что оно определяет: 1) при A + B C > 0 окружность радиуса A + B C с центром в точке ( A, B ), ) при A + B C = 0 точку ( A, B ), 3) при A + B C < 0 пустое множество. y j O i M(, y) R C M(ρ, ϕ) ρ ϕ O a a Рис. 3 Рис. 4 7

28 Линию можно задать с помощью уравнения не только в декартовых, но и в других координатах, например, в полярных. Так, если ρ и ϕ обозначают полярные координаты на плоскости, окружность радиуса a с центром в точке O имеет уравнение ρ = a, а такая же окружность с центром в точке ( a, 0 ) задаётся уравнением ρ = a cos ϕ. (рис. 4). Пусть на плоскости, отнесённой к декартовым координатам, y, даны две линии своими уравнениями F 1 (, y ) = 0 и F (, y ) = 0. (5) Очевидно, точка M (, y ) принадлежит обеим линиям (5), т. е их пересечению, тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют обоим уравнениям (5). Следовательно, для нахождения точек пересечения двух линий (5) нужно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными { F 1 (, y ) = 0, F (, y ) = 0. Представим себе, что линия L является траекторией движущейся точки и в каждый момент времени t нам известно положение точки, т. е. известны её декартовы координаты относительно данного репера, Тогда координаты этой точки представляют собой некоторые функции от времени t : { = ϕ(t), (6) y = ψ(t). Здесь не существенно, что переменная t имеет физический смысл времени. Если мы зададим декартовы координаты точки как функции от некоторой переменной t (называемой параметром), то тем самым мы зададим некоторую линию. Уравнения вида (6) называются параметрическими уравнениями линии L на плоскости. Составим, например, параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат. Для этого заметим, что положение точки M (, y ) на такой окружности полностью определяется значением угла t = ( i, OM ) и при этом её координаты выражаются через t по формулам: { = R cos t, (7) y = R sin t. Это и есть параметрические уравнения рассматриваемой окружности. Если из уравнений (6) исключить параметр t, получим уравнение линии в виде (1) (в неявной форме). Например, исключив параметр из уравнений (7) (для этого достаточно возвести в квадрат оба равенства (7) и сложить почленно), получим неявное уравнение окружности: + y = R. 8

29 Линия (кривая) называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она может быть задана уравнением вида P (, y ) = 0, (8) где P (, y ) - многочлен относительно переменных и y. Степень этого многочлена называется порядком алгебраической линии (8). Из предыдущего следует, например, что окружность есть алгебраическая линия -го порядка. В аналитической геометрии рассматриваются только алгебраические линии 1-го и -го порядков. 5. Уравнение поверхности Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oyz (рис. 5) и пусть F (, y, z ) = 0 (1 ) - некоторое уравнение с тремя неизвестными, y, z, например, y O z Рис. 5 + y + z 1 = 0, () + y + z = 0, (3) + z + 1 = 0, (4) y = 0, (5) y 3 = 0, (6) z = 0. (7) Тогда множество точек пространства можно разбить на два класса, отнеся к одному из них точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), а к другому - точки, координаты которых не удовлетворяют этому уравнению. Действительно, какова бы ни была точка M 0 ( 0, y 0, z 0 ), её координаты либо удовлетворяют уравнению (1 ), либо ему не удовлетворяют. Нас будет интересовать множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (1 ). О таком множестве говорят, что оно определено уравнением (1 ). Например, уравнения () - (7) определяют такие множества точек: () - сфера радиуса 1 с центром в начале координат, (3) - точка O(0, 0, 0) (начало координат), (4) - пустое множество, (5) - бисекторная плоскость двугранного угла, образованного координатными плоскостями Oz и Oyz, (6) - плоскость, параллельная координатной плоскости Oz и отстоящая от неё на расстоянии 3, (7) - плоскость Oy. Мы будем заниматься главным образом случаем, когда уравнение (1 ) определяет множество точек, представляющее собой поверхность. Тогда говорят о поверхности, определяемой уравнением (1 ), или просто о поверхности (1 ). Для примера отметим, 9

30 что уравнения (), (5), (6) и (7) определяют поверхности, а множества точек, определяемые уравнениями (3) и (4), не являются поверхностями в обычном смысле. Определение. Уравнение (1 ) называется уравнением поверхности S, если координаты любой точки M S удовлетворяют уравнению (1 ), а координаты любой точки M / S не удовлетворяют уравнению (1 ). В аналитической геометрии приходится решать две взаимно обратные задачи: 1) дана поверхность и требуется составить её уравнение; ) дано уравнение вида (1) и нужно определить, какую поверхность (вернее, какое множество точек) оно определяет. Пример 1. Найти уравнение сферы радиуса R с центром в точке C ( a, b, c ). Пусть M (, y, z ) - произвольная точка пространства. Для того, чтобы она лежала на данной сфере, необходимо и достаточно, чтобы её расстояние до точки C равнялось R, то есть ( a) + (y b) + (z c) = R или ( a) + (y b) + (z c) = R. (8) Уравнение (8) является уравнением сферы с центром в точке, так как ему удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на сфере, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней. Если центр сферы совпадает с началом координат, т. е. a = b = c = 0, уравнение (8) принимает более простой вид: + y + z = R. Аналогичные рассуждения показывают, что координатные плоскости Oy, Oz, Oyz определяются соответственно уравнениями z = 0, y = 0, = 0. Пример. Выяснить, какое множество точек определяет уравнение Представим уравнение (9) в виде: Возможны три случая: + y + z + A + By + Cz + D = 0. (9) ( + A) + (y + B) + (z + C) = A + B + C D. 1) A + B + C D > 0, ) A + B + C D = 0, 3) A + B + C D < 0. В зависимости от этого уравнение (9) сводится к одному из уравнений: ( + A) + (y + B) + (z + C) = R, (10) ( + A) + (y + B) + (z + C) = 0, (11) ( + A) + (y + B) + (z + C) = R. (1) 30

