1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim"

Транскрипт

1 ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует предел f f f lim lim, то он называется производной функции f в точке d Существуют и другие обозначения производной:, d Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования, а если f конечна, то функция f называется дифференцируемой Прежде чем воспользоваться таблицами производных, надо установить, является функция простой или сложной Функция f называется сложной, если есть функция от :, т е f Производная сложной функции вычисляется по формуле f f, т е сначала вычисляется производная функции f по переменной, и затем по переменной она умножается на производную функции Правила дифференцирования c (c const) f f f f f f f f f f а cf c f f f f f f f ( f ) f, если f, Разумеется, что для справедливости этих правил необходимо существование производных f f, f,, n n n Таблица производных ( n R)

2 cos cos 6 tg arccos ( cos arc ( ) arctg a a ln a ( a, ar ) 7 ctg 8 9 ) arcctg ln a log ln Пример Найти производные функций: а) cos ; б) ln ; в) tg Решение а) Функция это произведение двух функций f cos и f, поэтому по третьему правилу дифференцирования: cos cos cos Из таблицы производных находим, что cos, и так как, то cos ; ln ln Значит, cos ln ln cos б) ln ln ln cos cos tg tg в) tg tg tg cos tg Пример Найти производные функций: а) ctg ; б) ; в) a

3 Решение а) Функция это сложная функция ctg, Тогда по формуле таблицы производных ctg ctg, а по формуле ctg Таким образом, ctg б) Используем правило дифференцирования а: Функция сложная, Поэтому cos в) 8 Дифференцирование неявных функций Если функция f такова, что подстановке ее в уравнение, F, последнее обращается в тождество, то говорят о неявном задании функции f Например, уравнение неявно задает функцию (а также функцию ) Однако не всегда удается перейти от неявного задания функции к явному Пусть дифференцируемая функция f задана уравнением, F Тогда дифференцируем левую и правую часть уравнения, считая сложной функцией, и выражаем из уравнения Пример Найти производную функции Решение ; Так как cos cos cos,,

4 ,, 6 то cos Слагаемые, содержащие, переносим в левую часть, а все остальное в правую: cos cos, cos cos Логарифмическое дифференцирование Довольно часто возникает необходимость вычисления производной сложной функции, где, дифференцируемые функции В этом случае поступим следующим образом: логарифмируем ln ln, продифференцируем это равенство по ln ln, ln Отсюда имеем: ln ln Нет необходимости запоминать эту формулу Достаточно понять идею функцию сначала логарифмируем, затем дифференцируем полученное равенство и находим производную Пример Найти производную функции arc Решение Логарифмируем функцию : lnarc ln Дифференцируем это равенство по : lnarc ln arc lnarc lnarc arc lnarc arc arc

5 7 Поэтому arc ln arc arc Производные высших порядков Если производная f функции f определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную, то эта производная от f называется второй производной (или производной второго порядка) функции f в точке и обозначается одним из следующих символов: f, f,, d d f,, d d Третья производная определяется как производная от второй производной и т д Если уже введено понятие n -й производной и если n -я производная имеет производную в точке, то указанная производная называется n -й производной (или производной n -го порядка) и обозначается n n d f d f n, n или, n n d d Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивно по формуле: n n Функция, имеющая n -ю производную в точке, называется n раз дифференцируемой в этой точке d Пример Найти функции arc d d Решение arc d d d d d d Пример 6 Найти, если d d Решение Находим d ln ln ln ln ln ln

6 d d d Теперь найдем вторую производную Имеем d d d ln ln ln 8 Дифференцирование функции, заданной параметрически t Пусть даны две функции, () t t имеет обратную функцию где t t ;t назовем параметром Причем t Тогда из () f, т е является функцией от t Задание функции f через называется параметрическим t Если функции t, t имеют производные t и t, то функция f также имеет производную, вычисляемую по формуле d t t () d t t Вторая производная вычисляется по формуле d t t t t d () t Пример 7 Функция задана параметрически: cost, t ln t, t Найти и Решение Найдем t t cost t t t t ln t t t Тогда по формуле () t t t t Для вычисления найдем t t t t t t cost 6cos t t 6cost t Подставим в формулу (): t t 8 t t 6cost t 8 t t tcost t t t t

7 9 t t 8t t t cost 6 Уравнение касательной к нормали Касательной к линии L в точке M (рис ) называется прямая T MT, с которой стремится совпасть секущая MM, когда точка M, оставаясь на L, стремится M - будь то справа или слева Если линия L есть график функции f, то угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в соответствующей точке Если график не имеет касательной, функция f не имеет производной и наоборот Рис Эти видно из рис Угловой коэффициент k секущей равен QM m Если M стремится к M, то m имеет пределом угловой MQ коэффициент k касательной Значит, k lim, т е k f Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом: k, значит уравнение касательной к кривой f в точке f, где f Нормалью к кривой f в точке называется прямая, перпендикулярная касательной Условие перпендикулярности двух прямых: k, значит уравнение нормали будет иметь вид: k f Пример 8 Составите уравнение касательной и нормали к кривой f в точке Сделать чертеж Решение f f, Уравнение касательной: Уравнение нормали: f ;,,

8 Сделаем чертеж парабола, ветви направлены вниз b Вершина,, 8 a Точки пересечения с осью OX :,,, -, ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ Изучение количественной стороны различных явлений природы приводит к установлению и изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении величинами Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то мы получаем возможность исследовать эту функциональную зависимость средствами математического анализа Установим общие приемы исследования поведения функции Возрастание и убывание функции Дадим некоторые определения Определение Если функция f такова, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция f называется возрастающей Аналогичным образом определяется убывающая функция Пример 9 Функция Q R при R есть возрастающая функция, так как большему значению R соответствует большее значение Q Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции Теорема Если функция f, имеющая производную на отрезке a, b, возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке a, b не отрицательна, то есть f Теорема Если функция f непрерывна на a, b и дифференцируема в промежутке a, b, причем f для a b, то эта функция возрастает на отрезке a, b

9 Геометрически: если на a, b функция f возрастает, то касательная к кривой f в каждой точке на этом отрезке образует с осью O угол : f tg Если f убывает на отрезке a, b, то угол наклона касательной тупой Максимум и минимум функций Определение максимума Функция f в точке имеет максимум, если значение функции f в точке больше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку Иначе: функция f имеет максимум при, если f f при любых (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине Определение минимума Функция f имеет минимум при, если f f при любых как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине Сформулируем необходимое условие существования экстремума Если дифференцируемая функция f имеет в точке максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, то есть f Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю, либо в тех точках, где производная не существует или бесконечна Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль, бесконечность или не существует, называются критическими точками Не всякая критическая точка является точкой экстремума Для отыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции Исследование функций в критических точках опирается на следующие теоремы Теорема Достаточные условия существования экстремума Пусть функция f непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ) Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум Правило исследования на экстремум функции f : Находим область определения функции Ищем первую производную функции, т е f Находим критические значения аргумента :

10 а) приравниваем первую производную нулю и находим действительные корни уравнения f ; б) находим значения, при которых производная f терпит разрыв Проверяем, входит ли критическая точка в область определения функции Исследуем знак производной слева и справа от критической точки 6 Вычисляем значение функции f при каждом критическом значении аргумента Исследование на экстремум можно провести с помощью второй производной Теорема Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки, причем f и выполняется условие: f существует и непрерывна в окрестности точки и f Тогда функция f имеет в точке экстремум: если f, то является точкой минимума функции, если f точка является точкой максимума функции f Пример Исследовать на максимум и минимум функцию Решение Находим область определения функции: определена на всей числовой оси Находим первую производную функции: 6 Находим критические значения аргумента : или 6 ; ; ; Функция определена на всей числовой оси, поэтому точки,, являются критическими, других критических точек нет, так как существует всюду Исследуем знак производной слева и справа от критических точек Критические точки делят область определения на интервалы Проверяем знак f в каждом интервале и изображаем схематически: убывает, возрастает: ma Исследуемая функция имеет одну точку экстремума точку максимума Вычислим значение в точке,, функция возрастает, а в интервале, функция убывает В интервале

11 Выпуклость и вогнутость кривой Точки перегиба Определение Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале a, b, рис, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале; кривая обращена выпуклостью вниз на интервале b, c, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале a c b c Рис Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз вогнутой Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы Установим признаки, по которым можно было бы судить о направлении выпуклости графика функции f на различных интервалах Теорема Если во всех точках интервала a, b вторая производная функции f отрицательна, то есть f, то кривая f на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла) Теорема 6 Если во всех точках интервала b, c f, то кривая f на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута) Определение Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой Теорема 7 (Достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба) Пусть кривая определяется уравнением f Если f a или f a не существует и при переходе через значение a производная f меняет знак, то точка перегиба кривой с абсциссой a есть точка перегиба Правило исследования на выпуклость, вогнутость, точку перегиба: Находим область определения функции f Находим f Находим f Приравниваем f к нулю и определяем, где она не существует или равна Находим критические точки второго рода Проверяем, принадлежат ли эти точки области определения функции, если нет, то их отбрасываем

12 6 Проверяем знак f левее и правее критической точки второго рода Если знаки разные, то это точка перегиба По знаку f определяем интервалы выпуклости и вогнутости Пример Исследовать на выпуклость, вогнутость, точку перегиба функцию Решение Находим область определения функции:, т е,, f 6 f 8 f не может обращаться в ноль, а в точке f Точка не принадлежит области определения функции, и поэтому она не может быть точкой перегиба Точка делит область определения функции на два интервала:, и, 6 В интервале, f, следовательно, функция выпукла вверх; в интервале, f, следовательно, функция выпукла вниз (вогнута) Не имея точек перегиба, кривая меняет направление выпуклости при переходе через точку разрыва Асимптоты Очень часто приходится исследовать форму кривой f, а значит, и характер изменения соответствующей функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно Введем понятие асимптоты кривой Определение Прямая A называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю Различают асимптоты вертикальные (то есть параллельные оси ординат) и наклонные (то есть не параллельные оси ординат) Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти значения a, при приближении к которым функция f стремится к бесконечности Тогда прямая a

13 будет вертикальной асимптотой Наклонная асимптота имеет вид k b, где f k lim ; b lim f k 6 Пример Найти асимптоты кривой Решение Прямая для данной функции является вертикальной асимптотой, так как предел функции равен бесконечности при lim Находим вертикальные асимптоты k b : 6 f 6 k lim lim lim 6 6 b lim f k lim lim lim lim вертикальная асимптота Других асимптот нет, так как при значения k и b будут те же самые Составим общий план исследования функции и построения графиков Для построения графиков функций находим: Область определения функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты Четность функции Точки экстремума и значения функции в этих точках, интервалы монотонности Области выпуклости и вогнутости, точки перегиба Наклонные асимптоты На основании проведенного исследования строим график функции Замечание Функция f называется четной, если при смене знака аргумента не изменяется значение функции, то есть f f и наоборот f называется нечетной, если при смене знака аргумента меняется знак функции, то есть f f График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат Пример Исследовать функцию и построить ее график

14 6 Решение Область определения функции,, точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет Область непрерывности совпадает с областью определения функции f f функция нечетная, график симметричен относительно O, Исследуем на экстремум: Находим критические точки: ; ; ; при функция убывает, при функция возрастает, при функция убывает Находим значение функции в точке и точке ; Определим области выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой: ; ; ; при кривая выпуклая, при кривая вогнутая, при кривая выпуклая, при кривая вогнутая Находим асимптоты кривой: k b

15 k b lim lim f 7 lim lim k lim lim f асимптота Строим график функции: НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ Наибольшее и наименьшее значения функции связаны с понятием экстремума функции Определение Максимумом ma или минимумом min функции f называются такие ее значения f, для которых имеют место неравенства f h f (для случая максимума) и f h f (для случая минимума) при любых значениях h, положительных и отрицательных Таким образом, в точках максимума (минимума) значение f больше (соответственно меньше) всех соседних значений функции В математическом анализе понятия максимума и минимума объединяются одним словом «экстремум» Сформулируем необходимое условие экстремума Если функция f имеет в точке максимум и минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т е f Корни уравнения f называются критическими точками функции f Для определения экстремума в критических точках используют достаточные условия Подробно с достаточными признаками экстремума

16 8 можно ознакомиться в учебнике [, с 9 6] Мы сформулируем правила исследования на экстремум функции Находим область определения функции (ООФ) Находим критические точки Для этого первую производную приравниваем к нулю ( ) или определяем, в каких точках производная равна или не существует Проверяем, принадлежат ли критические точки ООФ Если нет, то их отбрасываем Проверяем знак левее и правее критических точек Если знак меняется с плюса на минус, то в точке максимум; с минуса на плюс, то эта точка минимума Пример Исследовать на экстремум функцию Решение ) ООФ все действительные числа ( R) ) Находим критические точки: f,,,, ) ООФ, ООФ, ООФ ) f, если ; f, если ; f, если ; f, если ; f, если ; f, если Значит, в точке данная функция достигает минимума; min f ; в точке экстремума нет; в точке максимум; 6 ma f Сформулируем правила для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f на отрезке a ; b: Находим ООФ Проверяем, принадлежат ли a ; b ООФ Находим критические точки Проверяем, принадлежат ли они a ; b Находим значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку a ; b, и на концах f i, f a, f b 6 Выбираем наибольшее и наименьшее значения Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции 6 на отрезке ; Решение ) ООФ все действительные числа;

17 ) ; ООФ; ) Находим критические точки: 6; 6 ; 9, ; ; ) ;, ; ; ) ; ; Ответ: наиб ; наим Пример 6 Тело двигалось со скоростью v t 8t Найти наибольшую и наименьшую скорость в течение секунд движения Решение Находим производную v t 8 и критические точки t Значит, внутри отрезка ; имеется только одна критическая точка t При t функция v имеет максимум, равный 9, который и дает наибольшее значение скорости: v наиб 9 см/с Вычислим v при t и при t Получим соответственно и 6 Следовательно, наименьшее значение скорости v см/с; такую скорость тело имеет в начальный момент t наим ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ f При вычислении предела отношения может оказаться, что при a числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, то есть являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими величинами Говорят, что в этих случаях мы имеем дело с неопределенностями вида или Вычисление предела в этом случае называется «раскрытием неопределенности» и производится по правилу Лопиталя Правило Лопиталя Пусть заданы две функции f и и выполняются условия: ) lim f и lim или a a lim f и a lim ; a ) они имеют первые производные в окрестности точки a (за возможным исключением самой точки a ); ) и в окрестности точки a ; f f ) существует lim, тогда существует lim и имеет место равенство a a f f lim lim, a a если этот предел существует конечный или бесконечный

18 Сущность этого правила состоит в том, что в случае «неопределенностей» вида или вычисление предела отношения функций, при соблюдении указанных требований, заменяется вычислением предела отношения их производных, которое в большинстве случаев оказывается проще В случае, когда и отношение производных приводит в «неопределенностям» вида или, снова применяют правило Лопиталя 8 Пример 7 Найти lim 6 Решение Если в данную дробь поставить вместо, то получится «неопределенность» вида Применяя правило Лопиталя, получим: 8 8 lim lim 6 6 lim 6 6 Пример 8 Найти lim 8 Решение Здесь имеет место неопределенность Применяем правило Лопиталя: lim lim lim lim lim В этом примере правило Лопиталя применили два раза Отметим, что правило Лопиталя применяется для раскрытия только «неопределенностей» вида и Все остальные виды «неопределенностей» (,,,, ) сначала приводятся к «неопределенностям» или с помощью различных преобразований, а затем применяется правило Лопиталя Раскрытие «неопределенности» : Если lim f и lim, то для определения предела a a lim f надо преобразовать разность f a к виду

19 f f, f тогда f lim f lim a a f и раскрываем по правилу Лопиталя Пример 9 Найти lim Решение Если в данную дробь поставить вместо, то получится «неопределенность» Выражение, стоящее в скобках, приводим к общему знаменателю и получаем: lim lim lim lim Раскрытие «неопределенности» Пусть lim f, lim ; тогда a f a f или f, f f lim f lim lim a a f то есть «неопределенность» вида «неопределенности» вида или Пример Найти lim ln, может быть сведена к Решение При ln, а величина бесконечно малая, поэтому здесь имеет место «неопределенность» вида ln ln lim ln lim lim lim lim «Неопределенности» вида ; ; «Неопределенности» этих видов сводятся к «неопределенности» вида, которая была рассмотрена выше Это достигается с помощью тождества ln f f ; ( f ),

20 тогда ln f lim f lim a a предела lim ln f a lim a Пример Найти lim cos Решение lim cos ln cos ; lim ln cos ln f cos lim cos lim Найдем ln cos lim ln cos lim lim lim tg и все сводится к определению ln cos cos, поэтому Окончательно получаем lim cos а) а) ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ d I Найти производные данных функций: d 7 cos б) в) 7 arctg cos ctg д) arc г) б) cos ln ln г) cos д) в) 6 ln arc а) б) в) arc г) ctg д) 6 а) 9 б) arctg 7 в) ln г) д) 7 а) б) в) cos cos tg

21 ln г) 6 а) 7 а) cos д) tg arctg б) в) 6 ln д) tg г) б) tg arc д) ctg arc7 г) 8 а) г) tg 9 а) ln arc в) 7 б) ln д) arctg cos 7 в) arctg arctg б) 8 cos в) arc ln arctg г) д) ctg а) б) tg в) 7 г) д) ln d d II Найти и : d d а) ctg б) t ; t а) arccos б) а) 6 б) t ln t t ; 9t ; t ln t а) ln б) t ; cos t а) arc б) 6 а) ctg б) 7 а) arcctg б) 7t t ; t ; 7 t cost t ; lnt 8 а) arctg б) ln cost ; ln t 9 а) б) t 8 ; t t а) arc б) t ; cos t 8 tg cos III Найти наибольшее и наименьшее значения f на отрезке a ; b: f 7 ; 6 f ;

22 7 f ; 7 f cos ; f ; 8 f ; cos f ; 9 f 6 ; f ; f ; IV Исследовать методами дифференциального исчисления функции f ; используя результаты исследования, построить ее график: а) 6 а) а) 7 а) 6 8 а) 8 а) а) 9 9 а) 6 а) 8 а) 6 V Составить уравнения касательной и нормали к кривой f Сделать чертеж, 6, 7, 8,, 9,,,,, VI Найти пределы функций по правилу Лопиталя: arctg а) lim б) lim ln а) lim б) lim ctg а) lim б) lim cos а) lim б) lim ln cos а) lim б) lim 6 а) lim б) lim в точке

23 7 а) 8 а) lim ln lim cos cos ln 9 а) lim 6 а) lim cos б) lim б) lim ctg б) lim tg б) lim ln ln Библиографический список Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисления М: Наука, 98 9 с Сборник задач по математике для втузов / Под ред Ефимова ЛВ и Демидовича БП М: Наука, с Данко ПЕ, Попов АГ и др Высшая математика в упражнениях и задачах: В ч М: Высш шк, 986 Ч с Бронштейн ИН, Семендяев КА Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов М: Наука, с Мантуров ОВ, Матвеев НМ Курс высшей математики М: Высш шк, с 6 Фихтенгольц ГМ Курс дифференциального и интегрального исчисления Т М: Наука, с


1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной

Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной Еще готовые работы: https://www.matburo.ru/sub_appear.php?pissl Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной Задача. Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции:

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление ФГОУ СПО ЛТК МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Дифференциальное исчисление Ст Ленинградская 00г Предисловие Настоящее пособие написано в соответствии с программой по математике для студентов средни профессиональны

Подробнее

3. Производная функции

3. Производная функции . Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач 0. Исследование функций 0.. Основные формулы и определения для решения задач Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределённости 00 или к вычислению

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Материалы для подготовки к экзамену Содержание Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену... Содержание...

Подробнее

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0 Построить график функции y Областью определения функции является интервал ( ;0) (0; ) Функция y является четной, тк y( ) y( ), а ( ) график функции симметричен относительно оси OY 3Рассмотрим поведение

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций с помощью производной Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

Подробнее

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков»

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Практическая работа 6 Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Цель работы: научиться исследовать функции по общей схеме и строить графики. В результате выполнения работы студент должен:

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). 6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет УГТУ Дифференциальное исчисление

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки Вариант Найти область определения функции : y lg Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > и lg или Достаточно рассмотреть второе неравенство так как первое неравенство перекрывается

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

Решение задач на тему "Производная"

Решение задач на тему Производная МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции }

{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } { интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } Интервалы монотонного возрастания и убывания функции

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Контрольная по высшей математике за 1 курс

Контрольная по высшей математике за 1 курс Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatbror Контрольная по высшей математике за курс Найдите производные от данных функций: а, б tg tg, в arctg, Решение a Тк,, то воспользуемся формулой из таблицы

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1. Возрастание и убывание функции. Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция f была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Аналогично, условие

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ЛЕСНОЕ И ЛЕСОПАРКОВОЕ ХОЗЯЙСТВО» (2 КУРС)

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ЛЕСНОЕ И ЛЕСОПАРКОВОЕ ХОЗЯЙСТВО» (2 КУРС) Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Томский лесотехнический техникум» КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 5.0.0 «ЛЕСНОЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 2 ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 2 ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций 5 Производная

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная»

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» Составители: Глазунова Т.С., преподаватель ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Новикова Н.П.,

Подробнее

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений.

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений. Вариант Найти область определения функции : si + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и si Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π (k+ π,

Подробнее

Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ.

Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Определения и свойства Определение производной функции в заданной точке. Производной

Подробнее