Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник"

Транскрипт

1 Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

2 Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области Университет «Дубна» Кафедра высшей математики Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Рекомендовано учебно-методическим советом университета «Дубна» в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлениям подготовки ИСАУ Дубна, 2016 г.

3 Оглавление 1 Матрицы Понятие матрицы Основные операции над матрицами и их свойства Равенство двух матриц Сумма матриц Умножение матрицы на число Разность матриц Транспонирование матриц Произведение матриц Некоторые типы матриц 17 2 Определители Определители второго порядка Определители третьего порядка Свойства определителей 21

4 2.4 Алгебраические дополнения и миноры 24 3 Обратная матрица Ранг матрицы Матричная запись систем уравнений

5 Понятие матрицы Основные операции над матрицами и их свойства Равенство двух матриц Сумма матриц Умножение матрицы на число Разность матриц Транспонирование матриц Произведение матриц Некоторые типы матриц 1 Матрицы 1.1 Понятие матрицы Определение 1.1 Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Определение 1.2 Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m n, матрица называется квадратной, а число m n - ее порядком. Для записи матрицы используются либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки: a 11 a a 1n a 11 a a 1n a 21 a a 2n или a 21 a a 2n (1.1 a m1 a m2... a mn a m1 a m2... a mn

6 6 Матрицы Для краткого обозначения матрицы используются либо одна большая латинская буква (например, A, либо символ a i j, а иногда и с разъяснением: A a i j (a i j (i 1,2,...,m; j 1,2,...,n. Определение 1.3 Числа a i j, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a i j первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j номер столбца. 1 я строка 2 я строка i я строка m я строка a 11 a a 1 j... a 1n a 21 a a 2 j... a 2n a i1 a i2... a i j... a in a m1 a m2... a m j... a mn 1 й столбец 2 й столбец j й столбец n й столбец В случае квадратной матрицы a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn вводятся понятия главной и побочной диагоналей. (1.2 Определение 1.4 Главной диагональю матрицы называется диагональ a 11 a 22...a nn, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол.

7 1.1 Понятие матрицы 7 Определение 1.5 Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ a n1 a (n 12...a 1n, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. Диагонали квадратной матрицы a a 1i... a 1n a i1... a ii... a in a n1... a ni... a nn Главная диагональ a a 1i... a 1n a i1... a ii... a in a n1... a ni... a nn Побочная диагональ Определение 1.6 Квадратная матрица, для которой a i j a ji, называется симметрической. ( Пример 1.1 Матрица A Матричные элементы: a 11 1, a 12 2, a 13 4, a 21 0, a 22 3, a матрица 2 3. Пример 1.2 Матрица A ( матрица 1 5. Матричные элементы: a 11 2, a 12 8, a 13 6, a 14 12, a В общем случае матрица 1 n называется матрицей строкой.

8 8 Матрицы 7 1 Пример 1.3 Матрица A 2 матрица Матричные элементы: a 11 7, a 21 1, a 31 2, a 41 1, a В общем случае матрица m 1 называется матрицей столбцом. ( 2 8 Пример 1.4 Матрица A 1 3 Матричные элементы: a 11 2, a 12 8, a 21 1, a квадратная матрица Основные операции над матрицами и их свойства Равенство двух матриц Определение 1.7 Две матрицы равны, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают. Пример 1.5 Матрицы ( A равны. ( и B 1 5 9

9 1.2 Основные операции над матрицами и их свойства 9 Пример 1.6 Матрицы ( A не равны: a 22 b Сумма матриц ( и B Определение 1.8 Суммой двух матриц A (a i j (i 1,2,...,m; j 1,2,...,n и B (b i j (i 1,2,...,m; j 1,2,...,n, одних и тех же порядков m и n называется матрица C (c i j (i 1,2,...,m; j 1,2,...,n тех же порядков m и n, элементы c i j которой равны c i j a i j + b i j, (i 1,2,...,m; j 1,2,...,n. (1.3 Для обозначения суммы двух матриц используется запись C A + B. Итак, по определению a 11 a a 1n b 11 b b 1n a 21 a a 2n b 21 b b 2n a m1 a m2... a mn b m1 b m2... b mn (a 11 + b 11 (a 12 + b (a 1n + b 1n (a 21 + b 21 (a 22 + b (a 2n + b 2n (a m1 + b m1 (a m2 + b m2... (a mn + b mn. (1.4 Из определения суммы матриц, а точнее из формулы, следует, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел: 1 переместительным свойством: А + В В + А, 2 сочетательным свойством: (А + В + С А + (В + С. Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

10 10 Матрицы ( ( Пример 1.7 A, B, ( ( C A + B ( ( 1 5 Пример 1.8 A, B, 2 6 ( ( C A + B Пример 1.9 A ( 1 2 3, B ( 0 3 4, C A + B ( ( Умножение матрицы на число Определение 1.9 Произведением матрицы A (a i j (i 1, 2,..., m; j 1,2,...,n на вещественное число α называется матрица C (c i j (i 1,2,...,m; j 1,2,...,n, элементы c i j которой равны c i j αa i j (i 1,2,...,m; j 1,2,...,n. (1.5 Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C αa или C Aα. Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами: 1 сочетательным свойством относительно числового множителя: (αβa α(βa; 2 распределительным свойством относительно суммы матриц: α(a + B αa + αb; 3 распределительным свойством относительно суммы чисел: (α + βa αa + βa. Пример 1.10 Пусть матрица A имеет вид A Тогда (

11 1.2 Основные операции над матрицами и их свойства 11 ( ( ( B 3 A ( ( Пример 1.11 Пусть матрица A имеет вид A, Тогда ( 2 ( B 2 A ( ( Пример 1.12 Для матриц A ( и B матрица C 2A + 3B равна ( 2 (1 + 3 ( 1 2 (2 + 3 ( 2 C 2A + 3B 2 ( (4 2 (0 + 3 (5 ( 1 2, а матрица D A ( + 2B: ( ( 2 D A + 2B ( (5 ( ( , Разность матриц Определение 1.10 Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков m и n назвается матрица C тех же порядков m и n, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется запись C A B. Разность C двух матриц A и B может быть получена также по правилу C A + ( 1B. Пример 1.13 Разность матриц A равна ( ( 5 4,B 2 3

12 12 Матрицы ( ( ( C A B ( Пример 1.14 Разность матриц A ( 1 2 3, B ( равна C A B ( ( Транспонирование матриц Определение 1.11 Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой образуется новая матрица, где строками служат столбцы исходной, записанные с сохранением порядка их следования. Матрица, получающаяся в результате транспонирования матрицы A, обозначается A T a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a m1 a m2 a m3... a mn или a T i j a ji. Пример 1.15 A ( T a 11 a a m1 a 12 a a m2 a 13 a a m a 1n a 2n... a mn ( 1 1, A T 2 3 Пример 1.16 A ( 1 1 4, A T Пример 1.17 A ,., AT (

13 1.2 Основные операции над матрицами и их свойства Пример 1.18 A 0 3 6, A T Произведение матриц Определение 1.12 Произведением матрицы A (a i j (i 1,2,..., m; j 1,2,...,n, имеющей порядки, соответственно равные m и n, на матрицу B (b i j (i 1,2,...,n; j 1,2,...,l, имеющую порядки, соответственно равные n и l, называется матрица C (c i j (i 1,2,...,m; j 1,2,...,l, имеющая порядки, соответственно равные m и l, и элементы c i j, определяемые формулой c i j n k1 a ik b k j, (i 1,2,...,m; j 1,2,...,l. (1.6 Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C A B. Из определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B: необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Оба произведения A B и B A можно определить лишь в том случае, когда число столбцов A совпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B. При этом обе матрицы A B и B A будут квадратными, но порядки их будут, вообще говоря, различными. Для того чтобы оба произведения A B и B A не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка. Правило умножения матриц: элемент c i j, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C A B, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B.

14 14 Матрицы B n l : nстрок,l столбцов Правило умножения матриц C A B b 11 b 1 j b 1l b k1 b k j b kl a 11 a 1k a 1n a i1 a ik a in a i1 b 1j a ik b kj b n1 b n j b nl a in b n j c 11 c 1 j c 1l c i1 c i j c il a m1 a mk a mn c m1 c m j c ml A m n : mстрок,nстолбцов C m l A m n B n l : m строк, l столбцов c i j n k1 a ik b k j a i1 b 1 j + a i2 b 2 j a ik b k j a n1 b n j Пример 1.19 Если размер матрицы A есть 2 2, а размер матрицы B есть 2 1, то размер матрицы C будет 2 1 ( a11 a C A B 12 a 21 a 22 ( b11 b 21 ( a11 b 11 + a 12 b 21 a 21 b 11 + a 22 b 21. Пример 1.20 Если размер матрицы A есть 1 2, а размер матрицы B есть 2 2, то размер матрицы C будет 1 2 C A B ( a 11 a 12 ( b 11 b 12 b 21 b 22 ( a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22. Пример 1.21 Если размер матрицы A есть 1 2, а размер матри-

15 1.2 Основные операции над матрицами и их свойства 15 цы B есть 2 1, то размер матрицы C будет 1 1 C A B ( a 11 a 12 ( b 11 b 21 ( a 11 b 11 + a 12 b 21. Пример 1.22 Если размер матрицы A есть 2 1, а размер матрицы B есть 1 2, то размер матрицы C будет 2 2 ( a11 ( C A B b11 b a ( a11 b 11 a 11 b 12. a 21 b 11 a 21 b 12 Пример 1.23 Если размер матрицы A есть 2 2, а размер матрицы B есть 2 2, то размер матрицы C будет 2 2 ( ( a11 a C A B 12 b11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 ( a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22. a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 Из определения произведения матриц непосредственно следуют свойства: 1 сочетательное свойство (ABC A(BC; 2 распределительное относительно суммы матриц: (A + BC AC + AB или A(B +C AB + AC; 3 произведение матриц некоммутативно, то есть в общем случае AB BA. Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы A на матрицу B имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и B одинакового порядка. ( 1 2 ( 1 2 Пример 1.24 A 3 4 C A B, B 1 3 ( ( ( (

16 16 Матрицы Пример 1.25 A 6 2 3, B A B ( 1 ( ( ( ( 2 ( ( ( ( ( ( ( A B Пример 1.26 A ( 1 2 3, B C A B ( (15 матрица 1 1. Пример 1.27 A ( , B 2, 4 1 ( D B A 2 ( ( матрица 3 3. ( ( Пример 1.28 A, B, C ( A 2 2 B 2 1 C 1 2 D , (A B C ( ( ( ( ( 3 ( ,

17 1.3 Некоторые типы матриц 17 A (B C ( ( ( ( ( ( , (A B C A (B C. 1.3 Некоторые типы матриц home Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диагональная матрица порядка n имеет вид D d d d n (1.7 где d 1,d 2,...,d n какие угодно числа. Если все эти числа равны между собой, т. е. d 1 d 2... d n, то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство AD DA. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами d 1 d 2... d n особо важную роль играют две матрицы. Единичная матрица. Первая из этих матриц получается при d 1 d 2... d n 1 и называется единичной матрицей n-го порядка. Она обозначается символом E E (1.8

18 18 Матрицы Единичная матрица удовлетворяет свойству AE EA A. Нулевая матрица. Вторая матрица получается при d 1 d 2... d n 0. Она называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом, O (1.9 и AO OA, AO OA O, A + O O + A A. Понятие нулевой матрицы можно вводить и для не квадратных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю.

19 Определители второго порядка Определители третьего порядка Свойства определителей Алгебраические дополнения и миноры 2 Определители 2.1 Определители второго порядка home Рассмотрим квадратную матрицу 2 2 ( a11 a 12. (2.1 a 21 a 22 Определение 2.1 Определителем второго порядка, соответствующим матрице (2.1, называется число, равное a 11 a 22 a 12 a 21 и обозначается как a 11 a 12 a 21 a 22. Таким образом, по определению a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21. (2.2

20 20 Определители Элементы, составляющие матрицу данного определителя, называются элементами этого определителя. Покажем, что для того, чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или столбцов были пропорциональны. Действительно, каждая из пропорций a 11 /a 21 a 12 /a 22 и a 11 /a 12 a 21 /a 22 эквивалентна равенству a 11 a 22 a 12 a 21 0, а последнее равенство в силу (2.1 эквивалентно обращению в нуль определителя. 2.2 Определители третьего порядка Home Рассмотрим квадратную матрицу 3 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33. (2.3 Определение 2.2 Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (2.3, называется число, равное a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (2.4 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. (2.5 Оно обозначаемое символом a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33. (2.6 Итак, по определению a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.

21 2.3 Свойства определителей 21 Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (2.3 будем называть элементами самого определителя. Диагональ, образованная элементами a 11,a 22,a 33, является главной диагональю, а элементами a 13,a 22,a 31 побочной. Для запоминания слагаемых, входящих в выражение для определителя, существует правило (правило треугольника. Первые три слагаемых, стоящих в (2.5 со знаком плюс, представляют собой произведение элементов, взятых по три так, как указано на схеме. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 Последние три слагаемых, стоящих в (2.5 со знаком минус, представляют собой произведение элементов, взятых по три так, как указано на схеме. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a Свойства определителей home Рассмотрим некоторые важные свойства определителей. Мы будем формулировать и устанавливать их применительно к определителям третьего порядка, хотя, естественно, они справедливы и для определителей второго порядка. Свойство 2.1 Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять местами, т.е. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 22 a 33. (2.7

22 22 Определители Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители по правилу треугольника и убедиться в равенстве полученных выражений. Это свойство устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Свойство 2.2 Перестановка двух строк (или столбцов определителя равносильна умножению его на число 1. Доказательство также получается из правила треугольника. Рассмотрим определитель a 11 a 12 a 13 A a 21 a 22 a 23 (2.8 a 31 a 32 a 33 и определитель, полученный из A перестановкой двух столбцов a 12 a 11 a 13 B a 22 a 21 a 23 a 32 a 31 a 33. (2.9 Вычисляя их по правилу треугольника, находим, что A a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32. B a 11 a 23 a 32 + a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32. Сравнивая их, получаем A B. Аналогично рассматривается любая перестановка двух строк (столбцов. Свойство 2.3 Если определитель имеет две одинаковых строки (два одинаковых столбца, то он равен нулю. При перестановке двух одинаковых строк (столбцов, с одной стороны, определитель меняет знак (свойство 2, а с другой стороны, не изменяется, т.е. и 2 0, или 0. Свойство 2.4 Умножение всех элементов некоторой строки (столбца определителя на число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

23 2.3 Свойства определителей 23 Математически это свойство записывается как λa 11 λa 12 λa 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 λ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (2.10 и означает, что общий множитель всех элементов некоторой строки (некоторого столбца можно выносить за знак этого определителя. Для доказательства заметим, что определитель выражается в виде суммы, каждый член которой содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого столбца. Свойство 2.5 Если все элементы некоторой строки (некоторого столбца определителя равны нулю, то определитель равен нулю. Свойство вытекает из предыдущего, если λ 0. Свойство 2.6 Если элементы двух строк (или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. В силу свойства 2.4 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю. Свойство 2.7 Если каждый элемент n-й строки (n-го столбца определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых имеет в n-й строке (n-м столбце первые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках (столбцах, а второй определитель имеет в n-й строке (n-м столбце вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках (столбцах.

24 24 Определители a 12 + a 11 a 12 + a 12 a 13 + a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 12 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 + a 12 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33. (2.11 Для доказательства достаточно заметить, что определитель выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого столбца. Свойство 2.8 Если к элементам некоторой строки (некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится. В силу свойства 2.7 определитель можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю вследствие пропорциональности строк (или столбцов и свойства Алгебраические дополнения и миноры Рассмотрим определитель третьего порядка a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31. (2.12 Соберем в этом выражении члены, содержащие какой-нибудь один элемент этого определителя, и вынесем указанный элемент

25 2.4 Алгебраические дополнения и миноры 25 за скобки a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 + a 12 (a 23 a 31 a 21 a 33 + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 (2.13 Величина, остающаяся при этом в скобках, называется алгебраическим дополнением указанного элемента. Алгебраическое дополнение данного элемента будем обозначать большой латинской буквой того же наименования, что и данный элемент, и снабжать тем же номером, который имеет данный элемент. Например, алгебраическое дополнение элемента a 11 будем обозначать через A 11, алгебраическое дополнение элемента a 12 через A 12 и т. д. Непосредственно из выражения для определителя (2.12 и из того, что каждое слагаемое в правой части (2.12 содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого столбца, вытекают следующие равенства: a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13, (2.14 a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23, (2.15 a 31 A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33, (2.16 a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31, (2.17 a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32, (2.18 a 13 A 13 + a 23 A 23 + a 33 A 33. (2.19 Эти равенства выражают следующее свойство определителя: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца. Равенства (2.14 (2.16 принято называть разложением определителя по элементам соответственно первой, второй или третьей строки, а равенства (2.17 (2.19 разложением определителя по элементам соответственно первого, второго или третьего столбца. Введем важное понятие минора данного элемента определителя.

26 26 Определители Определение 2.3 Минором данного элемента определителя n-го порядка называется определитель (n 1-го порядка, получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор элемента a i j будем обозначать символом M i j. В этом обозначении первый индекс обозначает номер строки, второй номер столбца. Например, M 11 a 22 a 23 a 32 a 33, M 12 a 21 a 23 a 31 a 33, M 13 a 21 a 22 a 31 a 32. (2.20 Алгебраические дополнения и миноры связаны между собой по следующему правилу: алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца (i + j, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное, и со знаком минус в противном случае. Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор могут отличаться только знаком. Следующая таблица дает наглядное представление о том, каким знаком связаны соответствующие алгебраическое дополнение и минор Установленное правило позволяет в формулах (2.14 (2.19 разложения определителя по элементам строк и столбцов всюду вместо алгебраических дополнений писать соответствующие миноры с нужным знаком. Так, например, формула (2.14, дающая разложение определителя по элементам первой строки,

27 2.4 Алгебраические дополнения и миноры 27 принимает вид a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32.(2.21 Рассмотрим теперь следующее фундаментальное свойство определителя. Свойство 2.9 Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого столбца равна величине этого определителя (равна нулю. Естественно, аналогичное свойство справедливо и применительно к строкам определителя. Случай, когда алгебраические дополнения и элементы отвечают одному и тому же столбцу, уже рассмотрен выше. Остается доказать, что сумма произведений элементов какоголибо столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю. Докажем, например, что сумма произведений элементов первого или второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю. Будем исходить из формулы (2.19, дающей разложение определителя по элементам третьего столбца: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 13A 13 + a 23 A 23 + a 33 A 33. (2.22 Так как алгебраические дополнения A 13, A 23 и A 33 элементов третьего столбца не зависят от самих элементов a 13, a 23 и a 33 этого столбца, то в равенстве (2.22 числа a 13, a 23 и a 33 можно заменить произвольными числами b 13, b 23 и b 33, сохраняя при этом в левой части (2.22 первые два столбца определителя, а в правой части величины A 13, A 23 и A 33 алгебраических дополнений.

28 28 Определители Таким образом, при любых b 13, b 23 и b 33 справедливо равенство a 11 a 12 b 13 a 21 a 22 b 23 a 31 a 32 b 33 b 13A 13 + b 23 A 23 + b 33 A 33. (2.23 Беря теперь в равенстве (2.23 в качестве b 13, b 23 и b 33 сначала элементы a 11, a 21 и a 31 первого столбца, а затем элементы a 12, a 22 и a 32 второго столбца и учитывая, что определитель с двумя совпадающими столбцами равен нулю, мы придем к следующим равенствам: a 11 A 13 + a 21 A 23 + a 31 A 33 0, (2.24 a 12 A 13 + a 22 A 23 + a 32 A (2.25 Тем самым доказано, что сумма произведений элементов первого или второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю. Аналогично доказываются равенства и для других столбцов, и соответствующие равенства, относящиеся к строкам.

29 3 Обратная матрица Определение 3.1 Алгебраическим дополнением для минора M i j называется число A i j ( 1 i+ j M i j. В частности, алгебраическим дополнением A i j элемента a i j будет число A i j ( 1 i+ j M i j. Определение 3.2 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной, если ее определитель не равен нулю. Для матрицы A определим обратную ей матрицу B так, чтобы произведения AB и BA были равны единичной матрице E n (3.1

30 30 Обратная матрица Индекс n указывает на размерность матрицы. Так как единичные матрицы (разных размерностей являются квадратными, то понятие обратной матрицы определяется только для квадратных матриц. В силу некоммутативности умножения матриц введем понятие левой и правой обратных матрицах для данной матрицы A. Определение 3.3 Квадратная матрица B порядка n называется правой обратной для матрицы A, если AB E n, а C левой обратной для A, если CA E n. Из этого определения и свойств определителей следует, что только невырожденные матрицы могут иметь обратные, а также понятно, что обратная матрица для данной также является невырожденной. Теорема 3.1 Любая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную. При этом для данной матрицы ее левая и правая обратные матрицы равны. Доказательство. Пусть дана квадратная невырожденная матрица n-го порядка a 11 a a 1n A a 21 a a 2n (3.2 a n1 a n2... a nn Обозначим через определитель этой матрицы. Матрица A 11 A A n1 A A 12 A A n , (3.3 A 1n A 2n... A nn составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы A, причем алгебраические дополнения к элементам i-й строки

31 матрицы A расположены на местах с такими же номерами i-го столбца матрицы A, называется присоединенной матрицей к матрице A. Рассмотрим элементы произведения AA. Его диагональный элемент имеет вид: a i1 A i1 + a i2 A i a in A in, (1 i n. (3.4 Каждая такая сумма есть не что иное, как разложение определителя матрицы A по i-й строке, следовательно, a i1 A i1 + a i2 A i a in A in для всех i 1,2,...,n. (3.5 Все элементы матрицы AA, расположенные вне главной диагонали, имеют вид 31 a i1 A k1 + a i2 A k a in A kn, (i k (3.6 и, по свойству определителей, равны нулю. Таким образом, AA ( Аналогичные рассуждения приводят к равенству A A ( Так как по условию теоремы матрица A невырожденная, то из (3.7 и (3.8 получаем ( ( A A A A E n. (3.9

32 32 Обратная матрица Из полученных равенств следует, что матрица B 1 A по определению является одновременно правой и левой обратной для матрицы A. Таким образом, существование обратной матрицы для всякой невырожденной матрицы доказано. Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что для матрицы A существуют две обратные: B и C, т.е. верны равенства AB BA E, AC CA E. Тогда, используя ассоциативность произведения матриц, получаем: CAB (CAB EB B, CAB C(AB CE C. Поэтому C B, и теорема доказана. Для данной невырожденной матрицы A ее обратную будем обозначать A 1. Из доказательства теоремы получаем ее вид: A 11 A 21 A n1... A 1 A 12 A 22 A n2.... ( A 1n A 2n A nn... Выше отмечалось, что операция деления для матриц не определена, но в некоторых случаях имеет смысл говорить о делении матриц. Так, например, если A и B квадратные матрицы n-го порядка, причем A невырожденная, а B произвольная, можно выполнить правое и левое деления B на A, т.е. решить матричные уравнения AX B, YA B. (3.11

33 Умножим на A 1 обе части первого уравнения слева, а второго справа, воспользуемся ассоциативностью произведения матриц и получим Окончательно имеем 33 (A 1 AX A 1 B, Y (AA 1 BA 1. (3.12 X A 1 B, Y BA 1. (3.13 Причем эти решения уравнений (3.11 будут, ввиду некоммутативности умножения матриц, в общем случае различными. Свойства обратной матрицы: Свойство 3.1 det ( A 1 1 deta. Свойство 3.2 (A B 1 B 1 A 1. Свойство 3.3 (A 1 T (A T 1. Пример 3.1 Найти обратную матрицу к матрице ( 5 3 A. 1 2 Решение. Формула обратной матрицы для матрицы 2 2 имеет вид A 1 1 ( A11 A 21. A 12 A 22 Находим детерминант матрицы deta Обратная матрица существует. Алгебраические дополнения. A 11 ( ( 2 2, A 12 ( (1 1, A 21 ( (3 3, A 22 ( (5 5.

34 34 Обратная матрица Обратная матрица к матрице A имеет вид: A 1 1 ( Пример 3.2 Найти обратную матрицу к матрице A Решение. Формула обратной матрицы для матрицы 3 3 имеет вид A 1 1 A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32. A 13 A 23 A 33 Находим детерминант матрицы А deta Значит, обратная матрица существует. A 11 ( A 12 ( ( A 13 ( A 21 ( ( A 22 ( A 23 ( ( A 31 ( A 32 ( ( A 33 (

35 Обратная матрица к матрице A имеет вид A Пример 3.3 Рассмотрим матрицы A 3 9 4, B Тогда A , B A B ,(A B B 1 A Таким образом (A B 1 B 1 A 1. A , (A 1 T A T 7 9 5, (A T то есть (A 1 T (A T Заметим также, что deta 3, det(a Это означает, что det(a 1 1 deta. Пример , ,,, 35 Найти матрицу обратную данной ( cosϕ sinϕ O. (3.14 sinϕ cosϕ

36 36 Обратная матрица Решение. Во-первых, проверим, что данная матрица невырожденная. cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ cos2 ϕ + sin 2 ϕ 1 0. (3.15 Значит обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения. A 11 cosϕ, A 12 sinϕ, Обратная матрица имеет вид ( O 1 cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ A 21 sinϕ,. (3.16 A 22 cosϕ,. (3.17 Матрица O называется матрицей вращений на угол ϕ. Она обладает следующим свойством ( ( cos( ϕ sin( ϕ cosϕ sinϕ O( ϕ O 1 (3.18. sin( ϕ cos( ϕ sinϕ cosϕ Это означает, что O 1 - это матрица поворотов на угол ϕ. Пример 3.5 Найти матрицу обратную данной ( 1 2 A. ( Решение. Детерминант матрицы A равен Значит обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения. A 11 4, A 21 2, A 12 3, A Обратная матрица имеет вид O 1 1 ( ( (3.20. (3.21

37 Нахождение обратной матрицы метод элементарных преобразований. Мы рассмотрели способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует метод нахождения обратных матриц с использованием элементарных преобразований (метод Гаусса и Гаусса-Жордана. Для применения этого метода записывают заданную матрицу A и единичную матрицу E в одну матрицу вида (A E (расширенная матрица. Затем с помощью элементарных преобразований, выполняемых со строками расширенной матрицы, добиваются того, чтобы матрица слева от черты стала единичной матрицей. При этом расширенная матрица примет вид (E A 1. Пример 3.6 Найти матрицу A 1, если A Решение. Расширенная матрица, имеет вид Для применения метода Гаусса удобно, когда первым элементом первой строки расширенной матрицы является единица. Чтобы добиться этого, поменяем местами первую и третью строки расширенной матрицы, которая запишется так Прямой ход метода Гаусса. С помощью первой строки обнуляем элементы первого столбца, расположенные под первой строкой.

38 38 Обратная матрица С помощью второй строки обнуляем элемент второго столбца, расположенный под второй строкой Разделим третью строку на /2 7/2 11/2 Обратный ход метода Гаусса. С помощью третьей строки обнуляем элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой /2 21/2 31/ /2 7/2 7/ /2 7/2 11/2. Разделим вторую строку на /2 21/2 31/ /2 1/2 1/ /2 7/2 11/2 С помощью второй строки обнуляем элементы второго столбца, расположенные над второй строкой /2 17/2 27/ /2 1/2 1/ /2 7/2 11/2 Обратная матрица имеет вид A (

39 4 Ранг матрицы home Рассмотрим матрицу A размера m n. A a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn. (4.1 Выделим в ней k строк и k столбцов (k min(m,n. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице A выделен минор 2-го порядка. A a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a a a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn

40 40 Ранг матрицы Определение 4.1 Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Ранг матрицы обозначается как r, r(a или rang A. Определение 4.2 Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным минором. У матрицы может быть несколько базисных миноров. Пример 4.1 Найти ранг матрицы: A Решение. Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля Значит, r(a 2. Рассмотренный минор является базисным. Для вычисления ранга матрицы используются элементарные преобразования матриц. Определение 4.3 Элементарными преобразованиями матриц являются: перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; умножение всех элементов ряда матрицы на число отличное от нуля; прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.. Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

41 Записывается как A B. При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической. Пример каноническая матрица. 41 Пример 4.3 Привести к каноническому виду матрицу Решение. Выполняя элементарные преобразования, получаем Свойства ранга матрицы:

42 42 Ранг матрицы При транспонировании матрицы ее ранг не меня- Свойство 4.1 ется. Свойство 4.2 Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится. Свойство 4.3 Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы. Вывод. Пусть дана матрица A размеров m n. Для нахождения ранга матрицы следует: По возможности уменьшить числа матрицы элементарными преобразованиями. Привести матрицу к ступенчатому виду. В полученной матрице вычислить количество ненулевых строк. Это число равно рангу матрицы A. Пример 4.4 Найти ранг матрицы A (4.2 Решение. Над матрицей A совершим элементарные преобразования. К второй строке прибавим первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 1. К четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на 3.

43 Последние три строки пропорциональны. Удалим третью и четвертую строки. ( Первую и вторую строки поменяем местами. ( Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. ( ( В приведённой к ступенчатому виду матрице две строки и угловой минор отличен от нуля. Ответ: Ранг матрицы равен 2: r(a 2. Пример 4.5 Найти ранг матрицы A

44 44 Ранг матрицы Решение. Удалим из матрицы пятый нулевой столбец. Следствие: ранг матрицы не больше четырёх. Первую строку умножим на 1. Ко всем строкам, начиная со второй, прибавим первую строку Первую строку умножим на 1. Третью строку разделим на 2. К пятой строке прибавим вторую строку, умноженную на К пятой строке прибавим третью строку, умноженную на Последние две строки пропорциональны. Следовательно, можем удалить пятую строку В приведённой к ступенчатому виду матрице четыре строки. Ответ: Ранг матрицы равен 4: r(a 4.

45 5 Матричная запись систем уравнений Определение 5.1 Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных (система уравнений m n, называется система следующего вида: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2, ( a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m, где x 1,x 2,...,x n неизвестные переменные, a i j коэффициенты при неизвестных, b 1,b 2,...,b m свободные члены системы. Часто бывает целесообразно заменить систему линейных уравнений (5.1 эквивалентным матричным уравнением. Для этого

46 46 Матричная запись систем уравнений введем матрицы: A a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn, X x 1 x 2... x n, B b 1 b 2... b m. (5.2 Определение 5.2 Матрица A, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется основной матрицей системы. Матрица столбец X, составленная из неизвестных системы, называется столбцом неизвестных. Матрица столбец B, составленная из свободных членов системы, называется столбцом свободных членов системы. Запишем матричное уравнение: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x n b 1 b 2... b m. (5.3 Используя правила умножения и сравнения матриц, нетрудно получить из матричного уравнения (5.3 систему линейных уравнений (5.1. Пример 5.1 Система { x1 4x 2 5, 2x 1 + x 2 8 (5.4 в матричной форме имеет вид ( ( x1 x 2 ( 5 8. (5.5

47 Пример 5.2 Система { x1 4x 2 + 5x 3 5, 2x 1 + x 2 9x (5.6 в матричной форме имеет вид ( x 1 x 2 x 3 ( 5 8. (5.7 Пример 5.3 Система x 1 4x 2 5, 2x 1 + x 2 8, x 1 + 3x 2 15 (5.8 в матричной форме имеет вид ( x1 x (5.9 Решая матричное уравнение (5.3, мы тем самым решаем систему (5.1. Cистема линейных уравнений n n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2,... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n b n. (5.10 называется квадратной. Квадратные системы, в которых основная матрица является невырожденной (определитель матрицы A не равен нулю, играют особую роль в математике: имеется метод решения квадратных систем с невырожденной основной матрицей.

48 48 Матричная запись систем уравнений Список рекомендуемой литературы 1. Ильин, В. А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Москва : Физматлит, Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. Москва : Физматлит, Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1 / Д.Т. Письменный. Москва : Айрис-Пресс, Просветов, Г. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: задачи и решения / Г.И. Просветов. Москва : Альфа-Пресс, Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Москва : Высшая школа, Лизунова, Н. А. Матрицы и системы линейных уравнений. Руководство к решению задач / Н.А. Лизунова, С.П. Шкроба. Москва : Физматлит, 2007.

49 49 Аннотация Учебно-методическое пособие содержит один из важных разделов курса линейной алгебры и аналитической геометрии?матрицы. Определители?. Содержание учебного материала данного пособия соответствует федеральному государственному образовательному стандарту и рабочей программе по линейной алгебры и аналитической геометрии. Рассматриваются основные понятия, общие приёмы и методы работы с матрицами и вычисления определителей различных порядков. Приводится большое число задач. В каждом разделе приводится необходимый теоретический материал, и разбираются типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории. Пособие предназначено для студентов 1-го курса различных направлений и специальностей, которым требуется глубокое изучение курса линейной алгебры, и может помочь активному усвоению студентами данного курса.

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Ю. Л. Калиновский

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Ю. Л. Калиновский Линейная алгебра и аналитическая геометрия Ю. Л. Калиновский Справочные материалы Греческий алфавит Название Прописная Заглавная Название Прописная Заглавная Alpha α A Nu ν N Beta β В Xi ξ Ξ Gamma γ Г

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

УДК ББК Г27

УДК ББК Г27 УДК 512.64+514.12 ББК 22.143+22.151.5 Г27 Геворк я н П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 208 с. ISBN 978-5-9221-0860-7. Данная книга вместе с двумя

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Т.И. Некипелова ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица Матрицы и определители.. Матрицы и операции над ними. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица K A K m K m K K K n состоящая

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Линейная алгебра 12(6) 18(9)

Линейная алгебра 12(6) 18(9) Линейная алгебра Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. E-mail: vachurikov@list.ru. 1 Линейная

Подробнее

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Общие сведения Действия над матрицами Определитель квадратной матрицы 4 Основные свойства определителей 5 Обратная матрица 6 Виды матриц 9 Ранг матрицы Метод окаймляющего

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Шаги решения задачи с использованием математики:.

Подробнее

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1.

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1. Лекция II II.1. Определитель матрицы С каждой квадратной матрицей A можно связать некоторое число, называемое её определителем или детерминантом (обозначается deta или A ). Определителем (или детерминантом)

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 3-4 лекции лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

Рис Ввод матриц на рабочий лист

Рис Ввод матриц на рабочий лист МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 11 Умножение матриц 12 Транспонирование матриц 13 Обратная матрица 14 Сложение матриц 15 Вычисление определителей Обратите внимание на особенность

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................................... 3 Глава1 Элементы линейной алгебры............................ 5 1.1. Матрицы и определители........................... 5 1.2. Линейные пространства............................

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее