Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 1. Действительные числа и действия над ними"

Транскрипт

1 Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество N={1,,, } натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения сумма и произведение натуральных чисел также являются натуральными числами Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда является натуральным числом Так, результат вычитания двух одинаковых натуральных чисел приводит понятию нуля и введению множества целых неотрицательных чисел Z 0 = {0, 1,,, } Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отрицательные целые числа и таким образом получают множество целых чисел Z = {, -, -, -1, 0, 1,,, } Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, не равное нулю, необходимо к множеству всех целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей В результате получается множество ра- m циональных чисел Q =, m Z, n Z Уравнение вида a = b, где a 0, име- n ет на множестве рациональных чисел решение = b a при любых рациональных a и b Каждое рациональное число представляется в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби 1 Множество действительных чисел 4 Необходимость дальнейшего расширения множества чисел связана с двумя причинами Во-первых, рациональных чисел недостаточно для выражения результатов измерений (например, нельзя выразить рациональным числом диагональ квадрата со стороной 1) Во-вторых, такие числовые выражения, как, 5, lg, sin1 и другие, не являются рациональными 1

2 Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь (например, 0,11785 ) Числа π, e (основание натуральных логарифмов) являются иррациональными Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей) дает множество R действительных чисел 5 Действительные числа сравниваются по величине аналогично правилу сравнения рациональных чисел 6 Приняты обозначения для числовых промежутков: [ a; b ] или a b ; ( ; ) [ a; b ) или a < b ; ( ; ] [ a ; + ) или a b или a < < b ; a b или a < b ; a ; ( a ; + ) или ( ; b] или b ; ( ; b) ( ; + ) = R > a ; или < b ; 1 Возведение в натуральную степень рациональных чисел 1 Степенью числа а с показателем k, где k N, a Q, называется произведение k множителей, каждый из которых равен a k k a = a a a a Число а называют основанием степени, а число k показателем степени Четная степень отрицательного числа есть число положительное Например, 4 ( ) > 0; Нечетная степень отрицательного числа есть число отрицательное Например, ( ) < 0 ; Любая степень положительного числа есть число положительное Напри- k мер, 1 > 0 При возведении нуля в любую натуральную степень k получается нуль, то k есть 0 = 0

3 4 При возведении единицы в любую натуральную степень k получается еди- k ница, то есть 1 = 1 11 Свойства степени с натуральным показателем 1 При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним: m n m+ n a a = a ; m, n N При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остается прежним: m a m n = a ; m, n N n a При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним: n m mn ( ) ;, a = a m n N 4 Степень произведения равна произведению степеней множителей k k k k ( ) ; abc = a b c k N 5 Степень частного равна частному степеней делимого и делителя a b k k a = ; k N k b Пример 11 Найти значение выражения: 14 1 А = Решение Так как степени имеют разные основания, то в явной форме ни одно из вышеперечисленных свойств степени с натуральным показателем применить нельзя Запишем некоторые степени в другом виде: ( 7) = = ; ( ) 4 8 = = ; = ( 1) = 1 Получим: = = 7 1 =

4 14 Действия с иррациональными числами + + Пусть даны действительные числа a и b Обозначим через ak, ak, bk, bk приближенные значения этих чисел соответсвенно с недостатком и с избытком с точностью до 1 k 10, те + + ak < a < ak и bk < b < bk Суммой действительных чисел a и b называется такое действиетльное число p, которое при любом неотрицательном k удовлетворяет неравенству + + ak + bk < p < ak + bk Например, для чисел a = и b = имеем Произведением a b 1,4 + 1,7 < + < 1,5 + 1,8 ; 1, 41+ 1,7 < + < 1, 4 + 1,74 ; 1, ,7 < + < 1, ,7 и тд ( a, b R), называется такое число q R, которое при любом целом неотрицательном k удовлетворяет неравенству ak bk < q < ak bk Например, для чисел a = и b = имеем: 1,4 1,7 < < 1,5 1,8 ; 1,41 1,7 < < 1,4 1,74 ; 1, 414 1,7 < < 1,415 1,7 и тд Законы переместительный, сочетательный, распределительный справедливы для любых действительных чисел Корнем k-й степени из действительного числа a, где k действительное число, k -я степень которого равна a N и k 1называется Корень k -й степени из числа a обозначается символом k a Согласно определению ( k ) k a = a Число k называется показателем корня, число a подкоренным выражением Заметим, что n a, где n N и a < 0, не существует в R Корень нечетной степени извлекается и из отрицательного числа

5 Например, 8 =, тк ( ) = 8 Чтобы устранить многозначность корня k -й степени из числа a, вводится понятие арифметического корня Арифметическим корнем k -й степени из числа a ( a 0) называется неотрицательное число b ( b 0), k -я степень которого равна a, где k > 1, k N Например, а) k k a в) 4 ( ) 4 = = = a ; б) = ; Пример 1 При каких значениях справедливо равенство ( ) Решение Так как ( ) ( ) 7 = 7, если 7 0, те 7 7 = 7, то исходное равенство примет вид Пример 1 Упростить выражение = 7? Решение Заметим, что 7 4 = = ( ), поэтому 7 4 = ( ) = = тк > Пример 14 Упростить выражение Решение Представим = ( + 1) Тогда ( ) ( ) = = + 1 = + 1 Пример 15 Упростить выражение A = Решение а) При < 4 получим A = = = 10 б) При 4 < 6: A = = в) При 6 : A = = 10 Таким образом, 10 при < 4, = при 4 < 6, 10 при 4

6 a Пример 16 Упростить выражение A = a + a Решение Выполним преобразования выражения: a ( a )( a + ) ( a )( a + ) A = = = = a a a a a a a a a a a a = ( a )( a + ) ( a )( a + ) a = ( a ) ( a + ) a a + 4a Раскроем модули: а) при a < : a = a; a + = a ; a = a и A = a ; б) при < a < 0 : a = a; a + = a + ; a = a и A = a ; в) при 0 a < : a = a; a + = a + ; a = a и A = a ; г) при a > : a = a ; a + = a + ; a = a и A = a В итоге получаем: ( ) ) ( ) ( ) a a при a ; 0; ; = a при a ; 0 ; + a + a ( a ) + 8a Пример 17 Упростить выражение A = a a Решение Преобразуем подкоренное выражение: ( ) ( ) a + 8a = a + 4a + 4 8a = a 4a + 4 = a 0 при любом a; следовательно, ( ) a + 8 a a a при 0 < a < ; A = = a = a a a при a > a 6

7 Пример 18 Упростить выражение: Решение Упрощать начнём внутренний корень: = 9 + = ( ) = ( + 1) = + 1; далее, = = ( + 1) = + 1; 1 + 0( + 1) = = = ( ) = = (5 + ) = 5 + Пример 19 Упростить выражение A = Решение Найдём A : ( ) ( ) ( )( ) Вычислим ( )( 0 14 ) = = 8, в таком случае A = A ( ) ( ) = = = ( ) = = A Следовательно, значение A может быть найдено из уравнения A 6A 40 = 0 Все целые корни уравнения являются делителями свободного члена Непосредственной подстановкой убеждаемся, что A = 4 является корнем этого уравнения Отделяем найденное значение по схеме Горнера или делением углом = = = 0 Таким образом, ( ) ( ) A 6A 40 A 4 A 4A 10 = + +, и, следовательно, уравнение A 6A 40 = 0 имеет единственный действительный корень A = 4 в силу того, что дискриминант квадратного трёхчлена A 6A 40 A A A 4 A A 4 6A 4 16A 10A 40 10A 40 0 A 4 A + 4A A + 10 меньше нуля 7

8 15 Преобразования арифметических корней 1 Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: k ab = k a k b, где a 0, b 0 Если a 0, b > 0, то k a b k a = k b Если a 0, k, c N, k > 1, c > 1, то k c a = kc a 4 Если 0 k m k a = a m m N a, то ( ), k m nk nm 5 Если a 0, то a = a, m N, n N 6 Если a1 > a > 0, то k a1 > k a > 0 7 При 0, 0 : k k a b ba = ak b - правило вынесения общего множителя из под знака корня 8 Обратная задача: внесение множителя под знак корня Пример: b b, если b 0; = b, если b < 0 16 Уничтожение иррациональности в знаменателе Рассмотрим случаи: k k k k k 1 k 1 k k 1 m m a m a = =, a > 0 a a a a m a ± ( ± ) m a b = b a b m( ( a + b ) + c ) ( ) m = a + b c a + b c a + b + c ( )(( ) ) Пример 110 Исключить иррациональность в знаменателе а) a ; б) a 1 + ; в)

9 Решение а) a a( a + a + 4) a( a + a + 4) = = a a ( a + a + 4) a ( ) ; б) ( + + ) 1( + + ) = = = = + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + + ) 6( + + ) (4 ) 6( ) = = = = (4 + ) (4 + )(4 ) = ( ); в) ( 4 )( + ) = = = = = ( 4 )( + ) 161 Применение формул сокращенного умножения к действиям с арифметическими корнями 1 ( a b )( a + b ) = a b a ± b a ab b + = a ± b ( ) a a ± b b = a ± b = ( a ± b )( a ab + b) Корни называются подобными, если у них одинаковые показатели и подкоренные выражения, а отличаются лишь коэффициентами Например, 54 и 16 - подобны, тк 54 = ; 16 = 17 Действия со степенями Рассмотрим степень p a, где p Z 1 Если p = 0, то по определению 0 a = 1 при a 0 Если p < 0, то по определению a p = 1 при a 0 p a 9

10 Рассмотрим степень p a q, где p q - рациональное число Выражение p q a имеет в общем виде смысл только при a > 0 Если a > 0, p Z, q Z, то по опреде- p q p q лению a q = a ; 0 = 0 4 Степень с рациональным показателем имеет те же свойства, что и степень с натуральным показателем, а именно, если a > 0, n Q, m Q, то: m n m n a a = a + ; a a m ( ab k ) a b k ; n m n m = a ; ( a ) = a ; n n n n a a = = b n b Пример 111 Применения формул сокращенного умножения к действиям со степенями: n n n mn а) б) в) a b a + b = a b ; a b = a b = a b a + a ; a ± b = a ± b = a ± b a a b + b ; г) ± + = ± a b a a b b a b Пример 11 Упростить выражение

11 Решение = = ( )( 1) 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = = = Задачи А1 Вычислите: ; 1) ( 4) ( 0,5) ( 4) ; ) ( 1,5) ) a b при a = 1, b = ; 4) 5) 5a b 4( a b) + при a = 0,5, b = 1; y y + + при = 5, y = 4; 6) a a + 6 при a = 0,() ; 7) 1) 4) 7) 10) ; 8) 4 А Найдите значения выражений: ; ) ; 5) : ; 8) ,16 1, ; 11) А Найдите значения выражений ) ( ) ( ) : 5 1 6,5 ; 9) : ; ) : ; 6) :196 ; 9) 0,9 0,87 8 ; 1) , : ; ; : 441 ; 7,4, : ; ) :( 10 ) 5 7( m ) + 11( m ) ; ) 15 ( m ) ; 11

12 ( 5a ) ( 6b) 4) ( 0a b) ; 5) 9 ( ) ; 6) n 1 1 n1 n4 ; 7) 9 m 16 9 m ; 8) с с : с с ; 9) a a b a a b ; 10) ; 11) А4 Упростите выражения 1) ( 4a 9) 1 1 a a + ; 4 ( + y) 4y ) y ; 4 y y y ; 1) 9 0 a 1 a + 1 a a + 1 a ; a 1 a a 1 1 a + + a 1 ) : ( 1 a) 0, ) : + 0,5 1,5 0, ; 5) 4 4 a + a a + 1) В1 Упростите и вычислите ; ) ) 5 ( 4 ) 9) ; ) ; 4) 4 4 8, ;,5 1,5 ; 6) 7 16 ; 7) ; 8) 1,9 0,5 4,5 5 5,8 4, 6 5 ; 10) ; 11) 1 : 1,5 5 0, ; 1) В Вычислите ) ( ) ( ) ( 1 8) ; ) 1 ( 6 6 ) + ( 9) 1 ( ) 1 1 ( ) 7 ; 4) 1 1 ( 6 16 ) ( ) ; ;

13 5) ; 6) : ; 7) В Проверьте справедливость равенств 1) 6 15 ( ) = ; ) = 6 15 В4 Вычислите В5 Упростите выражения 1) ) bc b b + c : b c bc + c bc b c 4 b + ; b c 1 b b b 1 b + + ; b b b + b b a ; + a 1 a a + a ) ( a ) ( a ) + ( a + ) y + y y y 4) + ; y y y + y y y a + b a b a b 5) : + ; a + b ( a + b) ab b a a + 4 a 4 a 6) 4 ( a + ) 16a + 14 a a + 4 y ) ( y ) ; y y 4 ab a b 4 8) ( ) ( ) 16 ab( a + a b + ab) ; b a b a b ; 1

14 9) 4 a 4 b 4 4 a b 4 a + 1 ; a b b 1 a a 1+ a a a + a 1+ a 1 a 1+ a 10) ( ) ; 11) a + ab a b b 4 a + 4 b a b ( a + b) ; 1) ( a + 4 a + 8) ( a 8) a a a + 8 a a 16 a ; 1 ( ) 1 b a b a ab a b + b a 1) a 1 a b b a b 1 14) :( + ) 0,5 ; ; 15) ; 16)

15 Тема Алгебраические уравнения, неравенства и системы Линейное уравнение Уравнение вида a + b = 0, где a и b некоторые числа, переменная, называется линейным Корни линейного уравнения: 6 часов 1 Линейные, квадратные уравнения и неравенства 11 Линейные, квадратные уравнения 1 Если a 0 и b R, то линейное уравнение имеет единственный корень Если a = 0, b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней, те R; Если a = 0, b 0, то уравнение не имеет корней, те Квадратное уравнение Уравнение вида b = ; a + + = 0, (1) a b c где a, b, c некоторые числа, причём a 0, называется квадратным уравнением D = b 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения 1) Выражение вида При решении квадратного уравнения возможны три случая: D = b 4ac > 0, ) D = b 4ac = 0, ) D = b 4ac < 0, уравнение (1) имеет два различных корня: 1, b ± b 4ac = a уравнение (1) имеет два совпадающих корня: = = 1 b a уравнение (1) не имеет действительных корней Если D > 0 и b чётное, то корни квадратного уравнения могут быть вычислены по формуле: 15

16 1, b b ± ac a a a = В этом случае Уравнения вида a a = 0 называются неполными квадратными уравнениями + b = 0, a + c = 0, Если в уравнении (1) c = 0, то получим + b = 0, которое решается разложением левой части на множители ( a b) 0, Если b = 0, то уравнение (1) примет вид a b ac = a D 4 b + = откуда 1 = 0, = a a + c = 0 Корни данного уравнения существуют, если коэффициенты а и с имеют разные знаки, тогда 1, c = ± ; в противном случае корней нет a Если b = 0, с = 0, то уравнение (1) примет вид единственный корень уравнения Если в квадратном уравнении a b c + + = 0, а = 1, то полученное уравнение называется приведённым и записывается в виде находятся по формуле: 1, = a = 0, откуда = 0 p p ± q p q + + = 0, а корни 4 Связь между коэффициентами и корнями полного квадратного уравнения устанавливают следующие соотношения: c если a + b +c = 0, то 1 = 1, =, a c если a + c = b ( или, что то же самое, a b +c = 0 ), то 1 = 1, =, а a также теорема Виета: Для полного квадратного уравнения a + b + c = 0 Для приведённого квадратного уравнения + p + q = 0 16

17 b 1 + = a c 1 = a + = p 1 = q 1 1 Разложение квадратного трёхчлена на множители Если D > 0 и 1, корни уравнения a + b + c = 0, то ( )( ) a + b + c = a 1 Если D = 0, то ( ) Биквадратное уравнение a + b + c = a 1, где 1 - корень уравнения (1) Уравнение вида a, b, c R, a 0 называется биквадратным уравнением Подстановкой = t (тогда к уравнению второго порядка 4 Пример 1 Решить уравнение = a + b + c = 0, где = t ) биквадратное уравнение сводится Решение Представим правую часть уравнения в виде неправильной дроби и разделим обе части на коэффициент при переменной х: Ответ: = 44 =, 7 7 = Пример Решить уравнение 44 :, =, = = 0 Решение Находим дискриминант D = ( 5) 4 = 9 Так как D > 0, то уравнение имеет два различных корня: 1, Ответ: 1 = ; = 0,5 5 ± 9 5 ± = =, то есть 1 = ; = 0,5 4 4 Пример Не решая уравнения + = 0, найти: а) 1 + ; 17

18 б) 1 ; в) ; г) 1 1 ; + д) + 1 Решение: Известно, что 1 и корни заданного квадратного уравнения Применим теорему Виета По данной теореме а) 1 + = 1, а в пункте б) 1 = 1,5 1 + = 1, 1 = 1,5 Поэтому в пункте Чтобы вычислить значения выражений в пунктах в), г), и ж), вычислим слагаемые в них через 1 + и в) = = =, 1 1 1,5 г) ( ) д) + = + = 1+ 1,5 = 4; = = ,5 = 5,5 + ( )( ) ( ) Ответ: а) 1; б) 1,5; в) ; г) 4; д) 5,5 Решение Данное уравнение является биквадратным и решается при помощи замены Пример 4 Решить уравнение = 0 t =, t 0 Запишем квадратное уравнение относительно t, соответствующее исходному биквадратному t + t 6 = 0 Решая это уравнение, находим t 1 = и t = Корень t = посторонний корень, так как t 0 Возвращаясь к исходной переменной, получаем Ответ 1, = ± Замечание = 1, = ± Биквадратное уравнение имеет четыре корня, если соответствующее ему квадратное имеет два положительных корня 1 Линейные неравенства Линейными называются неравенства вида a + b > 0, a + b < 0, a + b 0, a + b 0 18

19 Рассмотрим решение неравенства a + b > 0 Здесь возможны четыре случая: 1 Если a > 0, то Если a < 0, то Если 4 Если a = b < a = b 0, 0 0, 0 b >, a b <, a то R, то Пример 5 Решить неравенство ( ) + ( ) ( ) Решение Раскрыв скобки, получим следующее неравенство: Далее, группируя слагаемые с переменной в левой части неравенства, а постоянные в правой, получим неравенство, равносильное данному: , отсюда 9 14, Ответ: 14 ; 9 Пример 6 Найдите число целых решений неравенства 1< 1 4 Решение можно решать разными способами Исходное неравенство называется двойным неравенством Его 1-й способ (непосредственно) 1< < 1+ 1 < 8 < й способ ( с помощью системы) 14 9 Исходное неравенство равносильно системе неравенств 1, 4 1< , 4 < , 4 < 4 8, < 8

20 Отметим решения и первого, и второго неравенства на координатной прямой -8 8 Решением системы неравенств будет промежуток [ 8;8) Количество целых чисел, входящих в данный промежуток, равно 16 Ответ: Квадратные неравенства Неравенство вида a b c 0 (,, ) причем a 0, называется квадратным неравенством + + > <, где a,b, c - некоторые числа, Решение квадратных неравенств сводится к нахождению промежутков, в которых квадратичная функция y = a + b + c принимает положительные (неотрицательные) или, наоборот, отрицательные (неположительные) значения Ответ легко получить, если схематично изобразить график функции y = a + b + c При этом нас будут интересовать лишь направление ветвей параболы ( вверх или вниз) и абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох, те корни уравнения a + b + c = 0 Поэтому ось Оу можно на рисунке не изображать Возможны 6 случаев расположения графика функции y = a + b + c относительно оси Ох 1 D > > 0 a b c при ( ; ) ( ; + ) < 0 a b c при ( ; ) > 0 a b c при ( ; ) < 0 a b c при ( ; ) ( ; + ) 1 0

21 D = 0 a + b + c > 0 b b при ; ; + a a a + b + c < 0 решений нет ( ) a + b + c < 0 b b при ; ; + a a a + b + c > 0 решений нет ( ) D < 0 a + b + c > 0 при ( ; + ) a + b + c < 0 нет решений ( ) a + b + c < 0 при ( ; + ) a + b + c > 0 нет решений ( ) Для решения неравенств второй степени с одной переменной можно следовать следующему алгоритму: 1) вводим функцию f ( ) = a + b + c и по знаку коэффициента a определяем направление ветвей параболы ( вверх или вниз); ) находим нули функции, те решаем уравнение f ( ) = 0, полученные значения отмечаем на оси Ох ; 1

22 ) схематично изображаем параболу; по расположению параболы определяем знак квадратного трехчлена на каждом из промежутков, на которые ось Ох разбилась нулями функции; 4) выбираем те промежутки оси Ох, на которых выполняется данное неравенство; записываем ответ Замечание Решение любого квадратного неравенства можно свести к решению неравенств вида a + b + c > 0 или a + b + c 0 Опираясь на представленные выше иллюстрации, формулируем следующее правило решения квадратных неравенств: Неравенства Ответ 1 a b c 0, a 0, D > > > ( ; 1 ) ( ; + ) a b c 0, a 0, D > > ( ; 1 ] [ ; + ) a + b + c > 0, a > 0, D = 0 b b ; ; + a a + + > = ( ; + ) a b c 0, a 0, D > > < ( ; + ) a b c 0, a 0, D > < > ( 1; ) a b c 0, a 0, D < > [ 1; ] a b c 0, a 0, D > < = Нет решений ( ) a b c 0, a 0, D 0 a + b + c 0, a < 0, D = 0 a b c 0, a 0, D 0 = + + < < > ( ; 1 ) ( ; + ) + + < > ( ; 1 ] [ ; + ) a b c 0, a 0, D 0 a + b + c < 0, a < 0, D = 0 b b ; ; + a a a + b + c 0, a > 0, D = 0 b a b = a

23 < + + < < ( ; + ) a b c 0, a b c 0, a 0, D 0 a b c 0, a b c 0, a 0, D < + + > < Нет решений ( ) + + < > = Нет решений ( ) a b c 0, a 0, D < > > ( 1; ) a b c 0, a 0, D > > [ 1; ] a b c 0, a 0, D < < Нет решений ( ) a b c 0, a 0, D 0 Или Вид неравенства a > 0 a + b + c 0 a > 0 a + b + c > 0 a < 0 a + b + c 0 a < 0 a + b + c > 0 D < 0 D > 0 D = 0 ( ; + ) ( ; ] [ ; + ) 1 ( ; + ) ( ; ) ( ; ) 1 Нет решений ( ) [ ; ] = b a + Нет решений 1 Нет решений ( ) ( ; ) 1 ( ) = b a Нет решений ( ) Если неравенство имеет вид меньше ( < ) либо меньше или равно ( ), то можно неравенство умножить на ( 1) и свести к виду, приведенному в таблице Пример 7 Решить неравенство ( ) < ( ) 1 Решение Выполняя тождественные преобразования, имеем: < + 4 < > 0 Рассмотрим функцию ( ) f = + 4 Требуется решить неравенство f ( ) > 0 Графиком функции является парабола, ветви которой направлены

24 вверх Находим нули функции, то есть решаем уравнение корни 1 = 4; = 1 Схематично изображаем параболу + 4 = 0 Его При ( 4;1) точки параболы расположены ниже оси Ох, то есть f ( ) < 0, а при < 4 или > 1точки параболы расположены выше оси Ох, то есть f ( ) > 0 Ответ: ( ) ( + ) ; 4 1; Решение Исходное неравенство равносильно неравенству Пример 8 Решить неравенство < > Рассмотрим функцию ( ) f = ; требуется решить неравенство f ( ) > 0 Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх Находим нули функции, то есть решаем уравнение = 0 Его корни 1 = = Схематично изображаем параболу: график функции касается оси Ох Все точки параболы, за исключением = расположены выше оси Ох, следовательно решением неравенства служит числовая ось, кроме точки = Ответ: ( ;) ( ; + ) Пример 9 Решить неравенство > 0 Решение Рассмотрим функцию ( ) f = + + 5; требуется решить неравенство f ( ) > 0 Так как a = 1> 0, дискриминант D = 4 0 = 4 = 16 < 0, то 4

25 график функции f ( ) ( ) = = лежит выше оси Ох, и, следовательно, неравенство справедливо при любом, те R Решение В соответствии со схемой решения квадратного неравенства получаем: Ответ: ( ; + ) Пример 10 Решите неравенство: > 0 1 Пусть ( ) 4 0 f = a = >, значит, ветви параболы ( ) f = направлены вверх Уравнение = имеет совпадающие корни 1 = = 0,5 Парабола касается оси абсцисс = 0,5 4 Так как знак неравенства( > ), то решением его являются все числа, кроме Ответ: ( ; 0,5) ( 0,5; + ) Замечание Решением неравенства ( ; + ) Решением неравенства Неравенство < 0 решений не имеет является промежуток является только число 0,5 Задачи Решите следующие уравнения и неравенства: 7 1 1) = ) 4( ) = ) = Аудиторное занятие Уравнения 1) = ) 5 = ) = 6 5 Домашняя работа 5

26 4) = 0 + = 5) ( )( ) = ( ) 6) 6 1 7) Не вычисляя корни и 1 уравнения 6 = 0, найти: 1 1 a) + ; b) 1 + ; c) ) + 6 = 0 ( ) = ( ) 4) 7 1 5) = 0 ( + ) = ( )( + ) 6) ) Не решая уравнения = 0, найти: a) ; b) 4 8) = 0 1) 5х 6 < Аудиторное занятие ) 4( 7х ) 1 5 х 1 5 ) + + < 8 6 4) х 5х 0 5) х х + 15 > х 6) х 14х 11 > ( х ) 7) х 15 < 19х + 6 х 8) 9) , > + 4, Неравенства 1) 7х < х Домашняя работа ) 4 + ( 10х ) ) 1 + < 8 4 4) х + 8х 1 < 0 5) х + 5х 14 > 0 6) х х + 55 ( х 4) 7) 7х 4х 14 х 8) 9) ( ) ( ) 1 1+ < 0, 4 > , + < 18 10) > 4, 5 < 0 10) 5 0, < 4 6

27 Дробно рациональные уравнения и неравенства 1 Дробно рациональные уравнения Дробно рациональное уравнение (ДРУ) это уравнение вида ( ) ( ) P 0 Q = При решении (ДРУ) необходимо найти область определения уравнения (ООУ), то есть множество значений неизвестного, при которых левая и правая части уравнения принимают действительные значения Таким образом, решение ДРУ сводится к системе P( ) = 0, Q( ) 0 После нахождения корней уравнения необходима проверка, так как при возведении в квадрат обеих частей уравнения или умножении на алгебраическое выражение, содержащее переменную, могут появиться посторонние корни Пример 11 Найти сумму корней уравнения: Решение ОДЗ,5 7 Приведём обе части уравнения к общему знаменателю: ( + 5)( 7) ( + 5)( + 5) ( + 5)( 7) ( )( ) = = 0 1 = 1, = 5 Найдём сумму полученных корней: 1 5 = 17 Ответ: 1 + = = ( + 5)( 7 5) ( + 5)( 7) = 0 Пример 1 Решить уравнение + + = Решение , = 0, = 0 1, 4 = = = Ответ: = 7

28 Пример 1 Решить уравнение = Комментарий к решению D( y) : 1,, Рациональнее выделить целые части в дробях левой части уравнения: 1) ) Уравнение примет вид ( ) = + = + = +, ( ) = + = + = = ( ) = = 0; Далее решая квадратное уравнение 1 1, 1, = = удовлетворяющие D( y ) Пример 14 Решить уравнение = те Решение Введем новую переменную ( ) уравнение примет вид: = y 4 y + 1 y Решим полученное уравнение: y 1 8; y 9 ( ) ( ) ( )( ) + =, имеем y = = + 1, y > 0, тогда ООУ: ( )( ) ( )( ) y y y y 4 18 y 4 y + 1 = y 4 y + 1 y y 4 y + 1 y y > 0 y 4 y 17 y + 7 = 0 = = Возвращаемся к замене, получаем совокупность: = 8, = = 0, + 8 = 0 1, = 1± = ; 4 = 4 Ответ: 1, = 1± ; = ; 4 = 4 8

29 виде Пример 15 Решить уравнение + = ( + 1) Решение Выделив в левой части полный квадрат, запишем уравнение в + = или = 0, = Полагаем = + 1 y, где 1 Тогда y + y = 0, откуда y1 = 1, y = уравнения Решая уравнение = = 0 дискриминант D < 0, те действительных корней нет = или 1± 5 Ответ: 1, = или 1± 5 1= 0, получаем 1, = Для Дробно-рациональные неравенства Дробно-рациональное неравенство - это неравенство вида ( ) ( ) P 0 Q > ( <,, ) Обычно такие неравенства решают методом интервалов Обобщим этот метод для решения рациональных неравенств: 1 Привести данное неравенство к однородному виду Разложить числитель и знаменатель на линейные множители и определить точки, в которых левая часть равна нулю или не определена (критические точки) Нанести критические точки на числовую ось и определить знак левой части на каждом из получившихся интервалов При этом, если в линейных множителях все коэффициенты при х положительные, то в правом крайнем интервале ставится знак «+» 9

30 4 Если все линейные множители стоят в нечетной степени, то знаки на интервалах чередуются Смена знака не происходит в точке, которая соответствует множителю, стоящему в четной степени При этом непосредственной проверкой выяснить, удовлетворяет ли данная точка неравенству Пример 16 Решить неравенство 1 > 1 1 Решение Данное неравенство приведём к общему знаменателю Затем, решая методом интервалов, находим Ответ: (1;) 1 > 1 > 0 1< < 1 1 Пример 17 Найти произведение целых решений неравенства 1 > 1 Решение: Перенося все слагаемые в левую часть неравенства и приведя дроби к общему знаменателю, получим: > > 0 > ( )( ) ( )( ) Последнее неравенство равносильно неравенству ( < ) 1 0 Его решения составят интервал 1 ; Целыми числами, входящими в этот интер- вал, будут 1 и Их произведение равно Ответ: Пример 18 Решить неравенство Решение Поскольку + обе части неравенства, получаем равносильное неравенство: > 0, то, домножив на ( )( ) Последнее неравенство решаем при помощи метода интервалов и получаем Ответ: [ 1; ]

31 Пример 19 Решить неравенство 6 < 1 1 Решение Приводим неравенство к однородному виду: < 0 < 0 > ( 1)( + 1) Решение исходного неравенства имеет вид ( 5; 1) ( 1; + ) Ответ: ( 5; 1) ( 1; + ) Пример 0 Решить неравенство < ОДЗ: ± 1 Решение Разложим на линейные множители числитель и знаменатель: < ( )( 4 ) ( ) < 0 ОДЗ: Знаменатель дроби положителен при всех ОДЗ, следовательно, дробь будет меньше нуля при отрицательном числителе: ( )( ) Это условие выполняется при ( ;) ( ;4 ) Ответ: ( ;) ( ;4 ) Задачи Решите следующие уравнения и неравенства: + 1) = + 8 ) = ) 4) Аудиторное занятие = + ( 4) 4( + ) + = Уравнения 1) ) ) 4 < 0 = = Домашняя работа + + = ) =

32 ) + = ) = Аудиторное занятие 1) < 0 1 ) 1 > + ) < ) > 1 + 5) 1 6) 1 > + 6 7) ) 1< ) = ) = Неравенства Домашняя работа + 1) > ) < + ( + 1) ) ) < 1 ( + 1) 5) ) 5 + < ) ) Уравнения и неравенства с модулем Простейшим уравнением с модулем называется уравнение вида f ( ) = g( ) (1) Из определения и свойств модуля непосредственно вытекает: f ( ) 0 f ( ) = g( ); f ( ) = g( ) f ( ) < 0 f ( ) = g( ) ()

33 Но чаще бывает выгоднее использовать область значений функции y = f ( ) и записать другую систему, равносильную простейшему уравнению: g( ) 0 g( ) 0 f ( ) = g( ) f ( ) g( ) = f ( ) = g ( ); f ( ) = g( ) Пример 1 Решите уравнение + = ( ) () Решение = ( ) + = 6 = = 6; + = = 8; Пример Решите уравнение = 0 4 Решение: Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: ( ) + = 0; = 0; = < 0 < = 4 ( ) + = 0; = 0; Обычный метод решения уравнений, содержащих несколько выражений, стоящих под знаками модуля, метод последовательного раскрытия модулей, или метод интервалов, который состоит в следующем Находятся точки, в которых каждое выражение, стоящее под знаком модуля, может менять свой знак Найденные точки выставляются на числовой оси Получаем интервалы знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля На каждом из получившихся интервалов модули выражений раскрываются с соответствующими знаками Исходное уравнение будет равносильно совокупности систем, в каждой из которых первое уравнение неравенство, содержащее интервал, а второе получающееся уравнение

34 Пример Решите уравнение 1 + = 5 Решение Разобьём числовую ось на три промежутка точками х = 1 и х =, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль и определим их знаки в каждом из образовавшихся промежутков ( ;1) [ 1; ) [ ; + ) Раскрывая модули по определению, получим следующую совокупность: < 1 < 1 < 1 (1 ) + ( ) = 5 ; = ; = 1; 1 < 1 < 1 < [ 1; ] ( 1) + ( ) = 5 0 = 0; R; ( 1) + ( ) = 5 ; 4 = 1; = ; Пример 4 Решить уравнение = Решение Данное уравнение равносильно следующей совокупности: < 1 < 1 = 1; 1; < 1 (1 ) 1 = = 1; 1 < 1 < 1 < ( ; + ) /74 = 1; 1; 1 1; ( 1) 1 = = > > > 1 1; = 1; = 1; = ( 1) 1 Уравнения первых двух систем решений не имеют, третья система имеет решением промежуток ( ; + ) 4

35 Решение неравенств с модулем строится аналогично решению соответствующих уравнений Лишь на этапе освобождения от модуля решается, естественно, не уравнение, а неравенство Неравенство вида f ( ) g( ) можно решать, исходя исходя из определения модуля, но во многих случаях удобнее перейти к системе неравенств неравенств f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) (4) Неравенство вида f ( ) g( ) удобнее решать, переходя к совокупности f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) При решении неравенств, содержащих несколько выражений, стоящих под знаком модуля, используется метод интервалов, аналогичный методу интервалов решения соответствующих уравнений Неравенства вида f ( ) < g( ) решаются посредством следующих преобразований: (5) ( )( ) f ( ) < g( ) f ( ) < g ( ) f ( ) g( ) f ( ) + g( ) < 0 (6) Пример 5 Решите неравенство 1 + > + Решение < 1 < > + ; < 0; < 0 1 < 1 < 1 + > + 1+ > + ; < ; > 6 1+ > + > 6 ; 0 6; + ( ) ( ) Пример 6 Решите неравенство < + 4 Решение Данное неравенство равносильно неравенству: 5

36 ( )( ) ( )( ) ( ) ( + 4) ( ) + ( + 4) < < 0 ( + 7)( 1)( 1) > 0 7; (1; + ) 1 Задачи Решите следующие уравнения и неравенства: 1) + = ( ) Аудиторное занятие Уравнения 1) + 5 = 1 Домашняя работа ) = 1 ) = 0 4) 5 = 5) + = 0 6) ( 7) 7 = 0 7) = 5 8) 1 + = + 1) ) 1 > ) 8 > Аудиторное занятие 4) ,5 < 5) > 1 6 6) 5 < 7) < ) 1 = 1 ) = 4) = 1 5) = 18 6) 1 = 8 7) = 0 8) ( 1) + 1 = 0 9) ( ) + ( ) = 1 Неравенства 1) + 6 > ) > + Домашняя работа ) + 10 < 4) > 7 ( )( ) 5) < 0 6) ) 1 < 6

37 8) ) ) 1 < ) ) < ) 1 4 Решите следующие уравнения и неравенства: В = 18 В = В 15 = + 7 В < 1 Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня Основная идея решения иррационального уравнения освобождение от иррациональности, к которому приводят: равносильные преобразования; переход к уравнению-следствию (с последующей проверкой корней подстановкой их в данное уравнение); замена переменной Кроме того, некоторые иррациональные уравнения можно решать, используя монотонность функции n и её неотрицательность при чётных n 1 Основные способы решения иррациональных уравнений Алгебраические преобразования Уравнения вида n f ( ) = n g ( ) При решении уравнений этого вида, содержащих корни нечётной степени, необходимо помнить, что эти корни извлекаются из любого действительного числа и принимают любые действительные значения Так, например, уравнение 7

38 ( ) = ( ) равносильно уравнению f ( ) g ( ) f g = В случае корней чётной степени нужно использовать любой из двух равносильных методов k ( ) ( ) f ( ) 0 f = g f ( ) = k g ( ), или k f ( ) k g ( ) ( ) ( ) g ( ) 0 f = g = На практике выбирается тот, в котором неравенство системы является более прстым Пример 7 Решить уравнение = 4, Решение Ответ: 1 = ; = 4 + = = 4 =, = 4 Пример 8 Решить уравнение Решение Ответ: = 4 = 4 4 = 4 0, = Уравнения вида f ( ) = g ( ) 0, = 1, = = Одним из наиболее распространённых преобразований при решении иррациональных уравнений является возведение в квадрат обеих частей уравнения Если обе части уравнения неотрицательны на некотором множестве, то возведение в квадрат обеих частей такого уравнения не приводит ни к потере, ни к приобретению решений на этом множестве, то есть является равносильным преобразованием Поэтому является верным Замечания: f ( ) = g ( ) g ( ) 0, ( ) = ( ) f g 8

39 1 Уравнение n f ( ) = a ( n N) при отрицательных а решений не име- n ет, а при неотрицательных значениях а равносильно уравнению f ( ) = a без каких бы то ни было дополнительных условий Уравнение n f ( ) = h( ) равносильно системе n f ( ) = h ( ) h( ) 0 причём, как правило, уравнение системы решается, а неравенство проверяется Пример 9 Решите уравнение 1 = Решение 1 = Ответ: = 0,, ( ) 1 = = 0, = 5 = 0 ( ) ( ) Пример 0 Решите уравнение Решение 4 Уравнение равносильно системе 9 + = 4+ = Уравнение системы приводится к виду ( ) = 0, откуда = 0 (этот корень не удовлетворяет неравенству ), либо = Ответ: = Уравнения вида f ( ) + g( ) = h( ) и сводимые к ним В том случае, если функции f ( ), g( ), h( ) являются линейными, уравнение f ( ) + g( ) = h( ) решается стандартным образом: возведением в квадрат обеих его частей при условии, что каждая из этих функций неотрицательна Равносильное преобразование для такого уравнения переход к системе f ( ) + f ( ) g( ) + g( ) = h( ) f ( ) 0 g( ) 0

40 Замечания: 1 Условие неотрицательности функции h( ) можно опустить, тк оно следует из неотрицательности левой части уравнения при условиях f ( ) 0 и g( ) 0 После возведения в квадрат и приведения подобных членов будет получено уравнение вида p( ) = q( ), которое решается способом, рассмотренным выше Аналогично решается уравнение f ( ) + g( ) = h( ) и в том случае, если один из радикалов заменить числом Пример 1 Решите уравнение = Решение = = = = = 16, = ( ) ( 1) ( 4 ) Ответ: = Пример Решите уравнение + = + 4 Решение + = = 4 = 1 4 = Ответ: = 4, 5 Уравнения вида f ( ) g( ) = 0 При решении уравнений вида f ( ) g( ) = 0необходимо помнить, что произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй не теряет смысла, те перейти к следующей совокупности g( ) = 0 f ( ) = 0 g( ) 0 40

41 или же рассмотреть два случая, если знак совокупности не используется Замечание К этой же группе можно отнести чуть более простые уравнения f ( ) вида = 0, g( ) равносильное системе f ( ) = 0 g( ) > 0 g( ) и = 0, f ( ) равносильно системе g( ) = 0 f ( ) 0 Пример Решите уравнение ( + 10) + 4 = 0 Решение ( + 10) + 4 = 0 + = 10 0, + 4 0, + 4 = 0 = 5, =, + 4 0, = 4 =, = 4 Ответ: 1 = 4; = Пример 4 Решите уравнение ( ) Решение Перепишем данное уравнение в виде = = 0, ( ) (эта система не имеет решений) либо откуда =, = 0, откуда = и, значит, уравнения являются числа 0 и 5 Ответ: 1 = 0; = = 4 Корнями последнего Свойства корней Решение уравнений, содержащих произведение (или частное) двух иррациональных выражений часто связана с неправильным нахождением области определения функций, стоящих под знаком иррациональности Область определения 41

42 выражения f ( ) g ( ) уже области определения выражения f ( ) g ( ) Так в первом случае D( f ) : ( ) ( ) f g 0, 0, а во втором D( f ) : ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g 0, 0 0, 0 Поэтому после перехода от корня из произведения к произведению корней можно потерять решения (чтобы этого не произошло, нужно рассматривать два случая), а при обратном переходе возможно приобретение посторонних решений (для того чтобы их исключить, нужно сделать проверку) Замена переменной Одним из самых распространенных методов решения уравнений является замена переменной Этот метод используется и для иррациональных уравнений Наиболее часто встречаются уравнения, которые можно привести к виду af ( ) + b f ( ) + c = 0 (в этом случае используется замена t = f ( ), t 0, после которой уравнение сводится к стандартному относительно t), а также уравнение вида ( ) ( ) ( ) ( ) f g a + b + c = 0 g f В этом случае уравнение сводится к квадратному заменой Обратим внимание на то, что при подстановке t n f ( ) ( ) ( ), t 0 f t = g = переменная t принимает только неотрицательные значения, а при подстановке t n + 1 f ( ) = любые действительные значения Особый вид иррациональных уравнений представляют собой уравнения, содержащие выражение n n f ( ), а основные трудности при решении этих уравнений связаны с их распознаванием и правильным извлечением корня : для корня с четным показателем n f n ( ) f ( ) забывают) = (о знаке модуля часто 4

43 Пример 5 Решите уравнение 1 + = 4 1 Решение Пусть t = 1 Тогда t + = 4, t t > 0 t = 1, t =, t > 0 Сделаем обратную замену = 1, 1 = 1 =, = Ответ: 1 =, = Пример 6 Решите уравнение = 6 Решение Обозначим через t = + Тогда Сделаем обратную замену: Ответ: 1 = 4; = 1, t = t + t = 6, t =, t = t 0 t 0 + = = 4, + = 4 = 1 Решения иррациональных неравенств Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе или к совокупности систем рациональных неравенств 1 Неравенство вида f ( ) < g ( ) равносильно следующей системе: f ( ) < g ( ) ( ) ( ) f ( ) 0 f < g Область определения g ( ) > 0следует автоматически из двух данных неравенств, 4

44 Неравенство вида f ( ) < g ( ) равносильно следующей системе: ( ) ( ) f ( ) 0, g ( ) 0 f < g > Неравенство g ( ) > 0является необходимым, так как квадратный корень есть величина неотрицательная Неравенство вида f ( ) > g ( ) равносильно совокупности двух систем: f ( ) > g ( ), g ( ) 0, ( ) > (,) g ( ) 0, f ( 0 ), f g < То есть в случае, когда g ( ) 0, мы возводим обе части в квадрат, а в случае g ( ) < 0 неравенство верно на всей области определения, так как любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного 4 Неравенство вида f ( ) g ( ) 0равносильно следующей совокупности: f ( ) g ( ) 0 ( ) f = 0, g ( ) определена g ( ) 0, f ( ) > 0 5 Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений может применяться способ подстановки, или введения новой переменной 6 Иррациональные неравенства также могут быть решены методом интервалов Его применение позволяет свести задачу к решению иррационального уравнения и исследованию знака иррациональной алгебраической функции 44

45 Пример 7 Решить неравенство 6 > + Решение 6 > +, 6 > + 6 > 0, + 0 Ответ: [ ;) <, < 6, < Пример 8 Найти все значения, удовлетворяющие неравенству + Решение Данное неравенство равносильно следующей системе: + 0, 0, + ( ) { 1} [, + ) ( )( ) 1 0, 1, (,1] [, + ), [ 1, + ), 7, 8 Ответ: { 1} [, + ) Пример 9 Решить неравенство Решение Используя схему данного раздела, имеем: + 1 0, 1, ( ) ( ) < 0, < 1, Ответ: [ ;1 ] Пример 40 Решить неравенство ( ) 1, 1, 1 1, < 1 < Решение По схеме 4, неравенство равносильно совокупности двух систем: 45

46 = 0, 40 определена 40 0, > 0 Ответ: [ + ) 8, =, R 5; 8, > Задачи Решите следующие уравнения и неравенства: Аудиторное занятие Уравнения, = 8 Домашняя работа 1) + 7 = 4 9 ) = ) = 0 1 ( ) 4) 16 = 0 5) = 0 6) = 7 7) 10 = + 5 ( )( ) 8) = 0 ( ) 9) + 1 = 1 ( + 7)( 4)( 18) 10) = 0 4 1) 5 11 = ) = ) = 0 + ( ) 4) 64 7 = ) = 0 1 6) 1 = 8 ( )( ) 7) 9 = ( )( ) 8) = 0 + 9) + = 4 + ( 7)( + 8) ( + 7)( 8) 10) = 0 Неравенства 46

47 1) > ) 5 < 6 1 ) + > 5 ( ) Аудиторное занятие 4) + 0 5) 9 > 6 6) > 1 1 7) ) ) + > 10) 4 1 > ) 1) 7 < 1 ) 9 Домашняя работа ) + 4 > + 1 ( ) 4) ( ) ( ) 5) < ) 0 > 1 7) ) + + 9) < ( ) 10) ) > 4 Системы алгебраических уравнений Cистемой двух уравнений с двумя неизвестными называется пара уравнений с двумя неизвестными : ( y) ( ) f, = 0 g, y = 0 Пара чисел (; y), которые при подстановке в каждое уравнение системы обращают её в верное числовое равенство, называется решением системы Решить систему это значит найти все её решения или установить, что их нет При решении системы уравнений применяются следующие способы: 1) способ подстановки; ) способ алгебраического сложения; ) графический способ 47

48 Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы решений не имеют Линейной системой двух уравнений (или системой двух уравнений первой степени) с двумя неизвестными будем называть систему вида где a 1 b1 0 +, a b 0 + a1 + b1 y = 0, a + b y = 0, Система линейных уравнений с двумя переменными может: a 1) иметь единственное решение, в этом случае 1 b 1, те коэффициенты a b при и y не пропорциональны; a ) не иметь решений, в этом случае 1 b1 c = 1 ; a b c a ) имеет бесконечное множество решений, то есть 1 b1 c = = 1 a b c Пример 41 Решить систему уравнений + 5y = 15, + 8y = 1 Решение Решим данную систему способом подстановки: 1 Из первого уравнения системы находим у = 15 5 Подставим выражение для y во второе уравнение системы: 8 + ( 15 ) = 1; 5 Решаем данное уравнение: = 5, = 15 ; 4 Подставляя = 15в выражение для у, получаем Ответ: = 15, y = y = 7, Пример 4 Решить систему уравнений y = 4 ; y = =

49 Решение Для решения данной системы применим метод алгебраического сложения Оставив второе уравнение системы без изменения, умножим обе части первого уравнения на : 15 + y = 1, y = 4 Складывая почленно эти уравнения, находим 17 = 17, откуда = 1 Тогда из первого уравнения данной системы получим 5 1+ y = 7, откуда y = Ответ: (1; ) Пример 4 Решить систему уравнений 49 y = 1, 4 y = Решение Из первого уравнения находим y = 1и подставив его во второе уравнение системы имеем 4 ( 1) = или = Полученное тождество означает, что система имеет бесконечное множество решений, определяемых по формуле y = 1, где х любое число Замечание Данный вывод можно было сделать ранее, если составить отношение коэффициентов при переменных и свободных членов данной системы 1 1 = = 4 Пример 44 Решить систему уравнений + y = 4, 6 + 9y = Решение Умножив первое уравнение системы на и сложив его со вторым приходим к неверному равенству 0 = 10 Полученное противоречие означает, что исходная система несовместна, т е она не имеет решений 4 = 6 9 Система уравнений второй степени система, состоящая из двух уравнений второй степени или из одного уравнения первой степени, а другого второй степени При решении уравнений второй степени используются аналогичные способы решения, как и при решении систем линейных уравнений, а именно: способ подстановки, способ сложения, графический способ, а так же способ введения новых переменных

50 Способ введения новых переменных заключается в том, что вводится новая переменная только в одно уравнение или две новые переменные сразу для обоих уравнений, далее уравнение или уравнения решаются относительно новых переменных, после этого остаётся уже решить более простую систему, из которой находят искомое решение y = 1, Пример 45 Решить систему уравнений y = 0 y = 1, = y +, = y +, Решение y = 0 ( y + ) y = 1 y y 6 = 0 = y +, y = y = Ответ: (6 ; ), ( 4; ) y =, y =, = 6, = 4 Пример 46 Решить систему уравнений y 5 =, y 6 + y = 5 Решение Пусть = t, тогда первое уравнение системы примет вид y 1 5 t t = 6 6t 5t 6 = 0, t 0 t1, t = = ; далее, 1) t 1 =, тогда = y + y = 5 = y y y 5 + = = y y = = y = ; ) t =, тогда = y + y = 5 = y y y = 5 = 10 y = 15 Ответ ( ; ), ( 10 ; 15) + y + y = y = 6 Пример 47 Решить систему уравнений ( ) ( ) 15, 50

51 Решение Пусть + y = u, где u вспомогательное неизвестное Тогда первое уравнение системы примет вид u u 15 = 0, откуда u 1 = 5, u = и исходная система распадается на совокупность двух систем: + y = 5, y = 5, y = = 0 + y =, y =, y = = 0 Первая система даёт решения 1 =, y1 = ; =, y = У второй системы дискриминант уравнения = 0 меньше нуля (D<0) Это уравнение и, следовательно, сама система уравнений действительных решений не имеет Ответ (; ), (; ) Пример 48 Решить систему уравнений y = 8, y = 4 Решение Умножив почленно уравнения системы, найдём ( y) 5 y = = Тогда y = Подставив найденное выражение для y, например, в первое уравнение данной системы, получим Поэтому y = Ответ (1; ) 8 = 8, откуда = 1 Пример 49 Решить систему уравнений + y + + y = 18, y + y = 6 Решение Складывая почленно и вычитая уравнения данной системы, получаем равносильную систему + 1 = 0, y + y 6 = 0 Решая первое уравнение, найдём = 4и = ; решая второе уравнение, найдём y = и y = Ответ ( 4; ), ( 4; ), ( ; ), ( ;) 51

52 Пример 50 Решить систему уравнений ( y )( y ) = 0, 4y = 7 Решение ( y )( y ) = 0, 4y = 7 + y 1 = 0, 4y = 7 y + 1 = 0, 4y = 7 Далее используя метод алгебраического сложения для каждой системы, получаем решение: (1,8; 0,4), (5; ) Ответ (1,8; 0,4), (5; ) Пример 51 Решить систему уравнений 5 = y 4, 7 y = 15 Решение Из первого уравнения следует, что y 4 0, из второго 15 0, те y 4, 5, тогда первое уравнение имеет вид ( ) 5 = y 4 y = 19, а второе тк 7 y = 7 (19 ) = 1 = 4, то 4 = 15 Тогда: 1) y = 19 y = 19 1 = 15 1 = 15 4; < < 4; ) y = = 15 ; y = = 7; y = = 4,5 = 4,5 y = 5,5 Ответ: (4,5; 5,5) 1 + y + =, Пример 5 Решить систему уравнений y y + 6 = 4 Решение Необходимо заметить, что y y ( )( y ) + 6 = 1 + Поэтому, обозначая u = 1, v = y + (u 0, v 0) получаем систему 5

53 u + v =, uv = u = 1, v = ; u =, v = 1 1 = 1, y + = ; 1 = y + = 1 1 = 1, y + = 4; 1 = 4, y + = 1 = 1, y = 1; 5 =, y = Ответ: (1; 1), (,5; ) Задачи Решите системы уравнений Аудиторные занятия Домашняя работа 1) 5х у = 7 10х + 7у = 1) х у = 5 7х + 0у = 8 ) х у = 5 ху = 14 ) + y = 5 y = ) х у 1 + = у х 16 х + у = 5 ) х у 5 + = у х 1 х у = 7 4) х + ху + у = 1 х + у = 4 4) х + у = 5 х + у = 5 5) = 5 х у = 1 х у 5) у + = х х + = у х у = 6) у х х у = 6 х + ху + у = 11 7) х у + ху = 0 6) 7) ху + х = у = 1 х х ху + у = 7 х + у = 5 5

54 8) 9) y = y + y = 5 х + ху 4у 5х + 4 = 0 х у = 8) 9) + 5y + 9 = 0 y 7 = 0 у ху = 1 х ху = 8 Аудиторные занятия Решите системы неравенств Домашняя работа 1) х + 1 > х + 4 5х + 8х + 1 1) 5х х + 1 х + < 18 х 7( х + 1) х > 9 4х ) (5 х) 1 4 5х х 5 6х ) 4х 1 1 х 7 х > х + 9 ) ) 5х 6х 1 4х + 1 < х + 1 х > 1 5 х 4х + 0 х 6х + 8 < 0 5 Уравнения и неравенства высших степеней 51 Методы решения уравнений высших степеней Пример 5 Решить уравнение: Метод группировки + = 0 Решение Используем разложение на множители Перепишем уравнение, записав =, то есть получим + = 0, а затем группируя слагаемые, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 = = 0 Ответ: 1 = = 1, = 1 = 0, 1 = 1, + = 0 =, = 1 54

55 Метод введения новой переменной Пример 54 Решить уравнение ( )( ) Решение Имеем ( 1)( 1)( ) = = или ( )( ) = 0 Полагая + = y, получим y( y ) + 1 = 0 или ( ) y 1 = 0, откуда y1 = y = 1 Теперь из уравнения + = 1 или + 1 = 0 находим Ответ: 1± =, = 1,,4 Пример 55 Решить уравнение: ( ) ( ) Решение выражения неизвестного Пусть = 0 Левая часть данного уравнения содержит неизвестное х в виде 5 Поэтому для его решения используем метод введения нового 5 = y, где y новое неизвестное Тогда данное уравнение приводится к квадратному уравнению относительно y: y 0y 16 = 0 Возвращаясь к первоначальной переменной получим следующую совокупность Решая его, получаем y1 = 6, y = = 0, 5 6 = 0, решая которую получим Ответ: 1 =, =, = 4, 4 = 9 1 =, =, = 4, 4 = 9 Пример 56 Решить уравнение : ( + + )( + ) + ( ) 1 1 Решение Очевидно, что раскрытие скобок только усложнит процесс решения, так как получится уравнение четвёртой степени Проще сделать замену t = + Тогда получим 55

56 ( )( ) ( ) t + 1 t + 1 t = 0 t t = 0, откуда t1 = 0, t = Возвращаясь к исходной переменной, получим + = 0, 1 = = = 4 = + = 0, 1, 0, 1 Ответ: 1 = ; 4 = 1; = 0; = 1 Пример 57 Решить уравнение: ( ) ( ) 6 = 61 Решение Раскрывая скобки во втором слагаемом, получим ( ) ( ) = 61 Сделав замену подобных членов, приходим к уравнению t = 6 и после приведения t t 88 = 0, корни которого t = 8, t = 11 Следовательно 1 6 = 8 6 = 11, откуда 1,4 = ; = 4; = ± 5 Ответ: ; 4; ± Пример 58 Решить уравнение ( ) ( ) = 16 В ответе указать сумму корней Решение Выполним замену, позволяющую записать уравнение в более + 4 симметричной форме: t = + = + Тогда = t Подставляя данное выражение, получим уравнение = 16 ( t ) ( t ) Тогда ( t t ) ( t t ) = 16 ( t + 1) 4t ( t + 1) + 4t + ( t + 1) + 4t ( t + 1) + 4t = 16 ( t ) t ( ) + + = 1 8t t = 8, раскрывая скобки, получаем биквадратное уравнение 4 t 6t 7 0, + = откуда t = 1, t = 7 < 0 Тогда t = ± 1; 1 = 1 = 4; = 1 = 56

57 Следовательно, 1 + = 6 Ответ: 6 Пример 59 Решить уравнение сумму корней Метод подбора = 0 В ответе указать Решение Если у данного уравнения имеется целый корень, то он является делителем свободного члена Поэтому целым корнем может быть только одно из чисел ± 1; ± Нетрудно убедиться, что таковым является = По теореме Безу многочлен делится без остатка на двучлен, а потому исходное уравнение может быть представлено в виде ( )( ) 4 1 = 0 Тогда = 0, 4 1 = 0, находим 1 =, = 5, = + 5 и = 6 Ответ: 6 Пример 60 Нестандартный подход Решить уравнение 5 y 1 4y = В ответе указать значение + y Решение Перепишем уравнение в виде y + y = 0, те( ) ( y) 1 + = 0 Сумма квадратов равна нулю только в том случае, когда каждый из них равен нулю, те + y = Ответ: 1 = 0, y = 0, тогда = 1, y = Поэтому 5 Примеры решения неравенств высших степеней Пример 61 Решите неравенство: ( )( )( ) < 0 Решение Рассмотрим функцию f ( ) = ( + )( )( 5 ) D( f ) = R; а f ( ) = 0 при =, = или = 5 Рассмотрев промежутки знакопостоянства функции f ( ), получим

58 Ответ: ( ; ) ( ;5 ) Пример 6 Решить неравенство ( )( ) 1 < 0 Решение: Пусть y = Тогда неравенство примет вид y( y + ) < 0, или y + y 10 = 0, откуда ( y + 5)( y ) < 0 Решением этого неравенства служит интервал 5 < y < Таким образом, получаем систему неравенств > 5 + > 0,, < 4 < 0 Поскольку первое неравенство выполняется при всех значениях, решение этой системы есть интервал ( 1;4 ) Ответ: ( 1;4 ) Пример 6 Решить неравенство ( )( ) Решение: > 0 1, > > 0 > ( )( ) ( )( ) Ответ: ( ;1) ( 1; + ) Задачи Решите следующие уравнения и неравенства: Аудиторные занятия Уравнения Домашняя работа 1) = 0 4 ( )( ) ) + 8 = 11 ) + = 4) 8 + = 0 1) + + = 0 ( ) ( ) ) = 4 10 ) + = ) = 0 58

59 ( ) ( ) 5) = 4 + = 6) = 7) ( )( ) 8) = 0 ( )( )( )( ) 9) 1 4 = ) = 0 ( )( )( )( ) 6) = 1680 ( ) ( ) ( ) ( ) 7) = ) = 4 4 Аудиторные занятия Неравенства Домашняя работа 1) + 4 > 0 4 ) < 0 ( )( ) ) ( ) ( ) 4) < 0 5) х 5х х + 5 > 0 6 1) 7 6 > 0 ( )( )( ) ) ) ( + 1,5 )( + 5) > 0 5 4) х < х 4 5) ( х 1) 8( х 1) 9 < 0 59

60 Тема Комплексные числа 4 часа Определение Комплексным числом z называется выражение z = + iy, где и y действительные числа, i мнимая единица, которая определяется соотношением: i = 1, i = 1 При этом число называется действительной частью числа z ( = Re z ), а y - мнимой частью ( y Im z 60 = ) Определение Два комплексных числа z 1 = 1 + iy 1 и z = + iy называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: 1 =, y1 = y Определение Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю его действительная и мнимая части Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа При у O r х ϕ z = + iy y х z = iy этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью Длина радиуса-вектора этой точки называется модулем комплексного числа Модуль обозначается r и находится по формуле r = z = + y Угол между положительным направлением оси OX и радиусом-вектором комплексной точки называют агрументом комплексного числа Arg z = ϕ Из геометрических соображений видно, что = r cos ϕ, y = r sin ϕ, (1) откуда можно выразить аргумент комплексного числа В частности, если комплексная точка расположена в первой четверти комплексной плоскости, то

61 ϕ = arctg y () Определение Число z = iy называется комплексно сопряженным к числу z = + iy 1 Три формы представления комплексного числа 1 Представление комплексного числа в виде z = + iy называется алгебраической формой Из справедливости равенств (1) следует, что комплексное число можно представить в тригонометрической форме ( cos sin ) Из справедливости формулы Эйлера z = r ϕ + i ϕ () iϕ e = cos ϕ + isin ϕ (4) следует представление комплексного числа в показательной форме i re ϕ z = (5) Пример 1 z = 1 i Здесь = 1- действительная часть, y = 1 - мнимая часть Находим ( ) находим ϕ = 7π 4 показательная форма r = = Из системы равенств 1 = cos ϕ, 1 = sin ϕ Тогда тригонометрическая форма комплексного числа: 7π 7π 1 i = cos + isin 4 4, 7π 1 i = e i Действия с комплексными числами 1) Сложение и вычитание ) Умножение В алгебраической форме: ( ) z ± z = + iy ± + iy = ± + i y ± y

62 ( ) ( ) y y i( y y ) z1 z = 1 + iy1 + iy = 1 + i 1 y + i y1 + i y1 y = В тригонометрической форме: = ( ( ) ( cos sin ) ( cos sin ) ( cos cos sin sin ) ( sin cos cos sin )) cos( ) sin ( ) z1z = r1 ϕ 1 + i ϕ1 r ϕ + i ϕ = r1 r ϕ1 ϕ ϕ1 ϕ + + i ϕ1 ϕ + ϕ1 ϕ = r1 r ϕ 1 + ϕ + i ϕ 1 + ϕ В показательной форме i 1 i i z z = r e ϕ r e ϕ = r r e ( ϕ 1 +ϕ ), те для того, чтобы перемножить два комплексных числа, нужно их модули перемножить, а аргументы сложить В случае комплексно сопряженных чисел: ) Деление В алгебраической форме: z z = ( + iy) ( iy) = + y = r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z + iy + iy iy + y y + i y y z iy iy iy y 1 = 1 1 = 1 1 = , те числитель и знаменатель нужно умножить на комплексно-сопряженное к знаменателю В тригонометрической форме: ( cos isin ) ( cos sin ) z1 r1 ϕ 1 + ϕ1 r = = 1 ϕ ϕ + ϕ ϕ z r ϕ + i ϕ r В показательной форме: iϕ ( cos( ) isin( )) z 1 1 r1 e r1 i( ϕ1 ϕ = = e ), z iϕ r e r те модули нужно разделить, а аргументы вычесть 1 1 4) Возведение в целую положительную степень (6) Из операции умножения комплексных чисел в тригонометрической форме ( cos sin ) z = r ϕ + i ϕ следует, что В общем случае получим: ( ) z = r cosϕ + isin ϕ 6

63 где n целое положительное число ( cos sin ) n n z r n i n = ϕ + ϕ, (7) Это выражение называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр ( ) английский математик) В показательной форме: 5) Извлечение корня n n i nϕ z r e = (8) Если - комплексное число, то существует ровно n различных значений корня степени n, определяемых по формулам Муавра: n ( ) n ϕ + πk ϕ + πk z = r cos + isin, где 0,1,, 1 k n n k = n (9) Пример Даны два комплексных числа z1 = + i, z = i Найти z z1 + z, z 1 z, z 1 z, 1 z Решение Находим z 1 + z = + i i = i ; ( ) z1 z = + i i = + + i ; ( ) ( ) z1 z = + i i = i + i i = + + i( ) ; ( i) ( i) z1 + i i i i + i = = = = = z ( ) ( ) i + i + i i + i( + ) 1 1+ = = i Пример Найти значение выражения ( 1 i ) ( 1+ i) Решение Обозначим z1 = 1 i, z = 1 + i Тогда 1 = 1, y1 = 1, = 1, y = 1 7π π Находим r 1 = r =, ϕ 1 =, ϕ = ( ) ( ) 0 0 7π 0 7π z1 = r1 cos 0ϕ 1 + i sin 0ϕ 1 = cos + i sin =

64 ( i ) ( i ) = 10 cos5π + sin 5π = 10 cos π + sin π = ( ) ( ) π 40 π z = r cos 40ϕ 1 + i sin 40ϕ 1 = cos + i sin = 4 4 ( i ) ( i ) = cos10π + sin10π = cos0 + sin 0 = ( i) ( 1+ i) = = = Пример 4 Найти все значения корня i Решение Обозначим z = i Здесь = 0, y = 1 Находим ( ) π + πk π + πk i = 1 cos + isin, k = 0,1, k Получим три корня k : ( ) При = 0 при = 1 k : ( ) при = π π π π i = 1 cos + isin = cos + isin = i ; 0 π r = 1, ϕ = π + π π + π 7π 7π i = 1 cos + isin = cos + isin = k : ( ) π π 1 = cos isin = i ; 6 6 π + 4π π + 4π 11π 11π i = 1 cos + isin = cos + isin = 6 6 π π 1 = cos isin = i 6 6 Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и тд углов Пример 5 Вывести формулы для sin ϕ иcosϕ Решение Рассмотрим некоторое комплексное число z r ( cos isin ) Тогда с одной стороны z r ( cos icos sin sin ) = ϕ + ϕ ϕ ϕ По формуле Муавра: z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) = ϕ + ϕ Приравнивая, получим 64 cos ϕ + i sin ϕ = cos ϕ sin ϕ + i cosϕ sin ϕ

65 Тк два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то cos ϕ = cos ϕ sin ϕ, sin ϕ = sin ϕ cos ϕ Получили известные формулы двойного угла Задачи А1 Следующие комплексные числа представить в тригонометрической и показательной форме: 1) 1; ) -1; ) i ; 4) i ; 5) i ; 6) i ; 7) 1+ i ; 8) 1+ i А Вычислите значения выражений 1) ( + i ) ( i) ; ) ( 1 i) 5) 1 i 1+ i ; 6) i i + ; ) i 1+ i ; 4) i 4 i ; А Найдите все значения корня: ; 7) ( 1 i) 10 1) i ; ) 4 1 ; ) 1+ i + ; 8) ( 1+ i ) ( 1 i) 5 В1 Найдите значения выражений: + ; ) ( i i ) ( 1 i ) 1) ( 1 i) ( 1 i) + ; ) ( 1 + i ) ( + i ) ( 1 i ) ( i ) i + i ; 4) π π (1 i) cos + isin 4 4 5) ; 6) π π cos + isin 4 π i 7) e π π cos + isin π π (1 + i) cos + isin ; π π cos + isin π i e 4 5π 5π cos isin ;

66 1) В z 1 = 1 i, z = + i Вычислите: 1) z 1 z ; ) В z 1 = + i, z = + i Вычислите 1) z 1 z ; ) В4 Вычислите 0 1+ i 1 i z1 z 1 10 ; ) ( i) ( i ) 6 В5 Найти все значения корня: z z ) 4 + i ; ) 5 1 i В6 Пользуясь формулами Муавра, вывести формулы для 1) cos ϕ, sin ϕ ; ) cos4 ϕ, sin 4ϕ 66

67 Тема 4 Определители и их свойства 4 часа Определителем n-го порядка называется число квадратной таблицы a11 a1 a1 a1n a1 a a an an1 an an ann n, записываемое в виде = A = det A = n (41) и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам (, 1, ) aij i j n по формуле =, которые называются элементами определителя При n = получаем определитель второго порядка, который вычисляется a11 a1 a11a a1 a1 a1 a = = (4) При n = получаем определитель третьего порядка, который вычисляется по следующему правилу a11 a1 a1 = a1 a a = a11a a + a1 aa1 + a1aa1 a1 a a a1a a1 aa1 a1 a11a a Правило вычисления определителя третьего порядка называют правилом треугольников Схематически это правило можно изобразить следующим образом: (4) Чтобы сформулировать правило вычисления определителей произвольного порядка введем несколько дополнительных определений 67

68 Главной диагональю определителя называется совокупность элементов a11, a,, a nn Минором Mijэлемента aijназывается определитель ( n 1) -го порядка n 1, полученный из определителя n-го порядка n вычеркиванием i-й строки и j- го столбца Алгебраическое дополнение Aijэлемента aijопределяется равенством A ij ( 1) i + = j Mij (44) Например: 1 1 det A 4 5 6, M = = =, A + 1 = ( 1) = ( 1) ( 6) = Для произвольного n определитель nравен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: n n n = aik Aik = akj Akj k= 1 k= 1 Правило вычисления определителей n го порядка называют разложением nпо элементам строки (столбца) Пример 41 Вычислить определитель четвёртого порядка 4 = Решение Разложим определитель по элементам первой строки: = = ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) = = 74 68

69 41 Основные свойства определителей 1 Если поменять местами любые две строки (два столбца) определителя, то он изменит знак на противоположный Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число λ, то значение определителя умножится на это же число 4 Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю 5 Определитель, у которого элементы двух параллельных строк (столбцов) пропорциональны, равен нулю 6 Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующая строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а во втором из вторых слагаемых 7 Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой его строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число λ Свойства определителей позволяют упростить их вычисление В частности, если преобразовать определитель таким образом, чтобы все элементы одной его строки (столбца), кроме одного, были равны нулю, то определитель будет равен произведению ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение Пример 4 4 = Прибавим к четвертой строке определителя вторую, умноженную на = = ( 1)

70 Прибавим ко второй строке определителя первую строку, а к третьей строке первую, умноженную на = 0 1 = ( 1) ( 1) = ( 4 1) = Задачи А1 Вычислите определители 1 sin α cosα 1) ; ) 5 cosα sin α ; ) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) 1 i + i 6 i 4i А Решите уравнения 1) + 1 = 0; ) cos8α sin 5α = 0 ; ) sin8α cos5α 1 = А Решите неравенства 1) 1 1 0; ) А4 Для данных определителей найдите алгебраические дополнения и миноры с указанными номерами: ) ; ) ; ) M4; A; A 4 M1; A; A 4 M4; A1; A 14 В1 Вычислите определители 70

71 1) ; ) 1+ i i 1+ i i + i 4 1+ i 1 i ; ) + i i 1+ i i В Вычислите определители разложением по строке или столбцу 1) ; ) ; ) В Вычислите определители, получив дополнительные нули в строке или столбце ) ; ) ; ) ; ) ; 5) ; 6)

72 Тема 5 Решение систем линейных уравнений методом Крамера часа В качестве приложения изложенной выше теории рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными a11х1 + a1х + a1х = b1, a1х1 + aх + aх = b, a1х1 + aх + aх = b Определитель, составленный из коэффициентов системы, = a a a a a a 1 a a a 1 называется главным определителем системы (51) (51) Если 0, система (51) имеет единственное решение, которое находится по формулам где = b a a b a a 1 b a a 1 1 = ; = ; =, (5) ; = a b a a b a 1 a b a 1 ; = a a b a a b 1 a a b 1 Определители 1,, получаются из главного определителя путём замены его первого, второго и третьего столбцов столбцом правых частей системы (51) Фомулы (5) называются формулами Крамера (Габриель Крамер ( ) - швейцарский математик), а метод решения систем по формулам (5) называется методом Крамера Пример 51 Решите систему уравнений по формулам Крамера х1 + 5х х =, х1 + 4х х =, х1 х х = 7 Решение Найдём главный определитель системы 7

73 1 5 1 = 4 = 1 4 ( ) + ( 1) ( 1) + 5 ( ) ( 1) ( ) ( 1) 5 ( ) = 16 0 Так как главный определитель системы не равен нулю, то система имеет едиственное решение Найдём решение системы по формулам (5), где = 4 = 64, = = 16, = 4 = ) Следовательно, 1 = = 4, = = 1, = = Задачи А1 Решите системы уравнений методом Крамера 8х1 + х 6х = 4, х1 + х х =, ) 4х1 + х х = 5 4х1 + х х = 9, х1 + х х =, 8х1 + х 6х = 1 х1 + х + 4х = 1, ) 7х1 5х + х =, 4х1 + х = 7 4) х1 х + х =, х1 + х + х = 4, 4х1 + х + 4х = 5) х1 х + х = 1, х1 + х + 4х = 6, 5х1 + х + х = 6) х1 + х + х = 7, х1 + х + х = 1, х1 + х + х = 6 В1 Решите системы уравнений методом Крамера 1) х1 + х + 4х 54 = 9, 5х1 7х + 8х + 4 = 18, 4х1 + 5х 7х 4 = 5, = ) х1 + 5х х + 4 = 1, 4х1 х + 5х + 4 = 7, 7х1 + 8х х + 54 = 40, = 41 7

74 Тема 6 Деление многочленов; выделение целой части, теорема Безу Разложение многочлена на множители Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей 4 часа Определение Многочленом степени n называется выражение n n 1 Pn ( ) a0 a1 an = + + +, где a0, a1,, a n - числовые коэффициенты Рациональной дробью называется выражение вида 74 P( ) Q( ), где P ( ), Q ( ) - многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P( ) в числителе меньше степени многочлена Q( ) в знаменателе В противном случае дробь называется неправильной Если рациональная дробь P( ) Q( ) неправильная, то в ней можно выделить целую часть с помощью деления углом Тогда справедливо представление P( ) = Q( ) S( ) + r( ), где S( ) - целая часть, а r( ) - остаток от деления, причем степень многочлена r( ) строго меньше степени многочлена Q( ) Получим P( ) r( ) = S( ) + (61) Q( ) Q( ) Пример 61 Выделить целую часть в рациональной дроби Решение Выполним деление углом : целая часть остаток

75 Тогда получим = Если мы будем делить многочлен P() на произвольный многочлен первой степени (или, как будем говорить дальше, на линейный многочлен), то остаток будет либо некоторым многочленом нулевой степени, либо нулем, т е во всяком случае некоторым числом r Следующая теорема позволяет найти этот остаток, не выполняя деления, в случае, когда производится деление на многочлен вида Теорема Безу Остаток от деления многочлена f() на линейный многочлен c c равен значению f(c) многочлена f() при х = с Число с тогда и только тогда будет корнем многочлена P(х), если P() делится на c Таким образом, разыскание корней многочлена P() равносильно разысканию его линейных делителей двучлен Рассмотрим следующий метод деления многочлена P() на линейный c, более простой, чем общий алгоритм деления многочленов Этот метод называется методом Горнера Пусть и пусть где S() = n n 1 n 0 1 P( ) = a + a + a + + a n (6) n 1 0 n n b b b b n P() = (-c)s()+r, (6) Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в (6), получаем: a 0 =b 0 a 1 = b 1 cb 0, a = b cb 1, an 1 = bn 1 cbn, an = r cbn 1 75

76 Отсюда следует, что b 0 =а 0, bk = cbk 1 + ak, k=1,,, п 1, те коэффициент b k получается умножением предыдущего коэффициента b k-1 на с и прибавлением соответствующего коэффициента a k ; наконец, r=cb n-1 +a n, Таким образом, коэффициенты частного и остаток можно последовательно получать при помощи однотипных вычислений, которые располагаются в схему, как показывают следующий пример: Пример 6 Разделить 5 4 P( ) = + на Решение Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена P(), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку значение с в данном примере: = 5 5 = = = = 4 Таким образом, искомое частное будет 4 S( ) = , а остаток r=p()=4, те = Если P( c ) = 0, а многочлен S( ) является частным от деления P( ) на линейный двучлен c, то справедливо разложение многочлена на множители P( ) = S( ) ( c) (64) Многочлен степени п может быть единственным образом представлен в виде следующего произведения многочленов первой и второй степени: где 1 k 1 1 l l P(х)= a( с )( с )( + p + q )( + p + q ), a 0, p i 4q < 0 ( i = l,,, l), k+l=n Пример 6 Разложить на множители многочлен 4 P( ) = i 76

77 Решение Если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена Находим P (1) = 0 Разделим углом многочлен P() на линейный двучлен Тогда 4 ( ) ( 5 10) ( 1) ( ( ) 5( ) ) ( 1) ( 5) ( ) ( 1) P = + + = + = = + = + 61 Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими (или элементарными): A A A + B A + B 1) ; ) ; ) ; 4) a + p + q k ( a) ( + p + q) При этом предполагается, что A, B, p, q - действительные числа, а квадратный k трехчлен + p + q не имеет действительных корней (т е p 4q < 0 ) Теорема: Если P( ) Q( ) - правильная рациональная дробь, знаменатель Q( ) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей: 77

78 Q() = ( - a) k ( - b) l ( + p + q) m ( + r + s) t ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме: P( ) A1 A Ak B1 B Bl M1 + N = Q( ) a k b l + p + q ( a) ( a) ( b) ( b) M + N Mm + Nm R1 + S1 R + S Rt + S t ( ) ( m + p + q + p + q + r + s ) ( + r + s) ( + r + s) где A i, B i, M i, N i, R i, S i некоторые постоянные величины Для нахождения величин A i, B i, M i, N i, R i, S i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х Применение этого метода рассмотрим на конкретных примерах Пример 64 Разложим на простейшие дроби рациональную дробь Решение Дробь правильная Раскладывая знаменатель на множители, имеем разложение A B = = + 6 ( )( + ) + Для того чтобы найти коэффициенты, приведем дроби правой части к общему знаменателю ( )( ) ( + ) + B( ) ( )( ) A = + + Приравнивая числители, получим: ( A + B) + A B = Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений: A + B = 7 A = 5 0 A B = 4 B =, t Тогда справедливо разложение ==

79 Тогда Пример 65 Разложим на простейшие дробь Решение Данная дробь неправильная, сначала выделим целую часть = Представим правильную дробь в виде суммы простейших дробей: 1 1 A B + C = = ( + + 1) Приведем к общему знаменателю, найдем неопределенные коэффициенты: ( ) ( ) A B + C = 1 ( ) ( ) A + B + A + C + A = 1 A + B = 1 A = 1 A + C = 0 B = 0 A = 1 C = 1 Тогда получим разложение на сумму простейших: 1) ) ) = Задачи А1 Выполнить деление с остатком: на 1на + 1, + 1, на 1, 79

80 4) на + А Разделить многочлен f ( ) с остатком на 0 и вычислить значение f ( 0) 1) ) ) 4) 1) ) 4 f ( ) = , 0 = 1, 5 f ( ) = 5 8, 0 =, 5 4 f ( ) = , 0 =, 4 f ( ) = , 0 = А Разложить на сумму простейших дробей рациональную дробь: ( )( + 5) ) 4) ( + )( 4) 5) + 1 6) ( + )( + 1) 7) 1) ) + 1 ( + + 5)( 1) В1 Выполнить деление с остатком: 4 + на + 1+ i, на 1+ i 8) В Разделить многочлен f ( ) с остатком на 0 и вычислить значение f ( 0) 1) ) 1) 4 f ( ) = + i (1 + i) i, 0 = i, 4 f ( ) = + ( 8 i) (1+ 18 i) ( 0 i) i, 0 = 1+ i В Разложить на сумму простейших дробей рациональную дробь: )

81 ) ) + ( + 4 4)( 1) 5) ( ) 1 6) ( 1)( + 1) ( ) 7) 1 4 ( 1) 8) ( 1) ( 1) 81

82 Тема 7 Введение в математический анализ 71 Общие свойства функций Определение Если каждому значению переменной, принадлежащей некоторой области D, соответствует единственное значений другой переменной y, то говорят, что на множестве D задана функция f и записывают y = f ( ), где - называется независимой переменной или аргументом этой функции, а множество D - областью определения этой функции Все значения, которые принимает функция f ( ) (при D ), образуют область значения (изменения) функции E( f ) Определение Функция y = f ( ), определённая на множестве D, называется чётной, если для любого D выполняются условия: D и f ( ) = f ( ) ; нечётной, если для любого D выполняются условия: D и f ( ) = f ( ) График чётной функции симметричен относительно оси Oy, а нечётной относительно начала координат 1 Пусть функция y = f ( ) определена в области D Определение Если для любых 1, D, удовлетворяющих условию <, выполняется: f ( 1) < f ( ), то функция f ( ) называется возрастающей в D ; f ( 1) f ( ), то функция f ( ) называется неубывающей в D ; >, то функция f ( ) называется убывающей в D ; f ( 1 ) f ( ), то f ( 1 ) f ( ) функция f ( ) называется невозрастающей в D Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции называются монотонными, а а возрастающие и убывающие строго монотонными на этом множестве Определение Функция y = f ( ), определённая на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T > 0, что при каждом D значение ( + T ) D и f ( + T ) = f ( ) При этом число T называется периодом функции 8

83 Если T - перид функции, то её периодоми будут также и числа mt, где m = ± 1, ±, Определение Если функция u = ϕ ( ) определена на множестве D, E - область ее значений, функция y = f ( u) определена на множестве E, то функция y = f ( ϕ ( )) называется сложной функцией (или суперпозицией двух функций или функцией от функции) Переменную u = ϕ ( ) называют промежуточным аргументом сложной функции Сложная функция может быть суперпозицией большего числа функций: трех, четырех и тд Например, функция y = cos( + 1) - сеперпозиция двух функций y = cosu и u = + 1; функция y = lg(sin ) - суперпозиция трех функций Пусть задана функция y = f ( ) с областью определения D и множеством значений E Определение Если каждому значению y E соответствует единственное значение D, то определена функция = ϕ ( y) с областью определения E и множеством значений D Такая функция ϕ ( y) называется обратной к функции f ( ) и записывается в виде 1 ( ) ( ) = ϕ y = f y Про функции y = f ( ) и = ϕ ( y) говорят, что они являются взаимно обратными Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f ( ) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f ( ) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную Графики функций y = f ( ) и = ϕ ( y) совпадают, но если независимую переменную (аргумент) обозначить, а зависимую переменную - y, то функция, обратная y = f ( ) запишется в виде y = ϕ ( ) и тогда графики этих функций будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов А1 Найдите нули функций Задачи 1) ( ) = 4 ) f ( ) = 6 f х 8

84 ) 5) y = ( 1)lg( ) 4) π g( ) = sin ) А Найдите значения функций h( ) = 6 + cos π 1 16, если, g( ) = 1 sin +, если > 1) sin, если 1, f ( ) = cos, если < 1 при π = ) 6 19, если, g( ) = log, если < 1 при = π А Найдите f g, если f ( ) =, g( ) = 1+ sin 1 А4 Найдите нули функции А5 Пусть h( ) = f ( ) f ( + ), если = + Найдите f (1 ) + f (1 + ) f ( ) 8 f ( ) = 4 А6 Пусть f ( ) 1 = Найдите f ( 1) + f ( + 1) А7 Найдите множество значений функций 1) f ( ) = ) y( х) = А8 Определите, какая из функций является чётной 1) ( 1 sin ) + ; ) sin ; ) + cos ; 4) sin + А9 Определите, какая из функций является нечётной 1) sin ; ) + cos ; ) sin ; 4) cos + e А10 Укажите, какая из данных функций не является ни чётной, ни нечётной 1) sin ; ) ln ; ) 7 ; 4) 84

85 А11 Укажите график четной функции 1) ) ) 4) А1 Укажите график нечётной функции 1) ) ) 4) А1 Найдите значение функции f (19), если известно, что функция y = f ( ) - четная, имеет период 10 и на отрезке [0; 5] функция имеет вид y = 15 + А14 Найдите значение функции f (11), если известно, что функция y = f ( ) - четная, имеет период 6 и на отрезке [0; ] функция имеет вид y = К основным элементарным функциям относятся пять классов функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические При α = 1функция называется линейной, графиком функции является прямая (рис 1) 7 Степенная функция Степенная функция y = α, α Q 85 Рис 1

86 При α = n, n N графики функций у = х п изображены на рис Рис При α = 1графики функций изображены на рис Задачи А15 Постройте графики функций: 1) y =, ) y =, ) y = 1, 4) =, 5) y = +, 6) y =, 7) y = 1, 8) + y =, 9) y = 6, 10) 4y = 5 А16 Постройте графики функций: 1) y =, ) y = 1, ) y = 1, 4) y =, 5) y = + Рис А17 Постройте графики функций: 1) y =, ) y = 1, ) y = ( 1) 4) y = 5 + 6, 5) y =, 6) y = + + 5, 7) y = 4 + 6, 8) y = +, 9) y =, 10) y = А18 Постройте графики функций: 1) y =, ) y = +, 86

87 ) y = +, 4) y = + 4 А19 Постройте графики функций: 1) y =, ) y =, ) y = 1, ) y =, 4) y =, 5) y =, 6) y = + 1 А0 Постройте графики функций: 1) 1 y =, ) 1 y =, ) 1 y =, 4) 1 y = 7 Показательная функция Рис 4 А1 Постройте графики функций 1) y = ; ) Задачи y = e ; ) y = 0,5 ; 4) y = ; 5) 1 + y = ; 6) y = ; 7) y = 1) 4) 6) А Решите уравнения х 0,5 х Показательные уравнения и неравенства = 1 ) 4 х х 4 х+ 11 = 11 х+ х+ 1 х = х 1 1 х ) 5) 6 х+ 4 = + + = 9; 7) х = х+ 1 х =

88 8) х х + 1 х 1 х = 9) х 54 х 58 7 = 16 10) 11) = = В1 Решите уравнения 1) 1 х х+ 6 0, 0, = 0,04 ) х 1 1х 56 9 = ) 5) 10 = ) 5х 1 х х = 1 6) х х 7) х ( ) + 0, = 0 х+ 1 х 1 = 4 1 5х х+ 1,5 ( 5 8 х) / 5 1 = 15 8) = 6 9) = х х х+ 1 х+ 1 х х+ 1 10) = 11) = 0 х х х 1) ( + 8) + ( 8) = 6 1) ( ) ( ) В Решите неравенства х = 14 1) ) > ; ) х > + ; х+ 1 х х х 5 > + ; 4) 6 6 ; 5) х х 4 + 0; 6) В Решите системы неравенств 4 х < 9 1) > 5 64 ) >

89 74 Логарифмическая функция y = log a Рис 5 А Постройте графики функций Задачи 1) y = log ; ) y = ln ; ) y = log0,5 ; 4) y = log ( ) ; 5) y = lg 1; 6) y = log6 ; 7) y = log5 ; 8) y = log0,5 741 Логарифмические преобразования Формулы логарифмирования: log a b a b = b, loga a = b, loga 1 = 0, log a a = 1, log a( y) = loga + log a y, loga = loga log a y, y p n a = a a = a log plog, p n; log nlog log log c b a b =, log a log n n log, a m b = a b m А Найдите значения выражений c 1 log a b =, loga b logb a = 1, log a b 1 log m log a, a b = m b n log n log a a b = b log 1) log ; ) 7 5 log 49 ; ) 5 6 log 5 ; 4) 7 1 log 49 ; 5)

90 А4 Вычислите log 1) 9 log ; ) log log ; ) log 7 log 7 ; 4) log0, 47 log 47 ; 5) log 8 1; 1 6) log 49; 7) 10 log 6 А5 Вычислите 1) log11 log117 ; ) log411 log1156 ; ) log681 log8116 ; 4) log16 log6 6; 5) log log16 56; 6) log916, + log9 5; 7) log116,9 + log110 ; 8) log10 50 log10,5; 9) log6 4 log6 6,5; log 10) 5 log7 0, log 7 + ; 11) log18 + log В4 Вычислите 1 1) 1,5 log 5 6,7 7 +, 9 log ) log 81 log ( ) log ) 4 log61 + log515 + log log 5 log ( ) 0, 4) log 1 log log 7 + ; 6) 0 log 480 ; log 6 log log 10 7,5 log 40 log 15 log 64 log log 7),75 60 ( ) log log4 5 + ; 8) Логарифмические уравнения и неравенства А6 Решите уравнения 1) log ( 1) = 1; ) ( ) 1 log0,4 5 log0,4 = 1 ) log9 4 log 9( х 4) = 1; 4) log ( х 4) log ( х + 4) = ; 5) 5 log ( ) 15 х = ; 6) ( ) х log0,5 = 4 ; 7) log (, 4 0, ) + log 5 = 1; 8) log7 + log9 + log = 11 9) lg( 4 ) = lg ; 10) log ( 5) 1 log ( 4 1) + = + ; 90

91 1 4 11) log ( + 5) = log 6; 1) log ( х 1) log ( 1) log = ; 1) log + log 4 = ; 14) log log4 log8 log16 = ; 15) 5 log5 log = 0 ; 16) 17) 61 ( ) 5 15 lg 19 7 = 0 log log = 0 ; ; 18) 4 ( ) 16 lg 16 = 0; 4 19) log 4( ) = log ( 7) ; 0) log 1log = 16 ; А7 Решите неравенства 1) log ( 0, 5 0,1) > 1; ) ( ) 0,8 log 6 0, > 1; ) log ( 0,8 + 0, 4) 1; 4) ( х) 1,5 В5 Решите системы неравенств 1 9 log 1 1, 4 < 1; 10 1) log ( ) ) log ( ) > ) log 9(4 + 1) log ( ) 75 Тригонометрические функции ) 1 log1 >

92 За- дачи Рис 6 А8 Постройте графики функций 1) y = sin ; ) y = sin ; ) y = sin ; 4) y = sin 0,5 ; π 6) y = sin 6 ; 7) y 0,5sin π = + 4 ; 8) y sin π = + 9) y = cos ; 10) y = cos ; 11) y = cos ; 1) y = cos0,5 ; π 1) y = cos + ; 14) 0,5cos π y = 4 ; 15) y cos( ) = + π π 14) y = tg ; 15) y = ctg ; 16) y = tg 4 ; 17) ctg π y = + 4 ; π 18) y = sin + 1; 19) y = cos + 1: 0) y = sin Основные формулы тригонометрии 1 Знаки тригонометрических функций по четвертям Знаки sinα Знаки cosα Знаки tgα и ctgα _ Формулы приведения β sinβ cosβ tgβ ctgβ 9

93 α sin α cosα tgα ctgα π α cosα sin α ctgα tgα π +α cosα sin α ctgα tgα π α sin α cosα tgα ctgα π + α sin α cosα tgα ctgα π α cosα sin α ctgα tgα π +α cosα sin α ctgα tgα π α sin α cosα tgα ctgα π + α sin α cosα tgα ctgα Соотношения между тригонометрическими функциями одного угла sin α tgα = cosα ; cosα ctgα = sin α ; 1 secα = cosα ; 1 cosecα = sin α ; sin α + cos α = 1; tgα ctgα = 1; 1 1+ tg α = cos 1 α ; 1+ ctg α = sin 4 Тригонометрические функции двойного угла sin α = sin α cosα ; α cos α = cos α sin α = cos α 1 = 1 sin α; tgα tg α = ; 1 tg α 5 Тригонометрические функции половинного угла α 1 cosα α 1+ cosα α 1 cosα sin = ; cos = ; tg = ; 1+ cosα α 1 cosα sin α tg = = sin α 1 + cos α ; α 1+ cosα sin α ctg = = sin α 1 cos α ; 6 Значения тригонометрических функций основных углов α sin α cosα tgα ctgα = π = π = π 1 9

94 90 = π 1 0 _ 0 10 = π 1 15 = π = 5π = π _ 70 = π = π _ 7 Формулы сложения sin( α + β ) = sin α cosβ + cosα sinβ ; sin( α β ) = sin α cosβ cosα sinβ; cos( α + β ) = cosα cosβ sin α sinβ; cos( α β ) = cosα cosβ + sin α sinβ; tgα + tgβ tgα tgβ tg( α + β ) = ; tg( α β ) = 1 tg α tg β 1 + tg α tg β 8 Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение α + β α β α + β α β sin α + sin β = sin cos ; sin α sinβ = cos sin ; α + β α β α + β α β cos α + cosβ = cos cos ; cosα cosβ = sin sin ; π π sin α + cosα = sin α + = cos α 4 4 ; π π sin α cosα = sin α = cos α Формулы преобразования произведений тригонометрических функций в сумму 1 1 sin α cosβ = [ sin( α + β ) + sin( α β )]; cosα cosβ = [ cos( α + β ) + cos( α β )]; 1 sin α sinβ = [ cos( α β) cos( α + β )] 10 Формулы понижения степени 94

95 1+ cos α cos α = ; 1+ cos α = cos α ; 1 cos α sin α = или 1 cos α = sin α Задачи 75 Преобразования тригонометрических выражений А9 Вычислите 7π π 1) tg sin cosπ ; ) 4 6 π π ) 4 cos sin 4 4π 5π tg sin + cos π; ; 4) 18 sin( 15 ) ; 5) tg( 00 ) ; 6) 4 cos( 750 ) ; 7) 1) ) 5) 7) π 7π π π 4 cos cos ; 8) 6 6 tg sin А0 Найдите значения выражений 5π 5π 8sin cos ; ) 1 1 8sin 7 cos7 ; 4) sin144 π π sin cos 1; 1 1 sin144 cos144 ; sin 88 5sin 98 sin 49 sin 41 ; 6) 4sin14 cos 71 cos19 ; 6sin 74 cos7 cos5 ; 8) 15sin 6 cos cos87 А1 Найдите значения выражений 1) cos7 cos sin 7 sin ; ) cos14 cos4 + sin14 sin 4 ; ) sin19 cos71 + cos19 sin 71 ; 4) cos48 cos + sin 48 cos68 cos 1 sin 1 ; 5) cos cos8 sin 8 sin ; 6) cos15 sin15 6 sin15 cos15 ; cos

96 7) 9) π 1 sin ; 8) 1 1 sin 44 ; 10) sin 46 1 А Найдите значения выражений 5π 1 cos ; 1 (cos60 + 1) ctg15 tg15 1) 6cos07 cos7 ; ) 5tg16 ; ) tg17 14sin 409 sin 49 ; 4) 5 tg17 tg107 ; 1 5) 7 tg1 tg77 ; 6) sin 7 + sin 17 ; 8) π cos π + α sin + α + cos α π + cosα ; 9) ( ) ( ) π cos α + 4sin + α + cos α π cos α ; 10) ( ) А Найдите А4 Найдите 7π sin α, если sin 0,8 α = и π ; α π π 6cos + α, если 1 cosα = и 1 π sin( α 7 π ) + cos + α ; sin( α + π) π α ; π А5 Найдите cosα, если sinα = и π α ; π А6 Найдите 5sin α, если А7 Найдите 15 tgα, если А8 Найдите 1 ctg α, если 7 6 cosα = и 5 π α ; π π cosα = и α ; π 6 1 π sin α = и α 0; 8 96

97 75 Тригонометрические уравнения Решение простейших тригонометрических уравнений Уравнение Решение Частные случаи ( ) sin = a a 1 = ( 1) arcsin a + πn, n Z ( ) или n = arcsin a + πn, n Z = π arcsin a + πn sin = 0; = πn, n Z sin = 1; π = + πn, n Z sin = 1; π = + πn, n Z cos = a a 1 = ± arccos a + πn, n Z cos = 0; π = + πn, n Z cos = 1; = πn, n Z cos = 1; = π + πn, n Z tg = a = arctg a + πn, n Z tg = 0; = πn, n Z ctg = a = arcctg a + πn, n Z ctg = 0; π = + πn, n Z 1) ) А9 Решите уравнения: sin Задачи π = cos ) π cos sin = cos 5π sin cos = 0 4) 97 cos sin = 0, 5 π π 5) cos = 1 cos 6) ctg + cos + = 0 7) sin cos + sin 1 = 0 8) sin + cos + 4sin + 1 = 0

98 9) 10) 1) ) 1 cos sin + cos = sin sin cos 4sin + 4 cos = 0 В6 Решите уравнения: sin + cos = 0 ) cos = sin 1 cos π = cos + 4) π cos + 4cos + 1 = 0 + = 6) ( ) 5) cos 4 cos 0 7) 9) 11) cos = cos sin 1 8) sin + cos = 10) ( ) tg tg tg 0 sin + cos + = 0 sin + 5sin cos + cos = 0 6sin + sin = = 1) ( ) log5 cos sin + 5 = 1) ( 4cos + 4cos ) 5sin = 0 14) ( ) 6 ( ) 15) ( ) 8cos + 6cos 5 log sin = 0 6sin + 1sin cos = 0 16) 4cos 9sin 4 = 0 cos 17) cos + 5cos 1 = 0 18) ctg 19) 0) ctg ctg = 0 cos log5 sin 1 cos + ctg 5 = + cos 4 sin sin + sin tg = 0 98

99 76 Обратные тригонометрические функции Рис 7 Значения обратных тригонометрических функций arcsin π π π 4 π 6 0 π 6 π 4 π π arccos π 5π 6 π 4 π π π π 4 π arctg π π 4 π 6 0 π 6 π 4 π arcctg 5π 6 π 4 π π π π 4 π 6 99

100 77 Производная функции 771 Понятие производной Пусть произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки 0 Разность 0 называется приращением аргумента в точке 0 и обозначается, то есть = 0, откуда следует, что = 0 + При этом значение функции f измениться на величину f = f ( 0 + ) f ( 0 ) Эта разность называется приращением функции f в точке 0, соответствующим приращению Определение Производной функции f в точке 0 называется число, к которому стремиться разностное отношение f f ( 0 + ) f ( = 0 ) при, стремящемся к нулю 77 Основные правила дифференцирования Обозначим u( ) = u, v( ) = v, u ( ) = u, v ( ) = v Правило 1 Если функции u и v дифференцируемы в точке 0, то их сумма дифференцируема в этой точке и ( u + v) = u + v Правило Если функции u и v дифференцируемы в точке 0, то их произведение дифференцируемо в этой точке и ( uv) = u v + uv Следствие Если функция u дифференцируема в точке 0, а C постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и ( Сu) = Сu Правило Если функции u и v дифференцируемы в точке 0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u дифференцируемо в этой точке и v u u v uv = v v 100

101 α 1 (1) ( ) 77 Производные элементарных функций α sin = cos = α (6) ( ) = > (7) ( cos ) () ( a ) a ln, a 0 () ( e ) = sin = e (8) ( ) 1 tg = 1 a ln a 1 ln = cos = 1 sin (4) ( log ) = (9) ( ctg ) (5) ( ) 774 Производная сложной функции Теорема Если функция u имеет производную в точке 0, а функция f u u h = f u имеет производную в точке = ( ), то сложная функция ( ) ( ) 0 0 также имеет производную в точке 0, причем h = f u u ( ) ( ) ( ) Примеры вычисления производных Пример 1 Найти производную функции ( ) 4 f = + 1 Применим правило 1, следствие и формулу (1): 4 4 f = + 1 = + 1 = 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = + 5 cos Применим правила 1 и, формулы (1) и (7): f = + 5 cos = + 5 cos cos = cos + 5 sin Пример Найти производную функции ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 5 Пример Найти производную функции f ( ) = e Применим правила 1 и, следствие, формулы (1) и (): ( 5) ( 5) ( ) e + e e ( + 5) e f ( ) = = = = e e e ( ) ( ) ( ) e 5 e + + = = = e e e f = tg Пример 4 Найти производную функции ( ) Применим теорему о производной сложной функции: f ( u) = tgu, u( ) = Тогда ( ) 101

102 1 f ( ) = ( tgu) ( ) = = cos u cos Пример 5 Найти производную функции f ( ) = Применим теорему о производной сложной функции: f ( u) ( ) u = Тогда f = u + = = ( ) ( ) ( 7 10) ( 14 1) u Задачи А1 Найти производные следующих функций 1) f ( ) = + ; ) ( ) 1 10 f = 4 + 1; 4 ) f ( ) = + 9 ; 4) ( ) f = + ; 5) f ( ) = ( 5 + 1) ; 6) f ( ) = ( + 5 ) ; 7) f ( ) = ( + 5) ; 8) f ( ) ( 7)( 9) 9) f ( ) + = ; 10) f ( ) = ; = 1 ; 5 = ; 11) f ( ) = ; 1) f ( ) ) f ( ) = + + ; 14) ( ) 7 15) f ( ) = + + ; 16) f ( ) 17) f ( ) tg cos f = + 7 ; 5 1 = + 7 ; 9 = + ; 18) f ( ) ln 5 19) f ( ) = sin ; 0) f ( ) B1 Найти производные следующих функций = ; = cos 1) f ( ) = ( + 1) 7 ; ) f ( ) ( 4 9) ) f ( ) 5) f ( ) = 1 ( 6 + 1) ; 4) f ( ) = + 7 = ; = 1 ( 9 ) 6 ; 6) f ( ) = 1 + ( 4 + 5) 7) f ( ) = ; 8) f ( ) 5 = 7 + ; 4 4 ; + ; = u,

103 8 9) ( ) ( ) 5 f = + + ; 10) ( ) sin 4 f = ; sin6 = ; 6 11) f ( ) = 4 + ln5 ; 1) f ( ) cos7 f = + ; 1) f ( ) = ; 14) ( ) sin 15) ( ) sin cos5 cos sin 5 f = ; 16) f ( ) = cos cos6 sin sin 6 ; 17) ( ) tg f = ; 18) f ( ) = sin cos ; 19) ( ) sin cos f = 10

104 Тема 8 Введение в аналитическую геометрию 6 часов 81 Векторы Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением Такие величины называют векторными Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора Вектор это направленный отрезок, т е отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление Если начало вектора находится в точке А, а его конец - в точке В, то вектор обозначается символом AB Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают a, b, c, Вектор BA называется противоположным вектору AB В В А AB А BÀ Рис 8 a b Длиной или модулем вектора AB называется длина отрезка и обозначается AB Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором Нулевой вектор направления не имеет Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a, называется ортом вектора a и обозначается Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых; записывают a b 0 a 104

105 Коллинеарные векторы могут быть направлены в одну или в противоположные стороны Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору Два вектора a и b называются равными (a = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны К линейным операциям над векторами относятся: умножение вектора на число и сложение векторов Произведением вектора a на число λ называется вектор, обозначаемый λa, модуль которого равен λ a, а направление совпадает с направлением векто- λ < Вектор b = λa, коллине- ра a, если λ > 0, и противоположно ему, если 0 арен вектору a Суммой векторов называется вектор, начало которого находится в начале первого вектора, а конец в конце последнего вектора ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной На рис 9 изображён вектор b, рав- b = a + a + a + a ный 1 4 a a 1 a a 4 b Рис 9 В случае суммы (разности) двух векторов правило ломаной равносильно правилу параллелограмма, согласного которому вектор суммы направлен по одной диагонали параллелограмма, а вектор разности по другой, причём направлен он в сторону уменьшаемого вектора (рис 10) 105

106 a b b a Рис 10 a + b Прямая l с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью l Проекцией вектора a на ось l называется число, обозначаемое пр l a и равное a cosϕ ϕ 0 ϕ π угол между положительным направлением, где ( ) оси l и направлением вектора a, т е по определению прl a = a cos ϕ (81) Геометрически проекцию вектора можно охарактеризовать длиной отрезка MN, взятой со знаком «+», если 0 ϕ < π, и со знаком, если π < ϕ π (рис 4) При ϕ = π отрезок MN превращается в точку и прl a = 0 Координатами вектора a в декартовой системе координат называются его проекции на оси координат O, Oy, Oz Они обозначаются соответственно буквами {, y, z } Запись a = {, y, z} означает, что вектор a имеет координаты, y, z Для равенства векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были равны Если точки M 1и M имеют координаты M1( 1, y1, z 1), M(, y, z ), то координаты вектора M1M равны разности координат начала и конца вектора, M M = ; y y ; z z Расстояние между двумя точками те { } M1( 1, y1, z 1) и M(, y, z ) находится по формуле a a M1M ( 1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) = + + (8) M )ϕ N Рис 11 l 106

107 Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам, по форме аналогичным свойствам умножения и сложения чисел Например, a + b = b + a ; ( α + β ) a = α a + βa ; α ( a + b) = α a + α b; a + ( a ) = 0; 1 a = a и тд Линейной комбинацией векторов n a ( i = 1,,, n ) называется вектор a, определяемый по формуле a = λ ia i = λ 1a 1 + λ a + + λna n, где λ i - некоторые числа i= 1 Если для системы n векторов a i, линейная комбинация равна нулю ( λ 1 a 1 + λ a + + λ nan = 0) в случае, когда все λ i = 0, то эта система называется линейно независимой Если же линейная комбинация обращается в ноль, когда хотя бы одно из λi 0, то система векторов a i, называется линейно зависимой Например, любые коллинеарные векторы или три компланарных вектора всегда линейно зависимы i Тройка упорядоченных, линейно независимых векторов в трёхмерном пространстве называется базисом Упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису, т е представить а в виде линейной комбинации базисных векторов: a = α e1 + β e + γe, где α, β, γ - являются координатами вектора a в базисе e 1, e, e Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину Обозначают такой базис i, j, k и разложение вектора a по ортонормированному базису имеет вид a = i + yj + zk Модуль вектора a в ортонормированном базисе находится по формуле a = + y + z, (8) Условие коллинеарности двух векторов равносильно пропорциональности координат этих векторов, те если вектор a = ( 1, y1, z1) коллинеарен вектору b y z = (,, ), то 1 y = 1 z = 1 y z (84) 811 Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов 107

108 Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, обозначаемое c = a b и равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними: ab = a b cos( a, b), (85) где ( a, b ) обозначает меньший угол между векторами a и b Отметим, что всегда 0 ( a, b) π Основные свойства скалярного произведения векторов 4) a b = aпр 1) a b = b a; a b = bпр a; b ) ( λa) b = λ( a b) = a ( λb); 5) a a = a ; ) a ( b + c) = a b + a c; 6) a b = 0 a b Если a = ( 1, y1, z1), b = (, y, z), то в базисе i, j, k : a b = + y y + z z ; (86) a = 1 + y1 + z1 ; b = + y + z ; a b 1 + y1 y + z cos(, ) 1z a b = = a b 1 + y1 + z1 + y + z (87) Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c с общим началом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от вектора a к вектору b наблюдается из конца вектора c происходящим против движения часовой стрелки В противном случае данная тройка называется левой (рис 1) b c O +V b c a Правая тройка Рис 1 O V a Левая тройка 108

109 Векторным произведением векторов a и b называется вектор, обо- ющем: a b c = ± V, где V объем параллелепипеда, построенного на перемно- значаемый c = a b или c =[a ; b ], который удовлетворяет следующим трем условиям: c = a b 1) c = a b sin( a, b); b ) c a, c b; S О ) тройка a, b, c правая a (рис 1) Рис 1 Основные свойства векторного произведения 1) a b = ( b a); ) ( λ a) b = λ ( a b) = a ( λb); ) a ( b + c) = a b + a c; 4) a b = 0 a b; 5) a b = S, где S площадь параллелограмма, построенного на векторах Если a и b, имеющих общее начало в точке О a = (, y, z ), b = (, y, z ), то векторное произведение a b выражается через координаты данных векторов a и b следующим образом: i j k y1 z1 1 z1 1 y1 a b = 1 y1 z1 = i j + k y z z y y z (88) Смешанным произведением векторов a, b, c называется число, равное ( a b) c Основные свойства смешанного произведения векторов 1) ( a b) c = a ( b c), поэтому смешанное произведение можно обозначать проще: a b c ; ) a b c = b c a = c a b = b a c = c b a = a c b ; ) геометрический смысл смешанного произведения заключается в следу- 109

110 жаемых векторах, взятый со знаком «+», если тройка векторов a, b, c - правая, или со знаком, если она левая; 4) a b c = 0 a, b, c компланарны a = (, y, z ), b = (, y, z ), c = (, y, z ) Если то 1 y1 z1 a b c = y z y z (89) Задачи 1 Написать разложение вектора по векторам p, q, r = {5, 15, 0}, p = {1, 0, 5}, q = { 1,, }, r = {0, 1, 1} Коллинеарны ли векторы c и d, построенные на векторах а и b, где а = {,7,0}, b = {1,,4}, c = 4а b, d = а +b Найти скалярное произведение векторов а и b, если a =, b =5 и π ( а, b) = 6 4 Найти скалярное произведение векторов: а) а {, 5, 7} и b {1, 1, 5}; б) AB и AC, если даны точки A(1, 1, ), B(0, 1, ), C(4, 4, 0) 5 Найти косинус угла между векторами AB и AC, если A(0, 0, 4), B(, 6, 1), C( 5, 10, 1) 6 Даны векторы a =mi+j+4k и b =4i+mj 7k При каком значении m эти векторы перпендикулярны? 7 Даны векторы а { 1, 7λ, 16} и b {5λ 1, 8, 5} При каком значении λ эти векторы перпендикулярны? 8 Найти угол между векторами a = i+j+k и b = 6i+4j k 9 Найти (а,b ), если a =, b =, а угол между векторами равен Найти (а,b ), если a = 5 m +9 n и b = 8 m n, где m =7, n =5 и m n 11 Найти скалярное произведение векторов c = a +b и d =a b, если a =4, b π =8 известно, что ( а, b) = 4 110

111 1 Найти угол между векторами а и b, если известно, что a =4, b =, (а,b )=8 1 При каком значении λ скалярное произведение векторов а {, λ }, и b {, } будет равно? 14 Найти скалярное произведение векторов c = a 4b и d = a +b, если а {5,7,4} и b {1,1, 1} 15 Какой угол образуют единичные векторы s и t, если известно, что векторы p = s + t и q = 5s 4t взаимно перпендикулярны? 16 Вычислить площадь параллелограмма,построенного на векторах а =6i+j k и b =i j+6k 17 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, если a =, b π =, ( а, b) = 18 Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а и b, если a =, b π =1, ( а, b) = 4 19 Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(1;1;1), B(;;4), C(4;;) 0 Вычислить площадь параллелограмма,построенного на векторах c =a +b и d = a +b, если a = b =1, ( a, b ) =0 1 Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах c = a +b и d = a b, если a =5, b π =4, ( а, b) = 6 Найти а,b 1,если a =, b = 1 6, ( а, b ) π = Найти смешанное произведение векторов а =i j k, b =i+j k, c =i+j+4k 4 Найти объем пирамиды с вершинами в точках А(; ; ), B(4; ; ), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6) 5 Показать, что векторы а =i+5j+7k, b =i+j k и c =i+j+k компланарны 111

112 8 Прямая на плоскости В геометрии название «прямая» обозначает обычно прямую линию, не ограниченную ни с одной, ни с другой стороны Представление о прямой дает натянутая нить Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей Рис 1 Рис 1 На рис 1 точки А и В лежат на прямой a, а точки С и D не лежат на этой прямой Через любые две точки можно провести прямую, и только одну Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими На рис 1 точка В лежит между А и С Докажем, что любая прямая в декартовых координатах и y имеет уравнение вида a + by + c = 0, (810) где a, b, c некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю Пусть l произвольная прямая на плоскости Оy Отметим две точки A( ; y ) и ( ; ) 1 1 B y так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку АВ (рис 14) Рис 14 Если точка M ( ; y ) лежит на прямой l, то AM = MB, или AM = MB, т е координаты точки M удовлетворяют уравнению = + (811) ( ) ( y y ) ( ) ( y y ) 11

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛВ Лобанок, ЖИ Покляк УДК 5(7) ББК я7 К 78 Рекомендовано

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Рабочая программа по алгебре 8 А класса

Рабочая программа по алгебре 8 А класса Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. Освоение предметных знаний

Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. Освоение предметных знаний Приложение 1 Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. п/п Тема урока Планируемые результаты обучения Дата проведения Освоение предметных знаний 1 Введение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Календарно-тематическое планирование Алгебра 8б класс Уровень обучения: углублённый 4 часа в неделю/144 часа в год Содержание тем учебного курса

Календарно-тематическое планирование Алгебра 8б класс Уровень обучения: углублённый 4 часа в неделю/144 часа в год Содержание тем учебного курса Календарно-тематическое планирование Алгебра 8б класс Уровень обучения: углублённый 4 часа в неделю/144 часа в год Содержание тем учебного курса 1. Повторение материала 7 класса (6 часов). Алгебраические

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Подробнее

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5.

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Подробнее

Содержание. Неравенства... 20

Содержание. Неравенства... 20 Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратных неравенств Алгоритм решения квадратных неравенств 1) Привести неравенство к стандартному виду : 2) Решить квадратное уравнение (т.е. найти точки пересечения параболы с осью Ох):,, если D > 0, то (две точки пересечения

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Камчатский государственный технический университет Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к контрольным работам для слушателей заочных подготовительных курсов Петропавловск-Камчатский 7 УДК ББК.

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Программа занятий по математике заочной физико-математической школы.

Программа занятий по математике заочной физико-математической школы. Программа занятий по математике заочной физико-математической школы. Тема Алгебраические уравнения и неравенства. (8 занятий) Почти все необходимые теоретические сведения для решения предлагаемых задач

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ 1. Пояснительная записка 1.1 Общая характеристика предмета учебного плана 1.2 Ценностные ориентиры содержания предмета 1.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Пояснительная записка 1.1 Общая характеристика предмета учебного плана 1.2 Ценностные ориентиры содержания предмета 1. СОДЕРЖАНИЕ 1. Пояснительная записка 1.1 Общая характеристика предмета учебного плана 1.2 Ценностные ориентиры содержания предмета 1.3 Место предмета в учебном плане 2. Основное содержание предмета 3. Требования

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

9 п.2 Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби.

9 п.2 Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби. Календарно-тематическое планиро «Алгебра», 8 класс (3ч. в неделю, всего 02 ч.) автор А.Г.Мордкович Глава I. Алгебраические дроби. 2 Основное свойство дроби, сумма и разность дробей. 0. Понятие алгебраической

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г.

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г. Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 00г. www.balls.ru Содержание Глава I. Действительные числа.. Глава II. Степенная

Подробнее

Тема 1. Уравнения и методы их решения

Тема 1. Уравнения и методы их решения Тема. Уравнения и методы их решения Содержание.0. Общие сведения о уравнениях. Линейные уравнения. Квадратные уравнения.0. Уравнения, сводящиеся к квадратным.0. Использование группировки при решении уравнений.04.

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс ЛД Лаппо, АВ Морозов Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб для 0- кл общеобразоват учреждений / ША Алимов и др -е изд М: Просвещение, 00» Глава I Действительные

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В результате изучения курса алгебры в 8АВ, 8 ГД (группа А) классе учащийся научится знать/понимать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике;

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

. Тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе Тема урока Количество

. Тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе Тема урока Количество Рабочая программа учебного курса по алгебре для 8 класса разработана на основе Федерального компонента государственного образовательного стандарта начального общего, основного общего и среднего (полного)

Подробнее

Календарно тематическое планирование по алгебре 8 класс. За год 136 часов, в неделю 4 часа. КПУ (коды проверяемых умений)

Календарно тематическое планирование по алгебре 8 класс. За год 136 часов, в неделю 4 часа. КПУ (коды проверяемых умений) п/п Тема урока 1 Числовые выражения. Проценты. Дата 8А 8Б КЭС (Код элемента содержания) 1.3.6 1.5.4 Элемент содержания Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических

Подробнее

Математика 8 класс. (170 часов)

Математика 8 класс. (170 часов) Математика 8 класс (170 часов) Составлена на основе Программы для общеобразовательных школ, лицеев и гимназий (составители: Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2004). СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Раздел

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов Приложение к «Основной образовательной программе основного общего образования МБОУ СОШ 5» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов Программа: Программы. Математика. 5-6 классы.

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль. Многочлен, определение. Деление многочлена с остатком. Теорема Безу.. Иррациональные числа. Доказательство существования иррационального числа.

Подробнее

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени».

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Цель работы: Повторить для подготовки к экзамену следующие темы: 1. определение степени с рациональным показателем,

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа Тема 7. Степени и корни. Степенная функция 1. Корень -й степени из действительного числа Корнем -й степени (=2,,,5...) из числа а называется такое число b, -я степень которого равна а, то есть a= b, b

Подробнее

Дата Пункт По пла ну. Тесты с/р. Форма урока. Прочее. I ЧЕТВЕРТЬ (24 ЧАСА) Повторение (4 часа) 1/1 Повторение темы: «Числовые и алгебраические

Дата Пункт По пла ну. Тесты с/р. Форма урока. Прочее. I ЧЕТВЕРТЬ (24 ЧАСА) Повторение (4 часа) 1/1 Повторение темы: «Числовые и алгебраические Глава I Алгебраические дроби 18 Глава II Квадратная функция. Функция. 14 Глава III Функция у = х. Свойства квадратного корня 12 Глава IV Квадратные уравнения 22 Глава V Действительные числа 11 Глава VI

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел».

Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел». Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел». Числовым выражением называется одна или несколько числовых величин (чисел), соединенных между собой знаками арифметических действий: сложения,

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Срок реализации программы, учебный год 2016/2017 учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Срок реализации программы, учебный год 2016/2017 учебный год Частное учреждение общеобразовательная организация школа «Мои Горизонты» «Рассмотрено» Руководитель МО /Дрожжина Н.В./ Протокол 1 от «29» августа 2016г. «Согласовано» Заместитель директора по УМР ЧУООШ

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы»

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями, предлагаемыми на контрольных, особенно

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

Календарно-тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе по УМК Колягина Ю.М. ( *часов)

Календарно-тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе по УМК Колягина Ю.М. ( *часов) Календарно-тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе по УМК Колягина Ю.М. (102 + 16 *часов) урока Раздел тема урока Коли чество часов Требования к подготовке По плану фактически 8-А 8-Б 8-В 8-А

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 3 «Действительные числа. Квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра» 8 класс, базовый уровень

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра» 8 класс, базовый уровень Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 4 г. Балтийска Рабочая программа учебного предмета «Алгебра» 8 класс, базовый уровень Балтийск 2017 год 1 1. Пояснительная

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 00 Корянов А.Г. Задания С г. Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: akoryanov@mail.ru УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) Линейные

Подробнее

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки...

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки... Содержание От автора... Раздел. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел. Метод тригонометрической подстановки... Раздел. Методы, основанные на использовании численных неравенств... 6 Раздел. Методы,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Линейные уравнения с одной переменной Введение Никита Саруханов 7й класс Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА МАЛЫЙ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Методическая разработка для учащихся 8 и 9 классов заочного отделения МОСКВА

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Дата проведения 8а 8б 1 Повторение материала 7 класса Кол-во часов. Требования к уровню подготовки учащихся. Примечание.

Дата проведения 8а 8б 1 Повторение материала 7 класса Кол-во часов. Требования к уровню подготовки учащихся. Примечание. Тематический план составлен на основе программного материала 206-207 уч.года по учебнику «Алгебра 8» под ред. А.Г.Мордковича с учетом рекомендованного обязательного минимума содержания образования Тема

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленное изучение) составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта, программой по алгебре

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства:

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. I) х - 5> линейное неравенство. Решаем методом переноса: х>5, т.е. х>5, и т.д. II) х > можно решить перебором чисел. III) Более сложные неравенства (квадратные, дробные,

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по теме «Иррациональные уравнения» для слушателей подготовительных курсов автодорожного института ДонНТУ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по теме «Иррациональные уравнения» для слушателей подготовительных курсов автодорожного института ДонНТУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО ВЫСШЕГО УЧЕБНОГО ЗАВЕДЕНИЯ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее