Задание 2. Решение. Задание 3. Решение.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задание 2. Решение. Задание 3. Решение."

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет О.Г. Вздорнова, И.А. Сушинцева, Н.В. Ткаленко Индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного" Методическая разработка

2 УДК ББК РЕЦЕНЗЕНТЫ: доктор физ.-мат. наук, проф. Т.Ф.Филиппова, ст. преп. Н.Г. Фомина Индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного". Методическая разработка / Урал. гос. пед. ун-т; Сост.: ассистенты кафедры математического анализа О.Г. Вздорнова, И.А.Сушинцева, Н.В.Ткаленко. Екатеринбург, с. ISBN Предназначена для студентов 3 курса математического факультета очного и заочного отделений. Включает индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного" и указания к их решению. Библиогр.: 13 назв.

3 Введение Данная методическая разработка предназначена для студентов математического факультета очного и заочного отделений и содержит индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного"с указаниями к их решению. Работа включает 8 заданий (25 вариантов в каждом) по следующим темам: множества, операции над множествами; взаимно однозначное соответствие, отображение множеств; мощность множеств, счетные множества, множества мощности континуум; структура открытых и замкнутых множеств; измеримость множеств, мера Лебега, измеримые функции; интеграл Лебега. Ниже приведены методические указания к решению задач. 1. Методические указания к решению Задание 1. Определить и изобразить на рисунках множества A, B, A B, A B, A\B, B\A, A B, где A = {(x, y) R 2 : x 1, y 1}, B = {(x, y) R 2 : x 1 1, y 1 1} Решение. Множества A, B, C = A B, D = A B, F = A\B, G = B\A, M = A B изображены на Рис.1-7, соответственно. 3

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 Задание 2. Пусть A, B, C подмножества некоторого множества X. Доказать, что (A\B) (B\A) = (A B)\(A B). Решение. Для доказательства данного равенства воспользуемся свойствами операций над множествами (ниже символом B обозначено дополнение B до всего множества X: B = X\B): (A\B) (B\A) = (A B) (B A) = ((A B) B) ((A B) A) = = (A B) X X (B A) = (A B) (B A) = = (A B) (A B) = (A B)\(A B). Задание 3. Установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1). Решение. Выделим на интервале (0, 1) последовательность точек {x n } = { 1 n+1}, n 1. Установим следующее соответствие: 0 x1, 1 x 2, x 1 x 3, и т.д. x n x n+2 (n 1). Тогда множество {0, 1, 1 2, 1 3,... } 4

5 взаимно однозначно отобразтится на множество { 1 2, 1 3, 1 4,... }. Остальным точкам x [0, 1] поставим в соответствие сами точки x (x x). Полученное отображение биективно. Задание 4. a) Доказать, что если для любого счетного A X верно равенство X\A = X, то множество X несчетно. b) Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты? Решение. a) Предположим противное: X счетное множество, тогда X = {x 1, x 2, x 3,..., x n,... }. Рассмотрим его счетное подмножество A = {x 5, x 6, x 7,..., x n,... }, тогда X\A = {x 1, x 2, x 3, x 4 } и X\A = 4. Таким образом, для X нашлось счетное подмножество, такое что X\A X, что противоречит предположению. b) Всякий треугольник на плоскости однозначно определяется координатами своих вершин. Тогда каждому треугольнику данного множества соответствует элемент из M = Q 2 Q 2 Q 2 (набор рациональных координат его вершин) и наоборот. Множество M счетно как декартово произведение конечного числа счетных множеств. Значит M = ℵ 0 и, следовательно, семейство таких треугольников счетно. Задание 5. Доказать, что отрезок [a, b] нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. Решение. Предположим, что [a, b] = F G, где F и G замкнуты, непусты и не пересекаются. Поскольку каждое из множеств F, G является замкнутым, непустым и ограниченным снизу числовым множеством, то F и G содержат свои наименьшие точки. Одна из этих точек обязательно совпадет с a, т.к. [a, b] = F G. Пусть, например, для множества F это будет точка a, а для множества G некоторая точка c. Очевидно, что c (a, b] и, следовательно, c > a (так как F G = ). Поскольку [a, b] = F G и c наименьшая точка множества G, то [a, c) F, а так как множество F замкнуто, то и [a, c] F. Значит точка c принадлежит одновременно и множеству F и множеству G, что противоречит тому, что эти множества не пересекаются. Таким образом отрезок [a, b] нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. Задание 6. Найти меру Лебега множества тех точек отрезка [0, 1], 5

6 которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7. Решение. Пусть E множество тех точек отрезка [0, 1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7. Это множество строится следующим образом: делим отрезок [0, 1] на десять равных частей и выбрасываем интервал (0.7, 0.8). Затем каждый из оставшихся отрезков первого ранга: [0, 0.1], [0.1, 0.2], [0.2, 0.3], [0.3, 0.4], [0.4, 0.5], [0.5, 0.6], [0.6, 0.7], [0.8, 0.9], [0.9, 1] делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них седьмой интервал, то есть из [0, 0.1] интервал (0.07, 0.08); из [0.1, 0.2] (0.17, 0.28) и т.д. Затем каждый из оставшихся отрезков второго ранга делим на 10 равных частей и выкидываем 7-ой из них и т.д. Построенное таким образом множество E есть нигде не плотное совершенное множество на отрезке [0, 1] (доказывается так же, как для канторового множества). Мера дополнительного множества равна сумме длин смежных интервалов: µē = k +... = k+1 Следовательно, µe=0. Задание 7. Доказать, что если функция f измерима на E, то и функция f (x) = min{f(x), 0} измерима на E. Решение. Рассмотрим множества E(f > c) = {x E : f (x) > c} для всех действительных c и докажем, что они измеримы. Функцию f можно представить иначе: { f(x), f(x) 0 f (x) = 0, f(x) > 0 Отсюда, получаем E(f > c) = { E(f < 0) = {x E : f(x) < 0}, c 0 E, c < 0 Из измеримости f следует, что для каждого c R множество E(f > c) измеримо. Тогда функция f измерима по определению. Задание 8. Вычислить интеграл Лебега E f(x) dµ, если он существует: 6

7 { 1, при x (0, 1)\Q f(x) = x2, E = (0, 1) 6x + 7, при x (0, 1) Q Решение. Рассмотрим функцию g(x) = 1 x2. Из определения функции f(x) следует, что f(x) = g(x) почти всюду. Тогда f(x) dµ = g(x) dµ (0,1) (0,1) Вычислим интеграл от g(x). Функция g(x) пожительна и неограничена на (0, 1). Построим "срезку" g(x) числом n > 0: n, при 1 [g(x)] n = x > n 1 2 x 2, при 1 x n 2 Иначе, [g(x)] n = n, при 0 < x < 1 n 1 1 x2, при x < 1 n Вычислим интеграл от [g(x)] n. Функция [g(x)] n непрерывна на (0, 1), а значит интегрируема по Риману: (L) (0,1) По определению [g(x)] n dµ = (R) (0,1) 1 n 0 1 ndx + (R) 1 n g(x) dµ = lim n (2 n 1) =. 1 x 2dx = 2 n 1 Значит функция g(x), а следовательно, и эквивалентная ей функция f(x) не интегрируемы по Лебегу на (0, 1). 7

8 2. Варианты индивидуальных заданий Задание 1. Определить и изобразить на рисунках множества A, B, A B, A B, A\B, B\A, A B. 1. A = {(x, y) R 2 : x = y}, B = {(x, y) R 2 : x + y 1} 2. A = {(x, y) R 2 : y = x}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} 3. A = {(x, y) R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) R 2 : x 2 + (y 1) 2 1} 4. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} 5. A = {(x, y) R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) R 2 : (x + 1) 2 + (y + 1) 2 1} 6. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x + y 1} 7. A = {(x, y) R 2 : x y}, B = {(x, y) R 2 : 9x 2 + y 2 36} 8. A = {(x, y) R 2 : x y}, B = {(x, y) R 2 : 4x 2 + 9y 2 36} 9. A = {(x, y) R 2 : max { x, y } = 1}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} 10. A = {(x, y) R 2 : max { x, y } 2}, B = {(x, y) R 2 : y x + 1} 11. A = {(x, y) R 2 : y x 2 }, B = {(x, y) R 2 : y 4 x 2 } 12. A = {(x, y) R 2 : x = y}, B = {(x, y) R 2 : x + y 2} 13. A = {(x, y) R 2 : x + y 3}, B = {(x, y) R 2 : max { x, y } 2} 14. A = {(x, y) R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + (y + 1) 2 1} 15. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + (y + 1) 2 1} 16. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} 17. A = {(x, y) R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + (y 1) 2 4} 8

9 18. A = {(x, y) R 2 : x 2 = y}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} 19. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x + y 2 1}} 20. A = {(x, y) R 2 : x = y}, B = {(x, y) R 2 : (x 2) 2 + (y + 3) 2 1} 21. A = {(x, y) R 2 : x y}, B = {(x, y) R 2 : 9x 2 + y 2 9} 22. A = {(x, y) R 2 : x y}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + 4y 2 4} 23. A = {(x, y) R 2 : x + y 2}, B = {(x, y) R 2 : 9x 2 + y 2 9} 24. A = {(x, y) R 2 : max { x, y } 2}, B = {(x, y) R 2 : x y} 25. A = {(x, y) R 2 : max { x, y } 2}, B = {(x, y) R 2 : 4 x 2 y} Задание 2. Пусть A, B, C - подмножества некоторого множества X. Доказать, что 1) (X\C)\(X\A) A\C; 2) (X\C)\B = X\(C B); 3) A\C (A\B) (B\C); 4) (A B) C = (A C) (B C); 5) A B X\B X\A; 6) A B = X\((X\A) (X\B)); 7) A B = A (A B); 8) A\B = A (A B); 9) если A B = A, то B = Ø; 10) (A C) (B C) = (A B C)\(A B C); 11) (A B) C (A C) (B C); 12) A B = (X\A) (X\B); 13) A (A B) = B; 14) A (B C) = (A B) (A C); 15) (A B) (C D) = (A C) (B D); 16) (A\B) C = (A C)\(B C); 17) (A\C)\(B\A) (A\C) (A\B) (B\C); 18) A (B C) = (A B) (A C); 9

10 19) A B (A C) (B C); 20) A\(B\C) = (A\B) (A C); 21) (A\B)\C = (A\C)\(B\C); 22) (A B)\C = (A\C) (B\C); 23) если C A, то A\(B\C) = (A\B) C; 24) (A B)\C = (A\C) (B\C); 25) (A\B) C = (A C)\B. Задание 3. Установить взаимно однозначное соответствие 1) между полуотрезком [0, 1) и полуосью [0, + ); 2) между интервалом (0, 1) и отрезком [0, 1]; 3) между отрезком [0, 1] и всей числовой прямой R; 4) между множествами [0, 3] и [0, 1) [2, 3]; 5) между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1]; 6) между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом; 7) между поверхностью сферы с одной выколотой точкой и плоскостью; 8) между множеством [0, 1] {2, 3} и интервалом (0, 1); 9) между множеством всех иррациональных чисел и множеством всех действительных чисел; 10) между числовой прямой R и интервалом (a, b); 11) между отрезком [0, 1] и лучом [0, ); 12) между лучом [0, ) и всей числовой прямой R; 13) между лучом [0, ) и интервалом (a, b); 14) между точками открытого квадрата ( π 2, π 2 ) ( π 2, π 2 ) и точками открытого прямоугольника (a, b) (c, d); 15) между точками открытого квадрата ( π 2, π 2 ) ( π 2, π 2 ) и точками плоскости; 16) между замкнутым единичным кругом и дополнением к открытому единичному кругу; 17) между замкнутым единичным кругом и дополнением к нему; 18) между окружностью и прямой; 19) между множествами [0, 5] и [0, 1] [2, 3] [4, 5]; 20) между открытым единичным кругом и множеством точек плоскости, являющихся дополнением к замкнутому единичному кругу; 21) между точками открытого прямоугольника (a, b) (c, d) и точками плоскости; 22) между плоскостью и открытым квадратом ( π 2, π 2 ) ( π 2, π 2 ); 10

11 23) между всей поверхностью сферы и плоскостью; 24) между множествами (, 0] [1, + ) и (0, 1); 25) между множествами [ 1, 0] { 1 n : n = 1, 2,...} и (0, 1). Задание a) Доказать, что если A\B = B\A, то A = B. b) Какова мощность бесконечного множества попарно непересекающихся интервалов на прямой? 2. a) Доказать, что если A B и A = A C, то B = B C. b) Какова мощность множества всех конечных последовательностей действительных чисел? 3. a) Верно ли утверждение: "Если A = C, B = D, причем B A, D C, то A\B = C\D "? b) Какова мощность множества M точек на плоскости с целочисленными координатами? 4. a) Пусть C A, D B, C B = C. Доказать, что A D = A. b) Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел? 5. a) Верно ли утверждение: "Если A = B, A C, B C, то C\A = C\B "? b) Какова мощность множества P[x] всех многочленов с целыми коэффициентами? 6. a) Верно ли утверждение: "Если A = B, C A, C B, то A\C = B\C "? b) Какова мощность множества всех кругов на плоскости? 7. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что любой круг равномощен любому квадрату. b) Какова мощность множества всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра которых рациональные числа? 8. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что на плоскости замкнутый круг и открытый круг того же радиуса эквивалентны. b) Какова мощность множества всех многочленов с произвольными действительными коэффициентами? 9. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости. b) Какова мощность множества всех конечных десятичных дробей? 11

12 10. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность любого отрезка и любого интервала на прямой. b) Какова мощность множества всевозможных последовательностей рациональных чисел 11. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность плоскости и открытого круга на плоскости. b) Какова мощность множества уравнений вида a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0 = 0, где коэффициенты - рациональные числа, а n- натуральное число? 12. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность замкнутого эллипса и замкнутого круга на плоскости. b) Какова мощность множества точек {(x, y) R 2 : y > x 2 }? 13. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность любого замкнутого шара и куба в трехмерном пространстве. b) Какова мощность множества всех конечных подмножеств множества натуральных чисел? 14. a) Пусть A = B и A и B бесконечные множества. Существует ли подмножество множества A, отличное от A, эквивалентное B? b) Какова мощность множества всех сторого возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке? 15. a) Пусть A = B и A и B бесконечные множества. Существует ли множество, содержащее множество A, отличное от A, эквивалентное B? b) Какова мощность множества чисел вида n k, где n, k натуральные? 16. a) Можно ли сказать, что если A = B, то A = B и, наоборот, если A = B, то A = B? b) Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь отсутствует цифра 5? 17. a) Верно ли утверждение: "Если E - бесконечное множество чисел, расположенное на луче (0, + ), то найдется такое число τ > 0, что множество E (τ, + ) бесконечно"? b) Какова мощность множества всех точек плоскости с целыми координатами, расположенных вне квадрата с центром в начале координат и стороной a? 18. a) Верно ли утверждение, что если A = B, то A\B = B\A? 12

13 b) Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь имеется цифра 5? 19. a) Верно ли утверждение, что если A = B, C = D, то A C = = B D? b) Какова мощность бесконечного множества отрезков, лежащих на прямой и не имеющих общих внутренних точек? 20. a) Верна ли формула: A B = B A? b) Доказать, что если A = B C и A имеет мощность континуум, то по крайней мере одно из множеств B и C имеет мощность континуум. 21. a) Верна ли формула: (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 )? b) Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно. 22. a) Доказать, что для любого конечного множества A, содержащего m элементов, множество всех его подмножеств содержит 2 m элементов. b) Доказать, что если A = A n, n N и A имеет мощность континуум, то по крайней мере одно из множеств A n имеет мощность континуум. 23. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что замкнутый эллипс и открытый квадрат на плоскости эквивалентны. b) Какова мощность множества строго возрастающих последовательностей натуральных чисел? 24. a) Пусть A, B R. Верна ли формула: A B arctg A arctg B? b) Какова мощность множества всех действительных чисел, заключеных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь цифра 3 находится на втором месте? 25. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность трехмерного пространства и замкнутого куба. b) Какова мощность множества всех логарифмических функций y = log a x, где a R, a > 0, a 1? Задание Множество A = A A, где A множество всех предельных точек A, называется замыканием множества A. Доказать, что A замкнуто тогда и только тогда, когда A = A. 13

14 2. Доказать, что A наименьшее замкнутое множество, то есть A = {F : A F }, где все F замкнуты. 3. Доказать, что для любых множеств A и B выполняется равенство A B = A B. 4. Доказать, что для любого множества A из того что A B следует, что A B. 5. Обозначим через inta множество внутренних точек множества A. Доказать, что R\A = int(r\a), R\intA = R\A. 6. Доказать, что inta A. Привести пример, когда эти множества различны. 7. Доказать, что если множества A и B открыты и A B =, то A B = и A B = (хотя, возможно A B ). 8. Доказать, что inta A. Привести пример, когда эти множества различны. 9. Доказать, что если множество A на прямой замкнуто и ограничено, то любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 10. Доказать, что если множество A на прямой ограничено, но не замкнуто, то неверно утверждение: любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 11. Доказать, что если множество A на прямой замкнуто, но не ограничено, то неверно утверждение: любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 12. Доказать, что если функция y = f(x) непрерывна, то ее график G = {(x, y) : y = f(x)} замкнутое множество на плоскости. 13. Пусть f(x), g(x) две непрерывные функции. Доказать, что множество точек {x : f(x) = g(x)} замкнуто на числовой прямой. 14. Пусть f(x), g(x) две непрерывные функции. Доказать, что множество точек {x : f(x) g(x)} замкнуто на числовой прямой. 15. Пусть f(x) непрерывная функция. Доказать, что для любого a R множество точек {x : f(x) = a} замкнуто на числовой прямой. 16. Пусть f(x) непрерывная функция. Доказать, что для любого a R множество точек {x : f(x) a} замкнуто на числовой прямой. 17. Доказать, что внутренность любого множества есть наибольшее открытое множество, содержащееся в нем. 18. Всегда ли объединение конечного семейства совершенных множеств является совершенным множеством? 14

15 19. Верно ли утверждение: "Внутренность пересечения двух множеств равна пересечению их внутренностей"? 20. Верно ли утведждение: "Внутренность объединения двух множеств равна объединению их внутренностей"? 21. Доказать, что граница объединения двух множеств содержится в объединении их границ. 22. Доказать, что замыкание каждого множества замкнуто. 23. Пусть f(x) непрерывная функция, определенная всюду на оси Ox. Доказать, что множество тех точек оси Ox, где f(x) > a, открыто. 24. Построить последовательность открытых множеств, пересечение которых не является открытым. 25. Доказать, что интервал (a, b) нельзя представить в виде объединения счетной совокупности попарно не пересекающихся замкнутых множеств. Задание Доказать, что всякое измеримое множество A положительной линейной меры имеет мощность континуум. 2. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 3? 3. Доказать, что всякое множество A, расположенное на действительной оси (даже если оно является неизмеримым множеством на прямой), измеримо на плоскости Oxy и его плоская мера равна Доказать, что любое измеримое множество A на плоскости, имеющее положительную плоскую меру 5, содержит измеримое подмножество M плоской меры Может ли равняться нулю мера множества, которое содержит хотя бы одну внутреннюю точку? 6. Какова мера Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 1? 7. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречается цифра Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 1 и Пусть E неизмеримое множество, E [0, 1] и множество A таково, что µ([0, 1]\A) = 0. Доказать, что E A неизмеримо. 10. Может ли объединение A = A n, n N возрастающей последова- 15

16 тельности измеримых множеств конечной меры иметь конечную меру? Бесконечную меру? 11. Доказать, что на прямой любое ограниченное измеримое множество E меры µ(e) = 3 содержит измеримое подмножество меры Пусть на отрезке [0, 5] заданы измеримые множества A и B такие, что µ(a) + µ(b)>4. Доказать, что µ(a B) > Построить счетное множество на прямой такое, что µ(a ) > Пусть G открытое множество на прямой и µ(g) = 3. Доказать, что существует открытое множество H G такое, что µ(h) = Можно ли на отрезке [3, 5] построить замкнутое множество, мера которого равна 2, но которое отлично от всего отрезка [3, 5]? 16. Доказать, что для любого открытого множества A, мера µ(a) > Пусть A, B измеримые множества и существуют множества E, F такие, что A E = B F, причем µ(e) = µ(f ) = 0. Показать, что тогда µ(a) = µ(b). 18. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [1, 2], в десятичной записи которых не встречается цифра Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 3 и Доказать, что на прямой любое ограниченное измеримое множество E меры µ(e) = 4 содержит измеримое подмножество меры Доказать, что в каждом совершенном множестве, есть совершенное подмножество меры нуль. 22. Доказать, что если A измеримое множество положительной меры на отрезке [a, b], то в нем существуют такие точки x и y, расстояние между которыми рационально. 23. Пусть G открытое множество на прямой и µ(g) = 6. Доказать, что существует открытое множество H G такое, что µ(h) = Можно ли на отрезке [ 1, 1] построить замкнутое множество, мера которого равна 2, но которое отлично от всего отрезка [ 1, 1]? 25. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 2? Задание Доказать, что если функции f и g измеримы на множестве E, то и функция m(x) = min {f(x), g(x)} измерима. 16

17 2. Доказать, что если функция f измерима на множестве E, то функция { f(x), f(x) n [f(x)] n = n, f(x) > n, n N также измерима. 3. Измерима ли функция f(x) = 1 x(x 1) на интервале (0, 1)? 4. Доказать, что если {f n (x)} ограниченная последовательность измеримых функций, то g(x) = sup f n (x) измерима. n 5. Доказать, что любая кусочно-монотонная на отрезке [a, b] функция измерима. 6. Измерима ли на множестве [0, 1] функция f(x) = { 1, при x [0, 1]\Q n, при x Q [0, 1]? 7. Доказать, что если функция, определенная на отрезке [a, b], измерима на любом отрезке вида [a + ε, b ε], где ε > 0, то она измерима и на всем отрезке [a, b]. 8. Доказать, что произведение функции Дирихле на произвольную функцию есть функция измеримая. 9. Измерима ли на интервале (0, π 2 ) функция { 0, x E f(x) = sin x, x / E, где E неизмеримое подмножество интервала (0, π 2 )? 10. Доказать, что если функция f измерима, то и f измерима. Верно ли обратное? 11. Измерима ли на всей числовой прямой функция { g(x), x E f(x) = 1 g(x), x / E, где E неизмеримое подмножество R, а g(x) непрерывна и не обращается в ноль на R? 12. Доказать, что если функции f и g измеримы, то измеримы также 17

18 функции f + g, f g, f g. 13. Измерима ли на интервале (0, π 2 ) функция { sin x, x E f(x) = cos x, x / E, где E неизмеримое подмножество интервала (0, π 2 )? 14. Описать те числа n, при которых из измеримости f n (x) следует измеримость f(x). 15. Измерима ли на всей числовой прямой функция { tgx, при x Q f(x) = sin x, при x / Q? 16. Доказать, что если f измеримая функция на множестве E, то f + (x) = = max{f(x), 0} измеримая функция на E. 17. Измерима ли на луче (0, + ) функция { 2 f(x) = x, x E x, x / E, где E неизмеримое подмножество луча (0, + )? 18. Доказать, что если f 3 (kx + b) измеримая функция, то и f(x) измерима, и наоборот. 19. Измерима ли на числовой прямой функция { k, x Ek f(x) = 1, x / E, где E = k=1 E k, а E k неизмеримые подмножества числовой прямой? 20. Доказать, что если функция f измерима, то 1 f измерима. 21. Измерима ли на луче (0, + ) функция { x f(x) = 2 + 3, x E ln x, x / E, где E неизмеримое подмножество луча (0, + )? 22. Измерима ли на всей числовой прямой функция f(x) = { cos x, x Q 2 x, x / Q? 18

19 23. Доказать, что характеристическая функция множества измерима тогда и только тогда, когда измеримо само множество. 24. Доказать, что непрерывные на отрезке [a, b] функции эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. 25. Доказать, что если функция f дифференцируема на отрезке [a, b], то ее производная измерима на [a, b]. Задание 8. Вычислить интеграл Лебега f(x) dµ, если он существует (ниже символом Ir обозначено множество Ir = R\Q): E 1 x + 4, при x Ir [ 1 x 16, 1] 1. f(x) = 4 x, при x Ir [1, 5 4 ], E = [ 1 16, 5 4 ] sin 2 x, при x Q 1, при x Ir [0, 1] 2. f(x) = (x + 1) 3, E = [0, 1] 7x, при x Q 1 1 +, при x Ir [0, 4] x 3. f(x) = 2x 3, E = [0, 5], при x Ir [4, 5] x 2 3x + 8 sin(3 + x 2 ), при x Q 4. f(x) = 1 x x2, E = (0, 1) x 2 x + 1 (x2 + 1), при x Ir [0, 3] 3 5. f(x) = 1 x, при x Ir [, E = [0, 3] 3, 3] 3 ln (1 + x), при x Q 1 6. f(x) =, E = (0, 1) { x(x 1) x cos 7. f(x) = 2 x, при x Ir [0, π] x sin 2, E = [0, π] x, при x Q 8. f(x) = x, E = ( 2, 1) { x 2 1 x 1, при x Ir (0, 1) 9. f(x) =, E = (0, 1) sin x, при x Q 10. f(x) = x2 x 4, E = (4, 5) 19

20 x 2 1, при x Ir [0, (x ) 3 ] 11. f(x) = x 4, при x Ir [ x ,, E = [0, 3] 3] 7, при x Q 12. f(x) = x 1 x2, E = (0, 1) arctg x 1 + x, при x Ir [0, 3] f(x) = 1 x + 2, при x Ir [ 3, 2], E = [0, 2] cos 2 x, при x Q x 14. f(x) =, E = (1, 2) x f(x) = cos 2 x 1 + tg x, при x Ir [0, π 4 ], E = [0, π 8x 2 4 ] + 4, при x Q x 16. f(x) =, E = ( 1, 1) 1 x f(x) = 1 x 1 + x 2, при x Ir [1 2, 1] (x 5 + 1) 3, при x Q 18. f(x) = x, E = (0, 2) x 2 1 x 2, при x Ir [2, 4] 19. f(x) = (x + 2) 2 (x + 4) 2 x 3,, при x Q 20. f(x) = x 1 x2, E = (1, 2) f(x) = 3, E = (1, 2) x 1, E = [ 1 2, 1], E = [2, 4] 22. f(x) = 3 1, E = ( 1, 8) x (1 x2 ) 23. f(x) =, при x Ir [ 1 x 2 2, 1], E = [ 1 x 3 + x 2 2, 1], при x Q f(x) = 4, E = (1, 2) { x 1 x sin 2 x, при x Ir [0, π] 25. f(x) = x cos 2, E = [0, π] x, при x Q 20

21 Рекомендуемая литература 1. Белугин В.И., Филиппова Т.Ф., Фомина Н.Г. Основы теории функций действительного переменного. Ек-бург: УрГПУ, Виленкин Н.Я., Балк М.Б., Петров В.А. Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл. М.: Просвещение, Вулих Б.З. Ведение в функциональный анализ. М.: Наука, Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, Данилин А.Р., Филиппова Т.Ф., Яхин Р.А. Введение в математику. Ек-бург: УрГПУ, Метрические пространства: метод. разработка. (Сост. Охезин С.П.) Свердловск, СГПИ, Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, Люстерник П.В., Соболев С.Л. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш.школа., Люстерник П.В., Соболев С.Л. Элементы функционального анализа. М.: Высш.школа., Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Общая теория множеств и функций. М.: Просвещение, Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М.: Физматгиз,

22 Подписано в печать. Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать на ризографе. Усл. печ. л. Тираж экз. Заказ. Оригинал-макет изготовлен и отпечатан в отделе множ. техники Уральского государственного педагогического университета Екатеринбург, просп. Космонавтов, 26