сайты:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "сайты:"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. сайты: Екатеринбург 2010

2 I. Евклидово пространство 5 I.1. Неравенство Коши-Буняковского I.2. Матрица Грама I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения I.4. Свойства матрицы Грама I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах II. Ортогональность 73 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта II.2. Ортогональное дополнение II.3. Свойства ортогонального дополнения II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении II.3.2. Теорема о дополнении к линейной оболочке.. 119

3 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения II.3.5. Теорема о дополнении к дополнению II.4. Ортогональная проекция III. Унитарные (эрмитовы) пространства 143 III.1. Определение унитарного пространства III.2. Некоторые отличия унитарных пространств от евклидовых IV. Нормированные и метрические пространства 166 IV.1. Метрические пространства IV.2. Нормированные пространства IV.3. Теорема о норме противоположного вектора

4 IV.4. Теорема о норме разности IV.5. Теорема о норме в евклидовом пространстве IV.6. Теорема Пифагора для евклидовых пространств IV.7. Эквивалентность норм IV.8. Лемма о пределе нормы покоординатно бесконечно малой последовательности IV.9. Лемма об ограниченности окрестности IV.10. Теорема об эквивалентности норм в конечномерном пространстве

5 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность);

6 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность);

7 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность).

8 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Функцию (, ) : U U R называют скалярным произведением.

9 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Примером евклидова пространства является пространство геометрических векторов, ( x, y ) = x y cos ϕ, где ϕ угол между векторами x и y.

10 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Примером евклидова пространства является арифметическое пространство U = R n, где (X, Y ) = det (X t Y ) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n.

11 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Пространство функций, непрерывных на отрезке [a, b], и (f, g) = b a ρ(x)f(x)g(x) dx, где ρ положительная на (a, b) функция, называемая весовой функцией.

12 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Рассмотреть пример?

13 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). В качестве длины вектора можно взять (x, x).

14 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Если обобщить формулу (x, y) = x y cos ϕ на произвольные евклидовы пространства, то косинус угла между векторами следует (x, y) определить формулой. (x, x)(y, y)

15 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). В связи с этим естественно определить ортогональность векторов:

16 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Определение 2. Векторы x, y называются ортогональными тогда и только тогда, когда (x, y) = 0.

17 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y).

18 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство.

19 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Идею доказательства можно почерпнуть из алгебры геометрических векторов. Дело в том, что, если x, y геометрические векторы, то доказываемое неравенство Коши- Буняковского можно переписать в виде y пр y x x y, то есть, при ненулевом y, пр y x x. Геометрически это означает, что вектор x не короче своей проекции.

20 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, проецирующим вектор x на y. x y

21 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, проецирующим вектор x на y. x z y

22 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, проецирующим вектор x на y. x z }{{} (x,y) y (y,y) Геометрическая проекция вектора x на y, как нетрудно понять, (x, y) имеет вид (y, y) y.

23 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, проецирующим вектор x на y. x z }{{} (x,y) y (y,y) Геометрическая проекция вектора x на y, как нетрудно понять, (x, y) имеет вид (y, y) y. Значит, «проецирующий вектор» z равен x (x,y) (y,y) y.

24 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, z x }{{} (x,y) проецирующим вектор x на y. y (y,y) Площадь прямоугольника со сторонами, полученными откладыванием векторов y и z, равна где z = x (x,y) (y,y) y. y z = (y, y) (z, z),

25 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, z x }{{} (x,y) проецирующим вектор x на y. y (y,y) Поэтому площадь прямоугольника со сторонами, полученными откладыванием векторов y и z, равна (y, y) ( x (x, y) (x, y) y, x (y, y) (y, y) y ).

26 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y =

27 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y = ( (x, y) = (y, y) (x, x) 2 (y, y) (x, y)2 (x, y) + (y, y) 2(y, y) ) =

28 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y = ( (x, y) = (y, y) (x, x) 2 (y, y) (x, y)2 (x, y) + (y, y) 2(y, y) = (x, x)(y, y) (x, y) 2. ) =

29 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y = Поэтому (x, y)... ( (x, y) = (y, y) (x, x) 2 (y, y) (x, y)2 (x, y) + (y, y) 2(y, y) = (x, x)(y, y) (x, y) 2. ) =

30 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y = ( (x, y) = (y, y) (x, x) 2 (y, y) (x, y)2 (x, y) + (y, y) 2(y, y) = (x, x)(y, y) (x, y) 2. Поэтому (x, y) (x, x)(y, y), что и требовалось доказать. ) =

31 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать?

32 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда

33 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда (x, y) =

34 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда n n (x, y) = x i e i, y j e j = i=1 j=1

35 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда n n n n (x, y) = x i e i, y j e j = x i (e i, e j )y j. (1) i=1 j=1 i=1 j=1

36 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда n n n n (x, y) = x i e i, y j e j = x i (e i, e j )y j. (1) i=1 j=1 Заметим, что величины (e i, e j ) не зависят от векторов x, y, а представляют собой характеристику базиса. i=1 j=1

37 I.2. Матрица Грама (e 1, e 1 ) (e 1, e 2 )... (e 1, e n ) (e Определение 3. Матрица Γ Б = 2, e 1 ) (e 2, e 2 )... (e 2, e n )... (e n, e 1 ) (e n, e 2 )... (e n, e n ) называется матрицей Грама базиса Б. Рассмотреть пример?

38 I.2. Матрица Грама (e 1, e 1 ) (e 1, e 2 )... (e 1, e n ) (e Определение 3. Матрица Γ Б = 2, e 1 ) (e 2, e 2 )... (e 2, e n )... (e n, e 1 ) (e n, e 2 )... (e n, e n ) называется матрицей Грама базиса Б. Полученное ранее равенство n n (x, y) = x i e i, y j e j = i=1 j=1 n i=1 n x i (e i, e j )y j. (1) можно записать в матричном виде, что мы сделаем, оформив результат в виде теоремы: j=1

39 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2)

40 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 Эта теорема уже доказана ранее: n n (x, y) = x i e i, y j e j = i=1 j=1 n i=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2) n x i (e i, e j )y j. j=1

41 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2) Учитывая, что матрица [x] t Б Γ Б [y] Б однокомпонентная, часто в правой части равенства (2) функцию det не пишут, получая формулу (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б.

42 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2) При записи формулы (2) в виде ( ) (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б однокомпонентную матрицу отождествляют с ее единственным элементом. Это, в принципе, может привести к проблемам при записи матричных операций (скаляр можно умножить на матрицу любой размерности, а матрицу размерности 1 1 можно умножить на матрицу далеко не любой размерности).

43 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2) При записи формулы (2) в виде ( ) (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б однокомпонентную матрицу отождествляют с ее единственным элементом. Однако в рассматриваемой теории эта некорректность практически никогда не вызывает недоразумений, поэтому мы тоже будем записывать формулу (2) в виде (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б. Рассмотреть пример?

44 I.4. Свойства матрицы Грама 1) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства невырожденная. 2) Матрица Грама любого базиса евклидова 1 пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 1 Для унитарных пространств матрица Грама любого базиса обладает свойством ΓБ = Γ t Б (здесь комплексное сопряжение).

45 I.4. Свойства матрицы Грама 1) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства невырожденная. Доказательство. 1) От противного. Пусть Б = {e 1,..., e n } базис евклидова пространства U, матрица Грама которого вырожденная, то есть det ( Γ Б ) = 0. Тогда система уравнений, в матричной форме имеющая вид Γ Б X = 0 имеет ненулевое решение X.

46 I.4. Свойства матрицы Грама 1) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства невырожденная. Доказательство. 1) От противного. Пусть Б = {e 1,..., e n } базис евклидова пространства U, матрица Грама которого вырожденная, то есть det ( Γ Б ) = 0. Тогда система уравнений, в матричной форме имеющая вид Γ Б X = 0 имеет ненулевое решение X. Из равенства Γ Б X = 0 n 1 получаем X t Γ Б X = (0).

47 I.4. Свойства матрицы Грама 1) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства невырожденная. Доказательство. 1) От противного. Пусть Б = {e 1,..., e n } базис евклидова пространства U, матрица Грама которого вырожденная, то есть det ( Γ Б ) = 0. Тогда система уравнений, в матричной форме имеющая вид Γ Б X = 0 имеет ненулевое решение X. Из равенства Γ Б X = 0 n 1 получаем X t Γ Б X = (0). Обозначим через x такой вектор пространства U, для которого [x] Б = X. Тогда в силу теоремы о вычислении скалярного произведения равенство X t Γ Б X = (0) означает, что (x, x) = 0, откуда, по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве, получаем x = 0, что противоречит предположению о том, что X ненулевая матрица-столбец.

48 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова 2 пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2 Для унитарных пространств, рассмотренных в разделе III, стр.143, матрица Грама любого базиса обладает свойством Γ Б = Γ t Б (здесь комплексное сопряжение).

49 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2) Очевидно, так как по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве γ ij =

50 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2) Очевидно, так как по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве γ ij = (e i, e j ) =

51 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2) Очевидно, так как по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве γ ij = (e i, e j ) = (e j, e i ) =

52 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2) Очевидно, так как по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве γ ij = (e i, e j ) = (e j, e i ) = γ ji.

53 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Доказательство. Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3)

54 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Мы приведем два доказательства формулы (3). В первом случае переход к матричной алгебре проведем в последний момент, а во втором случае начнем с перехода к матричной алгебре.

55 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n }, Б = {e 1, e 2,..., e n} и e p = n t qp e q. q=1

56 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Надо доказать равенство матриц. Следовательно, надо доказать равенство соответствующих компонентов матрицы.

57 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij =

58 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij = ( e i, e j) =

59 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij = ( ) n n e i, e j = t pi e p, t qj e q = p=1 q=1

60 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij = ( ) n n n e i, e j = t pi e p, t qj e q = p=1 q=1 p=1 n t pi t qj (e p, e q ) = q=1

61 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij = ( ) n n n e i, e j = t pi e p, t qj e q = p=1 = n p=1 q=1 n t pi γ pq t qj. q=1 p=1 n t pi t qj (e p, e q ) = q=1

62 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. В матричной форме записи полученное равенство n n γ ij = t pi γ pq t qj. p=1 q=1 «превращается» в формулу (3). В данном случае «оформление» доказательства сводится к «удалению лишних рассуждений», сделайте это сами.

63 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Перейдем в «пространство координат» на самом первом этапе. Согласно формуле (2) для вычисления скалярного произведения с помощью матрицы Грама, для любых векторов x, y U имеем, с одной стороны, (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б.

64 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Перейдем в «пространство координат» на самом первом этапе. Согласно формуле (2) для вычисления скалярного произведения с помощью матрицы Грама, для любых векторов x, y U имеем, с одной стороны, (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б. С другой стороны, (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б.

65 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б.

66 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б. В выражении [x] t Б Γ Б [y] Б перейдем к координатам векторов в базисе Б с помощью формулы для вычисления координат вектора в другом базисе.

67 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б. Согласно свойствам транспонирования матриц [x] t Б Γ Б [y] Б =

68 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б. Согласно свойствам транспонирования матриц [x] t Б Γ Б [y] Б = ( ) t = T Б Б [x] Б ΓБ T Б Б [y] Б =

69 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б. Согласно свойствам транспонирования матриц [x] t Б Γ Б [y] Б = ( ) t = T Б Б [x] Б ΓБ T Б Б [y] Б = [x]t Б T Б Б t Γ Б T Б Б [y] Б.

70 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, получили равенство [x] t Б Γ Б [y] Б = [x]t Б T t Б Б Γ Б T Б Б [y] Б. Конечно, хотелось бы «сократить на матрицы» [x] Б и [y] Б. К сожалению, это не так просто.

71 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) ), то есть «сокращать на матри- Доказательство. Второй способ. Например ( ) ( ) ( ) = (0) = ( 1 1 ) ( ( ) ( но, разумеется, цы» ( 1 1 ) ( ) 1 и нельзя. 2 ) ( 1 2 ),

72 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. В нашем случае «положение спасает» один «нюансик»: обсуждаемое равенство [x] t Б Γ Б [y] Б = [x]t Б T t Б Б Γ Б T Б Б [y] Б справедливо для любых матриц [x] Б и [y] Б соответствующей размерности. Поэтому мы можем сослаться на лемму о сокращении на произвольную матрицу. Теорема доказана.

73 II. Ортогональность Стратегия приоритетного изучения экстремальных ситуаций позволяет в геометрии (в том числе аналитической геометрии) выделить параллельность и перпендикулярность объектов (векторов, прямых, плоскостей) в качестве конфигураций, наиболее перспективных для изучения и использования. В аналитической геометрии понятие ортогональности играет даже большую роль, чем параллельность. Введение скалярного произведения со свойствами, зафиксированными в определении евклидова пространства, позволяет перенести на произвольные евклидовы и унитарные пространства геометрическое отношение ортогональности и соответствующие инструменты.

74 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта В геометрии огромную роль играет прямоугольная декартова система координат. Система ортов координатных осей называется, как известно, ортонормированным базисом. Его главная черта: базисные векторы взаимно ортогональны и их длина равна 1, то есть (x, x) = 1. Многие выкладки в такой системе координат значительно упрощаются. Дело в том, что матрица Грама такого базиса ( единичная, ) и формула (2) преобразуется к виду (x, y) = det [x] t Б [y] Б или, с учетом принятого соглашения об отождествлении матрицы размерности 1 1 с ее единственным элементом, (x, y) = [x] t Б [y] Б. В геометрии очень полезным оказалось понятие ортонормированного базиса, сокращенно ОНБ. Это понятие оказывается достаточно удобным и для произвольного евклидова пространства.

75 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Определение 4. Базис Б = {e 1, e 2,..., e n } евклидова пространства U называется ортонормированным базисом (ОНБ) тогда и только тогда, { когда для любых 1 i, j n имеем 0, при i j (e i, e j ) = δ ij, где δ ij = так называемый символ 1, при i = j Кронекера или δ-символ Кронекера.

76 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Определение 4. Базис Б = {e 1, e 2,..., e n } евклидова пространства U называется ортонормированным базисом (ОНБ) тогда и только тогда, { когда для любых 1 i, j n имеем 0, при i j (e i, e j ) = δ ij, где δ ij = так называемый символ 1, при i = j Кронекера или δ-символ Кронекера. Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис?

77 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Как можно было бы доказать, что в евклидовом пространстве есть ОНБ? Есть два пути: первый «от противного» (косвенный путь), и второй найти ОНБ («прямой, конструктивный путь»).

78 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Как можно было бы доказать, что в евклидовом пространстве есть ОНБ? Есть два пути: первый «от противного» (косвенный путь), и второй найти ОНБ («прямой, конструктивный путь»). Второй путь, разумеется, предпочтительнее.

79 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Как можно было бы доказать, что в евклидовом пространстве есть ОНБ? Есть два пути: первый «от противного» (косвенный путь), и второй найти ОНБ («прямой, конструктивный путь»). По-видимому, начинать придется с произвольного базиса. Для того, чтобы «превратить» его в ОНБ, нужна какая-то процедура. Такая процедура по именам авторов называется процессом ортогонализации Грама-Шмидта.

80 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Сначала мы построим ортогональный базис, то есть базис, в котором все векторы попарно ортогональны (но их модуль может быть отличен от 1).

81 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Сначала мы построим ортогональный базис, то есть базис, в котором все векторы попарно ортогональны (но их модуль может быть отличен от 1). Процедура построения ортогонального базиса носит индуктивный характер.

82 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U.

83 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Мы будем строить ортогональный базис B = {e 1, e 2,..., e n }.

84 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. База. Положим e 1 = v 1.

85 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0.

86 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. Если m = n, то искомый базис уже получен.

87 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. Осталось рассмотреть случай m < n.

88 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. Построим вектор e m+1 таким образом, чтобы сохранить выполнение требований 1)-2). Для этого будем искать этот вектор в виде e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4)

89 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Первое условие при этом выполняется «автоматически».

90 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (e m+1, e k ) =

91 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (e m+1, e k ) = (v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m, e k ) =

92 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (e m+1, e k ) = (v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m, e k ) = = (v m+1, e k ) + α m+1,1 (e 1, e k ) + α m+1,2 (e 2, e k ) α m+1,m (e m, e k ) =

93 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (e m+1, e k ) = (v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m, e k ) = = (v m+1, e k ) + α m+1,1 (e 1, e k ) + α m+1,2 (e 2, e k ) α m+1,m (e m, e k ) = = (v m+1, e k ) + α m+1,k (e k, e k ).

94 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (v m+1, e k ) + α m+1,k (e k, e k ).

95 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (v m+1, e k ) + α m+1,k (e k, e k ). Следовательно, получаем формулу для вычисления коэффициентов в формуле (4): α m+1,k = (v m+1, e k ) (e k, e k ). (5)

96 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) α m+1,k = (v m+1, e k ) (e k, e k ). (5) Нетрудно показать, что при таком выборе этих коэффициентов предположение индукции выполняется.

97 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Значит, на шаге с номером m = n получим искомый ортогональный базис, состоящий из векторов вида e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m где (4) α m+1,k = (v m+1, e k ) (e k, e k ). (5) Остается нормировать его, то есть построить базис B = {e 1, e 2,..., e n}, где e i = 1 (ei, e i ) e i.

98 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Таким образом, доказана следующая Теорема 4 (о существовании ОНБ в евклидовом пространстве). Если U конечномерное евклидово пространство, то существует ортонормированный базис пространства U. Рассмотреть пример построения ОНБ?

99 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии

100 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов.

101 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения?

102 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? Наиболее перспективным представляется применение стратегии

103 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? Наиболее перспективным представляется применение стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов.

104 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? «Экстремальным» расположением векторов является коллинеарность и ортогональность.

105 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? «Экстремальным» расположением векторов является коллинеарность и ортогональность. Поэтому наиболее интересны векторы, по отношению к векторам из M

106 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? «Экстремальным» расположением векторов является коллинеарность и ортогональность. Поэтому наиболее интересны векторы, по отношению к векторам из M ортогональные.

107 II.2. Ортогональное дополнение Определение 5. Пусть M подмножество (не обязательно подпространство!) евклидова пространства U. Тогда ортогональным дополнением к M называется множество M всех векторов из U, ортогональных ко всем векторам из M, то есть { } M = u u U и v M (u, v) = 0. (6)

108 II.3. Свойства ортогонального дополнения Естественно изучить свойства ортогонального дополнения.

109 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство.

110 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Очевидное следствие критерия подпространства.

111 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если

112 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M.

113 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется:

114 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M

115 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M (λx + µy, v) =

116 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M (λx + µy, v) = λ(x, v) + µ(y, v) =

117 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M (λx + µy, v) = λ(x, v) + µ(y, v) = λ 0 + µ 0 =

118 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M (λx + µy, v) = λ(x, v) + µ(y, v) = λ 0 + µ 0 = 0.

119 II.3.2. Теорема о дополнении к линейной оболочке Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Доказательство.

120 II.3.2. Теорема о дополнении к линейной оболочке Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Доказательство. Это очевидное следствие теоремы о внутренней характеризации линейной оболочки.

121 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Следствие 1. Если Б базис подпространства V линейного пространства U, то Б = V. Доказательство.

122 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Следствие 1. Если Б базис подпространства V линейного пространства U, то Б = V. Доказательство. Надо доказать равенство множеств.

123 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Следствие 1. Если Б базис подпространства V линейного пространства U, то Б = V. Доказательство. Следует доказать включения Б V и V Б.

124 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Следствие 1. Если Б базис подпространства V линейного пространства U, то Б = V. Доказательство. Следует доказать включения Б V и V Б. Сделайте это самостоятельно.

125 II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения Теорема 7. Если V U, то есть V подпространство евклидова пространства U, то U = V V. Доказательство.

126 II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения Теорема 7. Если V U, то есть V подпространство евклидова пространства U, то U = V V. Доказательство. V, как подпространство евклидова пространства, является евклидовым пространством. Значит, у него есть ОНБ.

127 II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения Теорема 7. Если V U, то есть V подпространство евклидова пространства U, то U = V V. Доказательство. Пусть Б V = {e 1, e 2,..., e k } ОНБ подпространства V.

128 II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения Теорема 7. Если V U, то есть V подпространство евклидова пространства U, то U = V V. Доказательство. Пусть Б V = {e 1, e 2,..., e k } ОНБ подпространства V. Продолжим его до базиса пространства U, получим базис Б = {e 1,..., e k, f k+1,..., f n }.

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы тензорного анализа Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В. ПОТАПЕНКО

Подробнее

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств Глава 15 Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств 151 Сопряженные преобразования Рассмотрим линейное преобразование ϕ унитарного или евклидова пространства V Отображение V V называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 7.1 Определение гильбертова пространства.

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет Федеральное агентство по образованию Составитель Т.И. Качаева Красноярский государственный университет Высшая алгебра: рабочая программа / Красноярский государственный университет; составитель Т.И. Качаева.

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет. Кафедра математики Внимание! Все утверждения необходимо доказывать Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Детерминант (определитель) матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Линейная алгебра 4 Евклидовы и унитарные пространства

Линейная алгебра 4 Евклидовы и унитарные пространства Линейная алгебра 4 Евклидовы и унитарные пространства 1. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Евклидово пространство (ЕП) E это вещественное ЛП, в котором зафиксирована симметричная положительно определенная билинейная

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, Г.А. Ким ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ УЧЕБНИК 3-еизлание, переработанное и дополненное Учебник удостоен премии Президента

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01.

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» Математико - механический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

УДК ББК Г27

УДК ББК Г27 УДК 512.64+514.12 ББК 22.143+22.151.5 Г27 Геворк я н П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 208 с. ISBN 978-5-9221-0860-7. Данная книга вместе с двумя

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд.

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 6 6.1. Гильбертовы пространства (продолжение) 6.1.1. Ортонормированные системы Пусть H предгильбертово пространство. Определение 6.1. Система векторов (e i

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия)

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия) УДК 5 (075) ББК К 7 Рецензенты: МВ Зайцев дф-мн проф (МГУ им МВ Ломоносова) ВВ Коннов кф-мн доц (Финакадемия) К7 Калачев НВ Линейная алгебра Ч : Линейные и евклидовы пространства: Учебное пособие для подготовки

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов Рассматриваем векторы на плоскости или в пространстве. b a a, b длины векторов, ϕ угол между векторами 0 ϕ π. Скалярное произведение векторов можно определить так: a, b

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Алгебра комплексных чисел Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е, испр и доп

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 4 ГЛАВА I ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 4 ГЛАВА I ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 4 ГЛАВА I ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1. Векторы... 5 1. Предварительные замечания (5). 2. Определение вектора (6). 3. О другом определении вектора (6). 4. Линейные операции (8). 5. Векторные

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

R. Геометрический смысл

R. Геометрический смысл Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Правительство Российской Федерации. Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации. Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Сборник задач по линейной алгебре

Сборник задач по линейной алгебре Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии" ДВ

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Основы матричной алгебры

Основы матричной алгебры Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы матричной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

«Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I

«Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I по дисциплине: по направлению подготовки: факультеты: кафедра: курс: Трудоёмкость: семестры: лекции: УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ Аналитическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА Линейная алгебра. Матрицы и определители. Линейные пространства.

МАТЕМАТИКА Линейная алгебра. Матрицы и определители. Линейные пространства. Рабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса 2 семестра по специальности: 010801.65 - Радиофизика и электроника АВТОР: Егоров А.И. КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: Данный курс

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФГБОУ ВО «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА» В Г.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФГБОУ ВО «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА» В Г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФГБОУ ВО «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА» В Г. НАХОДКЕ КАФЕДРА МЕНЕДЖМЕНТА И ЭКОНОМИКИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рабочая

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Системы линейных уравнений Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 1. Линейная задача метода

Подробнее

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. 1. Арифметическое пространство

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. 1. Арифметическое пространство . ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ 1. Арифметическое пространство 1. Понятие арифметического пространства Из школьного курса математики известно, что если на плоскости или в пространстве задана система декартовых координат,

Подробнее

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются:

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются: Аннотация рабочей программы дисциплины «Алгебра и геометрия» направления подготовки 01.03.02. «Прикладная математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее