Задания отборочного этапа университетской олимпиады школьников «Бельчонок» учебного года по предмету «Математика» 5 класс

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задания отборочного этапа университетской олимпиады школьников «Бельчонок» учебного года по предмету «Математика» 5 класс"

Транскрипт

1 Задания отборочного этапа университетской олимпиады школьников «Бельчонок» учебного года по предмету «Математика» 5 класс На выполнение работы отводится 150 минут. Ответом на каждую задачу может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь без указания размерности, либо слово. Все численные ответы следует давать в единицах измерения, указанных в условии задачи. задания Балл за задание баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов Задание 1 Лисёнок и зайчонок весят столько, сколько 5 бельчат. Зайчонок весит столько, сколько 4 мышонка. Зайчонок и 2 мышонка весят столько, сколько 3 бельчонка. Сколько мышат уравновесят лисёнка? Ответ: 6 Задание 2 На совещании в лесу около Сибирского федерального университета присутствовали 50 бельчат. Бельчатам предлагались угощения грецкие и кедровые орехи. Известно, что 27 бельчат не ели грецкие орехи, а хоть что-то ели 40 бельчат. Сколько бельчат ели только кедровые орехи? Ответ: 17 Задание 3 В ребусе ЛУЖА+ЛУЖА=УЖАС замените буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами разные цифры). В ответе запишите числовую интерпретацию слова УЖАС. Если ребус имеет больше одного решения, то в ответ запишите сумму всех возможных числовых интерпретаций слова УЖАС. Ответ: 9996

2 Задание 4 На рисунке изображена клетчатая рамка 10 10, состоящая из квадратиков 1 1. На какое наибольшее число различных частей можно разрезать эту рамку по границам клеток, чтобы сложить из них квадрат 6 6? Ответ: 9 Задание 5 В четырех дуплах было 164 ореха. Когда из первого дупла бельчата забрали 16, со второго в третье переложили 15, а в четвертое добавили 12 орехов, то во всех дуплах орехов оказалось поровну. Сколько орехов было первоначально в каждом дупле? Ответ: это задача на соответствие необходимо полное соответствие! Первое дупло 56 Второе дупло 55 Третье дупло 25 Четвертое дупло 28 Задание 6 Охранникам Сибирского федерального университета разрешают брать либо один выходной после 4 рабочих дней, либо два выходных после 7 рабочих дней. Какое максимальное количество выходных может быть у охранника за первые 60 календарных дней? Ответ: 13 Задание 7 Пятиклассник Серёжа переставляет буквы в названии города «АБАКАН» и выписывает только те слова (в том числе бессмысленные), в которых две буквы «А» не стоят рядом. Сколько слов выпишет Серёжа? Ответ: 24 Задание 8 Первокурсница Сибирского федерального университета Маша забыла пароль от личного кабинета пользователя. Она помнит, что пароль состоит из 10 цифр (первая цифра не ноль), которые образуют наименьшее чётное число с суммой цифр 53. Какой же пароль у Маши? Ответ: Задание 9 Шесть бельчат-спортсменов участвовали в забеге на 2019 метров в честь даты проведения Универсиады в Красноярске. Боря отстал от Вани и еще от двух бельчат. Гена финишировал после Димы, но ранее Жени. Дима опередил Ваню, но все же пришёл после Коли. Какое место занял каждый бельчонок?

3 Ответ: это задача на соответствие необходимо полное соответствие! 1 место Коля 2 место Дима 3 место Ваня 4 место Боря 5 место Гена 6 место Женя Задание 10 Первокурсницы Маша и Лена ели суп в столовой Сибирского федерального университета из одной тарелки. Есть девочки начали одновременно и не разговаривали. Если бы Маша ела со скоростью Лены, то суп они ели бы на 3 минуты дольше. Если бы Лена ела со скоростью Маши, то суп девочки съели бы на 2 минуты быстрее. За сколько минут Маша и Лена съели суп? Ответ: 12

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 6 класс На выполнение работы отводится 150 минут. Ответом на каждую задачу может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь без указания размерности, либо слово. Все численные ответы следует давать в единицах измерения, указанных в условии задачи. задания Балл за задание баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов Задание 1 Бельчонок попал в сказочную страну, где всё в 11 раз короче, чем в его лесу. Сколько коробок, изображенных на рисунке, из сказочной страны помещается в коробку бельчонка? Ответ: 1331 Задание 2 На рисунке представлен план детского лагеря, где когда-то проходила летняя образовательная школа СФУ «Бельчонок». План представляет собой прямоугольник, разбитый на шесть квадратных участков. Сторона маленького участка равна 200 м. Найдите в метрах сторону самого большого квадратного участника. Ответ: 1400 Задание 3 Каждый вечер две совы Букля и Джулия летают вокруг библиотеки Сибирского федерального университета без остановок ровно 10 минут. Они стартуют одновременно с одного места, летают с постоянными скоростями по одному и тому же кругу в одном направлении. Известно, что Букля пролетает один круг за 18 секунд, а Джулия в 3 раза медленнее. Сколько раз после старта Букля обгоняет Джулию? Ответ: 22 Задание 4 Первокурсница Сибирского федерального университета Лена забыла пароль от личного кабинета пользователя. Она помнит, что паролем является наибольшее

5 натуральное число, в записи которого все цифры различны, и при удалении в котором любой одной цифры нельзя получить число, делящееся на 9. Ответ: Задание 5 Алфавит бельчат, живущих в лесу около Сибирского федерального университета, содержит только три буквы С, Ф и У. Словом у бельчат называется любая комбинация из не более 3-х букв. Найдите количество слов в языке бельчат? Ответ: 39 Задание 6 Шестиклассница Маша записала на доске два числа, затем умножила в уме каждое из них на два и также записала полученные удвоенные числа на доску. Хулиган Вася стёр эти четыре числа и записал их на доске в каком-то другом порядке. Получилось Найдите сумму исходных четырех чисел, которые записывала на доске Маша. Ответ: 2625 Задание 7 В ребусе ИМЯ ИМЯ=ДАРЬЯ замените буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами разные цифры). В ответе запишите числовую интерпретацию слова ИМЯ. Если ребус имеет больше одного решения, то в ответ запишите сумму всех возможных числовых интерпретаций слова ИМЯ. Ответ: 556 Задание 8 На занятии по физической культуре 22 первокурсника играют в футбол. Оказалось, что 9 из них умеют бить по воротам с правой ноги, 14 с левой, а 5 и с той, и с другой. Сколько первокурсников вообще не умеют бить по воротам ногами? Ответ: 4 Задание 9 Сколько различных фигур, содержащих 5 клеток, с периметром равным 12, можно вырезать из клетчатого квадрата 3 3 по границам клеток? Фигуры считаются равными, если их можно точно совместить при наложении друг на друга, при этом их можно переворачивать и поворачивать. Ответ: 7 Задание 10 В детском оздоровительном лагере летней образовательной школы Сибирского федерального университета для четырёх отрядов устроили бал. Каждый из четырех мальчиков, все из разных отрядов: Андрей, Боря, Вова и Гена танцевал не в паре с

6 девочкой со своего отряда. Света танцевала с Андреем, Катя с мальчиком из отряда Юли, Боря с девочкой из отряда Вовы, а Вова с Машей. Кто с кем танцевал? Ответ: это задача на соответствие необходимо полное соответствие! Света Андрей Катя Боря Маша Вова Юля Гена

7 7 класс На выполнение работы отводится 150 минут. Ответом на каждую задачу может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь без указания размерности, либо слово. Все численные ответы следует давать в единицах измерения, указанных в условии задачи. задания Балл за задание баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов Задание 1 Сколько решений имеет уравнение НОД(14, n)=2, если 1 n 100? Ответ: 43 Задание 2 На рисунке представлен план детского лагеря, где когда-то проходила летняя образовательная школа СФУ «Бельчонок». План представляет собой квадратный участок, разбитый на шесть прямоугольных участков. Сумма периметров всех шести прямоугольных участков равна 30 км. Найдите в км2 площадь всего квадратного участка. Ответ: 9 Задание 3 Бельчата выложили по кругу 20 орехов, из которых n грецкие, а остальные кедровые. При каком наименьшем n обязательно найдутся два грецких ореха, между которыми лежат ровно 2 или ровно 8 орехов? Ответ: 11 Задание 4 Настя называет число «хорошим», если оно делится на 15. Сколько, по мнению Насти, «хороших» пятизначных чисел вида (x5y3z)? Ответ: 60

