1 Погрешность результатов численных расчетов

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1 Погрешность результатов численных расчетов"

Транскрипт

1 1 Погрешность результатов численных расчетов 1.1 Источники и классификация погрешностей Погрешность численных расчетов обуславливается следующими причинами: 1) математическое описание задачи является неточным: неточно заданы исходные данные задачи, либо используются приближенные расчетные формулы; 2) применяемый метод решения не является точным: получение точного решения математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному; 3) при вводе/выводе данных в ЭВМ и при выполнении арифметических операций производятся округления, первое связано с особенностями представления данных для пользователя, второе с особенностями архитектуры процессора. Погрешности, соответствующие этим причинам, называют: 1) неустранимой погрешностью; 2) погрешностью метода; 3) вычислительной погрешностью. Неустранимая погрешность вызвана следующими причинами: a) неточность задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи; b) несоответствие математического описания задачи реальности (погрешность математической модели). Как правило, для каждого типа погрешностей заранее известна ее абсолютная либо относительная величина, зная которую можно рассчитать общую погрешность расчета. Дадим пояснение этих определений. Пусть имеется реальный маятник, совершающий затухающие колебания, начинающий движение в момент t = t 0. Требуется найти угол отклонения φ от вертикали в момент t 1. Движение маятника мы можем описать следующим дифференциальным уравнением: 1

2 трения. l d2 φ d φ +g sin(φ)+μ 2 d t d t =0 где l длина маятника, g ускорение силы тяжести, μ коэффициент К погрешности исходных данных относятся погрешности задания l, g и μ, которые заданы с некоторой точностью. К погрешности модели относится принятие линейной зависимости силы трения от скорости движения (третье слагаемое уравнения), что лишь приближенно описывает реальную зависимость. К погрешности метода относится погрешность численного решения дифференциального уравнения. Вычислительной погрешностью будет погрешность округления чисел в памяти ЭВМ. На современном уровне развития ЭВМ вычислительная погрешность является самой малой. Погрешность метода пытаются установить такой, чтобы она была ниже неустранимой погрешности, но выше погрешности вычислений. 1.2 Формы записи погрешностей Пусть дана некоторая величина, точное значение которой A, и приближенной значение a. Тогда можно ввести 2 типа записи погрешностей. формуле: Абсолютная, имеющая размерность величины A, и вычисляемая по И относительная, безразмерная, либо в процентах: ε= A a a Δ A a (1.1) либо ε= A a a 100 % (1.2) Точное значение величины записывается через приближенное по формулам: A=a± Δ (1.3) A=a (1±ε ) (1.4) 2

3 1.3 Правила расчета погрешности округления Сложение и вычитание приближенных чисел Пусть даны приближенные значения (a и b) величин (A и B) известных с абсолютными погрешностями ±Δ a и ±Δ b. Знаки этих погрешностей нам неизвестны, следовательно для обеспечения достоверности конечного результата мы должны взять наихудший случай, когда погрешности складываются. Таким образом формулируются следующие правила: 1) абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых; 2) абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Относительная погрешность суммы приближенных чисел a и b тогда равна: ε a+b Δ a+δ b a+b (1.5) Относительная погрешность разности приближенных чисел: ε a b Δ a+ Δ b a b (1.6) Для сложения и вычитания приближенных чисел справедливы следующие правила: 1) относительная погрешность суммы слагаемых одного знака заключена между наименьшей и наибольшей относительными погрешностями слагаемых: ε min ε a+ b ε mzx. 2) для разности двух приближенных чисел одного знака величина относительной погрешности может быть сколь угодно большой Умножение и деление приближенных чисел Для произведения двух приближенных чисел справедливо правило: c=c (1±ε ab )=a b=a B (1±ε a ) (1±ε b )=A B (1±(ε a +ε b )+ε a ε b ) (1.7) Т.к. относительная погрешность всегда меньше единицы, то последнее слагаемое в формуле (1.7) всегда меньше остальных, и если хотя бы одна из относительных погрешностей достаточно мала, то последним слагаемым можно пренебречь. 3

4 В этом случае можно сформулировать следующее правило: относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей множителей δ ab =δ a +δ b. Так как деление на число b равнозначно умножению на 1/b, то справедливо утверждение: относительная погрешность частного приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя. Следовательно, при умножении и делении приближенных чисел необходимо принимать во внимание количество значащих цифр, характеризующих относительную точность числа, а не количество десятичных знаков, обуславливающих его абсолютную погрешность. Совершенно очевидно, что при большом количестве действий такого сорта правила нельзя считать удовлетворительными, так как погрешности будут иметь разные знаки и компенсировать друг друга. Статистическая оценка показывает, что при N одинаковых действиях среднее значение суммарной ошибки больше единичной в N раз, если нет систематических причин для накопления погрешности. Систематические причины возникают, если, например в алгоритме вычитаются близкие по величине числа. При любых расчетах надо устанавливать такую точность вычислений, чтобы погрешность округления была существенно меньше всех остальных погрешностей. 1.4 Особенности вычислительной погрешности Ограничение на порядки чисел в ЭВМ иногда приводит к прекращению вычислений; в других случаях относительно небольшая разрядность чисел в ЭВМ приводит к недопустимому искажению результата вычислительной погрешностью. Такие алгоритмы, где вследствие ограниченности порядка числа или малой разрядности возникают подобные эффекты, называют «неустойчивыми». Построение «устойчивых» алгоритмов, при использовании которых искажение окончательного результата вычислительной погрешностью находится в допустимых пределах, составляют существенную часть теории численных методов. 4

5 Рассмотрим пример, показывающий, что повышение точности иногда может быть достигнуто за счет несложного алгебраического преобразования. Пусть отыскивается наименьший корень квадратного уравнения y y + 1 = 0. Для определенности условимся о следующих правилах округления. Вычисления производятся в десятичной системе счисления, причем в мантиссе числа после округлений удерживается 4 разряда. Имеем: y= , после округления получаем: , y =0.01 То же самое значение можно, «избавившись от иррациональности в числителе», представить в виде: 1 y= Последовательно производя вычисления, получаем: / 140.0= y= Производя вычисления с дополнительными разрядами, можно проверить, что в обоих случаях все значащие цифры результатов верные; однако во втором случае точность результата существенно выше. Дело в том, что в первом случае пришлось вычитать близкие большие числа; так как эти числа были большие, то они были округлены с большой абсолютной погрешностью, в результате и ответ получился с большой абсолютной погрешностью. Здесь имеет место явление потери значащих цифр при вычитании близких величин; это явление, например, довольно часто приводит к существенному искажению результата при решении систем линейных алгебраических уравнений. Список литературы 1. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Бином, с. 5


Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Приближенные числа и вычисления

Приближенные числа и вычисления ) Основные понятия ) Влияние погрешностей аргументов на точность функции 3) Понятие обратной задачи в теории погрешностей ) Основные понятия I Приближенные числа, их абсолютная и относительная погрешности

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ Источники и классификация погрешностей результата Погрешность математической модели Погрешность в исходных данных

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ  Источники и классификация погрешностей результата Погрешность математической модели Погрешность в исходных данных (С) ИиКМ РХТУ февраль 00г. Калинкин Владимир Николаевич ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных.

Подробнее

1. Приближенные числа, абсолютная и относительная погрешности

1. Приближенные числа, абсолютная и относительная погрешности Приближенные числа абсолютная и относительная погрешности Пусть число «a» есть приближение числа А Например: A и a Определение Величина A a называется абсолютной погрешностью приближения a Определение

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Погрешности результата численного решения задач

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Погрешности результата численного решения задач МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Погрешности результата численного решения задач Этапы численного решения задач Неустранимые погрешности решения Исследование объекта математическая модель алгоритм программирование проведение

Подробнее

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении?

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

ISBN К 22.14я721 ISBN

ISBN К 22.14я721 ISBN ДК 373:512 К 22.14721 49 49 аа, аьяа Маа.. 7 9 /.М.. М : Э, 2018. 128. (. ). ISBN 978-5-04-093533-8, 7 9-. П ё -. П,. П 7 9-,, -. ДК 373:512 К 22.14я721 ISBN 978-5-04-093533-8 аа.м., 2018 О. ООО «Иаь «Э»,

Подробнее

РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА

РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Автор профессор Бекетов В.Г. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ТОЧНОСТЬ. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА Результаты измерений и расчетов

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Подробнее

a x j a j Пример: 28=1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0

a x j a j Пример: 28=1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 Лекция 2 Цифровые методы представления информации. Цифровые коды. Двоичная и шестнадцатиричная системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Двоичная арифметика. Формы представления

Подробнее

ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 5 класс Глава 1. Натуральные числа.

ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 5 класс Глава 1. Натуральные числа. ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 5 класс Глава 1. Натуральные числа. Содержание материала 1. Натуральные числа и шкалы 15 ч при 5 ч в нед. 18 ч при 6 ч в нед. 2. Сложение и вычитание натуральных чисел

Подробнее

n q 1 a 1 a a q n A = n n q n m s 2

n q 1 a 1 a a q n A = n n q n m s 2 Лекция 5 Основы представления информации в цифровых автоматах Позиционные системы счисления Системой счисления называется совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Представление чисел в компьютере

Представление чисел в компьютере Представление чисел в компьютере ГОУ СОШ с углубленным изучением математики, информатики, физики 444 Числа Целые Вещественные Без знака Со знаком Прямой код Положительные Отрицательные Прямой код = Дополнительный

Подробнее

Источники погрешности. 1. Математическая модель 2. Исходные данные 3. Приближенный метод 4. Погрешности вычислений

Источники погрешности. 1. Математическая модель 2. Исходные данные 3. Приближенный метод 4. Погрешности вычислений Погрешности Источники погрешности 1. Математическая модель 2. Исходные данные 3. Приближенный метод 4. Погрешности вычислений 1. Погрешность мат. модели Математические формулировки редко точно отражают

Подробнее

Пояснительная записка. В результате изучения курса алгебры8 класса обучающиеся должны:

Пояснительная записка. В результате изучения курса алгебры8 класса обучающиеся должны: Пояснительная записка Рабочая программа по математике для 8 класса составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования второго поколения, на

Подробнее

8 класс Алгебра. Тема "Рациональные дроби"

8 класс Алгебра. Тема Рациональные дроби 8 класс Алгебра Тема "Рациональные дроби" 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие алгебраической дроби знакомо вам из курса алгебры 7-го класса, где мы довольно много внимания уделили сокращению алгебраических дробей.

Подробнее

Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Модуль 2 «Одночлены. Многочлены. Степень с целым показателем»

Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Модуль 2 «Одночлены. Многочлены. Степень с целым показателем» Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Модуль 2 «Одночлены. Многочлены. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать что называется Уметь отличать

Подробнее

Поурочное планирование

Поурочное планирование Поурочное планирование урока, число 1 2 Темы учебных занятий Обозначение натуральных чисел Стандарт темы Понятие натурального числа, позиционной десятичной системы счисления Планируемый результат обучения

Подробнее

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

Методы и алгоритмы приближённых вычислений. 1. Парадоксы машинных вычислений.

Методы и алгоритмы приближённых вычислений. 1. Парадоксы машинных вычислений. Методы и алгоритмы приближённых вычислений.. Парадоксы машинных вычислений... «От перемены мест слагаемых сумма изменяется!» Как же так? Ведь со школьной скамьи мы помним, что наоборот: «От перемены мест

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

Практическое занятие 1 I. О записи чисел. Округление приближённых значений

Практическое занятие 1 I. О записи чисел. Округление приближённых значений Практическое занятие 1 I. О записи чисел Числовые значения состоят из некоторого количества цифр, десятичного разделителя (точки или запятой) и знака числа плюса или минуса. Цифры до десятичного разделителя

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 1 ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 1 ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ В наши дни, ни один крупный технический проект не обходится без различных расчетов и вычислений, начиная с очень простых алгебраических моделей, заканчивая сложнейшими научными

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Артамошиной Н.А.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Артамошиной Н.А. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Артамошиной Н.А. по алгебре для 8-х классов 2017-2018 учебный год Москва 2017 Раздел 1. Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса составлена на основе федерального

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Численное решение: алгоритмы, методы и неприятности

Численное решение: алгоритмы, методы и неприятности Численное решение: алгоритмы, методы и неприятности # 1 КУЛЬТУРА ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ЭВМ До сих пор => Постановки задач и алгоритмы их решения. Однако, мы имеем цепочку «модель алгоритм программа». Одна из возможных

Подробнее

Рабочая программа индивидуального обучения по алгебре (8 класс) Ноздриной Анастасии

Рабочая программа индивидуального обучения по алгебре (8 класс) Ноздриной Анастасии Рассмотрено на Утверждаю заседании МО директор учителей культурно- МКОУ ЛСОШ 1 технологической деятельности М.М.Костина и СПЛ службы Приказ 109 Протокол 01 от«01»сентября 2017г. от «01» сентября 2017г.

Подробнее

Тема 1. Развитие понятия о числе 3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

Тема 1. Развитие понятия о числе 3. Арифметические действия над обыкновенными дробями Тема. Развитие понятия о числе. Арифметические действия над обыкновенными дробями. Сложение. Суммой дробей с одним и тем же знаменателем называют дробь, имеющую тот же знаменатель, а числитель равен сумме

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

Отображение произвольных численных значений на множество машинных чисел

Отображение произвольных численных значений на множество машинных чисел Конспекты лекций по курсу «Введение в информатику и системы программирования», семестр С.А. Немнюгин, направление «Прикладные математика и физика») Лекция 0 Архитектура ЭВМ Форматы хранения данных. Машинная

Подробнее

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1,

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1, Интерполяция функций интерполяционными полиномами В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения

Подробнее

4. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях

4. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях 4. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях Актуальность темы Таким же важным, как и понятие производной в математическом анализе, является и понятие дифференциала функции. В приложениях

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета «МАТЕМАТИКА» 7 класс уч. год

Рабочая программа учебного предмета «МАТЕМАТИКА» 7 класс уч. год Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа 4 Рассмотрено на педагогическом совете Протокол 1 от 31.08. 2017 г. Приказ 162 от 31.08.2017 УТВЕРЖДАЮ: Директор

Подробнее

Цель работы: Освоить методы приближенных вычислений в химии и химической технологии с помощью стандартных компьютерных программ

Цель работы: Освоить методы приближенных вычислений в химии и химической технологии с помощью стандартных компьютерных программ 2 Содержание 1 Элементы теории погрешностей 4 1.1 Приближенные значения величин. Источники и 4 классификация погрешностей 1.2 Абсолютная и относительная погрешности 5 1.3. Верные значащие цифры приближенного

Подробнее

Требования к результатам освоения учебного предмета В результате изучения алгебры ученик должен знать/понимать существо понятия математического

Требования к результатам освоения учебного предмета В результате изучения алгебры ученик должен знать/понимать существо понятия математического Требования к результатам освоения учебного предмета В результате изучения алгебры ученик должен знать/понимать существо понятия математического доказательства; примеры доказательств; существо понятия алгоритма;

Подробнее

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Математика Серия: МАТЕМАТИКА Недосекин ЮА Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Аннотация Предложен новый метод решения неоднородной системы линейных алгебраических

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2017-2018 уч.год Тема модуля 2 «Целые Делимость чисел» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение пересечения и

Подробнее

Аннотация к рабочей программе по математике 5 класс Целью изучения курса математики в 5 классе является

Аннотация к рабочей программе по математике 5 класс Целью изучения курса математики в 5 классе является Аннотация к рабочей программе по математике 5 класс Рабочая программа по математике составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования. Данная рабочая

Подробнее

Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере» Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой

Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере» Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере» Типы задач: 1. Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой. 2. Дробные числа. Представление чисел в формате с плавающей запятой.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

РГУ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. Кафедра физики. В.Г. Бекетов МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ И ИЗМЕРЕНИЙ

РГУ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. Кафедра физики. В.Г. Бекетов МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ И ИЗМЕРЕНИЙ РГУ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА Кафедра физики В.Г. Бекетов МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ И ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ Для студентов

Подробнее

Занятие 8 ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ

Занятие 8 ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ Занятие 8 ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных

Подробнее

Частное общеобразовательное учреждение Лицей 1 «Спутник»

Частное общеобразовательное учреждение Лицей 1 «Спутник» Частное общеобразовательное учреждение Лицей 1 «Спутник» РАССМОТРЕНО На заседании методического Совета Лицея 1 «Спутник» Протокол от От 2017г. Председатель методического Совета Лицея 1 «Спутник» Урсул

Подробнее

Методические рекомендации:

Методические рекомендации: Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере». Типы задач. 1. Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой. 2. Дробные числа. Представление чисел в формате с плавающей

Подробнее

Рабочий лист 1. Арифметические действия на множестве рациональных чисел.

Рабочий лист 1. Арифметические действия на множестве рациональных чисел. Рабочий лист 1 Арифметические действия на множестве рациональных чисел Напомним важные правила, которые нужно соблюдать, проводя арифметические вычисления Порядок действий в арифметических вычислениях

Подробнее

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 150 имени Героя Советского Союза В.И.Чудайкина» городского округа Самара

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 150 имени Героя Советского Союза В.И.Чудайкина» городского округа Самара муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 150 имени Героя Советского Союза В.И.Чудайкина» городского округа Самара Программа рассмотрена на заседании ШМО учителей точных наук Протокол

Подробнее

А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург

Подробнее

ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Терминология Цифры знаки для записи чисел. В десятичной системе счисления, которой мы, в основном, пользуемся, это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего десять цифр. 0 (ноль)

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Рабочая программа по математике составлена на основе следующих нормативных документов и методических рекомендаций: 1.Федеральнфй государственный образовательный стандарт основного

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 3 «Действительные числа. Квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

Подробнее

2. Действия над комплексными числами

2. Действия над комплексными числами Действия над комплексными числами Словарь: произведение комплексных чисел комплексная плоскость радиус-вектор формула Муавра Обратите внимание: Действия (над чем? над числами Извлечение (чего? корня Действия

Подробнее

Рабочая программа по алгебре в 8 классе на учебный год

Рабочая программа по алгебре в 8 классе на учебный год Рассмотрено на Утверждаю заседании МО учителей директор естественно-научного МКОУ ЛСОШ 1 образования и М.М.Костина математических наук Приказ 109 от руководитель МО «01»сентября 2017г. Г.А. Круглова Протокол

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Содержание образования, в соответствии с ФК ГОС. Требования к уровню подготовки обучающихся

Содержание образования, в соответствии с ФК ГОС. Требования к уровню подготовки обучающихся Глава 1. Натуральные числа и шкалы, 14 часов Повторение начальной школы, 5 часов Учебно тематическое планирование уроков математики в 5 классе 2014 2015 учебный год Раздел, Кол-во часов Тема Повторение.

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ.

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ. www.reshuzdch.ru Задание.5. Найти произведение приближенных чисел и указать его погрешности (Δ и δ), если считать в исходных данных все значащие цифры верными.,8,55, Решение. По условию:,8, b, 55, c,,,,

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 2 «Целые Делимость чисел» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение пересечения и

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

Мурманская область, Кольский район, с. Минькино

Мурманская область, Кольский район, с. Минькино Приложение к рабочей программе по математике Мурманская область, Кольский район, с. Минькино Государственное областное бюджетное общеобразовательное учреждение «Минькинская коррекционная школа-интернат»

Подробнее

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ (ЗАДАНИЯ)

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ (ЗАДАНИЯ) МАТЕРИАЛЫ для подготовки к тестированию по математике 8 класс Учитель: (Субач М.В., Авершина Л.А., Данилова А.Р.) ТЕМА Знать Уметь 6 Множество рациональных и множество действительных П.16. Рациональные

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре составлена на основе федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике 004 года, примерной

Подробнее

Рабочая программа. по курсу математика 5 класс по программе «Математика» авторов Н. Я. Виленкина и др. Общее количество часов 170

Рабочая программа. по курсу математика 5 класс по программе «Математика» авторов Н. Я. Виленкина и др. Общее количество часов 170 Рабочая программа по курсу математика 5 класс по программе «Математика» авторов Н. Я. Виленкина и др. Общее количество часов 170 УМК: Примерная программа основного общего образования, 2008г; В.И. Жохов

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методические

Подробнее

4 Сеточные методы. 4.1 Основные понятия.

4 Сеточные методы. 4.1 Основные понятия. 4 Сеточные методы. 4.1 Основные понятия. Для решения многих численных задач требуется введение дискретных функций, определенных в точках. Пространством, в котором определены данные функции, будет являться

Подробнее

Планируемые результаты освоения учебного предмета

Планируемые результаты освоения учебного предмета Планируемые результаты освоения учебного предмета В результате изучения алгебры ученик должен знать/понимать существо понятия математического доказательства; примеры доказательств; существо понятия алгоритма;

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В результате изучения курса алгебры в 8АВ, 8 ГД (группа А) классе учащийся научится знать/понимать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике;

Подробнее

Справочный материал «Математика 5 класс»

Справочный материал «Математика 5 класс» Справочный материал «Математика 5 класс» Натуральные числа Числа, которыми пользуются при счёте, называют натуральными. Обозначают их латинской буквой Ν. Число 0 не является натуральным! Способ записи

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 010 УДК 511+51 ББК Ч345 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн. ун-та

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ И ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ С НИМИ ПРИ РАСЧЕТАХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

ЛЕКЦИЯ 9 ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ И ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ С НИМИ ПРИ РАСЧЕТАХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛЕКЦИЯ 9 ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ И ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ С НИМИ ПРИ РАСЧЕТАХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ АНАЛИЗА СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ ЗНАЧАЩИЕ

Подробнее

Рабочая учебная программа

Рабочая учебная программа Рабочая учебная программа МАТЕМАТИКА 5-6 классы 2017-2018 учебный год АННОТАЦИЯ Настоящая рабочая программа разработана в соответствии с основными положениями Федерального государственного образовательного

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Анализ результатов тестирования учащихся, школа МОУ "Староустинская ОШ" класс 6МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Анализ результатов тестирования учащихся, школа МОУ Староустинская ОШ класс 6МАТЕМАТИЧЕСКИЙ результатов тестирования учащихся, школа МОУ "Староустинская ОШ" класс 6МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 1 Цель мониторинга - проверка знаний учащихся. Измерения проводились с помощью тестов с заданиями базового и повышенного

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Введение Неотъемлемой частью экспериментальных исследований, в том числе и проводимых в физическом практикуме, являются измерения физических величин. Измерения

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Срок реализации программы, учебный год 2016/2017 учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Срок реализации программы, учебный год 2016/2017 учебный год Частное учреждение общеобразовательная организация школа «Мои Горизонты» «Рассмотрено» Руководитель МО /Дрожжина Н.В./ Протокол 1 от «29» августа 2016г. «Согласовано» Заместитель директора по УМР ЧУООШ

Подробнее

Класс 7.1, 7.2, 7.3, 7.5, 7.6. Теоретическая часть

Класс 7.1, 7.2, 7.3, 7.5, 7.6. Теоретическая часть Класс 7.1, 7.2, 7.3, 7.5, 7.6 Алгебра (учебник Никольский С.М.) Тема модуля: «Одночлены. Многочлены» Теоретическая часть 1. Числовые выражения. Буквенные выражения 2. Понятие одночлена 3. Произведение

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н. .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. (Математика 5 класс)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. (Математика 5 класс) ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. (Математика 5 класс) Данная рабочая программа составлена в соответствии с Государственной программой по математике для общеобразовательных учреждений Министерства образования Российской

Подробнее

Представление числовой информации в ЭВМ. Лекция 3

Представление числовой информации в ЭВМ. Лекция 3 Представление числовой информации в ЭВМ Лекция 3 Представление числовой информации в ЭВМ Память компьютера, отводимую для хранения числа или другого элемента данных в числовом коде, удобно описать моделью

Подробнее

Построение графиков Графики выполняются преимущественно

Построение графиков Графики выполняются преимущественно Рис. 5 6. Построение графиков Графики выполняются преимущественно на миллиметровой бумаге. Сначала нужно выбрать масштаб по осям координат. Масштаб выбирается таким образом, чтобы угол наклона прямых (или

Подробнее

Рабочая учебная программа по математике в 5 А классе

Рабочая учебная программа по математике в 5 А классе Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29 города Чебоксары» Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю» Директор

Подробнее

Численные методы. Введение. Шишкин Владимир Андреевич. Пермский государственный национальный исследовательский университет

Численные методы. Введение. Шишкин Владимир Андреевич. Пермский государственный национальный исследовательский университет Численные методы Введение Шишкин Владимир Андреевич Пермский государственный национальный исследовательский университет Шишкин В. А. (ПГНИУ) Введение 1 / 18 Структура курса 1 Введение 2 Приближение функций

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

Пояснительная записка. Планируемые результаты освоения учебного предмета «Алгебра»

Пояснительная записка. Планируемые результаты освоения учебного предмета «Алгебра» Пояснительная записка Рабочая программа учебного предмета «Алгебра» составлена в соответствии с Основной образовательной программой основного общего образования муниципального общеобразовательного учреждения

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 6 класс

КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 6 класс Номер урока Тема урока КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 6 класс Кол-во часов Глава 1. Обыкновенные дроби. 1. Делимость чисел 24 ч 1-3 Делители и кратные 3 Делитель, кратное, наименьшее кратное натурального

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания к выполнению лабораторных работ ПЕНЗА 7 Приведена методика и

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ Ю.Л.Калиновский Введение Решение квадратных уравнений Решение квадратных уравнений c помощью разложения на множители. Решение квадратных уравнений c помощью дополнения до полного

Подробнее