31 Уравнение (10) определяет сферу радиуса R = A + B + C D с центром в точке M 0 ( A, B, C ), уравнение (11) - точку M 0 (вырожденную сферу), а уравнение (1) - пустое множество (мнимую сферу). Пусть уравнение (1), определяющее поверхность S, представляет собой алгебраическое уравнение n -ой степени, т. е. его левая часть есть многочлен степени n от переменных, y, z. Тогда поверхность S называется алгебраической поверхностью n -го пордка. Например, сфера есть алгебраическая поверхность -го пордка. Мы будем рассматривать только алгебраические поверхности 1-го и -го порядков. 6. Уравнения линии в пространстве Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями. Действтельно, пусть линия L представляет собой пересечение поверхностей, определяемых уравнениями и F (, y, z ) = 0 (1 ) Φ (, y, z ) = 0. () Тогда координаты любой точки M L удовлетворяют обоим уравнениям (1) и () одновременно, а координаты любой точки N / L этим свойством не обладают. Следовательно, линия L определяется системой уравнений { F (, y, z ) = 0, Φ (, y, z ) = 0. Пример. Система уравнений { + y + z = 9, z = 0 определяет окружность радиуса 3 с центром в начале координат, лежащую в координатной плоскости Oy. Рассматривая оси координат как линии пересечения соответствующих координатных плоскостей, легко получить их уравнения: { { { y = 0, = 0, = 0, O : Oy : Oz : z = 0 ; z = 0 ; y = 0. Параметрическими уравнениями линии в пространстве называются уравнения вида = ϕ 1 (t), = ϕ (t), = ϕ 3 (t), где ϕ 1 (t), ϕ (t), ϕ 3 (t) - функции некоторой переменной t (параметра), если при каждом значении t из некоторого (конечного или бесконечного) промежутка они определяют координаты точек данной линии и только таких точек. 31

32 Параметрические уравнения часто применяются в механике для описания траектории движущейся точки. Роль параметра t в таких случаях играет время. Пример. Параметрические уравнения винтовой линии. Пусть точка M (, y, z) движется по образующей кругового цилиндра радиуса R с постоянной скоростью v, а сам цилиндр при этом вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ω. Тогда, как видно из чертежа, = R cos ωt y = R sin ωt, z = vt. Это и есть параметрические уравнения винтовой линии. z O Q y ωt O P M 0 M N y P M 0 N Рис Линейчатые поверхности Поверхность называется линейчатой, если она образована прямыми, пересекающими некоторую линию L. Прямые, из которых состоит линейчатая поверхность, называются её (прямолинейными) образующими. Всякая линия L, пересекающая все образующие линейчатой поверхности, называется её направляющей. Линейчатая поверхность называется цилиндрической, если все её образующие параллельны между собой. Иначе говоря, поверхность называется цилиндрической, если она состоит из прямых постоянного направления, пересекающих некоторую линию L (направляющую). Линейчатая поверхность называется конической, если все её образующие проходят через фиксированную точку, называемую вершиной конической поверхности. Таким образом, коническая поверхность представляет собой множество прямых, про- 3

33 ходящих через фиксированную точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую). Как нам уже известно, общее уравнение поверхности имеет вид F (, y, z ) = 0. (1 ) Рассмотрим частный случай уравнения (1), когда в нём отсутствует z, т. е. уравнение вида F (, y ) = 0. () Обозначим через S поверхность, определяемую уравнением () и рассмотрим произвольную точку M 0 ( 0, y 0, z 0 ), ей принадлежащую. Так как координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (), будем иметь Но тогда всякая точка F ( 0, y 0 ) = 0. (3) M 0 ( 0, y 0, z ), (4) где z - любое число, лежит на поверхности S, так как её координаты удовлетворяют уравнению (). С другой стороны, точки вида (4) заполняют прямую, параллельную оси Oz и проходящую через точку M 0. Таким образом, поверхность S вместе с каждой своей точкой M 0 содержит прямую, проходящую через эту точку и параллельную оси Oz. Инача говоря, поверхность S состоит из "вертикальных" прямых, т. е. представляет собой цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. Направляющей этой цилиндрической поверхности служит, например, линия, лежащая в плоскости Oy и имеющая в этой плоскости уравнение (), а в пространстве определяемая системой уравнений { F (, y ) = 0, (5) z = 0. Аналогично, уравнения вида F (, z ) = 0 или F ( y, z ) = 0 определяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси Oy или оси O соответственно. Рассмотрим теперь в пространстве линию L, заданную как пересечение двух поверхностей S 1 и S : { F (, y, z ) = 0, (S 1 ) L : (6) G (, y, z ) = 0. (S ) Исключим из этой системы z. Пусть, например, G (, y, z ) = 0 z = f (, y ). Тогда L : { F (, y, z ) = 0, (S 1 ) z = f (, y ) (S ) 33

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

1. Определители второго порядка Рассмотрим систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных x и y: {

1. Определители второго порядка Рассмотрим систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных x и y: { ЛЕКЦИЯ 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ 1. Определители второго порядка Рассмотрим систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных x и y: { a1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 (1.1) Здесь

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Коллоквиум по аналитической геометрии

Коллоквиум по аналитической геометрии Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Сборник задач по аналитической геометрии

Сборник задач по аналитической геометрии Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии" ДВ

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее