СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю."

Транскрипт

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Балакина ЕЮ Новосибирск 4

2 Данная работа предназначена для студентов физического факультета Здесь собрана краткая теория для решения линейных систем дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами и представлены решения конкретных задач В основном были использованы такие классические книги как Понтрягин Л С "Обыкновенные дифференциальные уравнения"; Петровский И Г "Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений"; Степанов ВВ "Курс дифференциальных уравнений"; Романко В К "Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления"; а также конспект лекций Коробкова МВ "Лекции по дифференциальным уравнениям Семестр I"( задачник "Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению"под редакцией Романко ВК, задачник Филиппова АФ "Сборник задач по дифференциальным уравнениям" В значительной степени использована информация, рассказанная на лекциях Демиденко Геннадия Владимировича, семинарах Матвеевой Инессы Изотовны, Волокитина Евгения Павловича, Сычёва Андрея Николаевича

3 ОБОЗНАЧЕНИЯ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ПОСОБИИ R вещественная прямая : (a, b R вещественнозначная функция, действующая из интервала (a, b (при этом не обязательно принимающая значения во всём R d(t (t полная производная функции по переменной t dt C((a, b пространство непрерывных функций на интервале (a, b (t (t Y Y (t n мерная вектор-функция n (t ReY (t реальная часть вектор-функции Y (t ImY (t мнимая часть вектор-функции Y (t Y R n n мерная вещественнозначная вектор-функция (t Y Y (t (t производная n мерной вектор-функции n(t A R n n вещественнозначная матрица n n a (t a (t a n (t a (t a (t a n (t A(t Rn n переменная матрица n n a n (t a n (t a nn (t det A определитель матрицы A ranka ранг матрицы A (число линейно независимых строк/столбцов E единичная матрица f (t, Y f (t, Y F (t, Y f n (t, Y f (t,,, n f (t,,, n f n (t,,, n n мерная вектор-функция F : (a, b R n n мерная вещественнозначная вектор-функция, действующая из интервала (a, b (при этом не обязательно принимающая значения во всём R n c c C c n n мерный постоянный вектор

4 КРАТКАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами: a + a + + a n n + f (t, a + a + + a n n + f (t, n a n + a n + + a nn n + f n (t, где a ij R постоянные коэффициенты, f i : (a, b R, i, j,, n Обозначим Y Y (t (t (t n (t Rn, Y Y (t a a a n a a a n A Rn n, F (t a n a n a nn F : (a, b R n, тогда систему ( можно записать в виде (t (t n(t f (t f (t f n (t Rn, Rn, ( Y AY + F (t ( Система ( является а однородной, если F (t, и неоднородной, если F (t ; б линейной, поскольку если Ỹ (t и Ŷ (t решения системы Y AY, то для любых λ и λ R вектор-функция Y (t λỹ (t + λŷ (t также является решением системы Y AY ; в с постоянными коэффициентами, поскольку матрица A постоянна Определение Функция ψ(t : (a, b R n является решением системы (, если существует непрерывная производная ψ (t для всех t (a, b, (a, b (a, b, ψ (t Aψ(t + F (t для всех t (a, b Определение Будем говорить, что решение ψ(t : (a, b R n системы (, продолжает решение ϕ(t : (a, b R n, если (a, b (a, b, (a, b (a, b, ψ(t ϕ(t для всех t (a, b Определение Решение ϕ(t : (a, b R системы ( называется непродолжаемым, если не существует ни одного продолжающего его решения ψ(t : (a, b R Возьмём произвольную точку (t, Y, где t (a, b, Y n Rn 4

5 Определение Задача Коши это задача об отыскании решения системы Y AY + F (t, проходящего через точку (t, Y Иначе говоря, это задача { Y AY + F (t, Y (t Y ( Следствием известной теоремы Пикара, является следующая Теорема Если F C((a, b, тогда а для всех точек t (a, b и Y R n существует единственное непродолжаемое решение задачи Коши (; б все непродолжаемые решения системы ( определены для всех t (a, b Одно из важных свойств решений системы ( заключается в следующем Принцип суперпозиции Пусть Ỹ (t решение системы Y AY + F (t, Ŷ (t решение системы Y AY + F (t, тогда для любых λ, λ R вектор-функция Y (t λỹ (t + λŷ (t является решением системы Y AY + λ F (t + λ F (t Отсюда выводится не менее важное Следствие Общее решение Yон(t неоднородной линейной системы Y AY + F (t представляет собой сумму общего решения Yоо(t однородной линейной системы Y AY и частного решения Yчаст(t неоднородной линейной системы Y AY + F (t: Yон(t Yоо(t + Yчаст(t ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ Поймём, как выглядят решения однородной системы Y AY ( Теорема Размерность пространства решений однородной системы Y AY, A матрица n n, равна n Те в пространстве решений однородной системы ( существует базис набор из n линейно независимых решений Y (t, Y (t,, Y n (t Всякий такой набор называется фундаментальной системой решений Матрица Ψ(t (Y (t Y (t Y n (t называется фундаментальной матрицей решений системы ( Очевидно, что det Ψ(t Общее решение однородной системы ( в таком случае записывается в виде Y (t c Y (t + c Y (t + + c n Y n (t Ψ(tC, c c где C Rn произвольный постоянный вектор c n Теорема Фундаментальная матрица решений удовлетворяет дифференциальному уравнению Ψ AΨ Теорема Пусть Φ : (a, b R n n, Ψ : (a, b R n n матричнозначные функции Пусть Ψ(t фундаментальная матрица решений 5

6 однородной системы (, тогда следующие утверждения эквивалентны: а Φ(t фундаментальная матрица решений системы (; б существует постоянная невырожденная матрица B R n n такая, что Ψ(t Φ(tB В качестве фундаментальной матрицы решений можно взять матричную экспоненту Φ(t e At, которая по определению является а суммой ряда: e At E + At + (At либо б решением задачи Коши + (At! { Y AY, Y ( E + + (Atn n! + Из курса линейной алгебры известно разложение матричной экспоненты e At T e Jt T, где J жорданова форма матрицы A, A T JT, det T Благодаря этому свойству и теореме, в качестве фундаментальной матрицы можно взять Ψ(t T e Jt Столбцы Y, Y,, Y n этой матрицы Ψ (Y Y Y n имеют вполне наглядный простой вид, если для их записи применить вектора из жордановой цепочки Напоминание из алгебры λ собственное число матрицы A, если det(a λe Вектора H, H,, H p C n образуют жорданову цепочку для собственного числа λ C матрицы A, если справедливы соотношения: AH λh, H, AH λh + H, AH λh + H, AH p λh p + H p, иначе (A λeh, (A λeh H, (A λeh H, (A λeh p H p Вектор H называется собственным, H, H,, H p присоединённые Вектора, образующие жорданову цепочку, линейно независимы Базис пространства C n называется жордановым для матрицы A, если он состоит из жордановых цепочек матрицы A Теорема Жордана Для любой матрицы A C n n существует жорданов базис Количество всех векторов жорданова базиса, входящих во все жордановы цепочки для собственного числа λ, совпадает с кратностью λ Число собственных векторов, соответствующих λ, равно s n rank(a λe Теорема 4 Пусть вектора H, H, H,, H p C n образуют жорданову цепочку для собственного числа λ матрицы A, тогда вектор-функции Y (t H e λt, Y (t (H t + H e λt, t Y (t (H + H t + H e λt, t Y p+ (t (H p p! + H tp (p! + + H p t + H p e λt есть независимые решения однородной системы Y AY ( 6

7 Таким образом, для каждого собственного числа находим s жордановых цепочек, для них составляем решения вида ( В результате получаем n линейно независимых решений системы ( Замечание Если A вещественная матрица, λ α + iβ её собственное число, β, Y (t, Y (t,, Y m (t соответствующие решения системы Y AY, тогда λ α iβ также собственное число матрицы A, а в качестве соответствующих ему решений можно взять Y (t, Y (t,, Y m (t В этом случае для поиска вещественнозначного решения в фундаментальную систему решений можно включить ReY (t, ImY (t, ReY (t, ImY (t,, ReY m (t, ImY m (t ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ Задача (матрица, λ λ {, 4 5 Здесь матрица A имеет вид ( A 4 5 Собственные числа матрицы находятся из соотношения: det(a λe Имеем ( λ det(a λe λ + 7λ + 6 (λ + (λ λ Для матрицы получили разных собственных значения λ, λ 6 Теперь для каждого из них надо найти по собственному вектору по правилу AH i λ i H i ( Для λ собственный вектор H h удовлетворяет системе h ( ( ( h 4 4 h Решением с точностью до множителя является вектор ( H, тогда одним из решений системы является ( Y (t e t ( Для λ 6 собственный вектор H h удовлетворяет системе h ( ( 4 h 4 h ( 7

8 Решением с точностью до множителя является вектор ( H, 4 тогда вторым линейно независимым решением системы является ( Y (t e 6t 4 Фундаментальной системой решений является набор { ( ( } e t, e 6t, 4 фундаментальной матрицей решений матрица ( e t e Ψ(t 6t e t 4e 6t Общее решение системы записывается в виде: ( ( ( (t c (t e 6t e t e 6t e t + c ( 4 e t 4e 6t ( c c Задача (матрица, λ λ -комплексные { 6, 5 6 Здесь матрица A имеет вид A ( Собственные числа матрицы находятся из соотношения: det(a λe Имеем ( 6 λ det(a λe λ + 9 (λ + i(λ i 5 6 λ Для матрицы получили разных собственных значения λ i, λ i ( Для λ i собственный вектор H h удовлетворяет системе h ( ( 6 i h 5 6 i h В качестве решения можно взять вектор ( H 6 i, ( 8

9 ( тогда одним из решений системы является Y (t e 6 i it { Согласно замечанию }, в качестве фундаментальной системы решений Ỹ (t, Ỹ(t можно взять ( Ỹ (t ReY (t ( Ỹ (t ImY (t cos t 6 cos t + sin t sin t 6 sin t cos t Общее решение может быть записано в виде ( ( ( (t cos t sin t c (t + c 6 cos t + sin t 6 sin t cos t, ( ( cos t sin t c 6 cos t + sin t 6 sin t cos t c Задача (матрица х, λ λ, λ соответствует один собственный вектор и один присоединённый { +, Здесь матрица A имеет вид + 5 A ( 5 Найдём собственные числа Имеем det(a λe λ 8λ + 6 (λ 4 Для матрицы получили одно собственное значение λ 4 кратности два Тк n rank(a λ E, то собственному числу λ 4 соответствует один собственный вектор H( и присоединённый к нему H h Для λ 4 собственный вектор H удовлетворяет системе h ( ( ( h h Решением с точностью до множителя является вектор ( H, тогда одним из решений системы является ( Y (t e 4t 9

10 ( h Присоединённый вектор H те ( ( h h Решением является вектор ( H удовлетворяет системе (A λeh h H, ( тогда вторым линейно независимым решением системы является [ ( ( ] Y (t t + e 4t, Общее решение системы записывается в виде: ( ( [ ( ( (t c (t e 4t + c t + ] e 4t Задача 4 (матрица х, λ λ λ 5, + 4 +, + + Здесь матрица A имеет вид 5 A 4 Найдём собственные числа Имеем 5 λ det(a λe 4 λ λ +λ +λ (λ+(λ (λ λ Для матрицы получили разных собственных значения λ, λ, λ Найдём для каждого из них по собственному вектору по правилу AH i λ i H i h Для λ собственный вектор H h удовлетворяет системе h h h h Решением с точностью до множителя является вектор H,

11 тогда одним из решений системы является Y (t e t Для λ собственный вектор H h h удовлетворяет системе 6 h h h h Решением с точностью до множителя является вектор H 4, тогда вторым линейно независимым решением системы является Y (t 4 e t Для λ собственный вектор H h h удовлетворяет системе 7 h h h h Решением с точностью до множителя является вектор H, тогда третьим линейно независимым решением системы является Y (t e t Фундаментальной системой решений является набор { e t, 4 e t, e }, t фундаментальной матрицей решений матрица Ψ(t e t e t e t 4e t e t e t e t

12 Общее решение системы записывается в виде: (t (t c e t + c 4 e t + c (t e t e t c e 4e t e t c e t e t c e t Задача 5 (матрица х, λ λ λ, λ λ, +, Здесь матрица A имеет вид A Найдём собственные числа Имеем λ det(a λe λ λ λ λ λ(λ+ i(λ++i λ Для матрицы получили разных собственных значения λ i, λ λ + i, λ Найдём для каждого из них по собственному вектору по правилу AH i λ i H i Для λ i собственный вектор H h h удовлетворяет системе + i i h h i h Решением с точностью до множителя является вектор H i, тогда одним из решений системы является Y (t e ( it i удовлетворяет системе Для λ + i собственный вектор H h h h h i i h h i h

13 Решением с точностью до множителя является вектор H, i тогда вторым линейно независимым решением системы является Y (t e ( +it i Следует отметить, что получилось, как и было заявлено: собственному числу λ λ соответствует собственный вектор H H и решение Y (t Y (t h Для λ собственный вектор H h h удовлетворяет системе h h h Решением с точностью до множителя является вектор H, тогда третьим линейно независимым решением системы является Y (t Фундаментальной системой решений является набор { e ( it, e ( +it, i i фундаментальной матрицей решений матрица e ( it e ( +it Ψ(t e e ( +it ie ( it ie ( +it Общее решение системы записывается в виде: (t (t c e ( it + c (t i i }, e ( +it + c

14 e ( it e ( +it e e ( +it ie ( it ie ( +it Таким образом мы получили комплекснозначное общее решение Поскольку коэффициенты в системе вещественны, актуальным является вопрос о нахождении вещественнозначного решения Для этого надо взять другую, вещественнозначную, фундаментальную систему Например, набор {ReY (t, ImY (t, Y (t} { cos t cos t sin t e t, c c c sin t sin t cos t e t, Общее решение системы можно записать в виде: (t cos t sin t (t c cos t e t + c sin t e t + c (t sin t cos t cos te t sin te t cos te t sin te t sin te t cos te t c c c } Выбирая константы c, c и c вещественными, получим все вещественнозначные решения системы Если константы c, c и c брать комплексными, получим все комплекснозначные решения Задача 6 (матрица х, λ λ λ, λ соответствует собственных вектора 4 +, +, + Здесь матрица A имеет вид A 4 Найдём собственные числа Имеем det(a λe λ + λ (λ (λ + Для матрицы получили одно собственное значение λ кратности два и второе λ кратности один Тк n rank(a λ E, то собственному числу λ соответствует два собственных вектора H и H Собственному числу λ соответствует один собственный вектор H Для λ собственные вектора H и H удовлетворяют системе h h h 4

15 Независимыми решениями с точностью до множителей являются вектора H и H, тогда одним из решений системы является Y (t e t, второе линейно независимое решение Y (t e t Для λ собственный вектор H удовлетворяет системе 6 h h h Решением с точностью до множителя является вектор H, тогда третьим линейно независимым решением системы является Y (t e t Общее решение системы записывается в виде: (t (t c e t + c (t e t + c e t Задача 7 (матрица х, λ λ λ, λ соответствует один собственный вектор и присоединённый , + 9, + + 5

16 Здесь матрица A имеет вид A 9 Найдём собственные числа Имеем det(a λe λ + 7λ 8λ 6 (λ + (λ 4 Для матрицы получили одно собственное значение λ 4 кратности два и второе λ кратности один Тк n rank(a λ E, то собственному числу λ 4 соответствует один собственный вектор H и присоединённый к нему H Собственному числу λ соответствует один собственный вектор H h Для λ 4 собственный вектор H h удовлетворяет системе h h h h Решением с точностью до множителя является вектор H, тогда одним из решений системы является Y (t e 4t h Присоединённый вектор H h удовлетворяет системе (A λeh H, те Решением является вектор h H h h h тогда вторым линейно независимым решением системы является Y (t ( t + e 4t, 6

17 Для λ собственный вектор H удовлетворяет системе h h 4 h Решением с точностью до множителя является вектор H, тогда третьим линейно независимым решением системы является Y (t e t Общее решение системы записывается в виде: (t ( (t c e 4t + c t + e 4t + c (t e t Задача 8 (матрица х, λ λ λ, λ соответствует собственный вектор +, +, + Здесь матрица A имеет вид A Найдём собственные числа Имеем det(a λe λ λ λ (λ + Для матрицы получили одно собственное значение λ кратности три Тк n rank(a λ E, то собственному числу λ соответствует одна жорданова клетка, иначе, один собственный вектор H и два присоединённых H и H Для λ собственный вектор H удовлетворяет системе h h h Решением с точностью до множителей является вектор H, 7

18 тогда одним из решений системы является Y (t e t Первый присоединённый вектор H удовлетворяет системе h h h Решением является вектор H тогда вторым линейно независимым решением системы является Y (t ( t + e t Второй присоединённый вектор H удовлетворяет системе h h h Решением является вектор H тогда третьим линейно независимым решением системы является Y (t ( t + t + e t Общее решение системы записывается в виде: (t ( (t c e t + c t + e t + (t ( +c t + t + e t Задача 9 (матрица х, λ λ λ, λ соответствует собственных вектора + 6 5, + 5, + 6,, 8

19 Здесь матрица A имеет вид 6 5 A 5 6 Найдём собственные числа Имеем det(a λe λ λ λ (λ + Для матрицы получили одно собственное значение λ кратности три Тк n rank(a λ E, то собственному числу λ соответствует две жордановых клетки, иначе, один собственный вектор H, второй собственный вектор H и ему присоединённый H Для λ два линейно независимых собственных векторов H и H удовлетворяют системе 6 5 h 5 h 5 h Независимыми решениями с точностью до множителей являются вектора 5 H и H Надо найти присоединённый H вектор Его можно отыскать, решив систему (A λeh H, где H линейная комбинация векторов H и H Можно идти с другого конца, найдя сначала присоединённый вектор из (A λe H, потом соответствующий ему собственный из (A λeh H Согласно теории, (A λe является нулевой матрицей, поскольку её ранг равен (в нашем случае непосредственное перемножение матрицы это и даст, поэтому H можно взять любым, лишь бы только не линейно зависимым с H и H Возьмём, например, H, тогда H из (A λeh H получаем: 5 H 5 5 9

20 Убедимся, что найденный вектор H является собственным вектором матрицы A подстановкой в (A λeh : В качестве второго собственного вектора H можно взять H H 5 В результате мы получили набор {H, H, H } линейно независимых векторов Тогда первым линейно независимым решением системы является Y (t H e t 5 e t Вторым линейно независимым решением системы является 5 Y (t H e t 5 5 e t Третьим линейно независимым решением системы является ( Y (t (H t + H e t 5 5 t + e t 5 Общее решение системы записывается в виде: (t 5 5 ( (t c e t +c 5 e t +c (t t+ e t 4 МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ Общий вид решений выражается формулами ( Зная это, в случае кратных собственных чисел решения удобно искать методом неопределённых коэффициентов Пусть кратность одного из собственных чисел матрицы A равна k: λ λ λ k λ, λ k+i λ, i,, n k Будем искать решение в виде Y (t (c + c t + + c k t k e λt, где c s некоторые постоянные вектора из R n, s,, k Подставив эту вектор-функцию в дифференциальное уравнение, определим вектора c s Поскольку Y (t (c + c t + + (k c k t k e λt + (c + c t + + c k t k λe λt

21 (c +λc e λt +(c +λc te λt + +((k c k +λc k t k e λt +λc k t k e λt и AY Ac e λt + Ac te λt + + Ac k t k e λt, то, приравнивая Y AY и группируя коэффициенты при t s e λt, s,, k, получаем систему необходимых условий на c s, s,, k : e λt : te λt : t k e λt : t k e λt : c + λc Ac c + λc Ac (k c k + λc k Ac k λc k Ac k c (A λec c (A λec (k c k (A λec k (A λec k c (A λec c (A λe c c k (k! (A λek c (A λe k c (4 Пусть c, c,, c k все независимые решения системы (A λe k c (напомним, что k кратность собственного числа λ, тогда из системы (4 получим соответствующие вектора c j, cj,, cj k, j,, k, и соответствующие решения системы дифференциальных уравнений 5 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДA НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Задача 5 (матрица х, λ λ, λ соответствует один собственный вектор и присоединённый {, Здесь матрица A имеет вид A + ( Найдём собственные числа Имеем det(a λe λ 4λ + 4 (λ Для матрицы получили одно собственное значение λ кратности два Ищем решение в виде Y (t (c + c te t После подстановки в систему получаем тождество (c + c te t + c e t A(c + c te t

22 Приравнивая слагаемые перед e t и te t, получаем систему c + c Ac c Ac c (A Ec (A Ec c (A Ec (A λe c c ( c, ( ( c Отсюда получаем два линейно независимых решения c и соответствующие им c : ( ( c, c ; ( ( c, c Подставляя это в Y (t, получаем два линейно независимых решения системы: ( ( ( Y (t + t e t, ( ( ( Y (t + t e t, общее решение системы имеет вид: ( ( ( ( ( Y (t c + t e t + c ( + t e t Задача 5 (матрица х, λ λ λ, λ соответствует две жордановых клетки 4, 4 Здесь матрица A имеет вид 4 A 4 Найдём собственные числа Имеем det(a λe (λ + Для матрицы получили одно собственное значение λ кратности три Ищем решение в виде Y (t (c + c t + c t e t После подстановки в систему получаем тождество (c + c t + c t e t + (c + c te t A(c + c t + c t e t

23 Приравнивая слагаемые перед e t, te t и t e t, получаем систему c + c Ac c + c Ac c Ac c (A + Ec c (A + Ec (A + Ec c 4 c, c c, c (A + Ec c (A + E c (A + E c c Отсюда получаем три линейно независимых решения c и соответствующие им c и c : c, c, c ; c, c 4, c ; c, c, c Подставляя это в Y (t, получаем три линейно независимых решения системы: Y (t ( + t e t, Y (t ( + 4 t e t, Y (t e t, общее решение системы имеет вид: ( ( Y (t c + t e t +c + 4 t e t +c e t 6 МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ Однородные системы из линейных уравнений можно также просто решить, сведя их к одному дифференциальному уравнению порядка Пусть имеется система в общем виде: { a + a, (6 a + a Пусть a, тогда составим уравнение второго порядка относительно (в случае, если a, составим уравнение относительно аналогично; в

24 случае, если одновременно a и a, то система распадается на два независимых уравнения относительно и Из второго уравнения системы (6 выразим : a a, (6 и подставим это выражение в первое уравнение системы (6: ( a a a a + a a Приведём это к общему знаменателю и получим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами на отыскание : a a a a + a a (a + a + (a a a a (6 Решая это уравнение стандартным способом, получим, что (t c (t + c (t, где (t, (t фундаментальная система решений уравнения (65, c, c произвольные константы Из представления (6 сразу определяется (t : (t c (t + c (t a (c (t + c (t a 7 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДA ИСКЛЮЧЕНИЙ Задача 7 { 5 + 4, 9 7 Выражаем из второго уравнения: Подставляем в первое уравнение: В результате получили линейное уравнение с постоянными коэффициентами для отыскания функции : + + Для его решения составим характеристический полином: λ + λ +, его корень λ кратности, тогда (t c e t + c te t, 4

25 а (t ( c e t c te t + c e t + 7(c e t + c te t 9 В векторном виде решение системы тогда имеет вид: ( ( 6 + 6t (t c (t 9 e t c 9 c e t + c te t c ( 6/9 e t + c ( ( /9 e t ( 6/9 + t e t 6 + 6t c 9 e t c e t 9 Задача 7 { 4, + Выражаем из второго уравнения: Подставляем в первое уравнение: 4 В результате получили линейное уравнение с постоянными коэффициентами для отыскания функции : + 4 Для его решения составим характеристический полином: λ + 4, его корни: λ i и λ i, тогда а (t (t c cos t + c sin t, ( c sin t + c cos t (c cos t + c sin t c ( cos t sin t + c (cos t sin t В векторном виде решение системы тогда имеет вид: ( ( (t c ( cos t sin t + c (cos t sin t (t c cos t + c sin t c ( cos t sin t cos t + c ( cos t sin t sin t 8 ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ 5

26 Для нахождения общего решения неоднородной системы Y AY + F (t (8 осталось понять, как выглядит её частное решение Пусть Ψ(t (Y (t Y (t Y n (t произвольная фундаментальная матрица решений однородной системы (, тогда её общее решение имеет вид где C c c Yоо(t Ψ(tC, Rn произвольный постоянный вектор c n Частное решение системы (8 будем искать в виде где C(t c (t c (t Yчаст(t Ψ(tC(t, Rn некоторая вектор-функция Этот метод на- c n (t хождения частного решения называется методом вариации произвольных постоянных либо методом Лагранжа Подставляя такое представление в систему (8 и используя теорему, получаем: те и в этом случае Y част(t Ψ (tc(t + Ψ(tC (t AΨ(tC(t + Ψ(tC (t, AYчаст(t + F (t AΨ(tC(t + F (t, C(t Ψ(tC (t F (t t t Ψ (ξf (ξdξ + C, где C вектор произвольных констант Далее есть два пути, которые приведут к одинаковому результату Путь первый Поскольку мы ищем лишь одно частное решение, то можем выбрать константы C конкретными, например, C, тогда Yчаст(t Ψ(t t t Ψ (ξf (ξdξ, и окончательно общее решение неоднородной системы (8 имеет вид: t Yон(t Ψ(tC + Ψ(t Ψ (ξf (ξdξ, t где C R n произвольный постоянный вектор, Ψ(t фундаментальная матрица однородной системы ( 6

27 Путь второй Подставить всё выражение для C(t в Yчаст: t Yчаст(t Ψ(t( Ψ (ξf (ξdξ + C, t t Yчаст(t Ψ(tC + Ψ(t Ψ (ξf (ξdξ t Здесь мы сразу получили все решения неоднородной системы, иначе говоря, t Yон(t Ψ(tC + Ψ(t Ψ (ξf (ξdξ, t где C R n произвольный постоянный вектор, Ψ(t фундаментальная матрица однородной системы ( 9 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ Задача 9 { + 6t, 4 5 ( 6t Вектор неоднородности F (t здесь Как известно, Yон(t Yоо(t + Yчаст(t Из задачи следует, что ( ( ( (t Yоо(t c (t e t + c e 6t 4 ( ( e t e Ψ(tC 6t c e t 4e 6t c Будем искать частное решение Yчаст(t в виде ( ( e t e Yчаст(t Ψ(tC(t 6t c (t c (t e t 4e 6t где c (t и c (t некоторые функции, нашей целью является найти их При подстановке такого представления в исходную систему, получаем C (t Ψ (tf (t Поскольку то Ψ (t e7t 5 C(t C (t ( 4e 6t e 6t e t ( 44 5 tet 6 5 te6t e t, ( 44 5 (t et + c 5 (6t e6t + c,, 7

28 Поскольку мы ищем хоть какое-нибудь решение неоднородной системы, то можем взять произвольные c и c, например, равными нулю Отсюда, ( ( ( e t e Yчаст(t 6t 44 e t 4e 6t 5 (t et t 9, (6t e6t 4t + 8 а общее решение неоднородной системы имеет вид: ( ( (t c (t e 6t + 5 e t + c ( 4 ( t 9 4t + 8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ Помимо нахождения всех решений систем дифференциальных уравнений, можно поставить задачу о нахождении какого-либо одного, конкретного Например, можно ставить и решать задачу Коши: { Y AY + F (t, ( Y (t Y Для её решения сначала каким-либо образом находятся все решения системы Y AY + F (t, которые в общем виде имеют представление t Y (t Ψ(tC + Ψ(t Ψ (ξf (ξdξ, t а затем, используя начальное условие Y (t Y, вектор C определяется единственным образом (единственным, поскольку выполняются условия теоремы Пикара Так, воспользовавшись начальным условием, получаем t Y Ψ(t C + Ψ(t Ψ (ξf (ξdξ, t Y Ψ(t C, матрица Ψ(t невырождена, однозначно находим C В результате, решение задачи Коши ( записывается в виде t Y (t Ψ(tΨ (t Y + Ψ(t Ψ (ξf (ξdξ t Пример Решите задачу Коши 4, + + e t, (, ( Поскольку выполняются условия теоремы Пикара, данная задача будет иметь решение, причём единственное Для начала найдём все решения системы дифференциальных уравнений, а затем, воспользовавшись начальными данными, укажем лишь одно 8

29 Здесь матрица A имеет вид A ( 4 Собственные числа матрицы находятся из соотношения: det(a λe Имеем ( 4 λ det(a λe λ 6λ + 9 (λ λ Для матрицы получили одно собственное число λ кратности Теперь найдём для него собственный вектор по правилу AH λh : ( ( ( h h Решением с точностью до множителя является вектор ( H, тогда одним из решений однородной системы является ( Y (t e t ( h Присоединённый вектор H удовлетворяет системе h ( ( h h ( Решением является вектор ( H, тогда вторым линейно независимым решением однородной системы является ( ( ( Y (t t + e t Общее решение однородной системы записывается в виде: ( ( ( ( c e t +c t+ e t ( оо(t оо(t ( e t (t + e t e t te t ( c c Частное решение неоднородной системы будем искать методом вариации произвольных постоянных: ( ( ( част(t e t (t + e t c (t част(t e t te t c (t При подстановке этого представления в систему получаем ( ( ( e t (t + e t c (t e t te t c (t e t, 9

30 ( c (t c (t ( ( e 6t te t (t + e t e t e t e t, ( ( c (t t + c, (t ( ( c (t t + t + c c (t t + c Поскольку ищем одно частное решение, то можем взять c и c произвольными числами, например, равными нулю, тогда частное решение будет следующим: ( част(t част(t ( e t (t + e t e t te t ( t + t t ( t e t (t t e t Таким образом, все решения неоднородной системы имеют вид: ( ( ( ( (t e t (t + e t c t (t e t te t + e t (t t e t Для нахождения решения задачи Коши воспользуемся начальными условиями: ( ( ( c ( ( e ( + e c e e ( c ( + ( ( c c e ( e Решая эту систему, получаем, что c, c В результате, имеем единственное решение задачи Коши: ( ( ( ( (t e t (t + e t t (t e t te t + e t (t t e t, ( ( (t ( t t e t (t ( + t t e t ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ, Решить системы дифференциальных уравнений каким-либо способом { { 5 6, 6, { { 6 + 8, 4, { { 5 + 4, 6 6 +, 9 7 6

31 { { , 8 +, 4 + { { 9 5 4, 5 6, + 7 { { 8, 5, , + 6 4, 8 +, , ,, 5 6 +, 6 + +, , + 5, 7 4, 8 +, , +, ,, , + +, , , , + +, + 5 4, 4 + +, , , 5 7 7, 6 +, , +, 7 5 +, , , 4, 9 8, 4, , 6, + 5, 8 9, ,, +, 4 7 +, , +, , 6 +,

32 { sin t, 4 5 { 9 5 e t, e t + + e t, 4 e t, + + t, 4 + t, 44 + t Решить задачи Коши:, 45, (, ( 47 +, +,, (, (, ( Ответы ( ( c 4 ( ( c ( ( c ( 4 ( 5 ( 6 ( 7 ( 8 ( 9 c ( ( c ( c 4 ( c ( c { e t, { 4 5, 9e t 4 + t, t, + + t + + 5, + +, sin t, 4 5, (, ( ( e t + c e t + c ( + + e t, +, e t, (, (, ( e t e t ( e t + c ( e 4t + c e t e t ( ( e t + c ( ( e t + c 4 e t + c ( ( + c ( ( c ( cos t sin t cos t + sin t ( t + t + ( t + ( t + e t ( e t e t e t + c ( cos t + sin t cos t sin t e t

33 e t e t ( ( ( c ( cos t + sin t sin t ( cos 4t sin 4t c cos 4t + sin 4t ( cos 5t + sin 5t c cos 5t c e t + c c 7 c c c c ( cos t sin t e t + c cos t ( cos 4t + sin 4t + c cos 4t sin 4t ( cos 5t sin 5t + c sin 5t e t + c 6 e t + c c c c c e t + c + c e t + c e t + c e t + c + c e t + c e t + c ( e t +c + c ( e t e t e t e 4t e t t + e t +c ( t + e t +c ( e t +c t c e t + c e t c e 4t + c e t + c + c e t + c e t t+ e t

34 4 5 6 c c t 7 t + t + 8 t + 9 e t e t c c e t + c e t + c t + 5 e t ( e t + c t + e t t + c c c c 5 c 6 c e t + c e t +c ( e t +c e t + c e t + c + c c ( ( e t + c t t + t + e 5t t+ ( +c e t +c ( e t + c ( e t + c ( t+ t + ( + c 4 6 t + 6 e t + c sin t cos t cos t cos t sin t sin t e t + c ( e t + c ( e t + c ( t + e t t + e t 4

35 4 5 c c e t +c e t +c 6 c e t + c sin t cos t cos t ( ( ( 7 c e 4 6t + c ( ( ( 8 c e 5 t + c ( ( cos t sin t 9 c cos t ( ( 4 c e t + 4 c c 4 9t t 79 6t 9t 46 t 6t 4 t + 44 c c ( ( e t 45 e t ( 46 cos t cos t + sin t cos t + sin t cos t cos t + sin t cos t + sin t e 4t +c e t +c e t + c cos t sin t sin t e t + e t + e t ( 6 sin t 5 cos t sin t + 4 cos t ( 5t e 5t t ( cos t + sin t e t + c sin t e 4t +c ( ( e t + c e t + c t + e t + c ( e t + e t + c t+ ( e t + c e t + c ( cos t sin t cos t ( 5e t 5 cos t + 6 sin t 5e t + 4 cos t sin t t + t t + t t sin t sin t cos t sin t cos t sin t sin t cos t sin t cos t ( e e t t + e 4t + et 4 e t + t + e t + c sin t cos t sin t ( 7 e t e t + c ( e t + e 4t e t 5

36 47 48 e t + e t (e t e t e t e t e t 6

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции.

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции. Функции от матриц Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ. 2011-2012 учебный год. Общее замечание. В этом листочке мы рассматриваем матицы над полем комплексных чисел, хотя условие задач везде вещественно. Следите

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Линейные неавтономные системы

Линейные неавтономные системы Линейные неавтономные системы А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В предыдущих лекциях исследовались линейные автономные системы. Они допускают точные решения, которые выражаются

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Исследование методов решения систем дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

Исследование методов решения систем дифференциальных уравнений с постоянной матрицей Исследование методов решения систем дифференциальных уравнений с постоянной матрицей Поминов А.Д. Национальный исследовательский Томский политехнический университет Томск, Россия Investigation of methods

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:, Получены два различных действительных корня Всё, что осталось сделать записать ответ, руководствуясь формулой

Подробнее

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов Теория полугрупп Полугруппы линейных операторов Пример Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами dx ax x x Как решить эту начальную задачу или, другими словами, задачу

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Математика (БкПл-100, БкК-100)

Математика (БкПл-100, БкК-100) Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 7. Определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера 1 Тема 1: Определители 1.1. Понятие определителя Определитель

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом Занятие 19 Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом 19.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти частное решение линейного

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Однородные линейные дифференциальные уравнения 1 Семинар 6 по теме Дифференциальные уравнения Однородные линейные дифференциальные уравнения Линейными дифференциальными уравнениями назвыаются уравнения вида: a k (x) y (k) (x) = 0 Такие уравнения называются

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012 Домашнее Задание Дмитрий Сорокин 9 Апреля 22 Задача Рассмотрим подпространство L R 7, являющееся линейной оболочкой векторов v (3, 3,,, 2,, ) v 2 (3, 2, 3, 3, 2,, 2) v 3 ( 3,,, 6, 2, 2, ) v (9,, 3,, 6,,

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА 212 УДК 517926 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА БТ Поляк Институт проблем управления им ВА Трапезникова РАН Россия, 117997,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли.

Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли. МФТИ-НМУ, 017г. Введение в теорию групп Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли. Обсудим еще раз группу SO() ( на которой мы) закончили прошлую лекцию. Она состоит их элементо вид g(α) =. Матрицы g(α) удовлетворяют

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее