ВВЕДЕНИЕ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВВЕДЕНИЕ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА"

Транскрипт

1

2

3 5

4 ВВЕДЕНИЕ Векторы появились в математике лишь в -х годах XIX столетия в работе немецкого математика физика и филолога ермана россмана «Учение о линейном протяжении» 8г россман был преподавателем гимназии в Штеттине и известен как исключительно оригинальный математик и физик В физике ему принадлежит учение об электрическом токе учение о цветах и теория гласных звуков Независимо от россмана к понятию вектора пришел ирландский математик Уильям Роуэн амильтон Векторное исчисление он систематически изложил в «Лекциях о кватернионах» 85г амильтон ввел термины «скаляр» от латинского слова «sl» - лестница шкала и «вектор» от латинского слова «vtor» - переноситель амильтон широко применял векторную алгебру для рассмотрения новых видов «чисел» - кватернионов и для изучения вопросов механики Например он впервые записал условие равновесия системы сил Векторный анализ амильтона был применен к теории электромагнитного поля английским физиком ДжКМаксвеллом в его «Трактате об электричестве и магнетизме» в котором было предсказано существование электромагнитных волн впоследствии открытых енрихом ерцем и положенных в основу радиотехники Трактат Максвелла привлек к векторному исчислению внимание физиков и профессор Йельского университета США Джозайя Виллард иббс 89-9 в «Элементах векторного анализа» и английский инженер и физик Оливер Хевисайд в «Электромагнитной теории» объединили векторные исчисления амильтона и россмана и придали векторному исчислению современный вид Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами Она стала своеобразным языком аналитической геометрии Векторная алгебра широко используется во многих разделах физики и механики в кристаллографии геодезии Векторный анализ изучает векторные и скалярные поля Основными понятиями векторного анализа являются «градиент» «дивергенция» «ротор» «вихрь» и «лапласиан» В математике можно выделить целые классы задач применение к которым векторного метода облегчает решение а иногда делает возможным решение «недоступной» задачи ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА 6

5 Величины с которыми приходится встречаться в прикладных науках можно разделить на два вида Одни из них вполне определяются числом и называются скалярными величинами или скалярами Примерами таких величин являются: длина отрезка площадь объем масса тела и тд Любое вещественное число называется скаляром Величины для определения которых кроме числовых значений необходимо задать еще и направление их в пространстве называются векторными или векторами Физические величины: сила скорость ускорение являются примерами векторных величин Определение Вектором называется направленный отрезок прямой ограниченный двумя точками одна из которых называется начальной а другая конечной Если начало вектора находится в точке A а конец в точке B то вектор обозначается AB Если же начало и конец вектора не указывается то вектор обозначается строчной буквой латинского алфавита рис AB В А Рис Определение Длиной или модулем вектора называется расстояние между его начальной и конечной точками и обозначается AB Определение Вектор начало и конец которого совпадают называется нулевым и обозначается Направление нулевого вектора не определено длина его считается равной нулю Определение Векторы называются коллинеарными если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых рис Если коллинеарные векторы имеют одинаковое направление то они называются сонаправленными риса в противном случае противоположно направленными рис б 7

6 А AB CD В C а D б AB CD Рис Если у векторов поменять местами начальную и конечную точки то получим вектор противоположный исходному AB BA Определение Векторы называются компланарными если они лежат в одной плоскости либо на параллельных плоскостях Определение Векторы а и называются равными если они коллинеарные сонаправленные и имеют равные модули Из этого определения следует что вектор можно переносить в любую точку пространства с сохранением длины и направления Пример В правильном шестиугольнике ABCDEF найти равные и противоположно направленные векторы рис B C A О D F Рис E Р е ш е н и е Из рисунка видно что равными векторами будут BC FE OD AB OC CD AF OE DE OF Противоположно направленными будут векторы AB DE ; AB OF ; OD OA; CD OB; AF OB; OF OC ; BC OA OB OE ; OA FE 8

7 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ К линейным операциям относятся умножение вектора на число и сложение вычитание векторов Определение Произведением вектора на число называется вектор коллинеарный вектору имеющий длину и направление совпадающее с направлением вектора если и противоположное направлению если Пример По вектору построить векторы и Р е ш е н и е Вектор коллинеарен вектору длина равна Вектор противоположно направлен вектору длина равна рис / Рис 9 Если вектор коллинеарен ненулевому вектору то существует вещественное число λ такое что выполняется равенство Выражение называется условием коллинеарности вектров и Константа λ показывает во сколько раз длина одного вектора больше или меньше длины другого вектора: Определение Единичным называется вектор е модуль которого равен единице те е Пример Найти единичный вектор коллинеарный и сонаправленный с вектором Р е ш е н и е Обозначим длину вектора через Так как векторы коллинеарные то согласно выражению где Таким

8 образом длина вектора меньше длины вектора в раз следовательно Определение правило треугольника Суммой двух векторов и называется вектор идущий из начала вектора в конец вектора при условии что начало вектора приложено к концу вектора рис 5 Рис 5 Определение правило параллелограмма Если два вектора и помещены в общее начало то суммарный вектор направлен по диагонали параллелограмма выходящей из той же самой точки рис 6 Рис 6 Определение правило многоугольника Чтобы сложить несколько векторов нужно начало последующего вектора поместить в конец предыдущего тогда суммарный вектор будет направлен из начала первого в конец последнего рис 7 Рис 7

9 Определение Разностью векторов и называется такой вектор который в сумме с вектором дает вектор рис 8 Действительно Рис 8 тогда Из определений следует что если поместить векторы и в общее начало и достроить на этих векторах параллелограмм то суммарный вектор будет направлен по диагонали параллелограмма выходящей из общего начала а разностный вектор будет направлен по второй диагонали из конца вектора в конец вектора рис 9 и ; Рис 9 Пример По данным векторам и рис построить вектора Рис Р е ш е н и е Построим вектор сонаправленный с вектором длина которого в два раза больше длины вектора Из конца вектора отложим

10 вектор коллинеарный вектору длина которого в раза больше длины вектора Тогда вектор согласно правилу треугольника направлен из начала вектора в конец вектора рис Рис Построим вектор Из начала вектора построим вектор Тогда вектор будет направлен из конца вектора в конец вектора рис Рис Пример В параллелограмме ABCD AB AD рис Выразить через и векторы МА МВ МС MD где M - точка пересечения диагоналей параллелограмма Р е ш е н и е По правилу параллелограмма находим: AC тогда MC AC MA AM ; DB тогда MB DB MD MB

11 B M C A D Рис Пример В четырехугольнике ABCD AB m BC n CD рис Найти вектор соединяющий середины диагоналей этого четырехугольника A m B O D C Рис Р е ш е н и е По правилу многоугольника имеет место равенство OO OB BC CO По правилу треугольника имеет место равенство BD BC CD n Тогда OB DB BD n По правилу треугольника имеем AC AB BC m n Тогда CO CA AC m n И наконец OO n n m n m Свойство коммутативность сложения; Свойство ассоциативность сложения; Свойство Существует нулевой вектор такой что для любого вектора ; Свойство Для каждого вектора существует противоположный вектор такой что ; O n

12 Свойство 5 для любых чисел и β и любого вектора ; Свойство 6 для любых чисел α и β и любого вектора Свойство 7 для любого числа α и любых векторов и ; Свойство 8 для любого вектора ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ Определение Векторы n называются линейно зависимыми если найдутся такие числа n из которых хотя бы одно отлично от нуля что выполняется равенство n n и называются линейно независимыми если равенство выполняется только при всех n равных нулю Теорема Если среди векторов n есть нулевой вектор то эти векторы являются линейно зависимыми Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть Тогда в равенстве можно положить что по определению доказывает линейную зависимость векторов n Теорема Для того чтобы система векторов n была линейно зависима необходимо и достаточно чтобы один из векторов системы был линейной комбинацией остальных Д о к а з а т е л ь с т в о Необходимость Пусть n - линейно зависимые Это значит что существуют не все равные нулю n такие что выполняется Пусть Тогда n n nn где n те представляет линейную комбинацию векторов n Достаточность Пусть один из векторов например является линейной комбинацией остальных векторов: nn Тогда имеет место равенство nn Так как среди есть ненулевое то система векторов n - линейно зависимая

13 Теорема Два вектора линейно зависимые тогда и только тогда когда они коллинеарные Д о к а з а т е л ь с т в о Необходимость Утверждение теоремы очевидно если среди векторов есть нулевой Поэтому будем предполагать что оба вектора ненулевые Пусть и - линейно зависимые векторы Тогда найдутся такие не равные нулю числа что выполняется равенство Так как то а это есть условие коллинеарности векторов Достаточность Пусть и коллинеарные те выполняется Перепишем последнее равенство в виде те нашлись ненулевые числа для которых выполняется Следовательно векторы и - линейно зависимые Следствие Если неколлинеарные то они линейно независимые Следствие Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора Теорема Три вектора линейной зависимые тогда и только тогда когда они компланарные Д о к а з а т е л ь с т в о Необходимость Пусть линейно зависимы те существуют не все равные нулю числа такие что выполняется равенство Пусть например тогда О Рис5 Приложим вектора к общему началу к точке Тогда из последнего равенства вытекает что вектор направлен по диагонали параллелограмма построенного на векторах рис 5 Это значит что векторы лежат в одной плоскости те компланарные Достаточность Предположим что векторы компланарные Перенесем их на одну плоскость и приложим к общей точке О рис 6 5

14 B C O Рис6 A Проведем через конец вектора прямые параллельные векторам и и рассмотрим параллелограмм OACB Пары векторов OB и OA - коллинеарные те OA OB По правилу параллелограмма OA OB или Следовательно по определению векторы - линейно зависимые Следствие Если три вектора некомпланарные то они линейно независимые Следствие Среди трех некомпланарных векторов не может быть нулевого вектора Следствие Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов Теорема 5 Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимые Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть и - произвольные векторы в пространстве Если среди них какие-нибудь три вектора компланарные то по теореме эти три вектора линейно зависимые тем самым исходные четыре вектора также линейно зависимые Пусть среди векторов и нет компланарных векторов и следовательно нет ни одной пары коллинеарных векторов и ни одного нулевого вектора C с D В O A E Рис 7 6

15 Приведем все четыре вектора к общему началу O и проведем через конец D вектора плоскости параллельные плоскостям определяемым парами векторов ; и рис 7 Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми на которых лежат векторы и обозначим соответственно буквами А В и С Из правила параллелограмма сложения векторов следует что OC OD из параллелограмма OCDE OE OA OB из параллелограмма OBEA Таким образом OA OB OC Так как вектор OA коллинерен ненулевому вектору то OA Аналогично для векторов OB OC имеем OB и OC Тогда имеет место равенство: OA OB OC По определению линейной зависимости векторов следует что векторы и - линейно зависимые так как выполняется равенство Из теорем 5 вытекают следующие выводы: Для любого вектора лежащего на прямой существует число такое что где - некоторый фиксированный ненулевой вектор лежащий на этой же прямой Для любых неколлинеарных векторов существуют ненулевые числа такие что любой вектор компланарный векторам может быть представлен в виде = Если произвольные векторы некомпланарные то для любого вектора существуют ненулевые числа такие что имеет место равентсво = Пример Векторы m n - линейно независимые Проверить являются ли линейно зависимыми векторы если m n m n m n Р е ш е н и е Выясним при каких выполняется равенство : m n m n m n m n Так как m n - линейно независимые то согласно определению их линейная комбинация равна нулевому вектору при всех 7

16 Так как t A то однородная система имеет единствен- ное решение те = = = и таким образом - линейно независимые АФФИННЫЙ БАЗИС АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Определение Совокупность линейно независимых векторов называется аффинным базисом Так на прямой аффиным базисом будет являться любой ненулевой вектор на плоскости два любых неколлинеарных вектора и в пространстве три любых некомпланарных вектора Выражения вида называется разложением по базису а числа - аффинными координатами вектора Теорема 6 Любой вектор можно разложить по базису причем разложение вектора по базису единственно Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть - базис в пространстве и пусть разложение вектора по этому базису не единственно те наряду с разложением = имеет место другое разложение: = Вычитая из первого равенства второе получим: = По условию теоремы образуют базис то есть они линейно независимые Тогда или и единственность разложения доказана Таким образом координаты вектора относительно выбранного базиса определяются однозначно и равные векторы относительно одного базиса имеют равные координаты Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их одноименными координатами: = + + 8

17 Пример Найти координаты векторов если и Р е ш е н и е То есть { 6} {6 8} { } Пусть даны векторы = + + = + + = + + тогда для вектора = + + координаты равны = + + γ = + + γ = + + γ Отсюда в частности для коллинеарных векторов λ получаем условия коллинеарности линейной зависимости в координатной форме или 9 5 Пример На плоскости заданы векторы { } { } { } Убедиться что являются базисом Найти разложение вектора по новому базису Р е ш е н и е Проверим условие неколлинеарности векторов и Так как то условие коллинеарности 5 не выполняется Следовательно и - линейно независимые и являютя базисом Найдем разложение вектора по базису: где - неизвестные коэффициенты разложения: { } { } { } { } { } { } Имеем откуда Таким образом Пример При каких и векторы и 6 коллинеарные? Р е ш е н и е Если векторы коллинеарные то λ и их координаты должны удовлетворять условию 5: или 6 Тогда Рассмотрим векторно-точечное или аффинное пространство те пространство геометрических векторов дополненное множеством точек таким образом что каждой паре точек А и В ставится во взаимно-однозначное соответствие вектор AB

18 В аффинном пространстве введем аффинную систему координат состоящую из некоторой фиксированной точки О и базиса рис 7 M O Рис 7 Определение Радиус-вектором точки М называется вектор ОМ соединяющий начало координат с точкой М Аффинными координатами точки М называются координаты ее радиус-вектора OM относительно аффинного базиса Если M и M - две точки аффинного пространства то координаты вектора M M } { 5 ДЕКАРТОВ БАЗИС ДЕКАРТОВА ПРЯМОУОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Среди аффинных систем координат на прямой на плоскости и в пространстве наибольшее применение находит декартова прямоугольная система координат Определение Аффинный базис называется декартовым прямоугольным если его векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину Принято обозначать базисные векторы декартова базиса и называть их ортами Определение Аффинная система координат называется декартовой прямоугольной если ее базис декартов прямоугольный

19 Оси OX OY OZ направления которых выбраны так чтобы они совпадали с направлением векторов называются осью абсцисс ординат аппликат соответственно Z M O Y X Рис 8 Координаты вектора OM называются абсциссой ординатой аппликатой радиус-вектора OM рис 8 Если же речь идет о координатах точки то М = 6 ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ ДЛИНА ВЕКТОРА НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ Определение Проекцией вектора AB на ось l называется длина отрезка CD этой оси заключенного между проекциями его начальной и конечной точек взятая со знаком + если направление отрезка CD совпадает с направлением оси проекций и со знаком - если эти направления противоположны рис 9 А В пр l AB CD В А AB пр l CD С D В l Рис 9 В D С б l

20 Теорема 7 Проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус угла между вектором и осью: пр l AB AB os Д о к а з а т е л ь с т в о Перенесем вектор AB параллельно в точку С получим вектор CB AB Пусть - острый угол рис 9а Из CB D находим пр l АВ CD СВ os АВ os Пусть - тупой угол рис 9б Из DCB находим пр l АВ CD СВ os 8 АВ os Свойство При умножении вектора AB на число его проекция на ось умножается на то же число: прl прl 6 Свойство Проекция суммы векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций составляющих векторов на ту же ось: прl прl прl прl 7 Теорема 8 Декартовы прямоугольные координаты вектора { } равны проекциям вектора на соответствующие оси декартовой прямоугольной системы координат Д о к а з а т е л ь с т в о Поместим вектор в начало координат и достроим параллелепипед направив вектор по диагонали рис Тогда OD OF FD OF OC OA OB OC C Z D В O Y X A F Рис

21 Так как вектор ОА коллинеарен вектору то найдется вещественное число такое что ОА Аналогично ОВ ОС те С другой стороны вектор является диагональю прямоугольного параллелепипеда построенного на базисных векторах Поэтому проекции вектора на оси OX OY OZ соответственно равны величинам OA OB OC : OA OB OC Следовательно пр пр пр ОХ ОУ Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон то получаем выражение для длины вектора через его координаты 8 Из определения проекции вытекают следующие формулы координат вектора : os os os 9 где - углы наклона вектора к осям OX OY OZ Определение Углы называются направляющими углами вектора OZ Определение Косинусы углов называются направляющими косинусами вектора и они равны os os os Из получаем равенство os os os Пусть вектор u задан точками М и М рис Обозначим через r и r радиус-векторы точек М и М Вектор MM u r r поэтому прox MM прох r прох r

22 Z r M u M O Y X Рис Аналогично найдем проекции M M на оси OY и OZ Тогда пр ОX M M пр ОУ MM пр OZ M M Формула для модуля вектора u примет вид M u M Пример Заданы векторы { } { } { } Найти модуль координаты единичного вектора и углы которые вектор образует с координатными осями Р е ш е н и е { } {} {} { } { 6 } {6} { } По формуле 8: Найдем единичный вектор : { } Тогда os os os Отсюда Пример Найти вектор а образующий с ортом угол 6 с ортом - если а 5 Р е ш е н и е Пусть а { } По условию имеем os os а os os а os6 к os Тогда а Тогда а а 5 5 а

23 Так как а 5 то Тогда и получаем два значения: 5 и соответственно два вектора а 5 5 { 5 } а {5 } Пример Найти вектор коллинеарный вектору 5 и образующий с вектором острый угол если 5 Р е ш е н и е Пусть { } Так как коллинеарный вектору то λ и их координаты должны удовлетворять условию 5: или Тк 5 то 5 Подставим в это равенство выражение координат вектора через : те получим два вектора: при 5 5 { 5} при 5 5 {5 } Из этих двух векторов надо выбрать такой вектор который образует с вектором острый угол Если вектор образует с осью OY острый угол то это значит что пр пр OY Следовательно выбираем такой вектор у которого > : { 5} Пример В декартовом базисе заданы векторы { } { } {} и { } Найти координаты вектора в базисе Убедиться что вектора образуют базис Найти координаты вектора в базисе Р е ш е н и е Тк то { } Установим при каких линейная комбинация векторов и равна : Так как - базис то они линейно независимые следовательно + + = = = откуда = = = Следовательно - линейно независимые и образуют базис

24 Разложению вектора по базису в векторной форме соответствует разложение в координатной форме: Тогда: те { } в базисе 7 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ На прямой даны две точки M и M Найдем координаты точки M лежащей на отрезке M M и делящей длину этого MM отрезка в отношении те рис M M М М М Рис Обозначим координаты точки M Если три точки лежат на одной прямой то векторы M M и M M коллинеарные те MM MM Найдем координаты векторов: MM { } M M { } Из условия коллинеарности векторов в координатной форме имеют место равенства: или При делении отрезка пополам = и координаты середины отрезка M M находятся по формулам: 5 6

25 Пример Даны три вершины параллелограмма А-5 В5- С- Определить четвертую вершину D противоположную В Р е ш е н и е Так как ABCD параллелограмм то его противоположные стороны параллельны и равны рис В С А D Рис Обозначим координаты вершины D Найдем координаты векторов ВС и АD: BC { 5 } { 6 6} AD { 5} { 5} Тк BC AD и BC AD то BC AD 6 { 66} { 5} D 5 6 Пример Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами A = - - B = - C = -5-6 B O A D Рис C Р е ш е н и е Известно что центр тяжести треугольника находится в точке O пересечения его медиан По свойству медиан треугольника имеем ВО Найдем координаты точки D D D D По формуле деления OD отрезка пополам 5 имеем: 5 6 D D 5 D 5 7

26 Координаты точки O находим как координаты точки делящей отрезок BD в отношении Имеем по : В D В D 9 B D То есть O 8 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕО СВОЙСТВА Определение Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: os 6 Спроектируем вектор на вектор рис 5: пр os тогда пр пр 7 пр пр Рис 5 Определение Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них умноженному на проекцию второго вектора на первый Свойство Свойство Д о к а з а т е л ь с т в о пр пр пр = пр пр 8

27 Свойство где - константа Д о к а з а т е л ь с т в о пр пр пр те скалярный множитель выносится за знак скалярного произведения Свойство Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: а а ; 8 модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора самого на себя: 9 Свойство 5 Если один из векторов скалярного произведения равен нулю то скалярное произведение равно нулю Свойство 6 Если отличные от нуля векторы и ортогональные то их скалярное произведение равно нулю: Д о к а з а т е л ь с т в о Действительно если то угол между векторами = 9 и os 9 = следовательно os9 Свойство 7 Если скалярное произведение двух векторов и отличных от нуля равно нулю то векторы ортогональны Д о к а з а т е л ь с т в о Действительно если но и то os = а это значит что = 9 и Таким образом это условие является необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов Свойство 8 Скалярное произведение ортов Так как - единичные векторы то А так как они попарно ортогональны то имеют место равенства Свойство 9 Неравенство Коши - Буняковского Теорема 9 координатная форма скалярного произведения В декартовом базисе скалярное произведение равно Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть векторы и заданы своими координатами относительно декартового базиса: { } и { } Используя свойства скалярного произведения находим 9

28 Замечание В афинной системе координат скалярное произведение векторов + + = + + = представляется в виде: или которое еще можно записать как произведение матриц: G где G которая называется матрицей рама Следствие Скалярный квадрат вектора как квадрат длины вектора равен Следствие Длина вектора в кооринатной форме равна Следствие Косинус угла между векторами и равен os Следствие Проекция вектора на вектор равна пр 5 Следствие 5 Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов и определяется следующим равенством: 6 Пример Дано Найти ; ; + Р е ш е н и е 6 os os ;

29 9 ; Пример Провверить ортогональны ли векторы = { -} = {- }? Р е ш е н и е Воспользуемся формулой 6 : = = следовательно Пример Заданы точки M и N - Найти ОN ОМ ОМ пр ОN os ON OM Р е ш е н и е Координати векторов ОМ и ОN Найдем их модули: ОМ ON Тогда ON OM ; ON ON OM OM пр ON ; 5 5 os ON OM ON OM ON OM Пример Векторы попарно образуют друг с другом углы каждый из которых равен 6 Зная что 6 определить модуль вектора если Р е ш е н и е По формуле 9 имеем: Пример Векторы и образуют угол 6 Зная что вычислить угол между векторами и Найти проекцию вектора на вектор Р е ш е н и е ; 7 а ; ; 7 os тогда 7 ros ; пр

30 Пример Найти координаты вектора коллинеарного вектору { } и удовлетворяющего условию = Р е ш е н и е Пусть координаты вектора { } Так как вектор коллинеарен вектору то по 5: или в координатной форме Так как то или При : х = то есть координаты вектора Пример Найти вектор если он перпендикулярен оси OZ и удовлетворяет условиям 9 и где = { - 5} и = { -} Р е ш е н и е { } Скалярное произведение векторов часто используется в различных приложениях Рассмотрим одно из них - работу постоянной силы Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из точки A в точку B под действием постоянной силы F образующей угол с вектором перемещения AB S Из курса физики известно что работа силы F при перемещении S равна A F S os 7 Это означает что работа постоянной силы F при прямолинейном перемещении S точки ее приложения равна скалярному произведению A F S В заключение рассмотрим возможность введения операции обратной скалярному произведению векторов те операции «деления скаляра на вектор» Пусть известны вектор и скалярное произведение и требуется определить вектор Поместим начало векторов и в одну точку О и через конец вектора проведем плоскость P перпендикулярную Плоскость P пересечет луч с началом в точке О на котором лежит вектор в точке A рис 6 и мы получим отрезок OA

31 Рис 6 Согласно определению скалярного произведения с одной стороны пр OA С другой стороны для любого другого вектора с началом в точке О и концом на плоскости P аналогично имеем пр OA Таким образом если известно скалярное произведение двух векторов и известен один из сомножителей то существует бесконечное множество векторов которые при умножении на данный сомножитель дадут заданное скалярное произведение Отсюда следует что операция обратная скалярному произведению векторов «деление скаляра на вектор» возможна но в силу своей неоднозначности является невостребованной и не получила практического применения 9 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕО СВОЙСТВА Определение Векторным произведением векторов и называется вектор удовлетворяющий трем условиям: и ; sn ; - правая тройка те если смотреть с конца вектора на плоскость векторов и то кратчайший поворот от к происходит против часовой стрелки рис7а В противном случае вектора образуют «левую» тройку рис7б

32 а - «правая» тройка б - «левая» тройка Рис 7 Свойство Справедливость этого свойства следует из определения векторного произведения см рис 7 те векторное произведение не обладает свойством коммутативности Свойство где - константа Свойство Свойство Векторное произведение двух ненулевых векторов есть нулевой вектор тогда и только тогда когда сомножители коллинеарные Д о к а з а т е л ь с т в о Необходимость Пусть причем Так как sn где причем то если sn = Те = или = следовательно векторы коллинеарные Достаточность Если векторы и коллинеарные то вектор является нулевым по определению Свойство 5 Модуль векторного произведения sn численно равен площади параллелограмма построенного на векторах и если и неколлинеарны Д о к а з а т е л ь с т в о Рассмотрим параллелограмм OADB построенный на векторах и рис 8 B D O h S A Рис 8

33 5 Высота параллелограмма опущенная из вершины B на ОА вектор равна sn sn ОВ h Тогда S sn h и S sn 8 Пример Найти площадь параллелограмма построенного на векторах и если и угол Р е ш е н и е S Найдем используя свойства векторного произведения: тк и Тогда sn те S = квед Теорема координатная форма векторного произведения Векторное произведение в декартовом базисе равно 9 Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть векторы и заданы своими координатами относительно декартова базиса: Тогда Согласно свойствам векторного произведения Рассмотрим входящие в это равенство векторные произведения рис 9 Они являются нулевыми векторами вследствие коллинеарности сомножителей Рис 9

34 6 Векторное произведение есть вектор модуль которого равен sn Этот вектор перпендикулярен векторам и те он коллинеарен вектору и направлен в ту же сторону Следовательно рис 9 Аналогично рассуждая находим Окончательно Подставляя найденные произведения в исходное выражение получаем Это равенство можно записать через определитель Замечание В афинной системе координат векторное произведение векторов + + = + + = + + = представляется в виде: Пример Найти если и Р е ш е н и е 7 те 7} { Пример Найти площадь ABC если A = - B = C = - Р е ш е н и е По свойству 5 : S S AC AB A C B Рис

35 7 Координаты векторов AB = { } AC = { - } тогда ; AC AB AC AB 9 9 S кв ед Пример Упростить выражения: ; Р е ш е н и е ; Пример Найти координаты вектора если он перпендикулярен векторам = { - } и ={ - } и удовлетворяет условию 7 Р е ш е н и е Пусть } { Так как вектор перпендикулярен векторам и то с где Найдем координаты вектора с : } 5 7 { 5 7 Из условия следует по 5 что } 5 7 { с где -неизвестный коэффициент пропорциональности Воспользуемся вторым условием задачи: Следовательно = {7 5 } Векторное произведение векторов часто используется в различных приложениях Рассмотрим одно из них - момент силы Пусть твердое тело неподвижно закреплено в точке A рис а в точке B к нему приложена сила F Рис

36 Возникает вращающийся момент этой силы относительно точки A численно равный F AB sn те площади параллелограмма построенного на векторах AB и F В теоретической механике этот момент определяется вектором m A F M AB F или M AB F В частности момент относительно начала координат m A F r F где r - радиус-вектор точки приложения силы Пример Точка A твёрдого тела закреплена в точке B тела приложена сила F Найти момент силы m A F M относительно точки A Р е ш е н и е Вектор AB F M AB F 8 6 Вращающий момент: m A Значение момента F M m A В заключение как и для скалярного произведения обсудим возможность введения операции обратной векторному произведению векторов те операции «деления вектора на вектор» Начала двух векторов а и поместим в одну точку О а через точку В соответствующую концу вектора проведем прямую l параллельно вектору а рис Рис Теперь из точки O проведем вектор заканчивающийся в произвольной точке B лежащей на прямой l Из рис видно что векторные произведения и совпадут: Таким образом если известны векторное произведение и один из сомножителей например а то существует бесконечное множество векторов которые при векторном умножении на вектор а дадут тот же самый вектор с Отсюда следует что операция обратная векторному произведению «операция деления вектора на вектор» определена неоднозначно и потому не получила широкого применения 8

37 9 СКАЛЯРНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАМА Согласно определению векторного произведения sn где Отсюда sn = os = os С учетом того что os запишем или Определение Формула называется основным тождеством связывающим квадраты векторного и скалярного произведений Нетрудно заметить что формулу можно записать в виде определителя Определение Определитель называется определителем рама векторов и и обозначается те Так как равно площади S параллелограмма построенного на векторах то формула равносильна формуле S или S парал 5 Очевидно что высота параллелограмма опущенная на сторону представляющую вектор можно найти как S h парал 6 Если под определителем рама одного вектора понимать а то h 7

38 Наряду с этим с помощью определителя рама можно сформулировать еще один критерий линейной независимости двух векторов: Два вектора и будут линейно независимые только при условии В противном случае они линейно зависимые те коллинеарные Пример С помощью определителя рамма вычислить площадь треугольника с вершинами А В С-- и его высоту опущенную на сторону АВ Так как площадь треугольника равна половине площади параллелограмма построенного на векторах АВ и АС то по формуле 5: S Р е ш е н и е Координаты векторов: АВ и АС ABC S АВ АС АВ АВ АС 5 АС АВ АС 5 6 парал Высоту h опущенную на сторону АВ найдем по формуле 6: S / АВС h АВ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕО СВОЙСТВА Определение Смешанным произведением трех векторов называется число равное скалярному произведению вектора на вектор 7 Свойство Операции скалярного и векторного умножения в смешанном произведении можно менять местами: Свойство Круговая перестановка трех сомножителей смешанного произведения не меняет его величину Перестановка же двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный те Свойство Смешанное произведение численно равно объему V параллелепипеда построенного на векторах причем V если тройка векторов "правая" V если тройка векторов "левая" Д о к а з а т е л ь с т в о Построим параллелепипед на векторах OA OB OC рис

39 A B C O Рис Согласно определению где os os но парал S а h пр os следовательно V h S парал Если векторы образуют левую тройку то вектор будет направлен в противоположную сторону и пр с те V Свойство Для того чтобы векторы были компланарны необходимо и достаточно чтобы 8 Теорема координатная форма смешанного произведения В декартовом базисе смешанное произведение равно определителю -го порядка строками которого являются координаты векторов: 9 Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть векторы заданы координатами относительно декартова базиса те Тогда или

40 Замечание В афинной системе координат смешанное произведение векторов = + + = ++ = + + представляется в виде: Пример Найти объем параллелепипеда построенного на векторах 5 Р е ш е н и е Воспользуемся свойством смешанного произведения Так как 5 то заключаем что - «левая» тройка и 5 V = 5 кубед Пример Показать что точки A-- B C D5-6 лежат в одной плоскости P Р е ш е н и е Если точки лежат в одной плоскости то соединяющие их векторы например AB { } AC {} AD { } тоже лежат в одной плоскости те являются компланарными тогда по свойству их смешанное произведение должно равняться нулю Действительно: AB AC AD следовательно точки A B C D лежат в плоскости Р Пример Образуют ли векторы { } {} { } базис? Р е ш е н и е Три вектора образуют базис в пространстве если они линейно независимы те не являются компланарными а значит их смешанное произведение не равно нулю Так как то векторы не компланарные те -базис Пример Вычислить объем тетраэдра ABCD если AB CA 6 CD 5 Р е ш е н и е

41 B C D A Рис ; 6 V Vt CB CA CD V Из ACB найдем: AB CA CB 5 6 CB CD CA Тогда 6 t V кубед СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАМА Координатная форма смешанного произведения позволяет записать следующую цепочку равенств: t t Отсюда объем параллелепипеда построенного на векторах можно записать в виде V Соответственно высота параллелепипеда опущенная на плоскость векторов а и S V h парал парал

42 С помощью определителя рама можно сформулировать еще один критерий линейной независимости трех векторов: Три вектора будут линейно независимые только при условии ; в противном случае они линейно зависимые те компланарные Три взаимно ортогональных ненулевых вектора всегда линейно независимые: Пример Найти высоту параллелограмма построенного на векторах опущенную из конца вектора с если а сами векторы образуют друг с другом одинаковые углы равные Р е ш е н и е Найдем определители рама: 8 Тогда 8 h ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕО СВОЙСТВА Определение Двойным векторным произведением трёх векторов называется векторное произведение одного из них на векторное произведение двух других Свойство Двойное векторное произведение вычисляется по формуле: Замечание Эту формулу иногда записывают в виде и шутливо называют формулой «БАЦ минус ЦАБ» Свойство с Свойство Если векторы и коллинеарные то Д о к а з а т е л ь с т в о Для коллинеарных векторов и справедливо равенство откуда с очевидностью следует утверждение Свойство Если вектор перпендикулярен векторам и то

43 5 Д о к а з а т е л ь с т в о Для перпендикулярных векторов и имеем и в силу формулы убеждаемся в справедливости утверждения Свойство 5 Если вектор перпендикулярен вектору то Д о к а з а т е л ь с т в о Так как векторы и перпендикулярны то и в силу формулы убеждаемся в справедливости утверждения Свойство 6 Если вектор перпендикулярен вектору то Д о к а з а т е л ь с т в о Так как векторы и перпендикулярны то и в силу формулы убеждаемся в справедливости утверждения Пример Доказать тождество Якоби: Р е ш е н и е По свойству : Суммируя эти равенства и используя свойство скалярного произведения получим тождество Якоби Пример Показать что если а то Р е ш е н и е По формуле и так как а те имеем Умножая векторно слева на а получим: Повторяя ту же операцию найдем: Одно из применений формулы состоит в выводе разложения данного вектора на две компаненты из которых одна параллельна а другая перпендикулярна а Действительно положив в формуле а с найдем: а а а Решая это уравнение относительно получим: 5 Первый из слагаемых векторов правой части очевидно параллелен вектору а а второй перпендикулярен к нему Формула 5 для разложения упрощается если а есть единичный вектор Тогда а и формула 5 примет вид:

44 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТРЕУОЛЬНИКА МЕТОДАМИ ВЕКТОРНОЙ АЛЕБРЫ Одной из основных задач элементарной геометрии является описание треугольника В элементарной геометрии треугольник считается заданным если известны три его стороны или две стороны и угол между ними Последнее в векторной алгебре означает задание двух векторов Пусть векторы и выходящие из точки C определяют треугольник ABC рис 5 Рис 5 Покажем что все характеристики этого треугольника легко найти методами векторной алгебры Длина стороны AB Вектор AB есть разность AB тогда AB откуда AB 6 С учетом определения скалярного произведения: os os и соотношение 6 можно записать в виде AB os Это соотношение известно в геометрии как теорема косинусов Второй угол прилежащий к стороне СА угол САВ Из рис5 следует os откуда os os 7 os Вектор высота h опущенная из вершины В и её длина Из рис5 следует h CH откуда h CH а с учётом CH пр os имеем 6

45 7 h 8 Из 8 найдем h h h sn 9 Любая из формул 9 позволяет вычислить длину высоты h опущенной из вершины В Вектор медиана m проведенная из точки С Из рис 5 следует AB AM m или m 5 Это соответствует утверждению известной из геометрии теоремы о том что точка пересечения диагоналей параллелограмма построенного на векторах и делит их пополам Из 5 найдем m 5 5 Вектор биссектриса n проведенная из точки С Воспользуемся тем свойством что диагонали ромба являются не только медианами но и биссектрисами соответствующих треугольников Вычислив по векторам и их орты: вектор биссектрисы можно записать как n 5 Наряду с этим из рис 5 следует что AN n 5 где - ещё один неизвестный параметр Оба неизвестных параметра и найдем приравняв правые части 5 и 5: Получим Отсюда в силу линейной независимости векторов и найдем

46 8 Решение этой системы уравнений имеет вид 5 Подставив из 5 в 5 найдем вектор биссектрису и её длину: n 55 n n n os 56 Заметим что параметр позволяет записать составляющие вектора как AN NB 57 Отсюда NB AN 58 Это соотношение соответствует известному в геометрии утверждению что биссектриса делит сторону на отрезки отношение длин которых совпадает с отношением длин сторон к которым они прилегают 6 Площадь треугольника ABC S Из свойств векторного произведения имеем: S ABC 59 Пример Для треугольника АВС построенного на векторах CA CB где методами векторной алгебры найти: длины сторон СА и АВ и угол между ними; площадь треугольника АВС; вектор высоту h проведенную из точки В и её длину; вектор медиану m проведенную из угла С и её длину; 5 вектор биссектрису n угла С и её длину Р е ш е н и е На сторонах треугольника строим векторы CA CB Тогда AB Вычислив 5 ;

47 9 8 ; 6 найдем определитель рама Соотношения 6 и 6 позволяют воспользоваться рис5 и формулами 6 59 : 5 CA CA AB AB os и 7 Согласно 59: 8 S ABC Согласно 8: h а согласно h Вектор медиана m согласно 5 равна m соответственно m впрочем тот же результат следует из 5: 8 5 m 5 Вектор биссектриса n и её модуль n определяются формулами 55 и 56 Для упрощения примем: 5 5 ; 7 8 ; тогда n ; 6 n ; этот же результат следует из 56

48 5 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕТРАЭДРА МЕТОДАМИ ВЕКТОРНОЙ АЛЕБРЫ В трехмерном пространстве роль аналогичную роли треугольника на плоскости играет тетраэдр или треугольная пирамида Четыре точки A B C D определяют некоторый тетраэдр ABCD С точки зрения векторной алгебры четыре точки задают три вектора например DC DB DA см рис 6 Рис 6 Покажем что все основные характеристики тетраэдра можно найти методами векторной алгебры Длина ребра AB Длина ребра AB определяется следующей цепочкой равенств: AB AB 6 Аналогично можно найти длины других рёбер Плоские углы граней Например угол β = ABC с учётом свойств скалярного произведения определится соотношением os 6 Аналогично определяются другие плоские углы граней Двугранные углы при рёбрах Например угол при ребре DA равен углу между перпендикулярами к векторам и Тогда с учётом свойств смешанного и двойного векторного произведений запишем os 6

49 Косинусы остальных двугранных углов тетраэдра определяются аналогично Углы между рёбрами и гранями Например угол между ребром DA и гранью DBC равен где угол между вектором и перпендикуляром к грани образованной векторами и Поэтому sn 65 Углы между остальными рёбрами и гранями находятся аналогично 5 Длины высот Например длина высоты AE опущенной из точки A на грань DBC определится как отношение объёма тетраэдра к площади основания DBC В результате получим h AE sn 66 6 Кратчайшее расстояние между рёбрами Например расстояние между рёбрами DA и BC рис6 равно проекции вектора AC на перпендикуляр к векторам DA и C D Следовательно с учётом свойств векторного произведения запишем N n N где N N или 67 Расстояние между другими рёбрами находятся аналогично Все полученные формулы позволяющие рассчитать характеристики тетраэдра в итоге содержат только скалярные произведения образующих тетраэдр векторов Скалярные произведения являются числами не изменяются при преобразованиях базисных векторов и следовательно содержащие их определители рама также не меняются а поэтому полученные выше формулы остаются справедливыми в любой системе координат Пример Дана пирамида DABC Длина рёбер пирамиды выходящих из вершины D равна: DA = DB = DC = а углы между ними соответственно ADB BDC CDA Методами векторной алгебры найти: 5

50 5 длину ребра AB и угол ABC ; двугранный угол при ребре DA и угол между ребром DA и гранью DBC; длину высоты опущенной из точки A на грань DBC и кратчайшее расстояние между ребрами BA и BC; объём пирамиды Р е ш е н и е На рёбрах пирамиды построим вектор DA DC DB Воспользуемся рис 6 и введёнными там обозначениями Для удобства дальнейших вычислений предварительно найдём определители рама: что позволит воспользоваться формулами 6-67: 8; 8 6 AB AB ABC os os ; ABC Двугранный угол при ребре DA согласно 6 равен os а угол между ребром DA и гранью DBC в силу 65 найдётся как sn ; Длина h высоты опущенной из точки A на грань DBC по 66 равна h Кратчайшее расстояние между ребрами BA и BC найдем по 67 Так как то

51 Объём пирамиды по равен: V ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ВЕКТОРНОЙ АЛЕБРЫ Определение вектора по известному скалярному произведению с заданным вектором Рассмотрим уравнение 68 где х - искомый вектор а вектор а и число - заданные величины Решение уравнения 68 эквивалентно нахождению вектора х по его скалярному произведению с заданным вектором а Решение этой задачи не однозначно Исследуем характер этой неоднозначности Пусть х - решение уравнения 68 Если умножить его векторно на вектор а то мы получим некоторый вектор : 69 Умножив 69 еще раз векторно на а получим 7 Воспользовавшись разложением двойного векторного произведения и учитывая 68 запишем Отсюда и следовательно 7 Обозначив получим решение уравнения 68 в виде 7 Нетрудно убедиться что при любом выборе вектора вектор х удовлетворяет уравнению 68 Действительно подставив 7 в 68: получим тождество Таким образом общее решение 7 уравнения 68 находится с точностью до произвольного вектора Этот результат становится очевидным если исходное уравнение рассматривать как одно линейное уравнение для трех неизвестных координат х х х вектора х : Определение вектора по известному векторному произведению с заданным вектором 5

52 Рассмотрим уравнение 7 где х - искомый вектор а векторы а и - заданные перпендикулярные векторы Решение уравнения 7 эквивалентно нахождению вектора х по его векторному произведению с заданным вектором а Решение этой задачи не однозначно Исследуем характер этой неоднозначности Если умножить 7 векторно на вектор а то получим Воспользовавшись разложением 7 двойного векторного произведения получим или Обозначив получим решение уравнения 7 в виде 7 Нетрудно убедиться что при любом выборе скаляра полученный вектор х удовлетворяет уравнению 7 Дейтсвительно подставив 7 в 7 с учетом соотношений получим тождество Таким образом общее решение 7 уравнения 7 находится с точностью до произвольного скаляра в отличие от решения уравнения 68 которое находится с точностью до произвольного вектора Это отличие становится понятным если исходное уравнение 7 рассматривать как систему линейных уравнений для определения координат х х х искомого вектора х через известные координаты и векторов и : Определение вектора по известным векторному и скалярному произведениям с заданными векторами Требуется определить неизвестный вектор х из системы двух уравнений 75 где скаляр и векторы считаются заданными причем предполагается что вектор перпендикулярен вектору и не перпендикулярен вектору : 5

53 Решение этой системы можно получить с помощью решений 7 и 7 Однако есть более простой способ Первое уравнение в 75 умножим векторно на вектор : с с или Отсюда воспользовавшись вторым уравнением системы найдем вектор 76 Из 76 следует что вектор заданный своими векторным и скалярным произведениями определяется однозначно Пример Решить систему векторных уравнений если в декартовой системе координат Р е ш е н и е Условиями разрешимости системы являются требования Вычислив выясняем что система разрешима Приняв во внимание что 5 6 согласно 76 найдем 5 6 Определение вектора по трем скалярным произведениям Требуется найти неизвестный вектор если известны его скалярные произведения с тремя некомпланарными векторами Рассматриваемая задача сводится к решению трех уравнений 77 Умножим скалярно первое уравнение из 77 на а второе на и сложим их: Отсюда Это уравнение вместе с третьим уравнением исходной системы 78 дают систему вида 77 Решение системы 78 согласно 76 имеет вид 79 5 Линейное векторное уравнение Требуется найти неизвестный вектор из уравнения 55

54 56 8 по известным векторам и скаляру Умножим исходное уравнение 8 скалярно на и получим откуда следует 8 Умножение исходного уравнения 8 векторно на тот же вектор и дает или 8 Исключим векторное произведение из 8 с помощью исходного уравнения 8: а скалярное произведение из 8 с помощью 8 После этого уравнение 8 примет вид откуда получим и следовательно 8 Пример Решить векторное уравнение если Р е ш е н и е Так как и то Разложение заданного вектора по трем некомпланарным векторам Даны три некомпланарных вектора и вектор r Требуется найти координаты вектора r в базисе Эта задача сводится к определению трех скаляров из уравнения r 8

55 57 Умножив скалярно исходное уравнение 8 последовательно на векторы получим r r r Отсюда найдем ; r ; r r 85 Формулу 85 можно рассматривать как векторную запись правила Крамера Действительно если положить в некотором базисе r то векторное уравнение будет равносильно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными : те Отсюда по правилу Крамера например для получим формулу из 85: Формулы 85 допускают фундаментальное обобщение для любых линейных систем в которых число переменных равно числу неизвестных 7 ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ ВЕКТОРОВ Все многообразие произведений четырёх векторов можно получить следующими двумя способами

56 58 а Умножением произведения двух векторов на произведение двух других векторов: ; 86 ; 87 ; 88 ; 89 б умножением трех векторов на четвертый: ; 9 ; 9 ; Очевидно что не все выписанные произведения различны между собой Действительно учитывая что скалярный множитель можно выносить за знак скалярного и векторного произведений можно заметить что произведение 86 совпадает с 9 а произведение 87 с 9: 95 Далее рассмотрим в 9 векторное произведение как один вектор Тогда произведение 9 является смешанным произведением трёх векторов: которое обладает свойством ассоциативности позволяющим поменять местами векторное и скалярное произведения те 96 Это означает что произведение 9 совпадает с произведением 88 из пункта а Заметим что первое и второе произведения в пункте а представляют собой скаляр и некий вектор соответственно получаемые из четырёх векторов наиболее простым способом В силу этого их еще называют основными произведениями четырёх векторов Оставшиеся произведения можно представить как линейные комбинации основных произведений те произведений вида 86 и 87 Рассмотрим произведение 88 Расписав в левой части 96 двойное векторное произведение согласно найдём 97 Таким образом произведение 88 выражается через основные произведения вида 86 Если разложение 97 записать с помощью определителя а именно:

57 59 то эту формулу можно рассматривать как обобщение определителя рамма поскольку при имеем : Векторное произведение двух векторных произведений 89 можно преобразовать двумя способами Во-первых рассматривая это произведение как двойное векторное произведение трёх векторов мы получим 98 Во-вторых рассматривая это же произведение как двойное векторное произведениетрех векторов получим 99 Таким образом векторное произведение двух векторных произведений 89 можно двумя способами 98 и 99представить как лиейные комбинации вида 9 Сравнив 98 и 99 найдем Если - некомпланарные векторы те то из следует формула разложения вектора в базисе векторов : совпадающая с формулой 8 85 полученной ранее Тройное векторное произведение 9 так же можно разложить двумя способами Во-первых разложив двойное векторное произведение векторов и умножив его затем векторно на четвёртый вектор получим Эта формула выражает двойное векторное произведение 9 через основные произведения 87 Во-вторых разложив 9 как двойное векторное произведение векторов получим: Представление оставшегося в 9 произведения через основные произведения 87 можно получить из сравнения и Действительно откуда следует

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции Глава 6 Векторная алгебра 61 Линейные операции 1 Доказать, что векторы (1,2) и (2, 3) образуют базис на плоскости Найти в этом базисе координаты векторов (5,3) и ( 4,6) 2 Доказать, что векторы (1, 2, 3),

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее