Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие"

Транскрипт

1 Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2 Методические указания Начинайте каждое занятие с изучения лекции. При этом: вначале внимательно прочтите определения и осознайте смысл используемых терминов затем прочтите формулировки теорем, которые задают свойства изучаемых объектов разберите доказательства теорем и выводы формул в завершение работы прочтите всю лекцию еще раз, чтобы убедиться, что теоретический материал освоен. Следующий этап работы выполнение заданий практикума. каждую задачу попробуйте решить самостоятельно в случае неудачи посмотрите указание и вновь повторите попытку в случае повторной неудачи внимательно разберите приведенное решение если вы решили задачу самостоятельно (во всяком случае, ваш ответ оказался верным), все равно обязательно прочтите решение, данное в учебном курсе это поможет вам проверить правильность примененного метода решения закончив решение всех задач практикума, обязательно вернитесь к тем из них, которые не получились в первый раз, и попробуйте вновь самостоятельно решить их. При выполнении домашнего задания используйте материал лекции и практикума.

3 . РЯДЫ.. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ... Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Примеры. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Остаток ряда. Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости Бесконечная сумма чисел u + u + + u + (или u ), () где каждое число и п можно вычислить, зная его номер п, называется числовым рядом. При этом формула u = f(), позволяющая найти каждый член ряда, называется формулой общего члена ряда. Сумма конечного числа п первых членов ряда называется частичной суммой ряда: s = u + u + + u Если существует конечный предел частичных сумм ряда: s lim s, то говорят, что ряд сходится, а число s называется суммой ряда. Если конечный lim s не существует, то ряд называется расходящимся. Замечание. Таким образом, свойства числовых рядов во многом определяются свойствами числовых последовательностей {s }. Пример. Ряд п сходится, так как представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q, q, сумму которой можно найти по формуле

4 Пример. Рассмотрим ряд s b q ( )( ) Представим общий член ряда в виде: u. ( )( ) Тогда частичная сумма s будет выглядеть так: s Тогда lim s lim( ). Следовательно, ряд сходится, и его сумма равна. Пример 3. Ряд расходится, так как lim s lim. Пример 4. Ряд (-) п+ + тоже расходится, так как последовательность его частичных сумм имеет вид: s =, s =, s 3 =, s 4 = и т.д., а такая последовательность предела не имеет. Простейшие свойства сходящихся рядов Теорема. Исключение или добавление конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда. Доказательство. Исключим из ряда () произвольные k членов и выберем значение п, при котором все отброшенные члены содержатся в частичной сумме s. Тогда s = c k + S -k, где c k сумма отброшенных членов ряда, а S -k сумма членов, входящих в s, но не входящих в c k. Тогда lim s lim c lims c lim S, k k k k так как c k постоянная величина, не зависящая от п. Следовательно, конечные пределы lim s и lims k существуют или не существуют одновременно, что и доказывает утверждение теоремы.

5 Теорема. Если сходится ряд u + u + + u + и его сумма равна s, то сходится и ряд cu + cu + + cu +, сумма которого равна cs. Доказательство. Обозначим частичную сумму второго ряда c. Тогда lim c lim cs c lim s cs, что и требовалось доказать. Теорема 3. Если ряды а + а + + а п + () и b + b + + b + (3) сходятся и их суммы соответственно равны s a и s b, то ряды (a + b ) + (a + b ) + (4) и (a b ) + (a b ) + (5) тоже сходятся, и их суммы равны s a + s b и s a s b. Доказательство. Пусть частичная сумма ряда (4), а (s a ) и (s b ) частичные суммы из того же числа слагаемых рядов () и (3). Тогда = (s a ) + (s b ), поэтому lim lim(( s ) ( s ) ) s s. a b a b Следовательно, ряд (4) сходится, и его сумма равна s a + s b. Аналогичным образом доказывается сходимость ряда (5). Необходимое условие сходимости ряда Главным вопросом при исследовании числового ряда является вопрос о его сходимости или расходимости. Сформулируем необходимое условие сходимости ряда, то есть условие, при невыполнении которого ряд расходится. Теорема 4. Если ряд () сходится, то lim u. Доказательство. Представим и п как разность частичных сумм s s -. Так как ряд () сходится, lim s lim s s. Тогда lim u lim( s s ) lim s lim s s s.

6 Замечание. Это условие является необходимым, но не достаточным признаком сходимости, то есть из стремления общего члена ряда к нулю не обязательно следует сходимость ряда. Остаток ряда Для ряда u ряд k u k называется -м остатком данного ряда. Обозначим сумму остатка ряда (при условии, что он сходится) через r u. Тогда из теоремы следует, что если ряд () сходится, то k. k сходится и любой его остаток, и наоборот из сходимости какого-либо остатка ряда следует сходимость ряда в целом. Докажем еще одно свойство остатка сходящегося ряда: Теорема 5. Если ряд () сходится, то lim r. Доказательство. Если ряд сходится, то тогда что и требовалось доказать. lim s s, lim r lim( s s ) s s, Ряды с неотрицательными членами Пусть для всех членов ряда () выполнено условие u >. Теорема 6 (критерий сходимости). Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены сверху. Доказательство. ) Если ряд u сходится, то lim s s, но s s u s, то есть последовательность частичных сумм является возрастающей. Следовательно, s s, то есть {s } ограничена сверху числом s.

7 ) Пусть {s } ограничена сверху. Обозначим через s верхнюю грань {s }. Тогда, так как {s } возрастает, N : s s N, то есть число s является пределом {s }, следовательно, ряд сходится. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача. Найти сумму ряда,5,5,5 5, Воспользуйтесь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: b S. q Решение Заданный ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой b =,5, а знаменатель q =,. Тогда b,5 5 S. q, 9 Ответ: 5. 9 Задача. Найти сумму ряда Представьте общий член ряда в виде суммы простейших дробей: A B. 3 3 Решение Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей: A B ( A B) (3A B) Отсюда

8 A B 3A B A, B. Следовательно, частичную сумму ряда можно записать в виде: S (все остальные слагаемые сокращаются при раскрытии скобок). Тогда lim S lim Ответ:. 3 Задача 3. Найти сумму ряда 3. 6 Представьте общий член ряда в виде суммы: Решение Представим общий член ряда в виде суммы: Тогда S = S + S, где S и S суммы рядов 3 и. Вычислим эти суммы, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 3 S 3, S, S. 3 Ответ: 3. Задача 4. Какие из рядов,, 5 63

9 сходятся? Проверьте для каждого ряда выполнение необходимого условия сходимости. Решение Проверим для каждого ряда выполнение необходимого условия сходимости: ) lim lim ряд расходится, так как необходимое условие сходимости не выполнено. ) lim lim lim ряд расходится, так как необходимое условие сходимости не выполнено. 3) lim lim e ряд расходится, так как необходимое условие сходимости не выполнено. Ответ: все расходятся.... Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости При исследовании числовых рядов на сходимость непосредственный поиск предела частичных сумм является в большинстве случаев весьма затруднительным. Вместо этого удобно использовать специальные признаки сходимости рядов. В частности, в этой лекции будут сформулированы и доказаны некоторые признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши Теорема. Если функция f неотрицательна и убывает на полупрямой х >, то ряд f( ) сходится или расходится одновременно с несобственным

10 интегралом Доказательство. f ( ) d. y y=f() O k k+ Выберем натуральное число k и рассмотрим значения х на отрезке k < < k +. Тогда в силу убывания функции f f(k) f() f(k + ). Проинтегрировав это неравенство по отрезку единичной длины [k, k + ], получим: откуда k k k f ( k) d f ( ) d f ( k ) d, k k k k f ( k) f ( х) d f ( k ). k Складывая подобные неравенства, полученные при значениях k от до п, приходим к неравенству: откуда где k f ( k ) f ( ) d f ( k ), k k k k s f () f ( ) d s, () s k f ( k ). Если ряд f( ) сходится и сумма его равна s, то s < s, следовательно,

11 поэтому f ( ) d s, f ( ) d сходится (соответствующее свойство определенного интеграла изучалось в курсе -го семестра). Если же, наоборот, предположить, что сходится что s f () f ( ) d f () f ( ) d. f ( ) d, то из () следует, Значит, последовательность частичных сумм ряда и возрастает, следовательно, ряд сходится. f( ) ограничена сверху Пример. Применим интегральный признак Коши к исследованию сходимости рядов вида, сравнивая их с интегралами d. Рассмотрим следующие возможные значения : а) >. Тогда d lim b b lim b ( ) b (так как при > lim ). b b Следовательно, несобственный интеграл сходится, а значит, сходится и рассматриваемый ряд. б) =. При этом b d lim l lim l b b b интеграл расходится, поэтому расходится и ряд. в) <. Тогда b d lim lim b b ( ) b

12 (так как при α < lim ). b b Из расходимости несобственного интеграла следует расходимость исследуемого ряда. Замечание. Итак, ряд вида. Это свойство ряда сходится при > и расходится при < будет часто использоваться в дальнейшем. Признаки сравнения Теорема (-й признак сравнения). Если для двух рядов с положительными членами u + u + + u + () и v + v + + v + (3) выполнено условие u v, то: а) если ряд (3) сходится, то сходится и ряд (); б) если ряд () расходится, то расходится и ряд (3). Доказательство. Пусть частичная сумма ряда () частичная сумма ряда (3) s i i u, Из условия теоремы следует, что s существует конечный предел его частичных сумм: lim. i v. i. Пусть ряд (3) сходится. Тогда Но s <, то есть последовательность частичных сумм ряда () ограничена сверху. Следовательно, ряд () сходится. Теперь предположим, что ряд () расходится. Тогда lim s, s, значит, lim, то есть ряд (3) тоже расходится. Теорема доказана. Следствие. Условие u v может выполняться начиная не обязательно с п =. Утверждение теоремы справедливо, если это условие выполняется для всех п, больших некоторого N.

13 Пример. Исследуем на сходимость ряд, сравнив его с рядом. Этот ряд сходится, так как последовательность его членов представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q, сумма которой равна. При любом > >, следовательно,, поэтому по теореме исследуемый ряд сходится. Теорема 3 (-й признак сравнения). Если для рядов () и (3) выполнено условие u lim A, A, v то ряды () и (3) сходятся и расходятся одновременно. Доказательство. Выберем число N такое, что для всех > N выполняется неравенство u A. v Тогда u < (A + )v. Если ряд v сходится, то сходится и ряд ( A ) v, следовательно, по теореме сходится ряд u. Наоборот, из расходимости ряда u следует при этом расходимость Теперь выберем число А такое, что < A < A, и зададим номер N, при u котором A при любом > N. Отсюда u > Av, и, проводя v рассуждения, аналогичные предыдущим, можно показать, что из сходимости v. u следует сходимость v а из расходимости, v расходимость u. Теорема доказана полностью. Следствие. При применении -го признака сравнения удобно брать в качестве ряда, с которым сравнивается данный ряд, ряд вида (см. пример ). Напомним еще раз, что такой ряд сходится при > и расходится при.

14 Пример 3. Общий член ряда п 3 3 п 3п п 7 можно представить в виде 3 п 7 п 3п п (разделив числитель и знаменатель на п). Теперь очевидно, что u lim. Поскольку ряд исходный ряд. Теорема 4. Если для ряда п сходится (так как = >), сходится (по теореме 3) и Признак Даламбера существует предел u, u, u lim l, u то при l < ряд u сходится, а при l > расходится. Доказательство. а) Пусть l <. Выберем число q так, что l < q <. Тогда можно найти такой номер N, что для всех > N выполняется неравенство u q, u следовательно, u < qu -. Применяя это неравенство для = N +, = N + и т.д., получим: u qu, Ряд N N N N N u qu q u... u N k k q un....,

15 q u u q k N N k k сходится (как геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим ), поэтому по теореме сходится и ряд k k u, а следовательно, и ряд б) Пусть теперь l >, тогда для всех п, больших некоторого N, u, u следовательно, u > u -. C учетом знакоположительности ряда из этого следует, что lim u, то есть ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости). Замечание. При l = признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (ряд в этом случае может и сходиться, и расходиться). Пример 4. Применим признак Даламбера к исследованию сходимости ряда u 3 3 3! 3 u lim lim : lim lim, ( )!! 3 ( )! следовательно, ряд сходится (учитываем, что (п + )! = п!(п + ) ). Теорема 5. Если для ряда N k Радикальный признак Коши 3.! u. существует предел u, u, lim u l, то при l < ряд u сходится, а при l > расходится. Доказательство. а) Пусть l <. Выберем число q такое, что l < q <. Тогда можно найти такой номер N, что для всех > N выполняется неравенство u q и, следовательно, u < q. Так как ряд q сходится, то по -му признаку сравнения сходится и ряд k u N k, следовательно, сходится ряд u.

16 б) Пусть теперь l >, тогда для всех п, больших некоторого N, u, то есть и п >. Следовательно, не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд u расходится. Замечание. Так же, как в признаке Даламбера, l = не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Замечание. Если для одного и того же ряда существуют пределы по Даламберу и по Коши, то они равны друг другу. Пример 5. Для ряда ряд сходится. lim u lim lim e ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача. Какие из рядов сходятся? ) ; ) ; ) ; 4) Воспользуйтесь вторым признаком сравнения и сравните общий член каждого ряда при с дробью. Решение При порядок многочлена определяется его старшей степенью. Воспользуемся этим для оценки общего члена каждого из данных рядов: )

17 a Следовательно, lim 3. Ряд признаку сравнения сходится и ряд. ) a lim сходится, поэтому по второму ряд сходится. 3). Ряд расходится, так как, поэтому ряд 3 тоже расходится. 5 4) ; ряд 4 расходится. Ответ:,. Задача. Какие из рядов сходятся? ) si ; ) tg ; 3) ; 4) l Используйте эквивалентность бесконечно малых: при si, tg, a l a, l. Решение ) При si. Ряд расходится, так как, поэтому ряд тоже расходится. ) При tg, tg. 3

18 Ряд сходится, поэтому сходится и ряд. 3 3) При 3 3 ряд 3 сходится. 4) При l ряд 4 расходится. Ответ:,3. Задача 3. Какие из рядов сходятся? si l ) ; ) ; 3) ; l 3 4) Примените первый признак сравнения. si ) si. 3 3 Ряд 3 Решение сходится, поэтому по первому признаку сравнения сходится и ряд. l ) При l. Ряд расходится, поэтому по первому признаку сравнения расходится и ряд. 3) l l ряд 3 расходится. 4). Ряд сходится, поэтому сходится и ряд 4. Ответ:,4.

19 Задача 4. Какие из рядов сходятся? 4 ( )! ) ; ) ; 3) ;! 3! 3 4)! Примените признак Даламбера. Решение ) a ; a 3 ; 3 ( ) a 3 3 lim lim lim 3 3 a ( ) ( ) ряд расходится по признаку Даламбера. 4 4 ( ) ) a ; a ;! ( )! a 4 4 lim lim lim 4 4 a ( )!!( ) 3 ( )!( )!( ) lim lim 4 ряд сходится. 3) ( )! ( )! a ; a ; 3! 3 ( )! a ( )!3! ( )!( )( )3! a ( )!3 ( )! ( )!3!( ) lim lim lim ( )( ) 4 lim lim 3 ( ) 3 ряд 3 расходится.

20 ! ( )! 4) a ; a ; ( ) a ( )! a ( )! ( ) lim lim lim lim e ряд 4 сходится. Ответ:,4. Задача 5. Какие из рядов сходятся? arctg 3 ) ; ) ; 3) ; 4) 3 Примените радикальный признак Коши. Решение ) lim a lim 3 ряд сходится. ) lim a lim lim e ряд расходится. 3) lim a lim arctg arctg 4 ряд 3 сходится. 4) 3 3 lim a lim e ряд 4 расходится. Ответ:,3.

21 Задача 6. Какие из рядов сходятся? ) ; ) ; 3) ; l l ( )l ( ) 3 4) l l l Примените интегральный признак Коши. Решение ) Исследуем сходимость несобственного интеграла B d lim d lim d l l B l B l B lim l l lim l l B l l B B интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд. ) Исследуем сходимость несобственного интеграла B d lim d lim d l l B l B l B lim lim B l B l l B l интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд. 3) Исследуем сходимость несобственного интеграла B d lim d( ) 3 3 ( )l ( ) B ( )l ( ) lim dl( ) B 3 l ( ) B lim lim B l ( ) l 3 l ( B ) l 3 B интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд 3. 4) Исследуем сходимость несобственного интеграла B d lim d lim d l l l l B l l l B l l l t l l B l B lim dt lim l l t lim l l l B l l l tl t B B B l l

22 интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд 4. Ответ:, Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов Для числовых рядов, члены которых имеют разные знаки, задаются два вида сходимости. Ряд u называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из его модулей, то есть ряд u. Теорема.. Если ряд u абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле, то есть существует конечный предел его частичных сумм. Доказательство. Пусть s = u + u + + u, s' сумма всех положительных членов среди первых п членов данного ряда, s'' сумма модулей всех отрицательных членов среди них. Если обозначить = u + u + + u, то s = s' s'', = s' + s''. Так как по условию теоремы п имеет предел, а s' и s'' положительные возрастающие величины, меньшие, то они тоже имеют пределы s' и s''. Следовательно, lim s lim( s s ) s s, то есть знакопеременный ряд u сходится. Замечание. Так как ряд u является знакоположительным, то для исследования знакопеременного ряда на абсолютную сходимость мы можем использовать все известные признаки сходимости знакоположительных рядов. Пример. ( ) Для ряда ряд из модулей имеет вид. поэтому рассматриваемый ряд сходится абсолютно. Такой ряд сходится,

23 Если ряд, составленный из модулей членов данного ряда, расходится, а сам данный ряд сходится, то говорят, что он сходится условно. Признак Лейбница Если знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью, то требуется ответить на вопрос, будет ли он сходиться хотя бы условно. Ответ на него можно дать, применяя признак Лейбница: Теорема. Если исследуемый ряд: ) знакочередующийся, то есть имеет вид u u + u 3 u 4 +, где u i > (); ) u > u > u 3 > > u > u + > (последующий член ряда по модулю меньше предыдущего); 3) lim u, то ряд сходится (хотя бы условно), его сумма положительна и s u. Доказательство. Рассмотрим первых т членов ряда: s m = (u u ) + (u 3 u 4 ) + + (u m- u m ) >, так как u i- u i >. Итак, последовательность {s m } положительна и возрастает с возрастанием т. С другой стороны, s m можно записать в ином виде: s m = u (u u 3 ) (u 4 u 5 ) - - (u m- u m- ) u m < u. Следовательно, последовательность {s m } ограничена сверху и поэтому имеет предел: lim s s. m m Докажем, что тот же предел имеет и последовательность частичных сумм, составленных их нечетного числа слагаемых: lim s lim( s u ) lim s lim u s s. Таким образом, lims m m m m m m m m m s при любом п, то есть ряд () сходится. Пример. Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд ( ). l

24 u, так как l, l поэтому по первому признаку сравнения ряд u расходится, то есть абсолютной сходимостью рассматриваемый ряд не обладает. Проверим для него выполнение условий теоремы. Знакочередование обеспечивается множителем (-) п, lim, а из монотонного l возрастания функции y = l следует, что l( ) l, a. l( ) l Следовательно, по признаку Лейбница ряд ( ) l Свойства абсолютно сходящихся рядов сходится условно. Теорема 3. Если ряд u абсолютно сходится, то любой ряд, составленный из членов данного ряда, взятых, возможно, в другом порядке, тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму. Доказательство. Рассмотрим ряд m u, составленный из членов ряда m u. Так как ряд u сходится, можно найти номер N такой, что sn s. Выберем теперь номер М такой, что частичная сумма M s u содержала все слагаемые, входящие в сумму s N. Тогда для любого m > M частичную сумму s m можно представить в виде: s s s.. m N m Тогда в s m будут входить только слагаемые с номерами, большими N, поэтому s m u. N Тогда при т > M получаем: s s ( ) m s sn sm s sn s m. M m m

25 Следовательно, lim s s, то есть ряд m m m m u сходится, и сумма его равна s. Проводя подобные рассуждения для ряда u, можно доказать и абсолютную сходимость ряда m u. m Теорема 4 (без доказательства). Если ряды u и v абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений u m v членов этих рядов, тоже абсолютно сходится, и его сумма равна произведению сумм исходных рядов. Замечание. Указанные свойства справедливы только для абсолютно сходящихся рядов. Если ряд сходится условно, то перестановкой его членов можно изменять сумму ряда (теорема Римана) или получить расходящийся ряд. В частности, расходящимися в этом случае будут ряды, составленные из всех положительных и из всех отрицательных членов данного условно сходящегося ряда. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды ( ) ( ) u. Для исследования абсолютной сходимости примените -й признак сравнения, для исследования условной сходимости признак Лейбница. Решение Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд : ) абсолютная сходимость: a ; ряд расходится абсолютной сходимости нет. ) условная сходимость: проверим выполнение требований признака Лейбница. а) ряд знакочередующийся; б) lim a lim ;

26 в) a a. Следовательно, ряд сходится условно по признаку Лейбница. Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд : ) абсолютная сходимость: a ; ряд сходится ряд сходится абсолютно. Ответ: первый сходится условно, второй абсолютно. Задача. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды ( ) ( ) u Для исследования абсолютной сходимости примените -й признак сравнения. Решение Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд : ) абсолютная сходимость: a ; ряд сходится 3 5 ряд сходится абсолютно. Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд : ) абсолютная сходимость: a ; ряд сходится 3 3 ряд сходится абсолютно. Ответ: оба сходятся абсолютно. Задача 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды ( ) l u ( ). При исследовании сходимости ряда используйте эквивалентность бесконечно малых: при l. Для ряда проверьте выполнение необходимого условия сходимости.

27 Решение Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд : ) абсолютная сходимость: a l ; ряд расходится абсолютной сходимости нет. ) условная сходимость: проверим выполнение требований признака Лейбница. а) ряд знакочередующийся; б) lim a lim l l ; в) логарифмическая функция с основанием, большим, является возрастающей, поэтому l l a a. Следовательно, ряд сходится условно по признаку Лейбница. ) для ряда lim a lim ряд расходится. Ответ: первый сходится условно, второй расходится. Задача 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды ( ) si u 3. l При исследовании ряда на абсолютную сходимость примените интегральный признак Коши; при исследовании сходимости ряда воспользуйтесь тем, что si <. Решение Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд : ) абсолютная сходимость: a ; d l l l l интеграл расходится, следовательно, по интегральному признаку Коши расходится и ряд из модулей членов ряда, то есть абсолютной сходимости у этого ряда нет.

28 ) условная сходимость: проверим выполнение требований признака Лейбница. а) ряд знакочередующийся; б) lim a lim ; l в) логарифмическая функция с основанием, большим, является возрастающей, поэтому ( )l( ) l a a. ( )l( ) l Следовательно, ряд сходится условно по признаку Лейбница. Исследуем на абсолютную сходимость ряд : si a ; ряд сходится ряд сходится абсолютно. Ответ: первый сходится условно, второй абсолютно... ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ... Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование Бесконечная сумма функций u () + u () + + u () +, () где u () = f (,), называется функциональным рядом. Если задать конкретное числовое значение х, ряд () превратится в числовой ряд, причем в зависимости от выбора значения х такой ряд может сходиться или расходиться. Практическую ценность представляют только сходящиеся ряды, поэтому важно определить те значения х, при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом.

29 Множество значений х, при подстановке которых в функциональный ряд () получается сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда. Функция s(), определенная в области сходимости ряда, которая для каждого значения х из области сходимости равна сумме соответствующего числового ряда, полученного из () при данном значении х, называется суммой функционального ряда. Пример. Найдем область сходимости и сумму функционального ряда + х + х² При lim, поэтому соответствующие числовые ряды расходятся. Если же <, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле: s ( ). Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-, ), а его сумма имеет указанный вид. Замечание. Так же, как для числовых рядов, можно ввести понятия частичной суммы функционального ряда: s = + х + х² + + и остатка ряда: r = s s. Равномерная сходимость функционального ряда Определим вначале понятие равномерной сходимости числовой последовательности. Функциональная последовательность f () называется равномерно сходящейся к функции f на множестве Х, если N : X u N f( ) f ( ). Замечание. Будем обозначать обычную сходимость функциональной последовательности f( ) f ( ), а равномерную сходимость - f( ) f ( ).. Замечание. Отметим еще раз принципиальное отличие равномерной сходимости от обычной: в случае обычной сходимости при выбранном значении ε для каждого Х существует свой номер N, для которого при > N выполняется неравенство:

30 f( ) f ( ). При этом может оказаться, что подобрать для данного ε общий номер N, обеспечивающий выполнение этого неравенства для любого х, невозможно. В случае же равномерной сходимости такой номер N, общий для всех х, существует. Определим теперь понятие равномерной сходимости функционального ряда. Поскольку каждому ряду соответствует последовательность его частичных сумм, равномерная сходимость ряда определяется через равномерную сходимость этой последовательности: Функциональный ряд u( ), X, называется равномерно сходящимся на множестве Х, если на Х равномерно сходится последовательность его частичных сумм. Теорема. Если числовой ряд Признак Вейерштрасса a, a, сходится и для всех X и для всех п =,, выполняется неравенство u ( ) a, то ряд u( ) сходится абсолютно и равномерно на множестве Х. Доказательство. Для любого > cуществует такой номер N, что N a k поэтому Xи N для остатков r ряда k, u( ) справедлива оценка r ( ) u ( ) u ( ) a. k k k k k k Следовательно, r, поэтому ряд u( ) равномерно сходится. Замечание. Процедура подбора числового ряда, отвечающего условиям теоремы, обычно называется мажорированием, а сам этот ряд мажорантой для данного функционального ряда. Пример.

31 si Для функционального ряда мажорантой при любом значении х является сходящийся знакоположительный ряд. Поэтому исходный ряд равномерно сходится на всем множестве действительных чисел. Свойства равномерно сходящихся рядов Теорема. Если функции u () непрерывны при х х Х и ряд равномерно сходится на Х, то его сумма s() тоже непрерывна в точке х. Доказательство. Выберем >. Тогда s ( ) s( ), поэтому существует такой номер п, что u( ) s( ) s ( ). 3 s ( ) сумма конечного числа непрерывных функций, поэтому непрерывна в точке х. Поэтому существует такое >, что s ( ) s ( ) X :. 3 Тогда X : получаем: s( ) s( ) ( s( ) s ( )) ( s ( ) s ( )) ( s ( ) s( )) s( ) s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) s( ) s ( ), то есть функция s() непрерывна при х = х. Теорема 3. Пусть функции u () непрерывны на отрезке [a, b] и ряд равномерно сходится на этом отрезке. Тогда [ a, b ] ряд тоже равномерно сходится на [a, b] и u () t dt u ( t) dt u ( t) dt. () (то есть в условиях теоремы ряд можно почленно интегрировать). Доказательство. По теореме функция u( )

32 s( ) u ( ) непрерывна на [a, b] и, следовательно, интегрируема на нем, то есть интеграл, стоящий в левой части равенства (), существует. Покажем, что ряд u () t dt равномерно сходится к функции Обозначим ( ) s( t) dt. k k k k k k s ( ) u ( ), r ( ) s( ) s ( ), ( ) u ( t) dt u ( t) dt s ( t) dt. Тогда для любого найдется такой номер N, что при > N Значит, ряд Теорема доказана. ( ) ( ) s( t) dt s ( t) dt s( t) s ( t) dt r ( t) dt ( b a)sup r ( t). [ ab, ] u () t dt равномерно сходится, и его сумма равна ( ) u ( t) dt. Теорема 4. Пусть функции u () непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b] и ряд, составленный из их производных: u( ) (3) равномерно сходится на [a, b]. Тогда, если ряд u( ) сходится хотя бы в одной точке [ a, b ], то он сходится равномерно на всем [a, b], его сумма s( ) u ( ) является непрерывно дифференцируемой функцией и

33 (ряд s ( ) u ( ) u( ) можно почленно дифференцировать). Доказательство. Определим функцию (х) как интегрировать: u( ). По теореме 3 ряд (3) можно почленно ( t) dt u ( t) dt u ( ) u ( ). Ряд, стоящий в правой части этого равенства, равномерно сходится на [a, b] по теореме 3. Но числовой ряд u( ) по условию теоремы сходится, следовательно, равномерно сходится и ряд Функция ( t) dt s( ) s( ). u( ).. Тогда (t) является суммой равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на [a, b] и поэтому сама непрерывна. Тогда функция непрерывно дифференцируема на [a, b], и d s ( ) ( t) dt ( ) u( ), d что и требовалось доказать. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача. Найти область сходимости функционального ряда () t dt log. Примените признак Даламбера и найдите значения х, удовлетворяющие неравенству u lim. u Решение

34 Применим признак Даламбера: u log lim lim log u log log. При найденных значениях х ряд сходится, при х, не принадлежащих отрезку [,5;], ряд расходится, так как предел по Даламберу больше. Осталось исследовать сходимость ряда при х =,5 и х =, когда признак Даламбера неприменим., log, ряд ( ) расходится, так как для него не выполнено необходимое условие сходимости. При х = log =, и полученный ряд расходится по той же причине. Следовательно, область сходимости (,5;). Ответ: (,5;). Задача. Найти область сходимости функционального ряда 3. Рассмотрите отдельно случаи > и <. При > ряд сходится. Решение 3 3 исходный ряд сходится по -му признаку сравнения. При х < ряд расходится, следовательно, по -му признаку сравнения расходится и исходный ряд. Ответ: (; ). Задача 3. Найти область сходимости функционального ряда 3.

35 Рассмотрите отдельно случаи >, х = и <. При > ряд 3 Решение сходится (в частности, при < - сходится абсолютно), так как представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При х = все члены ряда равны, то есть не выполнено необходимое условие сходимости ряд расходится. При х = - члены ряда с нечетными номерами равны 3, а члены с четными номерами равны, и ряд вновь расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. При < 3 3 lim ряд расходится. Ответ: ( ;-)U(; ). Задача 4. Найти область сходимости функционального ряда. 3 Рассмотрите отдельно случаи >, х = и <. ) При > 3 Решение. Ряд при > сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), следовательно, множество > входит в область сходимости. ) При х = ряд не существует, так как знаменатель каждой дроби обращается в ; при х = - все члены ряда равны,5, то есть не выполнено необходимое условие сходимости. Таким образом, значения х = + не входят в область сходимости. 3) При < сделаем замену y, y, тогда общий член ряда имеет вид

36 y y 3 3. y y 3 y Ряд при у > сходится, поэтому множество < входит в область y сходимости. Итак, ряд сходится при всех значениях х, кроме +. Ответ: ( ;-)U(-;)U(; ). Задача 5. Найти область сходимости функционального ряда cos. 3 Воспользуйтесь признаком Вейерштрасса, учитывая, что cos п <. Решение cos cos. 3 3 Ряд сходится, поэтому по признаку Вейерштрасса исходный ряд 3 сходится абсолютно и равномерно при любом х. Ответ: ;. Задача 6. Найти область сходимости функционального ряда. e Примените признак Даламбера. Решение Применим признак Даламбера: u ( ) e ( ) lim lim lim ( ) u e e e e e.

37 Таким образом, при > ряд сходится, при < расходится. При х = все члены ряда равны, следовательно, он сходится. Итак, область сходимости: >. Ответ: [; ).... Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов Степенным рядом называется функциональный ряд вида a ( ), a cost. () Замечание. С помощью замены х х = t ряд () можно привести к виду at, поэтому все свойства степенных рядов достаточно доказать для рядов вида a. () Теорема (-я теорема Абеля). Если степенной ряд () сходится при х = х, то при любом : < ряд () сходится абсолютно. Если же ряд () расходится при х = х, то он расходится при любом : >. Доказательство. Если ряд a сходится, то lim a, поэтому существует константа Следовательно, а ряд c : a c. a a c, при < сходится, так как является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, ряд абсолютно сходится. a при <

38 Если известно, что ряд () расходится при х = х, то он не может сходиться при >, так как из ранее доказанного при этом следовало бы, что он сходится и в точке х. Таким образом, если найти наибольшее из чисел х > таких, что () сходится при х = х, то областью сходимости данного ряда, как следует из теоремы Абеля, будет интервал (- х, х ), возможно, включающий одну или обе границы. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (), если : R этот ряд сходится, а : R расходится. Интервал (-R, R ) называется интервалом сходимости ряда (). Пример. Для исследования абсолютной сходимости ряда! применим признак Даламбера: ( )!, lim lim( )..!, Следовательно, ряд сходится только при х =, и радиус его сходимости равен : R =. Пример. Используя тот же признак Даламбера, можно показать, что ряд сходится при любом х, то есть R.! Пример 3. Для ряда по признаку Даламбера получим: lim lim. ( ) Следовательно, при < < ряд сходится, при < - и > расходится. При х = получаем гармонический ряд, который, как известно, расходится, а при х ( ) = - ряд сходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, радиус сходимости рассматриваемого ряда R =, а интервал сходимости [-, ).

39 Формулы для определения радиуса сходимости степенного ряда Рассмотрим степенной ряд Формула Даламбера a и применим к нему признак Даламбера: для сходимости ряда необходимо, чтобы a a lim lim. a a a Если существует lim, a a неравенством lim,, то есть a то область сходимости определяется a R lim (3) a формула Даламбера для вычисления радиуса сходимости. Формула Коши-Адамара Используя радикальный признак Коши и рассуждая аналогичным образом, получим, что можно задать область сходимости степенного ряда как множество решений неравенства lim a при условии существования этого предела, и, соответственно, найти еще одну формулу для радиуса сходимости: R lim (4) a формула Коши-Адамара. Свойства степенных рядов Теорема (-я теорема Абеля). Если R радиус сходимости ряда () и этот ряд сходится при = R, то он равномерно сходится на интервале (-R, R). Доказательство. : R знакоположительный ряд a сходится по теореме. Следовательно, ряд () равномерно сходится в интервале [-, ] по теореме. Из выбора следует, что интервал равномерной сходимости (- R, R), что и требовалось доказать.

40 Следствие. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда () есть непрерывная функция. Доказательство. Члены ряда () являются непрерывными функциями, и ряд равномерно сходится на рассматриваемом отрезке. Тогда непрерывность его суммы следует из теоремы. Следствие. Если пределы интегрирования, лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда: s( ) d a d. Доказательство этого утверждения следует из соответствующего свойства равномерно сходящихся рядов. Теорема 3. Если ряд () имеет интервал сходимости (-R, R ), то ряд () = a + a + 3a 3 ² + + a - +, (5) полученный почленным дифференцированием ряда (), имеет тот же интервал сходимости (-R, R). При этом (х) = s () при < R, (6) то есть внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда равна сумме ряда, полученного его почленным дифференцированием. Доказательство. Выберем : < < R и : < < R. Тогда ряд a следовательно, lim a, mo есть M : a M. Если, то M a a a q, сходится, где q. Таким образом, члены ряда (5) по модулю меньше членов знакоположительного ряда M q, который сходится по признаку Даламбера: q lim q, ( ) q то есть является мажорантой для ряда (5) при [, ]. Поэтому ряд (5) равномерно сходится на [-, ]. Следовательно, свойству равномерно

41 сходящегося ряда верно равенство (6). Из выбора следует, что ряд (5.6) сходится в любой внутренней точке интервала (-R, R). Докажем, что вне этого интервала ряд (5) расходится. Действительно, если бы он сходился при > R, то, интегрируя его почленно на интервале (, ), R < <, мы получили бы, что ряд () сходится в точке х, что противоречит условию теоремы. Итак, теорема полностью доказана. Замечание. Ряд (5) можно, в свою очередь, почленно дифференцировать и проделывать эту операцию сколько угодно раз. Вывод: если степенной ряд сходится на интервале (-R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, полученного из исходного с помощью почленного дифференцирования соответствующее количество раз; при этом интервал сходимости для ряда из производных любого порядка есть (-R, R). ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача. Найти радиус сходимости степенного ряда ( ). Примените формулу Даламбера. Решение Применим формулу Даламбера: a ; a ; ( ) ( ) R Ответ:. a ( ) ( ) lim lim lim. a ( ) ( ) Задача. Найти радиус сходимости степенного ряда. Воспользуйтесь формулой Коши-Адамара.

42 Решение Применим формулу Коши-Адамара: Ответ:. e R a ; lim lim lim. a e Задача 3. Найти интервал сходимости степенного ряда ( ) ( 3). Определите радиус сходимости, найдите интервал сходимости ( -R; +R), где х = 3, а затем исследуйте сходимость ряда на границах полученного интервала. Решение ( ) ( ) 3, a, a ; a R lim lim. a Следовательно, интервал сходимости: (3-; 3+), то есть (; 4). Проверим сходимость ряда на границах интервала. ( ) ( 3) ( ) ( ) знакопостоянный расходящийся ряд. ( ) ( 3) ( ) ( ) 4 знакопеременный ряд, сходится условно по признаку Лейбница. Ответ: (;4]. Задача 4. Найти интервал сходимости степенного ряда

43 9. Поскольку ряд содержит только четные степени х, лучше воспользоваться общими методами поиска области сходимости функционального ряда (например, радикальным признаком Коши). Решение Применим радикальный признак Коши: lim u lim На границах полученного интервала ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости: 9 9 ; 3 9 Ответ: ; Задача 5. Найти интервал равномерной сходимости степенного ряда ( ) 4. Найдите интервал сходимости ряда и воспользуйтесь -й теоремой Абеля. Решение Найдем радиус сходимости: 4 a ( ) R lim lim. 4 a Следовательно, интервал сходимости: (--; -+), или (-3;-). При х = - получаем сходящийся числовой ряд 4, следовательно, по -й теореме Абеля рассматриваемый ряд равномерно сходится на интервале (-3;-). Ответ: (-3;-).

44 ..3. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов В предыдущих лекциях рассматривались степенные ряды, для которых в пределах области равномерной сходимости сумма ряда s() представляет собой непрерывную и бесконечно дифференцируемую функцию от х. Теперь поставим обратную задачу: найти степенной ряд, суммой которого является данная функция. Представление функции в виде f ( ) a ( ), a cost () называется ее разложением в степенной ряд. Теорема. Если функция f() раскладывается в окрестности точки х в степенной ряд (6.) с радиусом сходимости R, то: ) функция f имеет на интервале ( R, + R) производные всех порядков, которые можно найти почленным дифференцированием ряда (): ) ( m) m f m a m m a ( ) ( )...( ) ( ),,,... () ( R, R) f ( t) dt ( ) (3) 3) ряды (), () и (3) имеют одинаковые радиусы сходимости. Доказательство всех трех утверждений следует из общих свойств степенных рядов. Теорема. Если функция f раскладывается в некоторой окрестности точки х в степенной ряд (), то ( ) f ( ) a,,,...,! и, следовательно, справедлива формула ( ) f ( ) f ( ) ( ). (4)! Доказательство. Дифференцируя т раз равенство (), получим: ( m) f ( ) m( m )... a ( m ) m... am ( ) ( m )( m )...3 am ( )... m

45 Примем х = х, тогда f (m) ( ) = m!a m, что доказывает формулу (4). Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно. Действительно, из теоремы следует, что коэффициенты степенного ряда могут иметь только вид, задаваемый формулой (4). Пусть функция f() определена в некоторой окрестности точки х и имеет в этой точке производные всех порядков. f ( )! Ряд ( ) ( называется рядом Тейлора. ) Пример. Найдем разложение в ряд Тейлора при х = функции f() =. a, a,..., l!!l. a. l!!l Следовательно,..!l Если при разложении в ряд Тейлора принимается х =, то полученный ряд ( ) f () f ( ) (5)! называется рядом Маклорена (см. предыдущий пример). Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций В курсе -го семестра рассматривалось представление функции в виде многочлена Тейлора с остаточным членом. Поскольку коэффициенты ряда Тейлора и многочлена Тейлора вычисляются по одной и той же формуле, мы

46 можем воспользоваться проведенными ранее вычислениями для получения разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций. При этом обратим особое внимание на определение области сходимости полученных рядов.. e.! Сходимость полученного ряда исследовалась в примере лекции.., где показано, что он абсолютно сходится при любом х. k k ( ). si. (k )! k k k ( ) 3. cos. ( k)! k Используя формулу Даламбера для определения радиуса сходимости, найдем, что он равен бесконечности, то есть функции y = si и y = cos раскладываются в ряд Тейлора на всем множестве действительных чисел. ( ) 4. l( ). Запишем остаточный член этой формулы в форме Лагранжа: ( ) r ( ),, ( )( ) и исследуем его поведение при для <, > и =. При < lim r ( ), при > lim r ( ). Поэтому по свойству остатка ряда (лекция..) при < ряд сходится, а при > расходится. При х = - ряд расходится, так как представляет собой гармонический ряд, все члены которого имеют знак «-», а при х = получаем знакопеременный ряд, сходящийся условно по признаку Лейбница. Следовательно, областью сходимости полученного ряда является интервал (-, ]. ( )...( ) 5. ( ).!

47 Найдем радиус сходимости этого ряда по формуле Даламбера: R lim. Следовательно, интервал сходимости (-, ). Формула Эйлера Используя разложения в ряд Тейлора функций e, si и cos, получим: iy iy ( iy) ( iy) e......!!! iy y iy y iy...!! 3! 4! 5! y y y y y... i... cos y isi y.! 4!! 3! 5! Таким образом, доказана используемая в теории комплексных чисел формула Эйлера: e iy = cos y + i si y. Применение степенных рядов Возможность разложения функции в степенной ряд позволяет существенно упростить многие математические операции: вычисление приближенных значений данной функции, дифференцирование, интегрирование, поскольку степенной ряд можно заменить многочленом (с учетом того, что оценка остатка ряда не превысит заданного значения погрешности). В частности, можно приближенно вычислять «неберущиеся» интегралы, находить приближенные решения дифференциальных уравнений и т.д.. Рассмотрим вычисление интегралов с помощью рядов. Пример. Для вычисления интеграла a e разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора, используя разложение функции е х : d

48 4 6 ( ) e......!! 3! Тогда a... a e! 3! 5 3! 7 d = a a a a...! 3! 5 3! 7 С помощью этого равенства можно вычислить рассматриваемый интеграл при любом а с любой заданной точностью. Пример 3. Вычислим интеграл a si d, для чего разложим функцию si в ряд: 4 6 si... 3! 5! 7! ряд, сходящийся при любом х. Интегрируя почленно, получим: a si a a a d a... 3! 3 5! 5 7! 7. Приближенное решение дифференциального уравнения второго порядка y F(, y, y ), удовлетворяющее начальным условиям y( ) y, y ( ) y. Если предположить, что решение имеет вид: ( ) y f ( ) f ( ) f ( ) f ( )...,! то требуется найти значения производных f ( ), f ( ), f ( ),... от частного решения при х = х. Из начальных условий следует, что f ( ) y, f ( ) y. Тогда из исходного уравнения получаем, что f ( ) F(, y, y ). Дифференцируя обе части исходного уравнения по х, найдем: y F F y F y, откуда можно определить y y f ( ) y

49 и т.д. Пример 4. Найти решение уравнения при y ( ), y (). Решение: y y f y y y f () ; () ; ( 4) ( 4) y y 4y y f () и т.д. Можно получить общую формулу для производных любого порядка: ( k ) ( k) ( k ) ( k ) y y ky k( k ) y. При х = эта формула дает ( k ) ( k ) y k( k ) y. Так как f () f () f (), то в нуль обращаются все производные, порядок которых не кратен четырем. В конечном счете решение имеет вид: 4 8 y ! 8! 4k k ( ) ( )(5 6)...(4k 3)(4k )... (4 k)! Задача. Разложить функцию ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ в ряд Тейлора в окрестности точки х =. y cos 4 Используйте формулу для коэффициентов ряда Тейлора ( ) f ( ) a! при х =. Решение Вычислим несколько первых коэффициентов ряда Тейлора, а затем попытаемся определить их зависимость от п и составить общую формулу для а п.

50 y() cos a ; y si, y () si a ; y cos, y () cos a ; y si, y () si a ! Видим, что все коэффициенты с четными номерами равны нулю, а общий вид коэффициента с нечетным номером = k + можно записать так: k k ( ) ak. k 4 (k )! Следовательно, ряд Тейлора для данной функции имеет вид: k k ( ) k ( ). k 4 (k )! Ответ: ( ) k k k ( ). k k 4 (k )! k Задача. Разложить функцию в ряд Маклорена. y e 3 Используйте разложение в ряд Маклорена функции е х : e.! Обозначим t = - 3, тогда Следовательно, Ответ: ( )! 3. e 3 Решение e t t.! ( ) ( )!! 3 3. Задача 3. Разложить функцию

51 в ряд Маклорена. y l(5 ) Используйте разложение в ряд Маклорена функции l( + ): ( ) l( ). Решение Преобразуем функцию к виду: l(5 ) l 5 l 5 l 5 5 и найдем разложение в ряд Маклорена функции l : 5 t 5 l l( t) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Тогда разложение исходной функции можно записать так: l 5 l l 5 l Ответ: l 5. 5 t Задача 4. Разложить функцию в ряд Маклорена. y arcsi Используйте то, что степенные ряды можно почленно интегрировать: если f ( ) a, то f ( ) d a d. Поскольку Решение arcsi,

52 мы можем, используя табличные разложения, получить ряд Маклорена для производной исходной функции, а затем найти разложение arcsi, исходя из того, что dt arcsi. t... ( ) ( )! Ответ: ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ).!! t dt, t dt arcsi 3 ( )! 3 ( )! 3 ( )!.. Задача 5. Найти сумму ряда на интервале (;). ( ) ( ) Покажите, что ряд равномерно сходится на заданном интервале, затем найдите сумму ряда, составленного из производных членов данного ряда, и проинтегрируйте ее. Решение ( ) Поскольку при х = числовой ряд абсолютно сходится, по ( ) признаку Вейерштрасса данный степенной ряд равномерно сходится на интервале (;). Найдем сумму ряда, составленного из производных членов данного ряда:

53 ( )( ) ( ) ( ) ( ) l( ). Следовательно, сумму данного ряда можно найти как интеграл от полученной функции в пределах от до х, где < < : Ответ: t t dt s( ) t l( t) dt l( t) t t t l( ) l( t) 4 l( ) l. 4 l( ) l. 4 Задача 6. Вычислить значение e с точностью до,. Используйте разложение функции е х в ряд Маклорена и то, что п-ый остаток знакочередующегося ряда не больше, чем а п. следовательно, Решение e,! ( ) e! Видим, что 8-й член ряда меньше,, следовательно, остаток ряда начиная с 8-го члена меньше,. Поэтому для достижения заданной точности достаточно найти сумму первых семи членов ряда: 53 e, Ответ:,368.. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ

54 .. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ... Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей S, S,..., S (причем теми же символами S, S,..., S будем обозначать и площади соответствующих частей) и выберем в каждой части точку Р i (рис.). y L S i P i Рис. Пусть в области задана функция z = f(, y). Обозначим через f(p ), f(p ),, f(p ) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(p i )ΔS i : V f ( P ) S. i i i Сумма вида V f ( P ) S i i i называется интегральной суммой для функции f(, y) в области. С геометрической точки зрения (при f(, y) > ) интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями S i и высотами f(p i ). Если существует один и тот же предел интегральных сумм при и ma S i, не зависящий от способа разбиения области и выбора точек P i, то он называется двойным интегралом от функции f(, y) по области и обозначается

55 f (, y) ddy lim f ( P ) S. ma Si i i i Область при этом называется областью интегрирования. Замечание. Для выяснения вопроса об условиях интегрируемости функции двух переменных можно по аналогии со случаем определенного интеграла ввести понятие верхней и нижней интегральных сумм, выбирая в каждой части области точки, значение функции в которых является наибольшим и наименьшим для данной части. Тогда можно доказать, что необходимым и достаточным условием интегрируемости функции f(, y) является, во-первых, ее ограниченность на, а во-вторых, условие lim ( S s ), ma S i где некоторое разбиение, а S и s соответственно верхняя и нижняя интегральные суммы. Доказательство этого утверждения проводится так же, как для случая определенного интеграла. Замечание. Аналогично одномерному случаю можно доказать еще одно утверждение: если функция f(, y) непрерывна на, то она интегрируема по этой области. Свойства двойных интегралов. Если функция f(, y) интегрируема в, то kf(, y) тоже интегрируема в этой области, причем kf (, y) ddy k f (, y) ddy.. Если в области интегрируемы функции f(, y) и g(, y), то в этой области интегрируемы и функции f(, y) ± g(, y), и при этом f (, y) g(, y) ddy f (, y) ddy g(, y) ddy. 3. Если для интегрируемых в области функций f(, y) и g(, y) выполняется неравенство f(, y) g(, y), то f (, y) ddy g(, y) ddy. 4. Если область разбита на две области и без общих внутренних точек и функция f(, y) непрерывна в области, то Доказательство. f (, y) ddy f (, y) ddy f (, y) ddy.


Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее