СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ"

Транскрипт

1 Н. Б. ЛЕВЧЕНКО СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ЧАСТЬ Санкт-Петербург 00 1

2 Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра сопротивления материалов Н. Б. ЛЕВЧЕНКО СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ для студентов всех специальностей и форм обучения ЧАСТЬ Задачи 8 8 Под редакцией д-ра техн. наук, проф. В. Д. Харлаба Санкт-Петербург 00

3 УДК 59./8(07) Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ для студентов всех специальностей и форм обучения. Ч../ Н. Б. Левченко; СПбГАСУ. СПб., 00. с. В пособии даны краткие сведения из теории, необходимые для решения задач, и приводятся примеры решения задач, входящих в расчетно-проектировочные работы, по темам: "Сложное сопротивление", "Устойчивость", "Расчет на динамическую нагрузку". Решение задач снабжено подробными объяснениями. Ил.. Табл.. Библиогр. назв. Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В. З. Васильев (Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения); д-р техн. наук, проф. В. В. Улитин (Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий) Н. Б. Левченко, 00 Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 00

4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО- ПРОЕКТИРОВОЧНЫХ РАБОТ В процессе изучения курса "Сопротивление материалов" студенты выполняют расчетно-проектировочные работы (РПР). Количество РПР и задач, входящих в каждую из этих работ, зависит от специальности и количества часов, отведенных в учебном плане на изучение курса. Цель РПР сознательное усвоение теоретического курса и приобретение навыков решения задач, имеющих как академический, так и практический характер. Данное учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-проектировочных работ. Номера задач, решение которых объясняется в данном пособии, соответствуют номерам задач в методических указаниях [4], по которым студенты выбирают схемы решаемых задач. В данном пособии приводятся краткие теоретические сведения и основные формулы, необходимые для выполнения задач, объясняются смысл и порядок решения задач. Решение одних задач сопровождается численными расчетами, решение других приведено в общем виде. Ни в коем случае не следует копировать решение задач, не разобравшись со смыслом того, что вы делаете. Пособие не заменяет учебник, поэтому перед выполнением задач прочитайте те разделы учебников, которые приведены в перечне литературы по изучаемой теме. В процессе расчетов обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Не забывайте писать в каких единицах вы получили результат. Рекомендуемые единицы измерения приведены в перечне используемых обозначений. Все арифметические вычисления следует выполнять с точностью до трех значащих цифр точностью, достаточной для инженерных расчетов. Расчетно-проектировочные работы оформляются на стандартных листах писчей бумаги формата А-4 (10х97). Перед решением задачи необходимо нарисовать расчетную схему задачи в масштабе в соответствии со своими данными. Решение задачи должно сопровождаться короткими пояснениями, рисунки желательно делать карандашом, на листах должны быть оставлены поля для замечаний преподавателя. После выполнения всех задач, входящих в расчетно- 4

5 проектировочную работу, листы с решением следует сброшюровать и снабдить титульным листом. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Нагрузки: F сосредоточенная сила, кн; M сосредоточенная пара сил (момент), кнм; q интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кн/м. Обозначение осей: x продольная ось стержня;, главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня. Геометрические характеристики поперечного сечения стержня: A площадь поперечного сечения, см ; S, S статические моменты относительно осей,, см ; I, I осевые моменты инерции относительно осей,, см 4 ; I p полярный момент инерции, см 4. Внутренние усилия: N продольная сила, кн; Q, Q, (Q) поперечные силы, кн; M, M, (M) изгибающие моменты кнм; M к крутящий момент, кнм. Напряжения: x,,, () нормальные напряжения, МПа; x,, x, () касательные напряжения, МПа; 1,,, ( гл ) главные напряжения, МПа. Деформации и перемещения: x,,, () относительные продольные деформации; x,, x, () угловые деформации (углы сдвига); l абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (перемещение точек оси вдоль оси x), см; v, w прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси вдоль осей, ), см; угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад; угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад. Характеристики материала: пц предел пропорциональности, МПа; 5

6 т предел текучести, МПа; в временное сопротивление (для хрупких материалов в р предел прочности при растяжении, в с предел прочности при сжатии), МПа; [], [] допускаемые напряжения, МПа; E модуль упругости, МПа; коэффициент Пуассона; коэффициент линейного температурного расширения, 1/град. 6

7 5. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Рекомендуемая литература Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., Гл. 6 ( 6.5, 6.6), Гл.4. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977, Гл. 7, Гл. 15. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., Гл. 9. Основные понятия и формулы Сложное сопротивление такой вид деформации, при котором в стержне могут возникнуть все шесть видов внутренних усилий одновременно. Эти шесть усилий определяются, как обычно, методом сечений. При построении эпюр внутренних усилий правила знаков для продольной силы и крутящего момента используем те же, что и раньше. Для изгибающих моментов принимается другое правило знаков, а именно, изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растягивающие напряжения в положительном квадранте (т. е. в том квадранте, где координаты 0 и 0). Поперечная сила считается положительной, если она направлена по направлению оси (или ) и действует в сечении, внешняя нормаль к которому совпадает по направлению с осью x. Рис. 5.1 поясняет правила знаков для всех внутренних усилий. N > 0 Q > 0 x Q > 0 N > 0 M к > 0 M > 0 x M > 0 M > 0 M > 0 Q > 0 Q > 0 Рис Правила знаков для внутренних усилий в задачах сложного сопротивления M к > 0 От действия всех внутренних усилий в поперечном сечении стержня возникают нормальные и касательные напряжения. Нор- 7

8 мальные напряжения связаны с действием продольной силы и изгибающих моментов и определяются в любой точке поперечного сечения 1 по формуле N M M x (5.1) A I I Здесь и координаты той точки, в которой находятся напряжения, в главной центральной системе координат, I, I осевые моменты инерции относительно главных центральных осей. При использовании приведенного выше правила знаков для изгибающих моментов формула (5.1) автоматически дает знак напряжений при подстановке координат точки со своим знаком независимо от направления осей. Напомним, что положительный знак напряжений говорит о том, что в рассматриваемой точке действует растягивающее напряжение. При расчете конструкций нас, как правило, интересуют максимальные напряжения. Точки, в которых они действуют, называются опасными. Для определения положения опасных точек с максимальными (растягивающими или сжимающими) нормальными напряжениями надо построить нейтральную линию и найти точки, наиболее удаленные от нее. Напомним, что нейтральной линией называется линия, на которой нормальные напряжения равны нулю. Для построения нейтральной линии запишем ее уравнение, приравняв напряжения в формуле (5.1) нулю: N M M 0. (5.) A I I 1 Сечение может иметь произвольную форму, но должно быть однородным по материалу. 8

9 В уравнении (5.) и координаты точек, принадлежащих нейтральной линии. Построив по уравнению (5.) нейтральную линию, проведем прямые, касательные к контуру сечения и параллель- max ные нейтральной линии. 1 Точки касания этих прямых контура сечения и являются (1) опасными точками, в которых действуют максималь- (1) ные нормальные напряжения. Нейтральная линия Рис. 5. поясняет опи- санное построение для сечения Эпюра 1 произвольной формы. Показанная на рис. 5. эпюра нормальных напряжений соответствует положительным значениям усилий в уравнении (5.). Максимальное Рис. 5.. Определение положения напряжение действует в точке 1, именно эта точка и бу- опасных точек с максимальными нормальными напряжениями дет опасной. Для определения нормальных напряжений в этой точке подставим в формулу (5.1) координаты (1) и (1) этой точки (см. рис. 5.). Заметим, что при отрицательной (сжимающей) продольной силе максимальные сжимающие напряжения будут по модулю больше растягивающих. В этом случае для хрупких материалов опасными будут обе точки: и точка 1, и точка 1 (см. рис. 5.). От поперечных сил в сечении стержня возникают касательные напряжения, которые определяются по формуле Журавского в тех случаях, когда она применима (т. е. когда можно считать равномерно распределенными по ширине сечения, что приемлемо, если Q действует по оси симметрии сечения или сечение является тонкостенным). Как известно из опыта расчета конструкций при плоском поперечном изгибе касательные напряжения от поперечной силы, как правило, существенно меньше нормальных напряжений, поэтому в зада- 9

10 чах сложного сопротивления при проверке прочности их чаще всего не учитывают. Крутящий момент вызывает в сечении касательные напряжения. Формулы для определения этих касательных напряжений зависят от формы поперечного сечения и изучались ранее. Эти формулы для двух наиболее часто применяемых форм сечения круглого и прямоугольного будут рассмотрены в разд. 5. "Общий случай сложного сопротивления". Чаще всего в реальных конструкциях встречаются два частных случая сложного сопротивления: косой (или пространственный) изгиб и внецентренное растяжение-сжатие. В разд. 5.1 и 5. рассматриваются эти виды деформаций, разд. 5. описывает проверку прочности конструкций в общем случае сложного сопротивления РАСЧЕТ БАЛКИ, ПОДВЕРЖЕННОЙ КОСОМУ ИЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОМУ ИЗГИБУ Основные определения Косым изгибом называется такой изгиб, при котором вся нагрузка на балку действует в одной плоскости, и эта плоскость не совпадает с плоскостями, в которых лежат главные центральные оси инерции сечения (плоскости xo и xo на рис. 5.). При косом изгибе изогнутая ось представляет собой плоскую кривую, и плоскость, в которой она расположена, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. При пространственном изгибе нагрузка приложена в раз- F 1 x O F x O F Рис. 5.. Косой изгиб Рис Пространственный изгиб 10

11 ных плоскостях (рис. 5.4), деформированная ось является пространственной кривой. При косом или пространственном изгибе в сечении стержня возникают четыре усилия: Q, Q, M и M. Нормальные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле, полученной из (5.1) при N 0, M M x. (5.) I I Касательные напряжения от поперечных сил, если нельзя воспользоваться формулой Журавского, допустимо не учитывать. Порядок проверки прочности балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, тот же, что и для балки, работающей при плоском поперечном изгибе. Для этого необходимо: построить эпюры внутренних усилий. Для построения эпюр внутренних усилий раскладываем нагрузки на вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальная составляющая вызывает изгиб относительно горизонтальной оси, горизонтальная относительно оси ; выбрать опасные сечения это сечения, где имеет место наиболее неблагоприятное сочетание изгибающих моментов; в опасных сечениях найти опасные точки точки с максимальными нормальными напряжениями; записать условие прочности в этих точках. Из условия прочности либо подобать размеры поперечного сечения, либо найти допускаемую нагрузку, либо просто сделать вывод о возможности безопасной эксплуатации конструкции. Определение положения опасных точек в стержне произвольного поперечного сечения производится по схеме, описанной ранее во вступительной части разд. 5. Поскольку в уравнении нейтральной линии Поскольку касательные напряжения от поперечных сил не учитываем, допустимо строить только эпюры изгибающих моментов. 11

12 M I M I 0 (5.4) отсутствует свободный член, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения (рис. 5.5). Построив нейтральную линию и эпюру нормальных напряжений, найдем положение опасных точек. Допустим, что напряжение в точке 1 больше, чем в точке 1 (это можно определить по масштабу, если построить сечение и эпюру напряжений в масштабе). Условие прочности в опасной точке 1, которая находится в линейном напряженном состоянии, записывается так: M (1) M (1) max [ ] (5.5) I I Значение [] зависит от материала, из которого сделана балка, и для хрупкого материала необходимо учесть направление (растягивающее или сжимающее) max. Для некоторых форм сечений, а именно, прямоугольника, двутавра и других сечений, угловые точки которых находятся в углах прямоугольника, нет необходимости для записи условий прочности находить положение опасных точек. Для таких сечений положение опасных точек не зависит от угла наклона нейтральной линии, и опасные точки это всегда угловые точки сечения. Условие прочности в этих точках записывается следующим образом: M M max [ ], (5.6) W W где W и W моменты сопротивления поперечного сечения относительно главных центральных осей. 1

13 max 1 O v O O Нейтральная линия 1 w O Эпюра Рис Эпюра нормальных напряжений и перемещение точки О оси балки Перемещения балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, можно находить любым способом. Обычно это делают методом Максвелла Мора, перемножая эпюры с помощью правила Верещагина. От вертикальной составляющей нагрузки точки оси балки перемещаются по вертикали (вдоль оси ). Вертикальная составляющая полного прогиба w находится по формуле M Mi w dx. (5.7) EI Перемещения v точек оси балки вдоль оси, вызванные горизонтальной составляющей нагрузки, определяются аналогично M Mi v dx. (5.8) EI Эти перемещения для точки O оси балки показаны на рис Полное перемещение (отрезок OO на рис. 5.5) является геометрической суммой составляющих v и w. Отметим такую закономерность: при косом изгибе отрезок OO должен быть в точности перпендикулярен нейтральной линии [], при пространственном изгибе этот угол, как правило, должен быть близок к 90. При косом изгибе плоскость, в которой лежит изогнутая ось стержня, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. Это отличает косой изгиб от прямого, при котором плоскость действия нагрузки совпадает с одной из главных плоскостей осей инерции сечения, и изогнутая ось лежит в той же плоскости. 1

14 Пример расчета балки при пространственном изгибе (задача 8) Условие задачи Балка загружена нагрузкой, показанной на рис Сила F 1 60 кн действует в вертикальной плоскости, F 10 кн в горизонтальной, пара сил M 0 кнм в плоскости, расположенной под углом 10 к оси. Требуется: 1) из условия прочности подобрать номер двутавра; M ) найти полное перемещение точки C оси балки M F 1 F1 (см. рис. 5.6); A D C B ) нарисовать сечение F F балки в масштабе и показать м м м 10 на нем нейтральную линию и полное перемещение точки C. Определить угол между Рис Схема нагрузки на балку нейтральной линией и полным перемещением. Решение Разложим нагрузку на вертикальную (рис. 5.7, а) и горизонтальную (рис. 5.7, в) составляющие и построим эпюры M и M (рис. 5.7, б, г). Чтобы правильно поставить знаки изгибающих моментов, необходимо на рисунках показывать направление осей и, так как в соответствии с правилом знаков для изгибающего момента в задачах сложного сопротивления знак момента зависит от направления осей. Эпюры моментов строим со стороны растянутых волокон в той плоскости, в которой действует нагрузка. По эпюрам выбираем опасные сечения. В рассматриваемом примере их два: сечение D, в котором действуют M 11, 8кНм и M 7, 68 кнм, и сечение C с изгибающими моментами M 65, 9 кнм и M 18, 8 кнм. Эта часть задачи носит академический характер. 14

15 а M cos10 = 17,7 A D м R A = 8,0 б 17,7 F 1 = 60 м 11,8 C w C B м R B = 1,97 F 1 Эпюра M 65,9 M cos10 R A =,7 R B =,7 в M sin10 =,48 v C A D C B F =10 м м м г 7,68 18,8 F M sin10,48 д A D 1 C B Эпюра M e 1/ м м м / 1 Эпюра М 1 Рис Эпюры изгибающих моментов от: а, б вертикальной составляющей нагрузки; в, г горизонтальной составляющей нагрузки; д, е единичной силы Условие прочности в опасных точках двутавра имеет вид (5.6). Поскольку отношение моментов сопротивления W / W зависит от 15

16 номера двутавра, а он неизвестен, примем это отношение условно 4 равным 10. Тогда условие прочности (5.6) в опасных точках сечения C примет вид: 6590 W W , где допускаемое напряжение для стали принято [] = 160 МПа, величины изгибающих моментов переведены из кнм в кнсм. Из написанного условия прочности найдем необходимый момент сопротивления необх 590 W 1587 см. 16 По сортаменту прокатной стали подбираем номер двутавра. Для двутавра 50 с такими характеристиками: W 1589 см и W 1 см условие прочности в опасных точках сечения C ,14 15, 16 кн/см не выполняется, поэтому увеличиваем двутавр. Проверим прочность для двутавра 55, у которого W 05 см и W 151 см : C max,4 1,45 15,7 16 кн/см Убедимся в том, что условие прочности выполняется и в опасных точках опасного сечения D : max D 6,48 5,09 11,6 16 кн/см Обратите внимание на величину напряжений от изгибающего момента M, действующего в горизонтальной плоскости, которую показывает второй член в сумме. Видно, что, несмотря на то, что M в рассмотренном примере существенно меньше M, напряжения от M больше чем напряжения от M (или они примерно одинаковы). Это / яв- 4 Отметим, что для балки прямоугольного сечения отношение W W h / b ляется известной величиной. 16

17 говорит об опасности изгиба в горизонтальной плоскости, особенно для двутавров, у которых W W. Найдем перемещение точки C. Будем искать по формуле (5.7) сначала вертикальную составляющую перемещения, вызванную вертикальной составляющей нагрузки. Формулу Максвелла Мора (5.7) интегрируем по правилу Верещагина, перемножая эпюры M и M 1 (рис. 5.7, б, е). Если хотя бы одна эпюра на участке имеет форму трапеции, используем для перемножения правило трапеций [6]. EI w C ( 11,8 117,7 1) ( 11,8 1 65,9 11, ,9 65,9 1) 700,8 кнм. Аналогично определим по (5.8) горизонтальную составляющую перемещения 5, перемножая эпюры M и M 1 (рис. 5.7, г, е). EI 6 18,8 v C ( 18,8,48 ) 105,8 6 кнм. Положительные знаки перемещений свидетельствуют о том, что перемещения происходят по направлениям единичных сил, т. е. вертикальное перемещение вниз (по направлению оси ), горизонтальное по направлению оси. Сосчитаем найденные составляющие перемещения в "см", разделив их на соответствующие жесткости. 4 6 EI кнсм, 4 EI ,1 10 кнсм, 700,8 10 w C 0,66 см, ,8 10 v C,90 см. 6 7,1 10 Из сравнения величин w C и v C видно, что горизонтальная составляющая перемещения, даже при небольшой горизонтальной нагрузке много больше (особенно для двутавра) вертикальной составляющей Эпюру М1 от горизонтальной единичной силы, направленной вдоль оси, можно не строить, т.к. она такая же, как от вертикальной единичной нагрузки. 17

18 Выполним последнюю часть задачи. Нарисуем сечение балки в масштабе, покажем на нем нейтральную линию и полное перемещение. Уравнение нейтральной линии (5.4) в опасном сечении С имеет вид 6 : или 0,118 1, Нейтральная линия, построенная по этому уравнению, и эпюра нормальных напряжений в сечении C показаны на рис Знаки напряжений соответствуют положительным знакам изгибающих моментов. Угловые точки 1, 1 это опасные точки сечения, в которых мы ранее находили напряжения. Найдем угол (см. рис. 5.8) между нейтральной линией и осью : 0,118 arctg ( ) arctg 1 1,86 arctg 0,0851 4, 9 Отложим в масштабе найденные Эпюра ранее вертикальную w C и горизонтальную v C составляющие пе- max = 157 МПа Рис Эпюра напряжений ремещения с учетом их направления. Полное перемещение точки и перемещение точки С в опасном сечении С C отрезок CC на рис. 5.8 равен геометрической сумме w C и v C. Угол между полным перемещением и осью vc,90 arctg arctg w 0,66 C Нейтральная линия 6 При составлении уравнения нейтральной линии не забывайте учитывать знаки изгибающих моментов в рассматриваемом сечении. В данной задаче оба момента положительны. 1 С v C С w C 18

19 CC и нейтраль- arctg 6, 80, 9. Таким образом, угол между полным перемещением ной линией 4,9 80,9 85, 8, что близко к

20 5.. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ БОЛЬШОЙ ЖЕСТКОСТИ Основные определения Внецентренное растяжение-сжатие такой вид деформации, при котором стержень загружен растягивающими и (или) сжимающими силами, приложенными вне центра тяжести поперечного сечения. При внецентренном растяжении-сжатии стержней (рис. 5.9) в стержне возникают три внутренних усилия: продольная сила N и два изгибающих момента M и M. Предполагается, что стержень имеет большую жесткость, т. е. его длина не слишком велика по сравнению с размерами поперечного сечения. В этом случае определение усилий производим по недеформированному состоянию, т. е. при определении усилий не учитываем искривление оси стержня в результате изгиба. Используя правило знаков для изгибающих моментов, описанное во вступительной части разд. 5 "Сложное сопротивление", найдем внутренние усилия, как сумму усилий от каждой силы. Тогда для стержня, показанного на рис. 5.9, согласно методу сечений получим N F 1 F ; M F F ; M 1 F F 1 F F. 1 F F 1 Здесь F,,, 1 F F 1 F эксцентриситеты точек приложения сил, т. е. расстояния от сил до осей и (всегда положительны), F 1 и F величины сил тоже считаются положительными. Знаки в формулах для M и M соответствуют правилу знаков для изгибающих моментов. Поясним их. Относительно оси сила F 1 вызывает изгиб стержня выпуклостью справа. Вся область сечения, расположенная справа от оси, в том числе и первый (положительный) квадрант, окажется растянутой, поэтому эта сила создает положительный изгибающий момент. Сила F вызывает изгиб стержня относительно оси тоже выпуклостью справа, поэтому знак изгибающего момента M от силы F опять положительный. При изгибе относительно оси передняя и задняя части сечения имеют напряжения разного знака. Сила F 1 вы- 0

21 F F F F 1 F1 x F1 Рис Внецентренное растяжениесжатие жесткого стержня зывает изгиб стержня выпуклостью за осью, т. е. задняя часть сечения (а значит и первый квадрант) окажется растянутой, поэтому M от силы F 1 имеет знак плюс. Сила F вызывает сжатие задней части сечения стержня, первый квадрант окажется сжатым, и знак изгибающего момента M от F отрицательный 7. От найденных усилий в стержне возникают только нормальные напряжения, которые определяются по формуле (5.1). Для проверки прочности стержня необходимо найти максимальные напряжения. Определение этих напряжений производится по схеме, описанной ранее, т. е. строим нейтральную линию по уравнению (5.); находим положение опасных точек; подставляя в (5.1) координаты опасных точек, вычисляем напряжения в этих точках; для проверки прочности сравниваем максимальные напряжения с допускаемыми. Если в сечении действует только одна сила, растягивающая или сжимающая, то формулу (5.1) можно преобразовать к такому виду: 7 При внецентренном растяжении-сжатии знак изгибающего момента можно определить и по-другому. А именно, F и F следует считать координатами точки приложения силы и, следовательно, учитывать их знаки. С учетом знаков надо брать и величины сил, принимая, что растягивающие силы положительны, а сжимающие отрицательны. На рис. 5.9 обе координаты точки приложения силы F 1 положительны. У сжимающей силы F на рис. 5.9 координата F 0, F 0. 1

22 F F F x (1 ), (5.9) A i i где I I i, i A A (5.10) радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей, F, F координаты точки приложения силы,, координаты точки, в которой определяются напряжения. Все координаты вычисляются в главной центральной системе осей инерции сечения. Уравнение нейтральной линии в этом случае будет иметь вид F F 1 0. (5.11) i i Используя уравнение нейтральной линии (5.11), найдем отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях координат (рис. 5.10), н н, i i н ; н. (5.1) F F Откладываем эти отрезки с учетом знаков вдоль главных центральных осей и строим нейтральную линию (см. рис. 5.10). Из формул (5.1) Нейтральная линия Рис Положение нейтральной линии при внецентренном растяжении (сжатии) одной силой н F н F следуют некоторые закономерности, связывающие положения полюса (т. е. точки приложения силы) и нейтральной линии, которые удобно использовать для анализа решения задачи. Перечислим самые важные из этих закономерностей: 1) нейтральная линия всегда расположена в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс (см. рис. 5.10);

23 а F Ядро сечения б F Нейтральная линия Эпюра (F) Нейтральная линия Эпюра (F) Рис К определению ядра сечения ) если полюс находится на одной из главных осей, то нейтральная линия перпендикулярна этой оси; ) если полюс приближается к центру тяжести сечения, то нейтральная линия удаляется от него. 4) если полюс движется по прямой линии, то нейтральная линия поворачивается вокруг неподвижной точки. Из предпоследней закономерности следует, что если сила приложена достаточно близко к центру тяжести, то нейтральная линия удаляется так далеко, что нигде не пересекает сечение. Это означает, что напряжения во всем сечении будут иметь один знак. Следовательно, существует такая область вокруг центра тяжести, которая обладает следующим свойством: если внутри этой области или на ее контуре приложить силу (растягивающую или сжимающую), то во всем сечении будут возникать напряжения одного знака. Такая область называется ядром сечения. Рис поясняет данное определение ядра сечения. Из приведенного определения ядра сечения следует первый способ построения ядра сечения. Согласно этому способу надо обвести контур сечения нейтральными линиями, касающимися контура и нигде не пересекающими сечение. Полюсы, соответствующие этим нейтральным линиям, будут находиться на контуре ядра сечения. На практике обычно более удобным является второй способ построения ядра сечения, который основан на свойстве взаимности нейтральной линии и полюса [, гл. 7, 6]. Для построения ядра сечения по вто-

24 рому способу надо поместить полюсы во внешних всех угловых точках сечения, имеющего форму многоугольника, и построить соответствующие им нейтральные линии. Эти нейтральные линии очертят контур ядра сечения. Отметим, что при построении ядра сечения нельзя располагать полюсы во внутренних угловых точках, так как через них нельзя провести касательные, нигде не пересекающие сечение. Рис. 5.1 поясняет разницу между внешними и внутренними угловыми точками многоугольника Рис Точки 1 5 внешние, 6, 7 внутренние угловые точки Для определения напряжений и проверки прочности стержня произвольного сечения, а также для построения ядра сечения необходимо научиться находить геометрические характеристики сечений, важнейшими из которых являются моменты инерции. Этому посвящен раздел Определение моментов инерции сложных сечений относительно главных центральных осей (задачи 9, 0, 1) Рекомендуемая литература Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., Гл. 4. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, Гл. 15. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., Гл. 5. Основные определения Напомним, что осевыми моментами инерции плоской фигуры относительно произвольных осей и называются величины I A da; I A da. (5.1) 4

25 Центробежным моментом инерции является величина I da. (5.14) A Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю. Главными осями инерции фигуры называются оси относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью. Для вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей надо уметь находить положение центра тяжести фигуры и знать, как изменяются моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей. Напомним уже известные студенту формулы и приведем новые. Определение центра тяжести фигуры производится по формулам S S цт ; цт, (5.15) A A где вспомогательные оси,, относительно которых вычисляются статические моменты, выбираются произвольно. При параллельном переносе осей моменты инерции изменяются по следующим законам: I I A ; (5.16) В формулах (5.16) (5.18) I 0, I 0, I 0 моменты инерции относительно центральных 0 осей; C, C координаты центра тяжести (точки C на рис. 5.1) в системе осей,, параллельных центральным осям 0, 0 (см. рис. 5.1). Заметим, что если при вычислении осевых моментов инерции знаки координат не имеют значения, то при определении центро C 0 C C 0 Рис Параллельный перенос осей I I 0 C 0 AC I ; (5.17) I 0 0 A 5 C C. (5.18)

26 бежного момента инерции знаки координат C C надо обязательно учитывать. При повороте осей (рис. 5.14) координаты точки меняются по известному закону: 1 cos sin ; 1 cos sin. (5.19) Подставляя эти формулы в (5.1) (5.14), получим, что моменты инерции изменяются следующим образом: I I I I I cos I sin ; (5.0) I I I I I cos I sin ; (5.1) I I I sin cos 1 I 1. (5.) Угол в формулах (5.0) (5.), на который 1 поворачиваются оси, считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси к положительному 1 направлению оси. На рис угол 0. Чтобы найти, на какой угол гл надо повернуть Рис Поворот осей оси, чтобы они стали главными осями инерции, положим согласно определению главных осей центробежный момент инерции по (5.) равным нулю. Тогда I tg гл I I. (5.) Подставляя найденный угол гл в формулу (5.0), можно получить формулу для определения моментов инерции относительно главных осей I гл I I ( I I ) I. (5.4) 4 6

27 Моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения среди бесконечного множества центральных осей: относительно одной оси момент инерции максимален, относительно другой имеет минимальное значение. Чтобы выяснить, какой момент инерции: максимальный или минимальный имеет место для главной оси Y, повернутой на угол гл от оси, исследуем знак второй производной функции I ( ), определяемой формулой (5.0). Вычислим 1 эту производную d I 1 ( I )cos 4 sin I I. (5.5) d d I Если при гл вторая производная 1 0, то относительно оси d d I 1 Y момент инерции минимален ( I Y Imin ), если 0, то d I Y I max. Z i Y i Y гл i i Z Z Y Рис Эллипс инерции После определения моментов инерции относительно главных осей можно построить эллипс инерции это эллипс, полуоси которого равны радиусам инерции относительно главных осей. Радиус инерции i Y откладыва- i вдоль оси Y ется вдоль главной оси Z, а Z (рис. 5.15). Построение эллипса инерции удобно использовать для анализа правильности определения моментов инерции. Эллипс инерции должен быть вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура. В заключение приведем некоторые формулы для определения моментов простых фигур относительно центральных осей. Для прямоугольника (рис. 5.16, а) оси 0, 0 являются не только центральными, но и главными, моменты инерции относительно этих осей гл 7

28 bh I ; 0 1 hb I ; I (5.6) 0 1 а б в г д h/ Z Y h/ r 0 0 h/ r 0 h/ 0 b/ b/ b/ b/ 0,45r 0 Рис К определению моментов инерций простых фигур Для круга (рис. 5.16, б) любая ось, проходящая через центр тяжести, является главной, и 4 r I I 0 ; I (5.7) 0 4 У прямоугольного треугольника (рис. 5.16, в) оси 0, 0 не являются главными, поэтому центробежный момент инерции относительно этих осей не равен нулю. Моменты инерции треугольника определяются по формулам bh hb b h I ; I 0 ; I 0 0. (5.8) На рис. 5.16, г показана фигура, представляющая собой четверть круга (квадрант круга). Для этой фигуры относительно центральных осей 0, 0 моменты инерции 4 4 I I 0,055r ; I 0,0165r. (5.9) 0 0 Чтобы определить знак центробежного момента инерции треугольника или квадранта круга, надо использовать следующее правило знаков: если гипотенуза треугольника (дуги квадранта) в системе координат 0, 0 описывается возрастающей функцией, то центробежный момент инерции положителен. Для показанного на рис. 5.16, в треугольника I 0, квадрант круга, изображенный на 0 0 рис. 5.16, г, имеет отрицательный центробежный момент инерции

29 При определении моментов инерции фигуры, состоящей из прокатных профилей двутавров, швеллеров, уголков (как в задаче 1), осевые моменты инерции относительно собственных центральных осей двутавров, швеллеров, уголков берутся из таблиц прокатных профилей. Центробежные моменты инерции двутавров и швеллеров относительно собственных осей равны нулю. Центробежный момент инерции равнобоких уголков относительно осей 0, 0, параллельных полкам, определяется по формуле Imax Imin I 0, (5.9а) 0 где I max I Y, Imin IZ моменты инерции относительно главных центральных осей Y, Z уголка (рис. 5.16, д) находятся по таблице прокатных профилей. Выбор знака в формуле (5.9а) производится по той же схеме, что и для треугольника или квадранта круга: если линия, соединяющая крайние точки уголка (пунктир на рис. 5.16, д), является возрастающей функцией в системе координат 0 0, то I 0. Для уголка на рис. 5.16, д центробежный момент инерции 0 0 I

30 Примеры решения задач Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии 15 см см 6 см 0 см Рис Фигура с одной осью симметрии Условие задачи Сечение стержня представляющее собой фигуру, обладающую одной осью симметрии, показано на рис Требуется найти моменты инерции этой фигуры относительно главных центральных осей. Решение Ось ось симметрии фигуры (рис. 5.18) является главной осью инерции. Найдем положение второй главной центральной оси, определив положение центра тяжести фигуры. Очевидно, что центр тяжести лежит по послед- на оси симметрии, поэтому найдем только координату цт ней из формул (5.15). Разобьем сложную фигуру на составляющие простые: две пары прямоугольных треугольников I, III и прямоугольник II (см. рис. 5.18). Площадь фигуры A AI AII AIII см. Для определения статического момента выберем вспомогательную ось, проходящую через центр тяжести прямоугольника II. В этом случае статический момент фигуры II равен нулю. Чтобы найти статические моменты треугольников, умножаем площадь фигуры на координату ее центра тяжести в системе : I II III S S S S 1 0 ( 8) 168 см Тогда по (5.15). 0

31 цт ,09 см. 5 0 I 0 6,51 6,51 С 0 0,09 10 II III 0 0 8,58 8,58 Откладываем эту координату и проводим через центр тяжести (точку С на рис. 5.18) главную центральную ось. Найдем моменты инерции всей фигуры относительно осей и, складывая (или вычитая) моменты инерции составляющих фигур: I II III I I I I ; I II III I I I I. Для определения момента инерции каждой из фигур I, II и Ш используем формулы изменения моментов инерций при параллельном переносе осей (5.16), (5.17). Моменты инерции прямоугольника II и треугольников I и Ш относительно собственных центральных осей 0 0 (см. рис. 5.18) находим по формулам (5.6), (5.8). Тогда I Рис К определению моментов инерции симметричной фигуры 15 6 (1,09) ,09 1

32 (8,09) ,7 10 см ; I , 10 см. В заключение вычислим радиусы инерции относительно главных центральных осей по формулам (5.10) и построим эллипс инерции. 7, , 10 i 6,51 см; i 8,58 см Эллипс инерции показан на рис Пример. Определение моментов инерции несимметричного сечения 15 см 0 см 15 см 0 см Условие задачи Сечение стержня представляет собой несимметричную фигуру, показанную на рис Требуется найти положение главных центральных осей инерции фигуры и моменты инерции относительно этих осей. Решение Рис Несимметричная Найдем положение центра тяжести фигуры по формулам (5.15). Разо- фигура бьем фигуру на три простые: треугольник I, прямоугольник II и квадрант круга Ш. Площадь всей фигуры 15 0,14 15 A ,6 см. 4 Для определения статических моментов выберем вспомогательные оси,, проходящие через центр тяжести прямоугольника II (рис. 5.0). Статический момент каждой фигуры равен площади фи-

33 гуры, умноженной на координату центра тяжести этой фигуры в системе координат. Суммарные статические моменты S S 15 0, ( 8,6) 97 см ; ,14 15 ( 15) 0 (16,8) 48 см. 4 Координаты центра тяжести отложены на рис цт цт 97 0,97 0,40 см; 1001,6 48 0,48 0,48 см. 1001,6 Проведем через центр тяжести центральные оси, (см. 5 Z 10 I 0 II 0, C 0 0,40 i Z гл 0 0 i Z III i Y 6,8 6,8 i Y Y Рис К определению моментов инерции несимметричной фигуры

34 рис. 5.0) и найдем моменты инерции относительно этих осей, как сумму моментов инерций простых фигур, составляющих заданную фигуру. Для определения моментов инерции простых фигур I, II и Ш используем формулы (5.16) (5.18). Моменты инерции относительно собственных осей 0, 0 прямоугольника, треугольника и квадранта круга вычисляем по формулам (5.6), (5.8) и (5.9). I I I , ,40 4, ( 14,5) 6 0, , ( 8,) 0 0 0,40 77,6 10 см , ,86 1, ,40 ( 14,5) ,40 0, , , см ( 8,) 16,86 45,7 10 Теперь найдем положение главных осей инерции. Угол, на который надо повернуть ось, чтобы она стала главной осью, определяем по формуле (5.): ( 45,7 10 ) tg гл 1,99; (77,6 1,5) 10 гл 6, ; 1, 65 гл. В соответствии с правилом знаков откладываем отрицательный угол гл по часовой стрелке и проводим главные центральные оси инерции Y, Z (см. рис. 5.0). Вычислим моменты инерции относительно этих осей по формуле (5.4): 4 4 ; ; см 4. 4

35 I гл 77,6 1,5 (110,6 51,1) 10 max (77,6 1,5) 4 см I 151,7 10 см ; 4 4 ; min ( 45,7) 10 I 49,4 10 см. Для проверки вычислений удобно использовать следующее свойство: сумма моментов инерций относительно двух любых пар ортогональных осей есть величина постоянная. Тогда должно быть В нашем примере I I I max I min. ( 77,6 1,5) 10 (151,7 49,4) 10. Чтобы выяснить, какой момент инерции максимальный или минимальный соответствует оси Y, исследуем знак второй производной функции I ( ) по (5.5). d I d 1 1 (77,6 1,5) cos( 6,) 4( 45,7) sin( 6,) 1,65 Положительный знак второй производной означает, что оси Y соответствует минимальное значение момента инерции, т. е. 4 I Y I 49,4 10 см ; I 151,7 10 см. min Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей по (5.11) и построим эллипс инерции. I Z max 49, ,7 10 i Y 7,0 см; i Z 1, см. 1001,6 1001,6 Эллипс инерции показан на рис Видно, что эллипс вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура

36 5... Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии (задача 9) Условие задачи Жесткий стержень загружен двумя силами растягивающей и сжимающей (рис. 5.1). Стержень выполнен из хрупкого материала с характеристиками [] р и [ ] с. Сечение стержня симметрично и имеет форму и размеры, соответствующие рис Требуется: F c 1) найти допускаемую нагрузку на стержень из условия прочности, если отношение сжимающей и растягивающей сил F р F F 5; 6,0 15,0 1,09 7,91 с р Решение ) построить ядро сечения. Положение главных центральных осей инерции и моменты инерции относительно этих осей заданного сечения найдены ранее в разд (пример 1). Найдем внутренние усилия в произвольном сечении стержня: N F р F с 4F р ; Рис Стержень, подверженный растяжению-сжатию двумя силами M F р M 6,09 Fс 7,91 45,6Fр ; F с 15 75Fр. Для определения положения опасных точек построим нейтральную линию. Уравнение нейтральной линии (5.) в данной задаче имеет вид 6

37 4F р ,6F р 7, F р 48, Или 6,1 10 1,6510 1, Отсюда найдем отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях и. Если 0, то н 6,1 1,59,85 см, Нейтральная линия F c 1,85 1 6,51 c max 1,09 6,51 1 F р,71 8,58 8,58 1 Эпюра р max Рис. 5.. Эпюра напряжений от действия сил F р и F с и ядро сечения 7

38 и, если 0, то н 6,1 1,65,71 см. Нейтральная линия показана на рис. 5.. Проведем касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Опасными являются точки 1 и 1 (см. рис. 5.), наиболее отдаленные от нейтральной линии. Для хрупкого материала более опасной является точка с максимальными растягивающими напряжениями, т. е. точка 1. Найдем напряжение в этой точке, подставляя в формулу (5.1) координаты точки 1: р max (1) F р 6,1 10 1,6510 7,6810 р. р max ( 1,09) 1,59 10 F Условие прочности в точке 1 ]. Или F [ р 7,6810 р [ ] р. 15 Отсюда можно найти допускаемое значение нагрузки 8. В заключение необходимо убедиться в том, что и в точке 1, которая в данном примере дальше удалена от нейтральной оси, чем точка 1, и в которой действуют сжимающие напряжения, условие прочности тоже выполняется, т. е. с max (1 ) [ ] с. Теперь построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешних угловых точках сечения. Учитывая симметрию сечения, достаточно расположить полюсы в трех точках: 1, и (см. рис. 5.). Подставляя в формулы (5.1) координаты полюсов, найдем отрезки, отсекае- 8 Не забывайте правильно подставлять единицы измерения. Множитель перед данном примере имеет размерность см -. F в р 8

39 мые нейтральными линиями на осях и. Если полюс находится в точке 1, то его координаты 15 см, 1,09 см и F 8,58 6,51 н 4,91 см; н,50 см; 15 1,09 Нейтральная линия 1 1, соответствующая полюсу в точке 1 показана на рис. 5.. Аналогично строим нейтральные линии и, соответствующие полюсам и. При построении нейтральной линии следите за тем, чтобы она проходила в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс. Область, заштрихованная на рис. 5., является ядром сечения. Для контроля на рис. 5. показан эллипс инерции. Ядро сечения должно находиться внутри эллипса инерции, нигде не пересекая его Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи 0, 1) Условие задачи Стержень несимметричного сечения сжимается силой, приложенной в точке А (рис. 5.). Поперечное сечение имеет форму и размеры, показанные на рис Материал стержня хрупкий. Требуется: 1) найти допускаемую нагрузку, удовлетворяющую условию прочности; ) построить ядро сечения. Решение Прежде всего, надо определить моменты и радиусы инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Эта часть решения задачи приведена в примере разд На рис. 5. показаны главные центральные оси инерции сечения Y, Z, положение которых найдено ранее. В системе центральных осей, (рис. 5.4) координаты точки приложения силы А 10,48 см, F A 9

40 A 0,40 см. Вычислим координаты точки А в системе главных центральных осей по формулам (5.19). Y A 10,48cos( 1,65) 0,40sin( 1,65) 8,71 см; Z A 0,40cos( 1,65) 10,48sin( 1,65) 5,84 см. Найденные координаты F рекомендуем проверить, A измерив эти координаты на рисунке сечения, выполненном в большом Z масштабе 9. Y A Для определения положения опасных точек построим нейтраль- 14,6 Z A ную линию, используя формулы (5.1). Радиусы Y инерции i Y, i Z найдены 9,5 ранее. 1, Y н 17,4 см; 8,71 7,0 Z н 8,44 см; 5,84 Рис. 5.. Стержень, сжатый силой F Отложим эти отрезки вдоль главных осей и проведем через полученные точки нейтральную линию A A (см. рис. 5.4). Опасными точками, т. е. точками, наиболее удаленными от нейтральной оси, будут точки 1 и (см. рис. 5.4). В точке 1 действует наибольшее растягивающее напряжение. Запишем условие прочности в этой точке, используя формулу (5.9): р F Z AZ(1) YAY(1) ( 1) max 1 [ ] р. A iy iz рисунке. 9 Допускается координаты точки в главных осях не вычислять, а только измерять на 40

41 Подставим в условие прочности координаты опасной точки 1 в главных осях, вычислив их по формулам (5.19) или измерив на рисунке, выполненном в масштабе, Y 0,45 см; Z 17,4 см. Тогда из ( 1) ( 1) условия прочности в точке 1 можно найти допускаемое значение нагрузки: [ ] р A [ ] р A F. 5,84 ( 17,4) 8,71 ( 0,45) 1,09 1 7,0 1, Для найденного значения допускаемой нагрузки необходимо убедиться, что условие прочности выполняется и в точке, которая дальше удалена от нейтральной линии и в которой д ействует сжимающее напряжение. Для определения напряжения в точке подставим в формулу (5.9) координаты этой точки с F Z ( ) max 1 A Y 0,85 см; Z 18,6 см. Z A () iy ( ) Y Y A () iz ( ) 41

42 F 5,84 18,6 8,71 0,85 F 1,5 A 7,0 1,. A Это напряжение не должно превосходить [ ] с. Если условие прочности в точке с максимальными сжимающими напряжениями выполняться не будет, надо найти значение допускаемой нагрузки заново из условия прочности в этой точке. В заключение построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешние угловые точки сечения, т. е. в точки 1,,, 4, 5 (см. рис. 5.4). Точка 4, находящаяся на контуре квадранта круга, получена следующим образом. Отсекая внутреннюю угловую точку A, проводим линию, касательную к контуру сечения (пунктир на рис. 5.4). Точка 4 является точкой касания этой линией квадранта круга. По- 8,44 A Нейтральная линия ,4 5 Z A 1 i Z 5 9,58 i Z 4 1 1,65 i Y 4 14,6 i Y 5 Y c max р max A Эпюра Рис Эпюра напряжений от силы F и ядро сечения 4

43 следовательно находим положение нейтральных линий, соответствующих полюсам в указанных точках, находя отрезки, отсекаемые нейтральными линиями на осях Y, Z, по формулам (5.1). Например, если полюс находится в точке 1, то, подставляя в (5.1) координаты точки 1 ( Y 0,45 см; Z 17,4 см), найдем ( 1) ( 1) 1, 7,0 Y н 6 см; Z н,8 см. 0,45 17,4 Поскольку Y н существенно больше Z н, то это значит, что нейтральная линия 1 1 практически параллельна оси Y. Отрезок Z н откладываем в масштабе вдоль оси Z и проводим прямую 1 1, параллельную оси Y (см. рис. 5.4). Аналогично строим нейтральные линии, соответствующие полюсам, расположенным в других точках. Ядро сечения (заштрихованная область) показано на рис Отметим, что контур ядра сечения между нейтральными линиями 4 4 и 5 5 очерчен по кривой, т.к. переход полюса из точки 4 в точку 5 происходит не по прямой линии. На рис. 5.4 показан также эллипс инерции сечения, построенный ранее. 5.. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ Основные определения В общем случае сложного сопротивления в стержне возникают все шесть видов внутренних усилий одновременно. Эти шесть усилий определяем, как обычно, методом сечений и строим эпюры усилий. При определении внутренних усилий используем правила знаков, описанные во вступительной части разд. 5 и поясняемые рис После определения внутренних усилий находим опасные сечения, а в опасных сечениях опасные точки. Рассмотрим подробно, где расположены опасные точки в двух наиболее часто используемых сечениях: круглом и прямоугольном 10. Выпишем формулы, необходимые для проверки прочности в этих точках. 10 Вообще говоря, для проверки прочности стержней круглого и прямоугольного сечений нет необходимости в точном определении положения опасных точек, но в учебных целях для понимания используемых формул мы все же найдем положение этих точек. 4

44 Для определения положения опасных точек в круглом сечении построим эпюры распределения напряжений. Чтобы построить эпюру нормальных напряжений, вызванных двумя изгибающими моментами M и M определим направление суммарного изгибающего момента. Изобразим пары M 0 и M 0 в виде векторов, определяя их M > 0 M > 0 M M Рис Изображение пар сил М и М в виде векторов направление по правилу правого винта (рис. 5.5). Полный изгибающий момент является равнодействующей этих векторов и изображен на рис Поскольку для круглого сечения любая ось является главной, то в какой бы плоскости не был приложен изгибающий момент, он вызывает плоский изгиб. Нейтральная линия в этом случае перпендикулярна плоскости изгиба, то есть совпадает с линией действия вектора полного изгибающего момента M и. На рис. 5.6 показана эпюра нормальных напряжений, вызванных действием изгибающего момента M и. Кроме того, в сечении возникают нормальные напряжения от продольной силы N и касательные напряжения от крутящего момента M к Эпюры распределения этих напряжений показаны. на рис Знаки напряжений соответствуют положительным значениям внутренних усилий. Видно, что опасными точками могут быть точки 1, 1, в которых действуют максимальные нормальные напряжения от изгиба и продольной силы и максимальные касатель- 11 Касательные напряжения, вызванные действием поперечных сил, в круглом сечении из-за сложности их точного определения в опасных точках и малости их величины допускается не учитывать. 44

45 ные напряжения, вызванные крутящим моментом. Для проверки прочности хрупких материалов важен знак нормальных напряжений (более опасной точкой будет, как правило, точка с растягивающими напряжениями), для пластичных материалов опасной будет точка, где нормальные напряжения от изгиба и продольной силы имеют одинаковые знаки. Опасные точки находятся в "балочном" напряженном состоянии и проверку прочности в них следует осуществлять по теориям прочности, соответствующим материалу стержня. Приведем условия прочности, справедливые для "балочного" напряженного состояния, по двум наиболее часто используемым теориям: для хрупких материалов теория Мора где Эпюра (N) Эпюра (М и ) Эпюра (М к ) 1 M M и M Рис Эпюры распределения напряжений в стержне круглого сечения 1 max (M к ) (N) max (M и ) 1 k 1 k 4 [ ] р, (5.0) k р в с в. для пластичных материалов третья теория прочности 4 [ ]. (5.1) В формулах (5.0), (5.1) и напряжения в опасных точках. В точках 1, 1 круглого сечения эти напряжения определяются так: ( ) max ( и) (5.) N ( N ), A (5.) 45

46 где M и M M, M и max ( M и ), (5.4) Wи M к ( M, (5.5) max к ) W p A r, W r / 4, W p r /. и При подборе сечения обычно пренебрегают влиянием продольной силы. В этом случае условия прочности (5.0) и (5.1) для круглого сечения с учетом формул (5.4) и (5.5) можно преобразовать. Теория Мора приобретает такой вид: 1 (1 k) M и (1 k) M пр [ ] р, (5.6) Wи а третья теория прочности приводится к следующему условию: M пр [ ], (5.7) W где M пр M и M к и. Из условий прочности (5.6), (5.7) можно найти необходимый момент сопротивления, а далее радиус поперечного сечения. Чтобы учесть продольную силу, немного увеличивают полученное значение радиуса (как правило, достаточно округления в большую сторону), находят напряжения по формулам (5.) (5.5) и проверяют прочность с учетом N по условиям (5.0) или (5.1). 46

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Н. Б. ЛЕВЧЕНКО СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ЧАСТЬ Санкт-Петербург 00 1 Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра сопротивления

Подробнее

Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов

Курс лекций на тему: Сложное сопротивление В.В Зернов Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов Лекция на тему: Косой изгиб. При плоском поперечном изгибе балки плоскость действия сил (силовая плоскость) и плоскость прогиба совпадали с одной

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Н. Б. ЛЕВЧЕНКО СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ЧАСТЬ Санкт-Петербург 001 Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра сопротивления

Подробнее

1. Определим недостающие геометрические параметры, необходимые для дальнейшего расчета.

1. Определим недостающие геометрические параметры, необходимые для дальнейшего расчета. b Методические рекомендации к практической подготовке по дисциплине "Сопротивление материалов" для студентов-заочников специальности -70 0 0 "Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов" Отмена

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. 1-700402 Общие методические указания Сопротивление материалов одна из сложных

Подробнее

Указания к выполнению контрольной работы 3

Указания к выполнению контрольной работы 3 Указания к выполнению контрольной работы Пример решения задачи 7 Для стального стержня (рис..) круглого поперечного сечения, находящегося под действием осевых сил F и F и F, требуется: ) построить в масштабе

Подробнее

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Л. Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать определенную нагрузку без разрушений. Под жесткостью подразумевают

Подробнее

Контрольные задания по сопротивление материалов. для студентов заочной формы обучения

Контрольные задания по сопротивление материалов. для студентов заочной формы обучения Контрольные задания по сопротивление материалов для студентов заочной формы обучения Составитель: С.Г.Сидорин Сопротивление материалов. Контрольные работы студентов заочников: Метод. указания /С.Г.Сидорин,

Подробнее

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный. Лекция 10 Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения

Подробнее

Часть 1 Сопротивление материалов

Часть 1 Сопротивление материалов Часть Сопротивление материалов Рисунок Правило знаков Проверки построения эпюр: Эпюра поперечных сил: Если на балке имеются сосредоточенные силы, то на эпюре, должен быть скачок на величину и по направлению

Подробнее

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1.

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1. Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 4а ГОСТ 8509-86) и швеллера 4 (ГОСТ 840-89), требуется: 1. Вычертить сечение в масштабе 1: и указать на нем все оси и

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Подробнее

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты,

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, Лекция 5. Геометрические характеристики плоских сечений 1.Площадь плоских сечений. 2.Статические моменты сечения. 3.Моменты инерции плоских сечений простой формы. 4.Моменты инерции сечений сложной формы.

Подробнее

ЗАДАНИЕ ПО РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ 4 Тема 7. Сложное сопротивление стержней

ЗАДАНИЕ ПО РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ 4 Тема 7. Сложное сопротивление стержней ЗАДАНИЕ ПО РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ 4 Тема 7. Сложное сопротивление стержней Задача 1 Для внецентренно сжатого короткого стержня с заданным поперечным сечением по схеме (рис.7.1) с геометрическими размерами

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ФИГУР

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ФИГУР П. В. Кауров, Э. В. Шемякин, А. А. Боткин ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ФИГУР Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ

Подробнее

N, кн ,4 а. б Рис. П1.1. Схема нагружения стержня (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра перемещения сечений (г)

N, кн ,4 а. б Рис. П1.1. Схема нагружения стержня (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра перемещения сечений (г) ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1 Ступенчатый брус из стали Ст нагружен, как показано на рис. П.1.1, а. Из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения. Построить эпюру перемещения

Подробнее

5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА

5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА Прямой и поперечный изгиб. 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА Изгиб стержня вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и (или) (N = 0, T = 0).. Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Казанский государственный технологический университет СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к самостоятельной работе студентов

Подробнее

ЗАДАЧА 1. I-швеллер 36, II-уголок 90 х 90 х 8.

ЗАДАЧА 1. I-швеллер 36, II-уголок 90 х 90 х 8. ЗДЧ.. Определить положение центра тяжести сечения.. Найти осевые (экваториальные и центробежные моменты инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести ( c и c.. Определить направление

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Часть I Методические указания и контрольные задания Пенза 00 УДК 5. (075) И85 Методические указания

Подробнее

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня.

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня. Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Внутренние усилия при кручении, напряжения и деформации. Напряженное состояние и разрушение при кручении. Расчет на прочность и жесткость вала круглого

Подробнее

Лекция 6 (продолжение). Примеры решения на плоский изгиб и задачи для самостоятельного решения

Лекция 6 (продолжение). Примеры решения на плоский изгиб и задачи для самостоятельного решения Лекция 6 (продолжение). Примеры решения на плоский изгиб и задачи для самостоятельного решения Определение напряжений и проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе Если Вы научились строить

Подробнее

Внецентренное действие продольных сил

Внецентренное действие продольных сил Внецентренное действие продольных сил C C Центральное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) это случай нагружения, когда линия действия сжимающей (растягивающей

Подробнее

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ, СЖАТИИ, КРУЧЕНИИ И ИЗГИБЕ

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ, СЖАТИИ, КРУЧЕНИИ И ИЗГИБЕ РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ, СЖАТИИ, КРУЧЕНИИ И ИЗГИБЕ Омск 008 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра строительной

Подробнее

1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 1.1. Статически неопределимые стержневые системы Статически неопределимыми системами называются системы, для которых, пользуясь только условиями статики, нельзя определить

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. www.tchina.pro Тычина К.А. V И з г и б. Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях остаётся не равным нулю только внутренний изгибающий момент. Прямым изгибом

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Page 1 of 15 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 170105.65 Взрыватели и системы управления средствами поражения Дисциплина: Механика (Сопротивление материалов)

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» М. Н. Гребенников, Н. И. Пекельный ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра строительной

Подробнее

статический момент плоской фигуры относительно оси Oy. моменты инерции плоской фигуры относительно осей Oz и Oy.

статический момент плоской фигуры относительно оси Oy. моменты инерции плоской фигуры относительно осей Oz и Oy. Лекция Прикладная математика Геометрические характеристики плоских сечений. В сопротивлении материалов при изучении напряженно-деформированного состояния элементов конструкций рассматривается равновесие

Подробнее

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОГЛАВЛЕНИЕ ОПДФ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМ Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-графической работы Предисловие

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» И. И. Еремеева, Р. И. Никулина, А. А. Поляков Д. Е. Черногубов, В. В. Чупин СОПРОТИВЛЕНИЕ

Подробнее

Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 19.1 Формула Мора Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина Примеры вычислений

Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 19.1 Формула Мора Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина Примеры вычислений Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 191 Формула Мора 192 Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина 193 Примеры вычислений перемещений по формуле Мора при кручении, растяжении-сжатии

Подробнее

РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ Министерство путей сообщения Российской федерации Дальневосточный государственный университет путей сообщения Кафедра "Строительная механика" А.В. Хлебородов РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

Подробнее

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A Лекция 05 Изгиб Проверка прочности балок Опыт показывает, что при нагружении призматического стержня с прямой осью силами и парами сил, расположенными в плоскости симметрии, наблюдаются деформации изгиба

Подробнее

4.4. Секториальные характеристики сечения

4.4. Секториальные характеристики сечения 118 Сопротивление материалов Раздел 4 затем абсолютные ϕ 4 = 0.365 10 3, ϕ 3 = 0.879 + 0.365) 10 3 = 0.515 10 3, ϕ 2 = 4.370 0.879 + 0.365) 10 3 = 3.855 10 3, ϕ 1 = 3.845 + 4.370 0.879 + 0.365) 10 3 =

Подробнее

ОГБОУ «Кораблинский агротехнологический техникум» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по учебной дисциплине. ОП.02. Техническая механика.

ОГБОУ «Кораблинский агротехнологический техникум» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по учебной дисциплине. ОП.02. Техническая механика. ОГБОУ «Кораблинский агротехнологический техникум» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по учебной дисциплине ОП.02. Техническая механика по специальности 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 к практическому занятию по «Прикладной механике» для студентов II курса медико-биологического факультета.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 к практическому занятию по «Прикладной механике» для студентов II курса медико-биологического факультета. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 ТЕМА Введение. Инструктаж по технике безопасности. Входной контроль. ВВЕДЕНИЕ В ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО КУРСУ «ПРИКЛАДНАЯ МЕХЕНИКА». ИНСТРУКТАЖ ПО ПОЖАРО- И ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТИ.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра теоретической

Подробнее

РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ Омск 8 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра Строительная механика РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра строительной механики

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра строительной механики МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра строительной механики Утверждаю Зав. кафедрой профессор И.В. Демьянушко «0» января 007г. А.М. ВАХРОМЕЕВ РАСЧЕТ

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ Министерство образования Российской Федерации азанский государственный технологический университет РАСЧЕТ СТАТИЧЕСИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ Методические указания азань 004 Составители: доц..а.абдулхаков,

Подробнее

Рис.6.26 (2) Рис. 6.27

Рис.6.26 (2) Рис. 6.27 Лекция 9. Плоский изгиб (продолжение) 1. Напряжение при чистом изгибе. 2. Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе. 3. Рациональные формы поперечных сечений при изгибе.

Подробнее

Лекция 10. Касательные напряжения при изгибе

Лекция 10. Касательные напряжения при изгибе Лекция 10. Касательные напряжения при изгибе 1. Формула Журавского для касательных напряжений. 2. Касательные напряжения в тонкостенных сечениях. 3. Центр изгиба. 1 Рассмотрим прямой изгиб балки с выпуклым

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Сопротивление материалов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Сопротивление материалов ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Проектирование и управление в технических системах» МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ ФЕДЕРЛЬНОЕ ГЕНТСТВО ПО ОБРЗОВНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗДЧ КОНТРОЛЬНЫХ РБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ

Подробнее

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЛОМАНОГО БРУСА ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЛОМАНОГО БРУСА ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЛОМАНОГО БРУСА ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ Омск 011 РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЛОМАНОГО БРУСА ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке к практическим занятиям (для студентов всех

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к выполнению контрольных заданий по теме «Геометрические характеристики

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Реальный объект и расчетная схема. Силы внешние и внутренние. Метод сечений. Основные виды нагружения бруса. 2. Понятие об усталостной прочности. Экзаменационный билет 2 1. Растяжение

Подробнее

Задание по расчетно-графической работе 4 Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность. Задача 1

Задание по расчетно-графической работе 4 Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность. Задача 1 Задание по расчетно-графической работе 4 Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность. Задача 1 Произвести расчет прокатной двутавровой балки на прочность по методу предельных состояний,

Подробнее

Числовые данные к задаче 2

Числовые данные к задаче 2 ЗАДАЧА Абсолютно жесткий брус АВ опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен с помощью шарниров к двум стальным стержням. ребуется подобрать сечения стержней по условию их прочности, приняв запас

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН. по предмету «Прикладная механика»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН. по предмету «Прикладная механика» МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра: «Машины и оборудование пищевой промышленности основы механики» РЕФЕРАТ

Подробнее

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 16 Деформации при плоском изгибе. Основы расчета на жесткость при плоском изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии Ранее были рассмотрены

Подробнее

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ Лекция 17 Энергетические методы расчета упругих систем. Потенциальная энергия деформации. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Основные энергетические уравнения механики (теорема Кастильяно). Метод

Подробнее

КОРОЛЁВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

КОРОЛЁВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЁВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

Подробнее

РГР 1. Растяжение сжатие. 1.1 Определение усилий в стержнях и расчет их на прочность Определение усилий в стержнях

РГР 1. Растяжение сжатие. 1.1 Определение усилий в стержнях и расчет их на прочность Определение усилий в стержнях Содержание РГР. Растяжение сжатие.... Определение усилий в стержнях и расчет их на прочность..... Определение усилий в стержнях..... Определение диаметра стержней.... Расчет ступенчатого бруса на прочность

Подробнее

Расчет элементов стальных конструкций.

Расчет элементов стальных конструкций. Расчет элементов стальных конструкций. План. 1. Расчет элементов металлических конструкций по предельным состояниям. 2. Нормативные и расчетные сопротивления стали 3. Расчет элементов металлических конструкций

Подробнее

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА CЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА CЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 1 ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра строительной механики А.М. ЛУКЬЯНОВ, М.А.ЛУКЬЯНОВ, А.И. МАРАСАНОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА CЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Методические указания

Подробнее

F 1, затем F 2 точка C сначала перемещается на величину 11, затем

F 1, затем F 2 точка C сначала перемещается на величину 11, затем равна нулю: W +U = 0. (9) Возможными являются любые перемещения, которым не препятствуют наложенные связи. В линейно деформируемых системах вместо бесконечно малых можно рассматривать малые конечные перемещения.

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Контрольные задания по дисциплине «Строительная механика» 1 Оглавление Общие

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра сопротивления материалов СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания и задания к курсовым работам для студентов

Подробнее

Задачи к экзамену Задача 1. Задача 2.

Задачи к экзамену Задача 1. Задача 2. Вопросы к экзамену 1. Модель упругого тела, основные гипотезы и допущения. Механика твердого тела, основные разделы. 2. Внешние и внутренние силы, напряжения и деформации. Принцип независимого действия

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Н. Б. ЛЕВЧЕНКО Л. М. КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ И. А. КУПРИЯНОВ О. Б. ХАЛЕЦКАЯ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ЧАСТЬ 1 Санкт-Петербург 001 Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (ЧАСТЬ II)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (ЧАСТЬ II) ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (ЧАЬ II) Хабаровск 00 Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Хабаровский

Подробнее

РАСЧЕТ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ

РАСЧЕТ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРЗОВНИЯ И НУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРЦИИ ФЕДЕРЛЬНОЕ ГЕНТСТВО ПО ОБРЗОВНИЮ ГОУ ВПО ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДРСТВЕННЫЙ РХИТЕТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КФЕДР СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХНИКИ РСЧЕТ БЛКИ Н ПРОЧНОСТЬ

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ Государственное автономное образовательное учреждение Астраханской области высшего профессионального образования «АСТРАХАНСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными Растяжение (сжатие) элементов конструкций. Определение внутренних усилий, напряжений, деформаций (продольных и поперечных). Коэффициент поперечных деформаций (коэффициент Пуассона). Гипотеза Бернулли и

Подробнее

Ключевые слова: консольная неравнобокая балка, тонкостенный открытый профиль, напряжения нормальные и касательные, прочность.

Ключевые слова: консольная неравнобокая балка, тонкостенный открытый профиль, напряжения нормальные и касательные, прочность. УДК 64.07.014.-415.046. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЧНОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ БАЛКИ ОТ- КРЫТОГО ПРОФИЛЯ Максак Татьяна Васильевна д.т.н., профессор кафедры Агроинженерии Ачинский филиал Красноярского государственного аграрного

Подробнее

Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса (продолжение)

Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса (продолжение) В.Ф. ДЕМЕНКО. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 1 Лекция 6 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса (продолжение) 1 Правила знаков при построении эпюр поперечных

Подробнее

прочности. В этом случае два последних пункта плана объединяются в один.

прочности. В этом случае два последних пункта плана объединяются в один. 76 Изгиб Раздел 5 прочности. В этом случае два последних пункта плана объединяются в один. 5.1. Изгиб балки Если рассмотреть равновесие выделенной двумя сечениями части балки, то реакции отброшенных частей,

Подробнее

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. К. Манжосов

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИ- МОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИ- МОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ инистерство образования и науки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет» РАСЧЕТ

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»

Аннотация рабочей программы дисциплины «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Аннотация рабочей программы дисциплины «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1. Цель и задачи освоения дисциплины Для студентов направления подготовки 08.03.01. «Строительство» сопротивление материалов является одной

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Задание: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Определить 1) осевые и центробежные моментов инерции элементов плоского сечения; 2) положение центра тяжести сечения; 3) главные центральные моменты

Подробнее

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов Сопротивление материалов Пособие к решению тестовых заданий Теория, примеры, задания С.Г.Сидорин, Ф.С.Хайруллин 013 Предисловие Одной из важных задач образовательного процесса является совершенствование

Подробнее

Итоговый тест, Прикладная механика (сопромат) (2579) 9. (70c.) Под прочностью элемента конструкции понимается (несколько ответов) 1)

Итоговый тест, Прикладная механика (сопромат) (2579) 9. (70c.) Под прочностью элемента конструкции понимается (несколько ответов) 1) Итоговый тест, Прикладная механика (сопромат) (2579) 9. (70c.) Под прочностью элемента конструкции понимается 1) сопротивление 2) внешнему воздействию 3) вплоть до 4) возникновения больших деформаций 5)

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Глава 8 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 8.1. Шарнирно закрепленное твердое тело на упругих стержнях Постановка задачи. Определить усилия в стержнях статически неопределимой системы, состоящей из шарнирно

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В БАЛКАХ

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В БАЛКАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Подробнее

Кафедра Мосты и транспортные тоннели

Кафедра Мосты и транспортные тоннели ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина» В.В. Чупин СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное электронное

Подробнее

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Методические указания к упражнениям и расчетной

Подробнее

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский

Подробнее

6.1 Работа силы на перемещении

6.1 Работа силы на перемещении 6. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ РАБОТ ФОРМУЛА МАКСВЕЛЛА-МОРА 6.1 Работа силы на перемещении Пусть к точке приложена сила F и точка получает перемещение u по направлению действия силы

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра строительной механики РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ Методические

Подробнее

Задача 1. Решение. Рис. 1 Ступенчатый брус

Задача 1. Решение. Рис. 1 Ступенчатый брус Задача 1 Ступенчатый брус (рис. 1) нагружен силами P 1, P 2 и P 3, направленными вдоль его оси. Заданы длины участков a, b и c и площади их поперечных сечений F 1 и F 2. Модуль упругости материала Е 2

Подробнее

Составитель: преподаватель спецдисциплин Вечерко Т.А. Красноярск

Составитель: преподаватель спецдисциплин Вечерко Т.А. Красноярск МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Красноярский технологический техникум пищевой промышленности» Методические указания

Подробнее

Дисциплина «Сопротивление материалов»

Дисциплина «Сопротивление материалов» Дисциплина «Сопротивление материалов» 1. Цель и задачи дисциплины Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы Дисциплина «Сопротивление материалов» относится к вариативной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 18 Сложное сопротивление наиболее общий случай нагружения бруса. Расчеты на прочность произвольно нагруженных пространственных ломаных брусьев

ЛЕКЦИЯ 18 Сложное сопротивление наиболее общий случай нагружения бруса. Расчеты на прочность произвольно нагруженных пространственных ломаных брусьев В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 18 Сложное сопротивление наиболее общий случай нагружения бруса. Расчеты на прочность произвольно нагруженных пространственных ломаных брусьев

Подробнее

«Сопротивление материалов»

«Сопротивление материалов» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Теоретическая и прикладная механика» УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по изучению теоретических основ

Подробнее

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб Введение Настоящая программа базируется на основных разделах следующих дисциплин: Математика; Физика; Теоретическая механика; Сопротивление материалов; Теория упругости и пластичности; Статика, динамика

Подробнее

Расчеты на прочность

Расчеты на прочность Расчеты на прочность Различают два вида расчетов: проектный (проектировочный) и проверочный (поверочный). Проектирование детали можно вести в следующей последовательности: 1. Составляют расчетную схему

Подробнее

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов Сопротивление материалов (для бакалавров) МЕХАНИКА ТЕЛА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО Хабаровск 2012 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее