ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» Факультет информационных технологий и вычислительной техники Е В Новикова, А Г Родионова, Н В Родионова ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Учебно-методическое пособие Ижевск 03

2 УДК 579 (075) ББК 66я7 Н 73 Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом УдГУ Рецензент: кф-мн Л А Белоусов Н73 Новикова Е В, Родионова А Г, Родионова НВ Линейные дифференциальные уравнения высших порядков: учебно-методическое пособие Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», с ISBN Учебно-методическое пособие содержит набор практических заданий по линейным уравнениям -го порядка и краткое теоретическое сопровождение, необходимое для лучшего усвоения материала В каждом параграфе разобраны примеры с подробным алгоритмом решений Нумерация заданий сквозная Пособие рассчитано на студентов, изучающих дифференциальные уравнения Пособие может быть полезно преподавателям для проведения практических занятий и для подготовки индивидуальных заданий Его также можно использовать в качестве типового расчета ISBN УДК 579 (075) ББК 66я7 Новикова ЕВ, 03 Родионова АГ, 03 Родионова НВ, 03 ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет», 03

3 Предисловие Дифференциальные уравнения описывают множество процессов в физике, химии, биологии, технике, экономике и изучаются студентами различных направлений подготовки бакалавриата и магистратуры Учебно-методическое пособие посвящено важному разделу дисциплины линейным дифференциальным уравнениям высших порядков и нацелено на формирование способности выпускников применять в профессиональной деятельности методы математического моделирования Пособие разбито на главы в соответствии с видами дифференциальных уравнений порядка В каждой главе изложен теоретический материал, который позволит обучающимся систематизировать знания основных понятий, теорем и методов их практического применения при подготовке к контрольным работам и экзаменам; рассмотрены основные типы задач, разобраны примеры Пособие содержит разработанный авторами многовариантный комплект заданий, который может быть использован в качестве типового расчёта для выработки навыков решения линейных дифференциальных уравнений высших порядков Количество заданий достаточно как для занятий в аудитории, так и для самостоятельной работы студентов Нумерация заданий сквозная Данное учебно-методическое пособие может быть полезно преподавателям при проведении практических занятий и формировании индивидуальных заданий обучающимся, а также студентам заочной формы обучения и аспирантам 3

4 ГЛАВА I ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА Общие положения Определение Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида ( ) ( ) y a y a y a y f, где ai, i =,, f непрерывные на интервале ( ab, ) функции Если f 0, то уравнение () принимает вид: = () ( ) ( ) и называется однородным уравнением (ЛОУ) При f 0 уравнение () называется неоднородным (ЛНУ) y + a y + + a y + a y () Определение Решением уравнения () на ( ab, ) называется функция y= ϕ, ϕ : ( ab, ), если она раз непрерывно дифференцируема на ( ab, ) и при всех ( ab, ) имеет место равенство ( ) ( ) ϕ + a ϕ + + a ϕ + a ϕ = f Пусть для уравнения () поставлена задача Коши, то есть наряду с уравнением () заданы начальные условия в точке 0 ( ab, ) : ( y( ) ) 0 = y0, y 0 = y0,, y ( 0) = y0,, (3) где y0, y0,, y0, произвольные вещественные числа 4

5 Теорема Если функции ai, i =,, f непрерывны на интервале ( ab, ), то решение задачи Коши (), (3) существует и единственно на ( ab, ) Определение 3 Линейным дифференциальным оператором -го порядка называется оператор вида ( ) ( ) ( ) L y = y + a y + + a y + a y, L: C ab, C ab, Используя это определение, уравнения () и () можно записать в виде L y = f, (') ( ) L y В дальнейшем отождествляем представления () и ( ), () и ( ) соответственно В силу линейности операции дифференцирования оператор L( y ) однороден и аддитивен, то есть обладает свойствами: L( y) = L( y), ( ) где α, y C ( ab, ); L( y y ) L( y ) L( y ) ( ) где y, y C ( ab, ) α α (4) + = + (5), Теорема Линейная комбинация решений ЛОУ () ab, также является решением ЛОУ y,, ym ( ) на () на ( ab, ) Доказательство Так как L( y i ) при ( ab, ), то 5

6 m m i i = i i = i= i= α α 0 для всех ( ab) L y L y где α i, i =, m,, Упражнение Показать, что множество решений ЛОУ ab, образует линейное пространство () на интервале Теорема 3 Если комплекснозначная функция y = u + iv является решением ЛОУ (), то ее ве- щественная и мнимая части, то есть функции u( ) и v( ), также являются решениями ЛОУ () Теорема 4 (Принцип наложения решений) Если функ- ab,, являются решениями урав- ции y,, ym ( ), нений L( y) f L( y) f функция y y то =,, = m соответственно, то m = является решением ЛНУ i= i m = L y f, ab, i= Доказательство Поскольку i = = L y f, i, m, ab,, i i m m m L( y) = L yi = L( yi) = fi, ( a, b) i= i= i= Применение теоремы 4 на практике позволяет упростить процесс решения линейных неоднородных уравнений, правая часть которых представлена в виде суммы двух и более функций 6

7 Теорема 5 Если функция y( ) решение ЛНУ (), а функция z( ) решение ЛОУ () на ( ab, ), то их сумма y + z является решением ЛНУ () на ( ab, ) Доказательство Так как L( y) = f и L( z ) при ( ab, ), то L( y+ z) = L( y) + L( z) = f, ( a, b) Теорема 6 Разность двух решений линейного неоднородного уравнения () есть решение соответствующего линейного однородного уравнения () Доказательство Если y ( ) и y ( ) два решения ЛНУ (), то L( y) = L( y ) = f Тогда для функции z = y y справедливы равенства L( z) = L( y y ) = L( y ) L( y ) = f f = ( a b) 0,, Линейная независимость функций Определение 4 Функции ϕ,, ϕ m называются линейно зависимыми на ( ab, ), если найдутся такие кон- станты α,, α, α, =, m, α > 0, что справедливо равенство m = 7 m + + = ( ab) αϕ αmϕ m 0,, (6) Если же равенство (6) возможно лишь для тривиального набора констант α = α = = α, то функции ϕ,, ϕ m называются линейно независимыми на ин- тервале ( ab, ) m

8 Замечание Существенно, что линейная зависимость и независимость системы функций устанавливается на определенном промежутке, то есть одни и те же функции могут быть линейно зависимы на одном множестве, и линейно независимы на другом 3 3 ϕ =, ϕ = Пример Рассмотрим функции Очевидно, что 3 8 ϕ = ϕ = при [0, ], то есть данные функции линейно зависимы Однако, на отрезке 3 3 [, ] равенство α + α возможно только при α = α В этом случае функции линейно независимы Упражнение Докажите, что линейно независимыми на системами функций являются: ) одночлены,,,, ; ) функции e, e,, e, где, i i j при i j, i, j =, ; 3) функции si, cos, si, cos,, si, cos Определение 5 Определителем Вронского системы ( ) раз непрерывно дифференцируемых на интервале ( ab, ) функций ϕ ϕ называется определитель вида:,, W( ϕ,, ϕ ) W = = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) Теорема 7 (Необходимое условие линейной зависимо- раз непрерыв- сти системы функций) Если система но дифференцируемых на ( ab, ) функций ϕ ϕ,,

9 линейно зависима на ( ab, ), то определитель Вронского этой системы тождественно равен нулю на ( ab, ) : W( ), ( ab, ) Следствие Если определитель Вронского системы функций ϕ,, ϕ отличен от нуля хотя бы в одной точке 0 ( ab, ), то система функций линейно независима на интервале ( ab, ) Замечание Равенство нулю определителя Вронского является необходимым, но не достаточным условием линейной зависимости системы функций 3 Линейное однородное уравнение Рассмотрим линейное однородное уравнение () Теорема 8 Если функции y,, y ( ) являются решениями ЛОУ () на интервале ( ab, ), то следующие утверждения эквивалентны: ) W( ) при любых ( ab, ); ) существует 0 ( ab, ) такое, что W( 0 ) ; 3) функции y,, y ( ) линейно зависимы на интервале ( ab, ) Определение 6 Фундаментальной системой решений ab, линейного однородного уравнения -го порядка на называется система из линейно независимых на интерва- ab, решений этого уравнения ле Замечание 3 Фундаментальная система решений (ФСР) уравнения () определяется неоднозначно 9

10 Замечание 4 ФСР уравнения () образует базис пространства решений ЛОУ () (см замечание ) Определение 7 Функция y ϕ ( C C ) 0,,, = называется общим решением линейного дифференциального урав- ab,, если: нения -го порядка на ) при любом фиксированном наборе констант * * C,, = C C = C функция y = ϕ (, C * *,, C ) является решением этого уравнения; 0, y0, y0,, y0,, ) для любых начальных данных где 0 ab,, y0, y0,, y0, произвольные вещественные числа, существует единственный набор постоянных 0 0 C,, = C C= C такой, что функция y= ϕ ( C, 0 0,, C ) является решением соответствующей задачи Коши Теорема 9 Пусть y,, y ( ) фундаментальная система решений ЛОУ () на интервале ( ab, ) Тогда общее решение этого уравнения на ( ab, ) имеет вид yоо = Cy = где C, =,, произвольные постоянные 4 Линейное неоднородное уравнение Рассмотрим ЛНУ () и изучим структуру его общего решения Теорема 0 Пусть y,, y ( ) фундаментальная ab, y ( ) система решений ЛОУ () на интервале (, ), чн

11 некоторое частное решение ЛНУ () Тогда общее решение ab, имеет вид: yон ( ) ЛНУ () на y = y + y = C y + y, (7) он оо чн чн = где С, =, Доказательство В силу теорем и 5 формула (7) при любом наборе констант С определяет решение ЛНУ () Покажем теперь, что константы в формуле (7) можно выбрать так, что будет получено любое наперед заданное решение ЛНУ () Пусть y заданное решение ЛНУ () В силу теоремы 6 разность y yчн двух решений ЛНУ () является решением ЛОУ () По теореме 9 об общем решении ЛОУ найдется, притом единственный, набор констант C,, = C C = C такой, что на интервале ( ab, ) выполнено равенство y yчн = C y + + C y, а, следовательно, и равенство y = C y + yчн = Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения () есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения () и некоторого частного решения неоднородного уравнения 5 Метод вариации произвольных постоянных Пусть известна фундаментальная система решений y y ЛОУ () и его общее решение,,

12 = + + yоо Cy Cy Применяя метод вариации произвольных постоянных, общее решение ЛНУ () ищем в виде, повторяющем вид общего решения ЛОУ (), в котором константы C,, C заменены на пока произвольные непрерывно дифференцируемые на интервале ( ab, ) функции C,, C : yон = C y + + C y (8) Для определения этих функций накладываем условия на их производные: C y+ C y + + C y, C y + C y + + C y, (9) ( ) ( ) ( ) C y + C y + + C y = f Определителем данной системы является определитель W = W y,, y Поскольку W 0 при ab,, то система (9) имеет единственное решение: Вронского C ψ,, = = (0) Интегрируя (0), находим искомые функции C = ψ d + C (), Подставляя () в равенство (8), получим общее решение неоднородного уравнения y = Cy + + Cy + () + y d + y d + + y d ψ ψ ψ

13 6 Построение линейного однородного дифференциального уравнения го порядка по его решениям Рассмотрим ЛОУ () Теорема Пусть раз непрерывно дифференцируемые на интервале ( ab, ) функции y, y,, y ( ) таковы, что составленный из них определитель Вронского W( y, y,, y ) не равен нулю ни в одной точке интервала ( ab, ) Тогда существует линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка с непрерывными на ab, коэффициентами такое, что данные функции y, y,, y образуют его фундаментальную систему решений Это уравнение имеет вид: y y y y y y y y (3) ( ) ( ) ( y ) y y ( y ) y y y y 3 Замечание 5 Как правило, левую часть уравнения (3) преобразуют, раскладывая определитель по элементам последнего столбца Пример Составить ЛОУ, для которого функции y = e, y = e образуют ФСР линейно не- Решение Так как функции y ( ) и y зависимы на, то W( y, y ) 0,

14 Составим ЛОУ, применяя формулу (3): e e y y e e y или ee y e 4e y 4 y 4 (4) Раскладывая определитель в (4) по элементам 3-го столбца, получим искомое дифференциальное уравнение y 3y + y 7 Формула Остроградского Лиувилля Отметим, что в дифференциальном уравнении (3) ко- ( ) y представляет эффициент при старшей производной собой определитель Вронского W W( y, y,, y ) по условию теоремы, W 0 при ( ab, ) Несложно убедиться, что коэффициент при ( ) y равный W = y y y y y y = и, y y y y y y представляет собой производную от определителя Вронского Действительно, по правилу дифференцирования функционального определителя -го порядка его производная равна сумме определителей, каждый из которых получен из исходного заменой одной из строк строкой из производных,

15 Продифференцируем по этому правилу определитель Вронского Все определители, входящие в сумму, кроме последнего, будут равны нулю, поскольку содержат совпадающие i -ю и ( i + ) -ю строки Единственный ненулевой определитель, в котором последняя строка заменена строкой из производных, и равен производной от определителя Вронского: W = W Разделив обе части уравнения (3) на определитель Вронского W( ) (учитывая, что W 0 при ( ab, )), получим ЛОУ со старшим коэффициентом, равным единице ( Обозначим коэффициент при y ) через W p = W Проинтегрируем обе части от 0 до, тогда W = Cep p ( t) dt 0 Выражая постоянную C через начальное значение W( 0), получаем формулу Остроградского Лиувилля: W = W( 0) ep p( t) dt, 0 где [, 0 ] ( ab, ) Применяя формулу Остроградского Лиувилля на практике к нахождению общего решения уравнения второго порядка y + py + qy, у которого известно ненулевое частное решение y, получаем уравнение первого порядка: 5

16 Раскроем определитель y y y y = C e p d p d yy yy = Ce Разделив обе y C p d части на y, получаем e =, откуда y y p d y = y C e d + C y 6

17 ГЛАВА II ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка ( ) ( ) y + ay + + a y+ ay, () где коэффициенты a, a,, a Очевидно, что данное уравнение есть частный случай ЛОУ (), рассмотренного в главе I, поэтому для нахождения общего решения уравнения () достаточно построить фундаментальную систему решений этого уравнения Вводя, как и прежде, линейный дифференциальный оператор ( ) ( ) запишем уравнение () в форме L( y ) L y = y + ay + + a y+ ay, 7 Применяя метод Эйлера, будем искать частные решения () в виде y = e λ, () где λ вещественное или комплексное число, которое нужно определить Вычисляя производные функции y = e λ до -го порядка, имеем λ λ ( ) λ y =λ e, y =λ e,, y =λ e Тогда λ λ L( e ) = ( λ + a λ + + a ) e λ или ( λ L e ) = P( λ ) e, где P( λ) λ + a λ + + a называется характеристическим многочленом, а уравнение

18 P( λ ) характеристическим уравнением Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами уравнения Случай различных корней характеристического уравнения Рассмотрим характеристическое уравнение λ + a λ + + a λ+ a (3) Легко заметить, что уравнение (3) составляется для уравнения () по следующему правилу: производные -го порядка искомой функции заменяются на λ Особенно нужно 0 y заменяется на λ = обратить внимание на то, что Структура фундаментальной системы решений уравнения () определяется свойствами корней характеристического уравнения (3) В данном параграфе рассмотрим случай, когда все корни различны Все корни характеристического уравнения действительные и различные Обозначим через λ,, λ корни характеристического уравнения, причем λj λ для всех j ( λ ) j Напомним, что функции e λ, e λ,, e λ линейно независимы на В этом случае фундаментальная система решений состоит из функций y = e, y = e,, y = e λ, (4) λ λ а общее решение имеет вид y= Ce + Ce + + Ce λ (5) λ λ, 8

19 где C, C,, C произвольные действительные постоянные Все корни различные, но среди них есть комплекс- a + ib a, b соответствует ные Тогда каждому корню комплексно-сопряженный корень a ib (почему?), и в этом случае каждой паре сопряженных корней a ± ib соответствуют действительные частные решения вида a a y = e cos b, y = e si b (6) Упражнение Показать линейную независимость функций (6) на Заметим, что при a получим чисто мнимые корни ± ib, которым будут соответствовать решения дифференциального уравнения вида y = cos b, y = si b (7) Итак, алгоритм нахождения фундаментальной системы решений в случае различных корней характеристического уравнения заключается в следующем: находим действительные решения, которые соответствуют всем парам сопряженных комплексных корней, а также решения, соответствующие действительным корням Пример Дано уравнение y 4y + 3y (8) Найти ФСР и общее решение Решение Составим характеристическое уравнение, заменяя в уравнении (8) y, y, y на λ, λ, соответственно Таким образом, получаем характеристическое уравнение: λ 4λ+ 3 Данное уравнение имеет два корня λ = 3, λ = Так как оба корня действительны и различны, то фундаментальная система решений имеет следующий вид: 3 y = e, y = e 9

20 Общее решение представимо в виде: 3 y= Ce + Ce Пример Дано уравнение y + y + y (9) Найти ФСР и общее решение Решение Составим характеристическое уравнение, заменяя в уравнении (9) y, y, y на λ, λ, соответственно Получаем характеристическое уравнение λ +λ+ Данное характеристическое уравнение имеет комплексные (комплексно-сопряженные) корни ± i 3 λ, = 3 Здесь a =, b= ФСР имеет следующий вид: 3 3 y = e cos, y = e si, а общее решение представимо в виде 3 3 y = C + C e cos si Пример 3 Дано уравнение IV y 6y (0) Найти ФСР и общее решение Решение Составим характеристическое уравнение, заменяя в уравнении (0) y и y на λ и IV 4 соответственно 4 Характеристическое уравнение λ 6 можно представить следующим образом: λ λ+ λ i λ+ i 0

21 Данное уравнение имеет четыре корня, два из которых различны и действительны λ = и λ =, а два чисто мнимые λ 3 = i и λ 4 = i (здесь a, b= ) Тогда ФСР имеет следующий вид: y = e, y = e, y3 = cos, y4 = si, а общее решение представимо в виде y= Ce + Ce + Ccos + Csi 3 4 Случай наличия кратных корней В данном параграфе будут рассмотрены случаи, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные действительные и комплексные корни Среди корней характеристического уравнения имеется действительный корень λ кратности m Тогда уравнение имеет m частных решений: λ λ λ m λ e, e, e,, e () Обратим внимание на то, что последняя степень будет на единицу меньше кратности корня λ После нахождения других корней характеристического уравнения строят ФСР и общее решение Среди корней характеристического уравнения имеются кратные комплексные Обозначим через λ = a+ ib корень кратности m Данный корень будет иметь комплексно-сопряженный корень такой же кратности m Таким образом, уравнение будет иметь m действительных линейно независимых частных решения следующего вида: a a m a e cos b, e cos b,, e cos b, () a a m a e si b, e si b,, e si b

22 Если a, то система () примет вид: m cos b, cos b,, cos b, (3) m si b, si b,, si b Пример 4 Решить уравнение y + 5y + 7y + 3y (4) Решение Составим характеристическое уравнение, заменяя в уравнении (4) y, y, y, y на λ, λ, λ, 3 соот- 3 ветственно Получаем λ + 5λ + 7λ+ 3 Данное уравнение имеет три корня λ =, λ =, λ 3 = 3 Среди них есть действительный корень λ = кратности Ему соответствует два линейно независимых частных решения y = e, y = e Так как среди корней уравнения имеется еще один корень λ 3 = 3, то ФСР имеет вид 3 y = e, y = e, y3 = e Общее решение записывается следующим образом: y e = c+ c + ce 3 3 Пример 5 Решить уравнение IV y + y + 3y + y + y (5) Решение Составим характеристическое уравнение: 4 3 λ + λ + 3λ + λ+ Его можно представить в виде λ +λ+, поэтому данное уравнение имеет двукратные комплексные корни λ 3 3, = + i, λ 3,4 = i Им соответствуют следующие четыре линейно независимых действительных решения:

23 3 3 y = e cos, y = e cos, 3 3 y3 = e si, y4 = e si, которые составляют фундаментальную систему решений Общее решение имеет вид: 3 3 y= e Ccos + C cos Csi Csi В заданиях -5 решить линейные однородные дифференциальные уравнения Задание y 5y + 4y 3 y 9y + 4y 5 y + 5y 4y 7 y + 7 y + y 9 y y 30y y + y + 36y 3 y + 6y 7 y 5 y + 3y 4y 7 y y 6y 9 y 3y + 40y y 3y 40y 3 y y 56y 5 y + 5y 36y y y 8y 4 y + y 6y 6 y + y y 8 y y y 0 y y + 8y y + 3y 8y 4 y + y 0y 6 y 0y + 4y 8 y + y 4y 0 y 4y 3y y + 5y + 4y 4 y + y 4y 3

24 Задание y 0y + 5y 3 4y + y + 9y 5 6y 8y + y 7 y + 4y + 49y 9 y + 8y + 6y= 0 6y + 56y + 49y 3 y 6y + 64y 5 36y + y + y 7 y + 8y + 8y 9 64y + 48y + 9y y 4y + 49y 3 49y 4y + 9y 5 5y 30y + 9y Задание 3 y 4y + 5y y 3 y 5y + 8y 4y 5 y + 3y 4y 7 y 3y + y 9 y 5y y + 5y y 3y 9y 5y 3 y y 7y 4y 5 y 3y y 7 y 8y + 0y 6y 9 y 7y + 6y y y 6y + y 6y 3 y 7y + 4y 8y 5 y 3y 6y + 8y y + 0y + 5y 4 9y + 30y + 5y 6 y y + 36y 8 4y 0y + 5y 0 y + 4y + 4y y + 6y + 9y 4 64y 6y + y 6 y 0y + 00y 8 8y 8y + y 0 y 6y + 9y 49y + 4y + y 4 y + y + 36y y 5y + 7y 3y 4 y + y 5y + 3y 6 y 6y + 5y + y= 0 8 y 8y + 9y y 0 y 4y 7y + 0y y 9y + 5y 7y 4 y 7y y + 7y 6 y y y + y 8 y 8y + 9y y 0 y 3y y + 3y y + 3y + 3y + y 4 y + 6y + y + 8y 4

25 Задание 4 y 6y + 0y 3 y + 6y + 0y 5 y + 4y + 9y 7 y + 4y + 40y 9 y 8y + 5y y 0y + 6y 3 y 8y + 5y 5 y + 4y + 3y 7 y + 4y + 58y 9 y y + 0y y + y + 0y 3 y 4y + 3y 5 y + 4y + 3y Задание 5 y 7y + 6y 0y 3 y + 7 y + 6y + 0y 5 y 9y + 5y 7y 7 y 3y + y 0y 9 y y + 8y 0y y + y 3 y 4y + 4y 0y 5 y + y + 8y 0y 7 y 5y + 9y 5y 9 y 3y + y + 5y y 3y + 4y y 3 y y + y 5 y y + 4y 8y y + 8y + 5y 4 y + y + 45y 6 y 4y + 53y 8 y 6y + 68y 0 y + 8y + 0y y + y + 40y 4 y + 0y + 9y 6 y + 0y + 06y 8 y y + 8y 0 y 6y + 73y y 6y + 65y 4 y 4y + 50y y 4y + 6y 4y 4 y + 3y + 7y + 5y 6 y + y + 3y 5y 8 y 5y + y 8y 0 y 3y + 4y + 8y y + 3y + 4y + y 4 y + y y 6 y + y + y + y 8 y y + y y 0 y y + 4y 4y y + y + 4y + 4y 4 y y + y y 5

26 ГЛАВА III ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное уравнение -го порядка вида: ( ) ( ) 6 y + ay + + a y+ ay= f, () где a, a,, a, f ( ) непрерывная на интервале ( ab, ) функция Данное уравнение представляет собой частный случай ЛНУ () (глава I), поэтому структура его общего решения, определяется теоремой 0 главы I Напомним, что, согласно этой теореме, общее решение неоднородного уравнения () равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения: y = y + y Построение общего решения y он оо чн оо однородного уравнения с постоянными коэффициентами ( ) ( ) y + ay + + ay, подробным образом описано в главе II Рассмотрим два метода отыскания частного решения неоднородного уравнения Метод вариации произвольной постоянной Метод вариации произвольной постоянной применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения - го порядка как с постоянными, так и пе-

27 ременными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения Данный метод подробно описан в главе I Остановимся на частном случае уравнения () y + ay + ay= f Для уравнения второго порядка 7 система (9) в главе I примет следующий вид C y+ C y, () C y + C y = f Решая систему () относительно C и C, получаем yf yf C = ; C =, W( y, y) W( y, y) откуда находим y f y f C = d + C ; C = d + C, W( y, y ) W( y, y ) где y y W( y, y) = = yy yy y y определитель Вронского решений y и y Пример Решить уравнение y + y = cos Решение Здесь соответствующее однородное уравнение имеет вид y + y, (3) π а f =, + π, Характеристическое cos уравнение для (3) λ + имеет мнимые корни λ = i, λ = i, и общее решение однородного уравнения имеет вид y = C cos + C si оо

28 Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде y = C cos + C si (4) Для нахождения C и C он составляем систему C cos + C si = 0, C ( si ) + C ( cos ) =, cos C = tg, C = Интегрируя, получаем C = l cos + C ; C = + C следовательно, C и C в (0), имеем yон = C cos + C si + cos l cos + si Здесь C cos + C si общее решение однородного Подставляя полученные уравнения (9), а cos l cos + si частное решение исходного уравнения Задание 6 Решить уравнение методом вариации произвольных постоянных уравнения y + 4y = y y = cos e + 3 y + 4y = 4 y y = si e + 5 y + y = 6 y 3y + y = cos 3 + e 6 7 y + y = 8 y + 6y = si cos 4 8

29 9 y + 4y = cos y + 4y = si 3 y + y = 3 cos 5 y + y = 3 si 7 y + 9y = si 3 9 y + 9y = cos 3 y + y = ctg 3 y + y = tg 5 y + y = 5 si cos 0 y + y + y = e si y + y + y = e cos 4 y y = e cos e 6 y y = e + e 8 y y + y = + 0 y + 5y + 6y = + e y + 6y = ctg 4 4 y + y = ctg Метод неопределенных коэффициентов Данный метод применим для нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами только в том случае, когда его правая часть имеет специальный вид: α = β + m Здесь P ( ) и Qm f e P cos Q si β (5) многочлены степени и m соответственно, αβ, вещественные постоянные Далее будут подробно разобраны виды частных решений для различных видов правых частей 9

30 I Функция f принимает следующий вид: f P e α = (6) m Здесь возможны четыре случая ) α, правая часть принимает вид f = Pm, и число 0 не является корнем характеристического уравнения Тогда частное решение имеет вид: yчн = P m, m m 0 где P m = A 0 + A + + Am многочлен степени m с неизвестными коэффициентами A0, A,, A m ) α, и число 0 является корнем характеристического уравнения кратности s Тогда частное решение принимает вид: S yчн = P m, m m 0 где P m = A 0 + A + + Am многочлен степени m с неизвестными коэффициентами A0, A,, A m 3) α 0, α не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение имеет вид: yчн = P α m e, m m 0 где P m = A 0 + A + + Am многочлен степени m с неизвестными коэффициентами A0, A,, A m 4) α 0, и α является корнем характеристического уравнения кратности s, тогда частное решение имеет вид: S yчн = P α m ( e ), m m 0 где P m = A 0 + A + + Am многочлен степени m с неизвестными коэффициентами A0, A,, A m 30

31 II Функция f принимает следующий вид: α = cos β + m si β, где P и f e P Q Qm многочлены степени и m соответственно Здесь возможны четыре случая ) α, правая часть принимает вид f = P cos β+ Qm si β, и числа ± iβ не являются корнями характеристического уравнения Тогда частное решение имеет вид: yчн = P cos β+ Q si β, где = ma ( m, ), а P и Q многочлены -ой степени с неопределенными коэффициентами P0, P,, P и Q0, Q,, Q : 0 P = P 0 + P + + P, 0 Q = Q 0 + Q + + Q ) α, и числа ± iβ являются корнями характеристического уравнения кратности s Тогда частное решение имеет вид: S yчн = P cos β+ Q si β, где = ma ( m, ), а P и Q многочлены -ой степени с неопределенными коэффициентами P0, P,, P и Q0, Q,, Q 3) α 0, и числа α ± iβ не являются корнями характеристического уравнения Тогда частное решение имеет вид: α yчн = e P cos β+ Q si β, 3

32 где = ma ( m, ), а P и Q ( ) 3 многочлены -ой степени с неопределенными коэффициентами P0, P,, P и Q0, Q,, Q 4) α 0, и числа α ± iβ являются корнями характеристического уравнения кратности s Тогда частное решение имеет вид: α S yчн = e P cos β+ Q si β, ma m, P Q многочлены -ой где =, а и степени с неопределенными коэффициентами P0, P,, P и Q0, Q,, Q Пример Решить уравнение y y 6y = + Решение Здесь соответствующее однородное уравнение имеет вид y y 6y, а f = + Характеристическое уравнение λ λ 6 имеет два различных корня λ = 3, λ =, и общее решение однородного уравнения имеет вид 3 yоо = Ce + Ce Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде y = y + y он оо чн В данном случае число α не является корнем характеристического уравнения, поэтому y чн имеет вид: yчн = A + B, где A и B неизвестные коэффициенты, которые необходимо определить Вычисляем y чн = A и y чн Подставляя y чн, y чн, yчн в исходное уравнение, получаем:

33 6A + A + 6B = + 0 Откуда, приравнивая коэффициенты при,, имеем систему: 6A = A + 6B =, решением которой является A=, B= Таким образом, 3 9 частное решение имеет вид: yчн = +, 3 9 а общее решение y он представимо в виде 3 yон = Ce + Ce Пример 3 Решить уравнение y 7y + 0y = 4 Решение Здесь соответствующее однородное уравнение имеет вид y 7y + 0y, а f = 4 3 Характеристическое уравнение λ 7λ + 0λ имеет три различных корня λ, λ =, λ3 = 5, и общее решение однородного уравнения имеет вид 5 yоо = C + Ce + Ce 3 Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде y = y + y он оо чн В данном случае число α является корнем характеристического уравнения кратности, поэтому y чн имеет вид: yчн = ( A + B) = A + B, где A и B неизвестные коэффициенты, которые необходимо определить 33

34 ,, : Вычисляем yчн yчн yчн y = A+ B, y = A, y чн чн чн Подставляя y чн, y чн, y чн и чн y в исходное уравнение, получаем: 0A + 4A + 0B = 4 0 Откуда, приравнивая коэффициенты при,, имеем систему: 0A = 4 4A + 0B =, 9 решением которой являются A=, B= 5 50 Таким образом, частное решение имеет вид: 9 y чн = +, 5 50 а общее решение y он представимо в виде 5 9 yон C Ce Ce = Пример 4 Решить уравнение = ( ) y 4y 3 e Решение Здесь соответствующее однородное уравнение имеет вид y 4y 0, f = 3 e = а Характеристическое уравнение λ 4 имеет два различных корня λ =, λ =, и общее решение однородного уравнения имеет вид yоо = Ce + Ce Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде y = y + y он оо чн 34

35 В данном случае число α = не является корнем характеристического уравнения, поэтому y чн имеет вид: y A B e чн = +, где A и B неизвестные коэффициенты, которые необходимо определить Вычисляем y чн, y чн : y = A e + e A + B, чн чн y = e A + B + Ae + A e Подставляя y чн, y чн и y чн в исходное уравнение, получаем: 3 A e + e A 3B = 3 e Откуда, приравнивая коэффициенты при e, e, получаем систему: 3A = 3 A 3B= Получаем A=, B= 3 Таким образом, частное решение имеет вид: y чн = e, 3 а общее решение y он представимо в виде yон = Ce + Ce + e 3 Пример 5 Решить уравнение y + 4y + 4y = 5 e Решение Здесь соответствующее однородное уравнение имеет вид y + 4y + 4y, а f = 5 e 35

36 Характеристическое уравнение λ + 4λ+ 4 имеет корень λ = кратности, и общее решение однородного уравнения имеет вид yоо Ce = + Ce Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде y = y + y он оо чн В данном случае число α = является корнем характеристического уравнения, поэтому y чн имеет вид: yчн = A e, где A неизвестный коэффициент, который необходимо определить Вычисляем y чн и y : чн y чн = Ae A e, y чн = Ae 8 Ae + 4 A e Подставляя y чн, y чн и y чн в исходное уравнение, получаем: Ae = 5 e 5 Таким образом, A =, и частное решение имеет вид: 5 yчн = e, а общее решение y он представимо в виде 5 yон = Ce + Ce + e Пример 6 Найти общее решение y 7y + 6y = si Решение Составим характеристическое уравнение λ 7λ+ 6 Корни: λ = 6, λ = Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид 36

37 6 yоо = Ce + Ce Так как числа ± i не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение y чн неоднородного уравнения находим по формуле: yчн = Asi + Bcos Находим производные y чн и y чн : y = Acos Bsi, y = Asi Bcos чн Подставляя y чн и y чн в исходное уравнение, получаем: Asi Bcos 7Acos + 7Bsi + 6Asi + 6Bcos = si или 5A+ 7B si + 5B 7A cos = si чн Приравнивая коэффициенты при si и cos, получаем систему линейных уравнений относительно A и B : 5A+ 7B= 7A + 5B 5 7 Решая эту систему, находим A=, B= Тогда частное решение y чн имеет вид: 5 7 yчн = si + cos, а общее решение примет вид: yон = Ce + Ce + si + cos Пример 7 Найти общее решение y + y = si Решение Составим характеристическое уравнение λ + Его корнями являются λ =+ i, λ = i Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид 37

38 yоо = C cos + C si Правая часть данного в условии дифференциального уравнения имеет вид: si Поскольку ± i являются корнями характеристического уравнения кратности, для нахождения частного решения y чн неоднородного уравнения используем формулу: yчн = ( A+ B) cos + ( C+ D) si Находим y, y : y = A + B si + C + D cos + A + B cos + + C + D si, y = A + B cos C + D si A + B si + + C + D cos + Acos + C si Подставляя y, y в исходное уравнение, получим соотношение вида: ( A+ B) si + ( C+ D) cos + Acos + Csi = si Приравнивая коэффициенты при si, cos, si, cos, получаем систему линейных уравнений для нахождения A, B, C, D: si 4A= A= / 4, cos 4C C, si B B= 0, cos D+ A D= / 4 Таким образом, yчн = cos + si, 4 4 yон = yоо + yчн = Сcos + Сsi cos + si

39 В заданиях 7 решить линейные неоднородные уравнения со специальной правой частью Задание 7 Линейные однородные с правой частью вида ( A B) y + y y = y y 6y = y y 8y = + 7 y 4y = + 9 y + 4y 5y = 4+ y 7y + y = 3+ 3 y y 8y = y 5y + 4y = y y y = 9 y 4y + 4y = y + y y = + 3 y + 5y + 4y = 5 y 4y + 3y = 4 + : y + y y = 5 4 y 6y + 8y = 3 6 y y 8y = 5 8 y y y = 0 y + y 8y = 3+ y + 5y + 4y = 3+ 4 y + 6y + 8y = 3+ 6 y 3y + y = 7+ 8 y + y 3y = 4+ 0 y 4y 5y = 3+ y 6y + 8y = y 8y + 5y = + 39

40 Задание 8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения A + B e α : второго порядка с правой частью вида y + 4y + 4y = + e y 5y + 6y = + 3 e 3 y + 5y + 6y = 3+ e 5 7 = ( + ) = ( 3 + ) y 3y 4y e y y y e y 3y 0y = e y 3y 8y = + e 3 5 y + 5y + 6y = 4e 7 y + y y = 5e y + y + y = + 4 e 9 y 7 y + y = ( + 4) e 3 y 9y = + 4 e 3 3 y + y 6y = + e 5 y + 5y 6y = + e y + 5y 6y = + e 4 6 y + 7y + y = + 3 e 6 4 y 5y + 4y = e 8 y 4y + 4y = 3 e 0 y 6y + 9y = 3+ 4 e 3 4 y 0y + 5y = ( + ) e y y y = ( + ) e 8 y 3y 0y = ( + ) e y y 6y = + e 0 3 y 4y y = 3+ e 6 y 4y y = 3+ e 4 6 Задание 9 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения A + B e α : третьего порядка с правой частью вида y y = + 3 e y 3y + y = + e = ( + 3) = ( + 3) y y y e y y y e 40

41 = ( + 3) y y y y e y 3y y = e 6 7 y y y + y = ( ) e 8 + = ( ) 3 y 5y 7y 3y e y y 5y + 6y = + e = ( + ) y y y e y 3y = e y 9y = 4e 3 y + 5y + 4y = e 3 y + 7y + y = e 3 y + 3y y 3y = e y y = + e 6 3 y y + y = 6+ e = ( + ) y 4y 5y y 3 e y 3y + 3y y = + 3 e = ( + 5) = ( ) y y y e y y y e y 3y = e 3 y + 4y + 4y = + e = ( + ) 5 + = ( + ) y y y e y 3y y 4 e 4

42 Задание 0 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Acos + Bsi e α : второго порядка с правой частью вида y + y y = cos e y 4y = cos e 3 3 y + y y = cos e y y y = cos3+ si 3 e ( cos3 si 3 ) 6 3 ( cos3 si 3 ) y + y + y = + e y + y + y = + e 7 y 4y + 3y = cos 3+ si 3 8 y + y y = cos + si 9 y + 3y + y = cos + 3si 0 y + y + y = cos + 3si y y = cos + si e 4 ( cos si ) y y = + e 3 y 4y = cos 3+ 3si 3 4 y y + 5y = cos e 5 y y + 5y = cos 3+ 3si 3 6 y + y + 5y = si e 7 y + 4y = si 8 y + 9y = si 3 9 y + 9y = cos3 si 3 0 y y + y = cos3 si 3 y y + y = cos si e y + y= si e y 6y + 0y = cos + si e 3 4

43 4 y + 4y = 3cos + si 5 y + 6y = cos + si Задание Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Acos + Bsi e α : третьего порядка с правой частью вида y y = cos + si y + y y = si e 3 y 3y + y = 3cos e 4 y y y + y = si e 5 y + y y = 3cos + si 6 y 3y + y = cos + si y 3y + y = cos + si e 7 y + y y y = cos + si e 8 3 y + y 3y = cos + si e y 3y + y = cos e 3 y + y y = 3cos e y + 4y = cos e 3 y + y = 3cos 4 y + y = 4cos 5 y + y = 4cos e y y + 4y = cos + 3si e = ( cos + 3si ) y y y e 8 y 3y + 9y 5y = si e 9 y y + 4y 8y = si e 0 y + 3y + 3y + y= si e 43

44 = ( cos + si ) y + 5y + 6y = ( cos + si ) e y y y y e 3 y + 7y + y = cos e 4 y y y = cos e y 3y 4y = cos + si e 5 Задание Пусть известны все корни характеристического уравнения Составить соответствующее линейное однородное уравнение, выписать y оо По виду правой части составить частное yчн и общее yон решение неоднородного линейного уравнения λ =, λ =, λ3 = 3, f = 5 e + 3+ cos λ, λ = ± i,,3 f = 4 + 5e + 3si λ, λ = ± i,,3 f = + 7e cos + si λ =, λ = 5,, 3 f = + e λ 5 3 cos 5 = ± i, λ =± i,, 3,4 f = 3cos + 5si + e λ = 3, λ,,,3 4,5 3 f = e + si 3 44

45 λ =, λ = ± i,,3 f = sh + 0e si e λ, λ = 3, λ = 3, 3 = + ( ) f 4cos 5 cos3 λ =, λ =, λ =, 3 f = + sh + 3cos λ =, λ = 3,,3 f = 3 + 5e cos 3 + e λ = 3 ± i, λ =,, 3,4 3 f = e e + 3,4 cos 5 si λ = 4, λ = 4, λ =± 3 i, 4 f = 6+ si 4+ 7 e + cos3 λ = 3, λ = 3± 3 i,, 3, cos3 si 3 f = + + e λ = 4, λ = ± i,,3 f = + + e 4 ch 7 4 λ =± i, λ =,, 3 si 4 3 f e e = + + λ, λ = ± i,, 3,4 f = + e + λ cos 6si = ± i, λ =± i,, 3,4 f = 3e si 4si 3 cos

46 λ =, λ =, λ =,, 3 4 f = si + 3 e + 3 λ, λ =, λ =, 3,4 f = e cos λ, λ = 3, λ = 3, f = cos 3 si 3 7 λ = 4, λ =, λ =, 3 f = e 3+ + si4 7e λ =, λ = ± i,, 3,4 f = cos + e 6 + 7e + 9 λ = 3, λ = 3,,3 3 f = si e ( 6+ ) λ =, λ = 6,, 3,4 si 6 7 λ =, λ = ± i, 6 f = + e ( + ) + e ( ),3 f = 6cos + e Уравнение Эйлера Некоторые виды линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью замены переменных можно преобразовать в уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение Эйлера: ( ) ( ) y + a y + + a y + a y= f, где a = f C( ab),,,,, 46

47 Введем замену независимой переменной по формулам t = e при > 0 (или = e t при < 0 ) Пересчитаем производные, полагая y функцией от t : y t t t y = = ye t = ϕ ( y t) e, где ϕ ( y t) = y t, где t ( y ) y ( y y ) e ( y, y ) e, t t t = = tt t =ϕ t tt t ϕ y t, y tt = y tt y t Несложно показать по индукции, что ( ) y t = ϕ y, y,, y e t tt Подставляя полученные выражения для производных в исходное уравнение, в каждом слагаемом сможем сократить множители, содержащие явно t : y ( ) e t y, y t,, y e = ϕ =ϕ y, y,, y ( ) ( t t ) t tt t tt Таким образом, получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами Пример 8 Решить уравнение y + 3 y 3y= 6 l t Решение Подставляя = e ( > 0 ) и выражения для y и y (см выше), получим t t t t e ( y tt y t ) e + 3eye t 3y= 6, t y tt + y t 3y = 6 t Характеристическое уравнение λ + λ 3 имеет различные вещественные корни λ= и λ= 3, следовательно, t 3t t = Сe + Сe yоо Правая часть неоднородного уравнения имеет специальный вид Замечая, что среди корней характеристического урав- 47

48 нения нет значения λ, отвечающего правой части, ча- y t = At + B стное решение ищем в форме чн Подставляя в неоднородное уравнение y = A и y, 4 получим A 3( At + B) = 6, t откуда A=, B= Итак, 3 t 3t 4 yон ( t) = yоо ( t) + yчн ( t) = Сe + Сe t 3 Возвращаясь к исходной независимой переменной, получаем ответ: 3 4 yон = С + С l 3 Замечание Уравнение ( ) ( ) a + b y + a a + b y + + a a + b y + a y = f, где ab,, a 0, приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой a+ b = e t при a+ b< 0 ) t a+ b = e при a+ b > 0 (или 48

49 ГЛАВА IV ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ Решение линейного дифференциального уравнения порядка выше первого с переменными коэффициентами не всегда можно выразить через элементарные функции В таком случае можно представить искомое решение в виде степенного ряда Для примера рассмотрим уравнение второго порядка: y + py + qy () Предположим, что функции p, q разлагаются в степенные ряды, сходящиеся при 0 < r, т е p () = a( ), q = b( ) Напомним, что такие функции называются аналитическими Теорема Если функции p, q аналитические при 0 < r, то всякое решение y= y уравнения () является аналитическим при 0 < r, т е разлагается в степенной ряд y () = C ( 0 ), который сходится при 0 < r Для упрощения изложения считаем 0, тогда () y = C (3)

50 Используя правило дифференцирования степенных рядов, получим: y = C, = y = C = Подставляя y, y, y в уравнение (), имеем: ( ) C + a C + b C = = = 0 (4) 0 3 Приравнивая к нулю коэффициенты при,,,,, получим рекуррентную систему линейных уравнений относительно неизвестных C0, C, C, C 3, Заметим, что коэффициенты a0, a, a, a 3,, а также b0, b, b, b 3, нам известны Таким образом, система имеет вид: 0 C + ac + bc, C + a C + bc + bc, C + 3a C + a C + b C + bc + b C, Заметим, что каждое из уравнений (5) содержит на один коэффициент больше, чем предыдущее В первом уравнении считаем C0, C произвольными, и они будут играть роль произвольных постоянных Если задать C0, C, то из первого уравнения найдем C, из второго C 3, из третьего C 4 и т д Одним словом, из ( s + ) -го уравнения можно определить C s +, зная C0, C,, C s + 50 (5)

51 На практике поступают следующим образом Находим два линейно независимых решения y, y( ), как было описано выше, полагая константы C0 =, C для решения y ( ) и C0, C = для решения y ( ) В этом случае y, y( ) будут удовлетворять следующим начальным условиям: y(0) =, y (0) ; y (0), y (0) = В силу линейной независимости решений y, y( ) всякое решение уравнения () будет являться линейной комбинацией этих решений, т е y = Ay + By Пример Найти решение уравнения y y y (6) в виде степенного ряда Решение Здесь p =, т е a0, a =, a i для всех i ; q =, т е b0 =, b j для всех j Ищем y в виде степенного ряда y = C, тогда, подставляя y, y, y в (6), получим 5 ( ) C C C = = = 0 (7) Расписывая подробно (7), имеем следующее соотношение: C + 3 C+ 4 3 C C C ( C C 3 C 3 4 C 4 ) ( C 0 C C C 3 C 4 ) (8)

52 Пусть y y 0 =, 0, тогда C0 =, C Для нахождения коэффициентов Ci, i, имеем соотношения: 0 C C0 C = C0 =, 3 C3 C C C3, 4 3 C4 C C C4 = / 3, C5 3 C3 C3 C5, C6 4 C4 C4 C6 = / (3 5), Таким образом, y 4 6 ( ) = (9) Пусть y(0), y (0) =, тогда C0, C = Приравнивая коэффициенты при,,,,,, получим C , C 3 =, 4 0, 5, 6 0, 7, C = C = 4 C = C = 46 Ясно, что C, C+ =, где =,, 3, 4 6 ( ) Таким образом, y = = (0) = = e 4 46 Общее решение уравнения (6) имеет вид y = Ay + By, где y ( ) задается формулой (9), y формулой (0), а A и B произвольные постоянные Заметим, что y(0) = A, y (0) = B 5

53 Пример Решить уравнение y + y () Решение Ищем решение уравнения () в виде ряда y = C Подставляя y, y в уравнение, получим соотношение ( ) C + C = = 0 () Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему линейных уравнений для нахождения C : 0 C C, 3 C3+ C0, 4 3 C4 + C, C5 + C, Из уравнений получаем C C, C + 3 =,,,, ( + ) ( + 3) Положим C0 =, C, тогда C3m 0 для всех m,,, а все остальные коэффициенты равны нулю Таким образом, имеем C3m C = 3( m ), m 0,,,, + (3m+ ) (3m+ 3) = откуда C 3m m ( ) ( m ) =, m=,, m Построенное решение имеет вид: 53

54 m= ( ) m 3m y = + (3) m ( m ) Для получения второго решения положим C0, C = Тогда C 3m + 0 для всех m,,, а все остальные коэффициенты равны нулю Таким образом, ( ) C =, C3m+ =, m=,, m 3 + Следовательно, m= m ( ) m ( m ) 3m+ y = + (4) m 3 + ( m ) Все решения уравнения () выражаются формулой y = Ay + By = m= ( ) m 3m = A + + m= ( 3m ) 3m + B + ( ) m 3m m( 3m+ ) Упражнение Покажите, что дифференциальное уравнение y + y + y имеет линейно независимые решения m= 0 ( ) m y =, m ( m ) ( ) m m 4 6 y = = e ( m) 54

55 Упражнение Покажите, что дифференциальное уравнение y + y имеет в качестве своих решений 4 функции + y = C, y = C+,! +! где C0 C C C3 = 0 = =, = =, ( ) C+ = C + C, =, 3, 4 55

56 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Бибиков ЮН Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений СПб: Изд-во Санкт-Петерб унта, с Демидович БП, Моденов ВП Дифференциальные уравнения СПб: Лань, с 3 Лизоркин ПИ Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа М: Наука, с 4 Матвеев НМ Обыкновенные дифференциальные уравнения СПб: Спец литература, с 5 Самойленко АМ, Кривошея СА, Перестюк НА Дифференциальные уравнения: примеры и задачи М: Высшая школа, с 6 Тихонов АН, Васильева АБ, Свешников АГ Дифференциальные уравнения М: Наука, с 7 Филиппов АФ Сборник задач по дифференциальным уравнениям М, Ижевск: РХД, с 8 Шолохович ФА Лекции по дифференциальным уравнениям (университетский курс) Екатеринбург: Урал изд-во, с 56

57 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Глава Линейные дифференциальные уравнения порядка 4 Общие положения 4 Линейная независимость функций 7 3 Линейное однородное уравнение 9 4 Линейное неоднородное уравнение 0 5 Метод вариации произвольных постоянных 6 Построение линейного дифференциального уравнения го порядка по его решениям 3 7 Формула Остроградского Лиувилля 4 Глава Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка с постоянными коэффициентами 7 Случай различных корней характеристического уравнения 8 Случай наличия кратных корней Глава 3 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 6 Метод вариации произвольной постоянной 6 Метод неопределенных коэффициентов 9 3 Уравнение Эйлера 46 Глава 4 Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 49 Список рекомендуемой литературы 56

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

4. Функция Грина краевой задачи

4. Функция Грина краевой задачи Функция Грина краевой задачи 4. Функция Грина краевой задачи I.4.1. Существование функции Грина Опр. 1. 1. Функцией Грина краевой задачи Ly = k)y ) ) q)y = f), 1) Γ y y ) sin α + y) cos α = 0, α 0, π 2,

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Элементы гармонического анализа

Элементы гармонического анализа Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Содержание 1 Введение 1 2 Уравнения третьей степени 3 3 Уравнения четвертой степени 7 1 Введение В данном манускрипте приводятся формулы для

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики экономики и информатики Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений ЕАГоловко ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ УДК 53.7 ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Жаныбекова А.А., b_zhanybek@mail.ru Казахстанско-Британский технический университет,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

МАТЕМАТИКА Дифференциальные уравнения и ряды. Методические указания по выполнению контрольной работы

МАТЕМАТИКА Дифференциальные уравнения и ряды. Методические указания по выполнению контрольной работы Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации" МАТЕМАТИКА

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. Москва Издательство МЦНМО

Подробнее

Дифференциальные уравнения рабочая программа дисциплины

Дифференциальные уравнения рабочая программа дисциплины МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Алтайский государственный университет" (ФГБОУ ВПО «АлтГУ») УТВЕРЖДАЮ Декан Поляков

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов Занятие 16 ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов На этом занятии мы будем решать ЛНДУ с постоянными коэффициентами y (n) + a 1 y (n 1) +...+

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее