I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы"

Транскрипт

1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это линейное пространство относительно обычных операций сложения числовых функций и умножения их на число. Последовательность ) D называется сходящейся в D к функции из D, если ) существует конечный интервал, вне которого все равны нулю; ) для каждого k =,,,... последовательность производных ) порядка k равномерно сходится на R к k) ) k. Линейное пространство D с такой сходимостью называется основным пространством, а его элементы - основными функциями. Обобщенной функцией на R называют линейный функционал f на D, непрерывный в следующем смысле: если последовательность ) D сходится в D к функции, то числовая последовательность f )) сходится к f ). часто обозна- Значение обобщенной функции f на основной функции чают f, ), а также f), )) или f d. 34 Регулярной обобщенной функцией называют всякий функционал вида f, ) f d, D, где f - интегрируемая по Лебегу на каждом конечном интервале числовой прямой функция. Обобщенная функция, не являющаяся регулярной, называется сингулярной обобщенной функцией. Последовательность обобщенных функций f ) называется сходящейся к обобщенной функции f, если f, ) f, ),, для любой основной функции. Сумма обобщенных функций и произведение обобщенной функции на число определяются как соответствующие операции над функционалами.

2 Возникающее при этом линейное пространство обобщенных функций обозначается D. Произведением бесконечно дифференцируемой на R функции и обобщенной функции f называется обобщенная функция f, задаваемая формулой f, ) f, ). Производной обобщенной функции f называется обобщенная функция f, определяемая соотношением f ', ) f, '), D. Каждая обобщенная функция имеет производные любого порядка; и сходящуюся последовательность обобщенных функций ряд) можно почленно дифференцировать. Отметим, что если f интегрируема по Лебегу на,b) и b f d для любой основной функции, то f) = п.в. на,b),b здесь могут принимать и бесконечные значения). Л и т е р а т у р а: [], c. 8-3; [], c II.З А Д А Ч И. Пусть D,. Сходится ли в D последовательность основных функций )? ) ). )/.8 -)/. -)/.9 ) + -))/.3 /)/. ).4 -)/. )/.5 )/. ) + ))/.6 -/ )/.3 ) + /))/.7 + )/.4 3 )/ 35

3 Решение задачи.4. Пусть сосредоточена на отрезке [-,]. Тогда 3 sup sup /,. Следовательно, если и сходится в D, то 3 только к нулевой функции. Рассмотрим функцию ) : D. Тогда 7 4) 4) )/. Поэтому, и, следовательно, 4) 4) sup sup. Эта последовательность сходится к нулю лишь когда 4), т.е. когда многочлен. Полученное противоречие показывает, что данная последовательность не имеет предела в D.. Являются ли следующие функционалы в пространстве D обобщенными функциями?. f, ) ) ).8 ) f, ) v. d. ) f, ).9 d f, ) ) d.3 f, ) ). f, ) d.4 f, ). f, ) ) ) ) ) d.5, ).6, ).7 m f R f ) f, ) v. d..3.4 f, ) ) l d P, ) d cos k cos k P, ) v. d Решение задачи.4. Убедимся, прежде всего, в существовании этого интеграла cosk cosk P, ) v. d cosk cosk cosk cosk d d) d d) и, следовательно, последний интеграл абсолют- cosk ибо ') но сходится. ) d cosk d, 36

4 Таким образом, рассматриваемая формула действительно задает функционал на D, линейность которого легко проверяется. Докажем его непрерывность. Пусть в D. Тогда вне некоторого отрезка [-,] все равны нулю, и последовательность равномерно на этом отрезке сходится к ' нулю. По теореме Лагранжа ) ) / ' ), где лежит между и -х. Следовательно, cosk ' P, ) cosk d cosk ) d ' ) при. m Мы доказали, что рассматриваемая формула задает обобщенную функцию. 3. Докажите, что следующие обобщенные функции сингулярны. 3. ) 3.8 ) 3. +3) 3.9 -) + ) ) 3. + ) ) 3. - ) 3.5 e ) 3. si + ) 3.6 ) + - ) 3.3 e + ) 3.7 ) + ) 3.4 ) + - ) + - ) Решение задачи 3.4. Допустим противное, т.е. существует такая локально интегрируемая функция f, что при всех из D выполняется равенство f d ) ') ''). ) Пусть основная функция сосредоточена на отрезке [-,] и положительна в нуле. Тогда основная функция ) сосредоточена на отрезке [-/,/], а потому ограниченная последовательность стремится к нулю почти всюду. Подставляя в ) вместо, имеем f d ) ' ) ''); Следовательно, при достаточно больших f d ). Но последовательность, стоящая слева, стремится к нулю по теореме Лебега, противоречие. 4. Докажите, что f f в пространстве D. f ) f) f ) f) 37

5 4. - ) ) 4. si 4.9 cos 4.3 ) ) 4. ) ) [,/ ] [ /,] [ /,] 4.4 /) ) 4. ) - ) [ /,/ ] 4.5 e i 4. ) ) 4.3 e - ) ) 4.4 / +) + ) [, / ] +) Решение задачи 4.4. Пусть D. Заметим, прежде всего, что '' ), ) '' ). Далее, по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем t, ) d [ t] ) dt t t ) dt что и завершает доказательство. ), ), 5. Найдите производную обобщенной функции f всюду ниже ), )., f f 5. sg 5. [-,] 5. -/ + := -/ ) 5.9 -) 5.3 )e 5. l /3 := -/3 ) 5. [-,] 5.5 [,] 5. - ) + + ) )si 5.7 -/ / Решение задачи 5.4. Заметим, что функция -/ интегрируема на каждом отрезке числовой прямой и, следовательно, определяет регулярную обобщенную функцию 38

6 /, ) / d, D. По определению производной / )', ) / ' )) / ' d. Преобразуем последнюю формулу так, чтобы освободиться от производной основной функции. Имеем / )', ) Теперь, интегрируя по частям, получаем / ' ) d / ' ) d). / )', ) 3 / ) 3 / d / )) d 3 / d) 3 / / / ) ) )) d. )) Варианты заданий см. в лабораторной работе 3 задачи - 5). III. Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н Ы Е З А Д А Ч И. 5. Пусть f есть ограниченная бесконечно дифференцируемая функция на R. Будет ли умножение на f непрерывным оператором в D? k 6. Докажите сингулярность обобщенной функции P cos см. задачу.4). 7. Найдите следующие пределы в D : cos k ) P ; k б) l i) : l iy). y 8. Докажите, что e. 9. Докажите, что : P i формулы Сохоцкого). io y iy 3. Вычислите производные следующих обобщенных функций: а) [] - целая часть х; б) si ; в) l + := ) l ; г) l + i) см. задачу 7); 39

7 д) si. 4

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x называется. ϕ называется финитной, δ примет следую- ε, то предельная плотность ( x) δ нельзя восстановить массу при помощи

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x называется. ϕ называется финитной, δ примет следую- ε, то предельная плотность ( x) δ нельзя восстановить массу при помощи Лекция 6 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Общие понятия Пространства основных и обобщенных функций 3 Операции над обобщенными функциями Общие понятия Понятие обобщенной функции было вызвано не стремлением к обобщениям

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение 5 Линейная замена переменной Для введения операции линейной (точнее, аффинной замены переменной, как и прежде, воспользуемся принципом продолжения с множества регулярных

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией.

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть -аддитивная мера, определенная на -алгебре подмножеств множества X. Мы будем предполагать, что мера является

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Задача 1. dx x. Найти экстремум функционала. f C. y y = + = 2 = + ~ +

Задача 1. dx x. Найти экстремум функционала. f C. y y = + = 2 = + ~ + Задача Найти экстремум функционала d d b a d d d ~ Задача Найти экстремум функционала d d b a d d ~ Задача Найти экстремум функционала d d b a d d ~ Задача Решить интегральное уравнение d d 6 d d 6 8 Найдём

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Лекция 3. Представление функций степенными рядами

Лекция 3. Представление функций степенными рядами С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

1 Метрические пространства

1 Метрические пространства Содержание Введение Метрические пространства 5 Тема Сходящиеся последовательности в метрических пространствах 5 Тема Топология метрических пространств Тема Полнота метрических пространств 9 Тема Непрерывные

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

7. Преобразование Фурье.

7. Преобразование Фурье. 7. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье занимает важнейшее место в теории распределений, теории дифференциальных уравнений и математике вообще. Хорошо известно, что преобразование Фурье интегрируемой

Подробнее

Тема: Тригонометрические ряды Фурье

Тема: Тригонометрические ряды Фурье Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Тригонометрические ряды Фурье Лектор Рожкова С.В. 013 г. 38. Тригонометрические ряды Фурье 1. Разложение функции в тригонометрический

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции. ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

Подробнее

М.М.Деркач, А.М.Филимонов, Д.А.Филимонов ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

М.М.Деркач, А.М.Филимонов, Д.А.Филимонов ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Прикладная математика-» М.М.Деркач,

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан SOME APPLICATION OF EXPONENTIAL SERIES Toraeva N.E., Akhmesabyrova

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

Лекция 13. Стационарные в широком смысле последовательности

Лекция 13. Стационарные в широком смысле последовательности Лекция 13 Стационарные в широком смысле последовательности Рассмотрим класс случайных последовательностей {ξ n }, обобщающих стационарные последовательности, при этом предположим, что временная переменная

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем -

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - { теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя

Подробнее

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах ЛЕКЦИЯ 7Б Линейные функционалы (продолжение). Некоторые следствия из теорем Банаха Штейнгауза и Хана Банаха. Нерефлексивность некоторых функциональных пространств 1. Некоторые общие свойства линейных функционалов

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

ПОЛНОТА И КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

ПОЛНОТА И КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ПОЛНОТА И КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть X. Отображение : X X R которое каждой паре ( x y) X X ставит в

Подробнее

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1 М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки.

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Определение 1 Предельная точка для множества - это такая точка a, к которой сходится некоторая последовательность точек множества,

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

GENERALIZED FUNCTIONS. å. à. Çàòàä åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó M. I. VISHIK. The article is an introduction

GENERALIZED FUNCTIONS. å. à. Çàòàä åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó M. I. VISHIK. The article is an introduction ÇË ËÍ å.à., 997 GENERALIZED FUNCTIONS M. I. VISHIK The article is an introduction to the theory of generalized functions. The strict definition of a generalized function is given. The main attention is

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Теория Меры 3: Интегрирование

Теория Меры 3: Интегрирование Теория Меры 3: Интегрирование 3.1. Измеримые функции Определение 3.1. Пусть дано пространство M с заданной на нем σ-алгеброй U. Мы говорим, что подмножество M измеримо, если оно лежит в U. Пусть топологическое

Подробнее

3. Непрерывность функции многих переменных

3. Непрерывность функции многих переменных 3 Непрерывность функции многих переменных 31 Непрерывность в точке Локальные свойства Определение 31 Пусть y = f(x), x X R n, f(x) R m, x 0 X Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если или O(f(x

Подробнее