РЯДЫ. 1. Числовые ряды

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЯДЫ. 1. Числовые ряды"

Транскрипт

1 РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a a n +... () i= называется числовым рядом. Числа a, a 2,..., a n,... называются членами ряда (), в частности, a - первым членом, a 2 - вторым членом,..., a n - n -ым членом или общим членом. Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно найти соответствующий член ряда. Чаще всего такое правило задаётся с помощью формулы вида a n = f(n), позволяющей сразу найти любой член ряда. Например, если a n =, то ряд имеет вид 2 n если a n =, то ряд имеет вид n! Сумма n первых членов ряда () n +... ; n! +... s n = a + a a n (2) называется n -ой частичной суммой этого ряда. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда () s =a, a 2 =a + a 2, a 3 =a + a 2 + a 3, s n =a + a a n, Если последовательность частичных сумм ряда () имеет конечный предел s при n : s, s 2, s 3,..., s n,... (3) im s n = s,

2 то ряд () называется сходящимся, а число s - его суммой. В таком случае пишут: a + a a n + = s или a i = s. Если же последовательность частичных сумм (3) не имеет конечного предела при n, то говорят, что ряд () расходится, или что он не имеет суммы. Одним из простейших и часто встречающихся числовых рядов является сумма бесконечной геометрической прогрессии, которую короче будем называть геометрическим рядом: a + aq + aq 2 + aq aq n +... (4) ( q - знаменатель геометрической прогрессии). Сумма n первых членов прогрессии (4), т. е. n -ая частичная сумма ряда (4), равняется, как известно, s n = a qn q. ). Если q <, то q n при n и im s n = im a qn q = a т. е. ряд (4) сходится и его сумма s равна s = q q. i= q = 2). Если q >, то q n при n, поэтому не существует, т. е. ряд (4) расходится. 3). Если q =, ряд (4) имеет вид im s n a + a + a + + a +... q q, Для него s n = na и при a имеем im s n =, т. е. ряд (4) расходится. 4). Если q =, ряд (4) имеет вид В этом случае Cледовательно, im s n Бесконечная сумма a a + a a { при n чётном, s n = a при n нечётном. не существует и ряд (4) расходится. r n = a n+ + a n называется n -ым остатком ряда (). Если ряд () сходится и имеет сумму s, то r n = s s n. Остаток r n представляет собой погрешность, которая получится, если в качестве приближённого значения его суммы s взять сумму s n первых n его членов. 2

3 . Если ряд 2. Основные свойства числовых рядов сходится и имеет сумму s, то ряд также сходится и имеет сумму ks. a + a a n +... () ka + ka ka n +... (2) Действительно, пусть s n - n -ая частичная сумма ряда (), а σ n - n -ая частичная сумма ряда (2). Тогда Следовательно, и σ n = ka + ka ka n = ks n. im σ n = im (ks n ) = k im s n = ks. Ряд (2) называется произведением ряда () на число k. 2. Если ряды сходятся и имеют соответственно суммы s также сходится и имеет сумму s ± s. a + a a n +... (3) b + b b n +... (4) и s, то ряд (a ± b ) + (a 2 ± b 2 ) + + (a n ± b n ) +... (5) Действительно, обозначим n -ые частичные суммы рядов (3), (4) и (5) соответственно через s n, s n и σ n. Тогда и, следовательно, σ n = (a ± b ) + (a 2 ± b 2 ) + + (a n ± b n ) = s n ± s n im σ n = im s n ± im s n = s ± s. Ряд (5) называется суммой (соответственно разностью) рядов (3) и (4). Свойства и 2 означают, что сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на любое число k. 3. Ряд и любой его остаток либо оба сходятся, либо оба расходятся. Рассмотрим ряд a + a a k + a k+ + + a n +... (6) и его k -ый остаток a k+ + + a n +... (7) 3

4 Введём для них обозначения: Тогда откуда (при постоянном k ) s n = a + a a k + a k+ + + a n, s k = a + a a k, σ n k = a k+ + + a n. s n = s k + σ n k, im s n = s k + im σ n k. Cледовательно, существование каждого из пределов s = im s n и σ = im σ n k влечёт за собой существование другого. Более того, s = σ + s k, т. е. σ = s s k. 4. Если ряд a n сходится, то его общий член a n стремится к нулю при n. i= Действительно, если данный ряд сходится и имеет сумму s, то im a n = im (s n s n ) = im s n im s n = s s =. Свойство 4 выражает необходимый признак сходимости числового ряда: для сходимости ряда необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю при n. Из него следует т. н. достаточный признак расходимости ряда: если общий член ряда не стремится к нулю при n, то ряд расходится. Важное замечание. Стремление n -го члена ряда к нулю при n не является достаточным условием для сходимости ряда. Другими словами, если im a n =, то ряд может сходиться, а может и расходиться). Например, для ряда имеем a n i= не обязательно сходится (он n +... (8) im a n = im n =. Тем не менее, этот ряд расходится. Действительно, для частичной суммы ряда (8) имеем s n = > 2 3 n откуда следует, что im a n =. > = n = n, n n n n 4

5 Ряд 3. Знакоположительные ряды a + a a n +..., () все члены которого положительны, называется знакоположительным. Такой ряд характерен тем, что его частичные суммы образуют возрастающую последовательность: s < s 2 < s 3 < < s n <... (2) Теорема. Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы множество его частичных сумм было ограничено сверху. Необходимость. Пусть знакоположительный ряд () сходится и имеет сумму s. Тогда в силу (2) для любой его частичной суммы s n будем иметь s n < s. Достаточность. Пусть возрастающая последовательность (2) ограничена сверху. Тогда она имеет конечный предел и, следовательно, ряд () сходится. Рассмотрим теперь основные достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. 4. Признаки сравнения Теорема (-ый признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда: a + a 2 + a a n +... () и b + b 2 + b b n +... (2) и пусть члены первого из них не превосходят соответствующих членов второго, т. е. a b, a 2 b 2,..., a n b n,... (3) Тогда ) если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (), 2) если ряд () расходится, то и ряд (2) тоже расходится. Доказательство. Обозначим n -ые частичные суммы рядов () и (2) соответственно через s n и σ n : n n s n = a i, σ n = b i. Из (3) следует, что i= i= s n σ n. (4) ). Пусть ря (2) сходится и имеет сумму σ. Тогда σ n < σ, а в силу (4) s n σ n < σ, т. е. множество частичных сумм s n ряда () ограничено сверху. Следовательно, по предыдущей теореме ряд () сходится. 5

6 2). Пусть ряд () расходится. Тогда и ряд (2) расходится, т. к. из сходимости ряда (2), согласно первой части теоремы, следовало бы, что и ряд () сходится. Теорема 2 (2-ой признак сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел a n im = p >, (5) b n то ряды () и (2) с положительными членами либо оба сходятся, либо оба расходятся. Доказательство. Из (5) следует, что для любого ε > найдётся такое N, что для всех n > N будем иметь a n p b n < ε, то есть (p ε) b n < a n < (p + ε) b n. (6) Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд силу (6) сходится и ряд (). Если же ряд (2) расходится, то расходится и ряд (p ε) b n. А тогда по теореме, согласно (6), расходится и ряд (). (p + ε) b n. А тогда по теореме в Замечание. При исследовании на сходимость знакоположительных рядов с помощью признаков сравнения необходимо иметь для сравнения ряды, относительно которых известно, сходятся ли они или расходятся. В качестве таких рядов можно использовать геометрический ряд a + aq + aq 2 + aq aq n +..., (7) сходящийся при q < и расходящийся при q, или ряд Дирихле + 2 p + 3 p +... n p +..., (8) который, как мы докажем, сходится при p > и расходится при < p. Частный случай ряда (8) при p = т. е. ряд n +..., называется гармоническим рядом, а в общем случае ряд Дирихле (8) называется также обобщённым гармоническим рядом. Примеры.. Ряд n сходится, т. к. при n > 2 будем иметь n n < n 2, а n ряд 2 сходится как геометрический ряд со знаменателем q = n 2 <. 2. Ряд n расходится. n (n + ) расходится, т. к. 6, а гармонический ряд n (n + ) n

7 5. Признак Даламбера Теорема. Если члены знакоположительного ряда удовлетворяет условию a n = a + a 2 + a a n +... () где q - постоянная, то ряд () сходится; если же то ряд () расходится. a n+ a n q <, (2) a n+ a n, (3) Доказательство. Представим a n в виде При выполнении условий (2) из (4) следует, что a n = a a2 a3 a n.... (4) a a 2 a n a n a q n, т. е. члены ряда () не превосходят членов геометрического ряда a q n = a ( + q + q q n +... ), который сходитсят. т. к. < q <. Следовательно, по первому признаку сравнения ряд () сходится. При выполнении условия (3) имеем a n+ a n > и ряд () расходится по достаточному признаку расходимости, т. к. его общий член не стремится к нулю при n. Теорема 2 (предельная форма признака Даламбера). Если существует предел a n+ im = q, (5) a n то при q < ряд () сходится, а при q > ряд () расходится. Доказательство. Условие (5) означает, что для любого ε > существует N такое, что при n > N выполняется неравенство a n+ q a n < ε или q ε < a n+ < q + ε. (6) a n Если q <, то выберем ε столь малым, чтобы q + ε <. Тогда из правой части (6) по теореме будет следовать, что ряд () сходится. 7

8 Если же q >, то выберем ε таким, чтобы выполнялось условие q ε >. Тогда из левой части (6) по теореме будет следовать, что ряд () расходится. =, то ряд () расходится, т. к. тогда для доста- a Замечание. Если im n+ a n точно больших n будем иметь a n+ a n > и, следовательно, im a n. a Замечание 2. Если im n+ a n =, то признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о том, сходится или расходится ряд (). Как показывают примеры, в этом случае может быть как сходимость, так и расходимость. Пример. a n+ im a n n = im n ] [ 2(n + ) : 2n 3 n+ 3 n = im 3 n (2n + ) 3 n+ (2n ) = Ряд сходится. = 3 im 2n + 2n = 3 <. 6. Признак Коши Теорема. Если члены знакоположительного ряда a n = a + a 2 + a a n +... () удовлетворяют условию то ряд () сходится; если же n an q <, (2) n an, (3) то ряд () расходится. Доказательство. Если имеет место условие (2), то a n q n по первому признаку сравнения в силу сходимости геометрического ряда и ряд () сходится q n < q <. Если же имеет место соотношение (3), то a n и т. к. ряд расходится, то и ряд () расходится по первому признаку сравнения. Теорема 2 (предельная форма признака Коши). Если существует предел при im n an = q, (4) то при q < ряд () сходится, а при q > ряд () расходится. Доказательство. Условие (4) означает, что для любого ε > существует N такое, что при n > N выполняется неравенство n an q < ε, то есть q ε < n an < q + ε. (5) 8

9 Если q <, то выберем ε столь малым, чтобы имело место неравенство q+ε <. Тогда из правой части (5) по теореме будет следовать, что ряд () сходится. Если же q >, то выберем ε таким, чтобы выполнялось условие q ε >. Тогда из левой части (5) по теореме будет следовать, что ряд () расходится. Замечание. При q = признак Коши не отвечает на вопрос о сходимости или расходимости ряда (). Примеры показывают, что в этом случае возможна как сходимость, так и расходимость. Пример. Ряд сходится. 3 + im ( 2 5 ) 2 ( ( n n an = im ) 3 ( n +... n 2n + 2n + ) n = im ) n n 2n + = 2 <. 7. Интегральный признак Коши Теорема. Пусть члены знакоположительного ряда a n = a + a 2 + a a n +... () являются значениями некоторой положительной непрерывной функции f(x) при натуральных значениях аргумента x : a = f(), a 2 = f(2),..., a n = f(n),... и пусть функция f(x) монотонно убывает в интервале (, ). Тогда ряд () и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно. f(x) dx (2) Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y = f(x), а снизу отрезком [, n ]. Её площадь равна интегралу I n = n f(x) dx. Разобьём отрезок [, n ] на n равных частей точками 2, 3,..., k, k,..., n. На каждом отрезке [ k, k ] [, n ] построим два прямоугольника: один с высотой f(k ), другой с высотой f(k). Получим две ступенчатые фигуры: одна "входящая"с площадью другая "выходящая"с площадью f(2) + f(3) + + f(n) = s n a, f() + f(2) + + f(n ) = s n a n. 9

10 y y = f(x) O 2 k k n n x Как видно из рисунка, площади трёх рассматриваемых фигур находятся в отношении s n a < I n < s n a n. Следовтельно, и n s n < a + f(x) dx (3) n s n > a n + f(x) dx. (4) Рассмотрим два случая: а). Пусть интеграл (2) сходится, т. е. существует конечный предел Тогда в силу неравенства (3), т. к. I n < I, будем иметь s n < a + I. im I n = I. Это значит, что последовательность частичных сумм ряда () ограничена сверху и, следовательно, ряд () сходится. б). Пусть интеграл (2) расходится. Т. к. функция f(x) положительна, то интеграл I n возрастает вместе с n. Следовательно, в нашем случае im I n =. Но тогда на основании неравенства (4) предел im s n также бесконечен и, следовательно, ряд () расходится. Пример. Применим интегральный признак Коши к ряду Дирихле: n p = + 2 p + 3 p + + n p +... (5) Здесь a n = f(n), где f(x) = x p, а I n = n dx x p.

11 ). p > ; dx x p = x p+ p + 2). p < ; = p ( ) im x p = p ( ) = p. Ряд (5) сходится. dx x p = p ( ) im x p = ( ) =. Ряд (5) расходится. p 3). p = ; dx x p = n x =. Ряд (5) расходится. Таким образом, ряд Дирихле (5) сходится при p > и расходится при p. 8. Признак Раабе В случаях, когда признаки Коши и Даламбера не помогают, следует пользоваться более мощными признаками. Приведём один такой признак без доказательства. Признак Раабе. Пусть дан знакоположительный ряд и пусть Если существуеь предел a n = a + a 2 + a a n +... () ( R n = n a ) n+. a n im R n = R, то при R > ряд () сходится, а при R < ряд () расходится. Пример (2n + ) (2n + 2) 2n , a n = 3... (2n ) (2n) 2n +, a n+ = a n+ = 2n + a n 2n + 2 2n + 2n + 3, ризнак Даламбера не помогает. [ ] (2n + ) 2 R n = n (2n + 2)(2n + 3) Ряд сходится по признаку Раабе (2n + ) (2n + 2) im a n+ =. a n = = 6n2 + 5n 4n 2 + n + 6 ; 2n + 3, R = im R n = 3 2 >.

12 9. Знакочередующиеся ряды Знакочередующимися рядами называются ряды вида a a 2 + a 3 a ( ) n a n +..., () где a, a 2,..., a n,... - положительные числа. Для таких рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница: Теорема. Если в знакочередующемся ряде () абсолютные величины членов убывают, т. е. a > a 2 > a 3 > > a n >... (2) и общий член ряда стремится к нулю: im a n =, (3) то ряд () сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена. Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов и представим её в виде s 2k = a a 2 + a 3 a a 2k a 2k s 2k = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) + + (a 2k a 2k ). В силу условия (2) все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма s 2k положительна и возрастает с увеличением k. Представим теперь сумму s 2k в виде s 2k = a [(a 2 a 3 ) + + (a 2k 2 a 2k ) + a 2k ]. В силу (2) сумма в квадратных скобках положительна, поэтому k, s 2k < a. Т. о. последовательность чётных частичных сумм s 2k возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет конечный предел s : im s 2k = s. k Рассмотрим теперь сумму нечётного числа членов s 2k+ и представим её в виде Тогда s 2k+ = s 2k + a 2k+. im s 2k+ = im s 2k + im a 2k+ = s + = s, k k k так как в силу (3) im a 2k+ =. k Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют общий предел s. Это значит, что вообще im = s. 2

13 т. е. ряд () сходится. При этом, так как < s 2k < a, то < s a, т. е. сумма ряда не превосходит первого члена. Пример ( )n n +... Ряд сходится по признаку Лейбница, так как > 2 > 3 >... и im n =.. Знакопеременные ряды Будем рассматривать числовые ряды с действительными членами, относительно знаков которых не ставится никаких ограничений. Если все члены ряда отрицательны, то такой ряд не представляет собой ничего нового по сравнению с знакоположительным рядом, из которого он получается умножением всех членов на. Пусть не все члены ряда положительны и не все отрицательны, но начиная с некоторого номера становятся положительными или отрицательными. Тогда отбросив достаточно большое число начальных членов ряда, сведём вопрос о его сходимости к исследованию знакоположительного ряда. Таким образом, существенно новым случаем является лишь тот, когда среди членов ряда есть бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. При этом не обязательно, чтобы знаки членов чередовались. Такие ряды будем называть знакопеременными. Для них имеет место следующий достаточный признак сходимости: Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд Если сходится ряд a n = a + a 2 + a a n +... () a n = a + a 2 + a a n +... (2), составленный их абсолютных величин его членов, то данный знакопеременный ряд также сходится. Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд (a n + a n ) = (a + a ) + (a 2 + a 2 ) + + (a n + a n ) +... (3) Так как то a n + a n = { 2 a n при a n >, при a n <, a n + a n 2 a n. (4) 3

14 В силу сходимости ряда (2) ряд (2 a n ) также сходится. Но тогда из (4) следует, что ряд (3) сходится по первому признаку сравнения. Следовательно, ряд () сходится как разность двух сходящихся рядов: a n = ( a n + a n ) a n. Замечание. Доказанный здесь достаточный признак сходимости не является необходимым, т. е. ряд a n может сходиться и тогда, когда ряд a n расходится. Например, ряд ( )n n +... (5) сходится (по признаку Лейбница), несмотря на то, что ряд n +..., составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда (), сходится, то знакопеременный ряд () (сходящийся по доказанной теореме) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд () сходится, а ряд (2) расходится, то ряд () называется условно (или неабсолютно) сходящимся. Например, ряд (5) сходится условно. Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Такие ряды обладают свойствами конечных сумм, которыми не обязательно обладают условно сходящиеся ряды. Помимо общих свойств рядов, абсолютно сходящиеся ряды обладают ещё некоторыми другими свойствами, два из которых мы сформулируем здесь без доказательства.. При любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда его сходимость не нарушается и его сумма не меняется. 2. Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать как многочлены. Произведение двух абсолютно сходящихся рядов есть абсолютно сходящийся ряд и его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов. Заметим, что ряды, сходящиеся условно, вообще говоря, не обладают этими двумя свойствами. Можно доказать с помощью примеров, что если знакопеременный ряд сходится условно, то сумма такого ряда меняется при перестановке его членов. Более того, имeет место следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства: Теорема Римана. Если знакопеременный ряд сходится условно, то переставляя его члены, можно добиться того, чтобы преобразованный ряд имел любую наперёд заданную сумму и даже чтобы он расходился. Пример, иллюстрирующий теорему Римана: k 2k + = s, 4

15 где < s < (по признаку Лейбница). В частности, s 2 = 2, ( s 3 = ) + 2 После перестановки членов: ( 3 ), ( s 2k = ) ( ) ( k ), 2k im s n = s. im s 2k = s k 4k 2 4k +... s 3 = 2 ( 4 s 6 = 2 ) + 4 ( 3 6 ), ( s 3k = 2 ) ( ) ( k 4k 2 ), 4k k 4k 2 4k = 4k 2 4k = ( 2 2k ) ; 2k s 3k = 2 s 2k ; im s 3k = 2 im s 2k = 2 s ; ( im s 3k+ = im s 3k + ) = 2k + 2 s + = 2 s ; ( im s 3k+2 = im s 3k + 2k + ) = 4k s. im s n = 2 s. 5

16 2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда Функциональным рядом называется ряд вида f (x) + f 2 (x) f n (x) +..., () членами которого являются функции одной переменной x, определённые в одном и том же промежутке < a, b >. Придавая переменной x числовые значения из промежутка < a, b >, будем получать числовые ряды, среди которых могут быть как сходящиеся, так и расходящиеся. Если числовой ряд, полученный из () при x = x, сходится, говорят, что ряд () сходится в точке x или что x является точкой сходимости ряда (). Совокупность всех точек сходимости ряда () называется его областью сходимости. Это, как правило, некоторый интервал оси Ox. Частичная сумма функционального ряда (), т. е. сумма s n (x) = f (x) + f 2 (x) f n (x) является функцией от x, определённой в промежутке < a, b >, где определены члены ряда (). Из определения области сходимости функционального ряда следует, что ) для любой точки x из области сходимости ряда () существует конечный предел im s n(x), (2) 2) в точках, не принадлежащих области сходимости ряда (), предел (2) не существует, 3) суммой функционального ряда () является функция s(x) = im s n (x), (3) определённая в области сходимости этого ряда. Если ряд () имеет сумму s(x), то пишут: s(x) = f (x) + f 2 (x) f n (x) +... (4) Рассмотрим n -ый остаток ряда (): r n (x) = f n+ (x) + f n+2 (x) Если ряд () сходится и имеет сумму s(x) в промежутке < a, b >, то r n (x) = s(x) s n (x) (5) и из (3) следует, что в области сходимости остаток ряда стремится к нулю: Пример. Областью сходимости ряда im r n(x) =. (6) + x + x 2 + x x n +... (7) 6

17 является интервал ( -, ), т. к. это - геометрический ряд со знаменателем x, который, как известно, сходится при x < и расходится при x. Функциональный ряд 2. Равномерная сходимость f (x) + f 2 (x) f n (x) +..., () называется равномерно сходящимся в промежутке < a, b >, если для любого ε > существует не зависящее от x число N = N(ε) такое, что для всех n > N и всех x < a, b > имеет место неравенство или r n (x) < ε, s(x) s n (x) < ε. Из этого определения следует, что если ряд () равномерно сходится в промежутке < a, b >, то он равномерно сходится в любом промежутке < c, d > < a, b >, а также что ряд () сходится в любой точке промежутка < a, b >. Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены функционального ряда () удовлетворяют в промежутке < a, b > условию f n (x) c n, (2) где c n - члены некоторого сходящегося знакоположительного ряда c + c c n +..., (3) то ряд () сходится в промежутке < a, b > абсолютно и равномерно. В условиях этой теоремы функциональный ряд () называется мажорируемым, а знакоположительный ряд (3) называется мажорирующим. Доказательство. Из соотношений (2) по первому признаку сравнения следует, что ряд () сходится, и притом абсолютно, в промежутке < a, b >. В силу сходимости числового ряда (3) для любого ε > существует N(ε) такое, что для всех n > N(ε) имеет место неравенство то есть Заметим далее, что для любого p s s n < ε, c n+ + c n < ε. (4) f n+ (x) + f n+2 (x) f n+p (x) f n+ (x) + f n+2 (x) f n+p (x). Переходя к пределу при p и учитывая (4), получим: f n+ (x) + f n+2 (x) +... c n+ + c n < ε, 7

18 то есть r n (x) < ε, что и требовалось доказать, т. к. полученное неравенство выполняется для всех x < a, b > и для всех n > N(ε), где N(ε) не зависит от x. Пример. Функциональный ряд sin x + sin 4x 4 + sin 9x sin n2 x n сходится равномерно на всей числовой оси, т. к. для всех x и любого n sin n 2 x n 2 n, (5) 2 а знакоположительный числовой ряд n , мажорирующий ряд (5), как известно, сходится. Равномерно сходящиеся ряды примечательны тем, что они обладают основными свойствами конечных сумм, которыми не обязательно обладают ряды, сходящиеся неравномерно. 3. Свойства равномерно сходящихся рядов Пусть дан функциональный ряд f n (x) = f (x) + f 2 (x) f n (x) () Теорема. Если ) ряд () сходится равномерно в промежутке < a, b >, 2) его члены непрерывны в < a, b >, то сумма ряда () непрерывна в промежутке < a, b >. Доказательство. В силу равномерной сходимости ряда () в промежутке < a, b > для любого ε > существует число N = N(ε) такое, что для всех n > N и для любого x < a, b > r n (x) = s(x) s n (x) < ε 3, где s(x) = f n (x). Выберем какое-нибудь n > N. Так как функция s n (x) = n f n (x) непрерывна в любой точке x промежутка < a, b > (как сумма n непрерывных функций), то для любого ε > существует δ > такое, что при x x < δ и x < a, b > s n (x) s n (x ) < ε 3. 8

19 Следвательно, для любого ε > и любого x < a, b > существует δ > такое, что при x x < δ и x < a, b > будем иметь (при n > N ) s(x) s(x ) = s n (x) + r n (x) s n (x ) r n (x ) s n (x) s n (x ) + r n (x) + r n (x ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, что и означает, что функция s(x) непрерывна в произвольной точке x < a, b >. Теорема 2. Если ) ряд () равномерно сходится в промежутке < a, b > и 2) его члены непрерывны в < a, b >, то ряд () можно почленно интегрировать на любом отрезке [ α, β ] < a, b > : то есть β α β α [ ] f n (x) dx = ( f (x) + f 2 (x) f n (x) +...) dx = β α β α β f (x)dx+ f n (x) dx, (2) α β f 2 (x)dx+...+ α f n (x)dx+... Доказательство. В силу равномерной сходимости ряда () в промежутке < a, b > для любого ε > существует число N = N(ε) такое, что для всех n > N и для всех x < a, b > s(x) s n (x) < ε b a, где s(x) = f n (x). Следовательно, ε > и n > N, β n β s(x) dx f k (x) dx = α А это значит, что то есть = β α β α k= α [s(x) s n (x)] dx ε b a dx = im β k= α n β k= α β α β α [ s(x) ] n f k (x) dx = k= s(x) s n (x) dx ε b a ( β α ) = β α b a ε < ε. f k (x) dx = f k (x) dx = β α 9 β α s(x) dx, [ ] f k (x) dx. k=

20 Существование всех интегралов обеспечено непрерывностью функций f k (x), а по теореме и функции s(x), на отрезке [ α, β ] < a, b >. Теорема 3. Если ) ряд () сходится в промежутке < a, b > к сумме s(x), 2) члены ряда () непрерывно дифференцируемы в < a, b >, 3) ряд f n(x), составленный из производных членов ряда (), сходится в < a, b > равномерно, то сумма s(x) ряда () дифференцируема в < a, b > и при этом s (x) = f n(x) dx, (3) т. е. ряд () можно почленно дифференцировать: ( f n (x)) = f n(x). (3 ) Доказательство. По условию 3) теоремы ряд f n(x) сходится (даже равномерно). Обозначим его сумму через σ (x) : σ (x) = f n(x). (4) Так как ряд (4) удовлетворяет условиям теоремы 2 (проверить!), то его можно почленно интегрировать на любом отрезке [x, x] < a, b > : x x [ ] x σ (t) dt = f n(t) dt = f n(t) dt = x то есть = x [ f n (x) f n (x ) ] = x f n (x) x f n (x ) = s (x) s (x ), x σ (t) dt = s (x) s (x ). (5) Функция σ (x) непрерывна в промежутке < a, b >, т. к. выполнены условия теоремы (проверить!). По теореме Барроу левая часть равенства (5) дифференцируема (по x ). Значит, дифференцируема и его правая часть. Более того, имеет место равенство s (x) = d x σ (t) dt = σ (x) = f dx n(x), x ч. и т. д. 2

21 3. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости Важным частным случаем функциональных рядов представляют собой степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида a + a (x x ) + a 2 (x x ) 2 + a 3 (x x ) a n (x x ) n +..., () где a, a, a 2,... a n... - постоянные, называемые коэффициентами степенного ряда. В случае степенного ряда удобнее считать n -ым членом ряда его член u n = a n (x x ) n, стоящий на (n + ) -ом месте; cвободный член a при этом считается нулевым членом ряда (). При x = степенной ряд () принимает вид: a + a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n +..., (2) Степенной ряд () всегда можно привести к виду (2) подстановкой x x = y. Поэтому мы будем рассматривать главным образом степенные ряды вида (2). Нам необходимо прежде всего выяснить, какой вид имеет область сходимости степенного ряда (2). Для этого нам понадобится следующая теорема. Первая теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится при некотором x = x, то он сходится и притом абсолютно при всех x, для которых x < x т. е. в интервале ( x, x ). ряд Доказательство. Пусть ряд (2) сходится в точке x, т. е. сходится числовой n= a n x n. Тогда общий член этого ряда стремится к нулю при n. Следовательно, он ограничен, т. е. существует такое M >, что a n x n < M при всех n. Рассмотрим ряд a n x n = a + a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n +..., (3) n= составленный из абсолютных величин членов ряда (2). Его члены удовлетворяют условию n a n x n = a n x n x < M q n, (4) где q = x x. Если x < x, то < q < и геометрический ряд x n= M q n сходится. Тогда по первому признаку сравнения, в силу неравенства (4), сходится ряд (3), вследствие чего ряд (2) сходится абсолютно. Следствие. Если ряд (2) расходится при некотором x = x, то он расходится при всяком x, для которого x > x. Действительно, в противном случае по первой теореме Абеля он сходился бы в точке x. 2

22 Займёмся теперь исследованием области сходимости ряда (2). Ясно, что в точке ряд (2) сходится, т. к. при x = он превращается в числовой ряд a Очевидно, возможны три случая: ) ряд (2) не имеет других точек сходимости, кроме точки x =, 2) ряд (2) сходится во всех точках числовой прямой, 3) ряд (2) имеет как точки сходимости, отличные от точки x =, так и точки расходимости. В последнем случае по первой теореме Абеля и следствию из неё следует, что существует число R > такое, что ряд (2) сходится и притом абсолютно при x < R, т. е. в интервале ( R, R ), и расходится при x > R. Число R называется радиусом сходимости, а интервал ( R, R ) - интервалом сходимости ряда (2). Удобно считать, что в первом случае R =, а во втором - R =. На концах интервала сходимости, т. е. в точках x = R и x = R, вопрос о сходимости или расходимости степенного ряда решается индивидуально для каждого конкретного случая. Таким образом, областью сходимости степенного ряда (2) является интервал вида ( R, R ), где R, к которому в зависимости от конкретного случая могут принадлежать и его концы или один из них. Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда рассмотрим предел u n+ im u n = im a n+ x n+ a n x n = x im a n+ a n = x. По признаку Даламбера ряд (3) сходится, если x <, т. е. x <, и расходится, если x >. Это значит, что ряд (2) сходится абсолютно при x < и не сходится абсолютно (в действительности расходится) при x >. Следовательно, R =. В частности, если =, то R = и наоборот, если =, то R =. Таким образом, R = = im a n. (5) Аналогично R = = im если существует предел = im n a n. Пример. Ряд n= x n n x = и сходится условно при x =. Пример 2. Ряд Пример 3. Ряд Пример 4. Ряд n= n= n= a n+ n an, сходится абсолютно в интервале (, ), расходится при x n n! сходится на всей числовой прямой ( R = ). n! x n сходится только при x = (R = ). (x 2) n n 2 n сходится абсолютно при x 2 < 2, т. е. в интервале (, 4) ; при x = он сходится условно, а при x = 4 расходится. 22

23 2. Свойства степенных рядов Вторая теорема Абеля. Степенной ряд (2) сходится равномерно на любом отрезке [ a, b ], содержащемся внутри интервала сходимости. Доказательство. Пусть R - радиус сходимости ряда (2) и R < a < b < R. Обозначим через r наибольшее из чисел a и b и рассмотрим три промежутка: [ a, b ] [ r, r ] ( R, R ). r O r r ( [ O r ] ] ) ( [ [ ] ) R a b R R a b R По первой теореме Абеля ряд (2) сходится абсолютно в точке r ( R, R), то есть сходится числовой ряд a n r n = a n r n. Этот ряд мажорирует ряд (2) на n= n= отрезке [ r, r ], т. к. при x [ r, r ] имеем a n x n a n r n. Следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд (2) сходится равномерно на отрезке [ a, b ] [ r, r ]. Из второй теоремы Абеля следует, что степенные ряды обладают всеми свойствами равномерно сходящихся рядов. Принимая во внимание, что члены степенного ряда суть непрерывные функции, а дифференцирование или интегрирование степенного ряда даёт снова степенной ряд, эти свойства могут быть сформулированы так: Теорема. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в каждой внутренней точке его интервала сходимости. Теорема 2. Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно почленно дифференцировать или интегрировать сколько угодно раз. Получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Второе утверждение теоремы 2 не следует из общих свойств равномерно сходящихся рядов. Мы его докажем при дополнительном условии, что существует конечный предел im a n = R. a n+ Действительно, в результате интегрирования степенного ряда (2) получается степенной ряд a n n + xn+, n= радиус сходимости которого равен R = im a n n + 2 a n+ n + = im a n a n+ = R. В результате дифференцирования степенного ряда (2) получается степенной ряд n a n x n, n= 23

24 радиус сходимости которого равен R 2 = im n a n (n + ) a n+ = im a n a n+ = R. Свойства, которыми обладают степенные ряды, позволяют обращаться с ними как с многочленами. 4. Разложение функций в степенные ряды. Постановка задачи Для многих задач математического анализа важное значение имеет разложение данной функции в степенной ряд. Разложить функцию f(x) в степенной ряд или представить её степенным рядом в окрестности точки x - это значит найти ряд вида a + a (x x ) + a 2 (x x ) 2 + a 3 (x x ) a n (x x ) n +..., () обладающий следующими свойствами ) ряд () сходится в окрестности (x R, x + R) точки x, 2) сумма ряда () равна данной функции, т. е. f(x). Пример. Функция f(x) =, определённая всюду, кроме точки x =, допускает в окрестности (, ) точки следующее разложение в степенной x ряд x = + x + x2 + x x n +... Важность разложения функции в степенной ряд видна хотя бы из того, что оно позволяет приближённо заменить функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Тем самым вычисление значения функции сводится к простейшим арифметическим действиям, причём особенно важно то, что при этом можно оценить точность полученного приближённого значения, а следовательно, искать приближённое значение с любой наперёд заданной точностью. Заметим также, что разложение функции в степенной ряд оказывается удобным средством для вычисления некоторых интегралов, для решения некоторых дифференциальных уравнений, для раскрытия неопределённостей при вычислении некоторых пределов и т. д. Кроме того, разложение функции в степенной ряд имеет важное значение для некоторых теоретических вопрсов математического анализа, геометрии и других разделов математики. Возникает вопрос: при каких условиях данная функция допускает разложение в степенной ряд в окрестности данной точки x? Второй вопрос: если данная функция представима степенным рядом, то как этот ряд найти? 24

25 2. Ряд Тейлора Пусть функцияа f(x) допускает разложение в степенной ряд в некотором промежутке < a, b >. Т. к. степенной ряд можно дифференцировать любое число раз, то сумма f(x) этого ряда должна иметь в промежутке < a, b > производные любого порядка. Таким образом, для того, чтобы функция была разложима в степенной ряд, необходимо, стобы она была бесконечно дифференцируемой. Этому условию удовлетворяют многие элементарные функции (например, e x, sin x и др.), однако, как мы увидим, оно не является достаточным. Для выяснения достаточных условий нам понадобится понятие ряда Тейлора. Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема в точке x. Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x называется ряд или короче f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) 2! n= f (n) (x ) n! (x x ) f (n) (x ) n! (x x ) n, где f () = f(x ) и! =. (x x ) n +... (2) Коэффициенты ряда (2) a n = n! f (n) (x ) называются коэффициентами Тейлора. Указанная здесь терминология применяется независимо от того, сходится ли ряд (2) или нет и какова его сумма: f(x) или какая-либо другая функция. Теорема. Если функция f(x) допускает разложение в степенной ряд в некоторой окрестности точки x, то это разложение единственно и этот степенной ряд совпадает с рядом Тейлора функции f(x), то есть f(x) = n= f (n) (x ) n! (x x ) n. (3) Доказательство. Пусть в окрестности (x R, x + R) точки x функция f(x) допускает разложение в степенной ряд (), т. е. для всех x таких, что x x < R имеет место равенство f(x) = a + a (x x ) + a 2 (x x ) 2 + a 3 (x x ) 3 + a 4 (x x ) (4) Последовательно дифференцируя равенство (4), будем иметь f (x) =a + 2 a 2 (x x ) + 3a 3 (x x ) a 4 (x x ) , f (x) =2 a a 3 (x x ) a 4 (x x ) , f (x) =3! a a 4 (x x ) +..., f (n) (x) =n! a n +..., Полагая в полученных равенствах x = x, получим: f(x ) = a, f (x ) = 2 a 2, f (x ) = 3! a 3,..., f (n) = n! a n,..., 25

26 откуда a = f(x ), a = f (x ), a 2 = f (x ) 2! Теорема доказана., a 3 = f (x ) 3!,..., a n = f (n) (x ) n! Замечание. Предыдущая теорема доказана в предположении, что функция f(x) может быть разложена в степенной ряд. Если заранее этого не предположить, а просто считать функцию f(x) бесконечно дифференцируемой и составить для неё ряд Тейлора, то ниоткуда не следует, что этот ряд сходится при x x. Более того, может случиться, что этот ряд сходится, но не к функции f(x), а к какой-нибудь другой функции. Например, функция f(x) = {e x 2 при x, при x = бесконечно дифференцируема и все её производные в точке x = равны нулю. Следовательно, при x = все коэффициенты Тейлора равны нулю, её ряд Тейлора сходится, но не к функции f(x), а к функции g(x). Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в интервале x x < R. Тогда для неё можно составить ряд Тейлора (2) и формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:,... f(x) = s n (x) + R n (x), (5) где s n - n - ая частичная сумма ряда (2), а R n = f (n+) (ξ) (n + )! (x x ) n. (6) Из равенства (5) следует, что ряд (2) сходится к функции f(x), то есть im s n(x) = f(x), тогда и только тогда, когда при всех x (x R, x + R) выполняется условие Таким образом, имеет место следующая теорема: im R n(x) =. (7) Теорема 2. Для того, чтобы функция f(x), имеющая производные всех порядков в промежутке x x < R, могла быть представлена в этом промежутке степенным рядом, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при n для всех x из указанного промежутка. Заметим, что условие (7) трудно проверить из-за неопределённости величины ξ в выражении (6). Поэтому на практике часто удобнее пользоваться следующей теоремой: 26

27 Теорема 3. Если функция f(x) имеет в промежутке x x < R производные всех порядков, которые ограничены по совокупности, т. е. существует число M > такое, что выполняется неравенство f (n) (x) < M (8) для всех n и при всех x из промежутка x x < R, то функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора (2) в этом промежутке. Доказательство сводится к проверке выполнимости условия (7). В силу неравенства (8) имеем Ряд n= M Rn (n+)! R n (x) = f (n+) (ξ) x x n+ (n + )! < M R n+! (n + )!. (9) сходится по признаку Даламбера. Поэтому его общий член стремится к нулю при n. А тогда, в силу неравенства (9), стремится к нулю и остаточный член R n (x), то есть выполняется условие (7). 3. Разложение основных элементарных функций в степенной ряд При x = ряд Тейлора (2) принимает вид f() + f ()x + f () 2! x 2 + f () 3! x f (n) () x n +... () n! и называется рядом Маклорена. Найдём разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.. f(x) = e x ; f (n) (x) = e x, f (n) () =. e x = n= x n n! = + x + x2 2! + x3 3! xn n! +... () Условие (8) здесь выполняется в любом промежутке x < R, так как f (n) (x) = e x < e R. Следовательно, разложение () имеет место при всех x (, + ). 2. f(x) = sin x ; f (k) (x) = sin(x + k 2 ), f (k) () = sin k 2 = { при k = 2n, ( ) n при k = 2n +. sin x = n= ( ) n x 2n+ (2n + )! = x x3 3! + x5 5!... + ( )n x 2n+ (2n + )! +... (2) 27

28 Разложение (2) имеет место при всех x (, + ), так как f (n) (x). 3. Аналогично, для всех x (, + ) ( ) n x 2n cos x = (2n)! n= = x2 2! + x4 x2n... + ( )n 4! (2n)! +... (3) 4. f(x) = ( + x) α, где α R ; f (n) (x) = α(α )(α 2)... (α n + )( + x) α n, f (n) () = α(α )(α 2)... (α n + ). ( + x) n α(α ) = + α x + x 2 α(α )... (α n + ) x n +... (4) 2! n! Ряд (4) называется биномиальным рядом. Можно доказать, что разложение (4) имеет место при x <. Название объясняется тем, что при α N формула (4) превращается в формулу бинома Ньютона: ( + x) n = Cn k x k. 4. Полезно выделить следующие частные случаи биномиального ряда (4): ) α = ; n= + x = x + x2 x ( x) n +... (5) 2) α = 2 ; = + x 2 x x x3 n (2n )!! +...+( ) x n +... (6) (2n)!! 3) Заменив в (6) x на x 2, получим = + x 2 2 x x (2n )!! x x 2n +... (7) (2n)!! 4) Заменив в (5) x на x 2, получим + x 2 = x2 + x 4 x ( ) n x 2n +... (8) 5. f(x) = n(+x). Разложение можно получить почленным интегрированием ряда (5) от до x. n( + x) = ( ) n xn+ n + = n= = x x2 2 + x3 3 x4 xn ( )n +... ( x ) 4 n + 6. f(x) = arctg x. Разложение можно получить почленным интегрированием ряда (8): arctg x = n= ( ) n x2n+ 2n + = 28

29 = x x3 3 + x5 5 x7 x2n ( )n +... ( x ) 7 2n + 7. f(x) = arcsin x. Разложение получим, интегрируя ряд (7): arcsin x = x + 2 x x x 7 (2n )!! n n! x 2n+ 2n ( x ) 4. Ряды с комплексными членами. Формула Эйлера В ряде случаев приходится рассматривать ряды с комплексными членами, т. е. ряды вида (a n + i b n ) = (a + i b ) + (a 2 + i b 2 ) (a n + i b n ) +... () Ряд () называется сходящимся, если сходятся ряды с действительными членами a n и b n. (2) При этом суммой ряда () называется комплексное число s + i t, где s и t - суммы рядов (2), т. е. s = a n и t = b n. Теорема. Если сходится ряд модулей членов ряда (), то ряд () также сходится. В таком случае говорят, что ряд () сходится абсолютно. Доказательство. Действительно, если сходится ряд a 2 n + b 2 n, то в силу очевидных неравенств a n a 2 n + b 2 n, b n a 2 n + b 2 n по первому признаку сравнения сходятся ряды a n и b n, вследствие чего ряды (2) сходятся и притом абсолютно. Тогда по определению сходится и ряд (). 29

30 В комплексной области рассматривают также и функциональные ряды, в частности, степенные ряды где c + c z + c 2 z 2 + c 3 z c n z n +..., c n = a n + b n, z = x + i y. В силу предыдущей теоремы такой ряд заведомо сходится, если сходится ряд модулей его членов где c + c z + c 2 z 2 + c 3 z c n z n +..., (3) c n = a 2 n + b 2 n, z = x 2 + y 2. Для исследования сходимости ряда (3) можно использовать все известные нам признаки сходимости знакоположительных числовых рядов, например, признак Даламбера. Применим теперь полученные выше разложения функций e x, sin x и cos x для вывода весьма важных формул, связывающих эти функции между собой. Если x - действительная переменная, то, как известно, имеет место разложение e x = x n n! = + x! + x2 2! + x3 3! xn n! +..., верное для любого значения x R. Если z = x + i y, то по определению положим e z = Применяя признак Даламбера к ряду модулей z n n! = + z! + z2 2! + z3 3! zn n! +..., (4) z n n! = + z! + z 2 + z z n +..., 2! 3! n! легко видеть, что этот ряд сходится при каждом значении z, а следовательно, сходится и ряд (4). Это значит, что показательная функция e z определена для всех комплексных значений z. В частности, при z = i x имеем e ix = + ix! + (ix)2 + (ix)3 + (ix)4 + (ix)5 + (ix) = 2! 3! 4! 5! 6! = = + ix! x2 2! i x3 3! + x4 4! + i x5 5! x6 6!... = ( ) ( ) x2 2! + x4 4! x6 x 6! i! x3 3! + x5 5!... = cos x + i sin x. 3 =

31 Таким образом, e ix = cos x + i sin x. (5) Формула (5) называется формулой Эйлера. Заменяя в ней x на x, получим e ix = cos x i sin x. (6) Складывая и вычитая почленно равенства (5) и (6), получим: cos x = eix + e ix 2, sin x = eix e ix. 2i В общем случае, если z = x + i y, то можно показать, что e x+iy = e x e iy. Следовательно, Пример. e x+iy = e x (cos y + i sin y). (7) e + 2 i = e ( cos 2 + i sin ) = e i. 2 Если z = r (cos ϕ + i sin ϕ) - комплексное число в тригонометрической форме, то на основании формулы (5) получим т. н. показательную форму комплексного числа: где r = z и ϕ = Arg z. z = r e iϕ, 5. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида a 2 + a cos x + b sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x a n cos nx + b n sin nx +... () или короче a 2 + ( a n cos nx + b n sin nx ), ( ) где a, a, b, a 2, b 2,..., a n, b n,... - постоянные, называемые коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд () сходится, то его сумма, очевидно, есть периодическая функция с периодом 2 ( т. к. его члены - периодические функции с периодом 2 ). Пусть дана функция f (x) периодическая с периодом 2. Возникают такие вопросы: ) При каких условиях существует тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции f (x)? 2) Если такой ряд существует, то как определить его коэффициенты? 3

32 Ответим сначала на второй вопрос. Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2 представима тригонометрическим рядом в интервале (, ), т. е. существует тригонометрический ряд, сходящийся в интервале (, ) к данной функции f (x) : f (x) = a 2 + ( a n cos nx + b n sin nx ). (2) Предположим, кроме того, что ряд (2) сходится равномерно. Для этого достаточно, например, чтобы сходился мажорирующий его знакоположительный числовой ряд a 2 + a + b + a 2 + b a n + b n +... (3) Тогда равенство (2) можно почленно интегрировать. Это позволяет вычислить коэффициент a. Действительно, Но Следовательно, f (x) dx = a 2 dx + a n cos nx dx = a n b n sin nx dx = b n a n cos nx dx + a 2 dx = a, cos nx dx = a n sin nx n sin nx dx = b n cos nx n f (x) dx = a, b n sin nx dx. =, =. откуда a = f (x) dx. (4) Для вычисления остальных коэффициентов тригонометрического ряда (2) нам понадобятся следующие формулы: {, если p k, cos p x cos k x dx =, если p = k ; (5) {, если p k, sin p x sin k x dx =, если p = k ; (6) 32

33 Докажем, например, формулу (5). При p k имеем sin p x cos k x dx =. (7) cos p x cos k x dx = cos (p + k) x + cos (p k) x 2 dx = Если же p = k, то = 2 [ sin (p + k) x + p + k cos p x cos kx dx = ] sin (p k) x =. p k cos 2 kx dx = = + cos 2kx 2 dx = 2 ( x + ) sin 2kx =. 2k Формулы (6) и (7) проверяются аналогично с помощью тригонометрических формул cos p x sin kx = [ sin (p + k) x sin (p k) x ], 2 sin p x sin kx = [ cos (p + k) x + cos (p k) x ], 2 sin 2 kx = ( cos 2kx ). 2 Проверить самостоятельно формулы (6) и (7). Для вычисления коэффициента a k (при определённом значении k ) умножим обе части равенства (2) на cos kx : f (x) cos kx = a 2 cos kx + ( a n cos nx cos kx + b n sin nx cos kx ). (8) Ряд (8) сходится равномерно в интервале (, ), т. к. в этом интервале он, как и ряд (2), мажорируется знакоположительным числовым рядом (3), который по условию сходится. Интегрируя равенство (8) в пределах от до, получим: f (x) cos kx = a 2 cos kx + a n cos nx cos kx dx + b n sin nx cos kx dx. Принимая во внимание формулы (5) и (7), замечаем, что все интегралы в правой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом a k. Следовательно, f (x) cos kx dx = a k cos 2 kx dx = a k, 33

34 откуда a k = f (x) cos kx dx. (9) Аналогично, умножая обе части равенства (8) на sin kx и снова интегрируя от до с учётом формул (5) - (7), получим: f (x) sin kx dx = b k sin 2 kx dx = b k, откуда b k = f (x) sin kx dx. () Числа a, a, b, a 2, b 2,..., a n, b n,..., определённые формулами (4), (9) и (), называются коэффициентами Фурье функции f (x), а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f (x). Таким образом, доказано утверждение: Теорема. Если периодическая функция f (x) с периодом 2 представима в интервале (, ) равномерно сходящимся тригонометрическим рядом, то этот ряд является её рядом Фурье. Замечание. Формулы (4), (9) и () получены в предположении, что функция f (x) разлагается в интервале (, ) в равномерно сходящийся тригонометрический ряд. Пусть теперь f (x) - произвольная функция, для которой существуют все интегралы (4), (9) и (). Для неё можно составить ряд Фурье, относительно которого однако нельзя утверждать, что он сходится, а если сходится, то нельзя утверждать, что его сумма равна f (x). Поэтому пишут: f (x) a 2 + ( a n cos nx + b n sin nx ). 2. Сходимость ряда Фурье Сформулируем теперь достаточные условия того, чтобы ряд Фурье функции f (x) сходился и имел своей суммой именно функцию f (x). Для этого приведём сначала несколько определений. Функция f (x) называется кусочно-монотоной на отрезке [ a, b ], если этот отрезок можно разбить на конечное число частичных отрезков, в каждом из которых функция f (x) либо возрастает, либо убывает, либо постоянна. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [ a, b ], если она имеет на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва, причём все они первого рода. Напомним, что функция f (x) имеет в точке x разрыв -го рода, если существуют односторонние конечные пределы f ( x ) = im f (x), f ( x + ) = im f (x), x x x x + но нарушено хотя бы одно из равенств f ( x ) = f ( x ) = f ( x + ). 34

35 Говорят, что функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [ a, b ], если она ) монотонна или кусочно монотонна на отрезке [ a, b ] и 2) непрерывна или кусочно-непрерывна на отрезке [ a, b ]. Теорема Дирихле. Если периодическая функция f (x) с периодом 2 удовлетворяет на отрезке [, ] условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится всюду. При этом его суммв s (x) равна функции f (x) во всех точках непрерывности последней; если же x = c - точка разрыва функции f (x), то s (c) = f ( c ) + f ( c + ) 2 Эту теорему мы принимаем без доказательства. Существуют и другие достаточные условия представимости функции рядом Фурье (равносильные или нет условиям Дирихле). Например, вместо второго условия Дирихле можно требовать, чтобы функция была ограничена на отрезке [, ]. Можно вообще заменить условия Дирихле требованием, чтобы функция была кусочно-гладкой на отрезке [, ]. Все эти условия значительно слабее условий разложимости функции в ряд Тейлора.. Пример. f (x) - периодическая функция с периодом 2, такая, что { при < x, f (x) = x при < x. y O x a = f (x) dx = a n = dx + f (x) cos nx dx = + x dx = ( ) + 2 = 2 2. x cos nx dx = = = x sin nx n cos n cos n 2 = ( )n n 2 = b n = sin nx n { f (x) sin nx dx = + dx = cos nx n2 = 2 n 2 при n нечётном, при n чётном. x sin nx dx = 35

36 = ( x ) cos nx n f (x) cos nx n cos (2n ) x (2n ) 2 + dx = n cos n = n ( )n. n+ sin nx ( ). n s ( ) = s () = + = 2 2. График суммы s (x) ряда Фурье: y O x 3. Ряд Фурье для чётных и нечётных функций Из определения чётной функции следует, что если функция ψ (x) - чётная, то a a ψ (x) dx = 2 ψ (x) dx. () a Действительно, a a ψ (x) dx = ψ (x) dx + ψ (x) dx. Но a ψ (x) dx = a ψ ( x) d ( x ) = ψ (x) dx = a ψ (x) dx. a Следовательно, a a a ψ (x) dx = a ψ (x) dx + a a ψ (x) dx = 2 ψ (x) dx. a Аналогично можно показать, что если функция ϕ (x) - нечётная, то a a ϕ (x) dx =. (2) Действительно, a a ϕ (x) dx = ϕ (x) dx + ϕ (x) dx = a a 36


Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

4. Функциональные ряды, область сходимости

4. Функциональные ряды, область сходимости 4. Функциональные ряды, область сходимости Областью сходимости функционального ряда () называется множество значений аргумента, для которых этот ряд сходится. Функция (2) называется частичной суммой ряда;

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности Часть I Лекция (4.09.5) Числовые ряды и последовательности Информация о семестре. Темы: (a) Ряды (b) Теория функций комплексных переменных. Литература: (a) Воробъев Н.Н. - Теория рядов (b) Вся высшая математика

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее