Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Транскрипт

1 Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные числа» Понятие комплексного числа. Мнимая единица. Действительная и мнимая части комплексного числа. Равенство комплексных чисел. Сопряженные комплексные числа. Изображение комплексных чисел точками плоскости и радиус-векторами. Комплексная плоскость. Алгебраическая форма. Равенство комплексных чисел в алгебраической форме. Действия над комплексными числами в алгебраической форме: сложение, вычитание, умножение, деление. Аргумент и модуль комплексного числа. Главное значение аргумента. Тригонометрическая форма. Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня n-ой степени. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма. Равенство комплексных чисел в показательной форме. Действия над комплексными числами в показательной форме: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня n-ой степени. Лекция 2 по теме «Матрицы. Действия над матрицами» Матрица. Размерность матрицы, порядок матрицы, главная диагональ. Основные виды матриц: квадратная, нулевая, единичная, диагональная, треугольная, симметрическая. Операции над матрицами: транспонирование матриц, сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства операций над матрицами. Лекция 3 по теме «Определители. Свойства определителей» Понятие определителей второго и третьего порядка. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Правило треугольника. Свойства определителей второго и третьего порядка. Определители n-го порядка. Минор и алгебраическое дополнение. Формула Лапласа разложения определителя по элементам строки или столбца. Лекция 4 по теме «Обратная матрица. Ранг матрицы» Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы. Лекция 5 по теме «Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера Капелли» Системы линейных уравнений. Основные понятия: решение системы, совместные и несовместные системы, однородные и неоднородные системы, матрица системы, расширенная матрица системы. Исследование линейных алгебраических систем на совместность. Теорема Кронекера Капелли. 1

2 Лекция 6 по теме «Решение систем линейных уравнений методом Крамера и матричным методом» Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными методом Крамера и матричным методом. Возможности применения этих методов. Лекция 7 по теме «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса» Метод Гаусса. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса. Возможности применения этого метода. Лекция 8 по теме «Однородные системы линейных уравнений» Однородные системы линейных уравнений. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными. Свойства решений однородных систем линейных уравнений. Лекция 9 по теме «Линейные пространства» Линейное (векторное) пространство. Примеры линейных пространств. Свойства линейных пространств. Линейно зависимые и независимые элементы пространства. Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису. Матрица перехода к новому базису. Лекция 10 по теме «Подпространства. Изоморфизм линейных пространств» Понятие линейного подпространства. Примеры линейных подпространств. Сумма и пересечение линейных подпространств. Линейная оболочка. Основные свойства линейной оболочки. Изоморфизм линейных пространств. Лекция 11 по теме «Линейные преобразования линейных пространств» Понятие линейного отображения. Действия над отображениями. Понятие линейного преобразования пространства. Виды линейных преобразований. Матрица линейного преобразования. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому. Лекция 12 по теме «Собственные значения и собственные элементы (вектора) линейного преобразования» Собственные значения и собственные вектора линейных преобразований. Характеристический многочлен. Нахождение собственных значений и векторов линейного преобразования. Свойства собственных векторов. Лекция 13 по теме «Евклидовы пространства» Определение евклидова пространства. Свойства евклидовых пространств. Норма (длина) элемента евклидова пространства. Угол между элементами евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные и ортонормированные элементы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисления в ортонормированном базисе. Метод построения ортогонального базиса. Ортогональные преобразования. 2

3 Лекция 14 по теме «Квадратичные формы. Канонический вид квадратичной формы» Определение квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа и методом собственных векторов. Лекция 15 по теме «Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра» Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Лекция 16 по теме «Векторная алгебра. Линейные операции над векторами в геометрической форме. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты вектора, длина и направляющие косинусы вектора» Понятие вектора. Длина вектора. Коллинеарные, компланарные и равные вектора. Нулевой вектор. Линейные операции над векторами в геометрической форме: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число. Свойства операций над векторами. Проекция вектора на ось. Свойства проекции вектора на ось. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Декартов базис. Координаты вектора, действия над векторами в координатной форме. Нахождение координат вектора по координатам начала и конца вектора. Нахождение длины и направляющих косинусов вектора. Лекция 17 по теме «Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов» Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат. Применение скалярного произведения в механике и геометрии. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат. Применение векторного произведения в механике и геометрии. Смешанное произведение: определение, геометрический смысл, свойства. Вычисление в декартовой системе координат. Раздел «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве» Лекция 18 по теме «Метод координат» Предмет аналитической геометрии. Декартова система координат на прямой, на плоскости, в пространстве. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между двумя точками, деление отрезка в заданном отношении. Полярные координаты на плоскости. Различные способы задания линий. Линия и поверхность в пространстве. Уравнение линии и уравнение поверхности в декартовой системе координат. Классификация линий и поверхностей. 3

4 Лекция 19 по теме «Прямая на плоскости» Основные виды уравнений: нормальное, общее, в отрезках, каноническое, параметрическое, с угловым коэффициентом, уравнение прямой,проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между прямыми на плоскости. Условия коллинеарности и ортогональности. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Лекция 20 по теме «Кривые второго порядка» Окружность: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение. Эллипс: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение, эксцентриситет и его смысл, директрисы их свойства. Гипербола: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение, эксцентриситет и его смысл, директрисы и асимптоты гиперболы. Парабола: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение, эксцентриситет. Общее уравнение линии второго порядка. Преобразование общего уравнения к каноническому виду линии со смещением. Лекция 21 по теме «Прямая и плоскость в пространстве» Плоскость в пространстве. Основные виды уравнений: нормальное, общее, в отрезках, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору, уравнение плоскости, проходящей через три точки. Угол между плоскостями. Условия коллинеарности и ортогональности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Основные виды уравнений: общее, каноническое, параметрическое. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду. Угол между прямыми в пространстве. Условия коллинеарности и ортогональности прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия коллинеарности и ортогональности прямой и плоскости. Лекция 22 по теме «Поверхности второго порядка. Метод сечений» Поверхности второго порядка. Метод сечений. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. 4

5 Раздел «Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, элементы топологии» Лекция 23 по теме «Плоская кривая. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента» Плоская кривая. Способы задания. Кривизна плоской кривой. Радиус, центр и окружность кривизны. Эволюта и эвольвента. Свойства эволюты и эвольвенты. Лекция 24 по теме «Пространственная кривая. Вектор-функция скалярного аргумента» Пространственная кривая. Способы задания. Понятие вектор-функции скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента. Производнан вектор-функции по ее скалярному аргументу. Правила дифференцирования вектор-функции скалярного аргумента. Лекция 25 по теме «Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе» Первая и вторая производные вектор-функции по длине дуги. Естественный репер. Сопровождающая система координат. Касательная, главная нормаль и бинормаль. Нормальная, спрямляющая и соприкасающаяся плоскости. Трехгранник Френе. Понятие кривизны пространственной кривой. Вычисление кривизны пространственной кривой. Понятие кручения пространственной кривой. Вычисление кручения пространственной кривой. Формулы Френе. Лекция 26 по теме «Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности» Понятие поверхности. Способы задания. Понятие касательной плоскости. Обыкновенные и особые точки поверхности. Уравнение касательной плоскости. Понятие нормали к поверхности. Уравнение нормали к поверхности. Лекция 27 по теме «Элементы топологии» Топология. Предмет топологии. Топологическое пространство. Топологическое преобразование (гомеоморфизм). Топологические свойства пространств. Топологические инварианты. Основные теоремы топологии и результаты. Основные понятия топологии. Теорема Жордана о замкнутой кривой. Теорема Брауэра о неподвижной точке. Проблема четырех красок. Односторонние поверхности. Узлы. Топология физических сетей 5

6 6