8 Задание5 В сквере около Сибирского федерального университета росли ели и берёзы. Берёз среди них было 80%. Весной в сквере посадили ещё клёны, после чего берёз стало 40%. А осенью посадили еще берёз, и берёз стало снова 80%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в сквере за год? Ответ: 6 Задание 6 Зимой Иван просыпается каждое утро в 08:30 и закладывает до упора ровно 5 кг угля в печь. Вечером, когда Иван ложится спать (каждый день в одно и то же время), он закладывает до упора ровно 7 кг угля в печь. Во сколько Иван ложится спать? Ответ запишите в формате hh:mm. Ответ: 22:30 Задание 7 Первокурсница Сибирского федерального университета Маша забыла пароль от личного кабинета пользователя. Она помнит, что паролем является наибольшее натуральное число, кратное 99, в записи которого все цифры различны. Какой же пароль у Маши? Ответ: Задание 8 Даны 5 слов: А, БВГ, ДГ, ЕЖ, ЖГ, ЗИКБ. Замените буквы цифрами (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами разные цифры) так, чтобы все слова стали точными квадратами некоторых натуральных чисел. В ответе запишите сумму А+БВГ+ДГ+ЕЖ+ЖГ+ЗИКБ. Ответ: 9738 Задание 9 Инструмент «СФУ-2016» умеет за одно использование находить два средних по весу из шести орехов. У бельчонка есть семь орехов различного веса. За какое наименьшее число использований «СФУ-2016» можно найти средний по весу орех? Ответ: 4 Задание 10 В вершинах K и M прямоугольника KLMN c периметром 45 сидит по бельчонку. Бельчата с постоянными скоростями одновременно двигаются по границам прямоугольника в разных направлениях. Так получилось, что первая встреча бельчат произошла в вершине N, а вторая в вершине K. Определите длину стороны KN прямоугольника. Ответ: 15

9 8 класс На выполнение работы отводится 150 минут. Ответом на каждую задачу может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь без указания размерности, либо слово. Все численные ответы следует давать в единицах измерения, указанных в условии задачи. задания Балл за задание баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов Задание 1 Дана трапеция ABCD. В ней AC=AD, BD=AB. Какая сторона трапеции является большим основанием? Ответ: AD, DA (это две возможные вариации ответа) Задание 2 Настя называет число «хорошим», если оно делится на 16. Сколько, по мнению Насти, «хороших» пятизначных чисел вида (xy16z)? Ответ: 90 Задание 3 Определите наименьшее значение суммы x + x+1 + x+2 + x+3 + x+4. Ответ: 6 Задание 4 Первокурсница Сибирского федерального университета Маша забыла пароль от своего личного кабинета пользователя. Она помнит, что паролем является наименьшее восьмизначное число, состоящее из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (каждая цифра входит в число ровно один раз) и сумма любых двух соседних цифр является простым числом. Какой же пароль у Маши? Правильный ответ: ) В остроугольном треугольнике KLM проведены высота KH и равная этой высоте медиана LD. На продолжении стороны KL за точку L взята точка P так, что LP=KL. Определите градусную меру LMP. Ответ: 30

10 Задание 5 В остроугольном треугольнике KLM проведены высота KH и равная этой высоте медиана LD. На продолжении стороны KL за точку L взята точка P так, что LP=KL. Определите градусную меру LMP. Ответ: 30 Задание 6 На доске записаны четыре выражения: A+B=6, A B=6, A:B=2, B:A=3. Какое наибольшее количество равенств может оказаться верным, если буквы заменить цифрами (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами разные цифры)? Ответ: 2 Задание 7 В мешке находятся 15 яблок и орехов на общую сумму 240 рублей, при этом все яблоки суммарно стоят столько же, сколько все орехи. Сколько рублей стоит один орех, если известно, что орехов (без яблок) большой мешок вмещает 12 штук, а яблок (без орехов) 16? Ответ: 10 Задание 8 Восьмиклассник Вася составил два натуральных числа a и b из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (каждая цифра использовалась ровно один раз). Какое наибольшее значение может принимать НОД(a,b)? Ответ: Задание 9 В лесу живут честные бельчата, которые всегда говорят правду и бельчата-лгуны, которые всегда лгут. 16 бельчат (среди них есть и честные, и лгуны) встали на квадратной доске 4 4 по одному на каждой клетке. Каждый бельчонок заявил: «Среди моих соседей лгунов и честных поровну» (соседями считаются бельчата, которые стоят в клетках, имеющих общую сторону). Сколько бельчат-лгунов стояло на доске? Ответ: 12 Задание 10 Прямоугольную таблицу 5 13 заполняют числами 0, 1 и 2. Если выбрать любой квадрат из четырех клеток, то в нём обязательно будут находиться три различных числа. Определите наибольшее значение, которое может принимать сумма всех чисел в этой таблице. Ответ: 92

11 9 класс На выполнение работы отводится 150 минут. Ответом на каждую задачу может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь без указания размерности, либо слово. Все численные ответы следует давать в единицах измерения, указанных в условии задачи. задания Балл за задание баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов Задание 1 Девятиклассница Жанна переставляет буквы в своем имени и выписывает только те слова (в том числе бессмысленные), в которых никакие две одинаковые буквы не стоят рядом. Сколько слов выпишет Жанна? Ответ: 6 Задание 2 Живущий в лесу Сибирского федерального университета бельчонок заметил, что если вычесть 16 раз из своего возраста через 16 лет тот возраст, что у него был 16 лет назад, то получится его возраст 16 лет назад. Сколько лет бельчонку сейчас? Ответ: 18 Задание 3 Найдите количество пар (p, q), где p и q простые числа, при которых уравнение x2+px+q=100 имеет два целых корня. Ответ: 5 Задание 4 Назовём число «особым», если его можно представить в виде m/2+n/5, где m и n целые числа, причём 0 m 100 и 0 n 100. В ответ запишите сумму всех «особых» чисел. Ответ: Задание 5 Внутри треугольника ABC с B=45 выбрана точка D так, что BD=6 и BAD= BCD=45. Найдите площадь четырехугольника BADC. Ответ: 18

12 Задание 6 На доске записали натуральное число N. Оказалось, что сумма остатков при делении N на 3, 6 и 9 равна 15. Определите остаток при делении N на 18. Ответ: 17 Задание 7 На круговой трассе длиной 1 км с постоянными скоростями ездят бельчатамотоциклисты Боря и Женя. Боря заметил, что Женя обгоняет его каждые 2 минуты. Тогда Боря в два раза увеличил скорость и уже сам стал обгонять Женю каждые 2 минуты. Найдите первоначальные скорости бельчат-мотоциклистов. В ответе запишите сумму полученных скоростей. Ответ: 150 Задание 8 Девятиклассник Саша записал в тетради два числа. Оказалось, что если уменьшить каждое из этих чисел на единицу, то произведение этих чисел не изменится. Найдите сумму записанных Сашей в тетради чисел. Ответ: 1 Здание 9 У бельчонка на счёте в банке 500 сфунтиков. В банкомате разрешается совершать любое количество операций двух типов: снимать 300 сфунтиков или вносить 198 сфунтиков. Найдите наибольшую сумму, которую сможет снять бельчонок со своего счёта в банкомате, если других сфунтиков с собой у него нет. Ответ: 498 Задание 10 В треугольнике ABC на медиане BM взяли точку D. Известно, что AB=80, BC=100. Сумма расстояний от точки D до сторон AB и BC равна 27. Чему равно произведение этих расстояний? Ответ: 180

13 10 класс На выполнение работы отводится 150 минут. Ответом на каждую задачу может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь без указания размерности, либо слово. Все численные ответы следует давать в единицах измерения, указанных в условии задачи. Задание 1 задания Балл за задание баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов Известно, что x/(y+z-x)=y/(x+z-y)=z/(x+y-z). Найдите наименьшее значение, которое может принимать выражение (x+y)(y+z)(z+x)/xyz. Ответ: -1 Задание 2 Вася записал у себя в тетради четырехзначное число, все цифры которого различны. Потом расставил цифры этого числа по убыванию и получил число, которое также записал в тетрадь.(например, из числа 5764 после такой операции получается 7654.) Найдите максимально возможную разность между полученным и исходным числами. Ответ: 8721 Задание 3 Стороны трапеции имеют длины 3 см, 6 см, 10 см и 11 см (в каком-то порядке), при этом известно, что стороны с длинами 10 и 11 см соседние. Найдите в cм2 наибольшую площадь такой трапеции. Ответ: 42 Задание 4 Девятиклассница Катя переставляет цифры в числе 2016 и выписывает только те четырёхзначные числа, которые делятся на 45. Сколько чисел выпишет Катя? Ответ: 6 Задание 5 Первокурсница Сибирского федерального университета Маша забыла пароль от личного кабинета пользователя. Она помнит, что паролем является девятизначное

14 число, делящееся на 9, в записи которого нет цифры 9. Найдите количество паролей, подходящих под описание Маши. Ответ: Задание 6 У Бельчонка есть 88 орехов, причём средний вес ореха равен 100 г. Бельчонок называет орех «небольшим», если его вес меньше 100 г. Оказалось, что средний вес «небольших» орехов равен 85 г., а средний вес остальных орехов равен 125 г. Сколько «небольших» орехов у бельчонка? Ответ: 55 Задание 7 Три спутника одновременно выведены на околоземную орбиту, по которой они вращаются с постоянными скоростями. Когда первый спутник сделал n оборотов, он на 80 оборотов обогнал второй и на 100 оборотов третий. Когда второй спутник сделал n оборотов, он обогнал третий на 25 оборотов. Найдите число n. Ответ: 400 Задание 8 График функции y=x2+ax+b пересекает ось абсцисс в точках K(1;0) и N, а ось ординат в точке M. Найдите градусную меру NMO, где O начало координат. Ответ: 45 Задание 9 Найдите трёхзначное число (SFU), для которого выполняется равенство: (SFU) =(S+F+U)^2+S+F+U. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами разные цифры.) Ответ: 156 Задание 10 В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Оказалось, что ABH= HBM= MBC. Найдите градусную меру наименьшего угла треугольника ABC. Ответ: 30

15 11 класс На выполнение работы отводится 150 минут. Ответом на каждую задачу может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь без указания размерности, либо слово. Все численные ответы следует давать в единицах измерения, указанных в условии задачи. Задание 1 задания Балл за задание баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов баллов Ученик 11-го класса Вова выписал в тетрадь все трёхзначные числа, для записи которых используется ровно две цифры 6. Найдите сумму всех выписанных Вовой чисел. Ответ: Задание 2 На координатной плоскости изображены множества точек, удовлетворяющих уравнениям y- y =0, x-10+ x-10 =0 и y-x+ y-x =0. Сколько точек с целыми координатами принадлежат всем трем множествам? Ответ: 66 Задание 3 В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O, а на стороне AB отмечена точка K, так что AK=KB. Оказалось, что AOK=90. Найдите (AB+BC)/AC. Ответ: 3 Задание 4 Найдите целую часть числа (6&2016). Ответ: 2016 Задание 5 Первокурсница Сибирского федерального университета Маша забыла пароль от личного кабинета пользователя. Она помнит, что паролем является наибольшее пятизначное число, в записи которого нет нулей, и при последовательном удалении в котором по цифре слева направо каждый раз будет получаться делитель предыдущего числа. Какой же пароль у Маши? Ответ: 95625

16 Задание 6 Из Красноярска в одном направлении выехали три мотоциклиста: Андрей, через 10 минут после Андрея Боря, через 20 минут после Бори Ваня (скорость каждого постоянна). Оказалось, что Ваня через 30 минут после своего выезда догнал Борю, а ещё рез 10 минут Андрея. Через сколько минут после выезда из Красноярска Боря догнал Андрея? Ответ: 200 Задание 7 Первокурсницы Катя, Лена и Маша побывали на четырёх разных постановках в театре. Оказалось, что ни одна из этих постановок не понравилась всем трём девочкам, но для каждой пары девочек есть постановка, которая понравился обеим. Сколько существует различных вариантов того, какие постановки понравились каким девочкам? Ответ: 132 Задание 8 Бельчонок попал в сказочную страну, где орехи могут превращаться друг в друга по следующим правилам: 3 кедровых орешка в один грецкий орех и один жёлудь; 3 грецких ореха в два кедровых орешка и один жёлудь. Какое наибольшее количество желудей можно получить из 2016 кедровых орешек? Ответ: 1150 Задание 9 Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC) с углом 20 при вершине B. На основании AC отметили точку K так, что AK:KC=1:2. Точка H проекция C на BK. Найдите градусную меру AHB. Ответ: 100 Задание 10 На доске записаны два положительных числа. Вася посчитал, что среднее арифметическое этих чисел равно 2 3, а среднее геометрическое равно 3. Определите модуль разности записанных на доске чисел. Ответ: 6

17 Задания заключительного этапа университетской олимпиады школьников «Бельчонок» учебного года по предмету «Математика» 5 класс Вариант 1 Задание 1 В сундучке лежало поровну рубинов и изумрудов. Колдун превратил каждый рубин в пять красных жуков, а каждый изумруд в трёх зелёных жуков. Жуков оказалось больше 50. Какое наименьшее число изумрудов могло лежать в сундучке? Решение: Каждая пара камней (рубин + изумруд) превратилась в 8 жуков. Значит, число жуков должно делиться на 8. Наименьшее подходящее число 56. Значит, пар камней было 56: 8=7, и столько же было изумрудов. Ответ: 7 Задание 2 Можно ли в квадрате 4 4 покрасить половину клеток в чёрный цвет так, чтобы ни в одном квадрате 2 2 чёрных и белых клеток не было бы поровну? Решение Например, так: Ответ: да Задание 3 По лесу гуляло много бельчат, И каждый встретил восемь ежат. Каждый ежонок был очень рад, Так как встретил двенадцать бельчат! Вместе бельчат и ежат шестьдесят, Сколько же было из них бельчат? Решение: Число встреч равно как числу бельчат, умноженному на 8, так и числу ежат, умноженному на 12. Отсюда число бельчат относится к числу ежат как 12 к 8. Деля 60 в этом отношении, получаем 36 и 24. Ответ: 36

18 Задание 4 У Миши были яблоки и апельсины, у Пети апельсины и груши, у Васи яблоки и груши. Рядом стояли пустые корзинки. Каждый из детей положил в корзинку по одному фрукту. Оказалось, что в любые две корзинки хотя бы один из детей положил разные фрукты. Могло ли корзинок быть 9? Решение: Обозначим фрукты буквами: у Миши Я, А, у Пети а, Г, у Васи я, г. Возможные составы корзинок: Яая, Яаг, ЯГя, ЯГг, Аая, Ааг, АГя, АГг, всего 8. Если корзинок 9, то состав 9-й корзинки совпадает с какой-нибудь, и в эти две корзинки каждый из детей положил одни и те же фрукты, то есть условие не выполняется. Ответ: нет Задание 5 Бельчонок Гоша сказал: если не считать меня, тут бельчат в 4 раза больше, чем зайчат. А Тоша сказал: если не считать меня, тут зайчат на 20 меньше, чем бельчат. Кем был Тоша, зайчонком или бельчонком? Решение: Пусть Тоша был бельчонком. Тогда число бельчат, не считая Гоши, и число бельчат, не считая Тоши, одно и то же, и это число в 4 раза больше числа зайчат. Тогда разность этих чисел равна утроенному числу зайчат. Но по условию эта разность равна 20, а 20 не делится на 3. Значит, Тоша не может быть бельчонком. Пусть теперь Тоша зайчонок. Тогда, если считать и его, зайчат на 19 меньше, чем бельчат. А бельчат вместе с Гошей на 1 больше учетверённого числа зайчат. Тогда утроенное число зайчат плюс один равно 19, откуда число зайчат равно 6. Проверим выполнение условий. Без зайчонка Тоши есть пятеро зайчат, бельчат на 20 больше, то есть их 25. Без бельчонка Гоши их 24, и это в 4 раза больше числа зайчат. Ответ: зайчонком

19 5 класс Вариант 2 Задание 1 Бабушка испекла больше 60 блинчиков, и часть начинила творогом, а часть вишнями. Каждый мальчик съел 4 блинчика с творогом, а каждая девочка 3 блинчика с вишнями, и блинчиков не осталось. Мальчиков и девочек было поровну. Каково наименьшее возможное число мальчиков? Решение: Каждая пара детей (мальчик и девочка) съела 7 блинчиков. Значит, число блинчиков должно делиться на 7. Наименьшее подходящее число 63. Значит, пар детей было 63: 7=9, и столько же было мальчиков. Ответ: 9 Задание 2 Фермер посадил 16 морковок в виде квадрата 4 4 (см. рисунок). Ночью заяц выдернул несколько морковок так, что никакие 4 из оставшихся не являлись вершинами квадрата со сторонами, направленными как у большого квадрата (наклонные квадраты рассматривать не надо). Какое наименьшее количество морковок выдернул заяц? Решение: Если выдернуть 4 морковки, как указано на рисунке, то никакие 4 из оставшихся не являются вершинами квадрата. Меньшим числом обойтись нельзя, так как в каждом из четырёх маленьких квадратов 2 2 необходимо убрать хотя бы одну морковку. Ответ: 4 Задание 3 У каждого зайчонка семь друзей бельчат. У каждого бельчонка пять друзей зайчат. Вместе тридцать шесть зверят, Сколько же из них бельчат? Решение: Число дружб равно как числу бельчат, умноженному на 5, так и числу зайчат, умноженному на 7. Отсюда число бельчат относится к числу зайчат как 7 к 5. Деля 36 в этом отношении, получаем 21 и 15. Ответ: 21

20 Задание 4 Три мальчика набрали в поле цветов: первый ромашек и васильков, второй васильков и маков, третий маков и ромашек. Они встретили несколько девочек, и каждый мальчик дал каждой девочке по одному цветку. Оказалось, что любым двум девочкам хотя бы один мальчик дал разные цветы. Каково наибольшее число девочек, которые получили ромашку, василёк и мак? Решение: Обозначим цветы буквами: у первого Р, В, у второго в, М, у третьего м, р. Возможные составы букетов: Рвр, Рвм, РМр, РМм, Ввр, Ввг, ВМр, ВМм, всего 8. Из них два букета состоят из ромашки, василька и мака Рвм и ВМр. Если девочек больше 8, то их букеты совпадают с какими-то из первых 8, и в совпадающие букеты каждый мальчик положил одни и те же цветы, то есть условие не выполняется. Ответ: 2 Задание 5 У запасливого бельчонка есть еловые, кедровые и сосновые шишки. Половину от общего количества шишек составляли кедровые шишки, еловых шишек было на 26 меньше, чем кедровых. А сосновых шишек было в два раза меньше, чем кедровых и еловых вместе. Сколько шишек каждого вида у бельчонка? Решение: Так как кедровых шишек половина от общего количества, то еловых и сосновых вместе столько же, сколько кедровых. При этом еловых шишек на 26 меньше, чем кедровых, следовательно, эти 26 шишек сосновые. Кедровых и еловых шишек в два раза больше, чем сосновых, то есть их 26 2=52, значит, всего шишек было 52+26=78. Тогда кедровых шишек половина от общего количества, то есть 78 2=39, сосновых 26, а еловых 39-26=13. Ответ: 39 кедровых шишек, 26 сосновых шишек, 13 еловых шишек

21 6 класс Задание 1 Вариант 1 В корзине лежали орехи. Первый бельчонок схватил треть орехов и убежал. Второй взял треть оставшихся орехов. Третий взял четыре ореха треть от числа орехов, которые он обнаружил. Сколько орехов было первоначально в корзине? Решение: Третий бельчонок взял 4 ореха. Значит, увидел он 4 3=12 орехов, которые оставил второй бельчонок. Значит, второй бельчонок взял 6 орехов, а увидел 18. Первый бельчонок схватил 9 орехов. Поэтому всего в корзине первоначально было 18+9=27 орехов. Ответ: 27 орехов Задание 3 Расставьте в каждой клетке прямоугольника 4 5 десять цифр 1, пять цифр 2 и пять цифр 4 так, чтобы в любой фигуре (см. рисунок) сумма чисел не была равна 8. (Фигуру можно поворачивать и переворачивать.) Решение и ответ Например, так: Задание 3 На школьную олимпиаду пришли бельчата из двух разных классов: Боря, Вася, Гена, Женя, Катя, Лена, Паша. Всех бельчат спросили: «Сколько здесь тех, кто учится с тобой в одном классе?». В ответ каждый из них честно сказал «2» или «3». Но бельчатамальчики думали, что их спросили только про бельчат-мальчиков из их класса, бельчатадевочки же отвечали про всех. Назовите полное имя Жени. Решение: Пол каждого бельчонка, кроме Жени, определяется по именам однозначно, поэтому бельчат-мальчиков на олимпиаде либо 4, либо 5. Предположим, что какие-то бельчата-мальчики учатся в разных классах, тогда их ответы показывают, что на олимпиаду пришло не менее трех бельчат-мальчиков из каждого класса. Противоречие. Следовательно, все присутствующие бельчата-мальчики одноклассники, но тогда их не могло быть пятеро. Значит, Женя девочка. Отметим, что описанная ситуация возможна. Действительно, если Женя девочка, то четверо бельчат-мальчиков учатся в одном классе, а трое бельчат-девочек в другом. При этом каждый из бельчат-мальчиков дал ответ «3», а каждая из бельчат-девочек «2». Ответ: Евгения

22 Задание 4 Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 9, в записи которого есть 8 различных цифр. Обоснуйте, почему оно наименьшее. Решение: Если число кратно 9, то его сумма цифр делится на 9. Сумма всех цифр равна 45, поэтому надо выбросить пару цифр с суммой, равной 9. Это пары 0+9, 1+8, 2+7, 3+6, 4+5. Но чтобы число было наименьшим (при 8 разрядах), то в старших разрядах должны стоять наименьшие возможные цифры. Поэтому если мы выкинем пару 1+8, то в старшем разряде будет цифра больше 1, и все число будет больше. Следовательно, первая цифра 1. Из оставшихся цифр на второе место ставим 0, потом 2 и 3, следовательно, выкидываем пару 4+5, остальные цифры восстанавливаются однозначно. Ответ: Задание 5 У Бельчонка есть 10 зубочисток по 6 см и 10 зубочисток по 7 см. Найдите наименьшее число разломов, которое ему необходимо совершить, чтобы сложить из всех получившихся кусков равносторонний тринадцатиугольник. Решение: Общая длина всех зубочисток составляет 130 см, поэтому стороны тринадцатиугольника должны быть по 10 см. Разломаем каждую из 5 семисантиметровых зубочисток на зубочистки 3 см и 4 см и приставим трехсантиметровые кусочки к 5 оставшимся семисантиметровым зубочисткам. А четырехсантиметровые кусочки приставим к 5 шестисантиметровым зубочисткам. Получим 10 десятисантиметровых сторон. Теперь отломаем от 2 шестисантиметровых зубочисток по куску длиной 2 см. Все отломанные куски приложим к одной из оставшихся шестисантиметровой зубочистке, а оставшиеся четырёхсантиметровые куски по одному к остальным оставшимся шестисантиметровым зубочисткам. Получим 13 десятисантиметровых сторон. Покажем, что 6 разломов не хватит. В самом деле, если мы сделали 6 разломов, то, по крайней мере, 12 зубочисток остались целыми. Значит, в составе по крайней мере одной из сторон тринадцатиугольника окажется хотя бы две целых зубочистки. Но суммарная длина любых двух целых зубочисток больше 10 см. Ответ: 7

23 Задание 1 6 класс Вариант 2 Двое бельчат ели орехи из корзины. Сначала первый съел половину всех орехов и еще один. Потом второй половину оставшихся и еще три ореха. После этого в корзине осталось 4 ореха. Сколько орехов было в корзине первоначально? Решение: После второго бельчонка в корзине осталось 4 ореха, поэтому после первого в корзине оставалось (4+3) 2=14 орехов. Следовательно, до первого бельчонка в корзине было (14+1) 2=30 орехов. Ответ: 30 орехов Задание 2 Расставьте в каждой клетке прямоугольника 4 5 пять цифр 1, десять цифр 2 и пять цифр 5 так, чтобы в любой фигурке (см. рисунок) сумма чисел не была равна 10. (Фигуру можно поворачивать и переворачивать.) Решение и ответ Например, так: Задание 3 В необычном лесу бельчата-дети всегда врут только своим родителям, а родители всегда только детям. В одной семье, кроме папы и мамы, трое маленьких бельчат. Однажды Гена заявил Кате, указав на Таню: «Я старше её!», а потом Лене, указав на Васю: «Я старше его!». Назовите имена мамы и папы. Решение: Допустим, папа Гена. Тогда Вася сын, и папа сказал о нем правду. Стало быть, Лена мама. Но тогда получается, что папа сказал дочери Кате правду о дочери Тане. Противоречие. Значит, Гена сын. Если Катя мама, то Лена дочь, и Гена сказал правду, что он старше Васи. Но тогда в семье нет папы. Значит, Катя дочь, а Таня младшая сестра. Тогда Лена и Вася папа и мама, и Гена соврал маме, что старше папы. Ответ: маму зовут Лена, папу Вася Задание Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 9, в записи которого есть 8 различных цифр. Обоснуйте, почему оно наибольшее. Решение: Если число кратно 9, то его сумма цифр делится на 9. Сумма всех цифр равна 45, поэтому надо выбросить пару цифр с суммой, равной 9. Это пары 0+9, 1+8, 2+7, 3+6, 4+5. Но чтобы число было наибольшим (при 8 разрядах), то в старших разрядах должны

24 стоять набольшие возможные цифры. Поэтому если мы выкинем пару 0+9, то в старшем разряде будет цифра меньше 9, и все число будет меньше. Следовательно, первая цифра 9. Из оставшихся цифр на второе место ставим 8, потом 7 и 6, следовательно, выкидываем пару 4+5, остальные цифры восстанавливаются однозначно. Ответ: Задание 5 У Бельчонка есть 9 зубочисток по 5 см и 9 зубочисток по 6 см. Найдите наименьшее число разломов, которое ему необходимо совершить, чтобы сложить из всех получившихся кусков равносторонний одиннадцатиугольник. Решение: Общая длина всех зубочисток составляет 99 см, поэтому стороны одиннадцатиугольника должны быть по 9 см. Разломаем 3 шестисантиметровых зубочистки пополам и приставим по кусочку к 6 оставшимся шестисантиметровым зубочисткам. Получим шесть девятисантиметровых сторон. Теперь отломаем от 4 пятисантиметровых зубочисток по куску длиной 1 см. Все отломанные куски приложим к одной из оставшихся пятисантиметровых зубочисток, а оставшиеся четырёхсантиметровые куски по одному к остальным оставшимся пятисантиметровым зубочисткам. Получим 11 девятисантиметровых сторон. Покажем, что 6 разломов не хватит. В самом деле, если мы сделали 6 разломов, то, по крайней мере, 12 зубочисток остались целыми. Значит, в составе по крайней мере одной из сторон одиннадцатиугольника окажется хотя бы две целых зубочистки. Но суммарная длина любых двух целых палочек больше 9 см. Ответ: 7

25 7 класс Вариант 1 Задание 1 Пусть a*b означает 3a-2b. Найдите x, если 2*(5*x)=0. Решение: 5*x=15-2x,2*(15-2x)=6-2(15-2x)=4x-24=0, откуда x=6. Ответ: 6 Задание 2 Коля перемножил 3 числа, не равных 0. Вася вычел из каждого числа 2, и затем перемножил полученные числа. Могли ли полученные ими произведения быть равными? Решение: Покажем, что это возможно. Пусть Коля взял числа 3,5,x. После вычитания 2 Вася получил числа 1,3,x-2. Приравнивая произведения, получим уравнение: 5x=x-2, откуда x=-1/2. Ответ: да Задание3 Найдите все чётные натуральные числа, меньшие 1000, обладающие свойством: при вычеркивании любой цифры остаётся число, являющееся квадратом натурального числа. Докажите, что других чисел нет. Решение: Числа не могут быть однозначными, так как при вычеркивании не останется цифр. Из двузначных чисел подходят только числа, состоящие из цифр 1, 4, 9 (квадраты натуральных чисел). Из условия чётности следует, что числа должны оканчиваться на 4, получаем 14, 44, 94. Рассмотрим трёхзначное число. Если из него вычеркнуть вторую или третью цифру, останутся двузначные числа, начинающиеся с одной и той же цифры. Но среди двузначных квадратов (16, 25, 36, 49, 64, 81) нет чисел, начинающихся с одной цифры, следовательно, нет трёхзначных чисел, обладающих требуемым свойством. Ответ: 14, 44, 94 Задание 4 Антон никогда не пропускает занятия в бассейне, куда он ходит по вторникам и субботам. В декабре он ходил в бассейн 8 раз. На какой день недели приходилось 17 декабря? Решение: Декабрь включает 4 полные недели, то есть 4 вторника и 4 субботы, в эти дни Антон и ходил в бассейн. От месяца остаются 3 дня подряд, не включающие вторник и субботу. Это не могут быть дни от субботы до вторника, так как там всего два дня, значит, это дни от вторника до субботы среда, четверг, пятница. Эти дни идут после вторника, значит, первый раз Антон ходил в субботу. Если первая суббота приходилась на 1 или 2 или 3 декабря, то в этом декабре 5 суббот, то есть всего 9 дней. Если первая суббота приходилась на 5 декабря, то следующий вторник приходится на 8 декабря,

26 и в этом декабре 5 вторников (1, 8, 15, 22, 29), а суббот 4 (5, 12, 19, 26), что тоже даёт 9 посещений бассейна. Аналогичная ситуация, если первая суббота приходилась на 6 или 7 декабря (5 вторников и 4 субботы). Остаётся единственная возможность: если первая суббота приходилась на 4 декабря. Тогда в этом месяце 4 субботы (4, 11, 18, 25), и 4 вторника (7, 14, 21, 28). 17 декабря приходится тогда на пятницу. Ответ: пятница Задание 5 Робот стоит в центре площадки 25 м 25 м. По команде он начинает шагать. Робот делает каждый шаг в 1 метр, а двигаться может вперёд, назад, вправо или влево. Найдите число различных точек, в которых робот может оказаться а) через 6 шагов, б) через 10 шагов. Решение: Пусть начальная точка имеет уровень 0. За один шаг робот может продвинуться в 4-х направлениях, и оказаться в 4-х точках уровня 1 (рис. а). Заметим, что все точки лежат на границе серого квадрата так, что на каждой стороне 2 точки. Из каждой точки уровня 1 следующим шагом робот может попасть в точки уровня 2 (рис. б), или вернуться на уровень 0. Все точки уровня 2 лежат на границе серого квадрата так, что на каждой стороне 3 точки. Всего есть 8 точек уровня 2. Это число можно найти таким образом: 3 4-4=8 (по 3 точки на стороне, и вычитаем 4, потому что вершины посчитали 2 раза). Эта закономерность является постоянной, точки уровня n лежат на границе квадрата, и всего их (n+1) 4-4=4n. Найдём по этой формуле количество точек каждого уровня: Номер уровня n Число точек 4n Но шагом с первого уровня можно попасть как на уровень 2, так и на уровень 0 (там всего одна точка), поэтому после 2 шагов можно попасть в 8+1=9 точек. С каждого уровня можно попасть на следующий и предыдущий уровни, поэтому через 4 шага можно попасть на 4-й, 2-й и 0-й уровни, число точек равно =25. Здесь 16 число новых точек 4-го уровня, 8 число точек 2-го уровня, 1 число точек 0-го уровня. Через 6 шагов можно попасть на 6-й, 4-й, 2-й, 0-й уровни, число точек равно =49, это ответ к случаю а). Замечая закономерность, получаем и общую

27 формулу: через n шагов робот может оказаться в (n+1) ^2 точках. Поэтому ответ к пункту б): 11 ^2=121. Ответ: а) 49, б) класс Вариант 2 Задание 1 Пусть a*b означает 2a-5b. Найдите x, если 3*(5*x)=6. Решение: 5*x=10-5x,3*(10-5x)=6-5(10-5x)=25x-44=6, откуда x=2. Ответ: 2 Задание 2 Петя перемножил 3 числа, не равных 0. Дима прибавил к каждому числу 3, и затем перемножил полученные числа. Могли ли их произведения быть равными? Решение: Покажем, что это возможно. Пусть Петя взял числа 1,1,x. После прибавления 3 Дима получил числа 4,4,x+3. Получим уравнение: x=4 4 (x+3), откуда x=-16/5. Ответ: да Задание 3 Найдите все нечётные натуральные числа, меньшие 999, обладающие свойством: при вычеркивании любой цифры остаётся число, являющееся квадратом натурального числа. Докажите, что других чисел нет. Решение: Числа не могут быть однозначными, так как при вычеркивании не останется цифр. Из двузначных чисел подходят только числа, состоящие из цифр 1,4,9 (квадраты натуральных чисел). Из условия нечётности следует, что числа должны оканчиваться на 1 или 9, получаем 11,41,91,19,49,99. Рассмотрим трёхзначное число. Если из него вычеркнуть вторую или третью цифру, останутся двузначные числа, начинающиеся с одной и той же цифры. Но среди двузначных квадратов (16,25,36,49,64,81) нет чисел, начинающихся с одной цифры, следовательно, нет трёхзначных чисел, обладающих требуемым свойством. Ответ: 11,41,91,19,49,99 Задание 4 В некотором месяце четвергов было больше, чем воскресений, а три вторника месяца пришлись на нечётные числа. Каким днём недели было 16-е число этого месяца? Решение: Поскольку неделя содержит 7 дней, то числа соседних вторников отличаются чётностью. Значит, месяц содержит 5 вторников, причём первый вторник обязательно приходится на нечетное число месяца. Если бы первый вторник был 5-го числа, то пятый вторник должен иметь число, на 28 большее. Но такой даты не существует. Значит, первый вторник может быть 1-го числа (тогда пятый вторник 29-е), или 3-го числа

28 (тогда пятый вторник 31-е). Если 1-ое число вторник, то четверги приходятся на даты 3, 10, 17, 24, 31, всего 5 четвергов. Воскресенья приходятся на числа 6, 13, 20, 27, всего 4 воскресенья, условие «четвергов больше, чем воскресений» выполняется. Если 3-е число вторник, то четверги приходятся на даты 5, 12, 19, 26, всего 4 четверга. Воскресенья в этом случае приходятся на числа 1, 8, 15, 22, 29, всего 5 воскресений, условие «четвергов больше, чем воскресений» не выполняется. Таким образом, 1-ое число вторник, тогда 15-ое число вторник и 16-ое число среда. Ответ: среда Задание 5 Бельчонок сидит на дорожке. На каждом прыжке он может прыгать вперёд, или назад, длина каждого прыжка 1 метр. Каким числом способов бельчонок может вернуться в исходную точку а) за 6 прыжков, б) за 8 прыжков? Решение: Если бельчонок прыгнул несколько раз вперёд, чтобы вернуться, он должен прыгнуть столько же раз назад. Таким образом, и вперёд, и назад в случае а) надо сделать по три прыжка. Один номер прыжка вперёд может принять 6 значений, другой 5, третий 4. Прыжки назад тогда будут иметь оставшиеся номера. По правилу произведения получается 6 5 4=120 прыжков. Но номера в одном наборе можно переставить разными способами, и все эти способы входят в число 120, а задают они один и тот же маршрут. Число способов переставить три разных номера найдём так же с помощью принципа произведения. На первом месте может стоять любой из трёх номеров (3 варианта), на втором любой из оставшихся двух (2 варианта. На последнем месте будет один оставшийся номер (1 вариант). Число перестановок трёх номеров равно произведению чисел вариантов 3 2 1=6. Поэтому маршрутов будет 120:6=20. В случае б) и вперёд, и назад надо сделать по четыре прыжка. Рассуждая аналогично, получаем, что выбрать номера прыжков вперёд можно числом способов =1680, число способов переставить 4 разных номера равно =24. Поэтому маршрутов будет 1680:24=70. Ответ: а) 20, б) 70

29 8 класс Вариант 1 Задание 1 Каждый из 100 бельчат находится в одном из 100 домиков. На каждом домике написано: «Тут ровно один бельчонок». Из этих надписей ровно четыре неверных. Найдите количество домиков, в которых находится нечётное число бельчат. Решение: Из условия следует, что на 96 домиках надписи верны, то есть там находится по одному бельчонку. Допустим, в одном из четырёх домиков, надписи на которых неверны, нечётное число бельчат. Так как в этих четырёх домиках находятся 4 бельчат, а ровно один бельчонок ни в одном из них находиться не может, то в рассматриваемом домике находятся трое бельчат. Но тогда четвёртый находится в одном из оставшихся трёх домиков, и надпись на нем, вопреки нашему предположению, верна. Стало быть, во всех четырех оставшихся домиках нет нечётного числа бельчат. Ответ: 96 Задание 2 На координатной плоскости нарисованы всевозможные параболы вида y=x^2+px+q, для которых p+1/3 q=2017. Докажите, что все эти параболы проходят через одну точку. Решение и ответ: Рассмотрим значение y=x^2+px+q в точке x_0=3. Тогда x_0^2+px_0+q=9+3p+q=9+3(p+1/3 q)= =6060. То есть все эти параболы проходят через точку (3;6060). Задание 3 В треугольнике ABC на сторонах BC и AB отметили точки M и N соответственно, так что ACM= ABC и CNM= BMC, а AN биссектриса угла BAC. Докажите, что AC=MB. 4) Рядом стоят 6 точек. Катя и Миша поочерёдно заменяют одну из точек цифрой, отличной от нуля; начинает Катя. Как надо действовать Мише, чтобы полученное 6-значное число делилось на 11? Решение и ответ: Нетрудно заметить, что в треугольниках BNM и CMA две пары углов совпадают. Действительно, BNM= AMC смежные с равными по условию углами. Значит, и третья пара углов BMN и BAC равны. Отсюда NM AC. Следовательно, треугольник NMA равнобедренный, NM=MA, и тогда замеченное в начале решения равенство углов обосновывает равенство треугольников BNM и CMA. Тогда BM=AC как соответственные стороны.

30 Задание 4 Рядом стоят 6 точек. Катя и Миша поочерёдно заменяют одну из точек цифрой, отличной от нуля; начинает Катя. Как надо действовать Мише, чтобы полученное 6-значное число делилось на 11? Решение и ответ: Пусть точки занумерованы слева направо натуральными числами от 1 до 6 и разбиты на пары 1 4,2 5,3 6. После каждого хода Кати Миша ставит ту же цифру в оставшуюся позицию пары точек. При этом получается 6-значное число вида abcabc, равное abc 1000+abc=abc 1001, а 1001 делится на 11. Задание 5 Клетки доски раскрашены в шахматном порядке. Имеется много полосок, состоящих из трёх клеток того же размера, что и клетки доски. Каким наименьшим количеством полосок можно накрыть все чёрные клетки доски (полоски могут перекрываться и вылезать за край доски)? Решение: Развернем доску так, что левая нижняя клетка будет черной. Отметим черные клетки, разности координат которых кратны 4. Такие клетки располагаются на параллельных диагоналях (одна из которых идет из левого нижнего угла), отстоящих друг от друга на 4 клетки. Общее число клеток на этих диагоналях равно =50+4 ( )= ^2=626. Поскольку каждая полоска покрывает не более одной отмеченной клетки, нам потребуется не менее 626 полосок. Покажем, что покрыть 626 полосками все черные клетки можно. Заметим, что для покрытия всех черных клеток полосы 48 2 достаточно 24 полосок. Доска без углового квадрата 2 2 разрезается па 26 полосы Для черных клеток нз полос нам понадобится 26 24=624 полоски, и еще две для чёрных клеток углового квадрата 2 2. Ответ: 626

31 8 класс Вариант 2 Задание 1 У бельчонка каждый из 120 орехов находится в одном из 120 тайников. Он записал на бумажке напротив места каждого тайника: «Тут ровно один орех». Из этих записей ровно четыре неверных. Найдите количество тайников, в которых лежит нечётное число орехов. Решение: Из условия следует, что на бумажке напротив мест 116 тайников записи верны, то есть там находится по одному ореху. Допустим, в одном из четырёх оставшихся тайников нечётное число орехов. Так как в этих четырёх тайниках находится 4 ореха, а ровно один орех ни в одном из них находиться не может, в рассматриваемом тайнике находится три ореха. Но тогда четвёртый находится в одном из оставшихся тайников, и запись на бумажке, вопреки нашему предположению, верна. Стало быть, во всех четырех оставшихся тайниках нет нечётного числа орехов. Ответ: 116 Задание 2 На координатной плоскости нарисованы всевозможные параболы вида y=x^2+px+q, для которых p+1/4 q=2017. Докажите, что все эти параболы проходят через одну точку. Решение и ответ: Рассмотрим значение y=x^2+px+q в точке x_0=4. Тогда x_0^2+px_0+q=16+4p+q=16+4(p+1/4 q)= =8084. То есть все эти параболы проходят через точку (4;8084). Задание 3 В треугольнике ABC на сторонах BC и AC отметили точки M и N соответственно, так что ABN= ACB и BMN= BNC, а MC=BN. Докажите, что AM биссектриса угла BAC. Решение и ответ: Нетрудно заметить, что в треугольниках ABN и CNM две пары углов совпадают. Действительно, BNA= NMC смежные с равными по условию углами. Значит, и третья пара углов CNM и NAB равны. Отсюда NM AB. Тогда NMA= MAB. Поскольку MC=BN, то треугольники BMN и CNA равны и треугольник ANM равнобедренный (AN=NM). Следовательно, NMA= MAB= NAM. Тогда AM биссектриса угла BAC.

32 Задание 4 Вася написал трёхзначное число (abc). Аня может вписать по цифре между a и b, и между b и c, и приписать цифру слева перед a. Как надо действовать Ане, чтобы полученное 6-значное число делилось на 13? Решение и ответ: Аня должна вписать a между b и c, c между a и b и приписать цифру b слева. При этом получается 6-значное число вида bacbac, равное bac 1000+bac=bac 1001, а 1001 делится на 13. Задание 5 Клетки доски раскрашены в шахматном порядке. Имеется много полосок, состоящих из пяти клеток того же размера, что и клетки доски. Каким наименьшим количеством полосок можно накрыть все чёрные клетки доски (полоски могут перекрываться и вылезать за край доски)? Решение: Развернем доску так, что левая нижняя клетка будет черной. Отметим черные клетки, разности координат которых кратны 6. Такие клетки располагаются на параллельных диагоналях (одна из которых идет из левого нижнего угла), отстоящих друг от друга на 6 клеток. Общее число клеток на этих диагоналях равно =40+4 ( )=268. Поскольку каждая полоска покрывает не более одной отмеченной клетки, нам потребуется не менее 268 полосок. Покажем, что покрыть 268 полосками все черные клетки можно. Заметим, что для покрытия всех черных клеток полосы 36 2 достаточно 12 полосок. Доска без углового квадрата 4 4 разрезается па 22 полосы Для черных клеток нз полос нам понадобится 22 12=264 полоски, и еще четыре для черных клеток углового квадрата 4 4. Ответ: класс Вариант 1 Задание 1 Из цифр от 1 до 9 выбрали 8 цифр, и составили из них четыре двузначных числа. Сумма этих чисел равна 205. Какая цифра не использована? Решение: Остаток от деления на 9 числа равен остатку от деления на 9 суммы его цифр. Сумма всех цифр от 1 до 9 равна 45, и делится на 9. Число 205 имеет остаток от деления на 9, равный 7. Чтобы делиться на 9, не хватает 2 эта цифра и не использована. Ответ: 2

33 Задание 2 У квадратных трёхчленов g_1 (x)=x^2+ax+b и g_2 (x)=x^2+cx+d существует по два корня, причём все корни отрицательные целые числа, а один из корней общий. Существует ли такое положительное целое число m, что g_1 (m)=20,g_2 (m)=17? Решение: Пусть x_1 общий корень рассматриваемых трёхчленов, а x_2 и x_3 два других (различных) корня. Тогда g 1 (x) = (x x 1 )(x x 2 ), g 2 (x) = (x x 1 )(x x 3 ). Если такое число m существует, то 20 = g 1 (m) = (m x 1 )(m x 2 ), 17 = g 2 (m) = (m x 1 )(m x 3 ). Тогда целое число m x 1 должно быть общим делителем взаимно простых чисел 20 и 17 и, значит, должно равняться 1 или -1. Но в обоих случаях x 1 = m ± 1 0, что противоречит отрицательности корней. Ответ: нет Задание 3 В прямоугольнике ABCD сторона AB=1,BC=2, точки E,F,G середины сторон BC,CD и AD соответственно. Точка H середина GE. DH и AF пересекаются в точке I, GH и BF пересекаются в точке K. Найдите площадь четырёхугольника FIHK. Решение: Обозначим L точку пересечения BF и GE. Отрезок LE средняя линия FBC, поэтому LE = 0,5 и HL = 0,5. Треугольники KCF и HKL подобны, коэффициент подобия равен отношению оснований, то есть 2. Следовательно, FK:KL=2, откуда FK:FB=1:3. Треугольники FAB и FIK подобны, коэффициент подобия равен FB:FK=3. Отсюда длина отрезка IK равна 1/3. Четырёхугольник FIHK состоит из двух треугольников с общим основанием IK, сумма высот этих треугольников равна 1. Поэтому площадь FIHK=(1/3)/2=1/6. Ответ: 1/6 Задание 4 В 1000 научных библиотеках есть книги по астрономии, астрофизике и астрологии. Число книг по астрономии в каждой библиотеке равно числу книг по астрофизике во всех остальных библиотеках вместе, а число книг по астрофизике в каждой библиотеке равно числу книг по астрологии во всех остальных библиотеках вместе. Докажите, что общее число книг делится на 19. Решение и ответ: Обозначим x i число книг по астрологии в i-й библиотеке, y i число книг по астрофизике в i-й библиотеке, z i число книг по астрономии в i-й библиотеке. Тогда y 1 = x 2 + x x 1000, y 2 = x 1 + x x 1000, и т.д. Складывая эти равенства, получим, что

34 астрологии. y 1 + y y 1000 = 999 (x 1 + x 2 + x x 1000 ). Таким образом, общее число книг по астрофизике в 999 раз больше числа книг по Аналогично, z 1 + z z 1000 = 999 (y 1 + y 2 + y 1000 ) = (x 1 + x 2 + x x 1000 ). Пусть общее число книг по астрологии равно K. Тогда общее число книг во всех библиотеках равно ( ) K. Остаток числа 999 от деления на 19 равен 11, остаток от деления на 19 числа равен остатку от деления числа 11 2, и это 7. Поэтому ( ) ( ) 0 (mod 19). Задание 5 У бельчонка-художника были синяя, красная, зелёная краски. Он раскрасил стороны правильного семиугольника и решил каждый день рисовать такой же семиугольник, и раскрашивать его стороны другим способом (раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми). Бельчонок-математик стал считать, сколько существует способов раскраски, если смешивать краски нельзя, и каждый раз можно использовать одну, две или три краски. Какой ответ он должен получить? Решение: Рассмотрим сначала неподвижный семиугольник. Каждую сторону можно раскрасить 3 способами, тогда 7 вершин можно раскрасить 3^7 способами. Среди этих раскрасок есть 3 одноцветных, которые не меняются при повороте. Каждая из оставшихся раскрасок при поворотах даёт ещё 6 раскрасок, то есть 7 раскрасок получаются друг из друга поворотами. Поэтому различных неодноцветных раскрасок в 7 раз меньше: (3^7-3)/7, а всего раскрасок Ответ:

35 Задание 1 9 класс Вариант 2 Из цифр от 1 до 9 составили два трёхзначных и два двузначных числа так, что все цифры были использованы. Сумма этих чисел равна 934. Какая цифра использована два раза? Решение: Остаток от деления на 9 числа равен остатку от деления на 9 суммы его цифр. Сумма всех цифр от 1 до 9 равна 45, и делится на 9. Число 934 имеет остаток от деления на 9, равный 7, а это означает, что цифра 7 использована два раза. Ответ: 7 Задание 2 На пяти карточках написаны коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. На четырёх карточках стоят числа 8,2,3,-7. Какое число стоит на пятой карточке? Решение: Пусть трёхчлен имеет коэффициенты a, b, c, и корни e и f. По теореме Виета c = ef, b = (e + f), откуда c = aef, b = a(e + f). Поэтому c должно делиться по a a крайней мере на 3 числа, но среди чисел 8, 2, 3, 7 такого нет, следовательно, на пятой карточке число c. Значит, число b находится среди чисел 8, 2, 3, 7, и оно должно делиться на a, поэтому b = 8, a = 2. Следовательно, 3 и 7 корни, а c тогда равно 42. Ответ: 42 Задание 3 В квадрате со стороной 2 3 расположены два равносторонних треугольника, так, что основаниями этих треугольников являются противоположные стороны квадрата. Пересечение треугольников является ромбом. Найдите площадь ромба. Решение: Продлим диагональ ромба GF до пересечения со сторонами квадрата в точках H и E. Легко видеть, что HE ось симметрии квадрата (при симметрии относительно HE третьи вершины треугольников переходят друг в друга, а значит, и вершины A и B, D и C переходят друг в друга). У ромба два угла по 60, значит, каждый из двух других углов равен 120 и ромб состоит из двух равносторонних треугольников. В прямоугольном треугольнике AFE угол FAE = 30 и AE = 3, обозначим FE = x и по теореме Пифагора найдём 4x 2 x 2 = 3, откуда x = 1. Аналогично, HG = 1 и GF = Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна 3 4 a2, подставляя a = 2 3 2, получаем 4 3 6, площадь ромба в 2 раза больше и равна Ответ:

36 Задание 4 В 48 лесах живут рыжие, серые, бурые и чёрные бельчата. Число рыжих бельчат в каждом лесу равно числу серых бельчат во всех остальных лесах вместе, число серых бельчат в каждом лесу равно числу бурых бельчат во всех остальных лесах вместе, число бурых бельчат в каждом лесу равно числу чёрных бельчат во всех остальных лесах вместе. Докажите, что общее число бельчат делится на 13. Решение и ответ: Обозначим x i число рыжих бельчат в -м лесу, y i число серых бельчат в i-м лесу, z i число бурых бельчат в i-м лесу, d i число чёрных бельчат в iм лесу. Тогда z 1 = d 2 + d d 48, z 2 = d 1 + d d 48, и т.д. Складывая эти равенства, получим, что z + z z 48 = 47 (d 1 + d 2 + d d 48 ). Таким образом, общее число бурых бельчат в 47 раз больше числа чёрных бельчат. Аналогично, общее число серых бельчат в 47 раз больше числа бурых бельчат, то есть в 47 2 раз больше числа чёрных бельчат, а общее число рыжих бельчат в 47 3 раз больше числа бурых бельчат. Пусть общее число чёрных бельчат равно K. Тогда общее число бельчат во всех лесах равно ( ) K. Остаток числа 47 от деления на 13 равен 8, остаток от деления на 13 числа 47 2 равен остатку от деления числа 8 2, и это 12, остаток от деления на 13 числа 47 3 равен остатку от деления на 13 числа 8 12 = 96, и это 5. Поэтому Задание 5 ( ) ( ) 26 0 (mod 13). Для украшения круглого торта у Жени есть ягоды брусника, черника, голубика, облепиха. Женя выкладывает по окружности торта через равные расстояния 11 ягод. Сколько существует способов украсить торт, если способы, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми? Решение: Рассмотрим сначала неподвижный торт, и зафиксируем положение первой ягоды. Туда можно положить 4 ягоды, то есть для одного места существует 4 способа. Тогда в 11 мест можно разложить ягоды 4 11 способами. Среди этих способов есть 4 варианта использовать только одну ягоду, при повороте новые способы получаться не будут. Каждый из оставшихся вариантов при поворотах даёт ещё 10 вариантов, то есть 11 вариантов получаются друг из друга поворотами. Поэтому различных вариантов в 11 раз меньше: Ответ: , а всего способов украсить торт

37 Задание 1 10 класс Вариант 1 Бельчонок заметил, что на трех деревьях выросло в сумме 120 орехов, а на каждом дереве в отдельности не более 45. Докажите, что количества орехов на любой паре деревьев отличаются не больше, чем на 15. Решение и ответ: Обозначим через x максимальное, а через y минимальное количество орехов на дереве. Предположим, что x y > 15. Поскольку по условию x 45, то y < 30, и мы в таком случае получаем, что x + y < 75. Следовательно, количество орехов, которое приходится на оставшееся дерево, равно 120 (x + y) > 45. Получаем противоречие с условием, значит, наше предположение неверно. Задание 2 Целые числа a, b таковы, что a ab + b 2 делится на Докажите, что a 2 b 2 делится на Решение и ответ: Если a ab + b 2 делится на 2029, то на 2029 делится также и число (a ab + b 2 ) ab = (a + b) 2. Отсюда следует, что на 2029 делится и число a + b. Действительно, число 2029 простое, и если бы a + b не делилось на 2029, то 2029 не входило бы в разложение на простые множители числа a + b, а значит и числа (a + b) 2. Далее, поскольку a + b делится на 2029, то и a 2 b 2 = (a b)(a + b) также делится на 2029 Задание 3 Дана трапеция ABCD. Через O обозначим точку пересечения её диагоналей, а через L точку симметричную B относительно O. Прямая, проходящая через точки C и L, пересекает основание AD в точке K. Докажите, что площадь треугольника AOK равна сумме площадей треугольников AOB и DOK. Решение и ответ: Поскольку BC AD, то S ABD = S ACD, следовательно, S AOB = S DOC. Поэтому достаточно доказать, что S AOK = 1 2 S ACD. Пусть P и Q середины оснований BC и AD трапеции ABCD. Заметим, что прямая PQ проходит через точку O и параллельна прямой CK. CQ медиана треугольника ACD, откуда 1 2 S ACD = S CQD = S CQK + S CKD. Поскольку CK OQ, то S CQK = S COK, следовательно, S CQK + S CKD = S COK + S CKD = S OCDK, что и требовалось.