Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда"

Транскрипт

1 Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

2 Cодержание Содержание 1 Статистические гипотезы 2 Проверка двух простых статистических гипотез 3 Простые гипотезы о параметрах нормального и биномиального распределений Нормальное распределение Биномиальное распределение 4 Гипотезы о параметрах распределений для сложных альтернатив 5 Уровень значимости и p-value 6 Последовательный критерий отношения правдоподобия (Критерий Вальда) Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

3 Статистические гипотезы Статистические гипотезы Под статистической гипотезой принято понимать любое предположение о законе распределения генеральной совокупности. Статистическая гипотеза называется простой, если при условии истинности гипотезы закон распределения генеральной совокупности однозначно определен, в противном случае гипотеза называется сложной. Пусть задана выборка X [n] из генеральной совокупности ξ с функцией распределения F ξ (x). Пусть имеется две гипотезы: H 0 : F ξ (x) = F 0 (x). H 1 : F ξ (x) = F 1 (x). По выборке X [n] требуется принять решение об истинности нулевой гипотезы H 0 при альтернативной гипотезе H 1. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

4 Статистические гипотезы Выборка X [n] точка из пространства R n. Выделим множество S R n критическую область для гипотезы H 0, тогда можно сформулировать правило проверки гипотезы H 0 при альтернативе H 1 : Если X [n] S, то отвергаем гипотезу H 0, принимаем H 1. Если X [n] / S, то принимаем гипотезу H 0, отвергаем H 1. Правило проверки статистической гипотезы при некоторой фиксированной альтернативе принято называть статистическим критерием. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

5 Статистические гипотезы За исключением тривиальных ситуаций сформулированное правило не может всегда приводить к правильным решениям. Возможны два типа ошибок: 1 Ошибка первого рода отклонить гипотезу H 0, когда она верна, вероятность ошибки первого рода α(s) определяется равенством: α(s) = P { X [n] S/H 0 } = P0 { X[n] S }. 2 Ошибка второго рода принять гипотезу H 0, когда верна H 1, вероятность ошибки второго рода β(s) определяется равенством: β(s) = P { X [n] / S/H 1 } = P1 { X[n] / S }. Также будем рассматривать вероятность γ(s) = 1 β(s) = P 1 { X[n] S }, вероятность γ(s) называют мощностью критерия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

6 Статистические гипотезы Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

7 Статистические гипотезы Если γ(s) < α(s), то попасть в S при условии истинности гипотезы H 1 труднее, чем при условии истинности гипотезы H 0, т. е. S критическая область скорее для H 1. Следовательно, неравенство должно иметь вид: γ(s) > α(s), т. е. S следует выбирать так, чтобы выполнялось это неравенство. Определение 1 Критерий называется несмещенным, если выполняется условие α(s) γ(s) = 1 β(s). В большинстве задач гипотезы H 0 и H 1 не равноправны. Поэтому в дальнейшем изложении будем считать, что H 0 основная гипотеза, H 1 альтернативная гипотеза. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

8 Статистические гипотезы Зададим α 0 и будем иметь дело только с такими критериями, где α 0 α(s) (т. е. вероятность ошибки первого рода не превосходит величины α 0 ) и дополнительно будем решать задачу: β(s) min S. Получаем две эквивалентные задачи определения критической области S: { α0 α(s), β(s) min S. { α0 α(s), γ(s) max S. Задачи в такой постановке не всегда решаемы, так как требуется ответить точно «да» или «нет». Такие статистические критерии называются нерандомизированными критериями. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

9 Статистические гипотезы Можно рассмотреть функцию ϕ(x) = I {x S}. Тогда нерандомизированный критерий примет вид: Если ϕ(x [n] ) = 1, тогда отвергаем гипотезу H 0, принимаем H 1. Если ϕ(x [n] ) = 0, тогда принимаем гипотезу H 0, отвергаем H 1. Функцию ϕ принято называть критической функцией. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

10 Статистические гипотезы Пусть теперь ϕ не является индикатором множества S, и ϕ(x) = P { H 0 /X [n] = x }, тогда ϕ(x [n] ) [0, 1] условная вероятность отклонения гипотезы H 0. При таком определении ϕ(x) приходим к рандомизированному критерию, то есть, критерию, который при некоторых значениях x может не давать ответа «да» или «нет» в отношении истинности нулевой гипотезы H 0. Тогда с вероятностью 1 ϕ(x [n] ) следует принимать гипотезу H 0 и с вероятностью ϕ(x [n] ) принимать гипотезу H 1. При использовании введенного обозначения вероятность ошибки первого рода, вероятность ошибки второго рода и мощность критерия будем обозначать: α(ϕ), β(ϕ) и γ(ϕ) = 1 β(ϕ) соответственно. Определение 1 можно переформулировать в новых терминах, критерий называется несмещенным, если α(ϕ) γ(ϕ). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

11 Проверка двух простых статистических гипотез Проверка двух простых статистических гипотез Рассмотрим две простые гипотезы: H 0 : F ξ (x) = F 0 (x). H 1 : F ξ (x) = F 1 (x). Причем, функции F 0 (x) и F 1 (x) полностью известны. По выборке X [n] требуется принять решение об истинности нулевой гипотезы H 0 при альтернативной гипотезе H 1. Без ограничения общности будем предполагать, что существует плотность f 0 (x) для функции распределения F 0 (x), и существует плотность f 1 (x) для функции распределения F 1 (x). (В дискретном случае все результаты аналогичны. ) Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

12 Проверка двух простых статистических гипотез Функция правдоподобия выборки (совместная плотность выборки) при справедливости гипотезы H 0 имеет вид: L 0 (X [n] ) = n f 0 (X i ). Если верна гипотеза H 1, то функция правдоподобия имеет вид: L 1 (X [n] ) = i=1 n f 1 (X i ). i=1 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

13 Проверка двух простых статистических гипотез Тогда задача построения статистического критерия сводится к нахождению критической функции ϕ(x) и будет формулироваться следующим образом: α 0 α(ϕ), β(ϕ) min ϕ. Эквивалентная формулировка имеет вид: α 0 α(ϕ), γ(ϕ) max ϕ. Таким образом, задача заключается в том, чтобы найти наиболее мощный критерий, когда вероятность ошибки первого рода не превосходит некоторого заданного порогового значения. Решение сформулированных задач дается леммой Неймана-Пирсона. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

14 Проверка двух простых статистических гипотез Лемма 1 (Лемма Неймана-Пирсона) Пусть α 0 (0, 1), тогда при фиксированной вероятности ошибки первого рода α 0 наиболее мощный критерий имеет критическую функцию ϕ вида 1, если L 1 (x) > cl 0 (x); ϕ (x) = ε, если L 1 (x) = cl 0 (x); 0, если L 1 (x) < cl 0 (x), где L 0 (x) = n i=1 f 0(x i ) соответствует гипотезе H 0, L 1 (x) = n i=1 f 1(x i ) гипотезе H 1. Константы c и ε решения уравнения α(ϕ ) = α 0. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

15 Простые гипотезы о параметрах... Нормальное распределение Простые гипотезы о параметрах нормального распределения Пусть задана генеральная совокупность ξ, выборка X [n] из этой генеральной совокупности, имеются две гипотезы о распределении генеральной совокупности N(a 0, σ 2 ), N(a 1, σ 2 ), где a 0, a 1 известны. Также считаем, что σ 2 известна. Пусть для определенности a 1 > a 0. Т.е. имеем две гипотезы: H 0 : a = a 0. H 1 : a = a 1 > a 0. Без ограничения общности считаем, что a 1 > a 0. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

16 Простые гипотезы о параметрах... Нормальное распределение Применим критерий Неймана-Пирсона. Выпишем функции правдоподобия для каждой гипотезы: L 0 (X [n] ) = L 1 (X [n] ) = Рассмотрим отношение: 1 (2π) n 2 σ n e 1 (2π) n 2 σ n e 1 2σ 2 1 2σ 2 n i=1(x i a 0 ) 2, n i=1(x i a 1 ) 2. L 1 (X [n] ) L 0 (X [n] ) = exp 1 2σ 2 { 2(a1 a 0 )n X n(a 2 1 a 2 0) }. Нетрудно заметить, что L 1 (X [n] )/L 0 (X [n] ) > c тогда и только тогда, когда X > c 1. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

17 Простые гипотезы о параметрах... Нормальное распределение Поэтому оптимальный критерий Неймана-Пирсона выглядит следующим образом: 1, X > c 1 ; ϕ (x) = ε, X = c 1 ; 0, X < c 1, при этом константы c 1 и ε выбираются при заданном α 0 (0, 1) как решение уравнения α 0 = α(ϕ ). Так как при справедливости гипотезы H 0 распределение статистики X является нормальным, то P{ X = c 1 } = 0, поэтому можно положить ε = 0, тогда { ϕ 1, X > c 1 ; (x) = 0, X c 1. Оптимальный критерий является нерандомизированным. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

18 Простые гипотезы о параметрах... Нормальное распределение Зададим вероятность ошибки первого рода α 0 : α 0 = α(ϕ ) = P 0 { X > c 1 } = P 0 { X a 0 σ } c 1 a 0 n > n = σ ( c1 a 0 = 1 Φ σ n ), где Φ(x) функция распределения, соответствующая стандартному нормальному распределению, Φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt. Таким образом, получили уравнение: ( ) c1 a 0 Φ n = 1 α 0. σ Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

19 Простые гипотезы о параметрах... Нормальное распределение Его решением является квантиль уровня 1 α 0 стандартного нормального распределения z 1 α0 = n(c 1 a 0 )/σ. Равенство α(ϕ ) = α 0 (1) будет выполнено, если выбрать c 1 = a 0 + z 1 α0 σ/ n и, следовательно, критическая область для нулевой гипотезы H 0 при использовании статистики X имеет следующий вид: ( S = a 0 + σ ) z 1 α0 ; +. n Если X S, то гипотезу H 0 следует отклонить, если X / S, то гипотезу H 0 следует принять. Оптимальный критерий в данном случае является нерандомизированным. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

20 Простые гипотезы о параметрах... Нормальное распределение Если выберем c 1 a 0 + σ n z 1 α0, (2) то вероятность ошибки первого рода будет удовлетворять неравенству α(ϕ ) α 0. Введем в рассмотрение ошибку второго рода β. Зададим уровень ошибки второго рода β 0 и выясним условия, когда β(ϕ ) β 0 : β(ϕ ) = P 1 { X c 1 } = = P 1 { X a1 σ } c 1 a 1 n n = Φ σ Неравенство β(ϕ ) β 0 окажется выполненным, если { c1 a 1 σ n }. где z β0 β 0. c 1 a 1 n zβ0, σ квантиль стандартного нормального распределения уровня Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

21 Простые гипотезы о параметрах... Нормальное распределение Из последнего неравенства получаем: c 1 a 1 + σ n z β0. (3) Константа c 1, для которой выполнены неравенства (2) и (3) может быть выбрана, если имеет место неравенство: a 0 + σ n z 1 α0 a 1 + σ n z β0. Преобразуя последнее неравенство, получим n σ2 (z 1 α0 z β0 ) 2 (a 1 a 0 ) 2. (4) Таким образом, при объеме выборки n, удовлетворяющем неравенству (4), будут выполнены условия: α(ϕ ) α 0 и β(ϕ ) β 0. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

22 Простые гипотезы о параметрах... Нормальное распределение Проверка гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению Предположим, что известно математическое ожидание a. Сформулируем гипотезы: H 0 : σ = σ 0. H 1 : σ = σ 1 > σ 0. Без ограничения общности считаем, что σ 1 > σ 0, σ 0 и σ 1 известны. Статистический критерий проверки гипотезы H 0 при альтернативе H 1 основан на статистике отношения правдоподобия, как следует из леммы Неймана-Пирсона. Выпишем функции правдоподобия: L 0 (X [n] ) = L 1 (X [n] ) = 1 (2π) n 2 σ n 0 1 (2π) n 2 σ n 1 e 1 2σ 2 0 e 1 2σ 2 1 n i=1(x i a) 2, n i=1(x i a) 2. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

23 Тогда неравенство Простые гипотезы о параметрах... L 1 (X [n] ) L 0 (X [n] ) = равносильно неравенству: ( σ0 σ 1 ) n e ( 1 2σ 0 2 n (X i a) 2 > c 1. i=1 Нормальное распределение ) n 1 2σ 1 2 i a) i=1(x 2 > c Статистика 1 σ 2 0 n i=1 (X i a) 2 подчиняется распределению хи-квадрат с n степенями свободы при условии справедливости гипотезы H 0. Следовательно, вероятность P 0 ( n i=1 (X i a) 2 = c 1 ) равна нулю при любом значении константы c 1, поэтому в оптимальном критерии можно положить ε = 0. Поэтому критерий имеет вид: n 1, (X i a) 2 > c 1 ; ϕ (x) = i=1 n 0, (X i a) 2 c 1, i=1 и, оказывается, нерандомизированным. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

24 Простые гипотезы о параметрах... Нормальное распределение Выберем константу так, чтобы выполнялось равенство: α(ϕ ) = α 0. Нетрудно заметить, что α(ϕ ) = P 0 { n i=1 (X i a) 2 > c 1 } = = P 0 { n i=1 ( ) } Xi a 2 > c 1 σ 0 σ 2 0 ( ) c1 = 1 F χ 2 n σ0 2, где F χ 2 n ( ) функция распределения закона хи-квадрат с n степенями ( свободы. Решением уравнения F χ 2 c1 n /σ0) 2 = 1 α0 является квантиль распределения χ 2 с n степенями свободы, то есть u 1 α0,n. Критическая область для гипотезы H 0 выглядит следующим образом: Если n i=1 (X i a) 2 (σ0 2u 1 α 0,n; + ) = S, то гипотеза H 0 отклоняется. Если n i=1 (X i a) 2 [0; σ0 2u 1 α 0,n], то гипотеза H 0 принимается. Оптимальный критерий является нерандомизированным критерием. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

25 Простые гипотезы о параметрах... Биномиальное распределение Простые гипотезы о параметре биномиального распределения Теперь рассмотрим случай, когда проверяется гипотеза о параметре биномиального распределения. Рассмотрим схему Бернулли. Выборка X [n] состоит из нулей и единиц, единицы соответствуют успехам. Тогда вероятность того, что в серии из n испытаний произойдет ровно m успехов равна P n {ξ = m} = C m n p m (1 p) n m, где n число испытаний, p вероятность успеха, m число успехов. Сформулируем гипотезы: H 0 : p = p 0. H 1 : p = p 1 > p 0. Как и в предыдущих примерах, без ограничения общности считаем, что p 1 > p 0, p 1 и p 0 известны. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

26 Простые гипотезы о параметрах... Биномиальное распределение Применим оптимальный критерий Неймана-Пирсона. Выпишем функции правдоподобия для каждой гипотезы: L 1 (m) = C m n p m 1 (1 p 1 ) n m, L 0 (m) = C m n p m 0 (1 p 0 ) n m. Неравенство ( ) L 1 (m) m ( ) L 0 (m) = p1 1 n m p1 > c p 0 1 p 0 эквивалентно неравенству: ( ) p1 (1 p 0 ) m ( ) 1 n p1 > c, p 0 (1 p 1 ) 1 p 0 или эквивалентно неравенству: m > c 1. Следовательно, оптимальную критическую функцию можно записать в виде: 1, m > c 1 ; ϕ (x) = ε, m = c 1 ; 0, m < c 1. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

27 Простые гипотезы о параметрах... Биномиальное распределение Оптимальный критерий является рандомизированным. Константы c 1 и ε нужно выбирать из условия: α(ϕ ) = α 0. Воспользуемся асимптотикой: α(ϕ ) = P 0 {m > c 1 } + εp 0 {m = c 1 } n 1 Φ Решением уравнения ( ) c 1 np 0 Φ = 1 α 0 np0 (1 p 0 ) ( c 1 np 0 np0 (1 p 0 ) является квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 α 0 : c 1 np 0 z 1 α0 = np0 (1 p 0 ). Из полученного условия можно найти константу c 1 : c 1 = np 0 + np 0 (1 p 0 )z 1 α0. ). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

28 Простые гипотезы о параметрах... Биномиальное распределение Критическая область для гипотезы H 0 имеет вид (c 1 ; ). Таким образом, построен статистический критерий: Если m (np 0 + np 0 (1 p 0 )z 1 α0 ; + ), то гипотеза H 0 отклоняется. Если m [0; np 0 + np 0 (1 p 0 )z 1 α0 ], то гипотеза H 0 принимается. Построенный критерий является нерандомизированным, однако, в отличие от предыдущих примеров, построенный критерий не является точным. Нельзя утверждать, что вероятность ошибки первого рода равна α 0. Для выборок большого объема вероятность ошибки первого рода окажется приближенно равной α 0. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

29 Случай сложных альтернатив Гипотезы о параметрах распределений для сложных альтернатив Пусть заданы генеральная совокупность ξ и выборка X [n] из генеральной совокупности. Сформулируем две гипотезы о распределении генеральной совокупности: генеральная совокупность ξ подчиняется нормальному распределению N(a 0, σ 2 ), и генеральная совокупность ξ подчиняется нормальному распределению N(a 1, σ 2 ), где a 1 неизвестно, a 0 известно, также считаем, что σ 2 известна. Будем предполагать, что a 1 > a 0. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

30 Случай сложных альтернатив Таким образом, имеем две гипотезы: H 0 : a = a 0. H 1 : a > a 0. Гипотезу H 1 можно записать в виде: a = a 1 > a 0, a 1 неизвестно. Гипотеза H 1 представляет собой правостороннюю альтернативу. Оптимальный критерий имеет вид: { ϕ 1, X > c 1 ; (x) = 0, X c 1, где c 1 находится из уравнения: α 0 = P 0 { X > c 1 }, где α 0 вероятность ошибки первого рода (уровень значимости критерия). Как показано ранее: c 1 = a 0 + z 1 α0 σ/ n. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

31 Случай сложных альтернатив Критерий Неймана-Пирсона является равномерно наиболее мощным критерием для проверки гипотезы H 0 : a = a 0 при альтернативе H 1 : a > a 0, то есть, он не зависит от конкретного значения a 1, и является наиболее мощным при любом a 1 > a 0. Результат полностью сохраняется для левосторонней альтернативы a = a 1 < a 0 при соответствующих изменениях. Для двусторонней альтернативы не удается построить равномерно наиболее мощный критерий. Рассмотрим двустороннюю альтернативу: H 0 : a = a 0. H 1 : a a 0. Как и раньше фиксируем вероятность ошибки первого рода α 0. В качестве статистики критерия возьмем X. В предположении истинности нулевой гипотезы выберем константу c 1 из условия: P 0 { X a 0 > c 1 } = α 0. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

32 Случай сложных альтернатив Критическая область для гипотезы H 0 при двусторонней альтернативе H 1 при использовании статистики X имеет вид: S = {x : x a 0 c 1 }. Выберем вероятность ошибки первого рода: Преобразуем выражение: P{ X S/H 0 } = α 0. P 0 { n X a0 σ } nc1 = α 0. σ Пусть η = n( X a 0 )/σ, тогда при условии справедливости гипотезы H 0 случайная величина η подчиняется стандартному нормальному распределению N(0, 1). Следовательно, в качестве c 1 можно выбрать c 1 = z 1 α 0 2 σ n, где z 1 α 0 2 квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 α 0 /2. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

33 Случай сложных альтернатив Критическая область для нулевой гипотезы при использовании статистики X принимает следующий вид: Критерий проверки таков: S = ( ; a 0 c 1 ) (a 0 + c 1 ; + ). Если X S, то гипотеза H 0 отклоняется. Если X / S, то гипотеза H 0 принимается. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

34 Случай сложных альтернатив Теперь рассмотрим случай, когда σ 2 неизвестна. Рассмотрим правостороннюю альтернативу: H 0 : a = a 0. H 1 : a > a 0, то есть, a = a 1 > a 0, a 1 неизвестно. Вычислим статистику t = X a 0 n, s где s 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X ) 2. При справедливости нулевой гипотезы статистика t должна подчиняться распределению Стьюдента с n 1 степенью свободы. Если верна альтернативная гипотеза H 1, то можно заметить, что статистика будет смещена вправо по отношению к распределению Стьюдента с n 1 степенью свободы. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

35 Случай сложных альтернатив Критическая область в данном случае для нулевой гипотезы будет иметь вид S = {t > c 1 } = (c 1 ; + ), где константу c 1 следует выбирать из условия P 0 {t > c 1 } = α 0. Таким образом, c 1 = t 1 α0,n 1 квантиль распределения Стьюдента с n 1 степенью свободы уровня 1 α 0. Критерий с вероятностью ошибки первого рода α 0 имеет вид: Если статистика t (t 1 α0,n 1; + ), то отклоняем гипотезу H 0 в пользу H 1. Если статистика t ( ; t 1 α0,n 1], то отклоняем гипотезу H 1 в пользу H 0. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

36 Случай сложных альтернатив Для левосторонней альтернативы критическая область для гипотезы H 0 при использовании статистики t будет следующей: S = ( ; t α0,n 1), где t α0,n 1 квантиль уровня α 0 распределения Стьюдента с n 1 степенью свободы. Для двусторонней альтернативы критическая область с вероятностью ошибки первого рода α 0 для гипотезы H 0 при использовании статистики t будет следующей: S = ( ; t α 0 2,n 1 ] [t 1 α 0 2,n 1 ; + ), где t α 0 2,n 1 квантиль уровня α 0/2 распределения Стьюдента с n 1 степенью свободы, t α 1 0 2,n 1 квантиль уровня 1 α 0/2 того же распределения. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

37 Уровень значимости и p-value Уровень значимости и p-value Рассмотрим нулевую гипотезу о параметре µ некоторой генеральной совокупности H 0 : µ = µ 0 Пусть η статистика критерия c распределением F η ( ), вычисленном при условии справедливости H 0. y(x [n] ) значение статистики, вычисленное по данной выборке X [n] при условии справедливости H 0. Определение 2 p-значением (p-value) называется статистика, равная вероятности того, что статистика критерия примет значение такое же как y(x [n] ) или более "экстремальное"при условии, что верна нулевая гипотеза. Понятие "экстремальное"значение зависит от альтернативной гипотезы. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

38 Уровень значимости и p-value Далее можно выбрать значение α и применить следующий критерий. Если p α, то мы отвергаем H 0 и принимаем альтернативу H 1. Если p > α, то гипотеза H 0 согласуется с наблюдениями. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

39 Уровень значимости и p-value Пусть H 1 : µ > µ 0, тогда p-значение равно P{η y(x [n] )} = 1 F η (y(x [n] )). Пусть H 1 : µ < µ 0, тогда p-значение равно вероятность P{η < y(x [n] )} = F η (y(x [n] )). Пусть H 1 : µ µ 0, тогда p-значение равно вероятность p value = 2 min{f η (y(x [n] )), 1 F η (y(x [n] ))}. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

40 Уровень значимости и p-value H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

41 Уровень значимости и p-value Принятие стат. решения: два подхода Формулируем нулевую и альтернативную гипотезу Задаем вероятность ошибки 1-го рода α Выбираем критерий и статистику критерия Уровень значимости P-value Строим критическую область при условии справедливости нулевой гипотезы Проверяем, принадлежит ли выборочное значение статистики критической области Вычисляем выборочное значение статистики критерия Вычисляем соответствующее p-value Сравниваем p-value с уровнем значимости Принимаем статистическое решение Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

42 Критерий Вальда Последовательный критерий отношения правдоподобия (Критерий Вальда) В отличие от классических методов математическои статистики, в которых число производимых экспериментов фиксируется заранее, методы последовательного анализа характеризуются тем, что момент прекращения наблюдении является случаиным и определяется наблюдателем в зависимости от значении наблюдаемых данных. Пусть задана генеральная совокупность ξ с неизвестной функцией распределения F ξ и выборка X [n] = (X 1,..., X n ). Выдвинем нулевую гипотезу против альтернативной гипотезы F i (x) = H 0 : F ξ = F 0 H 1 : F ξ = F 1, F 1 F 0. x f i (t)µ(dt), i = 0, 1. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

43 Критерий Вальда Предположим, что статистическое решение принимается не на наблюдениях фиксированного объема n, а возможны дополнительные наблюдения. Последовательный критерий отношения правдоподобия (SPRT) строится следующим образом. Сначала выбирают критические границы c 0 и c 1 (0 < c 0 < c 1 < ). На каждом i-м этапе наблюдений, имея на этот момент выборку X [i] = (X 1, X 2,..., X i ) объема i, вычисляют отношение функций правдоподобия Z[X [i] ] = L(X [i], F 1 ) L(X [i], F 0 ), где L(X [i], F 0 ) функция правдоподобия при законе, соотвествующем гипотезе H 0, а L(X [i], F 1 ) при законе, соответствующем гипотезе H 1. и проверяют выполнение двустороннего неравества вида c 0 Z[X [i] ] c 1. (5) Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

44 Критерий Вальда 1 Если Z[X [i] ] находится внутри интервала c 0 Z[X [i] ] c 1, процесс наблюдений продолжается; 2 если Z[X [i] ] < c 0, то принимают гипотезу H 0 ; 3 если Z[X [i] ] > c 1, то принимают гипотезу H 1. Определение 3 SPRT(c 0, c 1 ) - решающее правило, предписывающее проведение наблюдений X 1, X 2,..., X ν до первого ν, при котором Z[X [ν] ] < c 0 или Z[X [ν] ] > c 1, принятие либо гипотезы H 0 при Z[X [ν] ] < c 0 либо гипотезы H 1 при Z[X [ν] ] > c 1. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

45 Критерий Вальда Номер шага ν (момент остановки), при котором принимается одно из решений 2) или 3), определяет минимально необходимый для проверки гипотезы объем выборки. Данная процедура характеризуется вероятностями ошибок первого α = P{H 1 H 0 } и второго рода β = P{H 0 H 1 } и средним числом наблюдений ν до момента остановки E j (ν) = E(ν H j ) (j = 0, 1). Если вероятности ошибок α и β заданы, то любой критерий с такими ошибками называют критерием силы (α, β). В классе критериев данной силы (α, β) предпочтительным является тот, который требует меньшего числа наблюдений. Критерий, минимизирующий одновременно как E 1 (ν), так и E 0 (ν), называют оптимальным. Критерий Вальда обладает свойством оптимальности. В частности, критерий Вальда требует в среднем меньше наблюдений, чем критерий Неймана-Пирсона с такими же вероятностями ошибок. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

46 Критерий Вальда Теорема 1 (А.Вальд, Дж. Вольфиц) Пусть ψ = SPRT (c 0, c 1 ), 0 < c 0 < 1 < c 1 <, и φ - произвольный последовательный критерий. Если для двух простых гипотез H 0 и H 1 то α(φ) α(ψ) E 0,ψ (ν) E 0,φ (ν) β(φ) β(ψ), E 1,ψ (ν) E 1,φ (ν). Иными словами, если ψ последовательный критерий отношения правдоподобия с вероятностями ошибок первого и второго рода α = α(ψ) и β = β(ψ), тогда в классе всех последовательных критериев φ с вероятностями ошибок первого и второго рода такими, что α(φ) α и β(φ) β, SPRT ψ минимизирует E 0,φ (ν) и E 1,φ (ν). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

47 Критерий Вальда Лемма 2 Для любого последовательного критерия ψ = SPRT (c 0, c 1 ), 0 < c 0 c 1 < существует δ: 0 < δ < 1 и C < такие, что для любого n N Pr(ν > n H 0 ) C(1 δ) n Pr(ν > n H 1 ) C(1 δ) n. Из леммы 2 следует, что E 0,ψ (ν) < и E 1,ψ (ν) <, т.е. c вероятностью, равной единице, процесс оканчивается либо выбором H 0, либо выбором H 1. Лемма 3 Пусть 0 < c 0 < 1 < c 1 <. Критические значения c 0 и c 1 последовательного критерия отношения правдободобия удовлетворяют неравенствам α 1 β c 1 1 c 1, β (1 α)c 0 c 0. (6) Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

48 Критерий Вальда Неравенства (6) наводят на мысль об аппроксимации границ c 0, c 1, соотвествующих заданным α и β, величинами c 0 = β 1 α, c 1 = 1 β α. В силу (6) вероятности в этой приближенной процедуре удовлетворяют неравенствам откуда β 1 α c 0 = β 1 α 1 β α c 1 = 1 β α, α α β β 1 β 1 α. Если α и β имеют порядок от до 0.1, то превышение α над α и β над β оказывается пренебрежимо малым. Единственный риск, связанный с употреблением приближенных границ, состоит в том, что α и β могут оказаться много меньше заданных знаечний, что приведет к существенному увеличению числа необходимых наблюдений. Однако есть основания надеяться, что это увеличиение будет умеренным. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

49 Критерий Вальда Теорема 2 (Вальд) Оценка снизу среднего числа наблюдений для любого последовательного критерия с вероятностями ошибок α и β имеет вид: где ω(α, β) ω(β, α) E 0 ν(α, β), E 1 ν(α, β), E H0 E H1 ω(x, y) = E Hj = ( (1 x) ln + ( 1 x y ) ( )) x + x ln, 1 y f j (x) ln f 1(x) µ(dx), j = 0, 1. f 0 (x) Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

50 Критерий Вальда Боровков А.А.Математическая статистика. М.: Изд. Наука, Вальд А.Последовательный анализ. М.: Изд. ФМЛ. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона... Санкт-Петербург, / 50

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В.

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В. Проверка статистических гипотез Грауэр Л.В. Статистические гипотезы Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей

Подробнее

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) о равенстве параметров... Санкт-Петербург,

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,

Подробнее

Лекция 3. Доверительные интервалы

Лекция 3. Доверительные интервалы Лекция 3. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 3. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2015 1 / 41 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2013 1

Подробнее

Медицинская статистика

Медицинская статистика Лукьянова Е.А. Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» 3 Проверка статистических гипотез Критерии согласия Критерий Стьюдента для связанных выборок Критерий Стьюдента для несвязанных выборок

Подробнее

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе 3 Проверка статистических гипотез 3 Основные положения теории проверки статистических гипотез На практике часто приходится проверять на основе выборочных данных различные предположения относительно генеральной

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CS Center) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2014 1 / 26 Cодержание Содержание 1

Подробнее

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург,

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2015 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Критерии

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Определение статистической гипотезы Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез 1. Статистические гипотезы; 2. Критерии проверки гипотез; 3. Проверка параметрических гипотез; 4. Критерий Пирсона Завершить показ Статистические гипотезы. Статистические

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

Лекция 9. Множественная линейная регрессия

Лекция 9. Множественная линейная регрессия Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

Статистическая гипотеза

Статистическая гипотеза Статистическая гипотеза Статистической гипотезой (statistical hypothesis) мы называем любое предположение о свойствах и характеристиках исследуемых генеральных совокупностей, которое может быть проверено

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Понятие статистической гипотезы Статистическая гипотеза это предположение о виде распределения или о величинах неизвестных параметров генеральной совокупности, которая может

Подробнее

Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2

Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2 УДК 37814788:5192 Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2 Л М Гафарова, И Г Завьялова, Н Н Мустафин Национальный исследовательский университет «МИЭТ» Рассматриваются особенности и анализируются

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

1 Конспект по проверке гипотез

1 Конспект по проверке гипотез 1 Конспект по проверке гипотез 1.1 Задача проверки гипотез Рассмотрим, такую задачу: провели слепую дегустацию двух сортов чая, каждый респондент выбрал из двух неподписанных чашек чая более вкусный. Необходимо

Подробнее

Задачи статистической проверки гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез. Задачи статистической проверки гипотез. Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2014 1 / 29 Cодержание Содержание

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и { статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и Смирнова } В математической статистике считается, что данные,

Подробнее

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок План лекции Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров метод моментов метод максимума правдоподобия метод наименьших квадратов Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок Функция результатов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского ЗАДАЧИ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике 1. Построить оценки неизвестных параметров по методу моментов для следующих распределений: а) B p, 0 < p < 1; б) Π λ, λ > 0; в) G p, 0 < p < 1; г) U[0, θ], θ > 0; д)

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основной принцип проверки ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дисперсия известна дисперсия неизвестна t распределение распределение

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов.

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов. Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Подробнее

Содержание. Предисловие... 9

Содержание. Предисловие... 9 Содержание Предисловие... 9 Введение... 12 1. Вероятностно-статистическая модель и задачи математической статистики...12 2. Терминология и обозначения......15 3. Некоторые типичные статистические модели...18

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

Подробнее

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика»

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» весна 2011 01. Пусть (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) выборка, соответствующая случайному вектору (ξ, η). Докажите, что статистика T = 1 n 1 n (X i X)(Y

Подробнее

Лекция 8. Множественная линейная регрессия

Лекция 8. Множественная линейная регрессия Лекция 8. Множественная линейная регрессия Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2014 1 / 38 Cодержание

Подробнее

Прикладной статистический анализ данных. ПСАД-11. Последовательный анализ.

Прикладной статистический анализ данных. ПСАД-11. Последовательный анализ. Прикладной статистический анализ данных. 11. Последовательный анализ. riabenko.e@gmail.com I/2016 Z-критерий для доли (версия множителей Лагранжа) Задача: рекламная кампания планировалась так, чтобы обеспечить

Подробнее

Прикладная статистика. Занятие 5. Последовательный анализ Вальда.

Прикладная статистика. Занятие 5. Последовательный анализ Вальда. Прикладная статистика. Занятие 5. Последовательный анализ Вальда. 13 марта 2012 г. Проверка гипотез выборка: X = {X 1,...,X n} P Ω; нулевая гипотеза: H 0: P ω, ω Ω; альтернатива: H 1: P / ω; статистика:

Подробнее

Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез А.Г. Трофимов atrofimov@datalearning.ru http://datalearning.ru Курс Математическая статистика Апрель 2015 А.Г. Трофимов Проверка статистических гипотез 1 / 23 Статистические

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1 Проверка гипотез о математическом ожидании, дисперсии, доле изнака генеральной совокупности Проверка гипотезы о математическом ожидании

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Морозова Н.Н. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Смоленск, Россия STATISTICAL HYPOTHESIS IN ECONOMETRIC STUDIES Morozova

Подробнее

Статистическая проверка гипотез и доверительные интервалы. Критерий Стьюдента (Т-тест) для одной выборки

Статистическая проверка гипотез и доверительные интервалы. Критерий Стьюдента (Т-тест) для одной выборки Статистическая проверка гипотез и доверительные интервалы Критерий Стьюдента (Т-тест) для одной выборки Проверка гипотезы о величине дисперсии (хи-квадрат тест) Z-тест для двух выборок Критерий Стьюдента

Подробнее

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ]

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ] Законы распределения случайных величин [Часть II, стр. 0-3] Центральная предельная теорема: сумма произвольно распределенных независимых случайных величин при условии одинакового их влияния подчиняется

Подробнее

Лекция 12.Байесовский подход

Лекция 12.Байесовский подход Лекция 12.Байесовский подход Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, 2013 1 / 36 Cодержание Содержание 1 Байесовский подход к статистическому

Подробнее

Задание 3. Статистические решения. Последовательные тесты. Обнаружение разладки.

Задание 3. Статистические решения. Последовательные тесты. Обнаружение разладки. ФКН ВШЭ, 3 курс, 3 модуль Задание 3. Статистические решения. Последовательные тесты. Обнаружение разладки. Вероятностные модели и статистика случайных процессов, весна 2017 Время выдачи задания: 15 марта

Подробнее

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ГЛАВА 6 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН Описаны точечный и интервальный методы оценки детерминированных величин основанные на представлении оценок гиперслучайными

Подробнее

Теория вероятностей и медицинская статистика

Теория вероятностей и медицинская статистика Теория вероятностей и медицинская статистика СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ Лекция 6 Кафедра медицинской информатики РУДН Содержание лекции 1. Определение термина статистическая гипотеза 2. Статистические критерии

Подробнее

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где 3.5. Примеры проверки гипотез Рассмотрим применение общей схемы проверки гипотез к конкретным задачам проверки гипотез о математическом ожидании, дисперсии, коэффициенте корреляции, часто встречающимся

Подробнее

Научно-образовательный центр при МИАН ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ И ОПТИМАЛЬНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ

Научно-образовательный центр при МИАН ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ И ОПТИМАЛЬНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ Научно-образовательный центр при МИАН Осенний семестр 2010/2011 ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ И ОПТИМАЛЬНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ Лектор: Дмитрий Михайлович Чибисов Достаточные статистики играют важную роль

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В.

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В. Точечные оценки и их свойства Грауэр Л.В. Статистика ξ генеральная совокупность c ф.р. F ξ (x; θ) θ = (θ 1,..., θ m ) неизвестные параметры X [n] = (X 1,..., X n ) выборка из ξ Статистикой будем называть

Подробнее

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Проверка статистических гипотез 37 6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 6.. Введение В этой главе рассматривается группа статистических методов, которые получили наибольшее распространение в статистических

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

Модель парной регрессии

Модель парной регрессии Модель парной регрессии 30 25 20 15 10 В статистических данных редко встречаются точные линейные соотношения: y x 1 2 Обычно они бывают приближенными: y x 1 2 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей Лекция 5 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей 6.. Метод наименьших квадратов 6... Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов 7. Проверка статистических гипотез 7..Критерий согласия

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

Л.В. Агамиров. Методы статистического анализа результатов научных исследований

Л.В. Агамиров. Методы статистического анализа результатов научных исследований Л.В. Агамиров Методы статистического анализа результатов научных исследований Учебно-методическое пособие для решения задач для научных работников, инженеров и студентов технических вузов Оценка параметров

Подробнее

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда.

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда. 1 Лекция 11 Метод наибольшего правдоподобия Другие характеристики вариационного ряда 1 Метод наибольшего правдоподобия Кроме метода моментов, который изложен в предыдущем параграфе, существуют и другие

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ). Кафедра «Теория

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ). Кафедра «Теория

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 7. Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии. t, (7.1) a j j a j. распределения Стьюдента.

ЭКОНОМЕТРИКА. 7. Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии. t, (7.1) a j j a j. распределения Стьюдента. Лекция 7 ЭКОНОМЕТРИКА 7 Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа Построенное

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

Лекция 11. Анализ выживаемости

Лекция 11. Анализ выживаемости Лекция 11. Анализ выживаемости Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Анализ выживаемости Санкт-Петербург, 2015 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Анализ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее