НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ"

Транскрипт

1 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: определить неизвестную функцию, если известна её производная. Определение. Функция F (x), определённая в промежутке < a, b > (конечном или бесконечном), называется первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если x < a, b >, F (x) f(x). Примеры: Функция Её первообразная Промежуток ) x 3 x (, + ) ) x ln x (0, + ) 3) x arcsin x (, ) Замечание. Легко проверить, что первообразной функции x является не только функция x, но и такие функции, как x +, x 5, x + 03 и т. д. То же самое можно сказать и о первообразных остальных рассматриваемых нами функций. Таким образом, первообразная функции не единственна. Теорема. Если F (x) - первообразная функции f(x) в промежутке < a, b >, то и функция Φ(x) F (x) + C, где C - проиизвольная постоянная, также является первообразной функциии f(x) в < a, b >. Доказательство. Пусть F (x) - первообразная функции f(x) в < a, b >, то есть x < a, b >, F (x) f(x). Тогда x < a, b >, Φ (x) [ F (x) + C] F (x) + 0 f(x) и, следовательно, Φ(x) - первообразная функции f(x) в промежутке < a, b >. Теорема. (обратная). Если F (x) и Φ(x) - две первообразные функции f(x) в промежутке < a, b >, то они отличаются в этом промежутке лишь на постоянное слагаемое: x < a, b >, Φ(x) F (x) C или Φ(x) F (x) + C. Доказательство. По условию x < a, b >, F (x) f(x) и Φ (x) f(x).

2 Следовательно, x < a, b >, [ Φ(x) F (x)] Φ (x) F (x) f(x) f(x) 0, откуда следует, что x < a, b >, Φ(x) F (x) C. Следствие (из теорем и ). Прибавляя к какой-либо первообразной F (x) функции f(x) в промежутке < a, b > всевозможные постоянные C, мы получим все первообразные функции f(x) в этом промежутке. Таким образом, выражение F (x) + C, где F (x) f(x), а C принимает всевозможные постоянные значения, определяет множество всех первообразных функции f(x) (в данном промежутке). Определение. Множество всех первообразных данной функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом f(x). При этом знак называется знаком интеграла, функция f(x) - подынтегральной функцией, а выражение f(x) - пдынтегральным выражением. Операция нахождения первообразной данной функции называется интегрированием Пример. x 3 x + C. Геометрический смысл неопределённого интеграла: семейство "параллельных" кривых, т. е. семейство кривых, которые получаются сдвигом одной из них параллельно некоторому направлению, например, по вертикали. y y F (x) + C y F (x) + C y F (x) y F (x) + C 3 y F (x) + C O a b x

3 . Основные свойства неопределённого интеграла. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: ( f(x)) f(x). () Действительно, пусть F (x) f(x). Тогда f(x) F (x) + C, поэтому ( f(x)) [ F (x) + C ] F (x) f(x).. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: d f(x) f(x). Действительно, d ( f(x) ) f(x) () f(x).. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: d F (x) F (x) + C. Обозначим производную функции F (x) через f(x) : F (x) f(x). Тогда F (x) - первообразная функции f(x). Следовательно, df (x) F (x) f(x) F (x) + C. 3. Постоянный множитель ( 0) можно вынести за знак неопределённого интеграла: k f(x) k f(x) (k const 0). Действительно, согласно свойству ( f(x) f(x)). ( ) Поэтому ( k f(x)) k ( ) ( () f(x) k f(x) ( ) k f(x)), откуда по теореме k f(x) k f(x). 3

4 . Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен соответствующей алгебраической сумме их интегралов: [ f (x) ± f (x) ±... ± f n (x) ] f (x) ± f (x) ±... ± f n (x). Докажем для n : [ f(x) ± g(x) ] f(x) ± g(x). Действительно, ( f(x) ± ( g(x) ) ( f(x) ) ± ) () g(x) f(x) ± g(x) ( ) ( [ f(x) ± g(x) ] ), откуда по теореме [ f(x) ± g(x) ] f(x) ± g(x). 3. Таблица основных неопределённых интегралов Пользуясь тем, что операция интегрирования обратна операции дифференцирования, нетрудно получить таблицу простейших неопределённых интегралов, исходя из таблицы производных. При этом будем пользоваться тем, что [ F (x) ] f(x) f(x) F (x) + C. Например, ( sin x) cos x cos x sin x + C. Рассуждая таким образом, получим: x + C x α xα+ + C α + (α ) x ln x + C x e x e x + C a x ax + C ln a (a > 0, a ) cos x sin x + C

5 sin x cos x + C cos x cos x tg x + C sin x sin x ctg x + C arcsin x + C arccos x + C x arctg x + C arcctg x + C + x sh x ch x + C ch x sh x + C ch x th x + C sh x cth x + C. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала Замечание. Можно доказать, что всякая функция, непрерывная в промежутке < a, b >, имеет в этом промежутке первообразную. Функция, имеющая первообразную в промежутке < a, b >, называется интегрируемой в этом промежутке. Таблица основных интегралов была получена в предположении, что x - независимая переменная. В действительности все формулы этой таблицы верны и в том случае, когда x представляет собой непрерывно дифференцируемую функцию некоторого другого аргумента. В самом деле, пусть для непрерывной функции f(x) имеем: f(x) F (x) + C, () где x - независимая переменная. Тогда F (x) f(x). (3) Пусть u ϕ(x) - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Докажем, что f(u) du F (u) + C () или, что то же самое, f [ ϕ (x) ] ϕ (x) F [ ϕ (x) ] + C. ( ) 5

6 то есть что d F [ ϕ (x) ] f [ ϕ (x) ] ϕ (x). Для этого заметим, что равенство (3) выполняется тождественно, поэтому не зависит от характера аргумента x. В частности, будем иметь: F (u) f(u) при u ϕ (x). (5) Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции d d F (u) F [ ϕ (x) ] du du F (u) ϕ (x) (5) f(u) ϕ (x) f [ ϕ (x) ] ϕ (x), что и требовалось доказать. Таким образом, из справедливости формулы () следует справедливость формулы (), которая получается из () путём формальной замены x на u ϕ (x). Этот факт называется свойством инвариантности формулы интегрирования. На основании этого факта из таблицы простейших интегралов получим обобщённую таблицу простейших интегралов: u α du uα+ α + + C, du u ln u + C и т. д., где u - любая непрерывно дифференцируемая функция от независимой переменной. Выбирая различным образом функцию u, мы можем существенно расширить класс функций, которые можно интегрировать с помощью формул таблицы интегралов. На этом основан метод подведения под знак дифференциала, заключающийся в том, что подынтегральное выражение f(x) приводится к виду f(x) g(u) du, где u - некоторая (непрерывно дифференцируемая) функция от x, а g - функция, более простая для интегрирования, чем f. Примеры: ) ctg x cos x d(sin x) sin x sin x ln sin x + C. ) tg x sin x d(cos x) cos x cos x ln cos x + C. 3) a + x a + ( x a ) a d ( x a ) + ( x a ) a arctg x a + C. ) a x a ( x a ) d ( x a ) ( x a ) arcsin x a + C. 6

7 5) sin 5x 5 sin 5x d (5x) cos 5x + C. 5 6) x e x e x d (x ) e x + C. 7) x (x ) d (x ) (x ) C 3 (x )3 + C. 8) ln x x ln x d (ln x) ln x + C. Формулы, полученные в четырёх первых примерах, рекомендуется присоединить к таблице основных интегралов. 0. a x arcsin x + C (a > 0) a. 6. a + x a arctg x + C (a 0) a ctgx ln sin x + C 7. tgx ln cos x + C. 5. Интегрирование методом разложения Этот метод основан на свойстве неопределённого интеграла о том, что интеграл суммы равен сумме интегралов. С его помощью вычисляются, например, интегралы от многочленов и, вообще, интегралы от сумм непрерывных функций. Во многих случаях прежде чем пользоваться указанным свойством интеграла, данную функцию представляют сначала, если это возможно, в виде суммы функций, интегралы от которых мы уже умеем вычислять. Примеры: ) ( x) ( x + x) x + x x x x + C x 3 x x + x + C. 7

8 ) 3) x + x x x ( x + + ) x + x + ln x + C. ( ) tg x cos x cos x x + + tg x x + C. x ) ( x a a x a ) x + a a ln x a a a x a a ln x + a + C a ln x a x + a + C. x + a 5) sin 9x sin 3x (cos x cos 6x) sin x sin 6x + C. 6) sin sin x cos x x + cos x sin x cos x tg x + ctg x ln cos x + ln sin x + C ln sin x cos x + C ln tg x + C. 7) sin x sin x cos x d( x ) sin x cos x ln tg x + C. 8) cos x d (x + π ) ( x sin(x + π) ln tg + π ) + C. Примеры ), 7) и 8) дают нам новые формулы, которые также рекомендуется присоединить к таблице основных интегралов: 8. x a a ln x a x + a + C a x a ln x + a x a + C sin x ln x tg + C ( x cos x ln tg + π ) + C. 8

9 6. Интегрирование методом подстановки При обосновании метода подведения под знак дифференциала было показано, что равнство f(x) F (x) + C () влечёт за собой равенство f [ ϕ(t) ] ϕ (t) F [ ϕ(t) ] + C, ( ) где ϕ - любая непрерывно дифференцируемая функция от t. Следовательно, если x ϕ(t), то то есть f(x) F (x) + C F [ ϕ(t) ] + C f [ ϕ(t) ] ϕ (t), f(x) f [ ϕ(t) ] ϕ (t). На этой формуле основан метод подстановки (или метод замены переменной), который заключется в том, что путём введения новой переменной приводят подынтегральное выражение к виду, более удобному для интегрирования. Примеры: ) x x 5 I ; x 5 t, x 5 t, x t + 5, t ; I ( t + 5) t t ( t + 0 t ) t t3 3 + C 5 (x 5) (x 5) 3 + C. ) x + α I ; x + α t x, t x + x + α, ( ) x + x + x + α t x + α x + α x + α, x + α t ; I t ln t + C ln x + x + α + C. Полученную формулу. x + α ln x + x + α + C также рекомендуется присоединить к таблице основных интегралов. 9

10 Если подынтегральная функция содержит квадратные корни вида a x, a + x или x a, то рекомендуется применять следующие тригонометрические или гиперболические подстановки: a x ; x a sin t или x a th t ; a + x ; x a tg t или x a sh t ; x a ; x a sec t или x a ch t. Примеры: ) a x ( a > 0 ) ; x a sin t, a cos ; a x a a sin t a cos t a a ( + cos t) a + a cos t cos t d( t) a t + a sin t + C ; sin t x a, t arcsin x a ; sin t sin t cos t sin t sin t x x a a x a x a ; a x a arcsin x a + x a x + C. ) x + I ; x sh t, ch t ; I sh t + ch t ch t ch t ch t ( + ch t) + ch t d( t) t + sh t + C ; sh t x, ch t + x, sh t sh t ch t x x + ; e t sh t + ch t x + x +, t ln x + x + ln ; x + ln (x + x + ) + x x + + C. 0

11 7. Интегрирование по частям Пусть u и v - две непрерывно дифференцируемые функции от x. Тогда d (uv) u dv + v du ; u dv d (uv) v du, откуда u dv d (uv) v du или u dv uv v du. Это - формула интегрирования по частям. Она применяется в тех случаях, когда интеграл v du проще чем u dv. Примеры: ) ln x I ; I x ln x u ln x, dv, du x, v x ; x x x ln x x + C ; ln x x (ln x ) + C. ) x cos x I ; u x, dv cos x, du, v sin x ; I x sin x sin x x sin x + cos x + C. 3) x e x I ; u x, dv e x, du x, v e x ; I x e x x e x x e x I ; u x, dv e x, du, v e x ; I x e x e x x e x e x + C ; I x e x (x e x e x + C ) ; x e x e x (x x + ) + C.

12 ) e ax sin bx I ; u e ax, dv sin bx, du a e ax, v b I b eax cos bx + a e ax cos bx ; b cos bx ; u e ax, dv cos bx, du a e ax, v sin bx ; b e ax cos bx b eax sin bx a e ax sin bx ; b I b eax cos bx + a ( b b eax sin bx a ) b I ; ( ) + a I a b eax sin bx b eax cos bx ; b I eax ( a sin bx b cos bx) a + b + C. 8. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен I. I a x + b x + c a [ ( a x + b ) + a I a a x + b x + c. ( x + b a x + c ) [ a x + b a ( x + b a ( ) ] b + c a a b a a x + ] [ ( ac b a x + b ) ] ± h, где h ac b. a a a ) ; x + b ± h a t, I a табличный интеграл. t ± h x t b, ; a Пример. x + x + x + x + ( ) x + + arctg x + + C arctg ( x + ) + C.

13 Пример. 3 x x 3 ( ) 3 x ln ( x ) 3 3 ( x ) x x d ( ) x 3 ( x ( 3) ) 3 + C 8 ln x x + + C. 3 ( ) x II. I A x + B a x + b x + c. A a (a x + b x + c ) a x + b, A x + B ( ax + b ) A a + B A b a ; A a I ( ax + b ) + ( ) B A b a a x + b x + c A a d ( a x + b x + c) a x + b x + c ( ( ax + b) a x + b x + c + B A b ) a + a x + b x + c ( B A b ) I A ( a a ln a x + b x + c + B A b ) I. a 3 Пример 3. (x ) x x x + x x + 5 x x (x ) x x + 5 d ( x x + 5) x x ln (x x + 5) + 5 arctg x + C. + 5 d ( x ) (x ) + III. I 3 a x + b x + c, a [(x + b a ) ± h Полагая x + b a где h ac b a ] t,, получим I 3 a ( t ± h ).. 3

14 Возможны два случая: ) a > 0. I 3 a ) a < 0. I 3 a табличный интеграл ; t ± h h t I 3 a табличный интеграл или t h интеграл от комплекснозначной функции. Такие интегралы в нашем курсе не рассматриваются. Пример. + 3x x (x 3 x + 9 ) arcsin x x x + C arcsin x 3 + C. 5 (x 3 x) d(x 3) 5 (x 3 6 ) IV. I A x + B a x + b x + c A a ( ax + b) + (B Ab a ) a x + b x + c A a ( d (a x + b x + c) a x + b x + c + B Ab ) I 3 A ( a x + b x + c + B Ab ) I 3. a a a Пример 5. x + 3 (x + ) x + x x + x + (x + ) x + x + + d (x x + x + + x + ) x + x + + x + x + + ln (x + + x + x + ) + C. d (x + ) (x + ) + 9. Разложение рациональных дробей на простейшие Рациональной дробью (дробной рациональной функцией) называется частное двух многочленов от одной и той же переменной: Q(x) P (x) b 0x m + b x m + + b m x + b m a 0 x n + a x n + + a n x + a n, (6) где a 0, a,..., a n и b 0, b,..., b n - действительные числа.

15 Рациональная дробь (6) называется правильной при m < n и неправильной при m n. Если дробь (6) неправильная, то разделив числитель на знаменатель, её можено представить в виде суммы Q(x) P (x) где M(x) - многочлен, а N(x) - правильная дробь. P (x) x 3 Пример. x + x + x x + 3 x 6 x + x +. M(x) + N(x) P (x), (7) Займёмся преобразованием правильной рациональной дроби к виду, удобному для интегрирования. Для этого нам понадобятся две теоремы из высшей алгебры, которые здесь мы принимаем без доказательства. Теорема. Всякий многочлен n -ой степени с действительными коэффициентами P (x) a 0 x n + a x n + + a n x + a n можно представить в виде a 0 (x a) α (x b) β... (x c) γ (x + kx + l) λ... (x + px + q) µ, где a 0, a, b,..., c и k, l,..., p, q - действительные числа, α, β,..., γ и λ,..., µ - целые положительные числа такие, что α + β + + γ + λ + + µ n, а квадратные трёхчлены x + kx + l,..., x + px + q имеют отрицательные дискриминанты. Теорема. Всякая правильная рациональная дробь (6), знаменатель которой P (x) имеет вид (x a) α (x b) β... (x c) γ (x + kx + l) λ... (x + px + q) µ, может быть представлена, и притом единственным образом, в виде: Q(x) P (x) A x a + A (x a) + + A α (x a) α + + B x b + B (x b) + + B β (x b) β ( ) + C x c + C (x c) + + C γ (x c) γ + + K x + L x + kx + l + K x + L (x + kx + l) + + K λx + L λ (x + kx + l) λ M x + N x + px + q + M x + N (x + px + q) + + M µx + N µ (x + px + q) µ. 5

16 Рациональные дроби вида: F. F. F 3. F. A x a, A (k N, k ), (x a) k Ax + B (p < q), x + px + q Ax + B (p < q, k N, k ) (x + px + q) k называютя простейшими рациональными дробями. Из теорем и следует, что всякая рациональная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и простейших рациональных дробей. На практике разложение правильной рациональной дроби на простейшие осуществляется так называемым методом неопределённых коэффициентов, который заключается в следующем. Записывается разложение ( ), указанное в теореме, с неопределёнными коэффициентами A, A,..., B, B,..., M, N,..., затем правая часть приводится к общему знаменателю P (x), после чего приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях левой и правой части. Получается система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов, из которой они и находятся. Пример. 3x x + (x ) 3 (x + ) A x + B (x ) + C (x ) + D 3 x +. 3x x + A(x + )(x ) + B(x )(x + ) + C(x + ) + D(x ) 3, 3x x + (A + D)x 3 + (B 3D)x + ( 3A + B + C + 3D)x + (A B + C D) ; A + D 0, B 3D 3, 3A + B + C + 3D, A B + C D, A, B 0, C, D. 3x x + (x ) 3 (x + ) x + (x ) 3 x +. Пример. 6 (x 5 + x 3 + ) x 6 6 (x5 + x 3 + ) (x 3 )(x 3 + ) 6 (x 5 + x 3 + ) (x )(x + )(x x + )(x + x + ) A x + B x + + Cx + D x x (x 5 + x 3 + ) A (x + x + )(x 3 + ) + B (x x + )(x 3 )+ Ex + F x + x + ; 6

17 +(Cx + D)(x + )(x 3 ) + (Ex + F )(x )(x 3 + ) (A + B + C + E) x 5 + (A B + C + D E + F ) x + (A + B + D F ) x 3 + +(A B C + E) x + (A + B C D E + F ) x + (A B D F ) ; A + B + C + E 6, A B + C + D E + F 0, A + B + D F 6, A B C + E 0, A + B C D E + F 0, A B D F 0, 6 (x 5 + x 3 + ) x 6 A 3, B, C, D. E 0, F 3 ; 3 x + x + + x x x + 3 x + x +. Пример 3. x x + 3 x + x(x + ) 3 A x + Bx + C (x + ) 3 + Dx + E (x + ) + F x + G x + ; x 6 +6 x +3x+ A (x +) 3 +x (Bx+C)+x (Dx+E)(x +)+x (F x+g)(x +) (A + F )x 6 + Gx 5 + (3A + D + F )x + (E + G)x (3A + B + D + F )x + (C + E + G)x + A ; A + F, A, G 0, 3A + D + F 6, E + G 0, 3A + B + D + F 0, C + E + G 3, A, B 6, C 3, D 0. E 0, F 0 ; G 0 ; x 6 + 6x + 3x + x(x + ) 3 x + 6x + 3 (x + ) Интегрирование рациональных дробей Так как всякая рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и простейших рациональных дробей, то интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и простейших рациональныъх дробей. Интегрирование многочлена никакого труда не представляет. Остаётся рассмотреть вопрос об интегрировании простейших рациональных дробей. Интегрирование первых трёх типов простейших рациональных дробей не представляет большой трудности. A I. A ln x a + C. x a II. A (x a) k A (x a) k d(x a) 7

18 III. (x a) k+ A + C k + Ax + B x + px + q A d(x + px + q) x + px + q A ( k)(x a) k + C. (x + p) A + (B Ap ) x + px + q ( + B Ap ) A ln(x + px + q) + d(x + p ) (x + p ) + q p B Ap q p arctg x + p q p + C. Наиболее трудными для интегрирования являются простейшие рациональные дроби четвёртого типа. Ax + B IV. (x + px + q) A (x + p) k (x + px + q) + ( k + B Ap ) (x + px + q) A ( k t + B Ap ) I k k. ) (x + p) d(x (x + px + q) + px + q) k (x + px + q) k (x + px + q) k+ k + + C (x + px + q) k d(x + px + q) ( k)(x + px + q) k + C. I k ) I k (x + px + q) k [(x + p ) + q p ] ; k x + p t,, q p h ; (t + h ) (t + h ) t k h (t + h ) k h (t + h ) k h Ко второму интегралу применим метод интегрирования по частям. v u t, dv (t + h ) k d(t + h ) t, du, (t + h ) k ( k)(t + h ) k ; t (t + h ) k. t (t + h ) t k ( k)(t + h ) k ( k) (t + h ) ; k I k h (t + h ) [ ] t k h ( k)(t + h ) k ( k) (t + h ) k t h ( k)(t + h ) + [ ] + k h ( k) (t + h ) k t k 3 + h ( k)(t + h ) k h (k ) I k. 8

19 Таким образом, вычисление интеграла I k сводится к вычислению интеграла I k того же вида, но у которого показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу меньше. Применяя к I k те же рассуждения, сведём его к выражению, содержащему интеграл I k и т. д. Продолжая этот процесс, мы придём в конце концов к интегралу вида I t + h h arctg t h + C. Подставляя затем всюду вместо t и h их значения, получим выражение интеграла -го типа через x и заданные числа A, B, p, q. Вывод : Интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде. В качестве примеров вычислим интегралы от рациональных дробей, рассмотренных в предыдущем параграфе. Пример. 3x [ x + (x ) 3 (x + ) x + (x ) ] 3 x + ln x ln x + + C. (x ) 6 (x 5 + x 3 + ) Пример. x 6 ( 3 x + x + + x ) x x + 3 x + x + 3 x + d (x x + + x + ) d (x + 3 ) x x + (x + ) ln x + ln x + + ln (x x + ) 3 arctg x + + C 3 3 ln (x ) 3 (x 3 + ) 3 arctg x + + C. 3 x 6 + 6x ( + 3x + Пример 3. I x(x + ) 3 x + 6x + 3 ) (x + ) 3 d(x x 3 + ) (x + ) (x + ) ln x (x + ) + 3I 3 ; x I 3 (x + ) + x 3 (x + ) 3 (x + ) x (x + ) 3 x I x (x + ) ; 3 u x, dv x (x + ), du, v d(x + ) 3 (x + ) 3 (x + ) ; 9

20 [ x I 3 I (x + ) + ] x I (x + ) + (x + ) I x I (x + ) + x (x + ) x + x d(x + ) (x + ) x (x + ) + 3 I ; x (x + ) ; u x, dv x (x + ), du, v [ I x + x (x + ) + ] x x + (x + ) + x (x + ) + arctg x + C ; x I 3 (x + ) + 3x 8(x + ) arctg x + C. 3 I ln x + (x + ) + 3x (x + ) + 9x 8(x + ) arctg x + C (x + ) ; x + ln x + 3(3x + 5x + ) 8(x + ) arctg x + C.. Интегрирование простейших иррациональных функций Интеграл не от всякой иррациональной функции выражается через элементарные функции. Мы рассмотрим некоторые классы иррациональных функций, интегралы от которых с помощью подстановок сводятся к интегралам от рациональных функций, а последние, как мы уже видели, всегда "берутся", т. е. выражаются через элементарные функции. I. R (x, x m n,..., x r s ), (8) где R - рациональная функция своих аргументов. Приведя дроби m,..., r к общему знаменателю k, представим интеграл (8) в n s виде R (x, x p q k,..., x k ). (9) Сделаем подстановку x t k, k t k. Тогда интеграл (9) примет вид R (t k, t p,..., t q ) k t k, где под знаком интеграла стоит рациональная функция от t. 0

21 Пример. x x x3 + x 3 + x x 3 + x t, t 3 t t 3 t 5 ( ) t 3 + t 3 + t t t 3 + t t t 3 + t3 3 3 ln t3 + + C ( ) x 3 3 ln x + + C. 3 II. R [ x, (ax + b) m n,..., (ax + b) r s ] R [ x, (ax + b) p k,..., (ax + b) q k ] ax + b t k, x t k b, k a a tk [ ] t k b R, t p,..., t q k a a tk. Пример. x x (x ) (x ) x t, x t +, t 3 t 3 t t t ( t t + + ) t ( ) t + t + ln t + C t + t + ln(t ) + C x + x + ln ( x ) + C. III. R [ x, ( ) m ax + b n cx + d R [ x, ( ) ] r ax + b s,..., cx + d ( ) p ax + b k cx + d ( ) q ] ax + b k,...,. cx + d Приводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки ax + b cx + d t k.

22 IV. a x + bx + c ( уже рассматривался, см. п.8-iii). V. Ax + B ( уже рассматривался, см. п.8-iv). a x + bx + c VI. a x + bx + c ( a x + b ) ac b + a a с помощью подстанвки x + b a t приводится к виду a t ± h при a > 0 или a t h при a < 0. Такие интегралы берутся, как известно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок. VII. R ( x, a x + bx + c). Выделяя полный квадрат и применяя подстановку x + b t, такой интеграл a можно привести к одному из видов: R ( t, a t ), R ( t, a + t ), R ( t, t a ). Все такие интегралы берутся с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок. VIII. x ax + bx + c I ; x, t t, I ax + bx + c a t + b t + c ct + bt + a t t t ct +bt+a t ± ct + bt + a (тип IV ).

23 . Интегрирование дифференциальных биномов Дифференциальным биномом называется выражение вида x m ( a + b x n ) p, (0) где m, n и p - рациональные числа, а коэффициенты a и b - вещественные. Л. Эйлер (в 768 г.) указал три случая интегрируемости дифференциальных биномов (0). -й случай: p - целое. В этом случае речь идёт об интеграле вида R [ x, (ax + b) m r n,..., (ax + b) s ], рассмотренном нами ранее (см. п. -II). -й случай: m + n - целое. В этом случае применяется подстановка a + b x n t s, () где s - знаменатель дроби p. Из (0) получаем или, после дифференцирования, x n t s a b x n Кроме того, с помощью () получаем: то есть x m n+ (x n ) m n+ n, () s bn t s. (3) ( t s a b ) m n+ n ( ) t x m n+ s m+ a n. () b Умножая почленно равенства (3) и (), получим: ( t x m s a b ) m+ n s bn t s., Следовательно, x m ( a + b x n ) p ( t t p s s a b ) m+ n s bn t s. Под знаком последнего интеграла стоит рациональная функция от t, так как числа s, p s, m+ - целые. n 3

24 3-й случай: m+ n + p - целое. В этом случае применяется подстановка где s - знаменатель дроби p. Из (5) получаем: a x n + b t s, (5) x n t s b a (6) и (после дифференцирования) С помощью (6) найдём: то есть x n s an t s. (7) ( ) m+p n+n+ x m+p n+n+ (x n m+p n+n+ a n ) n t s b x m+p n+n+ Умножая почленно (7) и (8), получим: x m+p n ( ) m+ a n +p+. (8) t s b ( ) m+ a n +p+ ( s ) t s. t s b a n, Следовательно, x m (a + b x n ) p x m+np (a x n + b) p ( ) m+ a t p s n +p+ ( s ) t s. t s b a n Под интегралом здесь имеем рациональную функцию от t, так как числа s, p s, m+ + p - целые. n Замечание. В 853 г. Чебышев доказал, что за исключением этих трёх случаев интеграл от дифференциального бинома не выражается через элементарные функции. Пример. I 3 + x x x ( + x ) 3. m, n, p 3 ; m + n Применяя подстановку (-й случай). + x t 3 ; x (t 3 ), t (t ) 3,

25 получим: I (t 3 ) t t (t 3 ) 3 t 3 (t 3 ) (t 6 t 3 ) 7 t7 3 t + C, где x 3 + x. 3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции I. Интегралы вида R (sin x, cos x) (9) приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки Действительно, tg x t. (0) sin x sin x cos x sin x cos x sin x + cos x tg x + tg x t + t, Следовательно, cos x cos x sin x cos x sin x cos x + sin x x arctg t, + t. R (sin x, cos x) - интеграл от рациональной функции переменной t. tg x + tg x t + t, ( t R + t, ) t + t + t Пример. + sin x + cos x + t + t + t + t + t + t + t + t + t ln + t + C ln x + tg + C. Замечание. Подстановка (0) называется универсальной, так как с её помощью любой интеграл вида (9) приводится к интегралу от рациональной функции. Однако на практике она часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому полезно знать и другие подстановки, которые в некоторых случаях удобнее чем подстановка (0). 5

26 ) Интеграл вида R(sin x) cos x с помощью подстановки sin x t, cos x приводится к виду R(t). ) Интеграл вида R(cos x) sin x с помощью подстановки cos x t, sin x приводится к виду R(t). Пример. sin 3 x cos + cos x x sin x + cos x t + t cos x t, t t + t t + 3 ln t + + C cos x 3) Интеграл вида с помощью подстановки приводится к виду sin x R(tg x) ( t + 3 t + ) cos x + 3 ln (cos x + ) + C. tg x t, x arctg t, + t R(t) + t. Пример. + tg x + t tg x t + t t ln t + C ln tg x + C. ) В случае интегралов вида R (sin x, cos x) применяется подстанока Тогда cos x tg x t, x arctg t, + t. + tg x + t, sin x tg x + tg x t + t. 6

27 Следовательно, R (sin x, cos x) ( ) t R + t, + t + t. Пример. sin x + 9 cos x 3 arctg t 3 + C 3 +t t + 9 +t +t arctg tg x 3 + C. t + 9 II. Интегралы вида sin m x cos n x, где m, n - целые числа. ) Одно из чисел m, n - нечётное. Тогда подынтегральное выражение можно свести к выражению, содержащему только sin x или только cos x следующим приёмом: sin m x cos n x sin k x cos n x sin x ( cos x) k cos n x d(cos x). Пример. sin 0 x cos 3 x sin 0 x cos x cos x sin 0 x ( sin x) d (sin x) (sin 0 x sin x) d (sin x) sin x sin3 x 3 + C. ) Числа m, n - положительные и чётные. Пусть m p, n q. Тогда ( ) p ( ) q cos x + cos x sin m x cos n x sin p x cos q x. Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие cos x в нечётных и в чётных степенях. Члены с нечётными степенями cos x интегрируем как в предыдущем случае, а к членам с чётными степенями cos x снова применим формулы cos + cos α α, sin cos α α. Продолжая таким образом, дойдём до членов вида cos kx, которые легко интегрируются. + cos x Пример. cos x sin ( cos x) x ( + cos x)( cos x + cos x) ( cos x cos x + cos 3 x) 8 8 7

28 8 8 cos x + 8 x 8 6 sin x + 6 sin x 6 sin3 x 3 ( sin d (sin x) x) + cos x 8 x 6 6 sin x + C 6 x 8 sin3 x sin x + C. 6 3) m, n - чётные числа, из которых хотя бы одно отрицательно. Применяется подстановка tg x t или ctg x t. Пример. sin x sin cos 6 x x (sin x + cos x) cos 6 x tg x t, x arctg t, + t t ( + t ) + t t ( + t ) (t + t ) tg x ( + tg x) t3 3 + t5 5 + C 3 tg3 x + 5 tg5 x + C. III. Интегралы вида cos mx cos nx, sin mx cos nx, sin mx sin nx легко берутся после применения к подынтегральным функциям следующих формул: cos mx cos nx [ cos (m + n)x + cos (m n)x ], sin mx cos nx [ sin (m + n)x + sin (m n)x ], sin mx sin nx [ cos (m + n)x + cos (m n)x ]. Пример. sin 5x sin 3x ( cos 8x + cos x) 6 sin 8x + sin x + C. Интегрирование выражений с гиперболическими функциями производится аналогично. При этом используются следующие формулы: ch x sh x, ch x (ch x + ), th x ch x, sh x ch x sh x, sh x (ch x ), cth x sh x. 8

29 . Подстановки Эйлера Интегралы вида I R (x, a x + b x + c), a 0 () приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью следующих подстановок, называемых постановками Эйлера. Случай. Если a > 0, a x + b x + c t + a x или a x + b x + c t a x () Рассмотрим, например, первый вариант. Будем иметь: a x + b x + c t + a x t + a x, откуда Следовательно, x t c b a t. a x + b x + c t + a (t c) b a t a t b t + c a, a t b t (b a t) + a (t c) (b ( a t b t + c a) a t) (b. a t) I ( t c R b a t, a t b t + c ) a a t b ( a t b t + c a) (b a t) R (t). Пример. x + x x +. x x + t x, x x + t t x + x, x t t, x + x x + t, (t t + ) ; (t ) t ( x + x x + t + t (t ) t 3 ) t + 3 (t ) ln t 3 (t ) 3 ln t + C ln x + x x + 3 ln x + x x + 3 (x + x x + ) + C. 9

30 Случай. Если c > 0, применяется подстановка a x + b x + c xt + c или a x + b x + c xt c (3) Пусть, например, применяется первая из них. Тогда a x + b x + c x t + c xt + c, ax + b x t + c t, x c t b R a t (t), R (t) R (t) ; a x + b x + c t R (t) + c R 3 (t). I R [ R (t), R 3 (t) ] R (t) R (t). Пример. x + x x +. x x + tx, x x + t x tx +, x t x t, x t t, x x + tx t t + ; t x + x x + t t, (t t + ) ; (t ) t x + x x + t + t t (t ) (t + ) t [ ] + t t (t )(t + ) t (t ) 3 (t + ) 3 (t + ) ln t ln t 3 3 ln t + + t + + C x x + + t x ln x x + + x ln x x + x + x 3 ln x x + + x + x + 3x x x + + x + + C ln x x + ln x x + x + 3 ln x x + + x + + 3x x x + + x + + C. 30

31 Случай 3. a x + b x + c a (x α)(x β), где α и β действительные числа (корни трёхчлена a x + b x + c ). Тогда применяется одна из подстановок a x + b x + c (x α) t или a x + b x + c (x β) t. () Пусть, например, применяется первая из подстановок (). Тогда a (x α)(x β) (x α) t, a (x β) (x α) t, I x α t a β a (β α) t, ; t a (t a) ( ) α t a β a (α β) t a x + b x + c α t ; t a t a [ ] α t α β a (α β) t a (β α) t R, R (t). t a t a (t a) Пример. (x ) (x + x) x + x. x + x x (x + ) (x 0)(x + ) ; x + x xt ; x + x x t, x + x t, x t, x t 3 t t (x ) 3 t t (x + x) x + x t 3 t ( 3t ) t, (t ) ; ( ) t 3 t t (t ) t + 3 t + C t + 3 t x +x + 3 x + C x + x x +x x x + x + C x + x + x + C. x + C 3

32 Замечание о "неберущихся"интегрлах На предыдущих лекциях мы рассмотрели интегралы от некоторых простейших классов функций. Почти во всех рассмотренных случаях было показано, что интегралы от таких функций существуют и выражаются через элементарные функции в конечном виде. Возникает вопрос: всегда ли это так, т.е. ) всякая ли функция имеет неопределенный интеграл и ) всякий такой интеграл, если он существует, является элементарной функцией? Ответ на первую часть вопроса частично даёт следующая теорема. Теорема Коши. Всякая непрерывная функция имеет первообразную. Доказательство этой теоремы, ввиду его сложности, опустим. Ответ на вторую часть вопроса отрицателен: существуют непрерывные функции, интегралы от которых не являются элементарными функциями, например, sin x cos x x, x, ln x, e x, k sin x, k sin x и другие. Каждый из этих интегралов (а точнее соответствующая первообразная) представляет собой новую функцию, которя не сводится к комбинации конечного числа операций над элементарными функциями. 3

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2 Разложение рациональных дробей на простейшие Лекция 1 n n1 Пусть Pn ( z) anz an 1z a0, an 0 многочлен степени n с комплексными в общем случае коэффициентами. Теорема 1. Всякий многочлен степени n можно

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома. Интегрирование иррациональностей

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ "Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина" МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Неопределенный интеграл Электронный учебно-методический комплекс для студентов физического факультета

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ ВЫСШАЯ

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование тригонометрических функций с помощью различных подстановок. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Лекция Неопределенный интеграл

Лекция Неопределенный интеграл Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

Лекция 22 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5)

Лекция 22 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5) Лекция ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5) Интегрирование некоторых иррациональных функций Квадратичные иррациональности Интеграл вида Выделение полного квадрата

Подробнее

«Неопределенный интеграл»

«Неопределенный интеграл» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МАХАЧКАЛИНСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧЕРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕСИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОГО АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II Т. В. Родина, Е. С. Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II для напр. «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф. И.Ю. Попова Санкт-Петербург 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

Глава 1. Неопределенный интеграл.

Глава 1. Неопределенный интеграл. Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Изучая дифференциальное исчисление, мы, в частности, рассматривали следующую задачу: на интервале числовой оси задана функция, надо

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов. Правильные рациональные дроби вида где Интегрирование простейших рациональных дробей. A a I A, k a kn, k II M N, p q0 pq III M N, p q0, k pq kn, k IV A, M, N, a, p, q R, называются простейшими рациональными

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ Интегралы. Часть. Основные приёмы интегрирования. Учебное

Подробнее

Неопределённый интеграл: таблица интегралов, линейная замена

Неопределённый интеграл: таблица интегралов, линейная замена Неопределённый интеграл: таблица интегралов, линейная замена Учебная презентация Е. А. Максименко Южный федеральный университет 3 февраля 2008 г. Е. А. Максименко (ЮФУ) Неопределённый интеграл 3 февраля

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Практическое пособие

Подробнее

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная. Основные определения Определение. Производной функции y = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения этой функции y в точке

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

1.6. Производная 6.1. Производная функции в точке. Нахождение, геометрический. = lim

1.6. Производная 6.1. Производная функции в точке. Нахождение, геометрический. = lim .6. Производная 6.. Производная функции в точке. Нахождение, геометрический смысл. ТЕОРИЯ Рассмотрим интервал (a, b) R, функцию f, заданную на (a, b), и точку x (a, b). Если существует предел f(x + h)

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) Операционное исчисление один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x ЛЕКЦИЯ N. Интегрирование тригонометрических функций и иррациональных выражений.. Интегрирование тригонометрических выражений.....интегрирование иррациональностей..... Интегрирование тригонометрических

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. http://www.tpu.ru/ Национальный исследовательский

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Как по данной функции fх найти такую функцию Fх, производная которой равна данной функции. Опр. Функция Fх называется первообразной от

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

dx sin m x cos n x dx bx+c

dx sin m x cos n x dx bx+c Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 2 семестр. В.С.Куликов, И.А.Джваршейшвили, М.А.Климова Оглавление I Неопределенный интеграл 9 Непосредственное

Подробнее

5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования.

5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования. 5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования. Актуальность темы Неопределенный интеграл одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Интегралы Определенные и Неопределенные

Интегралы Определенные и Неопределенные 1 Интегралы Определенные и Неопределенные Опр. Интеграл функции это естественный аналог суммы последовательности. Опр. Интегрирование процесс нахождения интеграла. Зам. Интегрирование это операция обратная

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Интегральное исчисление Составила: Миргородская Ирина

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию.....9 Предисловие к пятому изданию... 11 Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси...

Подробнее

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д.

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д. Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Методы вычисления определённых интегралов

Методы вычисления определённых интегралов Занятие 7 Методы вычисления определённых интегралов Понятие определенного интеграла f(x) функции y = f(x), определенной на отрезке [ ; b ], является одним из центральных в математическом анализе. Конструкция

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика» ИВ Дубограй, ЕВ Коломейкина, СИ Шишкина

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее