сайты:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "сайты:"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. сайты: Екатеринбург 2010

2 I. Евклидово пространство 5 I.1. Неравенство Коши-Буняковского I.2. Матрица Грама I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения I.4. Свойства матрицы Грама I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах II. Ортогональность 73 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта II.2. Ортогональное дополнение II.3. Свойства ортогонального дополнения II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении II.3.2. Теорема о дополнении к линейной оболочке.. 119

3 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения II.3.5. Теорема о дополнении к дополнению II.4. Ортогональная проекция III. Унитарные (эрмитовы) пространства 143 III.1. Определение унитарного пространства III.2. Некоторые отличия унитарных пространств от евклидовых IV. Нормированные и метрические пространства 166 IV.1. Метрические пространства IV.2. Нормированные пространства IV.3. Теорема о норме противоположного вектора

4 IV.4. Теорема о норме разности IV.5. Теорема о норме в евклидовом пространстве IV.6. Теорема Пифагора для евклидовых пространств IV.7. Эквивалентность норм IV.8. Лемма о пределе нормы покоординатно бесконечно малой последовательности IV.9. Лемма об ограниченности окрестности IV.10. Теорема об эквивалентности норм в конечномерном пространстве

5 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность);

6 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность);

7 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность).

8 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Функцию (, ) : U U R называют скалярным произведением.

9 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Примером евклидова пространства является пространство геометрических векторов, ( x, y ) = x y cos ϕ, где ϕ угол между векторами x и y.

10 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Примером евклидова пространства является арифметическое пространство U = R n, где (X, Y ) = det (X t Y ) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n.

11 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Пространство функций, непрерывных на отрезке [a, b], и (f, g) = b a ρ(x)f(x)g(x) dx, где ρ положительная на (a, b) функция, называемая весовой функцией.

12 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Рассмотреть пример?

13 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). В качестве длины вектора можно взять (x, x).

14 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Если обобщить формулу (x, y) = x y cos ϕ на произвольные евклидовы пространства, то косинус угла между векторами следует (x, y) определить формулой. (x, x)(y, y)

15 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). В связи с этим естественно определить ортогональность векторов:

16 I. Евклидово пространство Определение 1. Линейное пространство U над R называется евклидовым пространством тогда и только тогда, когда в нем определена функция (, ) : U U R, удовлетворяющая трем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве: 1. (x, y) = (y, x) (коммутативность); 2. (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность); 3. (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность). Определение 2. Векторы x, y называются ортогональными тогда и только тогда, когда (x, y) = 0.

17 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y).

18 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство.

19 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Идею доказательства можно почерпнуть из алгебры геометрических векторов. Дело в том, что, если x, y геометрические векторы, то доказываемое неравенство Коши- Буняковского можно переписать в виде y пр y x x y, то есть, при ненулевом y, пр y x x. Геометрически это означает, что вектор x не короче своей проекции.

20 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, проецирующим вектор x на y. x y

21 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, проецирующим вектор x на y. x z y

22 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, проецирующим вектор x на y. x z }{{} (x,y) y (y,y) Геометрическая проекция вектора x на y, как нетрудно понять, (x, y) имеет вид (y, y) y.

23 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, проецирующим вектор x на y. x z }{{} (x,y) y (y,y) Геометрическая проекция вектора x на y, как нетрудно понять, (x, y) имеет вид (y, y) y. Значит, «проецирующий вектор» z равен x (x,y) (y,y) y.

24 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, z x }{{} (x,y) проецирующим вектор x на y. y (y,y) Площадь прямоугольника со сторонами, полученными откладыванием векторов y и z, равна где z = x (x,y) (y,y) y. y z = (y, y) (z, z),

25 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. Оказывается, можно получить неравенство Коши-Буняковского с помощью вычисления «площади прямоугольника», образованного вектором y и вектором, z x }{{} (x,y) проецирующим вектор x на y. y (y,y) Поэтому площадь прямоугольника со сторонами, полученными откладыванием векторов y и z, равна (y, y) ( x (x, y) (x, y) y, x (y, y) (y, y) y ).

26 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y =

27 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y = ( (x, y) = (y, y) (x, x) 2 (y, y) (x, y)2 (x, y) + (y, y) 2(y, y) ) =

28 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y = ( (x, y) = (y, y) (x, x) 2 (y, y) (x, y)2 (x, y) + (y, y) 2(y, y) = (x, x)(y, y) (x, y) 2. ) =

29 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y = Поэтому (x, y)... ( (x, y) = (y, y) (x, x) 2 (y, y) (x, y)2 (x, y) + (y, y) 2(y, y) = (x, x)(y, y) (x, y) 2. ) =

30 I.1. Неравенство Коши-Буняковского Теорема 1 (о неравенстве Коши-Буняковского). В евклидовом пространстве для любых векторов x, y выполняется неравенство (неравенство Коши-Буняковского): (x, y) (x, x)(y, y). Доказательство. В силу положительной определенности скалярного произведения ( ) (x, y) (x, y) 0 (y, y) x y, x (y, y) (y, y) y = ( (x, y) = (y, y) (x, x) 2 (y, y) (x, y)2 (x, y) + (y, y) 2(y, y) = (x, x)(y, y) (x, y) 2. Поэтому (x, y) (x, x)(y, y), что и требовалось доказать. ) =

31 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать?

32 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда

33 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда (x, y) =

34 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда n n (x, y) = x i e i, y j e j = i=1 j=1

35 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда n n n n (x, y) = x i e i, y j e j = x i (e i, e j )y j. (1) i=1 j=1 i=1 j=1

36 I.2. Матрица Грама В соответствии со сформулированным нами принципом, мы должны понять, как «переадресовать» вопросы о скалярном произведении в произвольном евклидовом пространстве в пространство R n (то есть «пространство координат»). С чего начать? Естественно, начинаем с введения базиса. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n } базис евклидова пространства U. Тогда n n n n (x, y) = x i e i, y j e j = x i (e i, e j )y j. (1) i=1 j=1 Заметим, что величины (e i, e j ) не зависят от векторов x, y, а представляют собой характеристику базиса. i=1 j=1

37 I.2. Матрица Грама (e 1, e 1 ) (e 1, e 2 )... (e 1, e n ) (e Определение 3. Матрица Γ Б = 2, e 1 ) (e 2, e 2 )... (e 2, e n )... (e n, e 1 ) (e n, e 2 )... (e n, e n ) называется матрицей Грама базиса Б. Рассмотреть пример?

38 I.2. Матрица Грама (e 1, e 1 ) (e 1, e 2 )... (e 1, e n ) (e Определение 3. Матрица Γ Б = 2, e 1 ) (e 2, e 2 )... (e 2, e n )... (e n, e 1 ) (e n, e 2 )... (e n, e n ) называется матрицей Грама базиса Б. Полученное ранее равенство n n (x, y) = x i e i, y j e j = i=1 j=1 n i=1 n x i (e i, e j )y j. (1) можно записать в матричном виде, что мы сделаем, оформив результат в виде теоремы: j=1

39 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2)

40 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 Эта теорема уже доказана ранее: n n (x, y) = x i e i, y j e j = i=1 j=1 n i=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2) n x i (e i, e j )y j. j=1

41 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2) Учитывая, что матрица [x] t Б Γ Б [y] Б однокомпонентная, часто в правой части равенства (2) функцию det не пишут, получая формулу (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б.

42 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2) При записи формулы (2) в виде ( ) (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б однокомпонентную матрицу отождествляют с ее единственным элементом. Это, в принципе, может привести к проблемам при записи матричных операций (скаляр можно умножить на матрицу любой размерности, а матрицу размерности 1 1 можно умножить на матрицу далеко не любой размерности).

43 I.3. Теорема о вычислении скалярного произведения Теорема 2 (о вычислении скалярного произведения). Если Б базис евклидова пространства U, и Γ Б матрица Грама этого базиса, то для любых векторов x, y U имеет место равенство: (x, y) = n x i e i, i=1 n y j e j = det j=1 ( ) [x] t Б Γ Б [y] Б. (2) При записи формулы (2) в виде ( ) (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б однокомпонентную матрицу отождествляют с ее единственным элементом. Однако в рассматриваемой теории эта некорректность практически никогда не вызывает недоразумений, поэтому мы тоже будем записывать формулу (2) в виде (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б. Рассмотреть пример?

44 I.4. Свойства матрицы Грама 1) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства невырожденная. 2) Матрица Грама любого базиса евклидова 1 пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 1 Для унитарных пространств матрица Грама любого базиса обладает свойством ΓБ = Γ t Б (здесь комплексное сопряжение).

45 I.4. Свойства матрицы Грама 1) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства невырожденная. Доказательство. 1) От противного. Пусть Б = {e 1,..., e n } базис евклидова пространства U, матрица Грама которого вырожденная, то есть det ( Γ Б ) = 0. Тогда система уравнений, в матричной форме имеющая вид Γ Б X = 0 имеет ненулевое решение X.

46 I.4. Свойства матрицы Грама 1) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства невырожденная. Доказательство. 1) От противного. Пусть Б = {e 1,..., e n } базис евклидова пространства U, матрица Грама которого вырожденная, то есть det ( Γ Б ) = 0. Тогда система уравнений, в матричной форме имеющая вид Γ Б X = 0 имеет ненулевое решение X. Из равенства Γ Б X = 0 n 1 получаем X t Γ Б X = (0).

47 I.4. Свойства матрицы Грама 1) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства невырожденная. Доказательство. 1) От противного. Пусть Б = {e 1,..., e n } базис евклидова пространства U, матрица Грама которого вырожденная, то есть det ( Γ Б ) = 0. Тогда система уравнений, в матричной форме имеющая вид Γ Б X = 0 имеет ненулевое решение X. Из равенства Γ Б X = 0 n 1 получаем X t Γ Б X = (0). Обозначим через x такой вектор пространства U, для которого [x] Б = X. Тогда в силу теоремы о вычислении скалярного произведения равенство X t Γ Б X = (0) означает, что (x, x) = 0, откуда, по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве, получаем x = 0, что противоречит предположению о том, что X ненулевая матрица-столбец.

48 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова 2 пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2 Для унитарных пространств, рассмотренных в разделе III, стр.143, матрица Грама любого базиса обладает свойством Γ Б = Γ t Б (здесь комплексное сопряжение).

49 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2) Очевидно, так как по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве γ ij =

50 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2) Очевидно, так как по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве γ ij = (e i, e j ) =

51 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2) Очевидно, так как по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве γ ij = (e i, e j ) = (e j, e i ) =

52 I.4. Свойства матрицы Грама 2) Матрица Грама любого базиса евклидова пространства симметричная, то есть Γ Б = Γ t Б. Доказательство. 2) Очевидно, так как по аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве γ ij = (e i, e j ) = (e j, e i ) = γ ji.

53 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Доказательство. Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3)

54 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Мы приведем два доказательства формулы (3). В первом случае переход к матричной алгебре проведем в последний момент, а во втором случае начнем с перехода к матричной алгебре.

55 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Пусть Б = {e 1, e 2,..., e n }, Б = {e 1, e 2,..., e n} и e p = n t qp e q. q=1

56 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Надо доказать равенство матриц. Следовательно, надо доказать равенство соответствующих компонентов матрицы.

57 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij =

58 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij = ( e i, e j) =

59 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij = ( ) n n e i, e j = t pi e p, t qj e q = p=1 q=1

60 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij = ( ) n n n e i, e j = t pi e p, t qj e q = p=1 q=1 p=1 n t pi t qj (e p, e q ) = q=1

61 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. Имеем γ ij = ( ) n n n e i, e j = t pi e p, t qj e q = p=1 = n p=1 q=1 n t pi γ pq t qj. q=1 p=1 n t pi t qj (e p, e q ) = q=1

62 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Первый способ. В матричной форме записи полученное равенство n n γ ij = t pi γ pq t qj. p=1 q=1 «превращается» в формулу (3). В данном случае «оформление» доказательства сводится к «удалению лишних рассуждений», сделайте это сами.

63 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Перейдем в «пространство координат» на самом первом этапе. Согласно формуле (2) для вычисления скалярного произведения с помощью матрицы Грама, для любых векторов x, y U имеем, с одной стороны, (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б.

64 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Перейдем в «пространство координат» на самом первом этапе. Согласно формуле (2) для вычисления скалярного произведения с помощью матрицы Грама, для любых векторов x, y U имеем, с одной стороны, (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б. С другой стороны, (x, y) = [x] t Б Γ Б [y] Б.

65 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б.

66 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б. В выражении [x] t Б Γ Б [y] Б перейдем к координатам векторов в базисе Б с помощью формулы для вычисления координат вектора в другом базисе.

67 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б. Согласно свойствам транспонирования матриц [x] t Б Γ Б [y] Б =

68 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б. Согласно свойствам транспонирования матриц [x] t Б Γ Б [y] Б = ( ) t = T Б Б [x] Б ΓБ T Б Б [y] Б =

69 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, [x] t Б Γ Б [y] Б = (x, y) = [x]t Б Γ Б [y] Б. Согласно свойствам транспонирования матриц [x] t Б Γ Б [y] Б = ( ) t = T Б Б [x] Б ΓБ T Б Б [y] Б = [x]t Б T Б Б t Γ Б T Б Б [y] Б.

70 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. Итак, получили равенство [x] t Б Γ Б [y] Б = [x]t Б T t Б Б Γ Б T Б Б [y] Б. Конечно, хотелось бы «сократить на матрицы» [x] Б и [y] Б. К сожалению, это не так просто.

71 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) ), то есть «сокращать на матри- Доказательство. Второй способ. Например ( ) ( ) ( ) = (0) = ( 1 1 ) ( ( ) ( но, разумеется, цы» ( 1 1 ) ( ) 1 и нельзя. 2 ) ( 1 2 ),

72 I.5. Теорема о матрице Грама в разных базисах Теорема 3. Пусть U евклидово пространство, Γ Б и Γ Б матрицы Грама базисов Б и Б соответственно, T Б Б матрица перехода из базиса Б в базис Б. Тогда Γ Б = T Б Б t Γ Б T Б Б, (3) Доказательство. Второй способ. В нашем случае «положение спасает» один «нюансик»: обсуждаемое равенство [x] t Б Γ Б [y] Б = [x]t Б T t Б Б Γ Б T Б Б [y] Б справедливо для любых матриц [x] Б и [y] Б соответствующей размерности. Поэтому мы можем сослаться на лемму о сокращении на произвольную матрицу. Теорема доказана.

73 II. Ортогональность Стратегия приоритетного изучения экстремальных ситуаций позволяет в геометрии (в том числе аналитической геометрии) выделить параллельность и перпендикулярность объектов (векторов, прямых, плоскостей) в качестве конфигураций, наиболее перспективных для изучения и использования. В аналитической геометрии понятие ортогональности играет даже большую роль, чем параллельность. Введение скалярного произведения со свойствами, зафиксированными в определении евклидова пространства, позволяет перенести на произвольные евклидовы и унитарные пространства геометрическое отношение ортогональности и соответствующие инструменты.

74 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта В геометрии огромную роль играет прямоугольная декартова система координат. Система ортов координатных осей называется, как известно, ортонормированным базисом. Его главная черта: базисные векторы взаимно ортогональны и их длина равна 1, то есть (x, x) = 1. Многие выкладки в такой системе координат значительно упрощаются. Дело в том, что матрица Грама такого базиса ( единичная, ) и формула (2) преобразуется к виду (x, y) = det [x] t Б [y] Б или, с учетом принятого соглашения об отождествлении матрицы размерности 1 1 с ее единственным элементом, (x, y) = [x] t Б [y] Б. В геометрии очень полезным оказалось понятие ортонормированного базиса, сокращенно ОНБ. Это понятие оказывается достаточно удобным и для произвольного евклидова пространства.

75 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Определение 4. Базис Б = {e 1, e 2,..., e n } евклидова пространства U называется ортонормированным базисом (ОНБ) тогда и только тогда, { когда для любых 1 i, j n имеем 0, при i j (e i, e j ) = δ ij, где δ ij = так называемый символ 1, при i = j Кронекера или δ-символ Кронекера.

76 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Определение 4. Базис Б = {e 1, e 2,..., e n } евклидова пространства U называется ортонормированным базисом (ОНБ) тогда и только тогда, { когда для любых 1 i, j n имеем 0, при i j (e i, e j ) = δ ij, где δ ij = так называемый символ 1, при i = j Кронекера или δ-символ Кронекера. Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис?

77 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Как можно было бы доказать, что в евклидовом пространстве есть ОНБ? Есть два пути: первый «от противного» (косвенный путь), и второй найти ОНБ («прямой, конструктивный путь»).

78 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Как можно было бы доказать, что в евклидовом пространстве есть ОНБ? Есть два пути: первый «от противного» (косвенный путь), и второй найти ОНБ («прямой, конструктивный путь»). Второй путь, разумеется, предпочтительнее.

79 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Как можно было бы доказать, что в евклидовом пространстве есть ОНБ? Есть два пути: первый «от противного» (косвенный путь), и второй найти ОНБ («прямой, конструктивный путь»). По-видимому, начинать придется с произвольного базиса. Для того, чтобы «превратить» его в ОНБ, нужна какая-то процедура. Такая процедура по именам авторов называется процессом ортогонализации Грама-Шмидта.

80 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Сначала мы построим ортогональный базис, то есть базис, в котором все векторы попарно ортогональны (но их модуль может быть отличен от 1).

81 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Но сейчас все упирается в ответ на вопрос: в любом ли (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис? Сначала мы построим ортогональный базис, то есть базис, в котором все векторы попарно ортогональны (но их модуль может быть отличен от 1). Процедура построения ортогонального базиса носит индуктивный характер.

82 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U.

83 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Мы будем строить ортогональный базис B = {e 1, e 2,..., e n }.

84 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. База. Положим e 1 = v 1.

85 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0.

86 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. Если m = n, то искомый базис уже получен.

87 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. Осталось рассмотреть случай m < n.

88 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. Построим вектор e m+1 таким образом, чтобы сохранить выполнение требований 1)-2). Для этого будем искать этот вектор в виде e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4)

89 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Первое условие при этом выполняется «автоматически».

90 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (e m+1, e k ) =

91 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (e m+1, e k ) = (v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m, e k ) =

92 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (e m+1, e k ) = (v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m, e k ) = = (v m+1, e k ) + α m+1,1 (e 1, e k ) + α m+1,2 (e 2, e k ) α m+1,m (e m, e k ) =

93 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (e m+1, e k ) = (v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m, e k ) = = (v m+1, e k ) + α m+1,1 (e 1, e k ) + α m+1,2 (e 2, e k ) α m+1,m (e m, e k ) = = (v m+1, e k ) + α m+1,k (e k, e k ).

94 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (v m+1, e k ) + α m+1,k (e k, e k ).

95 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) Из второго условия имеем: 0 = (v m+1, e k ) + α m+1,k (e k, e k ). Следовательно, получаем формулу для вычисления коэффициентов в формуле (4): α m+1,k = (v m+1, e k ) (e k, e k ). (5)

96 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Шаг. Пусть уже построены векторы e 1, e 2,..., e m, причем для любого i с условием 1 i m и для любых j, k с условиями 1 j < k m справедливы утверждения (предположение индукции): 1) e j v 1, v 2,..., v j ; 2) (e j, e k ) = 0. e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m. (4) α m+1,k = (v m+1, e k ) (e k, e k ). (5) Нетрудно показать, что при таком выборе этих коэффициентов предположение индукции выполняется.

97 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Пусть Б = {v 1, v 2,..., v n } произвольный базис евклидова пространства U. Значит, на шаге с номером m = n получим искомый ортогональный базис, состоящий из векторов вида e m+1 = v m+1 + α m+1,1 e 1 + α m+1,2 e α m+1,m e m где (4) α m+1,k = (v m+1, e k ) (e k, e k ). (5) Остается нормировать его, то есть построить базис B = {e 1, e 2,..., e n}, где e i = 1 (ei, e i ) e i.

98 II.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Таким образом, доказана следующая Теорема 4 (о существовании ОНБ в евклидовом пространстве). Если U конечномерное евклидово пространство, то существует ортонормированный базис пространства U. Рассмотреть пример построения ОНБ?

99 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии

100 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов.

101 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения?

102 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? Наиболее перспективным представляется применение стратегии

103 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? Наиболее перспективным представляется применение стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов.

104 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? «Экстремальным» расположением векторов является коллинеарность и ортогональность.

105 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? «Экстремальным» расположением векторов является коллинеарность и ортогональность. Поэтому наиболее интересны векторы, по отношению к векторам из M

106 II.2. Ортогональное дополнение К настоящему моменту сложились условия, благоприятные для применения стратегии перехода от изучения отдельного объекта к изучению системы объектов. Рассмотрим некоторое множество M векторов евклидова пространства U. Какое расположение векторов из U относительно M наиболее интересно для изучения? «Экстремальным» расположением векторов является коллинеарность и ортогональность. Поэтому наиболее интересны векторы, по отношению к векторам из M ортогональные.

107 II.2. Ортогональное дополнение Определение 5. Пусть M подмножество (не обязательно подпространство!) евклидова пространства U. Тогда ортогональным дополнением к M называется множество M всех векторов из U, ортогональных ко всем векторам из M, то есть { } M = u u U и v M (u, v) = 0. (6)

108 II.3. Свойства ортогонального дополнения Естественно изучить свойства ортогонального дополнения.

109 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство.

110 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Очевидное следствие критерия подпространства.

111 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если

112 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M.

113 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется:

114 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M

115 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M (λx + µy, v) =

116 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M (λx + µy, v) = λ(x, v) + µ(y, v) =

117 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M (λx + µy, v) = λ(x, v) + µ(y, v) = λ 0 + µ 0 =

118 II.3.1. Теорема об ортогональном дополнении Теорема 5. M является подпространством евклидова пространства U. Доказательство. Действительно, надо проверить, что если x, y M, то λx + µy M. Множество M задано характеристическим свойством (см. равенство (6)) выполнение которого для элемента λx + µy легко проверяется: для любого v M (λx + µy, v) = λ(x, v) + µ(y, v) = λ 0 + µ 0 = 0.

119 II.3.2. Теорема о дополнении к линейной оболочке Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Доказательство.

120 II.3.2. Теорема о дополнении к линейной оболочке Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Доказательство. Это очевидное следствие теоремы о внутренней характеризации линейной оболочки.

121 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Следствие 1. Если Б базис подпространства V линейного пространства U, то Б = V. Доказательство.

122 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Следствие 1. Если Б базис подпространства V линейного пространства U, то Б = V. Доказательство. Надо доказать равенство множеств.

123 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Следствие 1. Если Б базис подпространства V линейного пространства U, то Б = V. Доказательство. Следует доказать включения Б V и V Б.

124 II.3.3. Следствие об ортогональном дополнении к базису подпространства Теорема 6. В любом конечномерном евклидовом пространстве имеет место равенство v 1, v 2... = {v 1, v 2...}. Следствие 1. Если Б базис подпространства V линейного пространства U, то Б = V. Доказательство. Следует доказать включения Б V и V Б. Сделайте это самостоятельно.

125 II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения Теорема 7. Если V U, то есть V подпространство евклидова пространства U, то U = V V. Доказательство.

126 II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения Теорема 7. Если V U, то есть V подпространство евклидова пространства U, то U = V V. Доказательство. V, как подпространство евклидова пространства, является евклидовым пространством. Значит, у него есть ОНБ.

127 II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения Теорема 7. Если V U, то есть V подпространство евклидова пространства U, то U = V V. Доказательство. Пусть Б V = {e 1, e 2,..., e k } ОНБ подпространства V.

128 II.3.4. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения Теорема 7. Если V U, то есть V подпространство евклидова пространства U, то U = V V. Доказательство. Пусть Б V = {e 1, e 2,..., e k } ОНБ подпространства V. Продолжим его до базиса пространства U, получим базис Б = {e 1,..., e k, f k+1,..., f n }.


Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.2

Линейная алгебра. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

2 1) (x, x) 0 для любого x R n, равенства (x, x) = 0 и x = 0 эквивалентны;

2 1) (x, x) 0 для любого x R n, равенства (x, x) = 0 и x = 0 эквивалентны; ГЛАВА 7. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Евклидовы пространства R n и C n Говорят, что на пространстве R n задано скалярное произведение, если каждой паре векторов x, y R n поставлено в соответствие вещественное

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств

Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости. Тема. Комплексные числа и многочлены. Вычислить ( ) 0 + i. Вычислить ( ) 6 i i. Вычислить i + 70 00 i. Вычислить i 5. Вычислить 6. Вычислить 7i 7. Решить уравнение z + i 0 8. Решить уравнение z + 6 0 9.

Подробнее

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств Глава 15 Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств 151 Сопряженные преобразования Рассмотрим линейное преобразование ϕ унитарного или евклидова пространства V Отображение V V называется

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

14.1 Скалярное произведение. Матрица Грама

14.1 Скалярное произведение. Матрица Грама Глава 4 Евклидовы пространства 4. Скалярное произведение. Матрица Грама. Какие из следующих функций можно взять в качестве скалярного произведения в соответствующих линейных пространствах? ) f(xy) = x

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 7.1 Определение гильбертова пространства.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C,

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C, Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Государственный университет- Высшая школа экономики

Государственный университет- Высшая школа экономики Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации Государственный университет- Высшая школа экономики Факультет Мировая Экономика Программа

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет «Утверждаю», зав каф высшей математики профессор КП Арефьев А М Сухотин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Поле. Расширения полей

Поле. Расширения полей Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Обратная матрица Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Изоморфизм линейных пространств, матрица перехода в другой базис Раздел электронного учебника для

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Тензоры в евклидовых пространствах

Тензоры в евклидовых пространствах Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Тензоры в евклидовых пространствах Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Алгебра. Антон Ермилов. По лекциям Афанасьевой Софьи. 2 октября 2017 г. 1. Векторные пространства с билинейной формой Билинейные формы...

Алгебра. Антон Ермилов. По лекциям Афанасьевой Софьи. 2 октября 2017 г. 1. Векторные пространства с билинейной формой Билинейные формы... Антон Ермилов По лекциям Афанасьевой Софьи 2 октября 2017 г. Содержание 1. Векторные пространства с билинейной формой 1 1.1 Билинейные формы..................................... 1 2. Билинейная форма.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ Евклидовы и унитарные пространства Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения ( xy, ) и ( xy, ) Показать, что для любых чисел λ 0, µ 0, одновременно не равных

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) 4. МАТРИЦА СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ Пусть дана система векторов x 1 a 11, a 21,, a n1, x 2 a 12, a 22,, a

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

^A на плоскости, и { } 1 Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т В БОРОДИЧ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В. ПОТАПЕНКО

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

41. Симметрические операторы

41. Симметрические операторы 41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Пояснения к введению в ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Умнов А.Е, Умнов Е.А. (Верс. 29апр2018г)

Пояснения к введению в ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Умнов А.Е, Умнов Е.А. (Верс. 29апр2018г) Пояснения к введению в ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Умнов АЕ Умнов ЕА Верс 9апр08г Данный документ имеет своей целью проиллюстрировать некоторые способы применения понятий и методов рассмотренных ранее в курсах

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или

Подробнее

Лекция 3: Скалярное произведение векторов

Лекция 3: Скалярное произведение векторов Лекция 3: Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции вводится

Подробнее

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n

Q n (z) = b 0 + b 1 z + + b n z n Е.М. Карчевский, И.Л. Александрова, К.Н. Стехина Семинары по линейной алгебре и аналитической геометрии Часть 2 Учебное пособие Казанский университет 2015 Оглавление Предисловие...................................

Подробнее