5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА"

Транскрипт

1 5 УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА Основным динамическим уравнением квантовой механики описывающим эволюцию состояния микрочастицы во времени является уравнение Шрѐдингера: () Ĥ оператор Гамильтона в общем случае зависящий параметрически от времени t : Здесь функция описывающая нестационарное потенциальное силовое поле В квантовой механике эту функцию называют потенциалом Если силовое поле стационарное те виде то решение уравнения () можно представить в () E - энергия частицы значения которой определяются в задаче на собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона () Уравнение () для функции следующее из уравнения () при подстановке в него функции () называют стационарным уравнением Шрѐдингера Состояния частицы описываемые пси-функциями () называются стационарными Пси-функция удовлетворяющая уравнению () должна иметь некоторые общие свойства для любых потенциалов Именно она должна быть однозначной ограниченной и непрерывной во всем координатном пространстве а также обладать непрерывными частными производными во всех точках кроме тех функция делает бесконечно большой скачок Частица не может проникнуть в области пространства потенциал принимает бесконечно большое значение U Поэтому на границах этих областей пси-функция должна обращаться в нуль Перечисленные требования носят название стандартных условий Если потенциал обладает центральной симметрией т е U U() то стационарное уравнение Шрѐдингера удобнее всего решать в сферической системе координат Учитывая выражение для оператора Лапласа представить в виде в сферических координатах (см прил 9) оператор Гамильтона можно Задача 57 Найти в форме уравнения непрерывности закон сохранения к которому приводит вероятностная интерпретация квадрата модуля пси-функции частицы Решение Запишем уравнение Шрѐдингера Комплексное сопряжение уравнения () дает () () Умножая уравнения () и () на Y * получаем и Y соответственно а затем вычитая их друг из друга 5

2 или (см прил 8) Уравнение () легко представить в форме уравнения непрерывности () (4) * ( ) плотность вероятности; вектор плотности потока вероятности: Уравнение (4) и представляет собой искомый закон сохранения в локальной (дифференциальной) форме Полученному результату можно дать следующую классическую интерпретацию Если и умножить на заряд частицы q то получим плотность заряда тока Тогда уравнение (4) примет форму закона сохранения заряда q и плотность электрического (5) Задача 58 Найти: ) закон изменения во времени среднего значения A физической величины представляемой оператором Решение По определению ; ) условие сохранения среднего значения A A ˆ () Продифференцируем выражение () по времени с учетом того что оператор Â не зависит явно от времени: d A Aˆ Aˆ dt t t () Но согласно уравнению Шрѐдингера () Подставляя () в () и учитывая свойства скалярного произведения а также линейность оператора A и самосопряжѐнность оператора H получаем Наконец используя обозначение коммутатора приходим к следующему закону изменения A : (4) Из закона (4) очевидно следует что если ˆ ˆ d A H A то и следовательно dt A cost Таким образом если оператор поставленный в соответствие некоторой физической величине не зависит явно от времени и коммутирует с оператором Гамильтона то среднее значение этой физической величины не зависит от времени т е сохраняется 6

3 Задача 59 Используя результат решения предыдущей задачи показать что основному уравнению классической динамики сила действующая на частицу в потенциальном поле в квантовой механике соответствует уравнению вида Решение Согласно закону изменения квантовомеханического среднего (см задачу 58) Но Следовательно ˆ ˆ p H U ( ˆ ) m () () Так как коммутаторы всех операторов проекций импульса друг с другом равны нулю (см задачу 5) то первое слагаемое в () обращается в нуль Действительно для оператора любой проекции импульса например p имеем pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ p ˆ y y z z z z Второе слагаемое согласно результату решения задачи для самостоятельного решения в разделе 5 дает () Подставляя () в () получаем Но по определению Следовательно что и требовалось доказать Таким образом для квантовомеханических средних и справедлив «второй закон Ньютона» Задача 5 Найти энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний линейного осциллятора с частотой w Решение Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Шрѐдингера Hˆ ( ) E ( ) () с оператором Гамильтона соответствующим линейному осциллятору ˆ m H pˆ ˆ () m m масса осциллятора ˆ 7

4 Если нормированная собственная функция оператора () то умножая уравнение () справа скалярно на и вводя функции ˆ p и ˆ с учѐтом самосопряжѐнности операторов p ˆ и ˆ получаем E Hˆ m m pˆ ˆ ˆ ˆ p p m m ˆ ˆ m m так как согласно определению скалярного произведения ( ) и ( ) причем знак равенства имеет место при (те ) Таким образом мы установили что собственные значения оператора () положительны Введем теперь в рассмотрение операторы Умножим оператор слева на оператор : () Но (см задачу 5) Следовательно Совершенно аналогично находим Из (4) и (5) очевидно следует (4) (5) ˆ ˆ ˆ ˆ (6) (7) Из выражения (7) видно что достаточно решить задачу на собственные значения и собственные функции оператора ˆ ˆ ˆ те ˆ ( ) ( ) (8) Тогда те энергетический спектр осциллятора определяется формулой (9) Для того чтобы найти возможные значения l умножим уравнение (8) слева на оператор : ˆ ˆ ˆ () Но в соответствии с перестановочным соотношением (6) ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆˆ ˆ () Подставляя () в () получаем ˆ ˆ ( ) ˆ () Сравнивая уравнения () и (8) заключаем что функция â () также является собственной функцией оператора но принадлежит собственному значению 8

5 Умножая уравнение () снова слева на оператор приходим тем же путем к выводу что функция также является собственной функцией оператора L но с собственным значением и так далее те функция ( ˆ ) (4) является собственной функцией оператора L (а следовательно и H!) принадлежащей собственному значению Но тогда для всех собственные значения энергии (9) станут отрицательными что как мы установили невозможно Противоречие не возникает только в том случае если собственные значения l целочисленные так как при этом последовательность (4) обрывается на функции (те при ) удовлетворяющей согласно () уравнению ˆ (5) При этом в соответствии с уравнением (8) функция принадлежит собственному значению энергии Функция же принадлежит собственному значению энергии E (6) Таким образом энергетический спектр линейного осциллятора определяемый формулой (6) оказался квантованным Осталось построить в явном виде набор собственных функций Для этого найдем прежде всего функцию y Подставляя в (5) явное выражение () для оператора приходим к уравнению первого порядка Разделяя переменные получаем уравнение интегрирование которого дает откуда (7) Константу интегрирования c найдем из условия нормировки ( ) Принимая во внимание интеграл Пуассона получаем Не уменьшая общности можно взять d Итак нормированная пси-функция основного состояния линейного осциллятора (те состояния с наименьшей энергией ) имеет вид 9

6 Оператор â а следовательно и оператор ˆ Рассмотрим функцию Найдем действие на нее оператора ˆL (8) ˆ ˆ действуя на функцию y обращает ее в Но ˆ а Следовательно ˆLy =y те функция ~ является собственной функцией оператора L принадлежащей собственному значению l = Действуя аналогично для функции имеем и вообще (9) Для каждого функция (9) является собственной функцией оператора Ĥ принадлежащей собственному значению (6) Умножая на числовой множитель получим набор нормированных собственных функций оператора Ĥ ( ˆ ) c принадлежащих собственным значениям E образующих энергетический спектр квантового линейного осциллятора Определение явного вида нормировочных констант c производится совершенно аналогично тому как вычислялась нормировочная константа c для функции y Однако это задача второстепенная Отметим также что значение минимальной энергии линейного осциллятора в точности совпадает с найденным в задаче 5 с помощью соотношения неопределенностей Задача 5 Найти энергетический спектр и пси-функции частицы массой m заключенной в прямоугольный ящик со сторонами b c имеющий непроницаемые стенки Решение Поместим начало координат XYZ в одну из вершин ящика а координатные оси направим вдоль его сторон Тогда движение частицы будет происходить в ограниченной области пространства заданной неравенствами ; y b; z c () y b c m z Рис 5

7 Условие непроницаемости стенок ящика моделируются потенциалом вида y z V y z V ( V ) область пространства заданной неравенствами () Следовательно согласно стандартным условиям на стенках ящика Во внешности области ( V ) частица также находиться не может и поэтому в ней Стационарное уравнение Шрѐдингера в области ( V ) имеет в соответствии с () вид или () () Будем искать решение уравнения () в виде произведения трех функций (4) каждая из которых удовлетворяет одномерному уравнению Шрѐдингера d d (5) d dy d dz (6) Достаточно решить первое из этих уравнений чтобы по аналогии написать решения для двух других Общее решение уравнения (5) запишется в виде ( ) c si c cos (7) Константы c и c найдем используя граничные условия y () = и ( ) Это дает c c si (8) Поскольку нас интересует ненулевое решение те c то из уравнения (8) следует что si те (9) (случай исключается тк он приводит к ( ) ) Итак c ( ) si Так как функции ( ) и ( ) описывают одно и то же состояние а функция si нечѐтная то можно брать только положительными те Константу c найдем из условия нормировки (y y ) = : c c c c d d ( ) si cos si

8 Не снижая общности константу c можно взять действительной те c нормированные функции удовлетворяющие уравнению (5) имеют вид Таким образом ( ) si () Совершенно аналогично находим решение для двух других уравнений b () ( y) si y b b c ( z) si z c c Подставляя выражения (9) () и () в (6) получаем энергетический спектр частицы () () (4) (5) Подстановка функций () () и (4) в (4) приводит к следующему набору собственных функций () bc b c 8 si si si y z y z V y z V Здесь обозначено ( V ) ( V) ( S ) ( S) поверхность ящика Наиболее важным свойством рассмотренного движения является квантование энергии Дискретные значения энергии (уровни энергии) задаются набором трех квантовых чисел в соответствии с формулой (5) Основному состоянию (те состоянию с наименьшей энергией) отвечают квантовые числа и энергия Это означает что низшее энергетическое состояние микрочастицы в ящике с непроницаемыми стенками не является состоянием покоя Задача 5 Найти возможные значения энергии частицы с массой m находящейся в сферической полости с непроницаемыми стенками когда состояния частицы описываются сферически-симметричными пси-функциями Радиус полости Решение Так как по условию задачи () то стационарное уравнение Шрѐдингера Hˆ ( ) E ( ) () следует решать в сферической системе координат Тогда учитывая что угловая часть оператора Гамильтона обращает функцию y ( ) в нуль уравнение () перепишется так (см Приложение 9) Вводя величину d m d ( ) U( ) E U () () ; () (4)

9 и функцию (5) приходим с учетом () к уравнению описывающему движение частицы внутри полости: (6) которое нужно решать с граничными условиями () и ( ) ( ) ( ( ) вследствие непроницаемости стенок полости) Общее решение уравнения (6) запишется в виде (7) Из граничных условий вытекает что c а c si (8) Так как c то из (8) следует что (9) Тогда согласно (4) (5) (7) и (9) возможные значения энергии а соответствующие им пси-функции () c si ; () Константу c найдем из условия нормировки ( ) : o ( ) ( ) ( ) dv 4 c si d c cos d c Не уменьшая общности c можно взять действительной те c нормированных пси-функций соответствующих спектру () имеет вид и поэтому набор () si ; Задача 5 Показать что при некотором определяемом параметрами системы функция c c нормировочный множитель является решением стационарного уравнения Шрѐдингера для электрона в атоме водорода Найти в соответствующем этой пси-функции состоянии: ) энергию электрона; ) среднее и наиболее вероятное расстояние электрона до ядра Решение Оператор Гамильтона для электрона в атоме водорода имеет вид () m 9 кг масса электрона; 9 9 м/ф; 6 9 Кл элементарный заряд

10 Поскольку рассматриваемая пси-функция является центрально-симметричной то уравнение Шрѐдингера для нее отвечающее оператору Гамильтона () запишется так (см предыдущую задачу): или () Вычисляя вторую производную по от функции Подставляя c c находим d ( ) d d c c d d d а также выражение () в () и приводя подобные члены получаем () Так как то что возможно при всех значениях переменной если Откуда (4) (5) Подставляя в (5) численные значения m и а также учитывая что Дж с 9 эв 6 Дж получаем E 6 эв Используя результаты решения задачи 55 запишем ; E Подставляя в эти формулы численные значения констант находим вер 5 м 5 8 Рассмотренное состояние является основным состоянием электрона в атоме водорода с энергией 6 эв При этом - имеет смысл наиболее вероятного расстояния электрона до ядра и носит название боровского радиуса Задача 54 Определить средний потенциал () электрического поля создаваемого ядром и электронным облаком атома водорода в основном состоянии 4

11 Решение Нормированная пси-функция основного состояния атома водорода имеет вид боровский радиус (см решения задач 55 и 5) B B () () Обозначим через - заряд электрона Тогда плотность заряда в электронном облаке соответствующем пси-функции () может быть записана в виде () B (см замечание к задаче 57) Средний потенциал электронного облака () можно найти из уравнения Пуассона считая что плотность заряда задана формулой () те B B 885 Ф/м электрическая постоянная Выражая оператор Лапласа в сферических координатах получаем уравнение d d B ( ) B Дважды интегрируя уравнение (4) приходим к выражению () (4) c B B (5) () c 4 Константы интегрирования c и c найдем из условия конечности потенциала (5) в начале координат и обращения его в нуль на бесконечности Первое условие дает c а второе 4 c Следовательно атома () Прибавляя к выражению (6) потенциал ядра B 4 4 (6) B () ( ) ( ) ( ) 4 4 получаем полный средний потенциал B B (7) Вблизи ядра те при B потенциал (7) совпадает с кулоновским () На больших 4 расстояниях от ядра те при B найденный потенциал экспоненциально убывает кулоновское поле ядра «экранируется» электронным облаком Задача 55 Найти вероятность прохождения микрочастицы через потенциальный барьер вида U( ) ; U ; 5

12 U U I II III Рис 5 Решение В соответствии с видом потенциала U() разделим всю область движения на три части как показано на рис 5 Уравнение Шрѐдингера в областях I и III имеет вид а в области II () () Уравнения () и () можно переписать в виде: () q (4) ; (5) Будем считать что частица проходит из области отрицательных значений Тогда решение уравнения () в области I можно представить в виде суммы двух пси-функций пси-функция «падающей» частицы: пси-функция «отраженной» частицы: В области III частица может двигаться только слева направо Поэтому решение уравнения () (пси-функция прошедших через барьер частиц) имеет вид i III ( ) прош c Для промежуточной области II общее решение уравнения (4) запишется в виде iq iq II () b b В качестве меры интенсивности отражения принимается отношение плотностей потоков отраженных и падающих частиц (коэффициент отражения): Мерой «проницаемости» барьера является отношение плотностей потоков прошедших и падающих частиц которое называется коэффициентом прохождения: 6

13 С учетом того что вектор плотности потока вероятности определяется формулой (см задачу 57) орт в направлении оси X находим Аналогично Следовательно коэффициенты отражения и прохождения имеют вид: c c ; c D c Для определения их явного вида необходимо воспользоваться условиями непрерывности псифункции и ее первой производной те положить на границах области Y I () = Y II (); I () II () ; II ( ) III ( ) ; II ( ) III ( ) Используя эти условия получаем систему уравнений для определения констант c c b и b через c : c c b b (6) q c c ( b b) (7) iq iq i b b c (8) iq iq i b b c (9) q Складывая уравнения (8) и (9) а затем вычитая из уравнения (8) уравнение (9) получаем b c q i( q) c i( q) b q Подставляя эти выражения в уравнения (6) и (7) и складывая их находим c c q q c q q i( q) i( q) i( q) i( q) i или принимая во внимание формулу Эйлера cos i si откуда i c c q q q q i cos( ) si( ) D i cos( q) ( q )si( q) q () 7

14 Если энергия частицы E больше высоты потенциального барьера те E U то согласно (5) q действительная величина и формула () перепишется в виде D ( q ) cos ( q) si ( q) 4q Если энергия частицы E меньше высоты потенциального барьера те E U то q чисто мнимая величина Тогда заменяя в формуле () q на iq и учитывая что cos( i q ) ch( q ) si( i q ) ish( q ) получаем или поскольку D i q ch( q ) q sh q q ch sh D 4 4 q q sh q ch q sh q 4 q q Таким образом в отличие от классической механики существует отличная от нуля вероятность нахождения частицы в области III и в случае E U Это чисто квантовомеханическое явление получившее название туннельного эффекта 8

15 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Показать что для квантовомеханических средних момента импульса частицы и момента силы имеет место классическое уравнение (см раздел 4): Считать что Показать что в центрально-симметричном потенциальном поле U () сохраняются квантовомеханические средние и L z Глубина прямоугольной потенциальной ямы равна U ширина (рис 5) Показать что энергия частицы E U может принимать только значения удовлетворяющие уравнению U U Рис 5 4 Используя результаты решения задачи 5 найти нормированную пси- функцию первого возбужденного состояния линейного осциллятора Ответ: 5 Найти энергетический спектр и нормированную пси-функцию основного состояния частицы массой m движущейся в потенциальном поле U = cost > (изотропный осциллятор) Ответ: ; i ( i = ); 6 Вычислить энергию электрона атома водорода в стационарном состоянии описываемом псифункцией ( ) c( ) c некоторые постоянные Ответ: эв; ( 885 Ф/м) 7 В условиях задачи 55 найти коэффициент отражения Ответ: q q si( ) qcos( q) i( q )si( q) 8 Найти коэффициент отражения от потенциального барьера вида Ответ: ; U( ) E E U U E E U 9

Уравнение Шредингера. Волновая функция и её статистический смысл

Уравнение Шредингера. Волновая функция и её статистический смысл Уравнение Шредингера Волновая функция и её статистический смысл Волновая функция и её статистический смысл Квантовая механика описывает законы движения и взаимодействия микрочастиц с учѐтом их волновых

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Л. К. Мартинсон, Е. В. Смирнов

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Л. К. Мартинсон, Е. В. Смирнов Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Л К Мартинсон Е В Смирнов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ РАЗДЕЛ «ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КВАНТОВЫХ

Подробнее

18.1. Основные понятия и соотношения.

18.1. Основные понятия и соотношения. Тема 8. Уравнение Шредингера. Одномерный бесконечно глубокий потенциальный ящик. Потенциальный барьер. Атом водорода. Молекулы. 8.. Основные понятия и соотношения. Волновая функция ( или пси функция) В

Подробнее

Л Е К Ц И Я 3 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор ψ :

Л Е К Ц И Я 3 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор ψ : Л Е К Ц И Я 3 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Рассмотрим простой пример движения частицы Пусть ее состояние таково, что координата частицы имеет определенное значение x Это значит, что соответствующий

Подробнее

Лекция 9. Уравнение Шредингера. Операторы физических величин

Лекция 9. Уравнение Шредингера. Операторы физических величин Лекция 9. Уравнение Шредингера. Операторы физических величин Уравнение Шредингера Уравнение Шредингера в квантовой механике постулируется точно так же, как в классической механике постулируются уравнения

Подробнее

Глава 8. Элементы квантовой механики

Глава 8. Элементы квантовой механики Глава 8 Элементы квантовой механики Задачи атомной физики решаются методами квантовой теории которая принципиально отличается от классической механики Решение задачи о движении тела макроскопических размеров

Подробнее

Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера Уравнение Шредингера Уравнение движения свободной частицы Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией E (r 3/ ikr ( t), t) ( ) e 3/ ( ) e i ( pr Et) Дифференциальные уравнения, описывающие

Подробнее

Лекция 8. Основные положения квантовой теории. Волновая функция

Лекция 8. Основные положения квантовой теории. Волновая функция Лекция 8. Основные положения квантовой теории. Волновая функция Основные положения квантовой теории. Состояние квантовой частицы. В квантовой механике состояние частицы или системы частиц задается волновой

Подробнее

Глава 9. Стационарное уравнение Шредингера

Глава 9. Стационарное уравнение Шредингера Глава 9. Стационарное уравнение Шредингера Особое место занимают задачи, в которых потенциальная энергия зависит только координат: U t = 0. Такие состояния называются стационарными, так как в них сохраняется

Подробнее

Лекция 11. Стационарные состояния одноэлектронных атомов

Лекция 11. Стационарные состояния одноэлектронных атомов Лекция. Стационарные состояния одноэлектронных атомов Четыре приближения в атомной физике Одной из основных задач атомной физики является описание состояний различных атомов. Особый интерес представляют

Подробнее

Лекция 8 Простейшие одномерные задачи квантовой механики: прямоугольный потенциальный барьер

Лекция 8 Простейшие одномерные задачи квантовой механики: прямоугольный потенциальный барьер Лекция 8 Простейшие одномерные задачи квантовой механики: прямоугольный потенциальный барьер Прохождение частицы через одномерный потенциальный барьер: постановка задачи. Определение коэффициентов отражения

Подробнее

Оператор квадрата момента импульса (МИ). Оператор квадрата МИ определяется, как и обычный квадрат МИ через проекции:

Оператор квадрата момента импульса (МИ). Оператор квадрата МИ определяется, как и обычный квадрат МИ через проекции: 3.9. Оператор квадрата момента импульса. Сферические функции. 3.9.. Оператор квадрата момента импульса (МИ). Оператор квадрата МИ определяется, как и обычный квадрат МИ через проекции: (3.9.) Для анализа

Подробнее

3.4. Потенциальные барьеры.

3.4. Потенциальные барьеры. 3.. Потенциальные барьеры. 3... Понятие потенциального барьера Одномерный потенциальный барьер определяется зависимостью потенциальной энергии от координаты. Если на каком-то участке координаты потенциальная

Подробнее

Лекция 2. Основные понятия квантовой механики.

Лекция 2. Основные понятия квантовой механики. Лекция 2. Основные понятия квантовой механики. 2.1. Принцип неопределенности. Глубокое противоречие классической механики с экспериментом (при изучении микромира) свидетельствует о том, что построение

Подробнее

, pˆ. Оператор импульса p определяется через операторы его проекций (например, на декартовы оси координат): v x. . x

, pˆ. Оператор импульса p определяется через операторы его проекций (например, на декартовы оси координат): v x. . x Лекция 3. Постулаты квантовой механики. 3.. Операторы основных физических величин. Подобно тому, как в классической механике свойства системы могут быть выражены заданием координат и импульсов всех частиц,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

БИЛЕТЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (ФУПМ, зима 2015/2016 года)

БИЛЕТЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (ФУПМ, зима 2015/2016 года) БИЛЕТЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (ФУПМ, зима 2015/2016 года) Билет 1 1. Принцип линейной суперпозиции состояний. Состояния физической системы как векторы гильбертова пространства. 2. Стационарная

Подробнее

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 6 Разделение переменных в декартовых координатах 1.1. (Задача 1.49) Плоскость z = заряжена с плотностью σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), где σ, α, β постоянные.

Подробнее

3. Понятие потенциальной возможности: предсказание эксперименального результата (потенциальные возможности реализуются в вероятности).

3. Понятие потенциальной возможности: предсказание эксперименального результата (потенциальные возможности реализуются в вероятности). Первый КВАНТМИНИМУМ, полный (версия 1.β2). c Katarios (katarios@nightmail.ru). ПРОВЕРЬТЕ ПРЕЖДЕ ЧЕМ УЧИТЬ, ВОЗМОЖНЫ ОЧЕПЯТКИ!!! 1. Понятие вероятности: Пусть величина A принимает дискретный ряд значений;

Подробнее

БИЛЕТЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (ФРТК, осень 2009 года)

БИЛЕТЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (ФРТК, осень 2009 года) БИЛЕТЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (ФРТК, осень 2009 года) Билет 1 1. Принцип суперпозиции состояний. Состояния физической системы как векторы гильбертова пространства. 2. Стационарная теория возмущений

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t)

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t) 1 Кинематика точки Задачи (,, положительные постоянные, e, e, ez - орты осей X, Y и Z) 1 Материальная точка движется вдоль оси по закону: ( ) cos ω Найдите проекцию скорости V () Материальная точка движется

Подробнее

Кратность вырождения дискретного спектра в одномерном случае. lˆ Z. Асимптотическое поведение радиаль- Вид оператора эволюции для консерваной

Кратность вырождения дискретного спектра в одномерном случае. lˆ Z. Асимптотическое поведение радиаль- Вид оператора эволюции для консерваной Кратность вырождения дискретного спектра в одномерном случае. lˆ Z l, m =? Асимптотическое поведение радиаль- Вид оператора эволюции для консерваной функции R ( r)? тивной системы. l r Какова чётность

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени СА Есенина» ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В

Подробнее

R, и Φ уравнения. Угловые волновые функции

R, и Φ уравнения. Угловые волновые функции Атом водорода 1. R, и уравнения. Угловые волновые функции. Радиальные волновые функции 3. Полная волновая функция и энергия водородоподобного атома 4. Следствия 5. Магнитный момент электрона в атоме. Спин

Подробнее

10. Векторный и скалярный потенциалы

10. Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы Уравнения Максвелла это, в общем случае, сложные интегральнодифференциальные уравнения, поэтому непосредственно их решать относительно трудно Были введены две вспомогательные

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Описание атома на основе свойств частиц вакуума Якубовский Е.Г.

Описание атома на основе свойств частиц вакуума Якубовский Е.Г. Описание атома на основе свойств частиц вакуума Якубовский ЕГ e-a aubov@abeu Внутренность элементарной частицы описывается четырехмерным комплексным пространством Пересчитывая волновое уравнение в комплексном

Подробнее

Все члены уравнения Шредингера для атома водорода (и водородоподобных

Все члены уравнения Шредингера для атома водорода (и водородоподобных Лекция Решение уравнения Шредингера для атома водорода и водородоподобных атомов Уравнение Шредингера для атома водорода Все члены уравнения Шредингера для атома водорода и водородоподобных атомов имеющих

Подробнее

НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Калужский филиал И.Н. Радченко НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Методические указания к проведению семинарского занятия

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э. БАУМАНА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э. БАУМАНА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ НЭ БАУМАНА ЛК Мартинсон ЕВ Смирнов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ РАЗДЕЛ «УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ

Подробнее

1. Постоянное электрическое поле в вакууме.

1. Постоянное электрическое поле в вакууме. Постоянное электрическое поле в вакууме Закон Кулона: F e, πε где F - сила, действующая на точечный заряд со стороны точечного заряда, расстояние между зарядами, e - единичный вектор, направленный от заряда

Подробнее

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ. Решение временного уравнения Шредингера

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ. Решение временного уравнения Шредингера УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ Решение временного уравнения Шредингера Y( x y z t) i = - DY( x y z t) + U( x y z t) Y( x y z t) t m в том случае когда силовое поле стационарно то есть

Подробнее

ГЛАВА 13. Лагранжев формализм в СТО

ГЛАВА 13. Лагранжев формализм в СТО ГЛАВА 3 Лагранжев формализм в СТО 3.. О вариационном методе в механике В данной главе уравнения движения, импульс и энергия релятивистской частицы будут получены вариационным методом. Общим принципом,

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Л Е К Ц И Я 10 ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Л Е К Ц И Я 10 ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Л Е К Ц И Я 0 ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Дальше мы намерены перейти к анализу движения частицы в центральном поле. Как и в классической физике, здесь очень важную роль играет момент импульса. Но в квантовой

Подробнее

2. Энергетический спектр и радиальные волновые функции стационарных состояний атома водорода. Главное и радиальное квантовые числа

2. Энергетический спектр и радиальные волновые функции стационарных состояний атома водорода. Главное и радиальное квантовые числа 2 Энергетический спектр и радиальные волновые функции стационарных состояний атома водорода Главное и радиальное квантовые числа В силу условия нормировки (922) не должно быть неограниченных решений (1012)

Подробнее

Волна де Бройля для свободной частицы введена нами выше

Волна де Бройля для свободной частицы введена нами выше Глава. Стационарные состояния квантовой частицы в одномерном потенциальном поле. Волна де Бройля для свободной частицы введена нами выше W Pr Ψ (,) rt = Aexp i t+ i () причем выражение () является комплексной

Подробнее

ДИДАКТИЧЕСКАЯ ЕДИНИЦА 6: КВАНТОВАЯ ФИЗИКА, ФИЗИКА АТОМА

ДИДАКТИЧЕСКАЯ ЕДИНИЦА 6: КВАНТОВАЯ ФИЗИКА, ФИЗИКА АТОМА ДИДАКТИЧЕСКАЯ ЕДИНИЦА 6: КВАНТОВАЯ ФИЗИКА, ФИЗИКА АТОМА Задание Если протон и - частица двигаются с одинаковыми скоростями, то отношения их длин волн де Бройля / равно.. 3. 4 4. / p Задание Волновая функция

Подробнее

dt x (скобки означают усреднение по квантовому состоянию). 10. Состояние частицы описывается нормированной волновой функцией ψ ( x)

dt x (скобки означают усреднение по квантовому состоянию). 10. Состояние частицы описывается нормированной волновой функцией ψ ( x) Первые модели атомов 1. Считая, что энергия ионизации атома водорода E=13.6 эв, найдите его радиус, согласно модели Томсона.. Найти относительное число частиц рассеянных в интервале углов от θ 1 до θ в

Подробнее

Волновые уравнения квантовой механики

Волновые уравнения квантовой механики 1 Введение Волновые уравнения квантовой механики Львов Олег Сергеевич Несмотря на важную роль и широкое использование уравнения Клейна-Гордона в релятивистской квантовой механике (КМ) [1, 2] некоторые

Подробнее

Лекция 4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ. циала U 1. r =. Тогда

Лекция 4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ. циала U 1. r =. Тогда Лекция 4 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 1 Потенциальное векторное поле Соленоидальное векторное поле 3 Гармоническое поле 4 Операторы Гамильтона и Лапласа 1 Потенциальное векторное поле Определение 1

Подробнее

Факультатив. Дополнение к теореме Лармора. Мы доказали, что в магнитном поле электронная оболочка может e вращаться с частотой Ω= B.

Факультатив. Дополнение к теореме Лармора. Мы доказали, что в магнитном поле электронная оболочка может e вращаться с частотой Ω= B. Факультатив. Дополнение к теореме Лармора. Мы доказали, что в магнитном поле электронная оболочка может вращаться с частотой Ω= B. Однако будет ли она раскручиваться при включении магнитного поля? Оказывается,

Подробнее

АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени СА Есенина» АП Мелехов АТОМ ВОДОРОДА В

Подробнее

Постулаты квантовой механики

Постулаты квантовой механики Лекция 3 Постулаты квантовой механики 1. Волновая функция. Операторы наблюдаемых физических величин 3. Измерения в квантовой механике 4. Уравнение Шредингера 5. Принцип суперпозиции 1. Волновая функция

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА ВОДОРОДА

КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА ВОДОРОДА КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА ВОДОРОДА Рассмотрим водородоподобный атом с последовательных квантово-механических позиций. Будем полагать, что такой атом содержит один электрон, а ядро имеет заряд

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ЛЕКЦИЯ 5 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) ЛЕКЦИЯ 5 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) В прошлый раз рассматривалась потенциальная яма с бесконечно высокими стенками. Было показано, что в этом случае имеет место квантование. Частица, находящийся в

Подробнее

Основные формулы и определения. Рассмотрим законы теплового излучения абсолютно черного тела: закон Стефана Больцмана и закон смещения Вина.

Основные формулы и определения. Рассмотрим законы теплового излучения абсолютно черного тела: закон Стефана Больцмана и закон смещения Вина. 7 Квантовая физика Основные формулы и определения Рассмотрим законы теплового излучения абсолютно черного тела: закон Стефана Больцмана и закон смещения Вина. По закону Стефана Больцмана энергетическая

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Занятие 22 Тема: Волновая природа микрочастиц. Цель: Волна де Бройля. Соотношения неопределенностей. Модель Бора атома водорода.

Занятие 22 Тема: Волновая природа микрочастиц. Цель: Волна де Бройля. Соотношения неопределенностей. Модель Бора атома водорода. Занятие Тема: Волновая природа микрочастиц. Цель: Волна де Бройля. Соотношения неопределенностей. Модель Бора атома водорода. Краткая теория Волна де Бройля. Концепция корпускулярно-волнового дуализма,

Подробнее

масса электрона, h постоянная Планка, e заряд ( Ψ Ψ Ψ Ψ) . (2) m В сферической системе координат составляющими оператора являются, поэтому: 2 e Ψ Ψ

масса электрона, h постоянная Планка, e заряд ( Ψ Ψ Ψ Ψ) . (2) m В сферической системе координат составляющими оператора являются, поэтому: 2 e Ψ Ψ Лекция 4. Магнитные свойства элементарных частиц и атомов. Спин-орбитальное взаимодействие Орбитальный момент электрона Магнетизм атома обусловлен тремя причинами: а) орбитальным движением электронов;

Подробнее

Физика Часть III «Элементы квантовой механики»

Физика Часть III «Элементы квантовой механики» Боднарь О.Б. Физика Часть III «Элементы квантовой механики» лекции и решения задач Москва, 15 Лекции 3,4. Элементы квантовой механики 3.1. Гипотеза де Бройля. Опытное обоснование корпускулярно-волнового

Подробнее

8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ

8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ 8 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ Рассмотрим электромагнитное поле движущегося произвольным образом точечного заряда Оно описывается запаздывающими потенциалами которые запишем в виде

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Движение заряженных частиц в электрическом поле

Движение заряженных частиц в электрическом поле Движение заряженных частиц в электрическом поле Основные теоретические сведения На заряд Q, помещенный в электростатическое поле напряженностью E действует кулоновская сила, равная F QE Если напряженность

Подробнее

ЧАСТЬ 4. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ

ЧАСТЬ 4. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ ЧАСТЬ 4. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ КОРПУСКУЛЯРНО ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ ЧАСТИЦ МАТЕРИИ Есть две формы существования материи: вещество и поле. Вещество состоит из частиц, «сцементированных» полем. Именно посредством

Подробнее

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1)

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1) 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид ot E, div E ρ (4 Безвихревой характер поля позволяет ввести скалярный потенциал электрического поля: E gad, для которого

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ДЛЯ ХИМИКОВ

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ДЛЯ ХИМИКОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова П.А. Форш ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ДЛЯ ХИМИКОВ Москва 2010 Оглавление Предисловие... 3 Глава 1. Ньютоновская механика... 4 1. Уравнения

Подробнее

ГЛАВА 5. Плоские волны

ГЛАВА 5. Плоские волны ГЛАВА 5 Плоские волны Излучатель электромагнитной волны создает вокруг себя фронт этих волн На больших расстояниях от излучателя волну можно считать сферической Но на очень больших расстояниях от излучателя

Подробнее

заряд электронной оболочки.

заряд электронной оболочки. Взаимодействие света с веществом Экзамен Модель атома Томсона Комплексная поляризуемость атомов Когда Томсон придумывал свою модель атома, еще не было известно, что в атоме есть положительное ядро Томсон

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

ГЛАВА 2. Электростатика

ГЛАВА 2. Электростатика ГЛАВА Электростатика Электростатика это раздел электродинамики, в котором рассматриваются электромагнитные процессы, не изменяющиеся во времени Точнее, т к заряды считаются неподвижными, то в СО, связанной

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Л Е К Ц И Я 2. СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение

Л Е К Ц И Я 2. СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение Л Е К Ц И Я 2 СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение Согласно принципу, если система может находиться в состояниях ψ 1 и ψ 2, то она может находиться и в состоянии ψ, описываемом

Подробнее

2m 2m dx. 2m 2. u(x) i i i i. (i) u + (а) min. (б) min. (г) u E. u min

2m 2m dx. 2m 2. u(x) i i i i. (i) u + (а) min. (б) min. (г) u E. u min 35 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ Гамильтониан имеет вид ˆ ˆ Ρ d H = + u ( ˆ ) = + u ( ), m m d и стационарное уравнение Шредингера записывается как m Ĥ E = E E : E() + [ E u() ] E() = Его следует решать с граничными

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

ЛЕКЦИЯ 2 ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ЛЕКЦИЯ 2 ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА 1 Δl Для фотона справедливы следующие формулы: E = ħω, p = ħk. Но мы знаем, что в зависимости от того, какой эксперимент мы проводим, свет ведет себя или

Подробнее

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА 2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА Поток вектора напряжённости электростатического поля сквозь поверхность. Используя закон Кулона, можно доказать электростатическую теорему Гаусса. Для этого необходимо

Подробнее

Глава 2. Излучение абсолютно черного тела

Глава 2. Излучение абсолютно черного тела Глава Излучение абсолютно черного тела В физике часто рассматривается модель, в которой тело находится в термодинамическом равновесии с собственным излучением В этом случае принято говорить о «чёрном теле»

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Рассмотрим теперь последовательное соединение двух конденсаторов. При последовательном соединении конденсаторов. Тогда

Рассмотрим теперь последовательное соединение двух конденсаторов. При последовательном соединении конденсаторов. Тогда Экзамен. Электрическая емкость параллельного и последовательного соединения конденсаторов. Пусть два конденсатора с емкостями C и C соединены параллельно и помещены в черный ящик, из которого торчат два

Подробнее

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение.

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение. УДК 539.3 А. В. М а н ж и р о в, С. А. Л ы ч е в, С. И. К у з н е ц о в, И. Ф е д о т о в АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В РАСТУЩЕМ ШАРЕ Работа посвящена исследованию эволюции температурного

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Динамика солитонов во внешних полях Ю.П. РЫБАКОВ

Динамика солитонов во внешних полях Ю.П. РЫБАКОВ Динамика солитонов во внешних полях Ю.П. РЫБАКОВ Содержание Стационарные солитоны и их устойчивость Принцип нелинейного резонанса Д. Бома Динамика солитонов во внешнем поле Обозначения φ(, ) - полевая

Подробнее

Квантовые числа. Орбитальное и магнитное квантовые числа

Квантовые числа. Орбитальное и магнитное квантовые числа Квантовые числа Орбитальное и магнитное квантовые числа Уравнению Шрѐдингера удовлетворяют собственные функции, которые определяются 3-мя квантовыми числами: n главное, l орбитальное, m l магнитное. n

Подробнее

1.15. Рассеяние частиц. Эффективное сечение.

1.15. Рассеяние частиц. Эффективное сечение. 1 1.15. Рассеяние частиц. Эффективное сечение. 1.15.1. Рассеяние на силовом центре. Рассмотрим снова рассеяние на силовом центре (или в качестве силового центра возьмем центр инерции двух сталкивающихся

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Определение времени жизни элементарной частицы Якубовский Е.Г.

Определение времени жизни элементарной частицы Якубовский Е.Г. 1 Определение времени жизни элементарной частицы Якубовский Е.Г. -ai yaubovsi@ab.u В данной статье определена граница времени жизни элементарных частиц и предложен алгоритм определяющий время жизни элементарных

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по дисциплине Квантовая механика и квантовая химия

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по дисциплине Квантовая механика и квантовая химия ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по дисциплине Квантовая механика и квантовая химия 04.03.01 Химия Общий профиль "Теоретическая и экспериментальная химия" Уровень подготовки бакалавр_ Вопросы к коллоквиумам Вопросы

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ

ЛЕКЦИЯ 6 ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ ЛЕКЦИЯ 6 ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ 1. Жесткий ротатор Двухатомная молекула является ротатором. Движение ротатора квантуется. Решим задачу квантового ротатора. Изобразим его на рисунке (6.1). Рис. 6.1 Груз

Подробнее

Глава 15. Теория Бора Зоммерфельда

Глава 15. Теория Бора Зоммерфельда Глава 15 Теория Бора Зоммерфельда Теория Бора, изложенная в предыдущей главе, отождествляет дискретное состояние атома с энергетическим уровнем В действительности атом, как всякая квантовая система, может

Подробнее

e единичный вектор (орт) вдоль направления r. r cos r er l e E r

e единичный вектор (орт) вдоль направления r. r cos r er l e E r 1 1.7. Потенциал и напряженность поля системы точечных зарядов. 1.7.1.Потенциал и напряженность поля электрического диполя. Точечный электрический диполь система -х одинаковых по величине, но разных по

Подробнее

Примеры решения задач. (м/с), где t время в секундах. В начальный момент времени t 0 = 0 частица находилась в

Примеры решения задач.  (м/с), где t время в секундах. В начальный момент времени t 0 = 0 частица находилась в Примеры решения задач Пример Частица движется так, что ее скорость изменяется со временем по закону υ( i j k (м/с, где время в секундах В начальный момент времени 0 0 частица находилась в точке с координатами

Подробнее

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа Глава 6 Приложения поверхностного интеграла 1-го типа 6.1 Необходимые сведения На прошлых занятиях мы уже освоили методы вычисления поверхностных интегралов 1-го типа, оперируя при этом преимущественно

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ДЛЯ ХИМИКОВ

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ДЛЯ ХИМИКОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ДЛЯ ХИМИКОВ П.А. Форш Москва, 2008 Предисловие...3 Глава 1. Ньютоновская механика...4 1. Уравнения Ньютона...4

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее