Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа"

Транскрипт

1 Дальневосточный математический журнал Том C УДК MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены аналитические решения некоторых экстремальных задач для уравнения Лапласа в круге. Ключевые слова: уравнение Лапласа, экстремальные задачи, задачи оптимального управления для дифференциальных уравнений. Введение Начиная со второй половины XX в. много работ посвящено исследованию экстремальных и оптимизационных задач для уравнений с частными производными см., например, [1, 2, 3] и ссылки там. Даже в линейном случае такие задачи не удается решить явно. В настоящей работе представлены аналитические решения простейших экстремальных задач для уравнения Лапласа. Пусть Ω = {x 1, x 2 : x x 2 2 < 1} единичный круг с центром в точке x =, L p Q банахово пространство функций u, которые определены и измеримы на множестве Q, причем интеграл Лебега Q u p dq существует и конечен, C n Q множество функций, которые определены и n раз непрерывно дифференциуемы на Q. Мы рассмотрим две задачи. Пусть f заданный элемент из L 2 Ω. Задача I. Найти такую функцию u L 2 Ω, что u = в Ω, 1 u f 2 dω min. Ω 1 ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск, ул. Дзержинского, 54; ВЦ ДВО РАН Хабаровск, ул. Ким Ю Чена, 65. Электронная почта:

2 232 А. А. Илларионов, Л. В. Илларионова Задача II. Найти такую функцию u CΩ, что u = в Ω, u f 2 dω u 2 dγ min. Ω Здесь, + фиксированное число, а Γ = Ω граница Ω. Выполнение уравнения 1 понимается в смысле обобщенных функций. Отметим, что если u L 2 Ω удовлетворяет 1 в смысле теории распределений, то функция u аналитическая в Ω и соотношение 1 выполняется в классическом смысле. Обе поставленные задачи имеют не более одного решения. Стандартным образом доказывается, что для любой f L 2 Ω задача I имеет решение. Однако вопрос о разрешимости задачи II является менее тривиальным. Будем использовать полярные координаты ρ, φ. Пусть ˆΩ = [, 1 [, 2]. Если функция v задана в Ω, то через ˆv обозначаем функцию, заданную в ˆΩ по формуле Γ ˆvρ, φ = vρ cos φ, ρ sin φ. 2 Если функция ˆv определена на ˆΩ и является 2-периодичной по второй переменной, то через v обозначаем функцию, определенную в Ω по формуле 2. В частности, ûρ, φ = uρ cos φ, ρ sin φ, ˆfρ, φ = fρ cos φ, ρ sin φ. Введем аналитическую функцию G : ˆΩ R следующим образом: Gt, θ = 1 t 2 1 2t cos θ + t 2. Отметим, что классическая формула Пуассона для решения задачи Дирихле имеет в полярных координатах вид ûρ, φ = 1 2 u = в Ω, u = g на Γ, 2 Gρ, φ ψ ĝψ dψ, ρ, φ ˆΩ. Основные результаты работы заключаются в следующем. Введем дифференциальный оператор D : C 1 ˆΩ CˆΩ по формуле Dvt, θ = d tvt, θ. dt Теорема 1. Пусть f L 2 Ω. Тогда решение задачи I определяется в полярных координатах формулой ûρ, φ = 1 DG ρr, φ ψ ˆfr, ψ r dψ dr, ρ, φ ˆΩ. 3 ˆΩ

3 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа 233 Для любого r, 1 через Ω r = r Ω обозначаем круг радиуса r с центром в точке. Определим также кольцо Ω r = Ω \ Ω r. Будем использовать следующий единичный вектор τx = x 2, x 1 x R 2 \ {}. x Теорема 2. Пусть f L 2 Ω, причем существуют такие r, 1 и ε >, что f τ L 1+ε Ω r. Тогда решение u CΩ задачи II существует и определяется формулой 1 u x = t utx dt, x Ω, 4 где u решение задачи I. Эти теоремы будут доказаны в 1 и 2. Обоснование соотношений 3, 4 является модификацией одного из вариантов вывода формулы Пуассона. Мы выпишем решение в виде ряда Фурье, а потом вычислим его сумму. Следствие 1. Пусть выполняются условия теоремы 2. Тогда для любого компакта Q Ω и целого n u u C n Q при +. Доказательство приводится в конце 2. Замечание 1. Согласно [4] решение задачи I определяется формулой u = f w, где w решение первой краевой задачи для бигармонического уравнения 2 w = f в Ω, w w =, = на Γ. n Здесь и далее 2 =. Поэтому гладкость решения u повышается с увеличением гладкости f. Замечание 2. Согласно следствию 1, u u «локально» в Ω. Если известно, что решение u задачи I обладает некоторой дополнительной гладкостью, то u u «глобально» в Ω. Пусть, например, функция u ограничена в Ω. Тогда, ввиду 4, 1 sup u x C t dt = C x Ω + 1 C = sup ux, x Ω т.е. u ограничена в Ω равномерно по. По следствию 1, u u почти везде в Ω. Применяя теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, приходим к выводу, что для любого p [1, + u u в L p Ω при +.

4 234 А. А. Илларионов, Л. В. Илларионова Замечание 3. Пусть ˆfρ, φ = ˆfρ функция ˆf не зависит от угла φ. Тогда решения u и u задач I и II соответственно определяются формулами u C f, u + 1 C f, где C f = 1 f dω среднее значение f на Ω. Для доказательства достаточно Ω заметить следующее. Делая замену θ = φ ψ в интеграле 3, мы видим, что функция û = ûρ, φ также не зависит от φ. Любая гармоническая в Ω функция, не зависящая от угла φ, является постоянной. 1. Решение задачи I Применение метода Фурье. через u, v Q = Для любого измеримого по Лебегу множества Q u v dq, u Q = u, u Q Q обозначаем скалярное произведение и норму в пространстве L 2 Q. Определим гильбертово пространство V = {u L 2 Ω : u = в Ω}. со скалярным произведением, Ω. Лемма 1. Множество C Ω V плотно в V. Доказательство. Возьмем любую u V. Так как C Ω плотно в L 2 Ω, то существует такая последовательность v k C Ω, что v k u в L 2 Ω. Нам понадобится стандартное пространство Соболева H 2 Ω, состоящее из функций, которые вместе со своими производными до 2-го порядка включительно принадлежат L 2 Ω. Пусть H 2 Ω линейное подпространство H 2 Ω, состоящее из функций u H 2 Ω, которые вместе со своими производными 1-го порядка равны нулю на Γ в смысле следов. Через H 2 Ω = H 2 Ω обозначаем сопряженное к H 2 Ω пространство т.е. H 2 Ω пространство линейных непрерывных функционалов, определенных на H 2 Ω. Оператор : L 2 Ω H 2 Ω непрерывный. Поэтому v k H 2 Ω u H 2 Ω =. Хорошо известно, что существует единственное решение w k задачи w k H 2 Ω, 2 w k = v k в H 2 Ω,

5 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа 235 причем имеет место априорная оценка w k H 2 Ω C v k H 2 Ω. Более того, т.к. v k C Ω, то w k C Ω. Положим u k = v k w k. Тогда u k C Ω, u k = в Ω, u k u в L 2 Ω. Рассмотрим систему функций {1, p k, q k } C Ω, где p k ρ cos φ, ρ sin φ = ρ k coskφ, q k ρ cos φ, ρ sin φ = ρ k sinkφ. Она является ортогональной в L 2 Ω, причем 1 2 Ω = 2 1 q k 2 Ω = p k 2 Ω = Кроме того, {1, p k, q k } V. ρ dρ dφ =, 2 1 ρ 2k+1 cos 2 kφ dρ dφ = 2k + 1. Лемма 2. Ортогональная система {1, p k, q k } является полной в V. Доказательство. Хорошо известно, что любую функцию u V C 1 Ω можно разложить в ряд Фурье по системе {1, p k, q k } ряд будет сходиться равномерно на Ω. Отсюда, в частности, вытекает, что линейная оболочка системы {1, p k, q k } плотна в V C 1 Ω. Тогда, по лемме 1, эта линейная оболочка плотна и в V. Последнее свойство эквивалентно полноте системы {1, p k, q k } см. [5, 6.6]. Задачу I можно записать в следующем виде: u V, u f Ω min, т.е. она заключается в нахождении проекции элемента f L 2 Ω на линейное подпространство V L 2 Ω. Используя лемму 2 и свойство минимальности коэффициентов Фурье, приходим к следующему результату. Лемма 3. Пусть f L 2 Ω. Тогда решение задачи I является суммой ряда Фурье функции f по системе {1, p k, q k }, т.е. u = α + α k p k + β k q k в L 2 Ω, 5

6 236 А. А. Илларионов, Л. В. Илларионова где коэффициенты Фурье α k, β k определяются формулами α = f, 1 Ω 1 2 Ω α k = f, p k Ω p k 2 Ω β k = f, q k Ω q k 2 Ω = 1 f, 1 Ω, 2k + 1 = f, p k Ω, 2k + 1 = f, q k Ω. Доказательство. Пусть u определяется формулой 5. Тогда u V. Возьмем любую другую функцию v V. Пусть {u n } и {v n } последовательности частичных сумм рядов Фурье функций u и v соответственно по системе {1, p k, q k }. Так как система {1, p k, q k } полная, то u n u, v n v в L 2 Ω. Согласно классическому свойству минимальности коэффициентов Фурье [5, 6.5], u n f 2 Ω v n f 2 Ω. Переходя в последнем неравенстве к пределу при n, получаем Значит, u является решением задачи I. Суммирование ряда Фурье. u f 2 Ω v f 2 Ω. Лемма 4. Для любых t [, 1, θ R справедлива формула k + 1 t k coskθ = d t Gt, θ. 6 dt Доказательство. Пусть i мнимая единица. Тогда k + 1 t k coskθ = d t k+1 coskθ = 1 d dt 2 dt k= k= = 1 d t 2 dt 1 te + t = d iθ 1 te iθ dt te iθ t k + te iθ k = k= t1 t cos θ 1 + t 2 2t cos θ Следовательно, k + 1 t k coskθ = k + 1 t k coskθ = = d dt t1 t cos θ 1 + t 2 2t cos θ = d dt k= 2t 2t 2 cos θ 1 + t 2 2t cos θ t = d dt. t1 t t 2 2t cos θ

7 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа 237 Доказательство теоремы 1. Ряд 5 равномерно сходится на любом компакте Q Ω, причем u = f, 1 Ω + 2 k + 1 f, p k Ω p k + f, q k Ω q k, т.е. для всех x Ω ux = 1 fy dy + 2 Ω k + 1 Ω fy p k xp k y + q k xq k y dy. Переходя к полярными координатам и применяя формулу для косинуса разности, получаем ûρ, φ = 1 ˆΩ ˆfr, ψ r drdψ + 2 k + 1 где ρ, φ ˆΩ. Так как ρ < 1, то ряд k + 1 ρ k r k+1 coskφ ψ ˆΩ ˆfr, ψ ρ k r k coskφ ψ r drdψ, сходится абсолютно и равномерно по r, ψ ˆΩ. Поэтому мы можем поменять местами знаки интеграла и суммы. Получаем ûρ, φ = 1 ˆfr, ψ k + 1 ρ r k coskφ ψ r drdψ. ˆΩ Используя 6 при t = ρr, θ = φ ψ, приходим к 3. Теорема 1 полностью доказана. 2. Решение задачи II Применение метода Фурье. Определим банахово пространство U = {u CΩ : u = в Ω} с нормой пространства CΩ. Так же как и ранее, будем использовать систему функций {1, p k, q k }. Лемма 5. Линейная оболочка системы {1, p k, q k } плотна в U. Доказательство. Согласно классическим результатам о решении краевых задач методом Фурье, любую функцию из V C 1 Ω можно разложить в ряд Фурье по системе {1, p k, q k }, причем этот ряд сходится абсолютно и равномерно на Ω.

8 238 А. А. Илларионов, Л. В. Илларионова Следовательно, линейная оболочка системы {1, p k, q k } плотна в подмножестве U C 1 Ω. Осталось доказать, что множество U C 1 Ω плотно в U. Возьмем любую u U. Пусть g k C Γ, причем g k u Γ в CΓ. Через u k обозначим решение задачи Дирихле: u k = в Ω, u k Γ = g k. Тогда u k U C Ω, причем согласно принципу максимума u u k CΩ u g k CΓ. Значит, множество U C 1 Ω плотно в U. Лемма 6. Пусть f L 2 Ω. Функция u U является решением задачи II тогда и только тогда, когда для любой v {1, p k, q k } выполнено равенство 2u, v Ω + u, v Γ = 2f, v Ω. 7 Доказательство. Определим функционал J : U R по формуле Ju = u f 2 dω + 1 u 2 dγ. 2 Ω Γ Согласно лемме 5, соотношение 7 эквивалентно следующему v U 2u, v Ω + u, v Γ = 2f, v Ω. Последнее, в свою очередь, означает, что производная функционала J в точке u равна нулю. Поскольку J выпуклый функционал, u является точкой минимума J на множестве U. Отметим, что система {1, p k, q k } является ортогональной в L2 Γ, причем 1 2 Γ = 2 dφ = 2, q k 2 Γ = p k 2 Γ = 2 cos 2 kφ dφ =. Лемма 7. Пусть выполняются условия теоремы 2. Тогда решение u CΩ задачи II существует и определяется формулой u = a + a k p k + b k q k, 8

9 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа 239 где a = a k = b k = 2f, 1 Ω Ω Γ = 2f, p k Ω 2 p k 2 Ω + p k 2 Γ = 2f, q k Ω 2 q k 2 Ω + q k 2 Γ = + 1 f, 1 Ω, 2k + 1 2k + 1 k f, p k Ω, k f, q k Ω причем ряд 8 сходится абсолютно и равномерно на Ω. Доказательство. Достаточно доказать, что ряд 8 сходится абсолютно и равномерно на Ω. Действительно, в этом случае u U, а из определения коэффициентов a k, b k и ортогональности системы {1, p k, q k } в L 2 Ω и L 2 Γ вытекает, что u удовлетворяет 7 и поэтому является решением задачи II. Ряд 8 мажорируется на Ω числовым рядом a + a k + b k. 9 Осталось доказать, что ряд 9 сходится. Очевидно, что a k C f, p k Ω C f, p k Ω r + f, q k Ω r. Здесь и ниже через C обозначаются положительные постоянные, не зависящие от k. Кроме того, f, p k Ω r C r k. Интегрируя по частям и используя неравенство Гельдера, получаем f, p k Ω = 1 2 r ˆfρ, φ ρ k+1 coskφ dφ dρ = k ˆf φρ, φ ρ k+1 sinkφ dφ dρ = r = 1 k f τ, q k Ω 1 r k f τ L 1+ε Ω r q k L 1+1/ε Ω где δ = δε >. Следовательно, a k C r r k + 1. k 1+δ Оценка для b k получается аналогичным образом. В итоге a k + b k C r k + 1. k 1+δ Так как r, 1, δ >, то числовой ряд 9 сходится. C k 1+δ,

10 24 А. А. Илларионов, Л. В. Илларионова Доказательство теоремы 2 и следствия 1 Доказательство теоремы 2. Пусть 1 u x = t utx dt, x Ω, где функция u является решением задачи I. Так как 1 t p k tx dt = + k + 1 p k, то, используя формулу 5, получаем u x = + 1 α + 1 t q k tx dt = k α kp k x + β k q k x = a + Поэтому, по лемме 7, u является решением задачи II. Лемма 8. Пусть ˆv C ˆΩ и + k + 1 q k, a k p k x + b k q k x. ˆv ρ, φ = 1 t ˆvtρ, φ dt, ρ, φ ˆΩ. Тогда для любого компакта Q ˆΩ и натурального n ˆv ˆv C n Q при +. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда Q замкнутый шар радиуса R, 1 с центром в точке x =. Возьмем любые целые k, m. Положим wρ, φ = Нужно доказать, что k+m ρ k φ ˆvρ, φ, w ρ, φ = k+m m ρ k φ ˆv ρ, φ, m ρ, φ [, R] [, 2]. w w равномерно на [, R] [, 2]. 1 Используя определения w, w и применяя формулу интегрирования по частям, получаем 1 w ρ, φ = 1 t +k+1 wρt, φ dt = + k + 1 t wρ, φ + R ρ, φ, 11 + k + 1 t +k wρt, φ dt = =

11 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа 241 где 1 R ρ, φ = t +k+1 wρt, φ t Так как ˆv C ˆΩ, то найдется такая постоянная C >, что wρt, φ t C, ρ, φ [, R] [, 2], t, 1. Значит, 1 max ρ,φ [,R] [,2] R ρ, φ C t +k+1 dt = dt. C + k + 1 Используя 11 и последнее соотношение, получаем 1. Следствие 1 вытекает из формулы 4 и леммы 8. Список литературы при k. [1] Ж.-Л. Лионс, Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, Мир, М., [2] Лионс Ж.-Л., Управление сингулярными распределенными системами, Мир,. М., [3] Фурсиков А. В., Оптимальное управление распределенными системами, Теория и приложения, Научная книга, Новосибирск, [4] Илларионов А. А., Разрешимость экстремальных задач для уравнения Пуассона и системы Стокса, Дальневост. матем. журн., 8:2 28, [5] Треногин В. А., Функциональный анализ, Наука, М., 198. Представлено в Дальневосточный математический журнал 21 мая 214 г. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект A, комплексной программы фундаментальных исследований ДВО РАН "Дальний Восток" 42П раздел 2.2. Illarionov A. A., Illarionova L. V. Analytic solutions of extremal problems for the Laplace s equation. Far Eastern Mathematical Journal V P ABSTRACT We present analytic solutions of extremal problems for the Laplace s equation. Key words: Laplace s equation, extremal problems, optimal control problems for partial differential equations.

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ

УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ 84 Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 23. Специальный выпуск. УДК 517.928 УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ c 23 О.П. Филатов 1 Приводятся условия, которые позволяют приближенно

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Оглавление. Введение в функциональный анализ: учебное пособие. А. А. Илларионов. 26 декабря 2008 г.

Оглавление. Введение в функциональный анализ: учебное пособие. А. А. Илларионов. 26 декабря 2008 г. Оглавление Введение в функциональный анализ: учебное пособие А. А. Илларионов 26 декабря 2008 г. Г л а в а I. Пространства 3 џ 1 Линейные пространства................... 3 џ 2 Нормированные пространства................

Подробнее

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 7.1 Определение гильбертова пространства.

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

7. Преобразование Фурье.

7. Преобразование Фурье. 7. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье занимает важнейшее место в теории распределений, теории дифференциальных уравнений и математике вообще. Хорошо известно, что преобразование Фурье интегрируемой

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

К обратной задаче спектрального анализа для одного класса дискретных операторов в гильбертовом пространстве

К обратной задаче спектрального анализа для одного класса дискретных операторов в гильбертовом пространстве Математика и её пpиложения: ЖИМО. 20. Вып. (8). С. 29 38. УДК 57.946 Н. Г. Томин К обратной задаче спектрального анализа для одного класса дискретных операторов в гильбертовом пространстве Ключевые слова:

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. 4 (2013). С. 84-90. УДК 517.5 ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ О.А. КРИВОШЕЕВА Аннотация. В работе изучаются вопросы сходимости

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ ISSN 74-1871 Уфимский математический журнал. Том 5. (13). С. 3-11. УДК 517.968 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ С.Н. АСХАБОВ, А.Л. ДЖАБРАИЛОВ Аннотация. Методом потенциальных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Лекция 11. Метод Галеркина в сочетании с методом компактности.

Лекция 11. Метод Галеркина в сочетании с методом компактности. Лекция 11. Метод Галеркина в сочетании с методом компактности. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 5 ноября 211 г. Постановка задачи. Пусть Ω ограниченная область

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОЙ СРЕДЕ УДК 57958 ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОЙ СРЕДЕ АБЛАБЕКОВ БС izvsiya@uang Исследуются вопросы существования и единственности классического

Подробнее

Методы математической физики

Методы математической физики Методы математической физики Семинары 5-6. Уравнение Лапласа и задача о стационарном распределении температуры. Мих. Дмитр. Малых Физический факультет МГУ 2012/13 уч. г., версия от 17 сентября 2012 г.

Подробнее

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx С. С. Платонов Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье f(x) = n= c n e inx Петрозаводск 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

Подробнее

Э. М. Вихтенко, Т. М. Попова УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Э. М. Вихтенко, Т. М. Попова УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона ВВЕДЕНИЕ При изучении стационарных процессов различной физической природы (колебания теплопроводность диффузия и др обычно приходят к уравнениям эллиптического типа Наиболее распространенным уравнением

Подробнее

Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами

Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 20, 4(), 77 84 УДК 57.55 Формулы Сохоцкого-Племеля для интеграла Бохнера-Мартинелли в областях с коническими ребрами Давлатбай Х. Джумабаев

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 18 18.1. Компактные метрические пространства (продолжение) В качестве простого следствия доказанной на прошлой лекции теоремы 17.5 мы получаем известный вам

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский Государственный Университет Факультет математического моделирования и процессов управления Специальность Программное обеспечение вычислительной техники

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. М. Ильин, М. А. Меленцов, Асимптотика решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при больших значениях времени, Тр. ИММ УрО РАН, 25,

Подробнее

Обновлено 4 сентября 2014 г. Лекция 1

Обновлено 4 сентября 2014 г. Лекция 1 Лекция 1 Глава V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение) 6. Теорема об обратной функции Замечание разрешимости системы линейных уравнений Ax = y, m = n, m > n, m < n. Теорема

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 5 5.1. Гильбертовы пространства (продолжение) 5.1.1. Унитарные изоморфизмы Обсудим теперь, какие предгильбертовы пространства следует считать «одинаковыми».

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. А. Многочлены Чебышева - Эрмита

СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. А. Многочлены Чебышева - Эрмита . СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ А. Многочлены Чебышева - Эрмита Вводные замечания При решении многих важных задач математической физики, квантовой механики, теоретической физики приходится

Подробнее

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА С ЧИСТО КОМПТОНОВСКИМ РАССЕЯНИЕМ Д. С. Аниконов, Д. С. Коновалова

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА С ЧИСТО КОМПТОНОВСКИМ РАССЕЯНИЕМ Д. С. Аниконов, Д. С. Коновалова Сибирский математический журнал Январь февраль, 25. Том 46, 1 УДК 517.958 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА С ЧИСТО КОМПТОНОВСКИМ РАССЕЯНИЕМ Д. С. Аниконов, Д. С. Коновалова Аннотация: Исследуется

Подробнее

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных Сибирский математический журнал Январь февраль, 26. Том 47, УДК 57.9+57.929 ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко, В. А. Лихошвай,

Подробнее

Программа курса ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. Факультет информационных технологий, II курс, II семестр

Программа курса ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. Факультет информационных технологий, II курс, II семестр Программа курса ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Факультет информационных технологий, II курс, II семестр. Организационно-методический раздел.. Учебный курс «Теория функций и функциональный анализ»

Подробнее

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 23 февраля 2012 г.

Подробнее

О некорректной граничной задаче для уравнения теплопроводности

О некорректной граничной задаче для уравнения теплопроводности М. Т. Дженалиев, д-р физ.-мат.наук Ин-т математики МОН РК (Казахстан, 050010, Алматы, ул.пушкина, 125, тел. (727) 2912336, E-mail: dzhenali@math.kz) Т. Ш. Кальменов, академик, д-р физ.-мат.наук Ин-т математики,

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ.

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. Журнал технической физики, том XVIII, вып 7, 1948 А Н Тихонов, А А Самарский О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ Несмотря на то, что утверждение о возможности разложения произвольного

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

u tt (x, t) + u xx (x, t) = a(t)u(x, t) + f(x, t) (1)

u tt (x, t) + u xx (x, t) = a(t)u(x, t) + f(x, t) (1) Владикавказский математический журнал 13, Том 15, Выпуск 4, С. 3 43 УДК 517.95 ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ Я.

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Т. Ш. Кальменов, Н. Е.

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Т. Ш. Кальменов, Н. Е. Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 213. Том 54, 6 УДК 517.95 ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Т. Ш. Кальменов, Н.

Подробнее

1. Постановка задачи и сведение её к одномерному случаю

1. Постановка задачи и сведение её к одномерному случаю А С КУТУЗОВ ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА Предложено решение одной двумерной граничной обратной задачи с подвижной границей оптимальным по порядку методом Впервые

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ Т. С.

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ Т. С. Сибирский математический журнал Март апрель, 2005. Том 46, 2 УДК 517.956.25 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

Подробнее

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача 1 Задача Лагранжа Все задачи, изученные нами в предыдущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении Аналитическая

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ IN 2074-863 Уфимский математический журнал. Том 2. 2 (200). С. 4-52. УДК 57.95 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ Б.Е. КАНГУЖИН,

Подробнее

Г. С. КОСТЕЦКАЯ, Т. Н. РАДЧЕНКО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. (учебное пособие)

Г. С. КОСТЕЦКАЯ, Т. Н. РАДЧЕНКО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. (учебное пособие) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г. С. КОСТЕЦКАЯ,

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

1. Постановка задачи Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью

1. Постановка задачи Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью УДК 5175 ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ПО НЕТОЧНЫМ НАЧАЛЬНЫМ ДАННЫМ Н Д ВЫСК, К Ю ОСИПЕНКО Аннотация В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового

Подробнее

Дискретный аналог формулы суммирования Эйлера

Дискретный аналог формулы суммирования Эйлера Дискретный аналог формулы суммирования Эйлера Устинов А В УДК 51117 В работе доказывается дискретный аналог формулы суммирования Эйлера Отличие от классического варианта формулы Эйлера заключается в том,

Подробнее

Математические основы современной теории краевых задач для уравнений с частными производными

Математические основы современной теории краевых задач для уравнений с частными производными Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный инновационный комплекс «Модели, методы и программные средства» Основная образовательная

Подробнее

Условия второго порядка в вариационном исчислении

Условия второго порядка в вариационном исчислении Глава 5 Условия второго порядка в вариационном исчислении В этой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления и задаче Больца. Это классические условия

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко

Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко УДК 575 О НАИЛУЧШЕМ ВЫБОРЕ ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПО СПЕКТРУ Г Г Магарил-Ильяев, К Ю Осипенко В работе рассматривается следующая задача Пусть имеется возможность измерить (вообще говоря,

Подробнее

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ 3 2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ Рассмотрим пару скалярных ПОСДУ с параметрами a i, σ i, ζ i, f i, i = 1, 2. ξ i (θ) = x + θ y i () = ζ i + a i (, ξ i (), y i (), z i ())d + θ f i (θ, ξ i (θ), y i (θ),

Подробнее

Тема: Предел функции

Тема: Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции предел функции и его свойства, бесконечно большие функции и их свойства Лектор Янущик ОВ 215 г 3 Предел функции 1 Определение предела

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕТНОГО И НЕЧЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ БЕССЕЛЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Л.Б.

ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕТНОГО И НЕЧЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ БЕССЕЛЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Л.Б. ISSN 8-98. Вестник ТГУ, т., вып., 5 УДК 59.9:53 ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕТНОГО И НЕЧЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ БЕССЕЛЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Л.Б. Райхельгауз Ключевые слова:

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 1 1.1. Введение По-видимому, не существует единого общепринятого мнения о том, что такое функциональный анализ. Наиболее широкая точка зрения состоит в том,

Подробнее

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II Ю. Г. Решетняк

СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II Ю. Г. Решетняк Сибирский математический журнал Июль август, 2004. Том 45, 4 УДК 517.54 СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II Ю. Г. Решетняк Аннотация: Доказывается эквивалентность определений

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы тензорного анализа Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. кафедра Проблемы теор. физики, II курс Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 4. а) Алгебра Ли so(3, R) изоморфна алгебре векторов R 3. б) Обозначим через SU(2) группу унитарных

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение В этой лекции мы продолжим

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее