Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по естественнонаучным специальностям и направлениям подготовки Ростов на Дону 2016

2 Пособие подготовлено доцентом кафедры геометрии института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича ФГАОУВО «Южный федеральный университет» Ириной Алексеевной Чернявской. Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ростовского военного института РВ Задорожная Н. С. кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики ЮФУ Кряквин В. Д. Практикум содержит необходимый для решения задач по аналитической геометрии теоретический материал, конкретные примеры с методическими советами, а также задания для самостоятельного решения и тесты для самопроверки. И. А. Чернявская Электронное пособие подготовлено в системе X T E X E Макет, компьютерная вёрстка Е. В. Ширяевой

3 Содержание 1 Прямая линия на плоскости Решение задач Задачи для самостоятельного решения Кривые второго порядка (элементарная теория) Эллипс Гипербола Парабола Решение задач Задачи для самостоятельного решения Общие уравнения кривых второго порядка Эллипс Гипербола Парабола Решение задач Задачи для самостоятельного решения Векторная алгебра Задачи для самостоятельного решения Прямая и плоскость в пространстве Задачи для самостоятельного решения Тесты для самопроверки 50 ы и указания 56 7 Ключи ответов к тестам 61 Список литературы 62 Предметный указатель 63 Об авторе 64 Интерфейс пользователя 65

4 1 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ. 4 1 Прямая линия на плоскости Заметим, что не существует алгоритмов решения геометрических задач. Однако, решение любой задачи можно свести к последовательности простейших задач. Поэтому, сначала мы приведем решения таких простейших задач. Напомним основные виды уравнения прямой: уравнение прямой с угловым коэффициентом k, y = kx + b (1.1) y y 0 = k(x x 0 ) (1.2) уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ; y 0 ), с угловым коэффициентом k, уравнение прямой по двум точкам (x 1 ; y 1 ) и (x 2 ; y 2 ), y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1 (1.3) Ax + By + C = 0; A 2 + B 2 0; (1.4) общее уравнение прямой, n = (A; B) вектор нормали прямой, общее уравнение прямой с известной точкой, уравнение прямой в отрезках на осях, нормальное уравнение прямой, A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 (1.5) x a + y b = 1; (1.6) x cos + y sin p = 0; (1.7) (A 1 x + B 1 y + C 1 ) + (A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0; ; (1.8) уравнение пучка прямых, заданного двумя пересекающимися прямыми: Условия параллельности прямых: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0: k 1 = k 2 или A 1 A 2 = B 1 B 2 : (1.9)

5 1.1 Решение задач. 5 Условия перпендикулярности прямых: Угол между прямыми: k 1 = 1 k 2 или A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0: (1.10) tg ' = k 2 k 1 1 k 1 k 2 : (1.11) Расстояние d от точки M 0 (x 0 ; y 0 ) до прямой Ax + By + C = 0: d = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 : (1.12) 1.1 Решение задач Задача 1.1. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (1; 2) параллельно прямой b: 3x + 5y 1 = 0. Решение. При решении задачи на составление уравнения прямой прежде всего надо выбрать тот вид уравнения, который наиболее удобен в данных условиях. Так как прямая b задана общим уравнением, то нам известен ее вектор нормали n = (3; 5). Так как прямая a параллельна прямой b, то n является и ее вектором нормали. Поэтому удобнее выбрать уравнение вида (1.5), получим : a: 3x + 5y 13 = 0. a : 3(x 1) + 5(y 2) = 0 или 3x + 5y 13 = 0: Задача 1.2. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (5; 1) перпендикулярно прямой b: y = 6x 7. Решение. Из уравнения прямой b находим ее угловой коэффициент k b = 6. Так как a b, то k a = 1=k b. Поэтому удобнее выбрать уравнение вида (1.2), получим : a: x + 6y + 1 = 0. a : y + 1 = 1 (x 5) или x + 6y + 1 = 0: 6 Задача 1.3. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (7; 2) перпендикулярно прямой b: 5x + 3y + 1 = 0. Решение. Задача 1.3 отличается от задачи 1.2 только видом уравнения прямой b. В этом случае можно воспользоваться условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0, получим 5A 2 + 3B 2 = 0 или A 2 B 2 = 3 5 :

6 1.1 Решение задач. 6 Пусть, например, A 2 = 3, B 2 = 5. Теперь удобно записать уравнение прямой a вида (1.5): a : 3(x 7) 5(y + 2) или 3x 5y 31 = 0: : a: 3x 5y 31 = 0. Замечание. Если у одной из двух перпендикулярных прямых вектор нормали n 1 = (A; B), то у второй вектором нормали может служить вектор n 2 = (B; A). Задача 1.4. Найти точку M пересечения двух прямых a : 3x y + 1 = 0 и b : x + 2y = 0: Решение. Координаты точки пересечения должны удовлетворять уравнению прямой a и уравнению прямой b. Поэтому, следует решить систему уравнений: { { { 3x y + 1 = 0; x = 2y; x = 2=7; ( ) M : = = x + 2y = 0: 6y y + 1 = 0: y = 1=7: Задача 1.5. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку пересечения прямых c: 11x 13y + 6 = 0, b: 7x + 8y 15 = 0 и через начало координат. Решение. Будем искать прямую a как прямую из пучка, заданного прямыми c и b. Уравнение прямой a запишем в виде (1.8) a : (11x 13y + 6) + (7x + 8y 15) = 0: Так как начало координат O(0; 0) принадлежит прямой a, то координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению прямой a, отсюда следует 6 15 = 0; или = 5: 2 Пусть = 5, = 2. Подставим эти значения в уравнение пучка a : 5(11x 13y + 6) 2(7x + 8y 15) = 0; или a : 41x 81y = 0: : a: 41x 81y = 0.

7 1.1 Решение задач. 7 Задача 1.6. Найти тангенс угла между прямыми a: x + 2y 1 = 0 и b: 2x + 3y + 5 = 0: Решение. Найдем угловые коэффициенты прямых. Для этого перепишем уравнения прямых в виде (1.1) a : y = 1 2 x ; k a = 1 2 ; b : y = 2 3 x 5 3 ; k b = 2 3 : Воспользуемся формулой для нахождения тангенса угла между прямыми tg = k 2 k k 1 k 2 : tg = 1 + ( ( ) ( 2 3 ) 1 2 ) = = 1 8: : tg = 1=8. Замечание. В этой задаче мы воспользовались формулой для нахождения ориентированного угла между прямыми. Если ориентация угла не важна, то верным будет также ответ tg = 1=8. Задача 1.7. Найти расстояние от точки M 0 (5; 6) до прямой a: y = 5x 6. Решение. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки M 0 (x 0 ; y 0 ) до прямой a: Ax + By + C = 0 d(m 0 ; a) = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 : Запишем уравнение прямой a в общем виде a: 5x y 6 = 0. Тогда d(m 0 ; a) = = : : d(m 0 ; a) = Рассмотрим теперь решение более сложных типовых задач. Решение этих задач следует начинать с плана действий, в котором задача будет разбита на простейшие задачи это и есть самая важная часть решения.

8 1.1 Решение задач. 8 Задача 1.8. Даны координаты вершин треугольника A(1; 2), B(3; 2), C(4; 5). Составить уравнение высоты AD треугольника. План решения: 1) Найдем уравнение прямой BC по двум точкам, 2) Составим уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BC: A B D BC : или 7x y 23 = 0. x = y ; C AD : 1 (x 1) + 7 (y 2) = 0; или x + 7y 15 = 0. : AD: x + 7y 15 = 0. Задача 1.9. Даны две прямые a: x + 2y 1 = 0 и b: 3x y 3 = 0. Найти прямую c так, чтобы прямая b была биссектрисой угла между прямыми a и c. План решения: 1) Найдем точку M 0 пересечения прямых a и b, 2) Найдем угловые коэффициенты прямых a и b, 3) Воспользуемся равенством углов 1 и 2 : tg 1 = tg 2. Найдем k c. M 0 α 1 α 2 a b c 4) Составим уравнение прямой c вида (1.2) y y 0 = k c (x x 0 ). Решение. 1) M 0 : { x + 2y 1 = 0; 3x y 3 = 0: = { x = 1; y = 0: M 0 (1; 0). 2) a: y = 1 2 x + 1 2, k a = 1 2, b: y = 3x 3, k b = 3. 3) tg 1 = tg 2 = k b k c 1 + k b k a = k a k b 1 + k a k b =

9 1.1 Решение задач. 9 = 3 k c 1 + 3k c = 1= =2 = k c = ) c: y 0 = 2 (x 1) или 2x + 11y 2 = : c: 2x + 11y 2 = 0. Задача Найти точку M, симметричную точке M (2; 3) относительно прямой a: 2x + 3y 8 = 0. План решения: 1) Составим уравнение прямой MM, проходящей через точку M перпендикулярно прямой a, 2) Найдем точку O пересечения прямых a и MM, 3) Так как MO = OM, то воспользуемся формулами деления отрезка MM точкой O пополам. M O a M 1 Решение. 1) MM : 3(x 2) 2(y 3) = 0, или 3x 2y 12 = 0. { 2x + 3y 8 = 0; 2) O: = O(4; 0). 3x 2y 12 = 0: 3) x x 1 + x 2 0 =, y y 1 + y 2 0 = 2 2 : M (6; 3). = 4 = 2 + x 2, 0 = 3 + y Задача Найти расстояние между прямыми a : 3x 2y + 5 = 0 и b : 6x 4y 7 = 0: = x 2 = 6, y 2 = 3. Заметим, что так как коэффициенты при x, y в уравнениях прямой пропорциональны то прямые параллельны. 3 6 = 2 ; 4 Решение. Будем искать расстояние между параллельными прямыми как расстояние от точки M 0 на прямой a до прямой b. 1) Выберем произвольную точку M 0 на прямой a. Для этого зададим произвольно x 0, например, x 0 = 1, подставим в уравнение a и найдем y 0 : y 0 = 1, M 0 ( 1; 1). a b M 0 d

10 1.1 Решение задач. 10 2) Найдем d(m 0 ; b): d(m 0 ; b) = 6 ( 1) = = : : d(a; b) = Задача Треугольник ABC задан координатами вершин A(1; 2), B( 1; 4), C(3; 5). Найти площадь треугольника. План решения: 1) Найдем длину стороны AC. B 2) Найдем уравнение прямой AC. 3) Найдем длину высоты BD как расстояния от точки B до прямой AC. 4) Найдем площадь треугольника по формуле S = 1 A AC BD : 2 D C Решение. 1) AC = (3 1) 2 + (5 2) 2 = 13. 2) AC: x 1 y 3 1 = 2, или 3x 2y + 1 = ( 1) ) BD = d(b; AC) = = ) S = = 5 (кв. ед.). : S = 5. Задача Известны две вершины треугольника A(6; 5), B(10; 1) и точка H(8; 1) пересечения его высот. Найти координаты вершины C. План решения: A Будем искать точку C как точку пересечения двух прямых AC и BC. Для этого 1) Найдем вектор AH вектор нормали прямой BC. 2) Составим уравнение прямой BC вида (1.5). 3) Найдем вектор BH вектор нормали прямой AC. 4) Составим уравнение прямой AC вида (1.5). H B 5) Найдем точку C пересечения прямых BC и AC. C

11 1.1 Решение задач. 11 Решение. 1) AH = (8 6; 1 5) = (2; 4). 2) BC: 2(x 10) 4(y 1) = 0, или x 2y 8 = 0. 3) BH = (8 10; 1 1) = ( 2; 0). 4) AC: 2 (x 6) + 0 (y 5) = 0, или x 6 = 0. { x 2y 8 = 0; 5) C: : x 6 = 0: C(6; 1). = C(6; 1). Задача Дано уравнение одной из сторон квадрата 3x 4y + 1 = 0 и точка S(1; 1) пересечения его диагоналей. Составить уравнения остальных сторон. План решения: Пусть дано, например, уравнение стороны AB: 3x 4y + 1 = 0. 1) Найдем d(s; AB). B C 2) Составим общее уравнение стороны CD, учитывая, что CD AB и d(s; CD) = d(s; AB). 3) Составим общие уравнения сторон BC и AD, S учитывая, что они перпендикулярны прямой AB и d(s; BC) = d(s; AD) = d(s; AB). A D Решение. 1) d(s; AB) = ( 1) = ) CD: 3x 4y + C = 0, d(s; CD) = 8 5 = = ( 1) + C 5 = 8 5 = C + 7 = 8 = = C 1 = 1; C 2 = 15 = CD : 3x 4y 15 = 0 (при C 1 = 1 получим известную сторону AB). 3) BC: 4x + 3y + C = 0, d(s; BC) = 8 5 = ( 1) + C 5 = 8 5 = C + 1 = 8 = C 1 = 7; C 2 = 9 = : BC: 4x + 3y + 7 = 0, AD: 4x + 3y 9 = 0.

12 1.1 Решение задач. 12 Для следующих задач мы приведем планы решения разбивку на простейшие задачи, которые предлагаем решить самостоятельно. Задача Даны уравнения двух сторон параллелограмма x 2y + 1 = 0 и 3x + 5y 8 = 0 и точка пересечения его диагоналей M (1; 2). Составить уравнения двух других сторон. План решения: Заметим, что даны непараллельные стороны, например, B M C AB : x 2y + 1 = 0; BC : 3x + 5y 8 = 0: A D 1) Найдем точку B пересечения прямых AB и BC. 2) Найдем точку D, учитывая, что точка M середина отрезка BD. 3) Через точку D проведем прямую CD параллельно AB и прямую AD параллельно BC. : CD: x 2y + 5 = 0, AD: 3x + 5y 18 = 0. Задача Вершина треугольника находится в точке A( 2; 9), а биссектрисами двух его углов служат прямые 2x 3y + 18 = 0, y + 2 = 0. Составить уравнение стороны, противоположной вершине A. Заметим, что точка A не лежит на заданных прямых, т. к. ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих прямых. Пусть, например, CD : 2x 3y + 18 = 0; BE : y + 2 = 0: План решения: 1) Т. к. биссектриса угла является его осью A симметрии, то точка A, симметричная точке A относительно прямой CD лежит на прямой BC. Найдем точку A E. D 2) Аналогично, найдем A, симметричную точке A относительно прямой BE. Она также лежит на прямой BC. 3) Составим уравнение прямой BC по двум точкам A и A. C A A : BC: 4x y 5 = 0. B

13 1.1 Решение задач. 13 Задача Составить уравнения сторон квадрата ABCD, зная его центр S(1; 6) и по точке на двух непараллельных сторонах: M (4; 9) на стороне AB, N ( 5; 4) на стороне BC. B N C План решения: 1) Будем искать уравнение прямой AB в виде (1.2): S y y M = k(x x M ): M Ищем k. A D 2) Так как BC AB, то уравнение BC ищем также в виде (1.2): y y N = 1 k (x x N ): Тем самым уже обеспечено, что ABCD прямоугольник. 3) Так как S центр квадрата, то d(s; AB) = d(s; BC): Из этого условия найдем k. Так как в формуле для расстояния от точки до прямой содержится знак модуля, то получим два варианта решения. : A 1 B 1 : 3x + 5y 57 = 0, B 1 C 1 : 5x 3y + 37 = 0, C 1 D 1 : 3x + 5y 9 = 0, D 1 A 1 : 5x 3y 11 = 0; A 2 B 2 : 9x y 27 = 0, B 2 C 2 : x + 9y 31 = 0, C 2 D 2 : 9x y + 21 = 0, D 2 A 2 : x + 9y 79 = 0.

14 1.2 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 1.1. Зная уравнения двух сторон параллелограмма x 3y = 0 и 2x + 5y + 6 = 0 и одну из его вершин (4; 1), составить уравнение двух других сторон Даны две стороны треугольника x + 3y 1 = 0; 3x + 5y 6 = 0 и точка пересечения его высот (0; 0). Найти уравнение третьей стороны Найти проекцию точки ( 5; 6) на прямую 7x 13y 105 = Дано уравнение стороны ромба x + 3y 8 = 0 и уравнение его диагонали 2x+y +4 = 0. Составить уравнение остальных сторон, зная, что точка ( 9; 1) лежит на стороне, параллельной данной Найти расстояние между параллельными прямыми 12x 16y 480 и 3x 4y + 43 = 0: 1.6. Составить уравнение сторон квадрата ABCD, зная по точке на каждой из сторон: P (2; 1) на AB; Q(0; 1) на BC, R(3; 5) на CD, S( 3; 1) на DA.

15 2 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ) Кривые второго порядка (элементарная теория) Приведем основные факты, необходимые для решения задач. 2.1 Эллипс Каноническое уравнение эллипса x 2 a + y2 = 1 (a > b); (2.1) 2 b2 y c 2 = a 2 b 2 ; b F 1 ( c; 0), F 2 (c; 0) фокусы эл- F 2 O c F 1 a x липса; " c = a эксцентриситет; x = a/ε x = a/ε x = ± a " директрисы; условие касания эллипса и прямой Ax + By + C = 0 A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2 ; уравнение касательной с известной точкой (x 0 ; y 0 ) касания xx yy 0 a + 0 = 1: 2 b Гипербола Каноническое уравнение гиперболы x 2 a y2 = 1: (2.2) 2 b2 y c 2 = a 2 + b 2, F 1 ( c; 0), F 2 (c; 0) b фокусы гиперболы; F 2 O a c F 1 x " c = a эксцентриситет; x = ± a " директрисы; x= a/ε x=a/ε y = ± b a x асимптоты.

16 2.3 Парабола. 16 условие касания гиперболы и прямой Ax + By + C = 0 A 2 a 2 B 2 b 2 = C 2 ; уравнение касательной с известной точкой (x 0 ; y 0 ) касания 2.3 Парабола Каноническое уравнение параболы xx 0 a 2 yy 0 b 2 = 1: y 2 = 2px (p > 0); y ( p ) F 2 ; 0 фокус; x = p 2 директриса; O x=p/2 F x x= p/2 Условие касания параболы и прямой Ax + By + C = 0; pb 2 = 2AC: Уравнение касательной с известной точкой (x 0 ; y 0 ) касания yy 0 = p(x + x 0 ):

17 2.4 Решение задач Решение задач Задача 2.1. Найти фокусы, эксцентриситет, директрисы эллипса x y2 16 = 1: Решение. a = 5, b = 4, c = = 3. Фокусы F 1 ( 3; 0), F 2 (3; 0), эксцентриситет " = c=a, или " = 3=5 (заметим, что эксцентриситет эллипса " < 1). Директрисы x = ±a=", или x = ±5=3. Задача 2.2. Найти фокусы, эксцентриситет, директрисы эллипса x2 9 + y2 25 = 1. Решение. Заметим, прежде всего, что a = 3, b = 5 и b > a. Следовательно большая ось эллипса лежит на оси Oy (обратите внимание на чертеж). Поэтому фокусы расположены на оси Oy. c = 25 9 = 4, F 1 (0; 4); F 2 (0; 4); y O F 2 F 1 y= b ε x " = c=b, или " = 4=5. y= b ε Директрисы параллельны малой оси эллипа, т. е. в этом случае они параллельны оси Oy y = ±b=", или y = ±5=4. Задача 2.3. Составить каноническое уравнение эллипса, зная его фокус (2; 0) и эксцентриситет " = 1=2. Решение. Фактически нужно найти полуоси a и b эллипса. Воспользуемся определениями фокусов и эксцентриситета: F 2 (c; 0); или F 2 (2; 0) = c = 2; " = c a ; или " = 1 2 Учтем, кроме того, связь a, b, c: = c a = 1 2 = a = 4: c 2 = a 2 b 2 = b 2 = 16 4 = 12: : x y2 12 = 1.

18 2.4 Решение задач. 18 Задача 2.4. Составить уравнения касательных к эллипсу x2 6 + y2 4 прямой `: 3x 2y + 5 = 0. = 1, параллельных Решение. Уравнения прямых, параллельных `, имеют вид 3x 2y +C = 0. Потребуем выполнение условия касания A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2 = = C 2 = C = ± 70: : Две касательные: 3x 2y + 70 = 0 и 3x 2y 70 = 0. Задача 2.5. Составить уравнения касательных к эллипсу x 2 + 2y 2 = 8, проходящих через точку M (2; 2). Решение. Проверим, лежит ли точка M на эллипсе: ( 2) 2 = 8 это верное равенство, значит точка M лежит на эллипсе, т. е. является точкой касания. В этом случае через точку M проходит единственная касательная и можно записать уравнение касательной с известной точкой касания: xx yy 0 a + 0 = 1: 2 b 2 Сначала уравнение эллипса перепишем в виде x2 8 + y2 4 = 1, тогда 2x 2y 8 + = 1 4 уравнение касательной. x 2y : 4 + = 1. 4 Задача 2.6. Составить уравнения касательных к эллипсу x2 8 + y2 4 через точку M (0; 6). = 1, проходящих Решение. Проверим, лежит ли точка M на эллипсе: , следовательно точка M не лежит на эллипсе. В этом случае есть две касательные, проходящие через точку M. Будем искать уравнение касательной в виде y y 0 = k(x x 0 ), или y 6 = kx эта прямая должна касаться эллипса. Потребуем выполнение условие касания A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2, или k = 36; k 2 = 4; k = ±2: : 2x y + 6 = 0, 2x y + 6 = 0. y O M x

19 2.4 Решение задач. 19 Задача 2.7. Найти фокусы, эксцентриситет, директрисы, асимптоты гиперболы x 2 16 y2 9 = 1: Решение. Из уравнения гиперболы находим a = 4, b = 3. F 1 ( c; 0), F 2 (c; 0), c = = 5, следовательно, фокусы: F 1 ( 5; 0), F 2 (5; 0). Эксцентриситет по определению " = c=a, или " = 5=4 (заметим, что для гиперболы " > 1). Директрисы: x = ± a ", или x = ±16 5. Асимптоты: y = ± b a x, или y = ±3 4 x. Задача 2.8. Составить уравнение гиперболы с асимптотами y = ±x и директрисами x = ± 6. Решение. Из определения асимптот y = ± b a x и директрис x = ±a " следует, что в данной задаче b a = 1, a " = 6, или { a = b; a 2 = 6c: Так как c 2 = a 2 + b 2, то получим систему уравнений a = b; a 2 = 6c; c 2 = a 2 + b 2 : = c 2 = 2 6c; a 2 = 6c; a = b: Учитывая, что c 0, находим { c 2 = 2 6; a 2 = b 2 = 12: : Уравнение гиперболы x y2 12 = 1. = 1, перпенди- Задача 2.9. Составить уравнения касательных к гиперболе x2 y2 9 4 кулярных прямой x + 2y = 0. Решение. Уравнения всех прямых, перпендикулярных прямой x + 2y = 0, имеют вид 2x y + C = 0. Потребуем выполнение условия касания A 2 a 2 B 2 b 2 = C 2, или = C 2 ; C 2 = 32; C = ±4 2: : 2x y = 0, 2x y 4 2 = 0.

20 2.4 Решение задач. 20 Задача Найти фокус и директрису параболы y 2 = 32x. Решение. Из определения фокуса и директрисы ( p ) F 2 ; 0 ; x = p 2 следует, что для данной параболы фокус F (8; 0) (обратите внимание, что p = 16), директриса x = 8. Задача Найти фокус и директрису параболы x 2 = 16y. Решение. Обратите внимания на чертеж. По определению фокус параболы в этом случае y F (0; p=2) ; директриса y = p=2, или F (0; 4); (p = 8); y = 4: F x Задача Составить уравнения касательных к параболе y 2 = 24x, проходящих через точку M ( 2; 4). Решение. Проверим, лежит ли точка M на параболе: ( 2), следовательно точка M не является точкой касания. Будем искать уравнение касательной в виде y 4 = k(x + 2) или kx y + 2k + 4 = 0. Потребуем выполнения условия касания pb 2 = 2AC, или 12 = 2 k (2k + 4); k 2 + 2k 3 = 0; k 1 = 3; k 2 = 1: : 3x + y + 2 = 0, x y + 6 = 0.

21 2.5 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 2.1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b = На эллипсе 9x y 2 = 225 найти точку, расстояние которой от правого фокуса (r 1 ) в четыре раза больше ее расстояния от левого фокуса (r 2 ) Указание. Воспользоваться формулами для фокальных радиус-векторов r 1 = a + "x, r 2 = a "x Составить уравнения касательных к эллипсу x 2 + 4y 2 = 20, перпендикулярных биссектрисе первого координатного угла Найдите фокусы, эксцентриситет, директрисы и асимптоты гиперболы x 2 9 y2 16 = 1: Указание. Обратите внимание на знак правой части уравнения гиперболы и сделайте чертеж Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что вещественная полуось a = 2 5, а эксцентриситет " = 1; Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с вещественной осью угол Составить уравнения касательных к гиперболе x2 y2 2 6 прямой 5x 2y + 1 = Найти фокус и директрису параболы x 2 4y = 0. = 1, параллельных 2.9. На параболе y 2 = 6x найти точку, расстояние которой от фокуса равно 4; Составить уравнение касательной к параболе y 2 прямой x + y 5 = 0. = 8x, параллельной

22 3 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА Общие уравнения кривых второго порядка В этом разделе приведены решения задач двух основных типов: 1) составить общее уравнение кривой по заданным геометрическим условиям. 2) по общему уравнению кривой определить тип кривой и ее размеры (приведение общего уравнения кривой к каноническому виду). Заметим, прежде всего, что уравнение кривой 2-го порядка имеет канонический вид, если система декартовых прямоугольных координат выбрана специальным образом, например, для эллипса: начало координат совпадает с центром эллипса, а оси координат служат осями симметрии эллипса (такое расположение кривой назовем каноническим). В любой другой системе координат уравнение кривой имеет, так называемый, общий вид: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0: Для составления общих уравнений кривых используют их геометрические свойства, которые полностью определяют кривые и могут быть приняты за определения кривых. 3.1 Эллипс Определение 1. Эллипсом называют множество точек плоскости, для каждой из которых сумма её расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, большая расстояния между фиксированными точками (фиксированные точки называют фокусами эллипса): MF 1 + MF 2 = 2a; где M (x; y) произвольная точка эллипса, 2a большая ось эллипса. y b M F 2 O F 1 a x

23 3.2 Гипербола. 23 Определение 2. Эллипсом называют множество точек плоскости, для каждой из которых отношение её расстояния от фиксированной точки (фокус) к её расстоянию до фиксированной прямой (директриса, ближайшая к данному фокусу) есть величина постоянная, меньшая единицы (эксцентриситет эллипса): MF d(m; дир.) = ": 3.2 Гипербола Определение 3. Гиперболой называют множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности её расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, меньшая расстояния между фиксированными точками (фиксированные точки называют фокусами гиперболы): MF 1 MF 2 = 2a; где M (x; y) произвольная точка гиперболы, 2a вещественная ось гиперболы. y M F 2 O a F1 x Определение 4. Гиперболой называют множество точек плоскости, для каждой из которых отношение её расстояния от фиксированной точки (фокус) к её расстоянию до фиксированной прямой (директриса, ближайшая к данному фокусу) есть величина постоянная, большая единицы (эксцентриситет гиперболы): MF d(m; дир.) = ":

24 3.3 Парабола Парабола Определение 5. Параболой называют множество точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки (фокус) и от фиксированной прямой (директриса): MF d(m; дир.) = 1: y M x= p F x= p 2 x 3.4 Решение задач Задача 3.1. Найти уравнение эллипса с фокусами F 1 (1; 0), F 2 (0; 1), если большая ось его равна 2a = 2. Решение. Как видно из чертежа, расположение эллипса не является каноническим. Воспользуемся определением эллипса: для любой точки M (x; y) эллипса MF 1 + MF 2 = 2a. Запишем это равенство в координатах: (x 1) 2 + y 2 + x 2 + (y 1) 2 = 2: Далее упростим это уравнение стандартным образом: (x 1) 2 + y 2 = 2 x 2 + (y 1) 2 ; y 1 O 1 x x 2 2x y 2 = 4 4 x 2 + (y 1) 2 + x 2 + y 2 2y + 1;

25 3.4 Решение задач x 2 + (y 1) 2 = 2 + x y; 4x 2 + 4y 2 8y + 4 = 4 + x 2 + y 2 + 4x 4y 2xy: : 3x 2 + 2xy + 3y 2 4x 4y = 0 общее уравнение эллипса. Задача 3.2. Составить уравнение гиперболы, один из фокусов которой F (1; 1), соответствующая ему директриса `: x + y 1 = 0 и эксцентриситет " = 2. Решение. Как следует из условия, расположение гиперболы не является каноническим. Воспользуемся теоремой: для любой точки M (x; y) гиперболы MF = ". Запишем это равенство в координатах: d(m; `) (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2: x + y 1 2 Далее упростим это уравнение: (x 1) 2 + y 2 = x + y 1 ; x 2 2x y 2 2y + 1 = x 2 + y xy 2x 2y: : 2xy 1 = 0 общее уравнение гиперболы. Задача 3.3. Составить уравнение параболы с фокусом F (2; 3) и директрисой ` : x 2y + 1 = 0: Решение. Как следует из условия, расположение параболы не является каноническим. Воспользуемся определением параболы: для любой точки M (x; y) параболы MF = d(m; `): Запишем это равенство в координатах: (x 2) 2 + (y 3) 2 = x 2y : Далее упростим уравнение: 5(x 2 4x y 2 6y + 9) = x 2 + 4y xy + 2x 4y: : 4x 2 + 4xy + y 2 22x 26y + 64 = 0 общее уравнение параболы.

26 3.4 Решение задач. 26 Рассмотрим теперь решения задач на определение типа кривой по ее общему уравнению. Одним из методов решения таких задач является метод перехода к новой системе координат, в которой кривая расположена канонически. Как известно, перейти к новой системе координат можно в два этапа: совершить поворот осей координат и затем выполнить параллельный перенос. Известно, что всегда можно найти такой угол, при повороте на который осей координат в новом уравнении кривой исчезнет слагаемое с произведением переменных. Задача 3.4. Определить тип линии и ее размеры по общему уравнению 5x 2 + 4xy + 8y 2 32x 56y + 80 = 0: (3.1) Решение. 1) Перейдем к новой системе координат, совершив поворот осей на угол : { x = x cos y sin ; y = x sin + y cos : Подставим эти выражения x, y в уравнение кривой, раскроем скобки, выпишем коэффициент при произведении x y и потребуем, чтобы он обратился в ноль: 5 ( 2 cos sin ) + 4 (cos 2 sin 2 ) sin cos = 0; получим уравнение для отыскания угла поворота осей, решим его: 4 sin 2 6 sin cos 4 cos 2 = 0; 2 tg 2 3 tg 2 = 0; tg 1;2 = 3 ± 25 ; 4 tg 1 = 2; tg 2 = 1 2 : Выберем, например, tg 1 = 2. Найдем cos 1 = 1 = 1 ; sin 1 = 1 + tg tg 1 = 2 : 1 + tg Запишем формулы поворота осей: x = x 2y 5 ; y = 2x + y 5 :

27 3.4 Решение задач. 27 Подставим эти выражения x, y в уравнение (3.1), раскроем скобки приведем подобные члены, при этом коэффициент при произведении x y обращается в ноль: ( ) ( ( ) ) x y ) ( ) ) + x ( y ( = 0; или 9x 2 + 4y x y + 80 = 0: (3.2) 2) Теперь будем искать параллельный перенос, который приведет уравнение кривой к каноническому виду. Для этого можно применить прием «дополнение до полных квадратов»: сгруппируем слагаемые, содержащие x, и слагаемые, содержащие y, в уравнении (3.2) вынося при этом коэффициент при квадратах x, y за скобки 9 ( ) ( ) x 2 16 x + 4 y y + 80 = 0: 5 Дополним слагаемые в каждой скобке до полных квадратов: ( ) ( ) 9 x 2 16 x y y = 0; 5 5 ( ) 9 x 8 2 ( ) + 4 y = 36: (3.3) 5 5 Рассмотрим параллельный перенос осей по формулам x = x 8 ; 5 y = y : или В новой системе координат уравнение (3.3) примет вид 9x 2 + 4y 2 = 36; x y 2 9 = 1: Итак, заданная кривая есть эллипс с полуосями a = 2, b = 3.

28 3.4 Решение задач. 28 Задача 3.5. Определить тип линии и ее размеры по общему уравнению x 2 4xy + 4y 2 + 4x 3y 7 = 0: (3.4) Решение. 1) { x = x cos y sin ; y = x sin + y cos : Подставим эти выражения x, y в уравнение, найдем коэффициент при x y и приравняем его к нулю: 2 cos sin 4(cos 2 sin 2 ) sin cos = 0; 2 sin sin cos 2 cos 2 = 0; 2 tg tg 2 = 0; tg 1;2 = 3 ± 25 4 = 3 ± 5 ; 4 tg 1 = 1 2 ; tg 2 = 2: Выберем, например, tg 1 = 1 2. Находим cos 1 = 2 5 ; sin 1 = 1 5 : Запишем формулы найденного поворота осей координат x = 2x y 5 ; y = x + 2y 5 : Подставим эти выражения x, y в уравнение (3.4), раскроем скобки и приведем подобные слагаемые ( ) x x ( ) 1 + y (4 5 ( ( ) + y ( 1 5 ) 3 ) ) 7 = 0; или 5y 2 + 5x 2 5y 7 = 0: (3.5) 2) Будем искать параллельный перенос осей. Из уравнения (3.5) уже видно, что речь идет о кривой параболического типа. Сначала дополним до полного квадрата слагаемые с переменной y : ( ) 5 y y x 7 = 0;

29 3.4 Решение задач. 29 или 5 ( y ) 2 = 5x + 8: Теперь вынесем за скобку справа коэффициент при x : ( ) 5 y = ( ) 5 x 8 : (3.6) 5 5 Совершим параллельный перенос по формулам x = x 8 5 ; y = y : В новой системе координат уравнение (3.6) привет вид 5y 2 = 5x или y 2 = 1 5 x : Итак, заданная кривая есть парабола с параметром p =

30 3.5 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 3.1. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет " = 1=2, фокус F (3; 0) и соответствующая директриса x + y 1 = Составить уравнение эллипса с фокусами F 1 (1; 3), F 2 (3; 1), если расстояние между директрисами равно Составить уравнение гиперболы, зная расстояние между вершинами 24 и фокусы F 1 ( 10; 2), F 2 (16; 2) Составить уравнение гиперболы, зная один из фокусов ( 2; 2), соответствующую директрису 2x y 1 = 0 и точку M (1; 2) на гиперболе Составить уравнение параболы с фокусом F (2; 1) и директрисой x y 1 = Привести уравнение кривой к каноническому виду, используя преобразование координат: а) 3x xy + 3y 2 2x 14y 13 = 0. б) 25x 2 14xy + 25y x 64y 224 = 0. в) 9x xy + 4y 2 24x 16y + 3 = 0. г) 9x 2 24xy + 16y 2 20x + 110y 50 = 0.

31 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Векторная алгебра В этом разделе приведены решения простейших задач векторной алгебры в координатной форме: умножение вектора на число, сложение (вычитание) векторов; скалярное, векторное произведение векторов; смешанное произведение трех векторов. Основная цель этих задач подготовить аппарат, который успешно используется при решении задач на тему «прямая и плоскость в пространстве». Предполагается, что во всех задачах координаты векторов заданы в ортонормированном базисе. Задача 4.1. Найти единичный вектор, сонаправленный с вектором a = (2; 1; 3): Эта операция называется нормированием вектора a и часто используется при решении более сложных задач. Решение. Обозначим искомый вектор a. Найдем длину вектора a: a = a 21 + a22 + a23 = 14: Умножим вектор a на число 1= a, получим вектор единичной длины: a = a ( ) 2 a = ; 1 3 ; : Задача 4.2. Даны векторы a = (2; 3; 1), b = (4; 0; 5). Найти единичный вектор l, противоположно направленный с вектором c = 3a 2b. Решение. Найдем координаты вектора c: c = 3 (2; 3; 1) 2 (4; 0; 5) = (6 8; 9 0; 3 10) = ( 2; 9; 13): Пронормируем вектор c: Тогда l = c = c = ( ; c c = ; ( c 2 = ; ). ) 9 ; 13 :

32 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. 32 Задача 4.3. Найти угол между векторами a = (2; 1; 5) и b = ( 3; 2; 1). Решение. Воспользуемся формулой a a a2 3 b b2 2 + b2 3 (a; b) a cos(â; b) = a b = 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = = = 1 = 1 : : = arccos Задача 4.4. Найти проекцию вектора a = (3; 2; 5) на ось, заданную вектором u = (2; 1; 2): Решение. Воспользуемся формулой Пронормируем вектор u: u = пр. u a = (a; u ): u u = u ( 2 3 = пр. u a = (a; u ) = ; 1 3 ; 2 3 ( ) 1 3 ) : = 14 3 : Задача 4.5. Найти координаты векторного произведения векторов a = (8; 3; 1) и b = (2; 4; 7): Решение. Будем искать векторное произведение «в форме определителя третьего порядка» (i, j, k это векторы ортонормированного базиса): i j k [a b] = = i(21 + 4) j(56 2) + k( 32 6) = = 25i 54j 38k = (25; 54; 38):

33 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. 33 Задача 4.6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = (3; 1; 1) и b = (4; 2; 3): Решение. Воспользуемся геометрическим смыслом длины векторного произведения: [a b] площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Найдем координаты [a b]: i j k [a b] = = i(3 2) j( 9 4) + k(6 + 4) = = i + 13j + 10k = (1; 13; 10): S = [a b] = = 270 (кв. ед.): Задача 4.7. Найти смешанное произведение векторов a = (2; 1; 3); b = (3; 2; 1); c = ( 1; 0; 4): Решение. Воспользуемся правилом нахождения смешанного произведения в координатах: a 1 a 2 a 3 (a; b; c) = b 1 b 2 b 3 = c 1 c 2 c = = 2(8 0) + 1(12 + 1) + 3(0 + 2) = = 35: Задача 4.8. Проверить, являются ли векторы a = (3; 1; 2); b = (6; 4; 1); c = (0; 6; 3) компланарными. Решение. Воспользуемся критерием компланарности векторов: (a; b; c) = 0 векторы компланарны (a; b; c) = = 3(12 + 6) + 1(18 0) + 2( 36 0) = = = 0 = векторы компланарны.

34 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. 34 Задача 4.9. Найти объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если A(1; 0; 1); B(2; 1; 3); D(3; 2; 4); A 1 (2; 2; 2): Решение. Воспользуемся геометрическим смыслом смешанного произведения: (AB; AD; AA 1 ) = V объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AD, AA 1. Найдем координаты этих векторов: AB = (2 1; 1 0; 3 1) = (1; 1; 2); A 1 B 1 C 1 D 1 AD = (3 1; 2 0; 1 + 4) = (2; 2; 5); AA 1 = (2 1; 2 0; 2 1) = (1; 2; 1): A B D C V = mod = 1(2 10) 1(4 2) + 2(4 2) = = = 6 (куб. ед.)

35 4.1 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 4.1. Пронормировать вектор a = ( 2; 2; 1) Найти вектор c = 3a 4b, если a = (1; 2; 1), b = (2; 1; 3) Проверить, являются ли векторы a = (2; 3; 7) и b = (1; 3; 1) ортогональными Найти высоты параллелограмма, построенного на векторах a = (8; 4; 1); b = (3; 2; 6): 4.5. Проверить, компланарны ли векторы a = (2; 1; 5); b = (1; 0; 3); c = (7; 2; 3): 4.6. Найти высоты параллелепипеда, построенного на векторах a = (1; 2; 1); b = (3; 1; 0); c = ( 1; 2; 4): 4.7. Доказать, что четыре точки A(1; 2; 1), B(0; 1; 5), C( 1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости Даны вершины треугольника A(1; 1; 2), B(5; 6; 2), C(1; 3; 1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.

36 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Прямая и плоскость в пространстве В начале этого раздела приведем основные виды уравнений прямых и плоскостей в пространстве. Общее уравнение плоскости, n = (A; B; C) вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости): Ax + By + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 0: (5.1) Общее уравнение плоскости с известной точкой (x 0 ; y 0 ; z 0 ): A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0: (5.2) Уравнение пучка плоскостей: (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0; : (5.3) Параметрические уравнения прямой, u = (`; m; n) направляющий вектор прямой: x = x 0 + `t; y = y 0 + mt; z = z 0 + nt; Канонические уравнения прямой: `2 + m 2 + n 2 0: (5.4) x x 0 ` = y y 0 m = z z 0 n : (5.5) Прямая задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей: { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0; A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0: (5.6) Расстояние d от точки M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2 : Приведем, прежде всего, решение простейших задач на эту тему. Решение более сложных задач, как правило, можно разбить на последовательность простейших задач.

37 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 37 Задача 5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 1; 2; 3) параллельно плоскости : 5x 7y + z 4 = 0. Решение. Заметим, что т. к., то можно считать, что вектор нормали n = (5; 7; 1) является вектором нормали и плоскости. Далее воспользуемся уравнением (5.2): : 5(x + 1) 7(y 2) + (z 3) = 0; или : : 5x 7y + z + 16 = 0. Задача 5.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M 1 (2; 1; 0), M 2 (3; 1; 4), M 3 ( 3; 2; 5). Решение. Заметим, что векторы M 1 M 2, M 1 M 3 лежат в плоскости. По определению их векторное произведение перпендикулярно плоскости, поэтому можно считать i j k n = [M 1 M 2 M 1 M 3 ] = = ( 4; 25; 1): α n M 3 M 1 M 2 Далее составим уравнение вида (5.2), выбрав в качестве известной, например, точку M 1 : : 4(x 2) 25(y 1) + z = 0: : : 4x + 25y z + 33 = 0. Задача 5.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (2; 1; 3) и через линию пересечения плоскостей : x + y z = 0 и : 2x + y + z 1 = 0. Решение. Заметим, что в тех задачах, где требуется найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух заданных плоскостей, удобнее воспользоват ься уравнением пучка плоскостей (5.3): : (x + y z) + (2x + y + z 1) = 0: Подставим в это уравнение вместо переменных координаты точки M 0, потребовав тем самым, чтобы точка M 0 лежала в плоскости : (2 1 3) + ( ) = 0;

38 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 38 или = 0; = 5 2 : Пусть, например, = 5, = 2. Эти значения, подставляем в уравнение плоскости. : : 9x + 7y 3z 2 = 0. Задача 5.4. Найти параметрические уравнения прямой { x 3y + 6 = 0; a : 2x + y z = 0: Решение. Заметим, что из условия мы видим векторы нормалей плоскостей n 1 = (1; 3; 0); n 2 = (2; 1; 1): Их векторное произведение есть вектор, перпендикулярный к ним, т. е. параллельный прямой a, поэтому является направляющим вектором искомой прямой. u = [n 1 n 2 ] = i j k = (3; 1; 7): u n 1 n 2 Найдем какую-нибудь точку M 0 на прямой a, т. е. любое решение системы { x 3y + 6 = 0; 2x + y z = 0: α a M 0 β Пусть, например, x 0 = 0, тогда y 0 = 2, z 0 = 2. Составим параметрические уравнения прямой a. x = 3t; : a: y = 2 + t; z = 2 + 7t:

39 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 39 Задача 5.5. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (5; 2; 3) перпендикулярно плоскости : 3x y + 2z 1 = 0. Решение. Заметим, что вектор нормали плоскости n = (3; 1; 2) a n можно принять за направляющий вектор прямой, поэтому можно сразу записать или параметрические, или канонические уравнения прямой. : : x 5 3 = y 2 1 = z 3 2. α Задача 5.6. Найти точку M пересечения прямой a: x 1 2 = y 3 = z и плоскости : x + 2y z + 5 = 0. Решение. Запишем параметрические уравнения прямой x = 1 + 2t; y = 3t; z = 1 + t: Так как точка пересечения лежит одновременно в плоскости и на прямой, то ее координаты одновременно удовлетворяют уравнениям прямой и уравнению плоскости. Поэтому следует решить систему уравнений: x = 1 + 2t y = 3t : z = 1 + t x + 2y z + 5 = 0 Подставим в последнее уравнение выражения x, y, z и найдем t: 1 + 2t + 2 3t ( 1 + t) + 5 = 0; 7t + 7 = 0; t = 1: Теперь находим x = 1 2 = 1, y = 3, z = 1 1 = 2. : M ( 1; 3; 2).

40 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 40 Задача 5.7. Найти угол между прямой a: x 1 1 = y = z 2 и плоскостью : 2x y + 3z 1 = 0. Решение. Заметим, что cos( n; u) = cos(90 ') = sin ': Из условия видим Поэтому sin ' = n = (2; 1; 3); u = (1; 1; 2): (n; u) n u = = : n u ϕ : ' = arcsin Рассмотрим теперь несколько типовых задач на установление взаимного расположения прямых и плоскостей. Задача 5.8. Установить взаимное расположение двух прямых a : x = 1 + 4t; y = t; z = 3 + 2t; b : x = 1 + 2t; y = 1; z = 2 + t: Решение. Покажем, какие возможны ситуации u 1 u 2 u 1 u 1 u 1 u 2 a u 2 u 2 b a b a совпадает с b a и b пересекаются a и b скрещиваются Из уравнений прямых видим u 1 = (4; 1; 2), u 2 = (2; 0; 1). Векторы не параллельны, значит прямые или пересекаются, или скрещиваются. Проверить пересекаются ли прямые можно двумя способами.

41 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 41 Способ 1. Если прямые пересекаются, то векторы u 1, u 2, M 1 M 2 (M 1 и M 2 точки на прямой a и на прямой b) лежат в одной плоскости (компланарны). Найдем смешанное произведение этих векторов, выбрав M 1 (1; 0; 3), M 2 ( 1; 1; 2): (u 1 ; u 2 ; M 1 M 2 ) = = 0; следовательно векторы компланарны, т. е. прямые пересекаются. Способ 2. Если прямые пересекаются, то у них есть общая точка, координаты которой могут быть найдены из уравнений прямой a при каком-то значении t 1 параметра и из уравнений прямой b при каком-то значении t 2 параметра. Выясним, есть ли такие значения t 1, t 2, при которых 1 + 4t 1 = 1 + 2t 2 ; t 1 = 1; 3 + 2t 1 = 2 + t 2 : Решим любые два из этих уравнений и подставим найденные t 1, t 2 в третье уравнение. Если получим верное равенство, то будет найдено решение t 1, t 2 системы. t 1 = 1; t 2 = 1; 3 2 = 2 1 верно, значит есть точка пересечения. Ее координаты можно найти, подставив t 1 в уравнение прямой a, или подставив t 2 в уравнение прямой b. В нашем случае точка пересечения M ( 3; 1; 1). Замечание. Способ 2 дает возможность не только проверить пересекаются ли прямые, но и найти точку пересечения. Задача 5.9. Установить взаимное расположение прямых a : x = 1 + t; y = 2 t; z = 3t; b : x = 2t; y = 1 2t; z = 3 + 6t: Решение. Находим u 1 = (1; 1; 3), u 2 = (2; 2; 6). Так как u 1 u 2, то прямые или параллельны, или совпадают. В последнем случае любая точка прямой a лежит и на

42 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 42 прямой b. Возьмем точку M ( 1; 2; 0) на прямой a. Подставим ее координаты в уравнение прямой b. Так как получаем одно и то же значение t = 1=2, то точка M лежит и на прямой b. : Прямые совпадают. Задача Установить взаимное расположение прямой и плоскости : 3x + 2y 3z + 1 = 0. x 1 2 = y = z 4 Решение. Покажем, какие возможны ситуации. a u n a n u α a M α α M a α a α a α = M Из условия видим u = (2; 3; 4), n = (3; 2; 3). Если a или a, то эти векторы перпендикулярны. Проверим это. (u; n) = = 0 = векторы перпендикулярны. Если a, то любая точка прямой лежит и в плоскости. Возьмем, например, точку M (1; 2; 0). Подставим ее координаты в уравнение плоскости ( 2) + 1 = 0 = M : : Прямая лежит в плоскости. Теперь приведем решения типовых задач на отыскание расстояний между точками, прямыми, плоскостями. Задача Найти расстояние от точки M 0 (2; 3; 5) до плоскости : 2x y 2z 3 = 0: Решение. Для решения этой задачи воспользуемся известной формулой d(m 0 ; ) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2 ;

43 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 43 или : d(m 0 ; ) = 2. d(m 0 ; ) = = 6 3 : Задача Найти расстояние от точки M 0 (1; 2; 3) до прямой a: x 1 2 = y 2 1 = z : Решение. Для решения этой задачи есть два способа. Способ 1. Выберем любую точку N на прямой a, например, N (1; 2; 5). Построим параллелограмм на векторах NM 0 и u = (2; 1; 3). Тогда высота h и является искомым расстоянием d(m 0 ; a). Высоту h найдем, из формулы для площади параллелограмма S = h u, а площадь параллелограмма найдем как длину векторного произведения S = [NM 0 u]. [NM 0 u] = i j k = ( 4; 16; 8); a N M 0 h u S = [NM 0 u] = d(m 0 ; a) = h = = 4 21; 4 21 = 4 3 = 2 6: Способ 2. Построим плоскость, проходящую через точку M 0, перпендикулярно прямой a: : 2(x 1) (y + 2) + 3(z 3) = 0; : 2x y + 3z 13 = 0: u=n Найдем точку пересечения плоскости и прямой a: ( )P : x = 1 + 2t; y = 2 t; z = 5 + 3t; 2x y + 3z 13 = 0; P a M 0 α

44 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 44 2(1 + 2t) (2 t) + 3( 5 + 3t) 13 = 0; 14t 28 = 0; t = 2; тогда точка P (5; 0; 1). Так как P M 0 a, то d(m 0 ; a) = P M 0 = (1 5) 2 + ( 2 0) 2 + (3 1) 2 = 2 6: : d(m 0 ; ) = 2 6. Задача Найти расстояние между параллельными плоскостями : x 2y + 2z 1 = 0 и : 2x 4y + 4z + 3 = 0: Решение. Выберем любую точку M 0, например, в плоскости. Пусть M 0 (1; 0; 0). Найдем d(m 0 ; ) = d(; ). d(m 0 ; ) = = 5 6 : M 0 α β Задача Найти расстояние между скрещивающимися прямыми a : x 1 2 = y 3 = z и b : x = y 1 2 = z : Решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми это длина отрезка их общего перпендикуляра. Однако искать общий перпендикуляр не обязательно. Сведем эту задачу к отысканию расстоя- u 1 ния от точки M 0 a до плоскости, которую a проведем через прямую b параллельно прямой a (см. чертеж). Так как векторное произведение направляющих векторов прямых a и b перпендикулярно к u 1, u 2, то [u 1 u 2 ] и поэтому b u 2 k α M 0 n n = [u 1 u 2 ] = i j k = ( 4; 3; 1):

45 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 45 Проведем плоскость через любую точку K прямой b с найденным вектором нормали n = ( 4; 3; 1). Пусть, например, K( 2; 1; 3). : 4(x + 2) + 3(y 1) + (z + 3) = 0; : 4x + 3y + z 8 = 0: Выберем точку M 0 (1; 0; 2) на прямой a. d(a; b) = d(m 0 ; ) = = : : d(a; b) = Рассмотрим теперь более сложные типовые задачи. Задача Найти точку, симметричную точке M (3; 1; 1) относительно плоскости : 3x + y + z 20 = 0. План решения: 1) Проведем через точку M прямую MO, M n выбрав для нее направляющий вектор u = n. 2) Найдем точку O пересечения плоскости и прямой MO. O 3) Воспользуемся формулами деления отрезка MM точкой O пополам. (Вычисление проделайте самостоятельно) M : M (9; 3; 1). Задача Найти точку, симметричную точке M (1; 2; 8) относительно прямой a : x 1 2 = y 1 = z 1 : План решения: 1) Построим плоскость, проходящую че- a u рез точку M перпендикулярно a, n = u. 2) Найдем точку O = a. 3) Найдем M из формул деления отрезка MM пополам точкой O. M O M α : M (5; 4; 6).

46 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 46 Задача Найти проекцию прямой a: x 3 5 = y : 2x 2y + 3z 5 = 0: = z 4 1 на плоскость Решение. Заметим, что в задачах на составление уравнения прямой сначала следует определиться, в каком виде искать прямую: как линию пересечения двух плоскостей, или искать параметрические (канонические) уравнения прямой. В данной задаче искомая проекция a пр есть прямая, по которой пересекается плоскость с плоскость, проходящей через прямую a перпендикулярно. Поэтому искать будем a пр как линию пересечения и. Проведем плоскость через прямую a. Канонические уравнения прямой a можно записать в виде системы или a : a : x 3 y = + 1 ; 5 1 x 3 z = 4 ; 5 1 { x 5y 8 = 0; x 5z + 17 = 0: Фактически a оказывается линией пересечения двух плоскостей. Поэтому плоскость удобно искать как плоскость из пучка : (x 5y 8) + (x 5z + 17) = 0: Так как, то n n = (n ; n ) = 0, или Пусть = 13, = 12, тогда 2( + ) 2( 5) + 3( 5) = 0 = = 0; = : α a пр β a : a пр : { 2x 2y + 3z 5 = 0; 5x 13y 12z + 20 = 0: : 25x 65y 60z = 0:

47 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 47 Задача Составить уравнения прямой c, проходящей через точку M 0 (2; 3; 1) и пересекающую прямые a : { x + y = 0; x y + z + 4 = 0; и b : { x + 3y 1 = 0; y + z 2 = 0: План решения: 1) Так как прямые a и c пересекаются, то они лежат в одной плоскости, аналогично, прямые b и c лежат в одной плоскости. Поэтому будем искать прямую c как линию пересечения плоскостей и. a M 0 2) Составим уравнение плоскости как плоскости из пучка, определяемого прямой a, и проходя- b щей через точку M 0. 3) Составим уравнение плоскости как плоскости из пучка, определяемого прямой b, и проходя- α c β щей через точку M 0. { x 9y + 5z + 20 = 0; : c: x 2y 5z + 9 = 0:

48 5.1 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку M 0 (0; 2; 3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 ( 1; 2; 0), M 2 (1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости x + 2y + 2z 4 = Найти расстояние между параллельными плоскостями 4x + 3y 5z 8 = 0 и 4x + 3y 5z + 12 = 0: 5.4. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x + 2y + z 8 = 0 и удаленных от нее на расстояние d = Найти канонические уравнения прямой { x + 2y + 3z 13 = 0; 3x + y + 4z 14 = 0: 5.6. Найти расстояние от точки M (2; 1; 3) до прямой x = y z = 1 5 : 5.7. Найти расстояние между параллельными прямыми x 2 1 = y = z и x 1 1 = y 1 2 z = : 5.8. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми x = y 1 = z 1 2 и x 1 = y z = 2 4 :

49 5.1 Задачи для самостоятельного решения Проверить, что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости, в которой они лежат: { x = z 2 y = 2z + 1 и x 2 3 = y 4 1 = z 2 1 : Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают. а) x = 1 + 2t, y = 7 + t, z = 3 + 4t; x = 6 + 3t, y = 1 2t, z = 2 + t. б) x = 1 + 2t, y = 2 2t, z = t; x = 2t, y = 5 + 3t, z = 4. в) x = 2 + 4t, y = 6t, z = 1 8t; x = 7 6t, y = 2 + 9t, z = 12t. г) x = 1 + 9t, y = 2 + 6t, z = 3 + 3t; x = 7 + 6t, y = 6 + 4t, z = 5 + 2t Установить, лежит ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает ее. { 3x + 5y 7z + 16 = 0; а) 5x z 4 = 0. 2x y + z 6 = 0; { 2x + 3y + 6z 10 = 0; б) y + 4z + 17 = 0. x + y + z + 5 = 0; в) { x + 2y + 3z + 8 = 0; 5x + 3y + z 16 = 0; 2x y 4z 24 = 0.

50 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Тесты для самопроверки Тест 1 «Алгебра векторов» Перейти к ответам 1. Даны три вектора: a(1; 1; 1), b(1; 2; 2), c(2; 4; 2). Найти вектор 3a + 4b 0;5c. 1) (6; 10; 10) 2) (6; 10; 12) 3) (6; 9; 10) 4) (8; 10; 10) 2. Найти косинус угла между векторами b 1 и b 2, если b 1 = 3a + 4c; b 2 = 6a 4c; где a(0;5; 0;5; 0;5), c(0;5; 0;25; 0;75). 1) 1 2) 0 3) 0;5 3. Выяснить, ортогональны ли векторы a(1; 3; 2) и b(1; 3; 4). 1) да 2) нет 4. Найти координаты векторного произведения векторов a(2; 1; 4) и b( 1; 3; 0). 1) ( 12; 4; 7) 2) ( 12; 4; 7) 3) (12; 4; 7) 5. Найти длину векторного произведения векторов a(2; 1; 4) и b(1; 3; 0). 1) 209 2) 23 3) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a( 2; 1; 4) и b( 1; 3; 0). 1) 209 2) 23 3) Найти площадь треугольника ABC, если A( 1; 0; 1), B(0; 2; 3), C(4; 4; 1). 1) 18 2) 36 3) 9 4) Установить, являются ли векторы (3; 5; 1), (2; 1; 5), (7; 7; 11) компланарными. 1) да 2) нет 9. Найти объём параллелепипеда, зная одну из его вершин (1; 2; 3) и концы выходящих из неё рёбер (1; 1; 1), (2; 3; 4), (3; 1; 1). 1) 48 2) 54 3) 32 4) Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах (1; 1; 1), (2; 3; 4), (3; 1; 1) как на рёбрах. 1) 1=3 2) 3 3) 6 4) 5

51 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 51 Тест 2 «Прямая линия на плоскости» Перейти к ответам 1. Найти угловой коэффициент прямой 3x + 5y 1 = 0. 1) 3 5 2) 3 5 3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3) параллельно прямой 3x 2y 1 = 0. 1) 3x + 2y 1 = 0 2) 3x 2y + 1 = 0 3) 3x 2y = 0 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (5; 3) перпендикулярно прямой 2x + 3y 6 = 0. 1) 3x 2y 9 = 0 2) 3x + 2y 9 = 0 3) 3x 2y 6 = 0 4. Найти расcтояние от точки (3; 5) до прямой 3x 4y + 1 = 0. 1) 1 2) 2 3) 0;5 5. Найти точку пересечения прямых 2x 4y 3 = 0 и 2x + y + 2 = 0. 1) ( 0;5; 1) 2) (1; 0;5) 3) (2; 1) 6. Найти угол между прямыми 3x 5y = 0 и 5x + 3y 1 = 0. 1) 60 2) 30 3) Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку пересечения прямых 3x 5y 2 = 0, 2x + 7y 1 = 0. 1) x + 19y = 0 2) x 19y = 0 3) x + 9y = 0 8. Найти площадь треугольника, заданного координатами своих вершин (1; 1), (2; 3), (5; 2). 1) 24;5 2) 49 3) Найти площадь квадрата, две стороны которого лежат на прямых 2x y 4 = 0 и 2x y + 1 = 0. 1) 5 2) 25 3) Найти проекцию точки (2; 1) на прямую x y 3 = 0. 1) (3; 0) 2) (0; 3) 3) (4; 1)

52 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 52 Тест 3 «Кривые второго порядка» Перейти к ответам 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты F 1 (0; 1), F 2 (1; 0) и большая ось равна 2. 1) 3x 2 + 2xy + 3y 2 4x 4y = 0 2) 3x 2 2xy + 3y 2 4x 4y = 0 3) 3x 2 + 2xy + 3y 2 + 4x + 4y = 0 2. Найти уравнение касательной к эллипсу x y2 16 = 1 в точке M (0; 4). 1) y 4 = 0 2) x y + 2 = 0 3) x 2 = 0 3. Дан эллипс = 1. Найти его фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис. x y2 16 1) (±3; 0), 3 5, x = ±25 3 2) (±3; 0), 3 4, x = ± Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами 2 14, а расстояние между директрисами ) x2 y2 8 6 x2 = 1 2) y2 9 5 = 1 3) x2 9 y2 25 = 1 5. Найти асимптоты гиперболы x2 9 y2 25 = 1. 1) 3y ± 5x = 0 2) 3x ± 5y = 0 3) 3x ± 4y = 0 6. Дана гипербола x2 y2 9 4 через точку M (9; 32). = 1. Составить уравнение касательной, проходящей 1) 4x 32 y 4 = 0 2) 4x + 32 y + 4 = 0 3) x + 2 y 1 = 0 7. Составить уравнение параболы, зная её фокус F (2; 1) и директрису 3x 4y 1 = 0: 1) 16x xy + 9y 2 94x 58y = 0 2) 16x xy + 9y 2 94x 58y + 24 = 0

53 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Найти уравнение касательной к параболе y 2 = 16x, параллельной прямой x y + 8 = 0. 1) x y + 4 = 0 2) x + y 4 = 0 3) x y + 2 = 0 9. Дана парабола y 2 = 36x, найти её фокус и уравнение директрисы. 10. Определить тип кривой r = 1) (18; 0), y = 18 2) (18; 0), x = 18 3) (9; 0), x = cos '. 1) эллипс 2) гипербола 3) парабола

54 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 54 Тест 4 «Прямая и плоскость в пространстве» Перейти к ответам 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( 3; 5; 1) параллельно плоскости x + 2y + 4z = 0. 1) x + 2y + 4z 11 = 0 2) x + 2y + 4z + 11 = 0 3) x 2y 4z 11 = 0 2. Найти точку пересечения плоскости 3x y + z 1 = 0 и прямой x = 2 + t; y = 3 t; z = 1 + 2t: ( ) 11 1) (2; 3; 1) 2) 6 ; 19 6 ; 4 3 ( ) 11 3) 6 ; 13 6 ; Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 2; 3), (3; 4; 1), перпендикулярно плоскости x + y + z 1 = 0. 1) x y + 1 = 0 2) 8x + 3y z + 2 = 0 3) x 3y + 2z + 1 = 0 4. Найти расстояние от точки (1; 1; 0) до плоскости 2x + 3y 4z + 5 = 0. 1) 10 2) ) Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (1; 2; 1) на плоскость 2x + 3y 4z + 5 = 0. 1) x 1 2 = y 2 3 = z 1 4 2) x 2 y 1 = 3 z 2 = ) x 1 3 = y 2 2 = z Найти точку, симметричную точке (2; 0; 1) относительно плоскости x 4y + z 39 = 0: 1) (6; 16; 5) 2) (1; 1; 5) 3) (6; 6; 5)

55 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Параметрические уравнения прямой { x + y z + 1 = 0; x y + z 2 = 0 имеют вид: x = 1 + t; x = 0;5; x = t; 1) y = 2t; z = 1 2t 2) y = 2t; z = 1;5 2t 3) y = 1 + t; z = 5 + 8t 8. При каком значении параметра t плоскость tx 2y + z 5 = 0 проходит через точку (1; 3; 2). 1) 9 2) 9 3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1; 3; 2) и через прямую { x + y z + 1 = 0; x y + z 2 = 0: 1) 5x y + z 4 = 0 2) 5x + y + z + 4 = 0 3) x y + z 2 = Найти угол между плоскостями x 2y z 1 = 0 и 2x + 2y 2z 3 = 0. 1) 90 2) 60 3) 30

56 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 56 ы и указания Тема: «Прямая линия на плоскости» 1.1 x 3y 7 = 0, 2x + 5y 3 = x 9y 4 = (2; 7) 1.4 x + 3y + 12 = 0, 3x y 4 = 0, 3x y + 16 = Два решения: A 1 B 1 : 7x + y 15 = 0, B 1 C 1 : x 7y + 7 = 0, C 1 D 1 : 7x + y 26 = 0, D 1 A 1 : x 7y 4 = 0; A 2 B 2 : x 3y + 1 = 0, B 2 C 2 : 3x + y 1 = 0, C 2 D 2 : x 3y + 12 = 0, D 2 A 2 : 3x + y + 10 = 0.

57 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 57 Тема: «Кривые второго порядка (элементарная теория)» 2.1 x y2 9 = ( 15 4 ; ± 63 4 ) 2.3 x + y ± 5 = F 1 (0; 5), F 2 (0; 5), " = 5 4, y = ±16 5 ; y = ±4 3 x 2.5 x 2 16 y2 9 = " = x 2y ± 26 = F (0; 1), y = (3; ±3 2) 2.10 x + y + 2 = 0

58 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 58 Тема: «Общие уравнения кривых второго порядка» 3.1 7x 2 2xy + 7y 2 46x + 2y + 71 = x 2 + 2xy + 11y 2 48x 48y 24 = (x 3) (y 2)2 25 = x 2 100xy + 16y 2 136x + 86y 47 = x 2 + 2xy + y 2 6x + 2y + 9 = а) x 2 1 y 2 4 = 1 б) x y 2 9 = 1 в) пара параллельных прямых x = ±1 г) y 2 = 2x

59 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 59 Тема: «Векторная алгебра» 4.1 a = ( ) 2 3 ; 2 3 ; c = ( 5; 10; 9) 4.3 a и b ортогональны 4.4 h 1 = 4 2, h 2 = Нет , 3 5, h = 5

60 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 60 Тема: «Прямая и плоскость в пространстве» 5.1 3y + 2z = x 2y + z 2 = x + 2y + z 20 = 0, 2x + 2y + z + 4 = x 3 1 = y 5 1 = z x + 2y 5z = а) Пересекаются в точке ( 3; 5; 5) 5.10 б) 5.10 в) 5.10 г) Скрещивается Параллельны Совпадают 5.11 а) Пересекаются в точке (2; 4; 6) 5.11 б) 5.11 в) Параллельны Прямая лежат в плоскости

61 7 КЛЮЧИ ОТВЕТОВ К ТЕСТАМ Ключи ответов к тестам Тест 1 «Алгебра векторов» Тест 2 «Прямая линия на плоскости» Тест 3 «Кривые второго порядка» Тест 4 «Прямая и плоскость в пространстве»

62 . 62 Список литературы [1] Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, [2] Владимирский Б. М., Горстко А. Б., Ерусалимский Я. М. Математика. СПб: Лань, [3] Ерусалимский Я. М., Чернявская И. А. Алгебра и геометрия: теория и практикум. М.: Наука, [4] Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука, [5] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, [6] Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, [7] Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, При создании электронного пособия использовались системы L A T E X 2", X T E X и материалы книги: Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. L A T E X 2": искусство набора и вёрстки текстов с формулами. Ростов н/д: Изд-во ЮФУ, с. E

63 Предметный указатель гипербола, 23 асимптоты, 15 директрисы, 15 каноническое уравнение, 15 уравнение касательной с известной точкой касания, 16 условие касания гиперболы и прямой, 16 фокусы, 15, 23 эксцентриситет, 15, 23 парабола, 24 директриса, 16, 24 каноническое уравнение, 16 уравнение касательной с известной точкой касания, 16 условие касания параболы и прямой, 16 фокус, 16, 24 плоскость общее уравнение, 36 уравнение пучка плоскостей, 36 прямая канонические уравнения, 36 параметрические уравнения, 36 расстояние от точки до прямой, 5 уравнение прямой, 4 условия параллельности прямых, 4 условия перпендикулярности прямых, 5 уравнение касательной с известной точкой касания, 15 условие касания эллипса и прямой, 15 фокусы, 15, 22 эксцентриситет, 15, 23 эллипс, 22 директрисы, 15 каноническое уравнение, 15 63

64 . 64 Об авторе Чернявская Ирина Алексеевна доцент кафедры геометрии Южного федерального университета, кандидат физико-математических наук, заместитель директора по академической политике Института математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, области научных интересов дифференциальная геометрия и геометрия «в целом», теория и методика высшего профессионального образования. И. А. Чернявская автор более 70 научных и методических работ, в том числе трех учебных пособий, среди которых «Практикум по элементарной математике» (Изд-во «Вузовская книга». М., 2002), «Элементарная математика в примерах и задачах» (Изд-во «Вузовская книга». М., 2006).

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д.Ю. ВОЛКОВ, К. В. ГАЛУНОВА, В. В. КРАСНОЩЕКОВ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Абдулаева Халисат Саидовна. Кафедра математики. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум)

Абдулаева Халисат Саидовна. Кафедра математики. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум) ГАОУ ВПО Дагестанский государственный институт народного хозяйства Абдулаева Халисат Саидовна Кафедра математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум) Махачкала 0 УДК 5(075)

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Типовой расчет по высшей математике

Типовой расчет по высшей математике Типовой расчет по высшей математике Аналитическая геометрия 1 модуль Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2012 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НОВОТРОИЦКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ» Кафедра

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования РФ Уральский государственный технический университет УПИ Нижнетагильский технологический институт С.Е.Демин, Е.Л.Демина ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (конспект лекций) г. Нижний

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия: МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖД ЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВМ Смоленцев Линейная алгебра

Подробнее

BAРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ

BAРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ Настоящее пособие по выполнению контрольной работы по геометрии (аналитическая геометрия на плоскости) для студентов заочного отделения написано в соответствии с действующей программой и предназначено

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов СК Соболев, ВЯ Томашпольский Прямые и плоскости Методические указания к решению задач по аналитической геометрии Для всех факультетов МГТУ им НЭ Баумана Москва 0 УДК: 5+54 Рецензент: Покровский Илья Леонидович

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» РМ Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие Научный редактор

Подробнее

В. В. Головизин. Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия» Часть II. Ижевск 2011

В. В. Головизин. Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия» Часть II. Ижевск 2011 В В Головизин Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия» Часть II 3 7 9 3 7 9 3 3 9 7 7 7 9 3 9 9 7 3 Ижевск 0 Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Подробнее