Задание 2. Решение. Задание 3. Решение.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задание 2. Решение. Задание 3. Решение."

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет О.Г. Вздорнова, И.А. Сушинцева, Н.В. Ткаленко Индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного" Методическая разработка

2 УДК ББК РЕЦЕНЗЕНТЫ: доктор физ.-мат. наук, проф. Т.Ф.Филиппова, ст. преп. Н.Г. Фомина Индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного". Методическая разработка / Урал. гос. пед. ун-т; Сост.: ассистенты кафедры математического анализа О.Г. Вздорнова, И.А.Сушинцева, Н.В.Ткаленко. Екатеринбург, с. ISBN Предназначена для студентов 3 курса математического факультета очного и заочного отделений. Включает индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного" и указания к их решению. Библиогр.: 13 назв.

3 Введение Данная методическая разработка предназначена для студентов математического факультета очного и заочного отделений и содержит индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного"с указаниями к их решению. Работа включает 8 заданий (25 вариантов в каждом) по следующим темам: множества, операции над множествами; взаимно однозначное соответствие, отображение множеств; мощность множеств, счетные множества, множества мощности континуум; структура открытых и замкнутых множеств; измеримость множеств, мера Лебега, измеримые функции; интеграл Лебега. Ниже приведены методические указания к решению задач. 1. Методические указания к решению Задание 1. Определить и изобразить на рисунках множества A, B, A B, A B, A\B, B\A, A B, где A = {(x, y) R 2 : x 1, y 1}, B = {(x, y) R 2 : x 1 1, y 1 1} Решение. Множества A, B, C = A B, D = A B, F = A\B, G = B\A, M = A B изображены на Рис.1-7, соответственно. 3

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 Задание 2. Пусть A, B, C подмножества некоторого множества X. Доказать, что (A\B) (B\A) = (A B)\(A B). Решение. Для доказательства данного равенства воспользуемся свойствами операций над множествами (ниже символом B обозначено дополнение B до всего множества X: B = X\B): (A\B) (B\A) = (A B) (B A) = ((A B) B) ((A B) A) = = (A B) X X (B A) = (A B) (B A) = = (A B) (A B) = (A B)\(A B). Задание 3. Установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1). Решение. Выделим на интервале (0, 1) последовательность точек {x n } = { 1 n+1}, n 1. Установим следующее соответствие: 0 x1, 1 x 2, x 1 x 3, и т.д. x n x n+2 (n 1). Тогда множество {0, 1, 1 2, 1 3,... } 4

5 взаимно однозначно отобразтится на множество { 1 2, 1 3, 1 4,... }. Остальным точкам x [0, 1] поставим в соответствие сами точки x (x x). Полученное отображение биективно. Задание 4. a) Доказать, что если для любого счетного A X верно равенство X\A = X, то множество X несчетно. b) Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты? Решение. a) Предположим противное: X счетное множество, тогда X = {x 1, x 2, x 3,..., x n,... }. Рассмотрим его счетное подмножество A = {x 5, x 6, x 7,..., x n,... }, тогда X\A = {x 1, x 2, x 3, x 4 } и X\A = 4. Таким образом, для X нашлось счетное подмножество, такое что X\A X, что противоречит предположению. b) Всякий треугольник на плоскости однозначно определяется координатами своих вершин. Тогда каждому треугольнику данного множества соответствует элемент из M = Q 2 Q 2 Q 2 (набор рациональных координат его вершин) и наоборот. Множество M счетно как декартово произведение конечного числа счетных множеств. Значит M = ℵ 0 и, следовательно, семейство таких треугольников счетно. Задание 5. Доказать, что отрезок [a, b] нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. Решение. Предположим, что [a, b] = F G, где F и G замкнуты, непусты и не пересекаются. Поскольку каждое из множеств F, G является замкнутым, непустым и ограниченным снизу числовым множеством, то F и G содержат свои наименьшие точки. Одна из этих точек обязательно совпадет с a, т.к. [a, b] = F G. Пусть, например, для множества F это будет точка a, а для множества G некоторая точка c. Очевидно, что c (a, b] и, следовательно, c > a (так как F G = ). Поскольку [a, b] = F G и c наименьшая точка множества G, то [a, c) F, а так как множество F замкнуто, то и [a, c] F. Значит точка c принадлежит одновременно и множеству F и множеству G, что противоречит тому, что эти множества не пересекаются. Таким образом отрезок [a, b] нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. Задание 6. Найти меру Лебега множества тех точек отрезка [0, 1], 5

6 которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7. Решение. Пусть E множество тех точек отрезка [0, 1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7. Это множество строится следующим образом: делим отрезок [0, 1] на десять равных частей и выбрасываем интервал (0.7, 0.8). Затем каждый из оставшихся отрезков первого ранга: [0, 0.1], [0.1, 0.2], [0.2, 0.3], [0.3, 0.4], [0.4, 0.5], [0.5, 0.6], [0.6, 0.7], [0.8, 0.9], [0.9, 1] делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них седьмой интервал, то есть из [0, 0.1] интервал (0.07, 0.08); из [0.1, 0.2] (0.17, 0.28) и т.д. Затем каждый из оставшихся отрезков второго ранга делим на 10 равных частей и выкидываем 7-ой из них и т.д. Построенное таким образом множество E есть нигде не плотное совершенное множество на отрезке [0, 1] (доказывается так же, как для канторового множества). Мера дополнительного множества равна сумме длин смежных интервалов: µē = k +... = k+1 Следовательно, µe=0. Задание 7. Доказать, что если функция f измерима на E, то и функция f (x) = min{f(x), 0} измерима на E. Решение. Рассмотрим множества E(f > c) = {x E : f (x) > c} для всех действительных c и докажем, что они измеримы. Функцию f можно представить иначе: { f(x), f(x) 0 f (x) = 0, f(x) > 0 Отсюда, получаем E(f > c) = { E(f < 0) = {x E : f(x) < 0}, c 0 E, c < 0 Из измеримости f следует, что для каждого c R множество E(f > c) измеримо. Тогда функция f измерима по определению. Задание 8. Вычислить интеграл Лебега E f(x) dµ, если он существует: 6

7 { 1, при x (0, 1)\Q f(x) = x2, E = (0, 1) 6x + 7, при x (0, 1) Q Решение. Рассмотрим функцию g(x) = 1 x2. Из определения функции f(x) следует, что f(x) = g(x) почти всюду. Тогда f(x) dµ = g(x) dµ (0,1) (0,1) Вычислим интеграл от g(x). Функция g(x) пожительна и неограничена на (0, 1). Построим "срезку" g(x) числом n > 0: n, при 1 [g(x)] n = x > n 1 2 x 2, при 1 x n 2 Иначе, [g(x)] n = n, при 0 < x < 1 n 1 1 x2, при x < 1 n Вычислим интеграл от [g(x)] n. Функция [g(x)] n непрерывна на (0, 1), а значит интегрируема по Риману: (L) (0,1) По определению [g(x)] n dµ = (R) (0,1) 1 n 0 1 ndx + (R) 1 n g(x) dµ = lim n (2 n 1) =. 1 x 2dx = 2 n 1 Значит функция g(x), а следовательно, и эквивалентная ей функция f(x) не интегрируемы по Лебегу на (0, 1). 7

8 2. Варианты индивидуальных заданий Задание 1. Определить и изобразить на рисунках множества A, B, A B, A B, A\B, B\A, A B. 1. A = {(x, y) R 2 : x = y}, B = {(x, y) R 2 : x + y 1} 2. A = {(x, y) R 2 : y = x}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} 3. A = {(x, y) R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) R 2 : x 2 + (y 1) 2 1} 4. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} 5. A = {(x, y) R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) R 2 : (x + 1) 2 + (y + 1) 2 1} 6. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x + y 1} 7. A = {(x, y) R 2 : x y}, B = {(x, y) R 2 : 9x 2 + y 2 36} 8. A = {(x, y) R 2 : x y}, B = {(x, y) R 2 : 4x 2 + 9y 2 36} 9. A = {(x, y) R 2 : max { x, y } = 1}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} 10. A = {(x, y) R 2 : max { x, y } 2}, B = {(x, y) R 2 : y x + 1} 11. A = {(x, y) R 2 : y x 2 }, B = {(x, y) R 2 : y 4 x 2 } 12. A = {(x, y) R 2 : x = y}, B = {(x, y) R 2 : x + y 2} 13. A = {(x, y) R 2 : x + y 3}, B = {(x, y) R 2 : max { x, y } 2} 14. A = {(x, y) R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + (y + 1) 2 1} 15. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + (y + 1) 2 1} 16. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} 17. A = {(x, y) R 2 : y = x 2 }, B = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + (y 1) 2 4} 8

9 18. A = {(x, y) R 2 : x 2 = y}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} 19. A = {(x, y) R 2 : xy 0}, B = {(x, y) R 2 : x + y 2 1}} 20. A = {(x, y) R 2 : x = y}, B = {(x, y) R 2 : (x 2) 2 + (y + 3) 2 1} 21. A = {(x, y) R 2 : x y}, B = {(x, y) R 2 : 9x 2 + y 2 9} 22. A = {(x, y) R 2 : x y}, B = {(x, y) R 2 : x 2 + 4y 2 4} 23. A = {(x, y) R 2 : x + y 2}, B = {(x, y) R 2 : 9x 2 + y 2 9} 24. A = {(x, y) R 2 : max { x, y } 2}, B = {(x, y) R 2 : x y} 25. A = {(x, y) R 2 : max { x, y } 2}, B = {(x, y) R 2 : 4 x 2 y} Задание 2. Пусть A, B, C - подмножества некоторого множества X. Доказать, что 1) (X\C)\(X\A) A\C; 2) (X\C)\B = X\(C B); 3) A\C (A\B) (B\C); 4) (A B) C = (A C) (B C); 5) A B X\B X\A; 6) A B = X\((X\A) (X\B)); 7) A B = A (A B); 8) A\B = A (A B); 9) если A B = A, то B = Ø; 10) (A C) (B C) = (A B C)\(A B C); 11) (A B) C (A C) (B C); 12) A B = (X\A) (X\B); 13) A (A B) = B; 14) A (B C) = (A B) (A C); 15) (A B) (C D) = (A C) (B D); 16) (A\B) C = (A C)\(B C); 17) (A\C)\(B\A) (A\C) (A\B) (B\C); 18) A (B C) = (A B) (A C); 9

10 19) A B (A C) (B C); 20) A\(B\C) = (A\B) (A C); 21) (A\B)\C = (A\C)\(B\C); 22) (A B)\C = (A\C) (B\C); 23) если C A, то A\(B\C) = (A\B) C; 24) (A B)\C = (A\C) (B\C); 25) (A\B) C = (A C)\B. Задание 3. Установить взаимно однозначное соответствие 1) между полуотрезком [0, 1) и полуосью [0, + ); 2) между интервалом (0, 1) и отрезком [0, 1]; 3) между отрезком [0, 1] и всей числовой прямой R; 4) между множествами [0, 3] и [0, 1) [2, 3]; 5) между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1]; 6) между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом; 7) между поверхностью сферы с одной выколотой точкой и плоскостью; 8) между множеством [0, 1] {2, 3} и интервалом (0, 1); 9) между множеством всех иррациональных чисел и множеством всех действительных чисел; 10) между числовой прямой R и интервалом (a, b); 11) между отрезком [0, 1] и лучом [0, ); 12) между лучом [0, ) и всей числовой прямой R; 13) между лучом [0, ) и интервалом (a, b); 14) между точками открытого квадрата ( π 2, π 2 ) ( π 2, π 2 ) и точками открытого прямоугольника (a, b) (c, d); 15) между точками открытого квадрата ( π 2, π 2 ) ( π 2, π 2 ) и точками плоскости; 16) между замкнутым единичным кругом и дополнением к открытому единичному кругу; 17) между замкнутым единичным кругом и дополнением к нему; 18) между окружностью и прямой; 19) между множествами [0, 5] и [0, 1] [2, 3] [4, 5]; 20) между открытым единичным кругом и множеством точек плоскости, являющихся дополнением к замкнутому единичному кругу; 21) между точками открытого прямоугольника (a, b) (c, d) и точками плоскости; 22) между плоскостью и открытым квадратом ( π 2, π 2 ) ( π 2, π 2 ); 10

11 23) между всей поверхностью сферы и плоскостью; 24) между множествами (, 0] [1, + ) и (0, 1); 25) между множествами [ 1, 0] { 1 n : n = 1, 2,...} и (0, 1). Задание a) Доказать, что если A\B = B\A, то A = B. b) Какова мощность бесконечного множества попарно непересекающихся интервалов на прямой? 2. a) Доказать, что если A B и A = A C, то B = B C. b) Какова мощность множества всех конечных последовательностей действительных чисел? 3. a) Верно ли утверждение: "Если A = C, B = D, причем B A, D C, то A\B = C\D "? b) Какова мощность множества M точек на плоскости с целочисленными координатами? 4. a) Пусть C A, D B, C B = C. Доказать, что A D = A. b) Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел? 5. a) Верно ли утверждение: "Если A = B, A C, B C, то C\A = C\B "? b) Какова мощность множества P[x] всех многочленов с целыми коэффициентами? 6. a) Верно ли утверждение: "Если A = B, C A, C B, то A\C = B\C "? b) Какова мощность множества всех кругов на плоскости? 7. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что любой круг равномощен любому квадрату. b) Какова мощность множества всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра которых рациональные числа? 8. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что на плоскости замкнутый круг и открытый круг того же радиуса эквивалентны. b) Какова мощность множества всех многочленов с произвольными действительными коэффициентами? 9. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости. b) Какова мощность множества всех конечных десятичных дробей? 11

12 10. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность любого отрезка и любого интервала на прямой. b) Какова мощность множества всевозможных последовательностей рациональных чисел 11. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность плоскости и открытого круга на плоскости. b) Какова мощность множества уравнений вида a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0 = 0, где коэффициенты - рациональные числа, а n- натуральное число? 12. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность замкнутого эллипса и замкнутого круга на плоскости. b) Какова мощность множества точек {(x, y) R 2 : y > x 2 }? 13. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность любого замкнутого шара и куба в трехмерном пространстве. b) Какова мощность множества всех конечных подмножеств множества натуральных чисел? 14. a) Пусть A = B и A и B бесконечные множества. Существует ли подмножество множества A, отличное от A, эквивалентное B? b) Какова мощность множества всех сторого возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке? 15. a) Пусть A = B и A и B бесконечные множества. Существует ли множество, содержащее множество A, отличное от A, эквивалентное B? b) Какова мощность множества чисел вида n k, где n, k натуральные? 16. a) Можно ли сказать, что если A = B, то A = B и, наоборот, если A = B, то A = B? b) Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь отсутствует цифра 5? 17. a) Верно ли утверждение: "Если E - бесконечное множество чисел, расположенное на луче (0, + ), то найдется такое число τ > 0, что множество E (τ, + ) бесконечно"? b) Какова мощность множества всех точек плоскости с целыми координатами, расположенных вне квадрата с центром в начале координат и стороной a? 18. a) Верно ли утверждение, что если A = B, то A\B = B\A? 12

13 b) Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь имеется цифра 5? 19. a) Верно ли утверждение, что если A = B, C = D, то A C = = B D? b) Какова мощность бесконечного множества отрезков, лежащих на прямой и не имеющих общих внутренних точек? 20. a) Верна ли формула: A B = B A? b) Доказать, что если A = B C и A имеет мощность континуум, то по крайней мере одно из множеств B и C имеет мощность континуум. 21. a) Верна ли формула: (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 )? b) Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно. 22. a) Доказать, что для любого конечного множества A, содержащего m элементов, множество всех его подмножеств содержит 2 m элементов. b) Доказать, что если A = A n, n N и A имеет мощность континуум, то по крайней мере одно из множеств A n имеет мощность континуум. 23. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна, что замкнутый эллипс и открытый квадрат на плоскости эквивалентны. b) Какова мощность множества строго возрастающих последовательностей натуральных чисел? 24. a) Пусть A, B R. Верна ли формула: A B arctg A arctg B? b) Какова мощность множества всех действительных чисел, заключеных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь цифра 3 находится на втором месте? 25. a) Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность трехмерного пространства и замкнутого куба. b) Какова мощность множества всех логарифмических функций y = log a x, где a R, a > 0, a 1? Задание Множество A = A A, где A множество всех предельных точек A, называется замыканием множества A. Доказать, что A замкнуто тогда и только тогда, когда A = A. 13

14 2. Доказать, что A наименьшее замкнутое множество, то есть A = {F : A F }, где все F замкнуты. 3. Доказать, что для любых множеств A и B выполняется равенство A B = A B. 4. Доказать, что для любого множества A из того что A B следует, что A B. 5. Обозначим через inta множество внутренних точек множества A. Доказать, что R\A = int(r\a), R\intA = R\A. 6. Доказать, что inta A. Привести пример, когда эти множества различны. 7. Доказать, что если множества A и B открыты и A B =, то A B = и A B = (хотя, возможно A B ). 8. Доказать, что inta A. Привести пример, когда эти множества различны. 9. Доказать, что если множество A на прямой замкнуто и ограничено, то любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 10. Доказать, что если множество A на прямой ограничено, но не замкнуто, то неверно утверждение: любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 11. Доказать, что если множество A на прямой замкнуто, но не ограничено, то неверно утверждение: любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 12. Доказать, что если функция y = f(x) непрерывна, то ее график G = {(x, y) : y = f(x)} замкнутое множество на плоскости. 13. Пусть f(x), g(x) две непрерывные функции. Доказать, что множество точек {x : f(x) = g(x)} замкнуто на числовой прямой. 14. Пусть f(x), g(x) две непрерывные функции. Доказать, что множество точек {x : f(x) g(x)} замкнуто на числовой прямой. 15. Пусть f(x) непрерывная функция. Доказать, что для любого a R множество точек {x : f(x) = a} замкнуто на числовой прямой. 16. Пусть f(x) непрерывная функция. Доказать, что для любого a R множество точек {x : f(x) a} замкнуто на числовой прямой. 17. Доказать, что внутренность любого множества есть наибольшее открытое множество, содержащееся в нем. 18. Всегда ли объединение конечного семейства совершенных множеств является совершенным множеством? 14

15 19. Верно ли утверждение: "Внутренность пересечения двух множеств равна пересечению их внутренностей"? 20. Верно ли утведждение: "Внутренность объединения двух множеств равна объединению их внутренностей"? 21. Доказать, что граница объединения двух множеств содержится в объединении их границ. 22. Доказать, что замыкание каждого множества замкнуто. 23. Пусть f(x) непрерывная функция, определенная всюду на оси Ox. Доказать, что множество тех точек оси Ox, где f(x) > a, открыто. 24. Построить последовательность открытых множеств, пересечение которых не является открытым. 25. Доказать, что интервал (a, b) нельзя представить в виде объединения счетной совокупности попарно не пересекающихся замкнутых множеств. Задание Доказать, что всякое измеримое множество A положительной линейной меры имеет мощность континуум. 2. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 3? 3. Доказать, что всякое множество A, расположенное на действительной оси (даже если оно является неизмеримым множеством на прямой), измеримо на плоскости Oxy и его плоская мера равна Доказать, что любое измеримое множество A на плоскости, имеющее положительную плоскую меру 5, содержит измеримое подмножество M плоской меры Может ли равняться нулю мера множества, которое содержит хотя бы одну внутреннюю точку? 6. Какова мера Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 1? 7. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречается цифра Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 1 и Пусть E неизмеримое множество, E [0, 1] и множество A таково, что µ([0, 1]\A) = 0. Доказать, что E A неизмеримо. 10. Может ли объединение A = A n, n N возрастающей последова- 15

16 тельности измеримых множеств конечной меры иметь конечную меру? Бесконечную меру? 11. Доказать, что на прямой любое ограниченное измеримое множество E меры µ(e) = 3 содержит измеримое подмножество меры Пусть на отрезке [0, 5] заданы измеримые множества A и B такие, что µ(a) + µ(b)>4. Доказать, что µ(a B) > Построить счетное множество на прямой такое, что µ(a ) > Пусть G открытое множество на прямой и µ(g) = 3. Доказать, что существует открытое множество H G такое, что µ(h) = Можно ли на отрезке [3, 5] построить замкнутое множество, мера которого равна 2, но которое отлично от всего отрезка [3, 5]? 16. Доказать, что для любого открытого множества A, мера µ(a) > Пусть A, B измеримые множества и существуют множества E, F такие, что A E = B F, причем µ(e) = µ(f ) = 0. Показать, что тогда µ(a) = µ(b). 18. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [1, 2], в десятичной записи которых не встречается цифра Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 3 и Доказать, что на прямой любое ограниченное измеримое множество E меры µ(e) = 4 содержит измеримое подмножество меры Доказать, что в каждом совершенном множестве, есть совершенное подмножество меры нуль. 22. Доказать, что если A измеримое множество положительной меры на отрезке [a, b], то в нем существуют такие точки x и y, расстояние между которыми рационально. 23. Пусть G открытое множество на прямой и µ(g) = 6. Доказать, что существует открытое множество H G такое, что µ(h) = Можно ли на отрезке [ 1, 1] построить замкнутое множество, мера которого равна 2, но которое отлично от всего отрезка [ 1, 1]? 25. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 2? Задание Доказать, что если функции f и g измеримы на множестве E, то и функция m(x) = min {f(x), g(x)} измерима. 16

17 2. Доказать, что если функция f измерима на множестве E, то функция { f(x), f(x) n [f(x)] n = n, f(x) > n, n N также измерима. 3. Измерима ли функция f(x) = 1 x(x 1) на интервале (0, 1)? 4. Доказать, что если {f n (x)} ограниченная последовательность измеримых функций, то g(x) = sup f n (x) измерима. n 5. Доказать, что любая кусочно-монотонная на отрезке [a, b] функция измерима. 6. Измерима ли на множестве [0, 1] функция f(x) = { 1, при x [0, 1]\Q n, при x Q [0, 1]? 7. Доказать, что если функция, определенная на отрезке [a, b], измерима на любом отрезке вида [a + ε, b ε], где ε > 0, то она измерима и на всем отрезке [a, b]. 8. Доказать, что произведение функции Дирихле на произвольную функцию есть функция измеримая. 9. Измерима ли на интервале (0, π 2 ) функция { 0, x E f(x) = sin x, x / E, где E неизмеримое подмножество интервала (0, π 2 )? 10. Доказать, что если функция f измерима, то и f измерима. Верно ли обратное? 11. Измерима ли на всей числовой прямой функция { g(x), x E f(x) = 1 g(x), x / E, где E неизмеримое подмножество R, а g(x) непрерывна и не обращается в ноль на R? 12. Доказать, что если функции f и g измеримы, то измеримы также 17

18 функции f + g, f g, f g. 13. Измерима ли на интервале (0, π 2 ) функция { sin x, x E f(x) = cos x, x / E, где E неизмеримое подмножество интервала (0, π 2 )? 14. Описать те числа n, при которых из измеримости f n (x) следует измеримость f(x). 15. Измерима ли на всей числовой прямой функция { tgx, при x Q f(x) = sin x, при x / Q? 16. Доказать, что если f измеримая функция на множестве E, то f + (x) = = max{f(x), 0} измеримая функция на E. 17. Измерима ли на луче (0, + ) функция { 2 f(x) = x, x E x, x / E, где E неизмеримое подмножество луча (0, + )? 18. Доказать, что если f 3 (kx + b) измеримая функция, то и f(x) измерима, и наоборот. 19. Измерима ли на числовой прямой функция { k, x Ek f(x) = 1, x / E, где E = k=1 E k, а E k неизмеримые подмножества числовой прямой? 20. Доказать, что если функция f измерима, то 1 f измерима. 21. Измерима ли на луче (0, + ) функция { x f(x) = 2 + 3, x E ln x, x / E, где E неизмеримое подмножество луча (0, + )? 22. Измерима ли на всей числовой прямой функция f(x) = { cos x, x Q 2 x, x / Q? 18

19 23. Доказать, что характеристическая функция множества измерима тогда и только тогда, когда измеримо само множество. 24. Доказать, что непрерывные на отрезке [a, b] функции эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. 25. Доказать, что если функция f дифференцируема на отрезке [a, b], то ее производная измерима на [a, b]. Задание 8. Вычислить интеграл Лебега f(x) dµ, если он существует (ниже символом Ir обозначено множество Ir = R\Q): E 1 x + 4, при x Ir [ 1 x 16, 1] 1. f(x) = 4 x, при x Ir [1, 5 4 ], E = [ 1 16, 5 4 ] sin 2 x, при x Q 1, при x Ir [0, 1] 2. f(x) = (x + 1) 3, E = [0, 1] 7x, при x Q 1 1 +, при x Ir [0, 4] x 3. f(x) = 2x 3, E = [0, 5], при x Ir [4, 5] x 2 3x + 8 sin(3 + x 2 ), при x Q 4. f(x) = 1 x x2, E = (0, 1) x 2 x + 1 (x2 + 1), при x Ir [0, 3] 3 5. f(x) = 1 x, при x Ir [, E = [0, 3] 3, 3] 3 ln (1 + x), при x Q 1 6. f(x) =, E = (0, 1) { x(x 1) x cos 7. f(x) = 2 x, при x Ir [0, π] x sin 2, E = [0, π] x, при x Q 8. f(x) = x, E = ( 2, 1) { x 2 1 x 1, при x Ir (0, 1) 9. f(x) =, E = (0, 1) sin x, при x Q 10. f(x) = x2 x 4, E = (4, 5) 19

20 x 2 1, при x Ir [0, (x ) 3 ] 11. f(x) = x 4, при x Ir [ x ,, E = [0, 3] 3] 7, при x Q 12. f(x) = x 1 x2, E = (0, 1) arctg x 1 + x, при x Ir [0, 3] f(x) = 1 x + 2, при x Ir [ 3, 2], E = [0, 2] cos 2 x, при x Q x 14. f(x) =, E = (1, 2) x f(x) = cos 2 x 1 + tg x, при x Ir [0, π 4 ], E = [0, π 8x 2 4 ] + 4, при x Q x 16. f(x) =, E = ( 1, 1) 1 x f(x) = 1 x 1 + x 2, при x Ir [1 2, 1] (x 5 + 1) 3, при x Q 18. f(x) = x, E = (0, 2) x 2 1 x 2, при x Ir [2, 4] 19. f(x) = (x + 2) 2 (x + 4) 2 x 3,, при x Q 20. f(x) = x 1 x2, E = (1, 2) f(x) = 3, E = (1, 2) x 1, E = [ 1 2, 1], E = [2, 4] 22. f(x) = 3 1, E = ( 1, 8) x (1 x2 ) 23. f(x) =, при x Ir [ 1 x 2 2, 1], E = [ 1 x 3 + x 2 2, 1], при x Q f(x) = 4, E = (1, 2) { x 1 x sin 2 x, при x Ir [0, π] 25. f(x) = x cos 2, E = [0, π] x, при x Q 20

21 Рекомендуемая литература 1. Белугин В.И., Филиппова Т.Ф., Фомина Н.Г. Основы теории функций действительного переменного. Ек-бург: УрГПУ, Виленкин Н.Я., Балк М.Б., Петров В.А. Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл. М.: Просвещение, Вулих Б.З. Ведение в функциональный анализ. М.: Наука, Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, Данилин А.Р., Филиппова Т.Ф., Яхин Р.А. Введение в математику. Ек-бург: УрГПУ, Метрические пространства: метод. разработка. (Сост. Охезин С.П.) Свердловск, СГПИ, Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, Люстерник П.В., Соболев С.Л. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш.школа., Люстерник П.В., Соболев С.Л. Элементы функционального анализа. М.: Высш.школа., Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Общая теория множеств и функций. М.: Просвещение, Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М.: Физматгиз,

22 Подписано в печать. Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать на ризографе. Усл. печ. л. Тираж экз. Заказ. Оригинал-макет изготовлен и отпечатан в отделе множ. техники Уральского государственного педагогического университета Екатеринбург, просп. Космонавтов, 26

Теория функций действительного переменного Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета

Теория функций действительного переменного Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Математический факультет Теория функций действительного переменного Методические рекомендации

Подробнее

Эквивалентные множества

Эквивалентные множества Эквивалентные множества Теоретические вопросы. Множества конечные и бесконечные.. Сравнение множеств.. Счетные множества..4 Свойства счетных множеств..5 Эквивалентные множества..6 Несчетные множества..7

Подробнее

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение)

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение) Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ 1. Тождества теории множеств (продолжение) Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда Также нам понадобится, что A \ B = A (P

Подробнее

Общая топология II: Метрические пространства, полнота, компактность

Общая топология II: Метрические пространства, полнота, компактность Листок 9д сентябрь 013 Общая топология II: Метрические пространства, полнота, компактность Часть 1: Метрические пространства Определение 1. Метрическим пространством называется множество M вместе с функцией

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ (БФ ФГБОУ ВО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

Подробнее

Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда

Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда ЛЕКЦИЯ 1А Свойства измеримых множеств. Примеры вычисления меры. Отношение эквивалентности 0. Тождества теории множеств (продолжение) Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда

Подробнее

ПРАКТИКУМ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. Учебно - методическое пособие

ПРАКТИКУМ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. Учебно - методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского А.А. Нуятов ПРАКТИКУМ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Учебно - методическое пособие Рекомендовано

Подробнее

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ А.П.Старовойтов ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ по функциональному анализу и интегральным уравнениям ЧАСТЬ Гомель 04 ВВЕДЕНИЕ Данное учебное пособие предназначено для

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

ПРОГРАММА КУРСА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (осенний семестр 2015 г.)

ПРОГРАММА КУРСА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (осенний семестр 2015 г.) ПРОГРАММА КУРСА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (осенний семестр 205 г.). Измеримые по Лебегу множества и мера Лебега в R n. Аксиома выбора и существование неизмеримого по Лебегу множества. Измеримые функции и их

Подробнее

Математический анализ и топология

Математический анализ и топология Математический анализ и топология Д. Вельтищев ЛЭШ-2006 Предисловие Это краткий конспект курса анализа для ЛЭШ-2006. Он включает в себя основы анализа и топологии, изложенные так, чтобы их можно было перенести

Подробнее

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа Математический анализ -й семестр -го курса НМУ 205-206 учебного года. М. Э. Казарян Программа. Рациональные и вещественные числа. Рациональное число как класс эквивалентности пар целых чисел. Рациональное

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А Р МИРОТИН, Ж Н КУЛЬБАКОВА, И В ПАРУКЕВИЧ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: МЕРА

Подробнее

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Определения и свойства Напомним определение, данное на лекции. Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на отрезке [; b], если для

Подробнее

Список задач к экзамену по курсу «Введение в топологию» 1 (осень 2016, 2 курс, 2 поток; лектор проф. А. А. Гайфуллин)

Список задач к экзамену по курсу «Введение в топологию» 1 (осень 2016, 2 курс, 2 поток; лектор проф. А. А. Гайфуллин) Список задач к экзамену по курсу «Введение в топологию» 1 (осень 2016, 2 курс, 2 поток; лектор проф. А. А. Гайфуллин) 1. Перечислите все наборы подмножеств трёхэлементного множества такие, что существуют

Подробнее

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа Математический анализ -й семестр -го курса НМУ 205-206 учебного года. М. Э. Казарян Программа. Рациональные и вещественные числа. Рациональное число как класс эквивалентности пар целых чисел. Рациональное

Подробнее

Если мера, A S, то значение (A) (конечное или равное + ) функции называется мерой множества A., определенная на полукольце S, удовлетворяющая

Если мера, A S, то значение (A) (конечное или равное + ) функции называется мерой множества A., определенная на полукольце S, удовлетворяющая ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА МЕРА. ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть S полукольцо подмножеств множества X. Функция : S [0+ ] тождественно не равная + называется

Подробнее

Занятие если A B, то C A C B ; 4. A B B A; 5. (A B) C A (B C);

Занятие если A B, то C A C B ; 4. A B B A; 5. (A B) C A (B C); Занятие 18 Задача 18.1. Пусть множества A и B равномощны. Докажите, что множества A A и B B также равномощны. Решение. Пусть имеется биекция f : A B. Рассмотрим отображение g : A A B B, т. ч. g(a 1, a

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Типовые задачи

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Типовые задачи МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА П. Ю. Глазырина М. В. Дейкалова Л. Ф. Коркина ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ 1 Понятие множества. Операции над множествами В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве точек на прямой,

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией.

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть -аддитивная мера, определенная на -алгебре подмножеств множества X. Мы будем предполагать, что мера является

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

1. Что такое двумерные поверхности

1. Что такое двумерные поверхности Н. Б. Гончарук, Ю. Г. Кудряшов Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2011-12 уч. год. Топология двумерных поверхностей Формальное определение многообразия (8 ноября) Н. Б. Гончарук, Ю. Г. Кудряшов 1. Что такое

Подробнее

О. Б. Васюнина, С. В. Самуйлова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

О. Б. Васюнина, С. В. Самуйлова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» О. Б. Васюнина, С. В.

Подробнее

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 514.17 НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Пусть выпуклой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства Г. Н. Яковлев Функциональные пространства УДК 517 Я47 Пособие содержит краткое введение в теорию метрических, нормированных и евклидовых пространств, а также в теорию обобщённых функций, и является заключительной

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее

Семинар Лекция 5 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. 1. Примеры и контрпримеры

Семинар Лекция 5 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. 1. Примеры и контрпримеры Семинар Лекция 5 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 1. Примеры и контрпримеры Мы начнём с рассмотрения примеров, демонстрирующих необходимость осторожного использования интуиции при решении вопросов, связанных

Подробнее

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 29 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

Задачи по функциональному анализу (V семестр)

Задачи по функциональному анализу (V семестр) Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Кафедра Общей Математики Задачи по функциональному анализу (V семестр) лектор доцент Н. Ю.

Подробнее

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС. Задача 1. Доказать, что x 4 4x + 4 > 0 для любого вещественного x.

Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС. Задача 1. Доказать, что x 4 4x + 4 > 0 для любого вещественного x. Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС Задача 1. Доказать, что x 4 4x + 4 > 0 для любого вещественного x. Решение. x 4 4x + 4 = (x 2 1) 2 + 2(x 1) 2 + 1 1 > 0. Задача 2. На плоскости

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА И КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА И КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.

Подробнее

1 Метрические пространства. Пространства R n

1 Метрические пространства. Пространства R n Метрические пространства. Пространства R n. Расстояние. Сходимость в метрическом пространстве Определение.. Пусть E произвольное непустое множество, а x,y,z,u,v,... его элементы. Это множество называется

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ

С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ Учебное пособие Новосибирск 2012 ББК В.162.12

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства Примеры и контрпримеры

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства Примеры и контрпримеры ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1 1. Примеры и контрпримеры Мы начнём с рассмотрения примеров, демонстрирующих необходимость осторожного использования интуиции при решении вопросов, связанных с метрическими

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 1 ВЕ Алексеев 2014 Глава 1 Множества 11 Понятие множества Под множеством математики понимают соединение каких-либо объектов в одно целое Создатель теории множеств немецкий математик

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

, то из теоремы 11 и определения компоненты следует, что H

, то из теоремы 11 и определения компоненты следует, что H Лекция 2 Тема: Свойства топологических пространств. Гомеоморфизм. Топологические многообразия. План лекции. Свойства топологических пространств: отделимость, компактность, связность. 2. Непрерывное отображение

Подробнее

Лекция 4 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и пример.

Лекция 4 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и пример. Лекция 4 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение и пример. Определение 1. Множество Y называется метрическим пространством, если на нем задана вещественная функция d : Y Y R 1 + такая, что выполнены следующие

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Лекция 1 Топологические пространства 1

Лекция 1 Топологические пространства 1 Лекция 1 Топологические пространства 1 Ключевые слова: топология, открытое множество, топологическое пространство, окрестность, внутренние и внешние точки, замкнутое множество, база топологии, отображения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса.

Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса. Центр Образования 1434 г.москвы, Физико-математический класс Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса. Учитель математики Друца Алексей Валерьевич

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ТОПОЛОГИЯ ПРЯМОЙ: ВЗAИМНОЕ РAСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И МНОЖЕСТВ

ТОПОЛОГИЯ ПРЯМОЙ: ВЗAИМНОЕ РAСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И МНОЖЕСТВ ТОПОЛОГИЯ ПРЯМОЙ: ВЗAИМНОЕ РAСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И МНОЖЕСТВ Ю.П. Золотухин В школе достаточно подробно изучаются свойства фигур на плоскости и в пространстве. На прямой также имеются разнообразные фигуры

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

ЛОМАНЫЕ ЭЙЛЕРА В СИСТЕМАХ C ИЗМЕРИМОЙ ПО ВРЕМЕНИ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ. Хлопин Д.В.

ЛОМАНЫЕ ЭЙЛЕРА В СИСТЕМАХ C ИЗМЕРИМОЙ ПО ВРЕМЕНИ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ. Хлопин Д.В. 244 Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции ЛОМАНЫЕ ЭЙЛЕРА В СИСТЕМАХ C ИЗМЕРИМОЙ ПО ВРЕМЕНИ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ. Хлопин Д.В. e-mail: khlopin@imm.uran.ru Введение В работе для систем с разрывной по времени

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Конспект лекции 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Конспект лекции 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Конспект лекции 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 0. План лекции ПЕРВЫЙ ЧАС. Поле комплексных чисел. 1. Аксиомы поля "4+1+2". 1.1. Определение поля; 1.2.! нулевого и единичного элементов; 1.3. Расширение поля и подполе;

Подробнее

Теория Меры 3: Интегрирование

Теория Меры 3: Интегрирование Теория Меры 3: Интегрирование 3.1. Измеримые функции Определение 3.1. Пусть дано пространство M с заданной на нем σ-алгеброй U. Мы говорим, что подмножество M измеримо, если оно лежит в U. Пусть топологическое

Подробнее

Элементы топологии. 2.1 Топологические пространства и непрерывные отображения

Элементы топологии. 2.1 Топологические пространства и непрерывные отображения Глава 2 Элементы топологии План. Непрерывная функция на прямой, база окрестностей, непрерывное в точке отображение, непрерывное отображение, открытое множество, окрестность точки, топология, топологическое

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

Подробнее

Элементы топологии. Глава Топологические пространства и непрерывные отображения База окрестностей

Элементы топологии. Глава Топологические пространства и непрерывные отображения База окрестностей Глава 2 Элементы топологии План. Непрерывная функция на прямой, база окрестностей, непрерывное в точке отображение, непрерывное отображение, открытое множество, окрестность точки, топология, топологическое

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 09 декабря семестр 1, часть II 17-45, главный корпус НГУ, МА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 09 декабря семестр 1, часть II 17-45, главный корпус НГУ, МА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 09 декабря семестр 1, часть II 17-45, главный корпус НГУ, МА Функции и отображения. 1. Сформулировать определение тождественного отображения.

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором 2. Множества Эта и следующая лекция будут посвящены теоретико-множественному языку, которым пользуются все математики. Множество «начальное» математическое понятие, и потому этому понятию невозможно дать

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

20. Топологические пространства и пределы

20. Топологические пространства и пределы 20. Топологические пространства и пределы В конце прошлой лекции мы определили метрические пространства. На каждом метрическом пространстве можно естественным способом ввести топологию. Обозначение 20.1.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

ПОЛНОТА И КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

ПОЛНОТА И КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ПОЛНОТА И КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть X. Отображение : X X R которое каждой паре ( x y) X X ставит в

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

Меры на сигма-алгебрах.

Меры на сигма-алгебрах. Тема 2 Меры на сигма-алгебрах. Идея меры является далеко идущим обобщением первоначального представления о площади и объеме подмножеств R n. Естественные требования, предъявляемые к объему, таковы: объем

Подробнее

Семинар 3. Предел функции нескольких переменных

Семинар 3. Предел функции нескольких переменных Семинар 3 Предел функции нескольких переменных О. Пусть D некоторое множество точек пространства R m : D R m. Пусть каждой точке M(x, x,, x m ) D поставлено в соответствие некоторое число u R. Тогда говорят,

Подробнее

РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B

РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathet.spb.ru РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B. (Б) * Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее