Численные методы Тема 2. Интерполяция

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Численные методы Тема 2. Интерполяция"

Транскрипт

1 Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней Наибольшее значение в вычислительной математике имеет задача построения способов интерполяции функций Иногда возникает задача приближенной замены или аппроксимации некоторой функции другими функциями, которые легче вычислить Кроме того, на практике случайные ошибки в значениях функции сильно искажают интерполяционные полиномы высоких степеней, поэтому при наличии случайных ошибок часто предпочитают применять сглаживающую апроксимацию такими многочленами или рациональными дробями, которые минимизируют какой-либо критерий близости, например, взвешенную среднеквадратическю ошибку аппроксимации Заметим, что разложение в ряд Тейлора аппроксимирует аналитическую функцию только в непосредственной близости от одной выбранной точки и потому редко применяется Задача интерполяции возникает, например, в случае, когда известны результаты измерений y k = y(x k ) некоторой физической величины y(x) в точках x k, k = 0, 1,, n и требуется определить ее значения в других точках К интерполяции приходится иногда прибегать и в том случае, когда для функции y(x) известно и аналитическое представление, с помощью которого можно вычислять ее значения для любого значения x из области ее определения, но вычисление каждого значения сопряжено с большим объемом вычислений Для уменьшения объема вычислений вычисляют несколько значений y(x) и по ним вычисляют приближенные значения в остальных точках Интерполяционная формула сопоставляет с функцией y(x) функцию известного класса Y (x) Y (x; α 0, α 1,, α n ), зависящую от n + 1 параметров α j, выбранных так, чтобы значения значения Y (x) совпадали со значениями y(x) для данного множества значений аргумента {x k } узлов интерполяции: Y (x k ) = y(x x ) = y k Пусть на отрезке [a, b] задана система функций {ϕ k (x)} n k=0 и введена сетка {x k} n k=0 линейную комбинацию ϕ(x) = c 0 ϕ 0 (x) + c 1 ϕ 1 (x) + + c n ϕ n (x) [a, b] Образуем с действительными коэффициентами c 0, c 1,, c n Задача интерполирования функции f(x) системой {ϕ k (x)} n k=0 на сетке {x i } n i=0 [a, b] состоит в нахождении коэффициентов, для которых ϕ(x i ) = f(x i ), i = 0, 1,, n Интерполяция полиномами частный случай рассмотренной задачи Запишем условие равенства более подробно: c 0 ϕ 0 (x 0 ) + c 1 ϕ 1 (x 0 ) + + c n ϕ n (x 0 ) = f(x 0 ), c 0 ϕ 0 (x 1 ) + c 1 ϕ 1 (x 1 ) + + c n ϕ n (x 1 ) = f(x 1 ), c 0 ϕ 0 (x n ) + c 1 ϕ 1 (x n ) + + c n ϕ n (x n ) = f(x n ) 1

2 2 Интерполяционная формула Лагранжа Чтобы эта система имела единственное решение относительно коэффициентов {c k }, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы ϕ 0 (x 0 ) ϕ 1 (x 0 ) ϕ n (x 0 ) ϕ 0 (x 1 ) ϕ 1 (x 1 ) ϕ n (x 1 ) A = ϕ 0 (x n ) ϕ 1 (x n ) ϕ n (x n ) был отличен от нуля Более того, поскольку узлы {x i } расположены произвольно, необходимо потребовать det A 0 для любой интерполяционной сетки Система функций {ϕ k (x)} n k=0 называется системой Чебышёва на [a, b], если определитель det A 0 при любом расположении несовпадающих узлов {x i } n i=0 [a, b] Функция ϕ(x) называется обобщенным интерполяционным полиномом по системе {x i } n i=0 Например, система алгебраических многочленов ϕ k (x) = x k является чебышёвской системой на любом отрезке [a, b] 2 Интерполяционная формула Лагранжа Среди всех методов интерполяции особое место занимает интерполяция полиномами (многочленами) Это связано со следующими обстоятельствами: 1 Полиномы легко вычислять 2 Множество полиномов плотно в пространстве непрерывных функций (аппроксимационная теорема Вейерштрасса), то есть любую непрерывную функцию можно сколь угодно точно приблизить полиномами Теорема 21 (Вейерштрасс) Для любой непрерывной на отрезке [a, b] функции f и для любого ε > 0 существует такое n N и такой полином p n (x) степени n, что равномерная норма (норма Чебышёва) меньше ε: f p n C[a,b] = max f(x) p n(x) < ε x [a,b] Пусть на отрезке [a, b] заданы несовпадающие точки x k, k = 0, 1,, n в которых известны значения функции f(x) Тогда задача интерполяции алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен L n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n степени n, значения которого в заданных точках x k совпадают со значениями функции f в этих точках Многочлен L n (x) в этом случае назвается интерполяционным многочленом Для любой непрерывной функции f(x) эта задача имеет единственное решение Его можно записать в различных формах, наиболее употребимыми из которых являются формы Лагранжа и Ньютона Интерполяционная формула Лагранжа представляет собой многочлен в виде комбинации L n (x) = n c k (x)f(x k ) k=0 значений функции f(x) в узлах интерполирования L n (x) называют интерполяционным полиномом Лагранжа Найдем выражение для коэффициентов c k (x) Из условий интерполирования значит n c k (x i )f(x k ) = f(x i ), k=0 c k (x i ) = { 0, i k, 1, i = k, i = 0, 1,, n, то есть каждая из функций c k (x) имеет не меньше n нулей на отрезке [a, b] Будем искать их в виде многочленов степени n, а именно в виде c k (x) = λ k (x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) 2

3 3 Интерполяционная формула Ньютона 1 (x 0, x 1 ) x 1 2 (x 0, x 1, x 2 ) 1 (x 1, x 2 ) 3 (x 0, x 1, x 2, x 3 ) x 2 2 (x 1, x 2, x 3 ) 1 (x 2, x 3 ) 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 3 2 (x 2, x 3, x 4 ) Таблица 1 Вычисление разделенных разностей Из условия c k (x k ) = 1 находим λ k = 1 (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ) Для краткости обозначим f(x k ) через f k Итак, коэффициенты вычисляются по формуле: c k (x) = = (x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ) = = i k (x x i) i k (x k x i ) а интерполяционный многочлен принимает вид: L n (x) = n x x i f k x k x i k=0 При n = 1 получаем формулу для линейной интерполяции: i k L 1 (x) = x x 1 x 0 x 1 f(x 0 ) + x x 0 x 1 x 0 f(x 1 ) = f 1 f 0 x 1 x 0 (x x 0 ), по которой приближенные значения считаются лежащими на отрезке, соединяющем два соседних узла 3 Интерполяционная формула Ньютона Интерполяционный полином степени n, проходящий через заданные n + 1 точку единственен Однако, запись его в форме Лагранжа для некоторых задач может оказаться неудобной, так как для заданного набора интерполяционных узлов все лагранжевы полиномы имеют одну и ту же степень n В частности, при добавлении нового интерполяционного узла нельзя воспользоваться полученными ранее полиномами, и для более высокой степени их приходится строить заново Разделенной разностью назовем величину, определяюмую рекуррентными соотношениями: 1 (x 0, x 1 ) f 1 f 0 x 1 x 0, k (x 0, x 1,, x k ) k 1(x 1, x 2,, x k ) k 1 (x 0, x 1,, x k 1 ) x k x 0 Нетрудно видеть, что разделенные разности имеют размерности соответствующих производных В таблице 1 показан процесс вычисления разделенных разностей для нескольких первых порядков Интерполяционным полиномом Ньютона называется многочлен вида P n (x) = f 0 + (x x 0 ) 1 (x 0, x 1 )+ + (x x 0 )(x x 1 ) 2 (x 0, x 1, x 2 ) (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) n (x 0, x 1,, x n ) Покажем, что он решает задачу интерполяции Для этого рассмотрим разделенные разности некоторого интерполяционного полинома P n (x), в которых в качестве первых аргументов выступает сама переменная x, 3

4 4 Погрешность интерполяции а остальными являются точки интерполяции Степень этого полинома равна n Разность P n (x) P n (x 0 ) = P n (x) f 0 обращается в ноль в точке x 0 и, следовательно, делится на x x 0 Итак, разделенная разность δ 1 (x 0, x) = P n(x) f 0 x x 0, является полиномом степени n 1 Аналогично, вторая разность δ 2 (x 0, x 1, x) = δ1(x1,x) δ1(x0,x1) x x 1 полином по x степени n 2 и так далее до разности p 01n (x), которая уже не зависит от x и является константой Разности более высокого порядка будут равны нулю Таким образом, «разворачивая» выражения начиная с первого, получаем P n (x) = f 0 + (x x 0 )δ 1 (x 0, x) = = f 0 + (x x 0 ) (δ 1 (x 0, x 1 ) (x x 1 )δ 2 (x 0, x 1, x)) = = = f 0 + (x x 0 )δ 1 (x 0, x 1 ) (x x 0 )(x x 1 ) (x x n )δ n (x 0, x 1,, x n ) Учитывая, что значения многочлена по условию совпадают в узлах интерполяции со значениями функции, а значит δ k = k В итоге получили форму Ньютона для интерполяционного полинома Интерполяционную формулу Ньютона удобнее применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция, но число узлов интерполяции постепенно увеличивается Если узлы интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа 4 Погрешность интерполяции Заменяя функцию f(x) интерполяционным многочленом L n (x) мы допускаем погрешность r n (x) = f(x) L n (x), которая называется погрешностью интерполяции Очевидно, что в интерполяционных узлах она равна нулю Если не накладывать на функцию никаких ограничений, но сказать определенного ничего нельзя, но при достаточной гладкости функции можно получить некоторые оценки погрешности Пусть f непрерывная на [a, b] функция и L n интерполяционный полином, удовлетворяющие одному и тому же множеству из n + 1 интерполяционного узла {x i }, тогда для любой точки x [a, b] существует такая точка ξ(x), что r n (x) = f (n+1) (ξ(x)) N n+1 (x), (n + 1)! где N n+1 (x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) При произвольном расположении узлов оценить N n+1 (x) довольно сложно Для равномерной сетки ситуация выглядит проще Проведем грубую оценку Пусть x [x k 1, x k ], тогда x 0 x kh, x 1 x (k 1)h,, x k 1 x h, x k x h, x k+1 x 2h,, x n x (n k + 1)h, откуда получаем N n+1 h n+1 k!(n k + 1)! Отсюда r n f (n+1) k!(n k + 1)! h n+1, (n + 1)! }{{} 1/C k n+1 то есть f L n = O(h n+1 ) Говорят, что интерполяционный многочлен L n имеет погрешность O(h n+1 ) Поскольку полиномы Лагранжа и Ньютона отличаются только формой записи, полученный оценки верны для них обоих Заметим, что можно подобрать узлы так, чтобы величина max N n+1 (x) была меньше чем у любого другого полинома этой же степени с единичным старшим коэффициентом Такие наименее отклоняющиеся от нуля полиномы многочлены Чебышёва Для увеличения точности можно использовать следующие методы построения полинома: 1 Уменьшение расстояния между узлами при постоянной степени интерполяционного полинома Но при этом сужается область хорошей интерполяции 4

5 5 Наилучшее приближение 2 Оптимизация размещения узлов Обычно это означает выбор в качестве узлов корней многочленов Чебышёва 3 Увеличение числа узлов, что означает повышение степени полинома Будем говорить, что интерполяционный процесс L n (x) сходится равномерно на [a, b], когда Следует иметь в виду следующую теорему max f(x) L n(x) 0 x [a,b] n Теорема 41 (Фабер) Для любой последовательности сеток найдется непрерывная на [a, b] функция f(x) такая, что последовательность интерполяционных полиномов L n (x) не сходится к f(x) равномерно на [a, b] Так, даже для функции g(x) = x на равномерной сетке значения интерполяционного полинома неограниченно возрастают между узлами в окрестностях точек 1 и 1 Для заданной непрерывной функции f(x) можно добиться сходимости за счет выбора расположения узлов интерполяции Теорема 42 (Марцинкевич) Если f(x) непрерывна на [a, b], то найдется такая последовательность сеток, для которой соответствующий интерполяционный процесс будет сходиться равномерно на [a, b] 5 Наилучшее приближение Пусть значения аппроксимируемой функции f(x) и чебышёвской системы аппроксимирующих функций {ϕ k (x)} n k=0 известны в узлах интерполяционной сетки {x k} m k=0 [a, b] В случае m > n задача интерполирования становится переопределенной В этом случае рассматривают задачу о наилучшем приближении Рассматривают разности между значениями обобщенного многочлена и интерполируемой функции в узлах интерполяционной сетки: r k = ϕ(x k ) f(x k ), k = 0, 1,, m или Для вектора погрешностей r = (r 0, r 1,, r m ) можно ввести ту или иную норму Например: r = m rk 2 = m ( 2 ϕ(x k ) f(x k )) (1) k=1 k=1 r = max 0 k m r k = max 0 k m ϕ(x k) f(x k ) (2) Задача о наилучшем приближении функции f(x) состоит в в нахождении коэффициентов c 0, c 1,, c n, минимизирующих норму вектора r В зависимости от выбора нормы получим различные задачи Так, норме (1) соответствует задача о наилучшем среднеквадратическом приближении, а норме (2) задача о наилучшем равномерном приближении функции Если m = n, то независимо от выбора нормы решение c = (c 0, c 1,, c n ) задачи о наилучшем приближении совпадает с решением задачи интерполирования Действительно, в этом случае требование r = 0 приводит к условиям ϕ(x k ) = f(x k ), k = 0, 1,, n 6 Сплайн-интерполяция Интерполяция на больших интервалах, то есть с относительно большим количеством узлов, имеет дополнительные трудности С одной стороны, точность при больших расстояниях между узловыми точками очень мала, а с другой стороны, интерполяционные многочлены высокого порядка на концах интервала значительно колеблются, что существенно искажает поведение функции Это становится особенно важным при последующем дифференцировании При решении подобных задач оказывает помощь: 1 Кусочная интерполяция более низкого порядка При этом интерполяция осуществляется по небольшому числу узловых точек, а затем многочлены объединяют в общую интерполяционную функцию 2 Интерполяция сплайнами 5

6 6 Сплайн-интерполяция Пусть задано, как и прежде, n + 1 узловых точек Функцию, интерполирующую f(x) на [a, b] будем искать среди так называемых сплайн-функций S n степени n Функция S m (x) называется сплайн-функцией степени m на множестве узлов {x k } n k=0 если она и ее производные до порядка n 1 включительно непрерывны на отрезке [a, b] и S m (x) многочлен степени не больше m при x [x k 1, x k ] Заметьте, что сплайн-функция в общем случае не является многочленом Разница между степенью сплайна и порядком его высшей непрерывной производной называется дефектом сплайна При m = 3 говорят о кубических сплайнах Они наиболее распространены, так как на практике достаточно обеспечить лишь непрерывность первой и второй производных Параметры, задающие сплайны определяют, решая систему уравнений (неизвестные коэффициенты полиномов, входящих в сплайн), построенную на основе условий равенства значений в узлах значениям функции, равенства производных смежных компонентов сплайна и каких-то граничных условий на отрезке 6

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 5: Интерполирование функций факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Алгебраическое интерполирование. Полином Лагранжа............. 2 1.1. Погрешность метода.

Подробнее

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций.

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5.1 Постановка задачи приближения функций. Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x некоторой функцией

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ

Подробнее

Краткие теоретические сведения Пусть значения некоторой функции f (x) заданы в виде таблицы: x y

Краткие теоретические сведения Пусть значения некоторой функции f (x) заданы в виде таблицы: x y 3 Интерполирование функций полиномом Лагранжа Цель: формирование навыков интерполирования таблично заданных функций полиномом Лагранжа; оценка погрешности полинома Лагранжа Краткие теоретические сведения

Подробнее

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1,

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1, Интерполяция функций интерполяционными полиномами В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Подробнее

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации Тема. Численные методы решения задачи аппроксимации Будем считать, что является функцией аргумента. Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение. На практике

Подробнее

3. Интерполяция данных

3. Интерполяция данных 3. Интерполяция данных 1 3. Интерполяция данных Практически всегда выборки случайных чисел (полученные в результате эксперимента или сгенерированные в рамках методов Монте-Карло) хранятся на компьютерах

Подробнее

БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец ) 1 ПО КУРСУ «Численные методы», Обязательная часть

БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец ) 1 ПО КУРСУ «Численные методы», Обязательная часть БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец 10.04.2016 ) 1 1. (2 балла) Абсолютная и относительная погрешности. Чему равна абсолютная и относительная погрешности записанного в память компьютера числа π (ответ обосновать).

Подробнее

5. Определение коррекно поставленной задачи. Является ли решение уравнения x 2 3x+

5. Определение коррекно поставленной задачи. Является ли решение уравнения x 2 3x+ 0.1 Погрешность, устойчивость, числа с плавающей запятой 1. Абсолютная и относительная погрешности. Дано уравнение 0,134x+2,824 = 0. С какой погрешностью можно вычислить его корень? 2. Абсолютная и относительная

Подробнее

Сплайн интерполяция. к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич (926)

Сплайн интерполяция. к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич    (926) Сплайн интерполяция к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич e-mail: utkin@icad.org.ru, pavel_utk@mail.ru (926) 2766560 Данная лекция доступна по адресу http://mipt.ru/education/chair/computational_mathematics/study/materials/compmath/lectures/

Подробнее

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.

Подробнее

6 Общая схема исследования функции

6 Общая схема исследования функции 5 6 Общая схема исследования функции Исследование дважды дифференцируемой функции будем проводить по следующей схеме. Находим область определения функции D( f.. Определяем точки разрыва функции.. Находим

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Е.М.

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Е.М. Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» ЕМ БЕРЕЗОВСКАЯ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ для студентов

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ.

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ. www.reshuzdch.ru Задание.5. Найти произведение приближенных чисел и указать его погрешности (Δ и δ), если считать в исходных данных все значащие цифры верными.,8,55, Решение. По условию:,8, b, 55, c,,,,

Подробнее

П. В. Воронина, А. С. Лебедев

П. В. Воронина, А. С. Лебедев МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Кафедра математического моделирования П. В. Воронина, А. С.

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра информационной безопасности ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Методические указания к выполнению

Подробнее

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

Аппроксимация обратных функций распределения вероятностей с помощью полиномов Чебышёва

Аппроксимация обратных функций распределения вероятностей с помощью полиномов Чебышёва Аппроксимация обратных функций распределения вероятностей с помощью полиномов Чебышёва Доброгодин Евгений Сергеевич, гр. 522 Санкт-Петербургский государственный университет Математико-механический факультет

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных. Краткие теоретические сведения Задачей приближения или аппроксимации функций (от лат. approimo приближаюсь) называется задача замены одних математических

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD Алешин А. О., Растеряев Н.В. Донской государственный технический университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 ОШИБКА ИНТЕРПОЛЯЦИИ

ЛЕКЦИЯ 8 ОШИБКА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ЛЕКЦИЯ 8 ОШИБКА ИНТЕРПОЛЯЦИИ На прошлой лекции была рассмотрена задача интерполяции и были записаны интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Многочлен в форме Лагранжа: где P (x) = f(x )

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Постановка задачи. Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике и других областях составляют уравнения

Подробнее

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций)

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Численный анализ А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Содержание 1. Алгебраические методы интерполирования................ 3 1.1. Интерполяционный полином в форме Лагранжа..........

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

8 Методы численного интегрирования.

8 Методы численного интегрирования. интеграла. 8 Методы численного интегрирования. В данной главе будут рассмотрены методы вычисления определенного Методы численного интегрирования находят широкое применение при автоматизации решения научных

Подробнее

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Направление 02.06.01 Компьютерные и информационные науки Профиль 01.01.07 «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» 1. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции. 2.

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

Вычислительные системы и технологии (наименование кафедры)

Вычислительные системы и технологии (наименование кафедры) Кафедра Вычислительные системы и технологии (наименование кафедры) УТВЕРЖДЁН на заседании кафедры "4" марта 2016 г. протокол 6 Заведующий кафедрой Кондратьев В. В. (подпись) Фонд оценочных средств по учебной

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, y i y i 0 b i } R n+1 Необходимо найти решение удовлетворяющее начальному

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение ( 0, (3.1 где ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра численных методов и программирования ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Вычислительный практикум для студентов

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО Ф.Г. АВХАДИЕВ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Учебное пособие Казань 2013 УДК 517 Рекомендовано к опубликованию и размещению

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

УДК ББК Т47

УДК ББК Т47 УДК 004.9 ББК 32.97 Т47 Электронный аналог печатного издания: Информатика и математика : в 3 ч. Ч. 2 : Решение уравнений / В. И. Тишин. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. 112 с. : ил. Тишин В. И. Т47

Подробнее

Квадратурные и кубатурные формулы

Квадратурные и кубатурные формулы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Квадратурные и кубатурные формулы Методические

Подробнее

О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ИЛИ ЗНАЧЕНИЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ АБЕРРАЦИЙ

О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ИЛИ ЗНАЧЕНИЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ АБЕРРАЦИЙ Левит БИ Рамм АГ Родионов СА О восстановлении функции волновой аберрации по ее значениям или значениям поперечных аберраций О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ИЛИ ЗНАЧЕНИЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение.

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. 6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Подробнее

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

Отчёт по лабораторной работе 2 По курсу Численные методы

Отчёт по лабораторной работе 2 По курсу Численные методы Отчёт по лабораторной работе 2 По курсу Численные методы Выполнил: Лапупин А.В. 2094/2 Проверил: Соловьев К.В. 2004 г. 1 2. Исследование интерполирования функций. 2.1. Провести сравнение качества построения

Подробнее

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции Численное интегрирование Квадратурные формулы прямоугольников Пусть требуется найти значение интеграла I Римана I d для некоторой заданной на отрезке, функции а Хорошо известно, что для функций, допускающих

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ МЕ Ильин АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ Учебное пособие Удалено: Рязань ВВЕДЕНИЕ В математике

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СПЛАЙН-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СПЛАЙН-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ ВИДмитриев, ИВДмитриева, ЖГ Ингтем ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СПЛАЙН-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ Ведение Задачи аппроксимации неточно заданной функции возникают во многих практических проблемах При математическом

Подробнее

НАИЛУЧШЕЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ. М. А. Кольцов. 24 ноября 2016 г.

НАИЛУЧШЕЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ. М. А. Кольцов. 24 ноября 2016 г. НАИЛУЧШЕЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ М. А. Кольцов kolmax94@gmail.com 24 ноября 26 г.. Постановка задачи. Часто значение какой-либо функции известно лишь в заданных точках с некоторой

Подробнее

Численное интегрирование

Численное интегрирование ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» С. Н. Овчинникова Численное интегрирование

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Численное интегрирование

Численное интегрирование Численное интегрирование - - Численное интегрирование. Постановка задачи Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. Требуется вычислить определенный интеграл I d.

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил.

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил. Печатается по решению Ученого совета Московского университета Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с. : ил.

Подробнее

3. Интерполирование по равностоящим узлам. Конечные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

3. Интерполирование по равностоящим узлам. Конечные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона Варианты задания 3. Интерполирование по равностоящим узлам. Конечные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона 3.1. Постановка задачи интерполирования Пусть на промежутке [a, b] задана таблица

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГН Решетникова ЕФ Сидорова ПА Савченко ЮЕ Табольжина ДА Тумашкина ЕА Бударина ТЕ Малахова ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

Подробнее

Аналитические методы геометрического моделирования

Аналитические методы геометрического моделирования Доля ПГ Харьковский Национальный Университет механико математический факультет г Аналитические методы геометрического моделирования Глава Уравнения кусочно-гладких непрерывных функций Оглавление Уравнение

Подробнее

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений Варианты заданий 9. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений 9.. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения:

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ На прошлой лекции были рассмотрены основные итерационные методы решения СЛАУ, такие как метод простой итерации в широком и узком смыслах, метод Якоби, метод Зейделя

Подробнее

Вопросы на экзамен по курсу. Вычислительные методы линейной алгебры. 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин

Вопросы на экзамен по курсу. Вычислительные методы линейной алгебры. 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин Вопросы на экзамен по курсу Вычислительные методы линейной алгебры 2-й курс, 3-й семестр Лектор: профессор С.Б. Сорокин Часть 1. Численный анализ Тема 1. Алгебраические методы интерполирования. 1. Формулировка

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Обработка данных. Цели обработки данных. Виды эксперимента. Аппроксимация. Интерполяция. Локальная и глобальная интерполяции

Обработка данных. Цели обработки данных. Виды эксперимента. Аппроксимация. Интерполяция. Локальная и глобальная интерполяции Обработка данных. Цели обработки данных. Виды эксперимента. Аппроксимация. Интерполяция. Локальная и глобальная интерполяции На настоящий момент, единственное, известное человеку, «устройство для обработки

Подробнее

Практикум по курсу «Численные методы»

Практикум по курсу «Численные методы» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Мастяева ИН Семенихина ОН Практикум по курсу «Численные методы» Москва УДК 596 ББК

Подробнее