ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ФИНАНСОВЫЙ ИНСТИТУТ БАБАДЖАНОВ Ш.Ш. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Ташкент 04

2 Бабаджанов Ш.Ш. Прикладная математика: Численные методы. Учебно-методическое пособие. Т.: ТФИ, стр. В учебно-методическом пособии изложены необходимые начальные сведения о терминологии и методах вычислительной математики. Рассмотрены уравнения и системы уравнений, задачи интерполяции, численное интегрирование и дифференцирование, обыкновенные дифференциальные уравнения. Для большинства из рассмотренных в книге примеров приводится их программная реализация, созданная в пакете Mathcad, наглядные графические представления результатов вычислений, а также описания соответствующих функций пакета и примеры их использования. Пособие предназначено бакалаврам всех направлений области знания «Экономика» и написано в соответствии с требованиями государственного стандарта. Рецензенты: Алоев Р. Д., д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой «Вычислительных технологий и математического моделирования» Национального университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека; Адизов А. А., к. ф.-м. н., доцент кафедры «Высшей и прикладной математики» Ташкентского финансового института. Ш.Ш. Бабаджанов, 04

3 ПРЕДИСЛОВИЕ Широкое применение математических методов в самых различных областях экономики предъявляет повышенные требования к математической подготовке будущих экономистов-бакалавров. Цикл математических дисциплин для всех направлений бакалавриата области образования «Экономика» согласно требованиями государственного стандарта состоит из ряда взаимосвязанных разделов с иллюстрацией в экономике. К ним относятся линейная алгебра и ее приложения в задачах оптимизации, элементы аналитической геометрии, математический анализ, начальные понятия теории дифференциальных уравнений, теория вероятностей и математическая статистика. Наиболее современным разделом прикладной математики в экономике являются эконометрика, финансовая и актуарная математика. Для решения многих задач из этих разделов могут быть использованы численные методы. Настоящее учебно-методическое пособие представляет собой отбор численных методов, которые соответствует содержанию требованиями государственного стандарта. Оно включает в себя: теорию погрешностей; численные методы решения уравнений с одной неизвестной; приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений методами Гаусса, простой итерации и Зейделя; теорию интерполяцию; численное дифференцирование и интегрирование; численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что в известных методиках преподавания курса «Численные методы», с нашей точки зрения, существует определенный разрыв между теорией и формированием умения их практической реализации. В данном пособии сделана попытка его преодоления следующим образом: после изложения материалов каждого параграфа приводятся соответствующий ему материал для двух практических занятий. В пособии приводятся решения 7 задач из них: 38 при изложении теоретического материала и 34 в материалах практических занятий. Отметим, что для большинства из рассмотренных в книге примеров приводится их программная реализация, созданная в пакете Mathcad, наглядные графические представления результатов вычислений, а также описания соответствующих функций пакета и примеры их использования. Материалы практических занятий завершается заданиями, состоящими из однотипных примеров (вариантов), общее число которых составляет 580 и 5 задач. Изложение материалов очень строгое, вместе с тем, доступное для понимания студентами третьего курса обучения. 3

4 . Теория погрешностей. Источники и классификация погрешностей Источниками возникновения погрешности численного решения задачи являются следующие факторы. а). Неточность математического описания, в частности, неточность задания начальных данных. б). Неточность численного метода решения задачи. Данная причина возникает, например, когда решение математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, что приводит к необходимости ограничения их числа, т.е. использования приближенного решения. в). Конечная точность машинной арифметики. Виды погрешностей Все погрешности можно разделить на три вида: - неустранимая погрешность; - погрешность метода; - вычислительная погрешность. Результирующая погрешность определяется как сумма величин всех перечисленных выше погрешностей. Неустранимая погрешность состоит из двух частей: - погрешность, обусловленная неточностью задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи; - погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальной действительности (погрешность математической модели). Для вычислителя погрешность задачи следует считать неустранимой, хотя постановщик задачи иногда может ее изменить. Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической задачи. Она появляется в результате замены исходной математической модели другой и/или конечной последовательностью других более простых (например, линейных) моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как устранимой (или условной). 4

5 Вычислительная погрешность (погрешность округлений) обусловлена необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных Определение. Если a - точное значение некоторой величины и a - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения a называют некоторую величину Δ ( a ), про которую известно, что a a Δ ( a ). Определение. Относительной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину δ ( a ), про которую известно, что a a δ ( a ). ( ) a Относительную погрешность часто выражают в процентах. Информацию о том, что a является приближенным значением числа a с абсолютной погрешностью принято также записывать в виде: a a = ±Δ( a ). 3 Числа a, Δ ( a ) принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой. Пример a =,3 ± 0, 004; 3 a =,3 ± 4 0. Информацию о том, что a является приближенным значением числа a с относительной погрешностью δ ( a ), записывают в виде: a = a ( ± δ ( a )). Пример.,3 ( 0,003) a,3 ( + 0,003 ). Данная запись числа эквивалентна записи чисел из примера. 5 ( ) ( )

6 Верные цифры Форма записи (3) приближенного значения числа не всегда удобна. Целесообразно установить такой способ записи, который позволил бы по десятичной записи числа определить абсолютную погрешность приближения. Введем понятие о верных цифрах приближенного значения числа. Определение 3. Цифра α в десятичной записи приближенного значения величины a называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда, которому принадлежит цифра α. Пример 3 Пусть 7,58 0, 0009 a = ±. Так как Δ ( a ) = 0,0009 < 0,00, то все цифры числа a = 7,58 верны в широком смысле. Определение 4. Цифра α в десятичной записи приближенного значения величины a называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит половины единицы того разряда, которому принадлежит цифра α. Пример 4 Пусть 3,4 a = - приближенное значение числа π = 3, Погрешность приближения Δ ( a ) < 0,0004 < 0,0005 = 0,00, и потому все цифры приближенного значения числа π верны в строгом смысле. Пример 5 Пусть известно, что все цифры числа a =, 73 верны в строгом смысле. Так как единица низшего разряда выражается числом 0,00, то Δ ( a ) = 0,00 = 0,0005. Пример 6 Известно, что a = 8,993 и Δ ( a ) = 0,0007. Так как Δ ( a ) = 0, 0007 < 0, 00< 0, 0< 0, <, то все цифры верны в широком смысле. В строгом же смысле верны только цифры 8, 9, 9, так как для последней цифры не выполняется неравенство Δ ( a ) < 0,00. 6

7 Определение 5. Цифры в записи приближенного значения числа, о которых нам не известно, являются ли они верными или нет, называются сомнительными. Термин «верная цифра» не следует понимать буквально: верная цифра может и не совпадать с цифрой соответствующего разряда точного значения числа. Пусть a = 3,46 - приближенное значение числа π = 3, Все цифры числа 3,46 верны, хотя цифра десятитысячных (цифра 6) приближенного значения числа не совпадает с цифрой десятитысячных (цифры 5) записи точного значения числа. Установим правило: при десятичной записи приближенного значения числа записываются только верные цифры. Замечание. Иногда полезно в записи приближенного значения числа, кроме верных цифр, оставлять еще одну сомнительную. Академик А. Н. Крылов предложил следующий принцип записи приближенных значений чисел: приближенное значение числа следует записывать так, чтобы в нем все цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя была сомнительной, причем абсолютная погрешность приближения не должна превышать двух единиц разряда сомнительной цифры. Поясним сказанное на примере. Пусть при измерении длины стержня получен следующий результат: l = 7,35 ± 0, 0 см. Так как Δ ( a ) = 0,0, то последняя цифра числа a = 7,35 не является верной ни в широком, ни тем более в строгом смысле, т.е. является сомнительной. Однако если, например, взять приближение a = 7,4 см, в записи которого все цифры верные, то погрешность только увеличится. Действительно, поскольку,33 7,35,37, то значение a = 7,4 будет уже выходить за пределы того интервала, в котором содержится значение l. Так как Δ ( a ) не превосходит двух единиц разряда сомнительной цифры, то можно, пользуясь правилом Крылова, записать l 7,35. Замечание. Если приближенное значение числа записано с несколькими десятичными знаками, причем последние знаки нули, являющиеся верными цифрами, то их не следует отбрасы- 7

8 вать. Например, если a = 3, и при этом погрешность приближения не превосходит 0,0005, то следует писать a = 3,00. Если a = 564 и при этом погрешность приближения не превосходит 0,005, то следует писать a = 564,00 (при записи точных значений чисел эти нули в конце десятичной записи писать нет смысла). Пример 7 При измерении длины l земельного участка получили 6м, причем известно, что погрешность приближения не превосходит см. Записывая результат измерения по общему правилу и по правилу Крылова, получим: l 6,0 м; l 6,00 м. Пример 8 Пусть a = 3,736 - запись приближенного значения числа по правилу Крылова. Тогда абсолютная погрешность приближения Δ ( a ) = 0,00. Интервал, в котором содержится точное значение числа, запишется: 3,734 3,736 3,738. Запись целых чисел Запись приближенных значений целых чисел имеет свои особенности. Если предельная абсолютная погрешность приближения меньше единицы, то все цифры в записи целого числа верны. Если же погрешность приближения больше единицы, то приближенное значение числа придется записать в виде целого числа, у которого последняя или несколько последних цифр сомнительны. Эти сомнительные цифры принято заменять пулями. Так, например, пусть a = приближенное значение некоторого числа с погрешностью, не превышающей 50. Приближенное значение числа следует записать так: a = 3400 (здесь нули в конце десятичной дроби означают, что последние две цифры сомнительны). Совсем другой смысл имеют нули, стоящие в конце записи точного значения числа или приближенного с погрешностью приближения, меньшей единицы. Здесь они являются верными цифрами и означают, что единицы соответствующих разрядов отсутствуют на самом деле. Чтобы различить эти два случая, приближенное значение числа записывают в виде a = a 0 p 0, где a0- число, записанное только при помощи верных цифр, p число нулей, заменяющих сомнительные цифры. 8

9 В вышеприведенном примере приближенное значение числа следует записать в виде a = 34 0 (в стандартной форме оно записывается так: a = 3, 4 0 ). 4 Пример 9 Масса угля на топливной базе определена приблизительно в 00 т, причем известно, что ошибка может достигать 00 т. результат взвешивания следует записать в виде 0 т (цифры, верны в широком смысле). Пример 0 Записи a = 3000 и b = 30 0 двух приближенных значений чисел не являются равносильными. В записи числа a все шесть цифр верные. В записи числа b верными являются только первые четыре цифры. Если цифры верны в широком смысле, то Δ ( a ) =, Δ ( b ) = 00. Значащие цифры Определение 6. Значащими цифрами числа, записанного в виде десятичной дроби, называют все его верные цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля. Так, в числах 7,36; 0,00007; 564; 0,300 по три значащие цифры, если все эти цифры верные. Округление чисел. В практике вычислений часто приходится иметь дело с числами, которые содержат в записи очень большое количество значащих цифр. Часть цифр иногда целесообразно отбрасывать, заменяя их, если это нужно для сохранения разрядности, нулями. Такая операция называется округлением чисел. Обозначим результат округления через a. Абсолютная величина разности a a называется погрешностью округления. Число a выбирают так, чтобы погрешность округления была наименьшей. Пусть, например, число a = 3754,83 требуется округлить с точностью до целых. Можно было бы взять после округления число a = Тогда погрешность округления a a = 0,83. Очевидно, лучше взять число a = При этом погрешность округления a a = 0,7, т.е. будет меньше, чем в первом случае. Правило округления. Сформулируем правило округления (по дополнению). Чтобы округлить число до значащих цифр, 9

10 отбрасывают все цифры, стоящие справа от - й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов (в случае целого числа), заменяют их нулями. При этом, если первая слева из отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставленную цифры увеличивают на единицу. Очевидно, что при применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой. Пример Число π = 3, Округляя его до четырех, трех значащих цифр, получим числа 3,4; 3,4 с абсолютными погрешностями округления, соответственно не превосходящими 0,0005 и 0,005. Пример Дано a =,35 - приближенное значение некоторого числа, все цифры в записи которого верны. После округления до десятых получим a =, 4. Связь между количеством значащих цифр и относительной погрешностью. По количеству значащих цифр можно легко оценить относительную погрешность приближения числа. Пример 3 Рассмотрим следующие приближения с верными цифрами в строгом смысле: ) a = 0,065 (две значащие цифры). Абсолютная погрешность Δ ( a ) = 0,0005. Относительная погрешность 0,0005 δ ( a ) = =. 0, ) b = 6,5 (две значащие цифры). Абсолютная погрешность Δ ( b ) = 0,05. Относительная погрешность 0,05 δ ( b ) = =. 6,5 30 3) c = 6,50 (три значащие цифры). 0

11 Абсолютная погрешность Δ ( c ) = 0,005. Относительная погрешность 0,005 δ ( c ) = =. 6, Если у каждого из чисел a, b, c значащие цифры верны в широком смысле, то получаем соответственно Δ ( a ) = 0,00; Δ ( b ) = 0,; Δ ( c ) = 0,0. Отсюда: δ ( a ) = ; δ ( b ) = ; δ ( c ) = Приведенный пример показывает, что относительная погрешность зависит от набора значащих цифр, но не зависит от положения запятой. 3. Вычислительная погрешность Далее для краткости будем обозначать абсолютную погрешность числа как e, относительную погрешность - δ.. Погрешность суммирования чисел ± e, y± ey. Абсолютная погрешность: z = ( ± e ) + ( y ± ey) = ( + y) ± ( e + ey). Относительная погрешность: e + ey e e y y y δ z = = + = δ + δy. + y + y + y y + y + y. Погрешность вычитания чисел ± e, y± ey. Абсолютная погрешность: z = ( ± e) ( y ± ey) = ( y) ± ( e + ey). Относительная погрешность: e + ey e e y y y δ z = = + = δ + δy. y y y y y y 3. Погрешность умножения чисел ± e, y± ey. Абсолютная погрешность:

12 ( ) ( ) z = ± e y± e = y± y e ± e ± e e y y y y± y e ± ey. Относительная погрешность: y e + ey e e y δ z = = + = δ + δy. y y 4. Погрешность деления чисел ± e, y± ey. Абсолютная погрешность: ± e ( ± e) ( y± ey) y e ± ey z = = ±. y± ey ( y± ey) ( y± ey) y y Относительная погрешность: y e + ey y e + ey e e y δ z = = = + = δ + δy. y y y y 5. Погрешность функции, зависящей от одной переменной. Абсолютная погрешность: f ± e f ± f e ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). Δ f = f ± e f = f e Относительная погрешность: Δ f f ( ) = e. f f Вопросы для самопроверки. Что такое абсолютная и относительная погрешности?. Как классифицируются виды ошибок? 3. Что значит цифра, верная в строгом, широком смыслах? 4. Как находится погрешность округленного числа? 5. Как определить количество верных цифр по относительной погрешности приближенного числа? 6. Как распространяются абсолютная и относительная погрешности в арифметических действиях? 7. Как осуществить оценку погрешности значений элементарных функций? ( )

13 Практические занятия - Теория погрешностей Цель занятия: сформировать у студентов знания, умения и навыки работы с приближенными числами в применении формул погрешностей элементарных действий и функций, решения обратной задачи теории погрешностей и нахождения значений выражений по способу границ и методом строгого учета абсолютных погрешностей после каждой операции. Абсолютная и относительная погрешности Пример. Если = 0,00006, а = 0,00005, то e = 0,0000, а δ = 0,0 или 0%. Пример. Если = 00500, а = 00000, то e = 500, а δ = 0,005 или 5%. Пример 3. Используя Mathcad, найти абсолютные и относительные погрешности чисел = 984,6 и =,364, если они имеют только верные цифры: а) в строгом смысле, б) в широком смысле. Решение приведено на рис. Pис.. Фрагмент рабочего документа Mathcad к решению примера. 3

14 Пример 4. Задано число =,3644 и относительная погрешностьδ = 0, 07%. Определить количество верных цифр числа по относительной погрешности. Решение 3 δ = 0, 0007 < 0, значит, число имеет, по крайней мере, две цифры верных в строгом смысле. Вычислим e =,3644 0,0007 = 0, < 0,05. То есть, в строгом смысле действительно верны цифры и 3. Пример 5. Пусть = 984,6, δ = 0,008. Определить количество верных цифр в числе. Решение Очевидно, что δ = 0, 008 < 0. Это означает, что число имеет, по крайней мере, одну верную в строгом смысле цифру (цифра 9). Полученный результат легко подтвердить, используя определение цифры, верной в строгом смысле. Вычислим: e = 984,6 0,008 = 7,8768. Полученная абсолютная погрешность не превышает половину единицы разряда сотен. Откуда следует, что цифра 9 действительно верна в строгом смысле, как по относительной погрешности, так и по абсолютной. Пример 6. Пусть = 4,307, δ = 0,005%. Определить все верные цифры числа. Решение 4 δ = 0,00005 = 0, значит, в по крайней мере, четыре цифры верны в строгом смысле. Вычислим: e = 4,307 0,00005 = 0, То есть верными цифрами будут являться цифры, 4, 3, 0. Пример 7. Дано число = 4,00. Цифры верны в строгом смысле. Указать границы его абсолютной и относительной погрешности. Решение Из определения цифры, верной в строгом смысле, можно заключить, что абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда тысячных. Значит e = 0,0005. Относительную погрешность найдем по формуле: 4

15 e 0,0005 0, 0 δ = = = %. 4,00 Пример 8. При взвешивании двух грузов получили следующие значения их масс = 0,5 кг, y = 50кг. Считая абсолютную погрешность взвешивания равной г. определить относительную погрешность измерения масс тел, y. Какое из тел взвешено более точно? Решение Относительную погрешность найдем по формулам: e 0, δ = = = = 0,%. 0,5 ey 0, δ y = = = = 0,00%. y 50 Более точно измерен груз весом 50 кг. Погрешность округленного числа Пример 9. Округляя число =,46 до четырех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближений. Цифры верны в широком смысле. Решение Округлим число до четырех значащих цифр: =,43. По определению верной цифры в широком смысле абсолютная погрешность e = 0,000. Погрешность округленного числа равна сумме погрешности исходного числа и погрешности округления Δ окр =,43,46 = 0,0004; e = 0, ,000 = 0,0005; e 0,0005 δ = = = 0, < 0,04 %.,43 Пример 0. Число, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа ( указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешности =,46. Решение представлено на рис. 5

16 Рис.. Фрагмент рабочего документа к решению примера 0. Пример. Со сколькими верными в строгом смысле десятичными знаками после запятой нужно взять: а) 9,35 ; б) si 0,9; в) ; г) l, 5, 7,5 чтобы относительная погрешность не превышала 0,%. Решение а) 9,35 = 4, Относительная погрешность 0, 00 = 0. Значит, число 9,35 по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры. 3 e = 4, = 0, < 0, 005. Следовательно, цифры 4 и 3 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ 9,35 = 4,39. б) si 0,9 = 0, δ 6

17 3 Относительная погрешность δ 0, 00 = 0. Значит, число si 0,9, по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры. 3 e = 0, = 0, > 0, Следовательно, цифры 5, 7 и 3 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ si 0,9 = 0,783. в) 0, ,5 =. 3 Относительная погрешность δ 0, 00 = 0. Значит, число по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры. 7,5 3 e = 0, = 0, > 0, Следовательно, цифры 5 и 7 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ 0,057 7,5 =. г) l,5 = 0, Относительная погрешность δ 0, 00 = 0. Значит, число l, 5, по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры. 3 e = 0, = 0, 000 < 0, Следовательно, цифры,, 3, действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ l,5 = 0,3. Погрешности арифметических действий Пример. Найти сумму приближенных чисел, абсолютные погрешности которых даны. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную. = 7, ± 0,0, y = 8,7 ± 0,0. Решение Найдем сумму данных чисел + y = 7, + 8,7 = 5,39. Для определения количества верных цифр найдем абсолютную погрешность суммы e + y= 0, 0+ 0, 0 = 0, 0. Данное число показывает, что в числе 5,39 верными будут цифры до разряда десятых, т. е. цифры, 5 и 3. И так как мы отбрасываем число 9, большее пяти, то результат сложения будет 5,4. 7

18 По относительной погрешности можно получить более строгую оценку количества верных цифр: 0,0 0,0 δ = = 0,004 и δ y = = 0,00. 7, 8, 7 Тогда 7, 8,7 δ + y = 0, ,00 = 0,00 < 0,5 0. 5,39 5,39 То есть в числе 5,39 цифры, 5 верны в строгом смысле. Ответ: 5. Пример 3. Найти разность чисел, цифры которых верны в строгом смысле. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную. = 3,876; y =,8. Решение Так как цифры данных чисел верны в строгом смысле, то их абсолютные погрешности не превосходят единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра числа. Поэтому e = 0,0005, e y = 0,005. Относительная погрешность чисел и y соответственно равна: 0,0005 0,005 δ = = 0,00004; δ y = = 0, ,876,8 Найдем разность чисел y = 3,876,8 =,056. Найдем абсолютную погрешность полученной разности. Она будет равна e y= 0, , 005 = 0, 0055 < 0, 05. То есть в числе,056 цифры и 0 верны в строгом смысле. Найдем относительную погрешность разности. Она будет равна 3,876,8 δ y = 0, ,0004 = 0,005 0,5 0,056,056 Действительно, две первые цифры верны в числе,056. Ответ:,06. 8

19 Погрешности элементарных функций Пример 4. Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными в строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции. Определить количество верных цифр в строгом смысле по относительной погрешности в следующих элементарных функциях: а) y = cos 0, 47 ; б) y = e 3, ; в) y =,5 ; г) y = l 68,4. Решение а) Находим значение величины y. Оно будет равно 0, Абсолютная погрешность аргумента e = 0, 005. Тогда абсолютная и относительная погрешности величины y равны: ey = eco0,47 = si 0,47 0,005 = 0,006443; δy = δco0,47 = tg0, 47 0, 005 = 0, , 005 = 0,5 0. Это означает, что в числе 0,89568 две цифры после запятой верны в строгом смысле. Ответ: 0,89. б)находим значение величины y. Оно будет равно 0, Абсолютная погрешность аргумента e = 0, 05. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины y равны: ey 3, = e = δ y 0,05 0,0546; = = 0,05 0,5 0. Это означает, что в числе 0, одна цифра после запятой верна в строгом смысле. Ответ: 0,04. в) Находим значение величины y. Оно будет равно 4, Абсолютная погрешность аргумента e = 0, 005. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины y равны: 0,005 3 e y = =, ;,5 0, δ y = =, < 0,5 0.,5 Это означает, что в числе 4, три цифры после запятой верны в строгом смысле. Ответ: 4,

20 г) Находим значение величины y. Оно будет равно 4,6498. Абсолютная погрешность аргумента e = 0,0005. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины y равны: 0, e y = = 7, ; 68, 34 0, δ y = =, < 0, ,4 l 68,4 Это означает, что в числе 4,6498 пять цифр после запятой верны в строгом смысле. Ответ: 4,649. Пример 5. Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции a + b A =, если a=,34, b= 4,3. b+ l a Решение При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в табл.. Таблица. a + b Расчетная таблица для вычисления погрешности выражения A = b+ l a a b a b a + b l a b+ l a A,34 4,3 3,53 3,78 7,30,59 6,8 0,434 e e e a b e e e a b a + e b l a e b + l a A 0,005 0,05 0,0007 0,0066 0,0073 0,0004 0,0504 0,007 Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по избытку и тоже занесем в таблицу. Цифры даны верными в строгом смысле, значит, e a = 0,005, e b = 0,05. Найдем,34 = 3,583. Абсолютная погрешность равна (воспользуемся табл.): 0

21 0,005 e a = = 0, ,0007.,34 Из полученного значения погрешности видно, что в результате верны две значащие цифры после запятой, т. е.,34 = 3,583 3,53. Это число внесем в таблицу. Найдем абсолютную погрешность 4,3 = 3, Она будет равна e 0,05 b = = 0, , Значит, в числе b будет одна верная цифра после запятой. 4,3 Аналогично, находим значения всех остальных действий и функций: e = 0, , 0066 = 0, , 0073; + a b 0,005 e l a = = 0, ,0005;,34 e b + l a = 0,05 + 0, = 0, ,5; 6,8 0, ,30 0,05 0,8764 e A = = = 0,007. 6,8 8,4 Округляя результат A до верной цифры, получаем окончательный ответ. Ответ: A = 0, 434 ± 0, 00. Способ границ Способ границ используется для точного определения границ искомого значения функции, если известны границы измерения ее аргументов. Пример 6. Алюминиевый цилиндр с диаметром основания 3 0, 00 h = 0 ± 0, 00 см весит d = ( ± ) см и высотой ( ) ( 95,5 0, 00) p = ± г. Определить удельный вес γ алюминия и оценить предельную абсолютную погрешность найденного удельного веса. Решение способ. Объем цилиндра равен: V π d p 4 p = h, отсюда γ = =. 4 V π d h

22 Из полученной формулы вытекает, что в области p > 0, d > 0, h > 0 функция γ - возрастающая по аргументу p и убывающая по аргументам d и h. Имеем:,999 < d < 3, 00; 9,998 < h < 0,00; 95,499 < p < 95,50; 3,459 < π < 3,46. Тогда для значения у получим: 495,499 γ = =, 350 г/ см 3 (нижняя граница); 3,46 3,00 0, ,50 γ = =, 35 г/ см 3 (верхняя граница). 3,459,999 9,998 Взяв среднее арифметическое, получим значение γ, равное γ =,35 ± 0, 00 г/см 3. ( ) Ответ: γ = (,35 ± 0, 00) г/см 3. способ. Используя средние значения аргументов, получим: 495,5 γ = =, 35 г/ см 3. 3, Логарифмируя формулу для вычисления объема цилиндра, имеем: lγ = l 4 + l p lπ l d l h. Взяв полный дифференциал, получим: Δγ Δp Δπ Δd Δh = ; γ p π d h δ = δ + δ + δ + δ = γ p π d h 0,00 0,0000 0,00 0,00 = = 95,5 3, Далее находим: Δ = δ γ = 8,803 0,35 =, 0. γ γ Таким образом, имеем: (,35 0, 00) 4 8, γ = ± г/см 3, что очень близко совпадает с точной оценкой, найденной по способу границ. Ответ: γ = (,35± 0, 00) г/см 3. Пример 7. a + b Вычислить значение величины z = с помощью Mathcad при заданных значениях a и b с систематическим учетом аб- b+ l a солютных погрешностей после каждой операции, если цифры верны в строгом смысле, если a=,34, b= 4,3.

23 Решение. Алгоритм решения представлен на рис

24 Рис Три этапа решения задачи примера 7. Погрешности значений элементарных функций Функция Абсолютная погрешность e e si cos e cos si e Относительная погрешность e e ctg e tg e Таблица. 4

25 tg l e cos e e si δ l lg e δ l0 lg l0 e e e δ 0 0 ( l ) ( l0) e e y y e y + l e y y y l δ y + δ arcsi e e ( ) arcsi arccos e e ( ) arcsi e arctg e + ( arctg) ( + ) 5

26 Задания для самостоятельного решения Задание. Найти абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры (табл. 3): а) в строгом смысле; б) в широком смысле. Таблица 3. Варианты заданий для выполнения задания варианта а) б) варианта а) б),445,043,456 0,863 8,345 0,88 5,643 0, ,374 4,348 3,688 4, ,7 0, ,644 6,5 5 8,357,6 5 6,383 5, ,86 8,73 6 8,75 0, ,3648,7 7 3,75 6, , ,58 8 6,3 4, ,634 0, ,83 0, ,43 0, ,643 7,385,45 3, ,45 7,38,3445 0, ,573 3, ,5746 4, ,385 4,6 4 3,4 0, ,856 3,508 5,434 0, ,6034 0,07 6,5 0, ,443 0,5 7 0,576, ,3 8 5,63 0, ,35 0, ,43 0, ,45 03,43 0,45 3, ,345 0,44745 Задание. Число (табл. 4), все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата вычислить границы абсолютной и относи- 6

27 тельной погрешностей. В записи числа указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешности. Таблица 4. Варианты заданий для выполнения задания варианта варианта ,394 3,47 0, , , 4 7, , ,745 5, , , , , , ,4005 9,37 9, , ,75 0,8 3 0, , , , , , , ,847 35, , ,0037 7, , , , , , , ,09564 Задание 3. Вычислить значение величины z (табл. 5) при заданных значениях чисел a, b и c используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z и определить по ним количество верных цифр в z, если цифры a, b и c верны в строгом смысле. 7

28 Таблица 5. Варианты заданий для выполнения задания 3 Вид z Исходные данные 4 a+ b a = 0,37 z = ab c b = 3, 7 c = 4, 756 l ( b+ c) a = 0, 0399 z = b ac b = 4,83 c = 0, a+ b a =, 0574 z = 3a c b =, 40 c =,36 4 ab 4c a =,7 z = l a+ 3b b = 0,34 c = 0, a tgb a = 3, 49 z = 3c+ b b = 0,845 c = 0, ac + 3b a = 0, 0976 z = b c b =,37 c =, l ( a b) a = 8,3574 z = b+ c b = 34, c = 7, a b a = 3, 745 z = ab c b = 3, 03 c = 0,756 9 b+ cos a = 0,587 z = 3b+ a b = 4, 56 c = 3, 0097 Вид z Исходные данные b + l c a = 0,038 z = c a b = 3,9353 c = 5, 75 l a 3b a = 7,345 z = ab c b = 0,3 c = 0, tg ( a b) a = 0, 47 z = ac+ b b = 0, 0948 c = 4, a+ c a =, 84 z = ab c b = 4,009 c = 3, 75 5 si ( a b a = 8, 407 ) z = b = 49, c+ l b c =, al b a = 9,49 z = si ( a + c) b = 87,878 c = 4, ,8l b a = 74, 079 z = a+ bc b = 5,309 c = 6,34 8 a a = 3, 4 z = bc l c b = 6, c = 0,49 9 ab a = 5,387 z = b c b = 3,57 c = 0,

29 a = 4,05 z = a+ b b = 6,73 c = 0, 0354 l b a a = 0, 79 z = a c b = 35,347 0 ( b c) c = 0,03 l c 0a a = 0,3 z = bc b = 0,056 c = 89,4 3 0c+ b a =,47 z = a b b = 0,346 c = 0,05 4 ( a c) a =,7 z = b = 0, 0937 a + 3b c = 5,08 5 b c a = 8, 035 z = l a+ c b = 3, 75 c = 0, a c a = 5,7568 z = b + la b =,7 c =,65 7 ( a+ 4c) 3 a = 5,33 z = b 5a b = 3,3 c = 8, a+ 6b a = 6, 003 z = l c a b =,005 c =, a+ cosb a = 0,037 z = c 3b b = 5, 777 c = 3, z = a si c b + 6c 3 b si a z = a+ 3c 3 3 a ( c+ b) z = a b 33 ab z = + a c 34 a+ b z = a b c 35 ab z = cos ( c a) 36 a b c z = a+ c 37 abc z = l a tgb 38 z = l ( a+ 3 c) 39 tg ( a+ 4c) z = b 3 b a =, 75 b =, 5 c = 0,04 a = 3,67 b = 4,63 c = 0, 078 a = 3,57 b = 3, 7 c = 4,6 a = 0,37 b = 3,57 c = 0,75 a = 0,37 b = 33,87 c = 4,85 a = 5,5 b = 3, 7 c = 4,3 a = 9,54 b = 3,8 c = 0,7 a = 9,79 b =,337 c = 4,98 a = 6,66 b = 3,5 c =,4 a = 5,47 b = 6, c = 0,

30 = + a = 8,37 b = 3,5 3 0 z a si( b lc) c = 6,3 40 si ( a+ b) z = a si c a =, 58 b = 0,07 c = 9,87. Численные методы решения уравнений с одной неизвестной. Постановка задачи Наиболее общий вид нелинейного уравнения: определена и непрерывна на конечном или бес- где функция F( ) конечном интервале [ a; b ]. ( ) 0, ( ) F = ξ обращающее функ- Определение. Всякое число [ a; b] цию F( ) в нуль, называется корнем уравнения (). 30 Определение. Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при ξ F равны нулю ее производные до ( ) = вместе с функцией ( ) k -го порядка включительно: ( ) ( ) ( ) ( k ) ( ) 0. ( ) F ξ = F ξ = F ξ = F ξ = Определение 3. Однократный корень называется простым. Определение 4. Уравнения F( ) = 0 и G( ) = 0 называются равносильными (эквивалентными), если множества решений данных уравнений совпадают. Нелинейные уравнения с одной неизвестной подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Определение 5. Уравнение () называется алгебраическим, если функция F( ) является алгебраической. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме: P( ) a0 + a + + a = 0, где a0, a,, a - действительные коэффициенты уравнения; - неизвестное.

31 Из алгебры известно, что всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один вещественный или два комплексно сопряженных корня. Определение 6. Уравнение () называется трансцендентным, если функция F( ) не является алгебраической. Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают только численными методами. Решить такое уравнение - это значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней с заданной точностью. Задача численного нахождения действительных и комплексных корней уравнения () обычно состоит из двух этапов: ) отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится одно значение корня, ) уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности. В дальнейшем будем рассматривать численные методы нахождения действительных корней уравнения (). Наиболее распространенными на практике численными методами решении уравнения () являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), комбинированный метод, метод Рыбакова нахождения всех действительных корней, метод простой итерации. Применение того или иного численного метода для решения уравнения () зависит от числа корней, задания исходного приближения и поведения функции F( ). Остановимся подробно на наиболее часто используемых методах - методе половинного деления и методе простой итерации. Определение 7. Решить уравнение () означает следующее.. Установить имеет ли уравнение корни.. Определить число корней уравнения. 3. Найти значения корней уравнения с заданной точностью. Отделение корней Определение 8. Отделение корней - процедура нахождения отрезков, на которых уравнение () имеет только одно решение. 3

32 В большинстве случаев отделение корней можно провести графически. Для этого достаточно построить график функции F( ) и определить отрезки, на которых функция F( ) имеет только одну точку пересечения с осью абсцисс. В сомнительных случаях графическое отделение корней необходимо подкреплять вычислениями. При этом можно использовать следующие очевидные положения: ; F прини- ) если непрерывная на отрезке [ a b ] функция ( ) мает на его концах значении разных знаков (т.е. F( a) F( b) 0 < ), то уравнение () имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень; F к тому же еще и строго монотон- ) если функция F( ) ( ) на, то корень на отрезке [ a; b ] единственный. Пример. Графически отделить корни уравнения si l = 0. Решение Вычислим для проверки с помощью калькулятора значения F ;, 5 : функции ( ) = si l на концах отрезка [ ] F () = 0,90998; ( ) Отсюда вытекает, что на отрезке [ ;,5] 3 F,5 = 0, имеется единственный корень исходного уравнения. Рассмотренный прием позволяет при желании сузить отрезок, полученный графическим способом. Так, в нашем примере имеем F (,3) = 0, 5338 > 0, так что отрезком отделения корней можно считать [ ], 3;, 5. Для отделения корней можно воспользоваться следующим алгоритмом. Пусть имеется уравнение F( ) = 0, причем можно считать, что все интересующие вычислителя корни находятся на отрезке ; F определена, непрерывна и [ A B ], в котором функция ( ) F( A) F( B) 0 все отрезки [ a; b] [ A; B], содержащие по одному корню. Будем вычислять значения F( ), начиная с точки <. Требуется отделить корни уравнения, т.е. указать = A. двигаясь вправо с некоторым шагом h (рис. ). Как только обнаружит-

33 ся пара соседних значений F( ) имеющих разные знаки, и функция F( ) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень. Схема соответствующего алгоритма изображена на рисунке. Рис. Рис. Очевидно, что надежность рассмотренного подхода к отделению корней уравнений зависит как от характера функции F( ), так и от выбранной величины шага h. Действительно, если при достаточно малом значении h на концах текущего отрезка 33

34 [ ; h] + функция ( ) F принимает значения одного знака, естественно ожидать, что уравнение F ( ) = 0 корней на этом отрезке не имеет. Это, однако, не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функции F( ) на отрезке [ ; + h] могут оказаться корни уравнения (рис. 4, а). Не один, а несколько корней могут ; + h и при соблюдении условия оказаться на отрезке [ ] F( A) F( B) 0 < (рис. 4, б). Предвидя подобные случаи, следует выбирать при отделении корней достаточно малые значения h. Рис. 3 Метод половинного деления a b единственный ко- Пусть уравнение () имеет на отрезке [ ; ] рень, причем функция F( ) отрезок[ ; ] a b пополам точкой a+ b c на этом отрезке непрерывна. Разделим =. Если ( c) 0 F (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: либо F( ) меняет знак на отрезке [ a; c ] (рис. 4, а), либо на отрезке [ c; b ] (рис. 4, б). Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. Рис. 4 Рассмотренный метод можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно, если на ка- 34

35 ком-то этапе процесса получен отрезок [ α; β ], содержащий корень, + то, приняв приближенно = α β. получим ошибку, не превышающую значения D = β α. Метод связан с трудоемкими вычис- лениями, однако его с успехом можно реализовать, используя пакет Mathcad. Пример. Решение в пакете Mathcad методом половинного 4 3 деления уравнения + + 0, = 0.. Задание функции:. Построение графика функции (рис..) Рис. 5. График функции f ( ) = + + 0,. 3. Задание функции, реализующей метод половинного деления (рис. 6). Здесь аргументы функции: f - имя функции,, - левая и правая координаты концов отрезка; ε -точность вычисления корня. 4. Вычисление значения корня уравнения: 35

36 5. Проверка найденного значения корня: Для рассмотрения процесса нахождения корня уравнения в динамике необходимо сохранить значение корня на каждом шаге вычислительной процедуры и построить зависимость значения корня от номера шага. Функция, возвращающая значение корня на каждом шаге метода половинного деления, представлена на рис. 7. Аргументы функции: f - имя функции,, - левая и правая координаты концов отрезка; ε - точность вычисления корня. Рис. 6. Функция, реализующая метод половинного деления. Рис. 7. Функция, реализующая метод половинного деления и возвращающая значение корня уравнения на каждом шаге процесса вычислений. 36

37 После создания функции необходимо дополнить описанный выше документ следующей последовательностью команд.. Вычисление матрицы, первый столбец которой содержит номер итерации, второй - значение корня:. Визуализация зависимости значения корня от номера шага вычислительной процедуры (рис. 8). Рис. 8. Зависимость значения корня от номера шага вычислительной процедуры 4. Метод простой итерации Заменим уравнение () равносильным уравнением = f ( ) (3) Пусть ξ - корень уравнения (3), а - полученное каким-либо 0 способом нулевое приближение к корню ξ. Подставляя в пра- 0 вую часть уравнения (3), получим некоторое число f ( 0) Проделаем то же самое с, получим f ( ) шаг за шагом, соотношение = ( ) для =,, =. = и т. д. Применяя f, образуем числовую последовательность,,,, 0,, (4) которую называют последовательностью приближений или итерационной последовательностью (от лат. iteratio - повторение). Процесс построения итерационной последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию. 37

38 Рис. 9 Последовательность приближений может быть как сходящейся, так и расходящейся. На рисунке 7 изображен случай расходящейся последовательности. Если последовательность (4) сходится, а функция f непрерывна, то предел последовательности (4) является корнем уравнения (3). Действительно, пусть lim. Перейдем к пределу в равенстве ( ) f = : т. е. = f ( ) ξ ξ. ξ = ( ) ( ) lim = lim = f lim = f ξ, (5) Как видно из рисунка 9, применение метода итерации может и не привести к уточнению корня. Достаточные условия сходимости итерационного процесса выясняются следующей теоремой. Теорема. Пусть уравнение f ( ) корень на отрезке [ a, b ] и выполнены условия: ) f ( ) определена и дифференцируема на [, ] = имеет единственный a b ; ) f ( ) [ a, b] для всех [ a, b] ; 3) существует такое вещественное q, что f ( ) q < для всех [ a, b]. Тогда итерационная последовательность = ( ) f ( =,, ) сходится при любом начальном члене [ a, b]. Доказательство. Построим итерационную последовательность вида (4) с любым начальным значением [ a, b] 0. В силу условия ) все члены последовательности находятся в отрезке[ a, b]. 38

39 Рассмотрим два последовательных приближения = f ( ) и ( ) + = f. По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем ( ) ( ) ( )( ) + = f f = f c, [ ] c ;. Переходя к модулям и принимая во внимание условие 3) теоремы, получим: = f ( c) q, + При =,,... будем иметь: q + q + 0, 0 q + 0,. т q + 0 Рассмотрим ряд ( ) ( ) ( ) (7) Составим частичные суммы этого ряда: Заметим, что ( ) S = 0, S =,... S + =. + -я частичная сумма ряда (7) совладает с - м членом итерационной последовательности (4), т.е. S = +. (8) Сравним ряд (7) с рядом + q + q (9) Заметим, что в силу соотношений (6) абсолютные величины членов ряда (7) (член не берется во внимание) не превосходят 0 соответствующих членов ряда (9). Но ряд (9) сходятся как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ( q < по условию). Следовательно, и ряд (7) сходится, т.е. его частичная сумма (8) имеет предел. Пусть lim = ξ. В силу непрерывности функции f получаем (см. (5)): ξ = f ξ, т. е. ξ - корень уравнения = f ( ). В заключение заметим, что условия теоремы не являются необходимыми. Это означает, что итерационная последовательность может оказаться сходящейся и при невыполнении этих условий. ( ) 39

40 5. Оценка погрешности метода итерация Как следует из теоремы, при выполнении ее условий итерационная последовательность сходится при любом выборе нулевого значения. Отсюда следует, что полученное в итерационном процессе -е приближение при желании можно считать начальным. 0 Это означает, что если в процессе вычисления приближений допускались ошибки, то они не влияют на окончательный результат. Указанное свойство метода итераций делает его одним из самых надежных методов решения уравнений (разумеется, это обстоятельство не исключает влияния на результат систематических вычислительных ошибок, например обусловленных возможностями вычислительного прибора). Между тем на практике построение итерационной последовательности не может продолжаться бесконечно. Существование предела итерационной последовательности не означает вовсе, что его истинное значение может быть получено эмпирически путем реализации бесконечного итерационного процесса. Приходится обрывать этот процесс, допуская при этом погрешность метода. Получим сейчас формулу, дающую способ определения погрешности -го приближения. Пусть - приближение к истинному значению корня уравнения = f ( ). Абсолютная ошибка приближения, оценивается модулем Δ = ξ. Принимая во внимание (7) и (8), имеем; ξ = ξ S = ( ) + ( ) + (0) Сравним (0) с остатком ряда (.9): + q + q +. () 0 0 Имеем, ввиду оценок (6), q q + ξ q + q + = Таким образом, для оценки погрешности -гo приближения получается формула q Δ =. () 0 q 40

41 На практике удобнее использовать модификацию формулы (). Причем за нулевое приближение (вместо ). Следующим 0 приближением будет (вместо ). Учитывая также, что при 0 < q < будет q q ( =,, ), из () получаем: q Δ =. (3) q В оценочных формулах () и (3) используется вещественное q, получаемое в процессе установления условия 3) теоремы. Практически q можно получить как верхнюю грань модуля производной f ( ) при [ a, b]. Любопытно заметить, что. чем меньше значение q, тем быстрее сходится ряд (9) и, следовательно, тем быстрее сходится итерационная последовательность. Из оценки (3) можно получить важный практический вывод. Пусть уравнение = f ( ) решается методом итераций, причем результат должен быть получен с точностью ε. Что может служить критерием для прекращения вычислений при достижении заданной точности? Таким условием является, разумеется, Δ ε. Учитывая оценку (3), для этого достаточно потребовать q ε. q ε ( q) / q. (4) Из неравенства (4) следует, что для нахождения корня уравнения = f ( ) методом итераций с точностью ε нужно продолжить итерации до тех пор, пока модуль разности между последними соседними приближениями остается больше числа ε ( q )/ q. 6. Преобразование уравнения к итерационному виду Уравнение F ( ) = 0 может быть приведено к виду = f ( ) многими способами, однако это требуется сделать так, чтобы для функции f ( ) выполнялись условия ) - 3) теоремы. Как правило, наибольшее беспокойство при этом вызывает условие 3). В некоторых случаях, помимо обычных преобразований, полезно иметь в виду следующие специальные приемы: а) уравнение F ( ) = 0 преобразуем к виду 4

42 4 ( ) = 0 = m F, где m - отличная от нуля константа. В этом случае можно принять: f ( ) = m F ( ). (*) Дифференцируя, получим f ( ) = m F ( ). (**) Для того чтобы было f ( ) = m F ( ) q <, достаточно подобрать m так (если, конечно, это возможно), чтобы для всех отрезка [ a, b] значение m F( ). б) пусть уравнение F ( ) = 0 записано в виде = f ( ), однако при исследовании функции f ( ) на отрезке [ a, b] оказалось, что для всех из этого отрезка f ( ) >. Тогда вместо функции y = f ( ) рассмотрим функцию = g( y) обратную для f ( ). Будем теперь решать уравнение y = g( y) (или, в старых обозначениях = g( ) ). По свойству производных обратных функций теперь на отрезке a, b будет иметь место: [ ] g ( ) = <, f ( ) так что для уравнения = g( ) равносильного исходному, условие 3) теоремы оказывается выполненным. Для ручных вычислений корня по методу итераций может использоваться расчетная таблица, содержащая обычную пооперационную запись формулы f ( ) (табл. ). Полученное в результате одного «прохода» вычислений в правом столбце очередное приближение корня сразу же переносится в следующую строку столбца и процесс повторяется. Таблица. Номера приближений = f ( ) Пример 3. Уточнить с помощью калькулятора корень уравнения si l = 0на отрезке [,3;,5] методом итераций с точностью до 0 (см. пример 4 ).

43 Решение Исходное уравнение можно привести к итерационному виду несколькими способами, например: si ) = e ; ) = ( ) 0,5( arcsil + π ), =,,... ; 3) = m( si l ), m 0. Исследуем возможность применения к полученным представлениям метода итераций. si. В первом случае f ( ) = e. Функция f ( ) определена и дифференцируема на отрезке [,3;,5], однако второе условие теоремы не выполнятся: с помощью калькулятора получаем f (,3) =, т.е. уже в левом конце отрезка значение функции выходит за пределы отрезка.. Рассмотрим второе представление. Уравнение, равносильное исходному уравнению на отрезке [,3;,5] получается при = ( π arcsil ) /. (5) Здесь f ( ) = ( π arcsi l ) /. Замечаем, что для всех отрезка [,3;,5] будет f ( ) = < 0, следовательно, функция f ( ) l монотонно убывает на этом отрезке. Вычислим ее значение в концах отрезка [,3;,5] : f (,3) = ( π arcsi l,3) / =, ; f (,5) = ( π arcsi l,5) / =, Так как полученные значения входят в отрезок [,3;,5], а функция f ( ) монотонна, то отсюда следует, что второе условие теоремы выполняется. Для проверки третьего условия исследуем модуль производной функции f ( ) на отрезке [,3;,5] : ϕ ( ) = f ( ) =. l ϕ : Найдем производную функции ( ) l l + l ( ) ϕ =. 4 ( l ) 43

44 всюду отрицательна. Это зна- на этим отрезке убивает и достигает максимум Заметим, что ϕ ( ) на отрезке [,3;,5] чит, что ϕ( ) = f ( ) на левом конце: f (,3) = 0, Таким образом, условие 3) теоремы будет выполнено, если принять q = 0, 39. Уточнение корня уравнения (5) с нулевым значением =, 4 0 на калькуляторе приведено в таблице. Таблица. Номера приближений ( ) + = arcsil π / 0,4,3993,3993,39953,39953, Используя оценочную формулу (4) и принимая во внимание исходные значения ε = 0 и q 0, 39, уже для третьего приближения имеем: 0 4 ( 0,39) 3 < / 0, 39. Отсюда следует, что, является приближенным решением уравнения с заданной точностью Округляя полученный результат, окончательно получаем: 4 =,3994 ± 0.' 3. Посмотрим, как можно было бы воспользоваться третьим представлением заданного уравнения: = m( si l ). (6) В этом случае f ( ) = m( si l ), f ( ) f. m ( ) = m cos Попробуем подобрать константу 0так, чтобы для функции были выполнены условия ) и 3) теоремы. Обозначим F( ) = si l. Заметим, что производная F ( ) отрезке [,3;,5] отрицательна, следовательно, ( ) 44 = cos на F на этом отрезке монотонно убывает. Ее значения на концах (см. пример.): F (,3) = 0, 5338; F (,3) = 0, Функция f ( ) также убывает на отрезке [,3;,5], а ее значения на концах зависят от m : f (,3) =,3 m 0, 5338 ; f (,5) =,5 + m 0,

45 Учитывая монотонность функции f ( ), из последних равенств легко заметить, что условие ) теоремы будет заведомо выполнено, если m - правильная отрицательная дробь. Займемся сейчас проверкой третьего условия теоремы. Поскольку F ( ) = cos на отрезке [,3;,5] отрицательна и монотонно убывает, ее модуль имеет максимум на правом конце отрезка: F (,5) = cos3 =, ,5 Понятно, если принять m = 0,37, F (,5) то для всех отрезка [,3;,5] значение выражения m cos правильной положительной дробью. Это вполне обеспечивает выполнение условия 3) теоремы (так же как, впрочем, и условия )). Учитывая, что ma+ 0,37 cos 0,08868< 0,,,3,5, можно принять q = 0, (заметим, что малое значение q обещает быструю сходимость). Таким образом, уравнение (6) приобретает вид = + 0,37 si l. (7) ( ) 7. Решение уравнений методом простой итерации в пакете Mathcad. Пример 4. Продемонстрируем использование метода простой итерации на примере нахождения корня уравнения , = 0.. Задание функции, стоящей в правой части:. Задание функции в соответствии с (*): 3. Задание функции в соответствии с (**): 45

46 4. Построение графиков функций f, F (рис. 0). Рис. 0. Графики функций f ( ) = m F ( ) и f ( ) = m F ( ). Из рис. 0 видно, что условия о достаточном условии сходимости итерационного процесса выполняются на интервале [0,; 0,8]. 5. Задание функции, реализующей вычислительную схему метода простой итерации на каждом шаге итерационного процесса (рис. ). Рис.. Функция, реализующая вычислительную схему метода простой итерации. 46

47 6. Задание функции, стоящей в правой части (*): 7. Задание начального приближения: 8. Вычисление значений корня уравнения на каждом шаге итерационного процесса: 9. Визуализация итерационного процесса (рис..): Рис.. Зависимость значения корня уравнения от номера шага итерационного процесса 0. Вывод точного значения корня:. Вывод значения функции: Вопросы для самопроверки. В чем заключается этап отделения корней при использовании численных методов решения уравнений? 47

48 . Каким образом графическое отделение корней уточняется с помощью вычислений? Какие свойства функции одной переменной при этом используются? 3. Каким способом в схеме алгоритма половинного деления реализуется отбрасывание той половины отрезка, на которой строго монотонная функция не меняет знака, т. е. не имеет корня? 4. Каковы достаточные условия сходимости итерационной последовательности для уравнения = f ( ) на отрезке [ a; b] содержащем одни корень? 5. Какое условие является критерием для достижения заданной точности ε при решении уравнения методом простой итерации? Практические занятия 3-4 Численные методы решения уравнений с одной неизвестной Цель занятия: сформировать у студентов представление о применении уравнений в различных областях деятельности, привить знания об основных этапах решения уравнения, выработать навыки использования различных методов для уточнения корня уравнения и выбора того или иного программного средства для проверки правильности найденного результата.. Метод хорд y Пример. Решить уравнение e ( ) 0,5= 0 методом хорд с точностью ε = 0, 00. Решение. Отделяем корни. Этот этап решения осуществляется с помощью аналитического или графического метода. После того как корень, подлежащий уточнению, отделен, за начальное приближение может быть выбрана любая точка [ ; ] ab (начало отрезка, его середина и т. д.). Воспользуемся графическим методом. Построим график функции и найдем точки пересечения его с осью O (рис. ) 48

49 Рис.. Отделение корней графически Получили два интервала: [-3; -], [,5;,5]. Интервал, в котором мы будем уточнять корень - [,5;,5].. Уточняем корни. Находим первую производную y f = e 0,5: функции ( ) ( ) 3. Определяем знаки f ( ) f ( ) f ( ) на отрезке [,5;,5]:,5 =, 74 > 0,,5 = 6,59 < 0. Значит, на данном отрезке действительно существует корень нашего уравнения. 4. Строим последовательность значений с использованием рекуррентной формулы метода хорд и проанализируем результаты вычисленных значений последовательности (рис. ). Для этого рассмотрим значения функции dz ( ) - эта величина является критерием достижения заданной точности ε = 0,00. Начиная с = 8, значения удовлетворяют критерию достижения заданной точности ( ε > 8,80 0 ) значит, =, 97 является 4 8 решением нашего уравнения. 49

50 Рис.. Проверка критерия достижения заданной точности. 5. Создаем функцию, реализующую вычисления корня уравнения f ( ) = e ( ) 0,5 на отрезке [,5;,5] с точностью ε = 0,00 методом хорд (рис...3). Решением будет являться число,97, получившееся на третьем шаге решения. Рис. 3. Функция, возвращающая значения корня уравнения методом хорд. Аргументы функции: a, b концы отрезка;ε - погрешность вычислений, f _pr - функция первой производной ( ) 50

51 6. Проверяем решение (рис. 4) Рис.4. Проверка решения уравнения встроенными функциями Mathcad Ответ: корень уравнения по методу хорд равен,97 с точностью 0,00, найденный на третьем шаге. Метод касательных Пример. Вычислить методом касательных корень уравнения e ( ) 0,5= 0 на отрезке [,5;,5] с точностью ε = 0,00. Решение. Отделяем корни уравнения (см. раздел ).. Определяем неподвижную точку. Для этого определим знаки функции и второй производной на отделенном интервале [,5;,5]. Для этого составим функцию, проверяющую условие неподвижности точки (рис. 5). Рис. 5. Определение неподвижной точки. Тогда неподвижной точкой будет точка a =, Вычисляем значений итерационной последовательности с использованием рекуррентной формулы метода касательных (рис. 6) 5

52 Рис. 6. Построение итерационной последовательности по методу касательных Анализируя полученные значения для достижения критерия заданной точности, можно сказать, что решением уравнения будет 5 значение =, 97 при = 4, т.к.,367 0 < 0, Создаем функцию, реализующую метод касательных (аналогично методу хорд). 5. Проверяем полученные результаты. Отметим, что в пакете Mathcad имеется еще несколько функций, позволяющих решать уравнения, например, функция solve, вызываемая с панели Symbolic (рис. 7). Рис.7. Панель Symbolic 5

53 Пример использования команды solve представлен на рис. 8. Рис. 8. Решение уравнения с помощью команды solve Метод простой итерации Пример 3. Решить равнение e ( ) 0,5= 0 методом простой итерации с точностью ε = 0,00. Решение. Отделяем корни.. Приводим исходное уравнение к виду f ( ) Заменим уравнение e ( ) 0,5 0 =. = уравнением вида = m F( ). Здесь величина m должна быть подобрана так, чтобы для функции f ( ) выполнились условия и 3 теоремы о достаточном условии сходимости итерационного процесса. F на отрезке [,5;,5] отрицательна, следо- Производная ( ) вательно, функция F( ) на этом отрезке монотонно убывает. Ее значения представлены на рис. 9. Рис 9. Значения функции F( ) e ( ) = 0,5 на отрезке [,5;.5]. 53

54 Тогда значения функции f ( ) будут равны: f (,5) =,5 m, 74; f ( ) = m ( ),5,5 6,59. Учитывая монотонность функции f ( ), из последних равенств легко заметить, что условие теоремы будет заведомо выполнено, если m правильная отрицательная дробь (рис. 0). Рис. 0. Определение значения m. на концах интервала [,5;,5] по- Поскольку производная F ( ) ложительна F ( ) F ( ) (,5, 4,,5 8, 74) = = и монотонно возрастает, ее модуль имеет максимум на правом конце отрезка. Тогда если за m принять число m =± = 0,55, ma F,5 ( ) то для любого из отрезка [,5;,5] значение выражения будет правильной отрицательной дробью. Это обеспечивает выполнение условия теоремы (рис. ). 54

55 Для выполнения условия теоремы найдем производную преобразованной функции f ( ) = m ( e ( ) e ). И ее значения на концах отрезка [,5;,5]. Условие 3 теоремы выполнено: значения производных меньше единицы. За величину q возьмем число 0,877 (рис. ) Рис.. Определение значения q. 3. Вычисляем значения итерационной последовательности = f ( ). В качестве начального значения возьмем, например, начало отрезка, точку =, 5. 0 Критерием достижения заданной точности ε = 0, 00 при решении нашего уравнения методом простой итерации является величина, равная, (рис. ). 55

56 Рис.. Определение критерия достижения заданной точности q. 4. Строим итерационную последовательность (рис. 3) Рис. 3. Построение итерационной последовательности по методу простой итерации 5 Для 4 го приближения получили, что <,398 0 < A. 4 3 Отсюда следует, что =,978 является приближенным решением нашего уравнения Создаем функцию, реализующую метод простой итерации для решения уравнения = f ( ) по методу простой итерации (составляется аналогично рассмотренным выше методам). 6. Визуализируем решение уравнения методом простой итерации (рис. 4) 56

57 Рис. 4. Визуализация решения уравнения F( ) e ( ) 57 = 0,5 Ответ: решением уравнения будет число =,978, полученное на 4-м шаге. Задания для самостоятельного решения Задание.. При расчете воздушного стального провода получили уравнение для определения усилия натяжения при гололеде 3 5 F + 443F 94, 0 = 0. Найти положительный корень (усилие натяжения).. При решении вопроса об излучении абсолютно черного тела встречается уравнение e = u+. Решить его. u 5 3. Решить уравнение e = 0, которое встречается в задаче о наивыгоднейшей конструкции изоляции для труб. m 4. Решить уравнение l ( u) = α + βu, m> 0, встречающееся в электротехнике.

58 5. Наибольшая скорость воды в трубе круглого сечения достигается тогда, когда центральный угол удовлетворяет уравнению tg ( ) =. Определить этот угол. 6. В задаче о распределении тепла в стержне встречается уравнение tg ( ) + γ = 0. Решить его. 7. При исследовании беспроволочного излучателя получено уравнение tg ( ) = c, c = cost. Для какого наименьшего положительного или отрицательного значения постоянная равна? p 8. Решить уравнение tg ( ) = p, которое встречается при решении задачи о распространении тепла в стержне при наличии лучеиспускания в окружающее пространство. 9. При определении критической нагрузки для балки, свободно опирающейся одним концом, закрепленной другим и сжимаемой продольной силой, встречается уравнение tgμ =. Ре- pμ p + μ шить его при p =, полагая, что μ = π Площадь кругового сегмента, дуга которого α, определяется формулой Q = R ( α si α ), (α есть радианная мера ду- ги). Найти сегмент, площадь которого равна /5 площади круга (найти сегмент значит, найти угловую меру его дуги).. Прямоугольная стальная пластинка размерами 50х00 см и толщиной 0,5 см защемлена по краям и подвергается действию равномерно распределенной нагрузки, равной 0, 5 кг / см. 3 Стрела прогиба z определяется из уравнения,05z + 0,70z = 96, 4. Найти z, решив данное уравнение (найти корень с четырьмя значащими цифрами).. Шар радиуса R разделить на m частей, равных по объему, путем проведения плоскостей, параллельных между собой ( m = 5; m = 0). Отношение h найти с пятью верными десятичными знаками (h высота шарового R слоя). 58

59 3. Найти корень уравнения + e = с точностью до трех десятичных знаков (уравнения такого типа встречаются при изучении колебаний стержня под действием продольного удара). 4. Найти наименьший положительный корень уравнения tg ( ) = 0,6 c тремя верными десятичными знаками (уравнение встречается при изучении теплового режима в стенке). 5. Найти наименьший положительный корень уравнения 0,6 tg ( ) = с тремя верными десятичными знаками. Задание. Решить уравнения, приведенные в таблице. Таблица. Варианты заданий для самостоятельного решения Уравнение Уравнение = 0 si = 0, 35 0,5 + = ( ) cos ( 0,374 + ) = 0 3 ( ) log ( 3) = 3 si( 0,5 + ) = 0, 5 4 0, 5 4 cos( ) = 4 l + ( + ) 3 = 0 5 ( ) = 5 3 e = 6 ( ) ) = 6 si( 0,6) =, 5 7 ( ) cos =, π π 7 5 8l = 8 8 ( ) 3 lg( + ) = 8 = lg ( + ) 9 5si = 9,8 si0 = = 30 ctg (,05 + ) = 0 lg + = 0 3 ctg 3 5 = π 3 7 si + = 0,5 lg = ,5 3 = , + 0,4, = cos( + 0,5) = 34 0,5 + lg( ) = 0, 5 5 e = si 0,5 + = 6 si ( 0,5) + 0,8 = lg = 0, π π 37 ( ) tg =, + = 59 = e = lg artcg ( ) 0 38 ( ) 6 9 π 39 cos + + = ,4 = + = si = 0

60 3. Приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений методами Гаусса и простой итерации. Определения, обозначения, общие сведения Успешное решение большинства научно-технических задач в значительной степени зависит от умения быстро и точно получать решение систем линейных алгебраических уравнений. Многие методы решения нелинейных задач также сводятся к решению некоторой последовательности линейных систем. В настоящее время хорошо разработан арсенал численных методов решения линейных алгебраических уравнений на компьютере. Для многих методов разработан математический аппарат, позволяющий оценить точность полученного решения и определить количество верных знаков вычисленного на компьютере решения. Многообразие численных методов решения линейных алгебраических систем можно разделить на прямые (точные) и итерационные. Прямые методы характеризуются тем, что дают решение системы за конечное число арифметических операций. Если все операции выполняются точно (без ошибок округления), то решение заданной системы также получается точным. К прямым методам относятся: метод Крамера, методы последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса и его модификации: метод главного элемента, метод квадратного корня, метод отражений и другие), метод ортогонализации. Прямые методы применяются на практике для решения систем на компьютере, как правило, с числами порядка не выше 0 3. Итерационные методы являются приближенными. Они дают решения системы как предел последовательных приближений, вычисляемых по единообразной схеме. К итерационным методам относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксаций, градиентные методы и их модификации. На практике итерационные методы применяются для решения систем с числами порядка 0. 6 Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными: 60

61 a + a a = b, a + a a = b,... a + a a = b, m m m m которая может быть записана в матричном виде: здесь A A = b, a a a a a a am am am, b b b = bm = прямоугольная матрица размерности m = - вектор -го порядка, а - вектор m -го порядка. Решением системы (*) называется такая упорядоченная совокупность чисел = c, = c,, = c которая обращает все уравнения системы в верные равенства. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной (противоречивой), если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если более одного решения. Две системы линейных уравнений называются равносильными (эквивалентными), если каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот. В дальнейшем будем рассматривать численные методы решения систем линейных уравнений с квадратными матрицами. (*). Метод Гаусса Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений: a + a a = b, a + a a = b,... a + a a = b () 6

62 при условии, что ее матрица A = ( a ij ) - невырожденна. Метод Гаусса решения системы () - это метод последовательного исключения неизвестных. Суть его состоит в преобразовании системы () к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Сам по себе метод Гаусса относится к точным методам. Это означает, что если точно выполнять все требуемые в нем действия, то будет получено точное решение. Понятно, однако, что из-за вычислительных ошибок (включая ошибки округления, а также возможные ошибки исходных данных) этот идеал практически недостижим. Идея последовательного исключения неизвестных может быть реализована различными вычислительными схемами. Ниже рассматривается так называемая схема единственного деления. Подвергнем систему () следующему преобразованию. Считая, что a 0 (ведущий элемент), разделим на a коэффициенты первого уравнения. Выполнения условия a 0 можно добиться всегда путем перестановки уравнений системы: + α α = β. () Пользуясь уравнением (), легко исключить неизвестное, из остальных уравнений системы. Для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (), предварительно умноженное на соответствующий коэффициент при Вслед за этим, оставив первое уравнение в покое, над остальными уравнениями системы совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений неизвестное. Повторяя этот процесс, вместо системы () получим равносильную ей систему с треугольной матрицей: + α α = β, α = β, = β Из системы (3) последовательно находятся значения всех неизвестных,,...,. (3) 6

63 Таким образом, процесс решения системы () по методу Гаусса распадается на два этапа. Первый этап, состоящий в последовательном исключении неизвестных, называют прямым ходом. Второй нахождение значений неизвестных - принято называть обратным ходом. Ручные вычисления по схеме единственного деления удобно оформлять в виде специальной расчетной таблицы (см. табл. ). Процесс решения системы линейных уравнений по схеме единственного деления с контролем ручных вычислений рассмотрим на примере. Пример. Решим систему:,34 4,,63 8,04+ 5, + 0, 7 3 = 4,4, = 6,44, 3,9 7,99 + 8,37 = 55,56 3 В раздел A таблицы вносятся коэффициенты исходной системы и свободные члены. Для исключения случайных ошибок в схеме единственного деления предусматривается текущий контроль правильности вычислений; с этой целью в схему вычислений включены столбец контрольных сумм Σ и столбец строчных сумм S. Разделы 3 Свободные члены A,34-4, -,6 4,4 8,04 5, 0,7-6,44 3,9-7,99 8,37 55,56 Таблица. S 0,93 7,09 59,86 -,799-4,965 6,58 0,3974 0,3975 9, ,605-55,95 3,8949 3,894-0,9375 7,89 3,40 58,30 58,308 A,040 -,844 0,979 0,978 9,738 8, , ,4873 A 0,967,967 0,967,967 B -4,857, ,856 3,93

64 Контроль в прямом ходе основывается на следующей идее. После того как в раздел А внесены коэффициенты и свободные члены исходной системы, находят контрольные суммы суммы коэффициентов и свободных членов по строкам и вносят их в столбец Σ (в таблице. это числа 0,93; 7,09; 59,86). В дальнейшем, выполняя преобразования уравнений системы, над контрольными суммами производятся те же операции, что и над свободными членами. После выполнения каждого преобразования находят строчную сумму результатов и помещают ее в столбец S. Понятно, что при отсутствии случайных вычислительных ошибок числа в столбцах Σ и S должны практически совпадать. Значительное расхождение контрольных значений может указывать либо на промахи в вычислениях, либо на неустойчивость алгоритма вычислений по отношению к вычислительной погрешности. После нахождения контрольных сумм первым преобразованием в схеме единственного деления является деление элементов первой строки (включая столбец Σ ) на ведущий элемент,34. Запись результатов производится в четвертую строку раздела А. Здесь же впервые вступает контроль: сравнивается результат обычного текущего преобразования контрольной суммы первой строки. (Все вычисления в таблице для сокращения записей ведутся с округлением до четырех знаков после запятой: 0,93:,34 = 0,3974 и строчная сумма -,799-4, ,58 =0,3975. Расхождение в четвертом знаке после запятой в данном случае объясняется накоплением вычислительной ошибки в результате округлений. Используя четвертую строку раздела A, можно приступить к преобразованию второй и третьей строк этого раздела (исключение неизвестного, во втором и третьем уравнениях системы). Результаты этих преобразований образуют соответственно первую и вторую строки раздела A. Эти преобразования выполняются по следующему правилу: каждый элемент первой строки раздела A, равен разности соответствующего элемента второй строки раздела A и произведения его «проекций» на первый столбец и последнюю строку раздела A ; аналогичным способом вторая строка раздела A получается из третьей строки раздела A., 64

65 Например, для вычисления первого элемента первой строки раздела A берется элемент 5, из второй строки раздела A и из него вычитается произведение 8,04( -,799), т. е. 5, + 8,04,799 = 9, ,6848. Точно так же второй элемент второй строки раздела A образуется вычитанием из числа 8,37 произведения 3,9( - 4,965), т. е. 8,37 + 3,9-4,965 = 7,8908 ж 7,89. В общем случае, если b - вычисляемый элемент нового раздела, a - соответствующий элемент предыдущего раздела, причем p â и p ã соответственно его вертикальная и горизонтальная «проекции», можно написать формулу b= a pâpã. Для вычислений с помощью калькулятора без иерархии операций эту формулу удобнее использовать в виде: ( ) b = pp + a. â ã После заполнения каждой строки нового раздела проводится контроль. Третья строка раздела A образуется делением первой строки на ведущий элемент 9,6848, после чего аналогичным образом заполняются строки раздела A. Разделом A заканчивается прямой ход. В столбце свободных членов последней строки этого раздела уже получено значение неизвестного 3 = 0,967. Значения остальных неизвестных последовательно находятся вычитанием из свободных членов соответствующих строк прямого хода, начинающихся с единицы, суммы произведений их коэффициентов на соответствующие значения ранее найденных неизвестных. Так, для получения проделываются вычисления: =,844,040 0,967 = 4, ,857. Процесс нахождения неизвестных составляет обратный ход (раздел B в таблице.). Контроль в обратном ходе ведется путем сравнения значений неизвестных, получаемых в столбце свободных членов, с соответствующими числами из столбца Σ (они образуются в результате действий, аналогичных действиям по нахождению значений неизвестных, с той разницей, что вместо свободных членов используются соответствующие числа из столбца Σ ). Суть контроля состоит в том, что при безошибочном выполнении вычислений числа в столбце Σ должны быть на единицу больше соответствующих значений неизвестных из столбца свободных чле- 65

66 нов. Этот эффект имеет простое обоснование. Введя в вычисления столбец Σ и проделывая с его элементами те же действия, что и с элементами столбца свободных членов, мы фактически с самого начала наряду с решением исходной системы параллельно решали вторую систему, у которой свободные члены образованы из свободных членов исходной системы, сложенных с коэффициентами соответствующих уравнений. Легко понять, что решениями этой второй системы должны быть числа, на единицу больше значений неизвестных исходной системы. По причине округлений результат решения системы в рассмотренном примере содержит вычислительную погрешность (наличие такой погрешности в ходе вычислений подтвердилось контролем). В этом можно убедиться, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему:,34,930-4,( -4,857)-,6 0,967= 4,4055, 8,04, ,( - 4,857) + 0,7 0,967 = - 6,4409, 3,9,930-7,99( - 4,857) + 8,37 0,967 = 55,565. Значения разностей между свободными членами исходной системы и результатами подстановки в уравнения системы найденных значений неизвестных называют невязками. В рассмотренном примере невязки имеют значения: ε = 4,4-4,4055= -0,00055, ε = -6,44- (-6,4409)=0,0009, ε 3= 55,56-55,56467=-0, Используя невязки, можно уточнить решение системы, вычислив поправки для найденных значений неизвестных. Для этого достаточно решить систему с прежней матрицей коэффициентов, но с новым столбцом свободных членов, составленным из невязок. При этом можно воспользоваться той же схемой единственного деления, в которой потребуется провести вычисления только для дополнительно введенного столбца невязок. Полученные значения поправок затем добавляются к найденным ранее значениям неизвестных. Теперь ниже рассмотрим реализации метода Гаусса в пакете Mathcad. Документ пакета Mathcad, в котором реализован метод Гаусса состоит из следующих блоков:. Задание функции, анализирующей матрицу системы и пе- 66

67 реставляющей строки при обнаружении в текущей строке нулевого элемента, стоящего на главной диагонали (рис. ). Аргументы функции: C - матрица, i - номер анализируемой строки. Рис.. Функция, переставляющая строки матрицы при обнаружении в текущей строке нулевого элемента на главной диагонали.. Задание функции, приводящей матрицу системы к треугольному виду и возвращающей соответствующую расширенную матрицу системы (рис. ). Аргументы функции: A - матрица системы, b - вектор - столбец свободных членов. Рис. Функция, возвращающая преобразованную к треугольному виду расширенную матрицу системы. 67

68 3. Задание функции, возвращающей значения неизвестных, вычисленных обратным ходом в соответствие с (3) (рис. 3). Рис. 3. Функция, возвращающая значения неизвестных, вычисленных обратным ходом. 4. Задание матрицы системы и вектор-столбца свободных членов: 5. Проверка правильности работы функции Simple: 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и проверка полученного решения средствами матричных функций пакета Mathcad: 68

69 3. Вычисление определителей Вычисление значения определителя квадратной матрицы является важной задачей линейной алгебры. Так, численное решение системы () имеет смысл лишь в том случае, когда матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этой системы невырожденна, т.е. когда ее определитель отличен от нуля. Однако и в том случае, когда определитель системы отличен от нуля, но очень мал по абсолютной величине, к полученным в ходе решения значениям корней нужно относиться с осторожностью, поскольку они могут значительно отличаться от истинного значения неизвестных. Поэтому решение системы линейных уравнений полезно сопровождать вычислением определителя этой системы. Вычисление определителя может представлять и самостоятельный интерес. Так, при получении множественного коэффициента корреляции и частных коэффициентов корреляции приходится многократно осуществлять вычисление различных определителей. Рассмотрим два алгоритма вычисления определителей. Начнем с решения системы уравнений методом Гаусса. Что происходит на каждом шаге его реализации с определителем исходной системы? Обозначим определитель системы () через D. Ясно, что после того, как мы разделим левую и правую части первого уравнения на ведущий элемент a, определитель преобразованной системы будет равен D / a. Последующие преобразования первого шага, связанные с исключением из остальных уравнений системы, величину определителя не изменяют. На втором шаге, когда мы разделим обе части (преобразованного) второго уравнения на второй ведущий элемент (обозначим его для простоты через a ) определитель полученной системы будет равен D / ( a a ). Операции по исключению из уравнения системы вновь не изменяют величины определителя. Осуществляя аналогичные действия, мы на -м шаге придем к системе (3). Легко понять, что определитель этой системы будет равен D / ( a a a ). Но матрица коэффициентов при неизвестных системы (3) - треугольная, с единицами по главной диагонали. Поэтому ее определитель равен. Получаем: ( ) D a a a / = 69

70 Следовательно, D = a a a Таким образом, для вычисления определителя системы () нужно получить произведение ведущих элементов, используемых на каждом шаге метода Гаусса. Рассмотрим еще один вариант алгоритма вычисления определителя квадратной матрицы. Этот алгоритм основан на идее представления исходной матрицы в виде произведения двух треугольных матриц. Пусть задана квадратная матрица X - гo порядка: где a a... a a a... a X = am am... a m Представим матрицу X в виде: X = Y Z, Y y 0 0 y y 0 y y y =, 70 Z. z z 0 z 0 0 = Известно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемноженных матриц. Поэтому X = Y Z. Но определитель матрицы Z равен, а определитель матрицы Y равен произведению ее диагональных элементов. Таким образам, имеет место равенство X = y y y Как вычислить элементы матриц Y и Z? Перемножая матрицы Y и Z и приравнивая элементы матрицы-произведения соответствующим элементам матрицы X, получаем следующие вычислительные формулы: i y = ; y = y z при i j, 4 i0 i0 ij ik kj k= 0. ( )

71 j ij yik zik 0 j k= 0 z0 j = ; zij = при < i< j. ( 5) y00 yii Упражнение. Возьмите в качестве X, Y и Z матрицы третьего порядка, выполните фактическое перемножение матриц Y и Z и убедитесь в правильности приведенных формул. Алгоритм вычисления определителя, основанный на описанной идее, прост. В пакете Mathcad вычислительный алгоритм, задаваемый формулами (4), (5), оказывается возможным реализовать в виде одной функции, представленной на рис. 4. Аргумент функции: A - имя квадратной матрицы. Рис. 4. Функция, возвращающая значение определителя матрицы 7

72 Для проверки правильности работы данной функции полезно сравнить результат, возвращенный данной функцией, и результат, возвращаемый функцией Determiat, встроенной в пакет Mathcad: 4. Метод простой итерации Перепишем систему () в виде: = α + α α + β, = α + α α + β, = α + α α + β (6) или сокращенно: = α + β ( i =,,..., ). i ij j i j= Правая часть системы (6) определяет отображение F F : yi = αijj + βi ( i =,,..., ). (7) j= -мерного векторного про-,,, того же пространства. Используя ( ) ( ) ( ) ( ) систему (6) и выбрав начальную точку 0 ( 0 0 0,,, ), можно построить итерационную последовательность точек -мерного пространства (аналогично методу простой итерации для скалярно- преобразующее точку (,,, ) странства в точку y( y y y ) го уравнения f ( ) = : Например, пусть дана система: ( 0) ( ) ( ),,...,. (8) 3 =, =, = 3. 3 Перепишем эту систему в виде (6): = 3 3, = , = 3. 3 Примем теперь за начальное приближение, например, точку (0; 0; 0) трехмерного пространства, подставим ее координаты в правую 7 (9)

73 часть системы (9) и произведем вычисления. Получим координаты новой точки (-; -; -3). Используя теперь эту точку как начальную, можно получить следующую точку (; -; -) и т. д. Тем самым будет получена последовательность точек: (0; 0; 0), (-; -; -3), (; -; -),. Оказывается, что при определенных условиях последовательность (8) сходится и ее предел является решением системы (6), т.е. системы (). Напомним в этой связи отдельные сведения из математического анализа. Функцию ρ (, y), определяющую расстояние между точками и y множества M, назовем метрикой, если выполнены условия: ) ρ (, y) 0, ) (, y) 0 3) ρ (, y) = ρ ( y, ), 4) ρ (, y) ρ( z, ) ρ( zy, ) ρ = тогда и только тогда, когда y 73 =, +. (Множество с введенной в нем метрикой ρ становится метрическим пространством) Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует такое число N, что для всех m, > N выполняется неравенство ρ (, y) < ε. Пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится. Пусть F - отображение, действующее в метрическом пространстве B с метрикой ρ ; и y - точки пространства B, a F, Fy - образы этих точек. Отображение F пространства B в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число α, 0<α<, что для любых двух точек, y B выполняется неравенство ρ ( F, Fy) α ρ(, y). (0) Точка называется неподвижной точкой отображения F, если F=. Понятно, что применительно к системе (4) неподвижная точка - это решение системы. Для исследования вопроса о решении системы линейных уравнений методом итераций (как, впрочем, и для многих других

74 приложений) исключительно важное значение имеет следующая теорема. Принцип сжимающих отображений. Если F - сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве, то существует единственная неподвижная точка х, такая, что = F. При этом итерационная последовательность, построенная ( 0) для отображения F с любым начальном членом, сходится к. Оценка расстояния между неподвижной точкой отображения ( k ) и приближением дается формулой. Оценка () появляется в процессе доказательства принципа сжимающих отображений: k ( k ) α (0) () ρ(, ) ρ(, ), () α из которой, приняв ( k ) -е приближение за нулевое k =, получаем еще одно полезное для приложений неравенство: ( k) α ( k ) ( k) ρ(, ) ρ(, ). () α Здесь α множитель из условия сжимаемости (0). Таким образом, используя принцип сжимающих отображений, можно заключить, что для решения системы (6) методом итераций достаточно установить, что отображение F, заданное соотношениями (7), является сжимающим. Если это так, то метод итераций может быть применен к системе (6), причем ее решение может быть получено с любой точностью при произвольном начальном приближении. 5. Достаточные условия сходимости итерационного процесса Рассмотрим условия, при которых отображение (7) будет сжимающим. Как следует из определения (0), решение этого вопроса зависит от способа метризации пространства. Пусть (,,, ) и y( y, y,, y ) - две точки -мерного пространства. При практическом применении метода итерации удобно рассматривать систему линейных уравнений в пространстве с одной из следующих трех метрик: а) (, y) = ma y, (3) ρ i i i б) ρ (, y) = y, (4) i= i 74 i

75 в) ρ3(, y) = ( i y i). (5) i= Упражнение. Докажите, что пространство с каждой из трех указанных метрик будет полным метрическим пространством. Сформулируем сейчас условия сжимаемости отображения (7) в пространствах с метриками ρ, ρ и ρ 3. Эти условия выражаются в конечном итоге через коэффициенты при неизвестных системы (6). Итак, для того чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве уравнениями (7), было сжимающим отображением (см. неравенство (0)), достаточно выполнения одного из следующих условий: а) в пространстве с метрикой ρ : a ij (6) i j = α = ma < т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы (6), взятых по строкам, должна быть меньше единицы; б) в пространстве с метрикой ρ : a ij (7) j i = α = ma < т.е. максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы (6), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы; в) в пространстве с метрикой ρ 3: αij (8) i= j= α = < т.е. сумма квадратов всех коэффициентов при неизвестных в правой части системы (6) должна быть меньше единицы. Условия (6) - (8) легко вывести. Рассмотрим для примера условия (6) Для двух точек (,,..., ) и (,,..., ) в соответствии с (5) имеем: y y = α ( ), i =,,...,, i i ij j j j= или по свойству абсолютной величины: 75

76 (9) y y α, i =,,...,. i i ij j j j= Неравенства (9) усилятся, если заменить каждый модуль j j значением (, ) ρ : i i αij ρ( ), =,,...,. j= y y i Значение ρ (, ) как постоянное число, можно вынести за знак суммы, а сумму заменить ее максимальным значением: y y i i y y = ρ y y : i i ma αij ρ( ) =,,...,. (0) i j = Поскольку (0) справедливо при всех =,,...,, оно справедливо и для того значения i, при котором (, ) ρ( y, y ) ma αij ρ(, ) i j = i i. () Сравнивая () с (0), получаем условие (6). Заметим, наконец, что каждое из условий (6) - (8) является достаточным для того, чтобы отображение (7) было сжимающим. Условие (7) является также и необходимым для сжимаемости отображения (7) (в смысле метрики ρ ) 6. Практическая схема решения систем линейных уравнений методом простой итерации Как следует из предыдущего, система () должна быть сначала переписана в виде (6). При этом гарантией сходимости итерационного процесса может служить выполнение хотя бы одного из достаточных условий (6) - (8) при «погружении» системы в пространство с одной из трех рассмотренных выше метрик. Для обеспечения условий сходимости нужно получить систему вида (6) из системы () так, чтобы коэффициенты при неизвестных в правой части системы были существенно меньше единицы. Этого можно достичь, если исходную систему вида () с помощью равносильных преобразований привести к системе, у которой абсолютные величины коэффициентов, стоящих на главной диагонали, больше абсолютных величин каждого из других коэффициентов при неизвестных в соответствующих уравнениях (такую систему называют системой с преобладающими диагональ- 76

77 ными коэффициентами). Если теперь разделить все уравнения на соответствующие диагональные коэффициенты и выразить из каждого уравнения неизвестное с коэффициентом, равным единице, будет получена система вида (6), у которой все a ij <. Выполнение этого условия, разумеется, необходимо, но недостаточно для удовлетворения условий сжимаемости (6) - (8). Если после указанных выше преобразований ни одно из условий (6) - (8) не выполняется, следует возвратиться к исходной системе и попытаться выполнить преобразования так, чтобы добиться лучшего эффекта. В общем случае на этот счет имеются специальные приемы (см. например, [5], [3]) Результатом установления хотя бы одного из условий (6) - (8) является получение значения α, которое затем находит применение в формуле оценки точности k -го приближения (). После того как сходимость установлена, можно приступить к выполнению вычислений. Схема алгоритма метода итераций для систем уравнений аналогична схеме метода итераций для одного уравнения (см. ). За начальное приближение обычно берется столбец свободных членов системы (6). На основе оценки () получается формула, позволяющая устанавливать момент прекращения итерационного процесса при достижении заданной точности результата ε : ( ) ( ) ρ(, ) ε α k k. () α Здесь ρ метрика, по которой была установлена сходимость получено соответствующее значение α. Пример. Решить систему (см. пример):,34 4,,63 = 4,4, 8,04+ 5, + 0, 7 3 = 6,44, 3,9 7,99 + 8,373 = 55,56 ε = 0. 4 методом простой итерации с точностью Получим сначала систему с преобладающими диагональными коэффициентами. Для этого первым уравнением возьмем второе, третьим - первое, а вторым - сумму первого с третьим: 8,04+ 5, + 0,7 3 = 6, 44, 6, 6, 0 3,4 3 = 69,97,,34 4,,6 = 4,

78 Разделим теперь каждое уравнение на его диагональный коэффициент и выразим из каждого уравнения диагональное неизвестное: = 0, , ,800995, = 0,5347 0, ,735459, = 0, ,36684, Теперь необходимо проверить одно из условий сходимости. Попробуем установить сходимость по метрике ρ (см. условие (7)). Замечаем, что максимальной суммой модулей коэффициентов по столбцам будет сумма модулей коэффициентов при. Однако эта сумма не удовлетворяет условию (7): 0, ,36684 >. Невыполнение одного из условий еще не означает, что метод итераций применить нельзя. Попробуем установить условие сходимости в пространстве с евклидовой метрикой ρ 3 (см. условие (8)). Имеем: 0, , , , , ,36684 = =0, ,0077+0, , ,047+0,349= = 0,9993<. Итак, итерационный процесс в евклидовом пространстве сходится, причем коэффициент сжатия α = 0,9993 0,96. Для достижения точности ε = 0 приближения нужно находить до тех 4 пор, пока будет выполняться неравенство ( k ) где ρ ( ) ( ) ρ(, ) ε α k k, α k (, ) расстояние между двумя последними соседними 4 приближениями в смысле евклидовой метрики, причем ε = 0, α = 0,96. Для использования итерационного процесса, для дальнейшего использования итерационного процесса, для дальнейших вычислений целесообразно использовать пакет Mathcad. Ниже при- 78

79 водятся использования пакета Mathcad, который состоит из следующих блоков.. Задание функций, возвращающих значение расстояния между точками соответствующем метрическом пространстве (рис. 5-7). Рис. 5. Функция, возвращающая расстояние между точками в метрическом пространстве ρ. Рис. 6. Функция, возвращающая расстояние между точками в метрическом пространстве ρ. Рис. 7. Функция, возвращающая расстояние между точками в метрическом пространстве ρ 3.. Задание функции, возвращающей значение коэффициентов а (рис.8). Аргументы функции: A - имя матрицы системы, ρ ( i =,,3) имя соответствующей метрики. i 3. Задание матрицы системы, приведенной к виду, пригодному для метода простой итерации: 79

80 4. Вычисление значений коэффициентов α для каждого метрического пространства: 5. Задание функции, реализующей вычисления в соответствии с итерационным алгоритмом (рис. 9). Аргументы функции: A- имя матрицы системы, b - имя вектор-столбца свободных членов, ρ - имя метрики, α - соответствующее значение коэффициента, ε - точность решения. Рис. 8. Функция, возвращающая значение коэффициентов α для каждого из трех метрических пространств. 80

81 Рис 9. Функция, реализующая вычисления в соответствии с итерационным алгоритмом. 6. Нахождение решения системы линейных уравнений. Замечание. Метод простой итерации удобен для программирования на компьютере, однако необходимость предварительного приведения системы уравнений к специальному виду с доказательством условий сходимости затрудняет его практическое использование. Учитывая, что условия сходимости (6) - (8) не являются необходимыми (т.е. процесс может сходиться и при несоблюдении этих условий), на практике часто используют другой путь. В качестве условия достижения решения принимается близость соседних 8

82 приближений всех неизвестных системы в пределах установленной точности: ( k+ ) k i ε, i =,..., (здесь k - номер приближения). Для того чтобы избежать зацикливания программы (в случае, если итерационный процесс расходится или сходится слишком медленно), с самого начала вводится ограничение на количество итераций. Кроме того, чтобы исключить подготовительную ручную работу по приведению исходной системы к виду (6), эту часть процесса решения целесообразно предусмотреть в программе, а систему уравнений вводить в компьютер в естественном виде (). Соблюдение достаточных условий сходимости при этом не проверяется, но имеет смысл постараться перестроить уравнения исходной системы вида () так, чтобы диагональные коэффициенты были преобладающими. Вопросы для самопроверки. К какому типу методов прямым или итерационным относится метод Гаусса?. В чем заключается прямой и обратный ход в схеме единственного деления? 3. Как организуется контроль за вычислениями в прямом и обратном ходе? 4. Что такое метрика? 5. Что такое сжимающее отображение? 6. В чем заключается суть метода простой итерации для решения систем уравнений? 7. Какую систему можно решать методом простой итерации? 8. Как привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами? 9. Как находится расстояние между двумя приближениями в пространстве с метрикой ρ, ρ, ρ 3? 0. Как формулируются достаточные условия сходимости итерационного процесса? Как эти условия связаны с выбором метрики пространства?. Как найти коэффициент сжатия? 8

83 Практические занятия 5-6 Приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений методами Гаусса и простой итерации Цель занятия: сформировать у студентов представления о прямых и итерационных методах решения систем линейных уравнений, выработать умения составлять и применять алгоритмы и программы для решения систем уравнений, дать навыки в использовании программных средств для решения систем уравнений. Метод Гаусса-Жордана Пример. Решить систему = = = 8 методом Гаусса-Жордана с точностью ε = 0,00. Решение. Вводим матрицу коэффициентов при неизвестных A и матрицу свободных членов B (рис..) Рис.. Ввод матриц A, B.. Задаем функцию, реализующую метод Гаусса-Жордана. Аргументы функции: A матрица коэффициентов при неизвестных, B матрица свободных членов (рис. ). 83

84 Рис.. Функция, реализующая метод Гаусса-Жордана с использованием встроенных функций Mathcad Функцию, которая будет реализовать метод Гаусса-Жордана без использования встроенных функций Mathcad, составить самостоятельно. 3. Проверяем решение с помощью встроенных функций Mathcad. Рис. 3. Проверка решения встроенными функциями Mathcad: С помощью функций solve; ) матричный способ; 3) С помощью блока Give Fid. 84

85 .694 Ответ : X = Метод простой итерации Пример. Решить систему = = = 8 методом простой итерации с точностью ε = 0,00. Решение. Приводим исходную систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами. Для этого, например, первое уравнение запишем третьим, третье уравнение умножим на, вычтем второе и запишем на первом месте и, а второе уравнение умножим на, вычтем первое и запишем на втором месте = = = 7 Коэффициенты, расположенные по диагонали и подчеркнутые, являются преобладающими по строке.. Составляем матрицы коэффициентов при неизвестных в левой части и свободных членов (рис. 4). Рис. 4. Ввод матриц A, B. 3. Получаем преобразованную систему. Разделим для этого каждое уравнение на свой диагональный коэффициент и выразим из каждого уравнение диагональное неизвестное (рис. 5). 85

86 Рис. 5. Получение приведенной системы. Получили систему: = 3, ,333 0,667 3; = 3,67 0,5 0,667 3; 3 =, 4 0, 0, 4. Для обеспечения условий сходимости нужно получить систему так, чтобы коэффициенты в правой части системы были существенно меньше единицы. 4. Проверяем одно из условий сходимости итерационного процесса. Будем устанавливать сходимость, т.е. «погрузим» систему в пространство с одной из трех метрик: ρ, ρ, ρ 3. В пакете Mathcad коэффициенты сжатия можно определить с помощью функций ormi (AA), orml (AA), orme (AA) (соответственно для ρ, ρ, ρ 3. ) (рис. 6) или воспользоваться формулами (рис. 7). Рис. 6. Определение коэффициента сжатия встроенными функциями Mathcad. 86

87 Рис.7. Определение коэффициента сжатия с помощью формул. Заметим, что все коэффициенты меньше единицы, значит, систему можно «погрузить» в пространство с любой из метрик. Остановимся на пространстве с метрикой ρ. Итак, итерационный процесс сходится, причем α = 0, Находим критерий достижения заданной точности при решении системы уравнений методом простой итерации. Для достижения точности ε = 0,00 приближения нужно находить до тех пор, ( k+ ) k пока будет выполняться неравенство <ε (рис. 8), т.е. расстояние между двумя соседними приближениями не должно превышать числа Е. i Рис. 8. Определение критерия достижения заданной точности ε. 87

88 6. Вычисляем значения итерационной последовательности (рис. 9). Рис. 9. Вычисление последовательности значений.. Для определения, какое приближение будет являться решением, необходимо найти расстояния между двумя соседними приближениями по метрике ρ (т.к. выбрано это пространство) (рис. 0). Рис. 0. Проверка критерия достижения заданной точности по метрике ρ 88

89 Полученное десятое значение суммы модулей разностей коэффициентов при неизвестных, равное,306 0 < E, удовлетво- 4 ряет условию критерия. Это значит, что в таблице значений х девятый столбец является решением системы уравнений методом простой итерации.. Визуализируем полученные значения (рис. ) Рис.. Визуализация решения системы уравнений методом простой итерации. Графики показывают, что, начиная с k = 0, все три линии перестают преломляться, а значит, десятое приближение будет являться решением нашей системы уравнений методом простой итерации. Ответ: решением системы является вектор-столбец, полученный на десятом шаге итерации X =, 694 4, 49.,857 Задания для самостоятельного решения Задание. Решить систему уравнений с тремя неизвестными (табл. ) методом Гаусса - Жордана, методом простой итерации с точностью ε= 0,00. Составить функции, реализующие методы, проверить решение с помощью встроенных функций пакета Mathcad. 89

90 Таблица. Варианты заданий для самостоятельной работы задание задание , 0, 45 0, 03 =,97 0,30+ 0, 5 + 0, 433 = 0,3 0, 60 0,35 0, 53 =,83,53, 65 0, 763 =,8 0,86+,7 +,843 =,95 0,3 0, 65 +,3 = 0, 47 0, 45 0,94 0,53 = 0,5 0, 0 + 0,34 + 0, 063 = 0,3 0,35 + 0, , 653 = 0,37 0, 63+ 0, ,53 = 0,34 0,5+ 0,0 + 0, 73 = 0, 4 0, 03+ 0,34 + 0,03 = 0,3 0, 0+, 60 0,03 = 0,30 0,30 + 0,0,50 = 3 0, 40, 0 0, 0 + 0,30 = 3 0, 60 0,30+, 0 0, 03 = 0, 60 0,0 0, 0 +, 603 = 0,30 0,50 + 0,34 + 0,0 = 3 0,3 0, 0+ 0, ,83 = 0, 74 0,58+ 0, 9 + 0, 053 = 0, 0 0, 05+ 0,34 0,03 = 0,3 6,34+, = 4, 40 7,4 9,03 +,753 = 49,49 5,57+ 7, ,363 = 7, 67 0,3 0,4, 003 = 0,5 0, 75+ 0,8 + 0, 773 = 0, 0, 8 0,7 + 0,393 = 0, 56,43 8,54 + 6,363 = 9,76 4,34+ 49,87 + 9,83 = 43, 48 6, 75 8, ,883 = 56,9 0, 66+ 0, 44 0, 3 = 0,58,54+ 0, 74 +,543 = 0,3, 4+, 4 + 0,863 = 0, ,38,4 +,393 = 5,86,84+ 5,36 3,33 =, 8, 46 3, ,373 = 4, 47,34 4,, 63 = 4, 4 8,04+ 5, + 0,73 = 6,44 3,9 7,99 + 8,373 = 55,56, 0 0, 73 9,3 =, 5 6, 5+,3 + 7, 63 =,33,3 8,88 + 4, 643 = 3, 75 0, 6+ 0,9 + 0, 033 = 0,8 0,99+ 0, 0 + 0, 0073 = 0, 66, 0 0, 0 + 0,993 = 0,98 0,0 0, 07 0,963 =, 04 0, 04 0,99 0,853 = 3, 73 0,9+, ,93 =, 67 0, 6+ 0,84 + 0, 773 = 8,8 0, 03,, 083 = 0, 08 0,97+ 0, 0, 083 = 0, 06 0, 63 0,37 +, 763 = 9, 9 0,90+ 0,99 + 0, 053 = 0, 0,3 0,95 + 0, 693 = 0,36 0,98+ 0,88 0, 43 =,36 0,6 0, 44 0,883 =, 7 9, , 743 = 5,3 0, 0,94 0,943 = 0, 5 0,98 0,9 + 0,933 = 0, 3 0,87+ 0,56 0,43 = 0,33 3,43+ 4,07,063 = 46,08 74, 4+,84,853 = 6,5 3,34+ 94,3 +, 03 = 9,3 0, 7+ 3,54 + 7, 83 = 0,33 0,8 0,7 + 3,043 = 0,, 00+ 0,35 0, 783 =, 90

91 , 78 0, 0 0,3 = 0,56 0, 0 0,86 + 0, 043 = 0, 77 0,+ 0, 44 0, 73 =, 0 3 0,5 + 0,53 = 56,5 0, ,53 = 00 6,5+ 0, 6 33 = 0 0,9 0,83 + 0, 63 =,5 0, 4 0,54 + 0, 433 = 0, 6 0, 73 0,8 0, 673 = 0,88,0+ 0,7 0,653 =,7 0,74, 4,733 = 0,77, 78+,3 + 0, 743 =,6 4, 03+, 7,33 =, 60, , 8 0,363 = 5,36, 4 +,9 +,37 = 3 5, 75 3, 45, 5 + 0,383 = 5, 0,5+ 7, 4 0,393 = 3,56 8, 6+,94 +,93 = 4, 7 5, 4+, 66,393 = 9,, 47+ 8, 0 +,33 = 7, 76 5, 45 6, = 9,37 3,3+, 4,33 = 0, 4 3, + 53 = 6 +,3 + 3,53 =, 7,6+ 5,8 + 4,73 = 0,0 3,8+ 4, +, 73 = 9, 7,9+, + 3,893 = 7, ,34+ 0, 7 + 0, 633 =, 08 0, 7 0, 65 0,73 = 0,8,8,35 + 0, 753 =, 8 0, 0,8 + 0, 753 = 0, 0,3+ 0, 75 0,3 =, 0 3, 0 0,33 + 0,3 = 0,3 3, 75 0, 8 + 0,73 = 0, 75, 0, 0,3 =, 0, 3,7 +,83 = 0, 05 3,4, +,73 =, 7, +,3, 453 =,3,7, 45 +,8 = 3 3,4, 65, 7 + 0,83 =, 5, 7 +, 73 0, 463 = 0,93 0,8 0, 46 +,6 = 3,33,45+,75 3,43 =,3, 75,6 +,83 = 3, 43 3, 4 +,8,853 = 0,6 3,3+,6 + 0,653 =,8, 6,33, 433 = 0,87 0, 65, 43 +,83 =,87 5, 4, ,9 3 = 5,5,57+ 6, 8,3 3 = 4, 45, 7 0, 76 +,593 = 3,57 0,9+, 7 3,93 =, 4,5+ 5,86 0,53 = 3,96 4, 45,57 + 3,93 =, 8 4. Приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя. Решение систем линейных уравнений методом Зейделя Будем снова рассматривать исходную систему линейных уравнений () из 3: 9

92 a + a a = b, a + a a = b, ()... a + a a = b и эквивалентную ей приведенную систему (6) из 3: = α +α α +β, =α +α α +β, () =α +α α +β При решении системы () методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому (очередному) приближению. Обозначим элементы имеющегося приближения через,,...,, а элементы очередного (вычисляемого) приближения через y, y,..., y. Вычислительные формулы имеют вид: ; (,,..., ). y = a + b i= i ij i j i= Основная идея метода Зейделя состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении значения y i учитываются уже полученные значения y, y,..., yi. Выпишем соответствующие вычислительные формулы: y = α +β j j j= y =α y + α +β j j j= i y = α + α +β, j j ij i i j= j= i y = α +α +β j j j=, Справедливо следующее утверждение:,. (3) 9

93 если для матрицы коэффициентом системы () выполняется хотя бы одно из условий (6) (8) из 3, то итерационный процесс метода Зейделя сходится к единственному решению системы при любом выборе начального приближения,,...,. Таким образом, каждое из условий (6) (8) из 3 является достаточным для сходимости итерационного процесса метода Зейделя. Преимущество метода Зейделя состоит в том, что он обычно обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простой итерации. Мы уже отмечали, что «вручную» осуществлять переход от системы () к системе (), а затем производить проверку выполнения достаточных условий сходимости неудобно. Опишем практическую процедуру преобразования исходной системы (), гарантирующую сходимость итерационного процесса метода Зейделя для соответствующей системы (). Запишем систему () в матричной форме: AX = B, (4) где A матрица коэффициентов при неизвестных исходной системы, B вектор столбец свободных членов, X вектор столбец T неизвестных. Обозначим, как принято в алгебре, через A результат транспонирования матрицы A. Умножим левую и правую части системы (4) слева на матрицу A T : T T A AX = A B. T T Обозначим произведение A A через C и A B через D. Преобразованная система теперь имеет вид: CX = D. (5) Такого рода систему принято называть нормальной. Нормальные системы обладают рядом «хороших» свойств, среди которых, в частности, такие: матрица C коэффициентов при неизвестных нормальной системы является симметрической (т.е. aij = aji, i, j =,,..., ); все элементы главной диагонали матрицы С нормальной системы положительны (т.е. aij > 0, i=,,..., ). Последний факт даёт возможность «автоматически» приводить нормальную систему (4) к виду: 93

94 где ; (,,..., ), (6) = α +β i= i ij j j j i cij α ij =, ( j i) и c ii d i β i = (7) cii Целесообразность осуществления описанных преобразований вытекает из того, что имеет место Теорема. Итерационный процесс Зейделя для приведенной системы (6), эквивалентной нормальной системе (5), всегда сходится к единственному решению этой системы при любом выборе начального приближения. Продемонстрируем описанные преобразования на примере конкретной системы уравнений: = 3, + + 3= 4, = 5. Для заданной системы 3 3 T A=, B= 4, A = Вычислим C T = A A= 3 = T D= A B= 3 4 = 5 Таким образом, нормальная система, полученная из заданной системы, имеет вид: 94

95 = 6, =, =. Приведенная система, эквивалентная этой нормальной системе, будет выглядеть так: = 0,66673+,6667, = 0, ,45453+, 3 =,3333, Коэффициенты приведенной системы вычислены по формулам (7) с точностью до четвертого знака после запятой. Отметим, что точное решение исходной системы таково: =, =, 3 =. Расчётные формулы (3) итерационного процесса Зейделя для данного конкретного случая будут иметь такой вид: y= 0,66673+,6667, y = 0,5455y 0,45453+, y3 =,3333y,6667y+ 4. Для начальных значений =, 7; = ; 3 = 4, (близких к свободным членам системы) и ε = 0,0000 результат работы ручного вычисления будет таким: = 0,9999, =, 0000, 3 =, 000. Теперь мы можем наметить основные шаги алгоритма решения методом Зейделя произвольной системы линейных уравнений вида ():. Ввод матрицы A коэффициентов исходной системы и матрицы столбца B ее свободных членов.. Приведение нормальной системы к виду, допускающему осуществление итерационного процесса Зейделя (по формулам (3)). 3. Задание требуемой точности решения. 4. Циклическое осуществление итерационного процесса до достижения требуемой точности. 95

96 Документ пакета Mathcad, в котором реализован описанный выше алгоритм, состоит из следующих блоков. Задание функции, выполняющей последовательно: - приведение системы к нормальному виду; - приведение нормальной системы к виду, пригодному для итерационного процесса Зейделя; - реализация итерационного процесса Зейделя (рис. ). Аргументы функции: A - матрица исходной системы, b- вектор-столбец свободных членов, ε точность решения. Функция возвращает решение системы и его погрешность.. Задаем матрицы коэффициентов при неизвестных исходной системы линейных уравнений. Например,. Решение системы линейных уравнений методом Зейделя. 96

97 Рис.. Функция, реализующая метод Зейделя. 97

98 Вопросы для самопроверки. В чем отличие итерационного процесса метода Зейделя от аналогичного процесса метода простой итерации?. Какое условие является критерием достижения заданной точности при решении систем линейных уравнений методом простой итерации, методом Зейделя? 3. Как строится итерационная последовательность значений при решении систем уравнений методом простой итерации, методом Зейделя? Практические занятия 7-8 Приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя Цель занятия: сформировать у студентов представления о прямых и итерационных методах решения систем линейных уравнений, выработать умения составлять и применять алгоритмы и программы для решения систем уравнений, дать навыки в использовании программных средств для решения систем уравнений. Метод Зейделя Пример. Решить систему = = = 8 методом Зейделя с точностью ε = 0,00. Решение. Вводим матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу свободных членов. 5 7 A: = 4 3 B: 6 = 4 5 T. Транспортируем матрицу A, получим матрицу A (транспортированная матрица это матрица, столбцы которой являются строками исходной матрицы). 98

99 4 T A = Умножаем левую и правую части исходной системы на T матрицу A (рис. ). Рис.. Вычисление коэффициентов преобразованной матрицы. = β + α 4. Получаем систему вида i j ij j j. Для этого разделим коэффициенты каждой строки матрицы M на соответствующий разрешающий элемент строки. Получим приведенную систему, к которой применим метод Зейделя (рис.3.) Рис.3. Получение приведенной системы. Входные параметры программы: - число шагов, ε - заданная точность, a, b - матрицы (преобразованные), otvet - переменная, по которой функция Zeidel выдает корни уравнения, любое другое ее значение определяет множество шагов решения. 99

100 5. Для решения системы уравнений, составим функцию, реализующую метод Зейделя. 6. Визуализируем полученные значения. Рис. 4. Визуализация решения системы уравнений методом простой итерации Ответ: решением системы трех линейных уравнений является, 693 вектор X = 4, 488, найденный на 9-ом шаге итерации.,856 Задания для самостоятельного решения Задание. Решить систему уравнений с тремя неизвестными (табл. ) методом Зейделя с точностью ε = 0,00. Составить функции, реализующие методы, проверить решение с помощью встроенных функций пакета Mathcad. Таблица. Варианты заданий для самостоятельной работы задание задание 0, 0, 45 0, 03 =,97 0,30+ 0, 5 + 0, 433 = 0,3 0, 60 0,35 0, 53 =,83,53, 65 0, 763 =,8 0,86+,7 +,843 =,95 0,3 0, 65 +,3 = 0, 47 4,38,4 +,393 = 5,86,84+ 5,36 3,33 =, 8, 46 3, ,373 = 4, 47,34 4,, 63 = 4, 4 8,04+ 5, + 0,73 = 6,44 3,9 7,99 + 8,373 = 55,56 00

101 , 45 0,94 0,53 = 0,5 0, 0 + 0,34 + 0, 063 = 0,3 0,35 + 0, , 65 = 3 0,37 0, 63+ 0, ,53 = 0,34 0,5+ 0,0 + 0, 73 = 0, 4 0, 03+ 0,34 + 0,03 = 0,3 0, 0+, 60 0,03 = 0,30 0,30 + 0,0,50 = 3 0, 40, 0 0, 0 + 0,30 = 3 0, 60 0,30+, 0 0, 03 = 0, 60 0,0 0, 0 +, 603 = 0,30 0,50 + 0,34 + 0,0 = 3 0,3 0, 0+ 0, ,83 = 0, 74 0,58+ 0, 9 + 0, 053 = 0, 0 0, 05+ 0,34 0,03 = 0,3 6,34+, = 4, 40 7,4 9,03 +,753 = 49,49 5,57+ 7, ,363 = 7, 67 0,3 0,4, 003 = 0,5 0, 75+ 0,8 + 0, 773 = 0, 0, 8 0,7 + 0,393 = 0, 56,43 8,54 + 6,363 = 9,76 4,34+ 49,87 + 9,83 = 43, 48 6, 75 8, ,883 = 56,9 0, 66+ 0, 44 0, 3 = 0,58,54+ 0, 74 +,543 = 0,3, 4+, 4 + 0,863 = 0,83 0, 78 0, 0 0,3 = 0,56 0, 0 0,86 + 0, 043 = 0, 77 0,+ 0, 44 0, 73 =, 0 3 0,5 + 0,53 = 56,5 0, ,53 = 00 6,5+ 0, 6 33 = 0 0,9 0,83 + 0, 63 =,5 0, 4 0,54 + 0, 433 = 0, 6 0, 73 0,8 0, 673 = 0, , 0 0, 73 9,3 =, 5 6, 5+,3 + 7, 63 =,33,3 8,88 + 4, 643 = 3, 75 0, 6+ 0,9 + 0, 033 = 0,8 0,99+ 0, 0 + 0, 0073 = 0, 66, 0 0, 0 + 0,993 = 0,98 0,0 0, 07 0,963 =, 04 0, 04 0,99 0,853 = 3, 73 0,9+, ,93 =, 67 0, 6+ 0,84 + 0, 773 = 8,8 0, 03,, 083 = 0, 08 0,97+ 0, 0, 083 = 0, 06 0, 63 0,37 +, 763 = 9, 9 0,90+ 0,99 + 0, 053 = 0, 0,3 0,95 + 0, 693 = 0,36 0,98+ 0,88 0, 43 =,36 0,6 0, 44 0,883 =, 7 9, , 743 = 5,3 0, 0,94 0,943 = 0, 5 0,98 0,9 + 0,933 = 0, 3 0,87+ 0,56 0,43 = 0,33 3,43+ 4,07,063 = 46,08 74, 4+,84,853 = 6,5 3,34+ 94,3 +, 03 = 9,3 0, 7+ 3,54 + 7, 83 = 0,33 0,8 0,7 + 3,043 = 0,, 00+ 0,35 0, 783 =, 0,34+ 0, 7 + 0, 633 =, 08 0, 7 0, 65 0,73 = 0,8,8,35 + 0, 753 =, 8 0, 0,8 + 0, 753 = 0, 0,3+ 0, 75 0,3 =, 0 3, 0 0,33 + 0,3 = 0,3 3, 75 0, 8 + 0,73 = 0, 75, 0, 0,3 =, 0, 3,7 +,83 = 0, 05 0

102 ,0+ 0,7 0,653 =,7 0,74, 4,733 = 0,77, 78+,3 + 0, 743 =,6 4, 03+, 7,33 =, 60, , 8 0,363 = 5,36, 4 +,9 +,37 = 3 5, 75 3, 45, 5 + 0,383 = 5, 0,5+ 7, 4 0,393 = 3,56 8, 6+,94 +,93 = 4, 7 5, 4+, 66,393 = 9,, 47+ 8, 0 +,33 = 7, 76 5, 45 6, = 9,37 3,3+, 4,33 = 0, 4 3, + 53 = 6 +,3 + 3,53 =, 7,6+ 5,8 + 4,73 = 0,0 3,8+ 4, +, 73 = 9, 7,9+, + 3,893 = 7, ,4, +,73 =, 7, +,3, 453 =,3,7, 45 +,8 = 3 3,4, 65, 7 + 0,83 =, 5, 7 +, 73 0, 463 = 0,93 0,8 0, 46 +,6 = 3,33,45+,75 3,43 =,3, 75,6 +,83 = 3, 43 3, 4 +,8,853 = 0,6 3,3+,6 + 0,653 =,8, 6,33, 433 = 0,87 0, 65, 43 +,83 =,87 5, 4, ,9 3 = 5,5,57+ 6, 8,3 3 = 4, 45, 7 0, 76 +,593 = 3,57 0,9+, 7 3,93 =, 4,5+ 5,86 0,53 = 3,96 4, 45,57 + 3,93 =, 8 5. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Постановка задачи Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу: Таблица. ( ) f 0 0 y 0 y y При этом требуется получить значение функции f для такого, но не сов- значения аргумента, которое входит в отрезок [ ; 0 ] падает ни с одним из значений, ( i = 0,,..., ). i Очевидный прием решения этой задачи - вычислить значение f ( ), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием, однако, можно применить лишь в случае, когда аналитическое выражение f пригодно для вычислений. Более того, часто аналитическое выражение функции f вовсе неизвестно. В этих

103 случаях применяется особый прием - построение по исходной информации (табл. ) приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что f ( ) = F( ). () Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпаде-, i = 0,,...,, т.е. ния значений f ( ) и F ( ) в точках i ( ) F ( ) y, F( ) y,... F( ) y. = = = () 0 0 В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки 0,,... - узлами интерполяции. Будем искать интерполирующую функцию F ( ) в виде многочлена степени : P( ) = a0 + a + + a + a. (3) Этот многочлен имеет + коэффициентов. Естественно предполагать, что + условия (), наложенные на многочлен, позволят однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для P ( ) выполнения условий (), получаем систему + уравнений с + неизвестными: k a k i = yi ( 0,,,..., ). ( 4) k= 0 Решая эту систему относительно неизвестных a0, a,..., a, мы и получим аналитическое выражение полинома (3). Система (4) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель известный в алгебре как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный многочлен P ( ) для функции f, заданной таблицей, существует и единствен (может случиться, что какие-то коэффициенты в ( ) P, в том числе и 0 a равны нулю; поэтому интерполяционный полином при рассмот- 03,

104 ренных условиях в общем случае имеет степень, не большую, чем ). Описанный прием можно использовать и для практического решения задачи интерполирования многочленом с помощью пакета Мathcad. Ниже приведена решения задачи интерполирования конкретной функции многочленом степени с помощью пакета Мathcad. Пример. Решить задачу интерполирования функции f ( ) = si полиномом -ой степени с помощью пакета Мathcad. Решение Документ пакета Mathcad, содержащий решение задачи интерполяции Документ пакета Mathcad, содержащий решение задачи интерполяции полиномом -ой степени, состоит из следующих блоков.. Задание табличных значений интерполируемой функции:. Визуализация табличной зависимости и истинных значений функции (рис. ). Рис.. Функция f ( ) = si и табличные значения, используемые для решения задачи интерполяции 04

105 3. Задание функции, возвращающей значения полинома (3): 4. Задание функции, возвращающей значения элементов матрицы Вандермонда (рис. ). Рис. Задание функции, возвращающей значения элементов матрицы Вандермонда 5. Вычисление значений элементов матрицы Вандермонда: 6. Вычисление коэффициентов полинома: 7. Построение разности между точным и интерполированными значениями функции (рис. 3). Рис. 3. Погрешность аппроксимации функции f ( ) = si полиномом 8-й степени 05

106 Замечание. Для решения задачи интерполирования кроме описанного выше способа, которую называют часто классическим, а также используют другие способы. Некоторые из них рассмотрим ниже и в 6.. Интерполяционный многочлен Лагранжа Пусть функция f задана таблицей. Построим интерполяционный многочлен L ( ). степень которого не больше для которого выполнены условия (). Будем искать L ( ) в виде L( ) = l0 + l + + l. (5) где l ( ) - многочлен степени, причем i l i ( ) yi, если i = k, = 0, если i k. Очевидно, что требование (6) с учетом (5) вполне обеспечивает выполнение условий (). Многочлены li ( ) составим следующим способом: li( ) = ci( 0)( ) ( i )( i+ ) ( ). (7) где c i, - постоянный коэффициент, значение которого найдем из первой части условия (6): c j = y ( ) ( )( ) ( ) j i 0 i i i i+ i (замечаем, что ни один множитель в знаменателе не равен нулю). Подставим c i, в (7) и далее с учетом (5) окончательно имеем: ( ) L = y ( 0) ( i )( i+ ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i i= 0 i 0 i i i i+ i (6). (8) Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По таблице исходной функции f формула (8) позволяет весьма просто составить «внешний вид» многочлена. Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей: Таблица. 3 4 f ( )

107 Из таблицы следует, что = (т.е. степень многочлена будет не выше, чем вторая). Здесь 0 =, = 3, = 4. Используя формулу (8), получаем: ( ) L ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 07 ( )( ) ( )( ) = = ( ) ( ) ( ) = = Используя обозначение Π + ( ) = ( )( ) ( ) 0, формуле Лагранжа можно придать более сжатый вид. Продифференциру- Π + по : ем ( ) При Π ( ) = ( ) ( )( ) ( ) + 0 i i+ i= 0 = i, имеем ( i =,,..., ) : Π = ( ) ( ) ( )( ) ( ) + i 0 i i i i+ i i= 0 Тогда формула Лагранжа принимает вид: ( ) Π + ( ) yi( ) Π + ( ) i= 0 ( ) Π ( ) i= 0 ( ) Π ( ). (9) L = y = i i 0 + i i 0 + i 3. Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа Непосредственное применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Организация вычислений существенно улучшится, если пользоваться специальной вычислительной схемой. В таблице 3 показано построение такой схемы для четырех узлов ( i = 0,,,3). Таблица составляется заново для каждого нового аргумента. Заполнение таблицы начинается с того, что вычисляются и заносятся в соответствующие клетки все элементарные разности. Вслед за этим вычисляются произведения p i, разностей по строкам: p = ( )( )( )( ),

108 и т. д. ( )( )( )( ) p = 0 3 Таблица pi yi yi p i i= 0 y i ( ) p i Легко видеть, что произведение, обозначенное в таблице через p i - это знаменатель в формуле Лагранжа (9), т.е. ( ) ( ) ( ) pi = i Π + i i = 0,,,..., С учетом этого обозначения формула Лагранжа имеет вид: ( ) ( ) Π + i= 0 = L y i ( ) Все необходимые значения последовательно получаются в таблице. Сумма S образуется сложением элементов последнего столбца. Для получения окончательного значения L ( ) достаточно умножить S на произведение Π + ( ) (произведение диагональных разностей таблицы). Пример 3. Имеется таблица функции: p i 0,4,55,67 3,84 f ( ),63 3,75 4,87 5,03 Таблица 4. Требуется получить значение этой функции в точке,9 =, пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа. Вычисления приведены в таблице 5. Для нахождения окончательного результата сумма значений последнего столбца умножается на произведение диагональных разностей: 08

109 f (,9) = 0,7907 5, 4 4,5 Таблица 5. =,9 0 3 i 0,50 -,4 -,6-3,43-3,6,63-0,983,4 0,36 -, -,9,056 3,75 3,56,6, -0,76 -,7,5 4,87,63 3 3,43,9,7 -,93-7,74 5,03-0,835 p i y i yi p 5,4 4. Программа вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа Для составления программы для вычисления одного значения интерполяционного многочлена Лагранжа на компьютере воспользуемся формулой (8). Основная рабочая часть искомого алгоритма состоит из двойного цикла - во внутреннем цикле вычисляются + значений многочленов-слагаемых вида ( i = 0,,... ) : ( 0) ( i )( i+ ) ( ) l ( ) = y i i ( ) ( )( ) ( ) i 0 i i i i+ i (в числителе и знаменателе сомножителей), а во внешнем - накапливается общая сумма ( ) ( ) = L l i= 0 Схема алгоритма изображена на рисунке 4. Работа внутреннего цикла контролируется с помощью индекса j. Изменяясь в пределах от 0 до, индекс j принимает все - таки ровно значений, «проскакивая» текущее значение индекса i, определяемого во внешнем цикле. Тем самым обеспечивается правильное составление многочленов-слагаемых ( ) i l формулы Лагранжа. Носителем окончательного результата является переменная f. i. 09

110 Рис. 4 В том числе описанный алгоритм можно использовать и для практического решения задачи интерполирования полиномом Лагранжа с помощью пакета Мathcad. 0

111 Ниже приведена решения задачи интерполирования конкретной функции многочленом степени с помощью пакета Мathcad. Пример 4. Решить задачу интерполирования функции f ( ) = si полиномом Лагранжа с помощью пакета Мathcad. Решение Документ пакета Mathcad, содержащий решение задачи интерполяции Документ пакета Mathcad, содержащий решение задачи интерполяции полиномом Лагранжа, состоит из следующих блоков.. Задание табличных значений интерполируемой функции:. Задание функции, возвращающей значение многочлена li ( ) (рис. 5). Здесь аргументы функции: - координата точки; i - номер многочлена; X - вектор, содержащий координаты узловых точек; Y - вектор, содержащий значения интерполируемой функции в узловых точках. Рис. 5. Функция, возвращающая значение многочлена li ( ). 3. Задание функции, возвращающей значения полинома Лагранжа: 4. Построение разности между точными и интерполированными значениями функции (рис. 6).

112 Рис. 6. Погрешность аппроксимации функции si (л ) полиномом Лагранжа Вопросы для самопроверки. В чем особенность приближения таблично заданной функции методом интерполирования?. Что такое узлы интерполяции? 3. Как обосновывается существование и единственность интерполяционного многочлена? 4. Как связана степень интерполяционного многочлена с количеством узлов интерполяции? 5. Как построить интерполяционный многочлен Лагранжа? Практические занятия 9 0 Интерполяционный полином Лагранжа Цель занятия: сформировать у студентов представления о применении интерполирования функций для решения жизненных задач, привить умения составлять и применять интерполяционные формулы Лагранжа заданной степени, другие многочлены и оценивать их погрешности, дать навыки в использовании программных средств для проверки полученных результатов.

113 Интерполяционный полином Лагранжа Пример. Пусть функция задана табл.. Таблица. X 0,4,55,67 3,84 Y,63 3,75 4,87 5,03 Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблично, найти значение этой функции в точке =,9, построить графики полученного многочлена Лагранжа функции, заданной таблично, и многочлена -ой степени и оценить точность приближения. Решение.. Вводим исходные данные задачи (рис..) Рис.. Задание данных из табл

114 . Находим коэффициенты интерполяционного многочлена (рис. ) Рис. Нахождение корней интерполяционного многочлена Получили многочлен третьей степени: 3 P ( ) = 0, + 0,57 + 0,309+, Правильность найденных коэффициентов проверим, подставив значение х из числа заданных, и найдем значение функции при =, 9 (рис. 3.). Рис.5.3. Проверка правильности найденных коэффициентов Значение функции полностью совпадает со значением, найденным выше. 4

115 4. Строим графики значений vy i и полученных многочленов f ( ) и P ( ) (рис. 4). Рис. 4. Визуализация исходных данных и интерполяционных полиномов Из рис. 4 видно, что, во-первых, графики построенного многочлена Лагранжа f ( ) и функции P ( ) проходят через узлы интерполяции, во-вторых, взяв любое значение аргумента из интервала [0,4; 3,84], можно найти соответствующее значение функции. 5. Продемонстрируем отличие многочлена Лагранжа f ( ) от полинома третьей степени P, ( ) построив разность между значениями данных многочленов (рис. 5). Рис. 5. Визуализация разности между полиномом Лагранжа и полиномом третьей степени 6. Проверяем полученное значение с помощью встроенной функции l i t e r p(, y, ). 5

116 7. Составляем функцию, реализующую интерполирование функций многочленом Лагранжа (рис. 6). Рис. 6. Вычисление интерполированного значения с помощью полинома Лагранжа Задания для самостоятельного решения Задание. Построить по имеющимся данным (табл. ) интерполяционный многочлен Лагранжа. Найти значение функции в точке, используя интерполяционный многочлен Лагранжа, построить графическую иллюстрацию интерполирования. Таблица. Варианты заданий для самостоятельной работы 3 х y х у х Y 0,43, ,43, ,43, ,48,7334 0,48,7334 0,48,7334 0,55, ,55, ,55, ,6, ,6, ,6, ,70,846 0,70,846 0,70,846 0,75, ,75, ,75,35973 в точке х=0,70 в точке х=0,5 в точке х=0,645 6

117 4 5 6 y х у х Y 0,43, ,0,036 0,35,7395 0,48,7334 0,08, ,4, ,55, ,,475 0,47, ,6, ,7,483 0,5, ,70,846 0,3,300 0,56,5950 0,75, ,30, ,64,3430 в точке х=0,608 в точке х=0,03 в точке х=0, y у х y 0,0,036 0,35,7395 0,4,5748 0,08, ,4, ,46,353 0,,475 0,47, ,5, ,7,483 0,5, ,60,8603 0,3,300 0,56,5950 0,65,7496 0,30, ,64,3430 0,7,6098 в точке х=0,0 в точке х=0,436 в точке х=0,66 0 y у х у 0,0,036 0,35,7395 0,4,5748 0,08, ,4, ,46,353 0,,475 0,47, ,5, ,7,483 0,5, ,60,8603 0,3,300 0,56,5950 0,65,7496 0,30, ,64,3430 0,7,6098 в точке х=0,4 в точке х=0,55 в точке х=0, y у х у 0,0,036 0,35,7395 0,4,5748 0,08, ,4, ,46,353 0,,475 0,47, ,5, ,7,483 0,5, ,60,8603 0,3,300 0,56,5950 0,65,7496 0,30, ,64,3430 0,7,6098 в точке х=0,85 в точке х=0,56 в точке х=0,665 7

118 6 7 8 y у х у 0,4,5748 0,68 0, , 9,054 0,46,353 0,73 0,8949 0,5 6,6659 0,5, ,80,0964 0, 4,6970 0,60,8603 0,88,0966 0,9 3, ,65,7496 0,93, ,35,7395 0,7,6098 0,99,5368 0,40,365 в точке х=0,537 в точке х=0,774 в точке х=0, y у х у 0,68 0, , 9,054 0,05 0, ,73 0,8949 0,5 6,6659 0,0 0, ,80,0964 0, 4,6970 0,7 0,7657 0,88,0966 0,9 3, ,5 0,5534 0,93, ,35,7395 0,30 0, ,99,5368 0,40,365 0,36 0, в точке х=0,896 в точке х=0,34 в точке х=0, y у х у 0,68 0, , 9,054 0,68 0, ,73 0,8949 0,5 6,6659 0,73 0,8949 0,80,0964 0, 4,6970 0,80,0964 0,88,0966 0,9 3, ,88,0966 0,93, ,35,7395 0,93, ,99,5368 0,40,365 0,99,5368 в точке х=0,75 в точке х=0,35 в точке х=0, y у х y 0, 9,054 0,5 9,054 0,5 5,054 0,5 6,6659 0,55 6,6659 0,59 4,6659 0, 4,6970 0,6 4,6970 0,8 3,6970 0,9 3, ,69 3,3506 0,94,3506 0,35,7395 0,75,7395 0,353,7395 0,40,365 0,80,365 0,408 0,365 в точке х=0,33 в точке х=0,749 в точке х=0,56 8

119 y у х y 0,4,5748 0,68 0, , 9,054 0,46,353 0,73 0,8949 0,5 6,6659 0,5, ,80,0964 0, 4,6970 0,60,8603 0,88,0966 0,9 3, ,65,7496 0,93, ,35,7395 0,7,6098 0,99,5368 0,40,365 в точке х=0,437 в точке х=0,9475 в точке х=0, Интерполяционные многочлены Ньютона для равноотстоящих узлов. Интерполяция сплайнами. Интерполяционные многочлены Ньютона для равноотстоящих узлов Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента. В этом случае h= i+ i ( i =,,..., ) является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул (как, впрочем, и вычисление по этим формулам) заметно упрощается. Конечные разности Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Таблица 0 f ( ) y0 y y Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называются конечными разностями первого порядка: 9 ( ) Δ yi = yi+ yi i,,.... Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка: Δ y = Δy Δy ( i,,... ) i i+ i

120 Продолжая этот процесс, можно по заданной таблице функции составить таблицу конечных разностей (см. таблицу ). Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Действительно, для разностей первого порядка это следует из определения. Для разностей второго порядка имеем: Δ yi = Δyi+ Δyi = ( yi+ yi+ ) ( yi+ yi) = yi+ yi+ + yi. Аналогично для разностей третьего порядка: 3 Δ y = Δ y Δ y = ( y y + y ) ( y y + y ) = i i+ i i+ 3 i+ i+ i+ i+ i = y 3y + 3 y y. i+ 3 i+ i+ i и т. д. Методом математической индукции можно доказать, что k k( k ) k Δ yi = yi+ k kyi+ k + yi+ k + ( ) yi. ()! Таблица. Δ Δ y i y Δ y0 Δ y 0 y Δ y Δ y y Δ y Δ y y yi y3 Δ y3 3 Δ y i 3 Δ y 0 3 Δ y 4 y4 Первая интерполяционная формула Ньютона Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей. Будем искать интерполяционный многочлен в виде: P ( ) = a0 + a( 0) + a( 0)( ) + + a( 0) ( ). () Это многочлен -й степени. Значения коэффициентов a0, a, a,..., a найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах. Полагая = 0 из () находим y = P ( ) = a. отку

121 да a0 y0 =. Далее, придавая значения, и последовательно получаем: y = P = a + a, откуда ( ) ( ) 0 0 Δ y0 a = ; h y = P = a + a + a, ( ) ( ) ( )( ) 0 0 т.е. y Δ y y = ha, или y y + y = ha, откуда Δ y0 = a! h Далее, проведя аналогичные выкладки, можно получить: 3 Δ y0 a3 = ; 3 3! h в общем случае выражение для a k, будет иметь вид: k Δ y0 ak =. (3) k kh! Подставим теперь (3) в выражение для многочлена (): Δy Δ y Δ y k ( ) = + ( ) + ( )( ) + + ( ) ( ) P y h! h! h (4) Практически эта формула применяется в несколько ином виде. Положим = t, т.е. = 0 + ht. Тогда: 0 h 0 h = = t, h h 0 h = = t h h и т. д. Окончательно имеем: ( ) ( ) ( + ) t t t t t P( ) = P( 0 + th) = y0 + tδy0 + Δ y0 + + Δ y0.!! (5) Формула (5) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине.

122 Первую интерполяционную формулу Ньютона называют по этой причине формулой для интерполирования вперед. За начальное значение 0 можно принимать любое табличное значение аргумента. Функция пакета Mathcad, возвращающая значения второго интерполяционного полинома Ньютона, представлена на рис.. Аргументы функции: t -координата точки: - вектор, содержащий координаты узловых точек: y - вектор, содержащий значения интерполируемой функции в узловых точках. Рис.. Функция, возвращающая значения первого интерполяционного многочлена Ньютона. Вторая интерполяционная формула Ньютона Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу становится невыгодно. В этом случае применяется формула для интерполирования назад - вторая интерполяционная формула Ньютона, которая отыскивается в виде:

123 ( ) = + ( ) + ( )( ) + + ( ) ( ) P a0 a a a. (6) Как и для первой формулы Ньютона, коэффициенты a0, a, a,..., a находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах: k Δ y k ak =. (7) k kh! Подставляя (7) в (6) и переходя к переменной t = получим h окончательный вид второй интерполяционной формулы Ньютона: P( ) = P( + th) = t( t + ) t( t + ) ( t + ) (8) = y + tδy + Δ y0 + + Δ y0.!! Функция пакета Mathcad, возвращающая значения второго интерполяционного полинома Ньютона, представлена на рис.. Аргументы функции: t -координата точки: - вектор, содержащий координаты узловых точек: y - вектор, содержащий значения интерполируемой функции в узловых точках. Рис.. Функция, возвращающая значения первого интерполяционного многочлена Ньютона. 3

124 . Погрешность многочленной интерполяции Если известно аналитическое выражение интерполируемой функции f, можно применять формулы для оценки погрешности интерполирования (погрешности метода). Остаточный член интерполяционного многочлена F ( ) имеет вид: R( ) f ( ) F( ) =. В силу единственности интерполяционного многочлена для фиксированного отрезка интерполирования изложение вопроса о погрешности метода одинаково годится как для многочлена Лагранжа, так и для многочлена Ньютона. Предположим, что f ( ) имеет все производные до ( + ) -го порядка включительно. Введем вспомогательную функцию u = f F k. (9) ). Подберем коэффи- ( ) ( ) ( ) Π + ( ) где k - постоянный множитель. Как видно, функция ( ) ( +) корень (узлы интерполяции 0,,..., циент k так, чтобы u( ) имела ( + ) i ( = 0,,..., ) u имеет -й корень в любой точке i. Действительно, чтобы было ( ) 0 f ( ) F( ) k Π + ( ) = 0, достаточно принять ( ) ( ) Π + ( ) u =, т. е. f F k =. (0) При этом значении k функция u( ) будет иметь ( + ) корня на отрезке интерполирования и будет обращаться в нуль на концах -го отрезков: каждого из ( + ) [ ; ], [ ; ],..., ;, ;,..., [ ; ]. 0 i i+ Применяя теорему Ролля к каждому из отрезков, убеждаемся в том, что u + -го корня; ( ) имеет не менее ( ) ( ) u ) имеет не менее корней;.. + u имеет не менее одного корня. ( ) ( ) 4

125 Пусть ξ - та самая точка, в которой = 0. Продифференцируем (9) ( + ) раз: откуда а при = ξ u ( + ) ( ξ ) ( + ) + ( ) ( ) ( ) u = f k +!. k = Сравнивая (0) и (), имеем: ( + ( ) ) ( ) ( +! ) + f u k = ( ) ( ), + f ( ξ ). () ( +! ) + f ( ξ ) ( +! ) ( ) f F = Π + Но точка - произвольная (правда, ξ от зависит!), поэтому можно написать: + f ( ξ ) f ( ) F( ) = Π + ( ). ( +! ) ( + Если принять M f ) ( ) + =, то ma 0 M + R( ) Π + ( ). () ( +! ) Оценочная формула () непосредственно применима для подсчета погрешности метода интерполирования по формуле Ла- 0 гранжа. Используя подстановки t = и t h h = и заменяя соответствующим образом выражение для ( ) Π +., можно получить из () формулы оценки погрешностей интерполирования по формулам Ньютона: + h M+ R ( ) t t t t! ( + ) ( + ) ( )( ) ( ) + h M+ R ( ) t t + t + t +! ( )( ) ( ), (3). (4) 5

126 Анализ интерполяционных многочленов Лагранжа н Ньютона, а также оценочных формул () - (4) позволяет сделать полезные практические выводы. Решающее влияние на значение погрешности оказывает величина Π + ( ), которая минимизируется, когда берется в середине интервала узловых точек. При этом, когда ближе к середине между двумя узловыми значениями, выгодно взять четное число = m узлов (m узлов слева и m справа от ). Если же близко к одному из узловых значений, следует использовать нечетное число = m+ узлов - узел, ближайший к и по m узлов слева и справа от него. Очевидно, что при составлении интерполяционных формул Ньютона на практике можно пренебречь членами, в которых соответствующие конечные разности равны или близки к нулю. Поэтому в практических вычислениях интерполяционные формулы Ньютона обрывают на членах, содержащих такие разности. которые в пределах заданной точности можно считать постоянными. Связь между конечными разностями и точностью интерполирования по формулам Ньютона подтверждается следующими соображениями. Примем во внимание, что при малых значениях h и + при условии непрерывности f можно приближенно считать: M Δ ( ) ( ) y + +, где Δ y= ma Δ y h 0 m т.е. максимальная из модулей конечных разностей ( + ) m -го порядка. При этом условии оценки (3) и (4) остаточных членов первой и второй интерполяционных формул Ньютона получают вид: t( t )( t ) ( t ) R ( ) Δ + y. (5) +! ( ) ( ) ( + )( + ) ( + ) ( +! ) t t t t R Δ + y. (6) Формулы (5) и (6) удобны тем. что позволяют делать оценку ошибки метода интерполирования без исследования ( ) + -й 6

127 производной интерполируемой функции f (в частности, когда аналитическое выражение f вовсе не известно). На окончательную погрешность интерполирования, разумеется, влияет и вычислительная погрешность. Полное исследование этих вопросов доставляет немало трудностей, например, при составлении надежных и многозначных вычислительных таблиц. С применением компьютеров, позволяющих вести счет с большим числом разрядов и автоматизирующих печать таблиц, техническая работа существенно облегчается, в то время как исследование вопросов точности вряд ли становится менее актуальным. 3. Уплотнение таблиц функций Интерполирование может применяться для уплотнения заданной таблицы функции, т.е. вычисления по неходкой таблице новой таблицы с большим числом значений аргумента на прежнем участке его изменения. Эту операцию называют иногда субтабулированием функции. В случае, когда исходная таблица является таблицей с постоянным шагом, естественно применять интерполяционный многочлен Ньютона. При заданном числе узлов (т.е. при условии, что конечные разности и степень полинома определены вручную) для расчетов на компьютере формулы Ньютона удобно представлять по схеме Горнера. Так, первая интерполяционная формула Ньютона может быть представлена в виде: t t 3 t + P( ) = y + t Δy + Δ y Δ y Δ y (7) Использование схемы Горнера позволяет вычислять значение в цикле. Если же максимальный порядок используемых ко- P ( ) нечных разностей невелик, для вычисления значений P ( ) могут использоваться формулы Ньютона в их стандартном виде (4) и (7). 7

128 Пример. Дана пятизначная таблица si на отрезке [ 0,5; 0,8] с шагом k = 0,005. Требуется уплотнить эту таблицу с шагом H = 0,00 на участке [ 0,55; 0,65 ]. По исходной таблице сразу же составим таблицу конечных разностей (табл. 7). Для сокращения записей конечные разности принято записывать только значащими цифрами. Замечаем, что конечные разности второго порядка уже практически близки к нулю в пределах точности таблицы. Поэтому при использовании интерполяционной формулы Ньютона (5) ограничимся тремя первыми слагаемыми: t( t ) P ( ) = y0 + tδy0 + Δ y0.! Таблица 3. si yi Δ Δ y i 3 Δ y i 0,50 0, ,55 0, ,60 0, ,65 0, ,70 0, ,75 0,74 0,80 0,7903 Используем первую формулу Ньютона, в данном случае естественно принять 0 = 0,55. Значение t для каждого значения находится по формуле t = 0. h Схема алгоритма субтабулирования функции на отрезке [ a; b ] по первой интерполяционной формуле Ньютона при условии, что конечные разности и порядок полинома определены вручную, приведена на рисунке 3. 8

129 Рис Интерполяция сплайнами При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для вычислений. Высокой степени многочлена можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена. Однако такое интерполирование приобретает существенный недостаток: в точках стыка разных интерполяционных многочленов будет разрывной их первая производная. В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно - полиноминальной интерполяции - интерполяции сплайнами (от англ. Splie - рейка). Сплайн - это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными. Рассмотрим способ построения сплайнов третьей степени (так называемых кубических сплайнов), наиболее широко распространенных на практике. 9

130 Пусть интерполируемая функция f задана своими значениями обо- y i, в узлах i ( i = 0,,,..., ). Длину частичного отрезка [ ; i i] значим hi i i ( i,,..., ) на каждом из частичных отрезков [ ] 30 = =. Будем искать кубический сплайн ; i i в виде: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 i i i i i i i S a b c d = + + +, (8) где ai, bi, ci, d i - четверка неизвестных коэффициентов (всего их, следовательно, 4 ). Можно доказать, что задача на нахождение кубического сплайна имеет единственное решение. Потребуем совпадения значений S ( ) в узлах с табличными значениями функции f : S ( i ) yi ai 3 S ( i) yi ai bh i i cihi dihi Число этих уравнений ( ) = =, (9) = = (0) вдвое меньше числа неизвестных коэффициентов; чтобы получить дополнительные условия, потребуем также непрерывности S ( ) и S ( ) во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные S ( + 0), S ( 0), S ( + 0), S ( 0) во внутреннем узле i. Сна- S S, последовательно дифференцируя (8): чала получим ( ) и ( ) S ( ) = b ( ) ( ) i + ci i + 3di i, S ( ) = ci + 6di( i ). Имеем: S ( i 0) = bi + ch i i + 6dihi, S ( i 0) b i + i (во втором случае прежде понадобилось в выражении S ( ) + =, =,,..., заменить i на i +. Аналогично для второй производной: ( i 0) = i + 6 i i, S ( i 0) c i + S c d h + =. Приравнивая левые и правые производные, получим: b = i b + i ch + + i i 3dih, () i c = i c + i 3dihi ( i = +,,..., ). () Уравнения (9) и (30) в совокупности дают еще ( ) условий. Недостает еще два условия. Обычно в качестве этих условий берут требования к поведению сплайна в граничных точках 0 и. Если

131 потребовать нулевой кривизны сплайна на концах (т.е. равенства нулю второй производной), то получим: c = 0, c + 3dh = 0. (3) Перепишем теперь все уравнения (8) - (3). Исключив неизвестных a i : 3 bh i i ch i i dh i i = yi yi bi+ bi ch i i 3dihi = 0 ( i=,,..., ), ( i =,,..., ), c c 3d h = 0, ( i =,,..., ), (4) c c i+ i i i = 0, + 3d h = 0. ( ) Система (4) состоит из ( ) + + = 3 уравнений. Решив ее, получим значения неизвестных bi, ci, d i, определяющих совокупность всех формул для искомого интерполяционного сплайна. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Si = yi + bi i + ci i + di i, i =,,...,. (5) Чтобы получить представление о характере и объеме вычислительной работы по нахождению всех коэффициентов сплайна, рассмотрим простой пример. Пример. Интерполируемая функция задана таблицей, состоящей из четырех узлов ( = 3): Таблица 4. Здесь f ( ) =, = 3, = 5, = 7; y0 = 4, y =, y = 6, y3 = 3; h =, h =, h 3 =. Требуется найти значения коэффициентов b, b, b 3, c, c, c 3, d, d, d 3, определяющих кубический сплайн на трех частичных отрезках: [ ; 3 ], [ 3; 5 ],[ 5; 7 ]: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 S = 4+ b + c + d, 3; ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 S = + b 3 + c 3 + d 3, 3 5; S = 6+ b 5 + c 5 + d 5, Составим систему вида (4). Первая группа уравнений состоит из трех уравнений ( i =,,3) : 3

132 b+ c+ d = 6, b + 4c + 8d = 8, b + 4c + 8d = Следующая пара уравнений системы (4) дает еще четыре уравнения (, ) i = : b b + c 3d = 0, b b 4c d = 0, 3 c c 3d = 0, c c 6d = 0. 3 И наконец, два уравнения, задающих граничные условия для крайних сплайнов: c c = 0, + 6d = Общая система состоит из девяти уравнений. Составим ее матрицу: Система может быть решена на компьютере методом Гаусса (результаты округлены до двух знаков после запятой): b =,60; c = 5,60; d = 0; b = 0,40; c = 6,60; d =,70; b =,6; c = 4,59; d = 0, Полученные значения коэффициентов определяют искомый сплайн. ( ) = ( ) + ( ) S 4,6 5,6,. 3

133 3 ( ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) + ( ) S 0,4 3 5,6 3,7 3, 3 S3 6,6 5 4,59 5 0,76 5. Убедимся, что найденный сплайн удовлетворяет заданным свойствам (значения сплайна и его первых производных в соответствующих узловых точках приведены в таблице 9): Таблица f ( ) S( ) S ( ) ( ) ( ) S ,04 S S S -,6-0,4 - - ( ) - - 0,4,60 - ( ) - -,6-7,6 3 Прежде всего отмечаем практическое совпадение значений «соседних» выражений сплайна в узловых точках, а также совпадение этих значений с табличными значениями функции ( ) Кроме того, практически совпадают значения производных S ( ) S ( ) в узле = 3, так же как и производных S ( ) и S ( ) f. и 3 в узле = 5, что обеспечивает гладкость совокупного кубического сплайна. Рассмотренный пример показывает, что интерполяция сплайнами сопряжена с немалым объемом вычислительной работы. Весьма необычна и форма оконченного результата, ибо кубический сплайн имеет различные представления на различных частичных отрезках интерполяции. Это осложняет доступ к значениям сплайна в каждой конкретной точке, так как предполагает прежде поиск параметров, определяющих соответствующую формулу сплайна. Программа, реализующая метод сплайн-интерполяции, оказывается достаточно громоздкой, поэтому мы ограничимся обсуждением решения задачи об интерполяции синуса с помощью 33

134 сплайнов, используя функции пакета Mathcad: iterp(vs, х, у, z), lsplie(, у), psplie(, у), csplie(, y). Пример 3. Документ пакета Mathcad, содержащий решение задачи сплайн интерполяции функции f ( ) = si, состоит из следующих блоков.. Задание табличных значений интерполируемой функции:. Вычисление коэффициентов сплайнов, приближающихся к граничным точкам, как прямая линия, парабола, полином третьей степени соответственно: 3. Задание дискретной сетки для вычисления значений сплайнов: 4. Вычисление значений сплайнов в узлах сетки: 5. Визуализация сплайнов (рис. 4). 34

135 Рис. 4. Визуализация результатов сплайн интерполяции. 6. Построение разности между сплайнами различного типа в узлах координатной сетки (рис.5.) Рис. 5. Визуализация разностей значений сплайнов разного типа. 7. Вычисление значений первых производных сплайнов: 35

136 6). 8. Построение графиков первых производных сплайнов (рис. 9. Вычисление значений вторых производных сплайнов: 7). 0. Построение графиков вторых производных сплайнов (рис. Рис. 6. Первая производная, вычисленная по численным значениям, полученным сплайн интерполяцией. 36

137 Рис. 7. Вторая производная, вычисленная по численным значениям, полученным сплайн интерполяцией.. Вычисление значений третьих производных сплайнов: 8).. Построение графиков третьих производных сплайнов (рис. Рис. 8. Третья производная, вычисленная по численным значениям, полученным сплайн интерполяцией. 37

138 Как видно из рис. 6-8, первая и вторая производные сплайнов являются непрерывными функциями, третья и производные более высокого порядка - разрывными функциями. Вопросы для самопроверки. Как строятся интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона? В чем особенности этих двух способов интерполяции?. Как производится оценка погрешности метода интерполяции в случае, когда: а) интерполируемая функция задана аналитически; б) интерполируемая функция задана таблицей? 3. Как используется метод интерполирования для уточнения таблиц функций? 4. Почему удобным является пользоваться особым видом кусочно полиноминальной интерполяцией - интерполяцией сплайнами? 5. Приведите схему построения сплайнов третьей степени (так называемых кубических сплайнов). Практические занятия - Интерполяционные многочлены Ньютона для равноотстоящих узлов. Интерполяция сплайнами Цель занятия: сформировать у студентов представления о применении интерполирования функций для решения жизненных задач, привить умения составлять и применять интерполяционные формулы Лагранжа заданной степени, многочлены Ньютона и оценивать их погрешности, дать навыки в использовании программных средств для проверки полученных результатов. Интерполяционные полиномы Ньютона Пример. Имеется таблица функции (табл. ). 38

139 X,34,345,35,355,36 Y 4,556 4,355 4,454 4,5684 4,67344 X,365,37,375,38,385 Y 4, ,9306 5,049 5,7744 5,306 Таблица. Найти значение этой функции в точке =,3459 и =,370 и оценить точность приближения с помощью многочленов Ньютона. Решение.Находим шаг интерполирования h =,345,34 = 0,005. Рис.. Ввод данных. Составляем таблицу конечных разностей (сделать самостоятельно). Полученные значения таблицы (рис..) используем для нахождения значения функции в заданной точке. 39

140 Рис.. Таблица конечных разностей 3. Записываем первую интерполяционную формулу Ньютона, задав первоначальную функцию, вычисляющую конечные разности (рис. 3.). Рис 3. Вычисление значения функции в точке с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона. Значения функции получились следующие: P = ; - в первой точке ( ) 4, во второй P( ) = 4, Оценим погрешность полученных значений, для этого построим графики полученных значений интерполяционного много- 40

141 члена Newto(My, M, M t,d) и данных значений функции M t (рис. 4.). Проанализируем его. Рис. 4. График разностей данных значений функции и значений, полученных по первой формуле Ньютон. В начале отрезка интерполирования значения полученного первого многочлена Ньютона мало отличаются от заданных значений M t, но ближе к концу отрезка интерполирования, пользуются второй интерполяционной формулой Ньютона. Вычисления по второй формуле Ньютона реализуются аналогично. Интерполирование сплайнами Пример. Интерполируемая функция задана табл.., состоящей из четырех узлов ( = 3): Таблица. 0,0 0,08 0, 0,7 F ( ),036,0959,475,483 Найти значения коэффициентов b i, c i, d i, определяющих кубический сплайн на трех частичных отрезках. Проанализировать, что будет в случае увеличения количества заданных значений i. Решение. Составляем систему, состоящую из девяти уравнений (рис. 5, 6), которую можно решить одним из методов, описанных в

142 Рис. 5. Задание системы линейных уравнений для нахождения коэффициентов сплайна (начало) Рис. 6. Задание системы линейных уравнений для нахождения коэффициентов сплайна (окончание) Получим значения коэффициентов b i, c i, i d, которые определяют искомый сплайн. 4

143 . Убедимся, что найденный сплайн (рис. 7) удовлетворяет заданным свойствам. Значения сплайна и его первых производных в соответствующих узловых точках приведены на рис. 7. Значения, найденные с помощью построенного сплайна и с помощью встроенной функции интерполирования, совпадают до третьего знака после запятой. 3. Совпадения значений, найденных с помощью построенного и встроенной функции интерполирования, можно проверить и с помощью функции сплайн-интерполяции (рис. 8). Рис. 7. Проверка соответствия сплайна заданным условиям Рис. 8. Функция csplie возвращает значения коэффициентов кубического сплайна vs, который используется функцией iterp для построения кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах v и vy 43

144 Отметим практическое совпадение значений «соседних» выражений сплайна в узловых точках, а также совпадение этих значений с табличными значениями функции f ( )(рис. 8). Это обеспечивает гладкость совокупного кубического сплайна. Рис. 8. Графическая иллюстрация сплайн - функции, функции r ( ) и заданных значений y Рассмотренный пример показывает, что интерполяция сплайнами сопряжена с немалым объемом вычислительной работы. Весьма необычна и форма окончательного результата, т.к. кубический сплайн имеет различные представления на различных частичных отрезках интерполяции. Это осложняет доступ к значениям сплайна в каждой конкретной точке, т.к. предполагает прежде поиск параметров, определяющих соответствующую форму сплайна. В случае увеличения числа точек получим новый сплайн (рис. 9). 44

145 Рис. 9. Графическая иллюстрация сплайн - функции при большем количестве исходных данных Задания для самостоятельного решения Задание. Функция задана таблично (табл. 3.). Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона, вычислить значения функции в точках и, оценить погрешность. Таблица 3. Варианты заданий для самостоятельной работы х у х у,5 0,06044,45 0,88855,0 0,376,40 0,889599,5 0,967,45 0,890637,30 0,534,430 0,89667,35 0,3038,435 0,89687,40 0,34776,440 0,893698,45 0,38759,445 0,894700,50 0,4367,450 0,895693,55 0,45688,455 0,896677,60 0,48809,460 0, в точках х =,73, х =,53 в точках х =,3, х =,57 в точках х =,08, х =, в точках х =,456, х =,457 в точках х =,456, х =,445 в точках х =,463, х =,4575

146 3 4 у у,340 4,556 0,0,683,345 4,3535 0,06,7644,350 4,454 0,,9,355 4,5684 0,6,3067,360 4, ,,330,365 4, ,6,33660,370 4,9306 0,3,3507,375 5,049 0,36,36773,380 5,7744 0,4,38357,385 5,306 0,46,39959 в точках х =,3473, х =,3763 в точках х =,3583, х =,38 в точках х =,3787, х =,3455 в точках х =0,56, х =0,457 в точках х =0,4, х =0,45 в точках х =0,063, х =0, у х у 0,5 0,860708,5 8,6579 0,0 0,8873,0 8,939 0,5 0,77880,5 7,9589 0,30 0,74088,30 7, ,704688,35 7,3935 0,40 0,67030,40 7,3096 0,45 0,63768,45 6,8483 0,50 0,60653,50 6,6658 0,55 0,576950,55 6, ,60 0,5488,60 6,9548 в точках х =0,073, х =0,53 в точках х =0,3, х =0,557 в точках х =0,08, х =0,5435 в точках х =,6, х =,57 в точках х =,56, х =,445 в точках х =,383, х =,575 46

147 7 8 у х у 0,340 5,6543 0,0 0,683 0,345 5,4647 0,06 0,7644 0,350 5,359 0, 0,9 0,355 5,536 0,6 0,3067 0,360 5, , 0,330 0,365 4, ,6 0, ,370 4,8370 0,3 0,3507 0,375 4,7545 0,36 0, ,380 4,6855 0,4 0, ,385 4,58 0,46 0,39959 в точках х =0,3573, х =0,3843 в точках х =0,349, х =0,378 в точках х =0,3489, х =0,3759 в точках х =0,56, х =0,457 в точках х =0,06, х =0,405 в точках х =0,63, х =0, у х y 0,80 5,6543 0,0 0,683 0,85 5,4647 0,06 0,7644 0,90 5,359 0, 0,9 0,95 5,536 0,6 0,3067 0,00 5, , 0,330 0,05 4, ,6 0, ,0 4,8370 0,3 0,3507 0,5 4,7545 0,36 0, ,0 4,6855 0,4 0, ,5 4,58 0,46 0,39959 в точках х =0,857, х =0,65 в точках х =0,98, х =0,09 в точках х =0,908, х =0,89 в точках х =0,56, х =0,367 в точках х =0,06, х =0,4058 в точках х =0,563, х =0,377 47

148 7. Численное дифференцирование. Особенность задачи численного дифференцирования Когда производную аналитически заданной функции по причине ее сложности искать затруднительно, либо выражение для производной приобретает слишком неудобную для применений форму, используют приближенное, или численное, дифференцирование. Этот метод тем более необходим, если исходная функция задана таблично. Один из способов решения задачи дифференцирования использование интерполяционных многочленов. Пусть f ( ) - функция, для которой нужно найти производную в заданной точке отрезка [ a, b ], а F () - интерполяционный многочлен для f ( ), построенный на отрезке [ a, b ]. Заменяя f ( ) интерполяционным многочленом F (), получим значение производной f ( ) на отрезке [ a, b ] как значение производной F () интерполяционного многочлена, т.е. примем приближенно f ( ) = F ( ) () Аналогичным путём можно поступать при нахождении значений производных высших порядков функции ( ) f. Полагая, что погрешность интерполирования (см. п., 6) определяется формулой ( ) = ( ) ( ) R f F Рис. получаем подход к оценке погрешности производной F () : r ( ) = f ( ) F ( ) = R ( ), () 48

149 т.е. погрешность производной интерполируемой функции равна производной от погрешности этой функции. Заметим, однако, что задача численного дифференцирования является некорректной. Дело в том, что погрешность производной интерполяционного многочлена может существенно превышать погрешность самой интерполяции. Из рисунка хорошо видно, что даже незначительное отличие (в том числе и совпадение) значений f ( ) и F () никак не гарантирует близости значений их производных f ( ) и F ( ) ( Li и LF - касательные к кривым ( ) 49 f и () F соответственно). Рассмотрим методы численного дифференцирования на основе интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона ( 5-6).. Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстающих узлов Применяя для численного дифференцирования на отрезке [ a, b ] интерполяционный полином, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов a= 0,,,..., = b, которыми отрезок делится на равных частей: i = + i h = cost ( i = 0,,,..., ). В этом случае шаг интерполирования имеет значение h = ( b a)/, а интерполяционный многочлен Лагранжа (как и интерполяционные многочлены Ньютона) строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид. Примем подстановку: 0 h = t (3) с учётом представления (см. (9), лекция 5): yi L( ) = π+ ( ), i= 0 ( i) Π + ( i) получим новые выражения для Π + ( i). Учитывая, что согласно принятому обозначению ( ) ( )( ) ( ) Π + =, 0 i и используя (3), последовательно находим: 0 = ht, = 0 h= h t = h= h t, 0 (, ) ( )

150 т.е. в общем случае: ( ) Используя (4), получаем: + Π + ( ) = h t( t )( t ) ( t ). С целью сокращения записей введём обозначение [ ] tt ( )( t ) ( t ) = t +, тогда выражение Π + ( ) принимает вид: + [ + ] Π + ( ) = h t. (5) Учитывая, что при постоянном шаге имеет место i = 0 ih= h t i, i= 0,,...,. (4) последовательно находим: = + ih, i= 0,,...,, i i 0 = hi, i = i 0 h( i, )... i i o 0 ( ) = h= h i Заметим, что в (6) ровно строк (i -я строка отсутствует), причём значения разностей из первых i строк положительны, а остальных отрицательны. Используя (6), получаем: ( ) ( ) ( )( ) ( ) = hi( i ) ( ) ( i), = = Π + i i 0 i i i i + i т.е. ( )!( )!( ) Π i + i = h i i. (7) С учётом представлений (5) и (7) формула Лагранжа (лекция 5, (9)) для равноотстоящих узлов принимает вид: i [ + ] ( ) t ( ) ( ) L( 0 + th) = yi i= 0 i! i! t i. (6). (8) Пример. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной своими значениями на равноотстоящих узлах (, h ) = = : 3 4 f ( ) 4-6 Таблица. 50

151 Используя формулу (5.8), запишем: t( t )( t ) ( ) t( t )( t ) t( t )( t ) L3 ( + t) = 4 + ( ) + 6 =! t t! ( t ) = ( t )( t ) + t( t ) + 3t( t ) = 7t 3t + 4. Узловые табличные значения функции (4; -; 6) получаются по этой формуле соответственно при t = 0; ;. 3. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа Следуя (), будем дифференцировать многочлен Лагранжа (8) по как функцию от t : i + d ( ) d t f ( ) L ( ) = y. dt i= 0 i! ( i)! dt t i Учитывая, что согласно (3) = 0 + th, а также d h окончательно: i dt =, получим i [ + ] ( ) d t i. i= 0!( )! (9) f ( ) = f ( 0 + th) y h i i dt t i Пользуясь формулой (9) можно вычислить приближенные значения производной функции f ( ), если она задана на отрезке [ a, b ] значениями в равноотстоящих узлах a= 0,,..., = b (при этом параметр t пробегает значения от до ). Аналогично могут быть найдены производные функции f ( ) высших порядков. Пример. Вычислить приближенное значение производной функции, заданной таблицей в точке = 4. Таблица f ( ) - 6 Применяя формулу (9) получим (здесь, h 5 = = ): ( )( ) ( ) ( ) ( ) d t t d t t d t t f ( ) + 6 =! dt dt! dt = = ( t t ) ( t t) 3( t t) = t 3+ t + 6t 3= 0t 8

152 t Учитывая, что узел = 4 соответствует значению t = (т.е. 0 h = ), получаем ( ) f 4. Если известно аналитическое выражение функции f ( ), то формулу для оценки погрешности численного дифференцирования можно при этом же условии получить на основе формулы погрешности интерполирования (см. п., 6): ( + f ) ( ξ ) R( ) = f ( ) F( ) = Π + ( ), ( +! ) (0) где ξ = ξ ( ) - значение из отрезка [ a, b ], отличное от узлов и. Учитывая () и допуская, что f ( ) + запишем: ( + ( ) ( ) ) ( + r ( ) ( ) ) = R = f ξ Π + f ( ξ) ; () ( +! ) d формула () значительно упрощается, если оценка находится для значения производной f ( ) в узле i таблицы. В этом случае, учитывая (7), получаем: i i! ( i)! ( + r ( ) ( ) ( ) ) i = R i = h f ( ξ ), () ( +! ) где ξ- промежуточное значение между 0,,...,. Обозначив ( + M = f ) ( ) + ma, 0 получим верхнюю оценку абсолютной ошибки численного дифференцирования в узлах: M+ r( i) h i! ( i)!.! ( + ) 5 d (3) 4. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона Запишем для функции f ( ), заданной своими значениями в равноотстоящих узлах 0,,...,, первый интерполяционный многочлен Ньютона (см. (4), 6): P( ) = P( 0 + th) = t( t ) t( t )( t ) t( t ) ( t + ) = y + tδy + Δ y Δ y + + Δ y! 3!! Перепишем этот полином, производя перемножение скобок:.

153 ( ) P + th = t t t t + t 3 t 6t + t 6t 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 = y + t y + y y + + y P th + по t, получим аналогично формуле (9): f Дифференцируя ( ) 0 ( ) ( ) f P + th = 3 t 3t 6t 3 t 9t t 3 4 y0 y0 y0 y0.... h Δ Δ + 6 Δ + Δ = (4) Подобным путём можно получить и производные функции ( ) более высоких порядков. Однако, каждый раз, вычисляя значение производной f ( ) в фиксированной точке, в качестве 0 следует брать ближайшее слева узловое значение аргумента. Формула (4) существенно упрощается, если исходным значением оказывается один из узлов таблицы. Так как в этом случае каждый узел можно считать начальным, то, принимая =, t= 0, 0 получаем: Δ y0 Δ y0 Δ y0 Δ y 0 f ( ) = Δ y (5) h Эта формула позволяет легко и достаточно точно получать значения производных функций, заданных таблично. Воспользуемся для иллюстрации функцией, производная которой (для сопоставления) может быть легко вычислена обычным способом. Пример 3. Найти значение производной функции f ( ) = в точке = 3, используя таблицу 3. В данном случае h = ; применяя формулу (5) к данным первой строки таблицы ( до разностей третьего порядка включительно), получим: 0,00 0,00 f ( ) = 0, = 0,089 3 = 3 Сопоставляя полученный ответ со значением ( ) = = = 0,088, = 3 3 5,657 замечаем совпадение значений в пределах двух знаков после запятой. 53

154 y= Δ y Δ y 3 4 Δ y Δ y Таблица 3 Для вывода формулы погрешности дифференцирования воспользуемся подходом, рассмотренным в п. 3. Используя формулу (0) применительно к первому интерполяционному многочлену Ньютона, запишем: + t( t )( t ) ( t ) ( + R ( ) ) = h f ( ξ ), ( +! ) где ξ - некоторое промежуточное значение между узлами 0,,..., и заданной точкой. Предполагая, что f ( ) дифференцируема + раз, получим для оценки погрешности дифференцирования r( ) (по аналогии с формулой ()): h d d ( + ( ) ( ) ) [ + ] [ + ] ( + r ( ) ) = R = f ξ t + t f ( ξ). ( +! ) dt dt (6) Для случая оценки погрешности в узле таблицы (когда = 0 t = ) будем иметь удобный вид формулы (6): и 0 Здесь учтено, что при t = 0 3 5, , , , ,000 h R ( ) = ( ) f + = 0 d t dt [ + ] ( ) ( + ) ( ξ ) =!. ( + На практике f ) ( ξ) оценивать непросто, поэтому при малых h приближенно полагают: + ( + ) Δ y0 f ( ξ ), + h что позволяет использовать приближенную формулу ( ) Δ y0 r ( 0 ) +. (7) h+ ( ) 54

155 Вопросы для самопроверки. В каких случаях используют численное дифференцирование?. В чём особенность задачи численного дифференцирования? 3. Графическая интерпретация численного дифференцирования. 4. Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов. 5. Формула численного дифференцирования на основе интерполяционной формулы Лагранжа. 6. Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формуле Лагранжа. 7. Формула численного дифференцирования на основе интерполяционных формул Ньютона. 8. Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формулам Ньютона. 9. Как влияет на точность численного дифференцирования величина шага h? Практические занятия 3-4 Численное дифференцирование Цель занятие: Научиться использовать формулы интерполирования (многочлена Лагранжа и Ньютона) для нахождения первой и второй производных функции, заданной таблично. Дифференцирование с помощью интерполяционной формулы Лагранжа Пример. Найти первую и вторые производные функции y = l ( ), заданной таблично на отрезке [;3], используя формулы Лагранжа и первую или вторую формулы Ньютона. Решение. Строим таблицу значений на заданном отрезке (рис. ). 55

156 . Записываем интерполяционную формулу Лагранжа при дифференцировании функции с равноотстоящими узлами (рис. ). 3. Находим значения первой производной для заданных значений i (рис.3). Рис.. Ввод данных задачи. Рис.. Интерполяционная формула Лагранжа 56

157 Рис. 3. Вычисление значений производной полинома Лагранжа. 4. Полученные значения проверим, используя функцию нахождения первой производной (рис. 4). Рис. 4. Вычисление точных значений производной 57

158 5. Графически изобразим полученные значения первой производной ( Pr ov( i )) и значения, полученные по интерполяционной формуле Лагранжа (рис. 5). 6. Рис. 5. Визуализация значений производной, вычисленных по точной формуле и с помощью интерполяционного полинома Лагранжа. 7. Для оценки погрешности необходимо воспользоваться аналитическим выражением таблично заданной функции (рис. 6). Рис. 6. Погрешность по формуле Лагранжа 8. Погрешность для интерполяционной формулы Лагранжа вычисляется по формуле, представленной на рис. 7. Рис. 7. Вычисление погрешности интерполяционной формулы Лагранжа Здесь Ma_pro максимальное значение ( ) + -ой производной заданной функции на отрезке [;3]. Результат вычисления погрешности представлен на рис

159 Рис. 8. Погрешность вычислений 9. Строим график полученных значений погрешностей для характеристики вычислительного процесса (рис. 9). Рис. 9. Зависимость погрешности от номера шага итерационного процесса. Зависимость шага от полученного значения погрешности показывает, что на концах отрезка значения производной отличаются больше, чем в середине. Значит, в середине отрезка значения получили более точно. Подобным же способом можно использовать и интерполяционные формулы Ньютона для нахождения производных любого порядка. 59

160 Задания для самостоятельного решения Задание. Вычислить значение первой производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, и оценить погрешности методов. Составить функцию, позволяющую находить значение первой производной в данных точках i и в любой промежуточной точке. Для выполнения задания использовать данные из следующей таблицы. 60

161 6

162 8. Численное интегрирование. Постановка задачи численного интегрирования При вычислении определенного интеграла b a 6 ( ), I = f d где f ( ) непрерывная на отрезке [ a; b] функция, иногда удаётся воспользоваться известной формулой Ньютона Лейбница:

163 b f ( ) d = F( b) F( a). () a Здесь F ( ) одна из первообразных функций ( ) функция, что ( ) = ( ) f (т.е. такая F f ). Однако даже в тех, практически редких случаях, когда первообразную удаётся явно найти в аналитической форме, не всегда удаётся довести до числового ответа значение определённого интеграла. Если к тому же учесть, что иногда подынтегральная функция вовсе задаётся таблицей или графиком, то становится понятным, почему интегрирование по формуле () не получает широкого применения на практике. В подобных случаях применяют различные методы приближенного (численного) интегрирования. Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называют квадратурными формулами. Простой приём построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция f ( ) заменяется на отрезке [ a; b] интерполяционным многочленом, например многочленом Лагранжа L ( ) и получается приближенное равенство b b f ( d ) L ( d ). () a a Подобный подход удобен тем, что он приводит к алгоритмам, легко реализуемым на компьютере и позволяющим получать результат с достаточной точностью. При этом, естественно, предполагается, что отрезок [ a; b ] разбит на частей точками a= 0,,,..., = b, наличие которых подразумевается при построении многочлена L ( ) (см. п. 7) Подставляя вместо L ( ) его представление (9) из 5, получим: b b b Π + ( ) Π + ( ) f ( ) d yi d = yi d. Π ( ) Π ( ) i ( ) ( ) a a i= 0 i + i = 0 a i + i где Таким образом: b a f ( ) d yiai, (3) i= 0 63

164 A i = b Π + ( ) d. (4) ( a i) Π + ( i) По поводу полученных формул можно заметить, что: ) коэффициенты A i не зависят от функции f ( ), т.к. они составлены только с учётом узлов интерполяции; ) если f ( ) полином степени, то тогда формула (9) точная, ибо в этом случае L() f().. Квадратурные формулы Ньютона Котеса Как уже выше отмечалось, применение формулы () предполагает построение на отрезке интегрирования [ a; b ] системы узлов интерполяции 0,,..., ( здесь 0 = a, = b), которыми отрезок делится на частей. Длина i+ i = h ( i=,,..., ) называется при этом шагом интегрирования. Естественно считать, что шаг h постоянен, т.е. h= ( b a)/. В этом случае можно применить интерполяционную формулу Лагранжа для равноотстоящих узлов (см. п. 7). Итак, с учётом (5) и (7) из 7 формула (4) для «весовых» коэффициентов A i принимает вид: i [ + ] ( ) t Ai = d, i = 0,,...,. (5) i! ( i)!( t i) 0 Перейдём в этом интеграле всюду к переменной t. Из подстановки (3) 7 получаем: 0 При = 0 имеем t = 0, а при = будет t = =. Тогда: где dt d h =, т.е. d = h dt = dt. 64 b a h i [ + ] ( ) t ( ) i, (6)!( )!( ) b a Ai = dt = b a H i i t i 0 i [ + ] ( ) t ( ) ( ) Hi = dt, i 0,,...,. = (7) i! i! t i 0 Числа (5) называются коэффициентами Котеса. Как видно, f коэффициенты Котеса не зависят от функции ( ), а только от h

165 числа точек разбиения. Окончательно, с учётом формул (3) и (6), получаем следующий вид квадратурных формул Ньютона Котеса: b f ( d ) ( b a) yi H i, (8) a i= 0 дающих на одном участке интегрирования различные представления для различного числа отрезков разбиения. 3. Формула трапеций При = из формулы (7) имеем ( 0; ) i = : t( t ) H = dt = ( t ) dt =, H = tdt =. 0 t Тогда по формуле (8) на отрезке [ ; ] 0 получаем интеграл: 0 h f ( ) d = ( 0)( H0y0 + Hy) = ( y0 + y). (9) Формула (9) даёт один из простейших способов вычисления определенного интеграла и называется формулой трапеций. Действительно, при = подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени (т.е. линейной функцией), а это означает геометрически, что площадь криволинейной фигуры подменяется площадью трапеции (рис. ). Рис. Распространяя формулу (9) на все отрезки разбиения, получим общую формулу трапеций для отрезка [ ; ] a b : b y0 y f ( ) d = h + y + y y +. (0) a 65

166 Если аналитическое выражение подынтегральной функции известно, может быть поставлен вопрос об оценке погрешности численного интегрирования по формуле (0) (погрешность метода). В этом случае имеется ввиду, что: где ( ) b a b f ( ) d = L ( ) d + R ( f ), a R f - остаточный член квадратурной формулы (0). Формулу остаточного члена получим вначале для отрезка [ 0; ]. Имеем: 0 h h R = f ( d ) ( y + y ) = f ( d ) ( f ( ) + f ( + h) ), h откуда следует, что естественно рассматривать R как функцию шага: h: R = Rh ( ). Заметим, что ( ) Продифференцируем ( ) R 0 = 0 R h по h: 0 h h R ( h) = ( ) ( ( 0) + ( 0 + )) ( ( 0 + )) = f d f f h f h 0 = ( + ) 0 ( 0 ) ( 0) ( 0 ) + h f h f h f f + h = = ( ( 0 ) ( 0) ) ( 0 ). + h f h f f + h 0 0 Заметим, что ( ) + R =. Далее: R ( h) = f ( 0 + h) f ( 0 + h) f ( 0 + h) = () h = f ( 0 + h ). Определим R, последовательно интегрируя R ( h) отрезке [ 0; h ]: откуда с учётом () имеем: h R ( z) dz = R ( z) = R ( h) R ( 0) = R ( h), 0 ( ) = ( ) = ( + ) h 0 h h h 0. () 0 0 R h R z dz z f z dz Применяя к () обобщённую теорему о среднем, получаем: h R ( h) = f ( ξ) zdz f ( ξ) =, (3) 4 0 где [ ; h] ξ зависит от h. Далее ξ + и 0 0 h 66

167 h 0 h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R z dz = R z = R h R 0 = R h, откуда с учётом (3) и обобщённой теоремы о среднем имеем: где [ ; h] ( ) = ( ) = ( ξ ) = ( ξ ) 0 h h 3 h, 4 (4) 0 0 R h R z dz z f dz f ξ Таким образом, погрешность метода при интегрировании, по формуле (0) имеет величину: функции f на отрезке [ ] 0 3 h R f ( ξ), ξ [ 0; ]. f = (5) Из формулы (5) видно, что при ( ξ ) 0 значение интеграла с избытком, а при f ( ξ ) 0 > формула () даёт < с недостатком. Можно показать, что при распространении оценки (5) на весь отрезок интегрирования [ a; b ] (т.е. на все частичных отрезков) получается формула: 3 h ( ξ) R = f, где ξ [ ab ; ]. Учитывая, что h = b a, найден следующий окончательный вид формулы для оценки погрешности метода интегрирования по формуле трапеций: где [ a; b] ( ) M = ma f. Пример. Вычислить интеграл: b a h R M, (6) I si d 0 = по формуле трапеций, разделив отрезок [ ] 0; на 0 равных частей и оценить погрешность вычислений. Оценим сначала ошибку метода. Для этого находим вторую производную подынтегральной функции: ( ) ( ) всюду положительна, причём её значе- <. Таким образом, используя b =, h = 0,), имеем: На отрезке [ 0; ] f ( ) ние ограничено сверху: f ( ) 3,3 формулу (33) ( a = 0, 67 f = si+ 4cos. 3,3 0, R < = 0,0075.

168 Итак, приняв на заданном участке интегрирования = 0, мы сможем получить интеграл от заданной функции с погрешностью, не превышающей 0,003, если только будем вести вычисления таким образом, чтобы погрешность округления не исказила окончательный результат в пределах точности метода. Понятно, что это условие будет вполне соблюдено, если пользоваться для вычислений калькулятором. Значения подынтегральной функции в узловых точках приведены в табл.. Таблица. i y i / yi, i =,,..., , 0, , 0, ,3 0, ,4 0, ,5 0,9856 0,6 0,037 0,7 0, ,8 0, ,9 0, ,0 0, ,407355, Для последовательного вычисления по формуле si пригодна любая из программ для МК. В последней строке таблицы получены суммы значений y i по столбцам. Используя значения этих сумм, в соответствии с формулой трапеции (0) имеем: ( ) I = 0, 0, , = 0,5098. Учитывая вычисленную раньше ошибку R, получаем окончательно: I = 0,5 ± 0, Формула Симпсона При = из формулы (7) последовательно имеем ( 0,, t( t )( t ) H 0 = dt = 6 0 i = ): 68

169 т.е. H = ( ), ( ) t t dt = H = t t dt = Тогда, с учётом (8) получим на отрезке [ ] 0 ; : 0 f ( ) d ( 0) Hiyi = h y0 + y + y, i= f ( ) d ( y0 + 4 y + y). (7) 0 h 3 Геометрически, в соответствии со смыслом интерполяционной формулы Лагранжа при =, использование формулы (7) означает замену подынтегральной функции f ( ) параболой ( ) проходящей через точки Mi( iyi) ( i= 0,,) (рис. ). L, Рис. Если считать, что четное ( = m), то применяя формулу (7) последовательно к каждой паре частичных отрезков [ i, i] ( i=,,..., m), получим: Формула (8) называется формулой Симпсона. Оценка остаточного члена формулы Симпсона даётся формулой: b h y0 ym f ( ) d + + y + y ym. 3 (8) a ( ) 69 ( ) b a h 4 ( ) [ ] 4 IV b a h R = f ξ, ξ a; b, или R M, (9) IV M ma f где ( ) =. Как следует из оценки, формула Симпсона u b оказывается точной для полиномов до третьей степени включительно (ибо для этих случаев производная четвертого порядка рав-

170 на нулю). Формула Симпсона обладает повышенной точностью по сравнению с формулой трапеций. Это означает, что для достижения той же точности, что и по формуле трапеций, в ней можно брать меньшее число отрезков разбиения. Последнее обстоятельство весьма важно для вычислений, поскольку основное время затрачивается на нахождение значений функций в узлах. Укажем в заключение весьма простой практический приём, позволяющий прогнозировать требуемое число отрезков разбиения по заданной точности ε. Пусть задана предельная допустимая погрешность интегрирования ε. Желая иметь R ε с учётом оценки (9), достаточно потребовать: 4 b a h M ε, 80 откуда 4 80ε h 80ε, т.е. h 4. (0) b a M b a M Формула (0) позволяет оценить величину шага, необходимую для достижения заданной точности (из формулы видно, что h имеет порядок 4 ε ) Пример. Вычислить интеграл из примера по формуле Симпсона при том же числе отрезков разбиения( = 0 ). Для оценки остаточного члена найдём производную четверто- f = го порядка от подынтегральной функции ( ) si : ( ) ( ) IV f = si 8cos. IV Значение ( ) 0; ограничено числом 4. Используя формулу (36), получаем оценку: f на отрезке [ ] 4 4 0, R < = 0, Значения подынтегральной функции в узлах, вычисленные с максимальной точностью калькулятора в соответствии с формулой Симпсона (35), приведены в табл.. Используя значения сумм из последней строки таблицы, имеем: 0, I = (0, , ,9555) = 0, Округлим результат в соответствии с полученной оценкой: I = 0,340 ± 0,

171 Сравнивая этот результат со значением интеграла, полученным в примере, замечаем, что при одинаковом числе отрезков разбиения формула Симпсона даёт ответ с большим числом верных знаков. Таблица. y / ( i= 0,0) y ( i=,4,6,8) y ( i=, 3, 5, 7, 9) a b на частей и на частей (разумеется, при интегрировании по формуле Симпсона к тому же должно быть чётным). Вслед за этим полученные значения интеграла (обозначим их I и I ) сравi 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Посмотрим, как можно было бы воспользоваться в данном случае формулой (0). Пусть требуется найти значение заданного 6 интеграла с точностью ε = 0. Тогда по формуле (0) получаем: h 4 = 0, Отсюда следует, что при использовании формулы Симпсона 6 для достижения точности 0 достаточно было бы разбить отрезок 0; на 0 частей (с шагом h = 0,05h = 0,05). [ ] 5. Об оценке точности квадратурных формул Как следует из оценочных формул (4) и (9), оценка погрешности метода интегрирования по формулам трапеций и Симпсона возможна лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически. Однако, даже и в этом случае на практике широко применяется следующий приём, пригодный для каждого из рассмотренных методов интегрирования. Искомый интеграл вычисляется дважды: при делении отрезка [ ; ] i i 0 0, , , , ,3974 0,037 0, , , , , ,73634, i

172 ниваются, и совпадающие первые десятичные знаки считаются верными. Для оценки погрешности метода Симпсона при этом может использоваться простая формула. Пусть R и R погрешности интегрирования по формуле Симпсона, соответственно при и отрезках разбиения. Учитывая оценку (9), можно составить равенство: R R h =, () 4 4 h где h и h длина отрезков разбиения (шаг интегрирования) в первом и втором случае. Понятно, что h = h /. Тогда из () получаем: R= 6 R. () Если I истинное значение интеграла, то I = I+ Rи I = I + R, откуда I+ 6R = I + R, т.е. I I R = (3) 5 Формула (3) удобна для практической оценки погрешности метода Симпсона, но требует двойного счёта. Из оценочных формул (6) и (9) следует, что ошибка интегрирования по методу трапеций и по методу Симпсона уменьшается с уменьшением шага интегрирования (особенно это характерно для формулы Симпсона, см. ()). На основании этого хотелось бы сделать вывод, что при последовательном увеличении числа отрезков разбиения мы будем получать значение интеграла, все более и более близкое к истинному. Однако этот вывод имеет чисто теоретическое значение. Дело в том, что в процессе практических вычислений при последовательном удвоении числа отрезков разбиения начинает сильно прогрессировать удельный вес ошибки округления, значение которой с некоторого момента ставит предел достижимой точности результата интегрирования. 6. Вычисление интегралов методом Монте Карло. Мы видели, что программная реализация методов численного интегрирования предусматривает получение суммы, количество слагаемых в которой определяется числом точек разбиения интервала интегрирования. В практических приложениях часто прихо- 7

173 дится вычислять значение кратных интегралов. Кратный интеграл вычисляется для функции многих переменных по замкнутой ограниченной многомерной области. Вычислительная схема при этом в основном сохраняется: интервал, соответствующий изменению каждой переменной внутри области интегрирования, разбивается на фиксированное число отрезков. Таким образом, задаётся разбиение области интегрирования на определенное число элементарных многомерных объёмов. Вычисляются значения подынтегральной функции для точек, взятых по одной внутри каждого элементарного объёма, и полученные значения суммируются. Легко понять, что при увеличении кратности интеграла число слагаемых очень быстро возрастает. Пусть, например, мы разбиваем интервал изменения каждой переменной на десять частей. Тогда для вычисления тройного интеграла придётся вычислять сумму примерно тысячи слагаемых. Для вычисления же 0-кратного интеграла потребуется 0 сумма, количество слагаемых в которой определяется числом 0. Вычисление такой суммы затруднительно даже на самых быстродействующих современных компьютеров. В таких ситуациях предпочтительнее использовать для получения значения интеграла метод Монте-Карло. В основе оценки искомого значения интеграла I лежит известное соотношение: I= y σ, (4) cp где y cp значение подынтегральной функции в некоторой «средней» точке области интегрирования, а σ (многомерный) объём области интегрирования. При этом, конечно, предполагается, что подынтегральная функция (обозначим её F ) непрерывна в области интегрирования. Выберем в этой области случайных точек M i. При достаточно большомприближённо можно считать: y cp = F M i = 73 ( ) Точность оценки значения интеграла методом Монте Карло пропорциональна корню квадратному из числа случайных испытаний и не зависит от кратности интеграла. Именно поэтому приме-.

174 нение метода целесообразно для вычисления интегралов высокой кратности. Мы, однако, ограничимся иллюстрацией рассматриваемого метода для простейшего случая интеграла: b a = I i= ( ) f, (4) где i ( i,..., ) a b. Для получения таких точек на основе последовательности случайных точек i, равномерно распределённых в интервале ( 0; ), достаточно выполнить преобразование: = a+ ( b a) = случайные точки, лежащие в интервале ( ; ) Вопросы для самопроверки. В каком случае используется численное интегрирование?. Постановка задачи численного интегрирования. 3. Какие существуют методы интегрирования функции? 4. Графическая интерпретация метода трапеций. 5. Как оценить погрешность метода трапеций? 6. Графическая интерпретация метода Симпсона. 7. Как оценить погрешность метода Симпсона? 8. Чем отличаются формулы метода трапеций и метода Симпсона? 9. Как влияет на точность численного интегрирования величина шага h? 0. Чем отличается вычисление погрешности метода трапеций и метода Симпсона?. Основная идея метода Монте Карло. i i Практические занятия 5-6 Численное интегрирование Цель занятия: ознакомиться с численными методами вычисления определенных интегралов, научиться решать задачи с использованием формулы Симпсона, трапеций, правых и левых прямоугольников и оценивать погрешность всех перечисленных формул. 74

175 0 Метод прямоугольников Пример. Вычислить приближенное значение интеграла 8 ( 3 + 4) d, используя формулы левых и правых прямоугольников, при = 000. Решение. Задаём функцию f ( ), отрезок [ ; ] ab и функцию нахождения дифференциалов -го порядка.. Находим значение интеграла заданной функции для использования его в дальнейшем решении для сравнения (рис. ). Рис.. Вычисление точного значения интеграла Составим функцию, входными параметрами которой являются: ab, левая и правая границы интервала; количество разбиений; char если имеет значение left, то идёт подсчёт по формуле левых прямоугольников, любое другое по формуле правых прямоугольников (рис. ). Погрешность показывает, что полученное значение интеграла верно до третьего знака после запятой. 75

176 Рис.. Функция, возвращающая значение интеграла, найденного по формулам прямоугольников 0 0 Ответ: приближенное значение интеграла 8 d = 0, 87 ± 0,004по формуле левых прямоугольников, и ( ) 8 ( 3 + 4) d = 0, 84 ± 0,004 по формуле правых прямоугольников. Метод Симпсона Пример. Вычислить приближенное значение интеграла 8 d, используя общую формулу Симпсона, при ( 3 + 4) 76 =. Решение Составим функцию, входными параметрами которой являются: ab, левая и правая границы интервала; количество раз-

177 биений. Индексы ieve и iueve обозначают четность и нечетность соответственно (рис.3). Рис. 3. Функция, возвращающая значение интеграла функции с помощью метода Симпсона Следовательно, решением будет число, равное 0, Погрешность показывает, что полученное значение интеграла верно до девятого знака. Ответ: значение интеграла 8 d = 0, ± 0, ( ) Метод трапеций Пример 3. Вычислить приближенное значение интеграла 8 d, используя формулу трапеций, при ( 3 + 4) =. Решение Функция, реализующая вычисление интеграла методом трапеций, представлена на рис

178 Рис. 4. Функция, возвращающая значение интеграла с использованием формулы трапеций. Ответ: значение интеграла 0 8 ( 3 + 4) d = 0, 857 ± 0, 0000 Метод Монте-Карло Пример 4. Вычислить приближенное значение интеграла 8 d, используя метод Монте Карло, при ( 3 + 4) =. Решение Реализация метода Монте Карло для вычисления интеграла представлена на рис. 5. Сравнивая точное и численное значение интегралов находим, что абсолютная погрешность равна,

179 Рис. 5. Ход решения задачи на нахождение значения интеграла с помощью метода Монте Карло. Ответ: значение интеграла 0 8 ( 3 + 4) d = 0, 855 ± 0, 000 Задания для самостоятельного решения Задание. Найти приближенное значение интеграла данной функции f ( ) на отрезке [ ab ; ] по формулам трапеций, Симпсона, прямоугольников, Монте Карло, при делении отрезка на 000 равных частей, произвести оценку погрешности методов интегрирования и сравнить точность полученных результатов: составить функцию, возвращающую значение интеграла на основе формулы метода Монте Карло. Сравнить результаты, полученные разными методами. Для выполнения задания использовать данные из следующей таблицы. 79

180 f ( ) [ ab ; ] si ( ) + cos [0;3] + [0;] 3 +, 9 si 3 ( ) [;] 4 l ( ) + [;3] 5 tg [0;0,5] 6,6 l [,;,] 7 ( ) si( 0,5) + [0,5;,5] 8 cos 4 [;3] 9 3+ l [;] tg [-0,5;0,5] e [0,;,] 3 4 ( 6 7) 8 ( 3 + 4) 5 ( ) 3 [-;0] [0;] [3;5] 80

181 5 6 9 ( 5 + 7) 3 ( 5 9) 3 [;3] [-;0] 7 + e [0;3] 5 8 e si ( ) [0;5] ( 3) 3 ( 4 9) 5 ( 4 3) 3 5 ( + 8) [-3;-] [0;] [4;5] [0;3] si [0,;,] 4 +, 9 si 3 ( ) [;] 5 tg 6 e [,5;,5] [;7] 8

182 7 cos π π; 8 + [0;] lg [0;9] [4;0] [0;6] [0;3] 33 tg π π ; [0;8] 35, 5 [;5] 36 + cos [ 0;π ] 37 ( 5) ( 0 ) [0;0] [;4] 39 ( 5 ) ( ) [0;] ,6 si π 0; 8

183 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задач Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка y = f(, y). () Основная задача, связанная с этим уравнением, известна как задача Коши: найти решение уравнения () в виде функции y( ), удовлетворяющей начальному условию: y( ) = y. () 0 0 Геометрически это означает (рис. ), что требуется найти интегральную кривую y= y( ), проходящей через заданную точку M (, y ) при выполнении равенства () Рис. Существование и единственность решения уравнения () обеспечиваются теоремой. Теорема Пикара. Если функция f определена и непрерывна в некоторой области G, определяемой неравенствами a, y y b, (3) 0 0 И удовлетворяет в этой области условию Липшица по y : f (, y ) f(, y ) M y y, то на некотором отрезке h, где h положительное число, 0 y= y уравнения (), существует, и притом только одно, решение ( ) удовлетворяющее начальному условию y = y( ). 0 0 Здесь M постоянная (константа Липшица), зависящая в об- f, y имеет ограниченную в G произ- f, y, то при (, y) G можно принять щем случае от a и b. Если ( ) водную ( ) 83

184 M = ma f y (, y) (4) В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные (или специальные) функции. Между тем весьма часто при решении практических задач эти методы оказываются либо совсем беспомощными, либо их решение связывается с недопустимыми затратами усилий и времени. По этой причине для решения задач практики созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений. Весьма условно, в зависимости от формы представления решения, эти методы подразделяются на три основные группы:. Аналитические методы, применение которых дает решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика. 3. Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы. Ниже рассматриваются относящиеся к указанным группам некоторые избранные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (). Что же касается дифференциальных уравнений -ого порядка: ( ) ( ) y = f(, y, y,..., y ), для которых задача Коши состоит в нахождении решения y y( ) =, удовлетворяющего начальным условиям ( ) ( ) y( ) = y 0 0, y ( 0) = y 0,..., y ( 0) = y0, ( ) где y0, y 0,..., y 0 заданные числа, то их можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Так, например, уравнение второго порядка y = (, y, y ) Можно записать в идее системы двух уравнений первого порядка: z = y = z f(, y, z). Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений основываются на соответствующих методах решения одного уравнения. 84

185 . Метод Пикара Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения () в виде функции, представленной аналитически. Метод Пикара возник в связи с доказательством теоремы существования и единственности решения уравнения () и является, по сути, одним из применений принципа сжимающих отображений (см. п. 3). Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения () с начальным условием (). Проинтегрируем обе части уравнения () от 0 до : или y y dy = f (, y) d y( ) y f( ; y) d = + (5) Очевидно, решение интегрального уравнения (5) будет удовлетворять дифференциальному уравнению () и начальному условию (). Действительно, при = 0 получим: 0 y( ) = y + f(, y) d = y Вместе с тем интегральное уравнение (5) позволяет применить метод последовательных приближений. Положим y = y0 и получим из (5) первое приближение: y ( ) y f(, y ) d = + Интеграл в правой части содержит только переменную, после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения y ( ) как функции переменной. Заменим теперь в уравнении (5) y найденным значением y ( ) и получим второе приближение: 0 y ( ) y f(, y ) d = + 0 и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид: y ( ) = y + f(, y ) d ( =,,...) (6) 85

186 Циклическое применение формулы (6) дает последовательность функций y ( ), y ( ),..., y ( ),.... (7) Так как функция f непрерывна в области G, то она ограничена в некоторой области G G, содержащей точку ( 0, y 0), т.е. f (, y) N. (8) Применяя к уравнению (6) в условиях теоремы существования принцип сжимающих отображений нетрудно показать, что последовательность (7) сходится (имеется в виду сходимость по метрике ρϕ (, ϕ) = ma ϕ( ) ϕ( ) в пространстве непрерывных функций φ, определенных на сегменте 0 d, таких, что ϕ( ) y0 Nd ). Ее предел является решением интегрального уравнения (6), а следовательно, и дифференциального уравнения () с начальными условиями (). Это означает, k -й член последовательности (7) является приближением к точному решению уравнения () с определенной степенью точности. Оценка погрешности k го приближения дается формулой: k+ k d y ( ) yk ( ) MN, ( k + )! где M -константа Липшица (4), N - верхняя грань модуля функции f из неравенства (8), а величина d для определения окрестности вычисляется по формуле: 0 d b d = mi a, N. (0) Пример. Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения: = + 3 y y удовлетворяющее начальному условию ( 0) y =. Запишем для данного случая формулу вида (6): ( ) = + ( + 3 ) ( =,,...). 0 y y d Начальным приближением будет считать y ( ) =. Имеем: 0 Далее получаем: 3 ( ) = + ( + 6) = y d (9) 86

187 3 3 4 y( ) = + [( + 3(+ 6 + )] d = Аналогично: y3( ) = и т. д. 4 0 Оценим погрешность третьего приближения. Для определения области G, заданной неравенствами (3), примем, например, a =, b=. В прямоугольнике G функция f (, y) = + 3y определена и непрерывна, причем (см. (4) и (8)): M = ma f (, y) = 3, N = ma f(, y) = 7. По формуле (0) находим d =. Используя оценочную фор- 7 мулу (9) получаем: y y ( ) y3( ) 0, ! 3. Метод Эйлера В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной форме). Пусть дано уравнение () с начальным условием (). Выбрав достаточно малый шаг h, построим, начиная с точки 0, систему равностоящих точек i = 0 + ih ( i = 0,,,...). Вместо искомой интегральной кривой на отрезке [ 0, ] рассмотрим отрезок касательной к ней точке M 0( 0, y 0) (обозначим ее L, рис. ) с уравнением y = y + f(, y ) ( ) Рис. 87

188 При = из уравнения касательной L получаем: y = y0 + hf( 0, y0), откуда видно, что приращение значения функции на первом шаге имеет вид: Δ y0 = h f( 0, y0) Аналогично, проводя касательную L к некоторой интегральной кривой семейства в точке M(, y ), получим: y = y + f( y ) ( ), что при = дает y = y+ h f(, y), т.е. y получается из y добавлением приращения Δ y = h f(, y). Таким образом, получение таблицы значений искомой функции y( ) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пару формул: Δ yk = hf( k, yk), () yk+ = yk + Δ yk, k = 0,,,... Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага, вообще говоря, систематически возрастает. Наиболее приемлемым для практики методом оценки точности является в данном случае способ двойного счета с шагом h и с шагом h /. Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естественные основания считать их верными. Пример. Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение y = cos y+ 3 с начальным условием y ( 0) =,3 на отрезке [ 0, ], приняв шаг h = 0,. Результаты вычислений с двумя знаками после запятой приведены в таблице. Таблица. k k 0 0,30 0,05 0,,35 0,6 0,4,5 0,5 3 0,6.77 0,3 4 0,8,09 0,38 5,0,47 y Δ y = 0, (cos y + 3 ) k 88 k k k Существует различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификация метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки

189 ( i, yi) в точку ( i+, yi+ ). Метод Эйлера - Коши, например, рекомендует следующий порядок вычислений: y = y + h f( y ), i+ i i, i y = y + h i+ i ( i, i) + ( i+, i+ ), f y f y () Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке ( i, y i) и во вспомогательной точке ( i, y + i+ ), а в качестве окончательного берем среднее этих направлений. Пример 3. Решить задачи Коши дифференциального уравнения dy, y( 0),3. d = = Решение Ниже рассмотрим реализацию метода Эйлера с использованием пакета Mathcad.. Задание функции, стоящей в правой части уравнения:. Задание начальных условий: 3.Задание функции, реализующей вычислительный алгоритм метода Эйлера (рис. 3). Аргументы функции: y 0 - значение решение в точке 0 ; 0, - левый и правый концы интервала вычисления численного решения; N - число сетки, на которой ищется решение дифференциального уравнения; f - имя функции, стоящей в правой части дифференциального уравнения. Функция возвращает таблицу, состоящую из двух столбцов, первый столбец - значения аргумента, второй столбец - значения решения дифференциального уравнения. 89

190 Рис. 3. Функция, реализующая метод Эйлера для дифференциального уравнения первого порядка. 4.Нахождение численного решения дифференциального уравнения на интервале [ 0;5 ]: 5.Визуализация численного решения (рис. 4). 6.Построение разности между численным и точным решениями (рис. 5). 7. Задание функции, реализующей метод Эйлера Коши (рис. 6). Аргументы функции: y 0 - значение решение в точке 0 ; 0, - левый и правый концы интервала вычисления численного решения; N - число сетки, на которой ищется решение дифференциального уравнения; f - имя функции, стоящей в правой части дифференциального уравнения. Функция возвращает таблицу, состоящую из двух столбцов, первый столбец - значения аргумента, второй столбец - значения решения дифференциального уравнения. 90

191 = по- Рис. 4. Численное решение дифференциального уравнения лученное методом Эйлера. y Рис. 5. Разность между численным и точным решениями дифференциального уравнения y =. 9

192 Рис. 6. Функция, реализующая метод Эйлера Коши для дифференциального уравнения первого порядка. 8. Нахождение численного решения дифференциального уравнения на интервале [ 0;5 ]: 9. Визуализация численного решения (рис. 7). = по- Рис. 7. Численное решение дифференциального уравнения лученное методом Эйлера - Коши. y 9

193 0. Построение разности между численным и точным решениями (рис. 8). Рис. 8. Разность между точным и численным решениями дифференциального уравнения y =, полученным методом Эйлера - Коши. 4. Метод Рунге - Кутта Метод Эйлера и метод Эйлера - Коши относятся к семейству методов Рунге - Кутта, имеющих следующий вид. Фиксируем некоторые числа: последовательно вычисляем: и полагаем: α,..., αq; ρ,..., ρq; β ij, 0 < j < i q; k( h) = h f(, y), k( h) = h f( + α h, y+ βk( h)),... k3( h) = h f ( + αq h, y + βq k( h) βqq kq ( h)), q i i i= y( + h) y( ) + p k ( h) = z( h ). (3) Рассмотрим вопрос о выборе параметров,,. i i ij α ρ β. Обозначим 93

194 при любых функциях (, ) f (, ) ϕ ( h) = y( + h) z( h ). Будем предполагать, что ( ) ϕ(0) = ϕ (0) = = ϕ s (0) = 0. ( s f y, а φ + ) (0) 0 для некоторой функции y. По формуле Тейлора справедливо равенство: ϕ (0) ( h) s () ( + ) ϕ ϕ θ + ( ) = i s i s h h + h, i= 0 i! ( s i+ )! называется погрешностью метода на ша- где 0< θ <. Величина ϕ( h) ге, а s порядком погрешности метода. (4) При q = будем иметь: ϕ( h) = y( + h) y( ) p h f(, y), ϕ( h) = 0, ϕ ( h) = ( y ( + h) pf(, y)) h= 0= f(, y)( p), ϕ ( h) = y ( + h). Ясно, что равенство ϕ (0) = 0 выполняется для любых функций f (, y ) лишь при условии, что p =. Легко видеть, что при этом значении p из формулы (3) получается формула (.), т.е. в этом случае мы получаем метод Эйлера. Для погрешности этого метода на шаге согласно (4) будем иметь: ϕ ( + θh) h ϕ( h ) =. Рассмотрим случай q =, тогда где = + α = + β ϕ ( h) = y( + h) y( ) phf(, y) p hf(, y), h, y y hf(, y ). Согласно исходному дифференциальному уравнению y= f; y = f + fy f; y = f + fy f + fyy f + fy y. (Здесь для краткости через y и f обозначены y( ) и f (, y ), соответственно.) Вычисляя производные функции ϕ( h) и подставляя в выражения для ϕ( h), ϕ ( h), ϕ ( h), значение h = 0, получим (с учетом соотношений (5)): ϕ(0) = 0, ϕ (0) = ( p p) f, ϕ (0) = ( p α ) f + ( p β ) f f. y 94

195 Хорошо видно, что требование ϕ(0) = ϕ (0) = ϕ (0) = 0 будет выполняться для всех f (, y ) лишь в том случае, если одновременны будут справедливы следующие три равенства относительно четырех параметров: p p = 0, pα = 0, (6) pβ = 0. Произвольно задавая значение одного из параметров и определяя значения остальных из системы (6), мы будем получать различные методы Рунге - Кутта с порядком погрешности s =. Например, при p = из (6) получаем: p =, α =, β =. Для этих значений параметров формула (3) принимает вид: ( i, i) + ( i+, i+ ). f y f y yi+ = yi + h y + h, i (Здесь i обозначено выражение y h f(, y ) y + написано вместо ( ) 95 y вместо ( ) y, а через y i+ i + i i ). Таким образом, в рассматриваемом случае мы приходим к расчетным формулам (), соответствующим методу Эйлеру - Коши. Из (4) следует, что при этом ϕ (0) 3 главная часть погрешности на шаге есть h, т.е. пропорциональна третьей степени шага h. В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге - Кутта с q = 4 и s = 4. Приведем без вывода один из вариантов соответствующих расчетных формул: k = h f(, y) h k k = h f( +, y+ ) h k k3 = h f( +, y+ ) k4 = h f( + h, y+ k3) Δ y = zh ( ) y( ) = ( k+ k + k3 + k4) 6 6 (7) Отметим, что в этом случае погрешность на шаге пропорцио- h. Отсюда, а частности, следует, что 5 нальна пятой степени шага ( )

196 при достаточно малом и малых погрешностях вычислений решение уравнения (), полученное методом Рунге - Кутта по формулам (7), будет близким к точному. Геометрический смысл использования метода Рунге - Кутта с расчетными формулами (7) состоит в следующем. Из точки ( i, yi) сдвигаются в направлении, определяемом углом α, для которого tgα = f ( i, yi). На этом направлении выбирается точка с координатами ( i +, yi + ).. Затем из точки ( i, yi) сдвигаются в на- h k правлении, определяемом углом α, для которого h k tgα = f ( i +, yi + ). и на этом направлении выбирается точка с h k координатами ( i +, yi + ).. Наконец, из точки ( i, y i) сдвигаются в направлении, определяемом углом α 3, для которого h k tgα 3 = f ( i +, yi + ). и на этом направлении выбирается точка с координатами ( i + h, yi + k3).. Этим задается еще одно направление, определяемое углом α 4, для которого tgα 4 = f ( i + h, yi + k3). Четыре полученные направления усредняются в соответствии с последней из формул (7). На этом окончательном направлении и выбирается очередная точка ( i+, yi+ ) = ( i + h, yi + Δ y). Пример 4. Решить задачи Коши дифференциального уравнения dy, y( 0),3 d = = методом Рунге Кутта четвертого порядка. Решение Ниже рассмотрим реализацию метода Рунге Кутта четвертого порядка с использованием пакета Mathcad.. Задание функции, стоящей в правой части уравнения:. Задание начальных условий: 3.Задание функции, реализующей вычислительный алгоритм метода Рунге Кутта четвертого порядка (рис. 9). Аргументы функции: y 0 - значение решение в точке 0 ; 0, - левый и пра- 96

197 вый концы интервала вычисления численного решения; N - число сетки, на которой ищется решение дифференциального уравнения; f - имя функции, стоящей в правой части дифференциального уравнения. Функция возвращает таблицу, состоящую из двух столбцов, первый столбец - значения аргумента, второй столбец - значения решения дифференциального уравнения. Рис. 9. Функция, реализующая метод Эйлера для дифференциального уравнения первого порядка. 4.Нахождение численного решения дифференциального уравнения на интервале [ 0;5 ]: 5.Визуализация численного решения (рис. 0). 97

198 Рис. 0. Численное решение дифференциального уравнения полученное методом Рунге - Кутта. y = 6.Построение разности между численным и точным решениями (рис. ). Рис.. Разность между точным и численным решениями дифференциального уравнения y =, полученным методом Рунге - Кутта. 98

199 Пример 5. Решим уравнение y = y( ) с начальными условиями y ( 0) = методом Эйлера - Коши и методом Рунге - Кутта. Данное уравнение может быть решено аналитически. При заданных начальных условиях это решение выглядит так: y= e Для сравнения сведем в одну таблицу результаты численного решения уравнения указанными методами и значения точного решения, вычисленные в соответствующих точках (с четырьмя знаками после запятой). Таблица Метод Эйлера-Коши y Метод Рунге- Кутта Точное решение Метод Эйлера Коши y Метод Рунге Кутта Точное решение Мы видим, что метод Рунге-Кутта дает результаты, практически совпадающие с точным решением. Вопросы для самопроверки. На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?. В какой форме получается приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера? 3. В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Эйлера? 4. Какой способ оценки точности используется при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге -Кутта? 99

200 Практические занятия 7-8 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Цель занятий: сформировать у студентов представления о применении дифференциальных уравнений (ДУ) в различных областях; привить умения решать задачу Коши для дифференциаль- y' f, y ab, при заданном на- ного уравнения = ( ) на отрезке [ ] чальном условии (НУ) y ( ) = методами Пикара, Эйлера, Рунге- 0 0 Кутта; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ. Метод Пикара y Пример. Решить задачу Коши для ДУ y = + cos π на отрезке [, 7;, 7 ] при заданном НУ: y (, 7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0, методом Пикара с шагом h. В отчете представить: ход работы, программу-функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения. Решение. Вводим данные (рис.). Рис.. Задание исходных данных.. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной y (рис.). 00

201 Рис. Функция, возвращающая значение первой производной функции y f (, y) = + cos π 3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом Пикара (рис. 3). Здесь: f - исходная функция; f _ deriv - производная функции по y ; ab, - концы отрезка; h - шаг; y 0 - начальное значение переменной y. Рис. 3. Задание функции, возвращающей решение ДУ методом Пикара. 0

202 4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 4). Рис. 4. Нахождение численного решения ДУ методом Пикара Ответ: нулевое приближение (см. рис. 4) погрешность метода показывает, что одиннадцать знаков после запятой верны в остальных вычисленных значениях таблицы. Метод Эйлера y Пример.Решить задачу Коши для ДУ y = + cos π на y, 7 = 5,3 и шаге отрезке [, 7;, 7 ] при заданном НУ: ( ) h интегрирования h = 0, методом Эйлера с шагами h и. В отчете представить: ход работы, программу-функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения. Решение Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис

203 Рис. 5. Фрагмент рабочего листа Mathcadс решением уравнения методом Эйлера с шагом h и h и графической визуализацией метода Эйлера.. Составим программу, реализующую метод Эйлера (рис. 6). Рис. 6. Листинг программы, реализующей метод Эйлера. 03

204 . Получим решения ДУ методом Эйлера (рис. 7). Рис. 7. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера y Ответ: Решением ДУ y = + cos π с НУ y (, 7) = 5,3 на отрезке [, 7;, 7 ] методом Эйлера будет таблица значений ES_ h (рис. 7) с двумя знаками после запятой. Метод Рунге-Кутта На практике на более часто используют метод Рунге-Кутта четвертого порядка. 04


Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение ( 0, (3.1 где ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях

Подробнее

Методы решения нелинейных уравнений

Методы решения нелинейных уравнений Лекция стр. Лекция Методы решения нелинейных уравнений Постановка задачи Дано: нелинейное уравнение f () =, где f () функция определенная и непрерывная на некотором промежутке. Требуется найти корни уравнения,

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений»

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа по теме «Тема.. Методы решения нелинейных уравнений» Перейти к Теме. Теме. Огл.... Вопросы, подлежащие изучению. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.. Этапы численного

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ( (5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы ( называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКЕ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКЕ Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина В. А. Катрич, Д. В. Майборода, С. А. Погарский, С. Л. Просвирнин ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКЕ

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Погрешности результата численного решения задач

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Погрешности результата численного решения задач МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Погрешности результата численного решения задач Этапы численного решения задач Неустранимые погрешности решения Исследование объекта математическая модель алгоритм программирование проведение

Подробнее

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Занятие 5 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в виде a a b A b или,

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Занятие 11 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение f ( = 0, (* где f ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке Этапы решения

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ИНЖЕНЕРНЫЕ РАСЧЕТЫ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

ИНЖЕНЕРНЫЕ РАСЧЕТЫ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ - --1 1.57.5-5-.5 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задание: Найти решение уравнения с точностью 0. 0001 следующими методами: дихотомии; пропорциональных частей (хорд); касательных (Ньютона); модифицированным

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

Численные методы и моделирование на ЭВМ

Численные методы и моделирование на ЭВМ Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. Численные методы и моделирование на ЭВМ Методические указания к выполнению

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Приближенные числа и вычисления

Приближенные числа и вычисления ) Основные понятия ) Влияние погрешностей аргументов на точность функции 3) Понятие обратной задачи в теории погрешностей ) Основные понятия I Приближенные числа, их абсолютная и относительная погрешности

Подробнее

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из уравнения: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Значения δ = 0,186, υ = 4,18,

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. Машкова Е.Г., Покришка О.И. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности.

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности. Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» Методические указания к лабораторной работе «Вычисления корней трансцендентных уравнений»

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция 2 Решение линейных и нелинейных уравнений в средах MS Excel и Mthcd Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. 1.Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия. 2.Метод хорд. Метод касательных. Метод

Подробнее

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

(электронный ресурс)

(электронный ресурс) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Министерство образования и науки РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ГПЕмгушева, МДУлымжиев ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Расчетно-графическая работа по информатике

Расчетно-графическая работа по информатике Министерство образования Российской Федерации ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет» (НИУ) Филиал ФГБОУ ВПО ЮУрГУ (НИУ) в г. УстьКатаве Кафедра Машиноведение Расчетнографическая работа по

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов.

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов. Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность ( 6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МП: Итерации Ньютона

МП: Итерации Ньютона Последовательность вида МП: Итерации Ньютона x + = x f x f = 0. x используют для приближенного решения уравнения f(x) = 0 и называют итерационной последовательностью Ньютона. В таком виде метод Ньютона

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6.

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6. Второй замечательный предел Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Непрерывность функции в интервале и на отрезке Точки разрыва функции и их классификация Свойства непрерывных функций 6 Лекция

Подробнее

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней ЗАНЯТИЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней Пусть дано уравнение f () 0, () где функция f ( ) C[ a; Определение Число называется корнем уравнения () или нулем функции f (), если

Подробнее

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ (БФ ФГБОУ ВО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Раздел II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Раздел II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лекция 7 Раздел II ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1.

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1. Задание: Вариант #1 x 11x + 36x 36 = 0 Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы 04-06 Иванов И.И. Вариант 1 Этап 5. Тема: Методы решения алгебраических

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА

РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Автор профессор Бекетов В.Г. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ТОЧНОСТЬ. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА Результаты измерений и расчетов

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее