Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Симплекс-метод решения задач линейного программирования"

Транскрипт

1 Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем историческим обстоятельством, что первоначально метод был разработан применительно к задаче линейного программирования, допустимое множество которой имело вид i i X { xr x } (это множество именуется стандартным симплексом). Симплекс-метод предназначен для решения задачи линейного программирования в канонической форме c, x i, Ax b, x, () где А матрица размера, b R, c R. Это не ограничивает общность метода, так как любая задача линейного программирования может быть представлена в такой форме. Всюду под X будет пониматься допустимое множество задачи (): X { xr Ax b, x }. Обозначим через,..., столбцы матрицы А. Для любой точки x ( x,..., x) X введем множество J( x) { x, }, состоящее из индексов ее положительных координат. Отметим, что из условия x X следует b Ax J ( x) x т.е. вектор b является положительной линейной комбинацией столбцов ( J( x)). Определение. Точка х допустимого множества X называется опорной, если столбцы ( J( x)) линейно независимы. Теорема. Понятие опорной точки множества X эквивалентно понятию его крайней точки. Теорема. Если множество X непусто, то оно имеет опорные точки и число их конечно. При этом для любой точки x X существует такая опорная точка x X, что J( x ) J( x). Таким образом, из теоремы следует следующее утверждение Теорема. Если множество решений задачи () непусто, то оно содержит хотя бы одну опорную точку допустимого множества X. Как уже отмечалось, для поиска решения задачи () достаточно перебрать,

2 лишь опорные точки допустимого множества X, число которых конечно. Та опорная точка, в которой целевая функция c, x принимает наименьшее значение, будет одним из решений задачи () (если они вообще существуют). Чтобы найти все опорные точки, необходимо для каждого множества индексов J {,..., } такого, что столбцы ( J) линейно независимы, составить относительно x ( J) систему J x b. () Если эта система имеет решение и оно неотрицательно, то, положив x при J, получим, что точка x ( x,..., x ) - опорная. В противном случае осуществляется переход к следующему J. Ясно, что в результате этой процедуры ни одна опорная точка не будет пропущена. Как известно, для того чтобы решить линейную систему () или убедиться, что она не имеет решения, а также чтобы исследовать векторы на линейную независимость, требуется конечное число арифметических операций. Таким образом, принципиально возможно решить задачу линейного программирования за конечное число шагов методом полного перебора опорных точек. Однако, при больших п и т этот простой в идейном отношении метод требует огромной вычислительной работы. Итак, метод полного перебора опорных точек практической ценности не имеет. Но он естественным образом подводит к основной идее симплексметода: полный перебор следует заменить упорядоченным. Данный метод представляет собой вычислительную процедуру, в которой специальным t образом генерируется последовательность x, x,..., x опорных точек множества X. На очередной t-й итерации в зависимости от знаков некоторых параметров делается один из следующих выводов: t ) x - решение задачи (); ) задача () не имеет решений; ) существует (конструктивно указываемая) «лучшая» опорная точка t x, в которой целевая функция принимает меньшее значение, чем t t c, x c, x. () Поскольку, во-первых, число опорных точек конечно и среди них обязательно имеется решение задачи (), если она вообще разрешима, а вовторых, в силу () возврат к однажды просмотренным опорным точкам уже невозможен, то за конечное число итераций эта процедура приведет к выводу ) или ). Теоретически не исключается (такие примеры построены), что t последовательность x, x,..., x пройдет по всем опорным точкам множества X. Однако для подавляющего числа задач линейного программирования вида () количество итераций симплекс-метода находится в пределах от т до т. В дальнейшем будем предполагать, что ранг матрицы А равен, т. е. все ее строки линейно независимы. К этому всегда можно прийти, исключив из

3 системы Ах = b линейно зависимые уравнения. На практике данная операция обычно осуществляется одновременно с поиском начальной опорной точки x по методу искусственного базиса. Отметим, что у любой опорной точки множества X может быть не более т положительных координат, так как в пространстве R может быть не более т линейно независимых векторов. Определение. Базисом опорной точки х множества X называется произвольная линейно независимая система из т столбцов матрицы А, включающая в себя все столбцы, соответствующие положительным координатам точки х. Определение. Опорная точка х называется невырожденной, если она имеет ровно т положительных координат. Задача () называется невырожденной, если любая ее опорная точка невырождена. В противных случаях говорят о вырожденной точке или задаче. Для вырожденной задачи возможен случай, когда на очередной итерации не произойдет перехода к новой опорной точке, а значит, и уменьшения t t значения целевой функции, т.е. будет выполняться x = x и, значит, t t c, x c, x вместо (). Итерация симплекс-метода Пусть в результате предыдущих итераций уже получена t последовательность x, x,..., x опорных точек множества X. Для краткости t положим x = х. Пусть ( J) - некоторый базис точки х. Поскольку это базис в R, то все столбцы матрицы А можно представить как линейные комбинации данных столбцов, т.е. k, k,...,, J где ( J) - некоторые числа. Положим k Для любого k J k k c c, k,...,. k k J очевидно, имеем:,, при J \{ k} и k. В зависимости от знаков параметров k kk k, k при J, k J выполняется хотя бы одно из трех условий: I. Для любого индекса k J справедливо неравенство k. II. Существует индекс s J такой, что и при всех J. III. Существует индекс s J такой, что и при s s s s

4 некотором J. Оказывается, каждому из этих условий соответствует один из упомянутых ранее выводов. Теорема (правило оптимальности). Если выполняется условие I, то х - решение задачи (). Теорема 5 (правило отсутствия решения). Если выполняется условие II, то задача () не имеет решения. Итак, при выполнении условий I или II работа метода заканчивается на данной итерации. Далее, положим x i, () J : где s взято из условия III. Пусть этот минимум достигается на индексе r, т.е. xr, r J, rs. (5) rs Пусть x s, если J, x, если s, (6), если J, s. Теорема 6 (правило перехода к новой вершине). Если выполняется условие III, то тoчка x, определенная формулами (6), (5), является опорной, причем столбцы, J, где J = (J\{r})\{s}, образуют ее базис. На следующей (t+)-й итерации в качестве принимается указанная опорная точка x с данным базисом, J. При этом говорят, что столбец r выводится из базиса, а столбец s вводится в базис. Элемент rs называется ведущим. Замечание. Вообще говоря, индекс s определяется из условия III неоднозначно. Для невырожденной задачи индекс r, удовлетворяющий (5), единствен; обратное означало бы, что опорная точка x содержит менее положительных координат. Но для вырожденной задачи таких r может быть много. На практике обычно выбирают наименьшие s и r, удовлетворяющие указанным требованиям. Замечание. В теореме. возможны два случая: или. При имеем x = х, т.е. происходит лишь замена одного базиса точки х другим. При заведомо x x и c, x c, x. Если точка х невырождена, и, значит, J = J(x), то x и поэтому обязательно. Но для вырожденной r s s t x

5 точки х случай не исключается. Таким образом, для вырожденной задачи возможна ситуация, когда итерации описанной процедуры сведутся к перебору базисов одной и той же опорной точки, не являющейся решением; причем с некоторого момента эти базисы начнут повторяться, так как число их конечно. В таком случае говорят, что произошло зацикливание симплекс-метода. Известны специально построенные примеры задач линейного программирования, в которых это явление действительно наблюдается. Однако при решении реальных задач линейного программирования, многие из которых вырождены, зацикливание встречается крайне редко: если даже в процессе вычислений некоторая опорная точка повторяется, то, как правило, рано или поздно обнаруживается такой ее базис, который позволяет перейти к новой опорной точке. Несмотря на это, разработаны различные уточнения основной процедуры симплекс-метода, позволяющие полностью исключить возможность зацикливания. Одним из уточнений является так называемое лексикографическое правило выбора индекса r в формуле (5). Это правило состоит в следующем. Пусть J множество всех индексов, на которых достигается минимум в (). Если J состоит из единственного r, то r искомый индекс. В противном случае рассмотрим множество J всех индексов из J, на которых достигается минимум отношения / s при J. Если J состоит из единственного r, то r искомый индекс. В противном случае рассматривается множество J всех индексов из J, на которых достигается минимум отношения / s при J, и т.д. Если этот процесс еще не закончился ранее, то на -м шаге рассматривается множество J всех индексов из J, на которых достигается минимум отношения / s при J. Индекс r J и берется в (5). При определенных условиях на базис начальной опорной точки x применение описанного правила выбора r на каждой итерации симплексметода позволяет избежать зацикливания. Итак, на следующей итерации описанная процедура повторяется для построенной опорной точки x с базисом, J. В первую очередь столбцы матрицы А выражаются через данные: k, k,...,, J а затем вычисляются параметры c c, k,...,. (7) k J Вообще говоря, определение коэффициентов k k k k требует решения соответствующих систем линейных уравнений, что является довольно трудоемкой операцией. Однако оказывается, что, зная величины k, k, параметры k, k можно вычислить значительно проще.

6 Теорема 7. При любом k,..., выполняются соотношения s k rk, если J \ { r}, rs k (8) rk, если s, rs Организация ручного счета по симплекс-методу k k k rk. (9) rs Основной конструкцией является здесь так называемая симплекс-таблица Т, связанная с текущей опорной точкой х и данным ее базисом ( J). k s b k s x rk rs r x r k s c, x r r Эта таблица представляет собой матрицу размера ( + )( + ). Над т столбцами таблицы выписываются буквенные обозначения,...,, b столбцов матрицы А и вектора правых частей ограничений задачи (), а с левой стороны таблицы - обозначения ( J), столбцов матрицы А, образующих базис, и обозначение. На указанные места таблицы заносятся численные значения параметров k, x, k при J, k,...,. В правом нижнем углу таблицы проставляется значение целевой функции задачи в данной точке х, т.е. c, x. Затем проводится анализ симплекс-таблицы с тем, чтобы выяснить, какое из условий I-III выполняется. Если выполняется условие I или условие II расчеты заканчиваются. Пусть выполняется условие III, т. е., при некоторых s J и J. Если таких s несколько, то, в соответствии с замечанием., s выбирается, например, минимальный из них. Столбец должен быть введен в базис. Далее, по формуле () вычисляется и выбирается, например, минимальный индекс r, удовлетворяющий (5) (если возникло зацикливание, то s s

7 следует использовать более трудоемкое лексикографическое правило выбора r). r Столбец должен быть выведен из базиса. Ведущий элемент rs в таблице Т выделяется. Затем по формулам (6), (7), (8), (9) осуществляется переход к новой симплекс-таблице T, соответствующей опорной точке x с базисом, J ( J \ { r}) { s}. При этом в таблице T слева вместо «r» ставится «s», а остальные буквенные обозначения остаются неизменными. Легко видеть, что переход к таблице T сводится к следующим элементарным операциям со строками таблицы T : ) для получения строки,...,, x ) таблицы T при J \ { r} из ( строки,...,, x ) таблица Т вычитается ее строка,...,, x ), ( умноженная на коэффициент / ; s rs ( r r r ) для получения строки ( s,..., s, xs ) таблицы T строка ( r,..., r, xr ) таблицы Т делится на коэффициент rs ; ) для получения строки (,...,, c, x) таблицы T (в полной аналогии с )) из строки (,...,, c, x) таблицы Т вычитается ее строка ( r,..., r, xr ), умноженная на коэффициент s / rs. Назначение указанных коэффициентов состоит в том, чтобы в столбце под обозначением «s» получить все нули, кроме единицы на s-м месте, т.е. при J \ { r}, и. s ss s Затем проводится анализ таблицы T. Если выполняется условие III, то осуществляется переход к следующей симплекс-таблице, и т.д. Пример. Решить задачу 5 x + x + x + x x, x x + x =, x + x + x = 5, x, =,,. Для решения данного примера будем использовать симплекс-метод. С этой целью приведем задачу к следующему виду -5 x - x - x - x i, x x + x =, x + x + x = 5, x, =,,.

8 Легко видеть, что точка x = (,,, 5) является опорной, при этом столбцы, образуют естественный базис в R, и значит, коэффициенты разложения по нему столбцов, совпадают с их координатами. С учетом всего этого строим первую симплекс-таблицу: b Для построенной симплекс-таблицы выполняется условие III, поэтому строим следующую симплекс-таблицу, при этом выводим из базиса, а вводим в базис: b Т.к. выполняется условие III, то строим следующую симплекс-таблицу, при этом выводим из базиса, а вводим в базис: b / / -/ / - - Для построенной симплекс-таблицы выполняется условие III, поэтому строим следующую симплекс-таблицу, при этом выводим из базиса, а вводим в базис: b На данном шаге получена таблица, удовлетворяющая условию I, таким образом

9 полученная точка x * (, 5,6,) является решением задачей, при этом максимальное значение целевой функции в исходной задаче равно 7. Поиск начальной опорной точки Описанная выше процедура симплекс-метода предполагает, что начальная опорная точка x уже дана. В некоторых частных случаях отыскание x не составляет труда (см. пример.). Но, вообще говоря, поиск x, т.е. какой-нибудь опорной точки множества X, по своей трудоемкости сопоставим с самой процедурой симплекс-метода. Рассмотрим один из общих методов построения начальной опорной точки - метод искусственного базиса. Без ограничения общности можно считать, что в задаче () выполнено условие b (этого всегда можно добиться, умножая ограничения-равенства задачи на ). Рассмотрим вспомогательную задачу линейного программирования ui i, Ax u b, x, u. () i Допустимое множество этой задачи можно записать в виде Xˆ {( x, u) R R x e u i i i b, x, u }, где е,..., е т - единичные орты в R. Отсюда ясно, что (, b) - опорная точка множества Xˆ. Т.к. целевая функция задачи () ограничена снизу (нулем) на Xˆ, то эта задача разрешима. Применяя к ней процедуру симплекс-метода с указанной начальной опорной точкой, найдем опорную точку ( x *, u * ) множества Xˆ, являющуюся решением. Пусть f задачи (). * * * u i i значение Теорема. Если f *, то x - опорная точка множества X. Если f *, то задача () не имеет допустимых точек: X. Таким образом, при решении задачи () основная процедура симплексметода применяется дважды: сначала с ее помощью решается задача (), а затем - сама задача ().

10 Задачи. Решить симплекс-методом следующие задачи, начав с указанных вершин:.. x + x + x - x x, x + x + x =, - x + x + x =, x, =,, ; x =(,,, )... x + x + x + x x 5 i, - x + x - x = -, x - x + x x 5 =, x + x + 5 x + x 5 = 7, x, =,, 5; x =(,,,, )... x - x + x + x + x 5 x, x - x + x + x + x 5 =, - x + x - x - x x 5 = -, x + x + x + 5 x =, x, =,, 5; x =(,,,, ).. Решить симплекс-методом следующие задачи.. - x + x - x + x + x 5 x, x + x - x - x + x 5, - x - x + x + x + x 5, x + x + x - x, x, =,, 5.

11 .... x + x - x x, x - x - x + x, x - x + x, - x + x - x - x, x, =,,. x + x + x - x i, x - x + x, x + x + x - x, x + x - x, x + x - x + x, x, =,,.. Решить симплекс-методом следующие задачи, определив начальные вершины методом искусственного базиса: x + x + x + x - x 5 x, - x + x - x - x =, x - x + x + x + x 5 =, - x + x - x 5 =, x, =,, 5. 5 x + x + x + x - x 5 x, x + x + x + x - x 5 =, x - x + x + x 5 =, - x - x - x + x =, x, =,, 5. x + x - x + x - x 5 x, 8 x + x + x + 9 x + 9 x 5 =, 5 x + x + x + 5 x + 6 x 5 = 9, x + x + x =, x, =,, 5.

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4. Переход к решению двойственной задачи Рассмотрим метод решения задач линейного программирования путем перехода к двойственной задаче и решения полученной

Подробнее

МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.Я. Заботин, Я.И. Заботин МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ КАЗАНЬ 4 УДК 59.85 ББК.8 З Печатается по решению Редакционно-издательского совета

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б.

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Block linear programming problem. Decomposition method Dantsinga-Wolf Orlov

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 20 ноября 2010 г. Симплекс-метод решения задач линейного программирования является одним из выдающихся математических достижений 20-го

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса.

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса. ) Задача о планировании производства. Производственному участку может быть запланировано к изготовлению на определённый плановый период времени два вида изделий: A и B. На производство единицы изделия

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи.

Симплекс-метод решения задачи. 1) Решить симплекс-методом задачу линейного программирования 10x1 7x2 5x3 min 6x1+ 15x2 + 6x3 9 14x1+ 42x2 + 16x3 21 2x1+ 8x2 + 2x3 4 x j 0 ( j = 1, 2, 3) Симплекс-метод решения задачи. Симплексный метод

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 2.1. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Для решения задач линейного программирования симплексметодом следует выполнить ряд

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисные допустимые решения 2. Критерий разрешимости Симплекс-метод (С.-м.) 1. Идея метода -1- Линейное программирование (ЛП) Задача линейного программирования (ЛП)

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 2. Линейное программирование

Глава 2. Линейное программирование Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

Подробнее

Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции

Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции Богомазов Р. Ю., Беседин Н. Т. Юго-западный государственный университет 1. Цель

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8. Линейное программирование (ЛП)

ЛЕКЦИЯ 8. Линейное программирование (ЛП) ЛЕКЦИЯ 8 Линейное программирование (ЛП) 1. Симплекс-метод 2. Теория двойственности -1- Содержательное описание с.-м. x(t), t 0 : x σ(i) (t) = x σ(i) z is t, x s (t) = t, (4) x j (t) = 0, j S \s -2- Содержательное

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского С. И. Дудов, А. П. Хромов, И. Ю. Выгодчикова ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие для студентов экономико-математических

Подробнее

Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов

Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов Вопрос: 4. Симплекс-метод для канонической задачи линейного программирования:

Подробнее

Численные Методы (Линейное программирование)

Численные Методы (Линейное программирование) Численные Методы (Линейное программирование) Alexander Lazarev Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 2010-2012 Outline 1 Литература 2 Линейное программирование 3 Симплексный метод

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

j уплачивается комиссионный сбор в размере cij

j уплачивается комиссионный сбор в размере cij Глава ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.. Постановка задачи Финансово-экономическая мотивировка Начнем рассмотрение со следующей финансовой задачи. Задача об инвестициях. Две компании, реализующие некий инвестиционный

Подробнее

ВЫРОЖДЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ВЫРОЖДЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И. В. Агафонова ivagafonova@home.eltel.net В А. Даугавет vadaug@yandex.ru 11 декабря 2010 г. Рассматривается задача линейного программирования в канонической

Подробнее

Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов

Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов Планы ответов на вопросы экзаменационных билетов госэкзамена по курсу ОПТИМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, лектор проф. М. М. Потапов Вопрос: 4. Симплекс-метод для канонической задачи линейного программирования:

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи На приобретение машин для участка выделены 30 т.р. Производственная площадь участка - 70 м 2. Можно закупить машины двух видов: стоимостью 3 т.р. и 5 т.р. олее дорогая машина требует для установки 12 м

Подробнее

Линейное программирование

Линейное программирование Линейное программирование Задача 1... 2 Задача 2... 3 Задача 3... 5 Задача 4... 7 Задача 5... 10 Задача 6... 12 Задача 7... 15 Задача 8... 19 Задача 9... 21 Задача 10... 24 Задача 11... 27 Задача 1. Составить

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения (продолжение) 2. Критерий разрешимости 3. Идея симплекс-метода 4. Элементарное преобразование б.д.р. 5. Симплекс-таблицы -1- ЛП: понятие

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского С.И. Дудов, А.П. Хромов ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ТЕОРИЯ, ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ Учебное пособие для студентов экономико-математических специальностей

Подробнее

Метод сокращения отрицательных индексных элементов при поиске начального базисного псевдооптимального решения задачи линейного программирования

Метод сокращения отрицательных индексных элементов при поиске начального базисного псевдооптимального решения задачи линейного программирования Истомин Леонид Александрович Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического обеспечения и администрирования информационных систем Уральский государственный экономический университет

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП 3 Симплекс-метод Поиск оптимального решения ЗЛП путем простого перебора крайних точек допустимого множества возможен, но совершенно непрактичен с вычислительной точки зрения. Неэффективность такого подхода

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

А.Д. Мижидон ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

А.Д. Мижидон ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИМПЛЕКС-МЕТОДА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВосточноСибирский государственный технологический университет» (ГОУ ВПО ВСГТУ) АД

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Как правило, при решении большинства практических задач задача решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) встречается в виде некоторой вспомогательной подзадачи.

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине "Системный анализ" на тему

Подробнее

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Общая математическая формулировка основной задачи линейного программирования: дана система m линейных уравнений с n неизвестными a11x1 a12

Подробнее

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru Е. К. Чернэуцану katerinache@yandex.ru 26 мая 212 г. Памяти Б. Н. Пшеничного (1937 2) Данный доклад является

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы Транспортная задача. 1. Транспортная задача в матричной постановке Транспортная задача формулируется следующим образом. Пусть m поставщиков располагают a i (i = 1, 2,..., m) единицами некоторой продукции,

Подробнее

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей:

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: G =. Найти его проверочную матрицу H. Определить основные метрические параметры

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ЗАЦИКЛИВАНИЕ В СИМПЛЕКС-МЕТОДЕ: МИНИМАЛЬНАЯ ДЛИНА ЦИКЛА РАВНА ШЕСТИ

ЗАЦИКЛИВАНИЕ В СИМПЛЕКС-МЕТОДЕ: МИНИМАЛЬНАЯ ДЛИНА ЦИКЛА РАВНА ШЕСТИ ЗАЦИКЛИВАНИЕ В СИМПЛЕКС-МЕТОДЕ: МИНИМАЛЬНАЯ ДЛИНА ЦИКЛА РАВНА ШЕСТИ И. В. Агафонова ivagafonovaspb@gmail.com 26 октября 2012 г. Рассматривается задача линейного программирования в канонической форме: f(x):=c[n]

Подробнее

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Цель: познакомить читателя с симплекс-методом решения задачи линейного программирования и основными понятиями и теоремами теории двойственности

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКС МЕТОДА

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКС МЕТОДА Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Машиностроительный факультет Кафедра «Технология машиностроения» ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С

Подробнее

7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. n. Это условие не ограничивает общности, так как сумму двух подобных членов

7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. n. Это условие не ограничивает общности, так как сумму двух подобных членов 7 КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ Квадратичной формой переменных,, называется выражение вида q a, 7 в котором коэффициенты a, не все равные нулю, удовлетворяют условиям симметричности

Подробнее

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Математика Серия: МАТЕМАТИКА Недосекин ЮА Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Аннотация Предложен новый метод решения неоднородной системы линейных алгебраических

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Практическая работа. «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2. Задание 1. Решить графически.

Практическая работа. «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2. Задание 1. Решить графически. Практическая работа «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2 Задание 1. Решить графически. 150x + 70x max, 30x1 + 75x2 900, 3x1 + 2x2 30, x, x 0. Решение. Построим область допустимых решений

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Симплекс-метод для решения задач линейного программирования

Симплекс-метод для решения задач линейного программирования для решения задач линейного программирования Арсений Мамошкин СПбГУ ИТМО Кафедра КТ 2010 г. Мамошкин А. М. (СПбГУ ИТМО КТ) http://rain.ifmo.ru/cat 1 / 28 Содержание Формулировка задачи 1. Формулировка

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Нахождение решения задачи параметрического программирования.

Нахождение решения задачи параметрического программирования. Нахождение решения задачи параметрического программирования. ешение задачи, целевая функция которой содержит параметр. Продолжим рассмотрение задачи (1)-(3). Считая значение параметра t равным некоторому

Подробнее

Решение транспортных задач методом потенциалов

Решение транспортных задач методом потенциалов Решение транспортных задач методом потенциалов Линейная транспортная задача Линейные транспортные задачи составляют особый класс задач линейного программирования Задача заключается в отыскании такого плана

Подробнее

Глава 5. МЕТОДЫ НЕЯВНОГО ПЕРЕБОРА. Рассмотрим общую постановку задачи дискретной оптимизации

Глава 5. МЕТОДЫ НЕЯВНОГО ПЕРЕБОРА. Рассмотрим общую постановку задачи дискретной оптимизации Глава 5. МЕТОДЫ НЕЯВНОГО ПЕРЕБОРА Рассмотрим общую постановку задачи дискретной оптимизации mi f ( x), (5.) x D в которой -мерный искомый вектор x принадлежит конечному множеству допустимых решений D.

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Федеральное Агентство по образованию Российской Федерации ГОУ ВПО ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Филькин Г.В. ЛЕКЦИИ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ для студентов экономических

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет. В. Ф. Ходыкин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет. В. Ф. Ходыкин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет В. Ф. Ходыкин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (Тексты лекций для студентов экономических специальностей)

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Линейное программирование. 3. Теория двойственности линейного программирования

ЛЕКЦИЯ 3. Линейное программирование. 3. Теория двойственности линейного программирования ЛЕКЦИЯ 3 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения 2. Критерий разрешимости 3. Теория двойственности линейного программирования -1- ЛП: понятие базисного допустимого решения (б.д.р.). Базис

Подробнее

К теме «Транспортная задача»

К теме «Транспортная задача» К теме «Транспортная задача» Математическая формулировка транспортной задачи. Построение опорного плана перевозок методом «северо-западного угла». Построение опорного плана перевозок методом минимальных

Подробнее

Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит (2 курс 4 г.о., 1 курс 3 г.о.), очное

Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит (2 курс 4 г.о., 1 курс 3 г.о.), очное Автор теста: Мадиярова К.З. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит (2 курс 4 г.о., 1 курс 3 г.о.), очное Количество кредитов:

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н. .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1)

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1) стр. Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования Дано: f (X) = x + 3x 2 extr + x x 2 () 2x + x 2 (2) x, x 2 0 (3) а) Решить задачу графически Алгоритм графического решения задачи. Построить

Подробнее

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования Истомин Леонид Александрович Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Уральский государственный экономический университет 62144, РФ, г Екатеринбург, ул 8 Марта/Народной воли,

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

3 Обоснование симплекс-метода

3 Обоснование симплекс-метода 1 3 Обоснование симплекс-метода 3.1 Теоремы существования, двойственности, критерий решения Приведем три теоремы, играющие важную роль при обосновании симплекс-метода. Рассмотрим задачу линейного программирования

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Глава 3 Линейные блочные шифры. F на F. Нас будет интересовать возможность построения совершенных линейных шифров. F совершенных. c 1, c 2 F и любых

Глава 3 Линейные блочные шифры. F на F. Нас будет интересовать возможность построения совершенных линейных шифров. F совершенных. c 1, c 2 F и любых Глава 3 Линейные блочные шифры В этой главе множества X и Y рассматриваются как подмножества векторных пространств над конечным полем. r Пусть F конечное поле и F пространство векторов-строк длины r Ν

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее