ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ"

Транскрипт

1 ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала

2 УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие (практикум) для самостоятельной работы студентов по дисциплине «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров «Информационная безопасность» Махачкала: издательство «Формат» ДГИНХ - 5 с Цель данного пособия - помочь студентам лучше освоить понятия курса научить решать задачи по этому разделу математики Составитель - ст преподаватель кафедры математики ДГИНХ Бабичева ТА Внутренний рецензент: Гереева Тату Рашидовна к э нзав кафедрой мат методы ДГИНХ Внешний рецензент: Магомедова Вазипат Гусейновна кандидат физикоматематических наук доцент кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета Рекомендовано к утверждению и изданию Учебно-методическим советом ДГИНХ проректор по учебной работе ДГИНХ председатель Учебнометодического совета доктор экономических наук профессор Казаватова НЮ 5 января г Одобрено кафедрой «Математика» протокол 6 от 4 января г зав кафедрой Назаров АД Печатается по решению Учебно-методического совета Дагестанского государственного института народного хозяйства

3 СОДЕРЖАНИЕ Дифференциальные уравнения I порядка Уравнения с разделяющимися переменными Однородные дифференциальные уравнения 8 Уравнения в полных дифференциалах 4 Линейные дифференциальные уравнения Ι порядка 8 5 Уравнения Бернулли 6 Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка 7 7 Однородные линейные уравнения ΙΙ порядка с постоянными коэффициентами 8 Неоднородные линейные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами Метод вариации произвольных постоянных 6 9 Линейные неоднородные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами Метод неопределенных коэффициентов 4 Системы дифференциальных уравнений 45 Нормальная система дифференциальных уравнений 45 Библиографический список 49

4 Дифференциальные уравнения I порядка Уравнения с разделяющимися переменными Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка называется уравнение вида F ( ' ) () связывающее независимую переменную искомую функцию f () и её производную '( ) Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция ϕ() которая будучи подставленной вместе со своей производной в уравнение обращает его в тождество F [ ϕ ( ) ϕ' ( ) ] Любое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется его общим решением Общее решение дифференциального уравнения I порядка является функцией зависящей от одной произвольной постоянной ϕ( ) Если решение найдено в неявной форме Φ( ) то его называют общим интегралом дифференциального уравнения Пример Дано уравнение ' Общим решением уравнения является + Частным решением уравнения является Задача Коши для уравнений I порядка: найти решение которое удовлетворяло бы начальным условиям где - заданные числа

5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Если функция f ( ) уравнения () непрерывна в области D и имеет в ней dϕ непрерывную частную производную то для любой внутренней точки M ) области D задача Коши имеет единственное решение ( удовлетворяющее условиям d С геометрической точки зрения: общее решение ϕ( ) в декартовой системе координат при различных значениях произвольной постоянной изображает множество кривых которые называют интегральными кривыми; задача Коши состоит в отыскании той интегральной кривой которая проходит через заданную точку M ); ( дифференциальное уравнение ' f ( ) в каждой точке области D определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой проходящей через эту точку те задает на плоскости поле направлений Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение I порядка ' f ( ) называется уравнением с разделяющимися переменными если его правая часть есть произведение функций одна из которых зависит от переменной другая от : ' f( ) f ( ) Уравнение записанное в симметричной форме ( ) d + Q( ) d является уравнением с разделяющимися переменными если множители P ( ) и Q ( ) представляют собой произведение функций из которых одна зависит только от переменной другая от переменной : ) ϕ ( ) d + ψ ( ) ψ ( ) d 4 Р ϕ ( Разделить переменные значит преобразовать уравнение так чтобы каждая переменная содержалась только в том слагаемом которое содержит её дифференциал Для этого достаточно уравнение привести к форме d d и умножить обе его части на функцию f( ) f ( ) d f ( ) d f( ) d f ( ) Полученное равенство можно проинтегрировать: в результате чего получится

6 d f( ) d + с f ( ) Уравнение необходимо разделить почленно на выражение ( ) ϕ ( ) Получаем равенство которое можно проинтегрировать: ϕ( ) ψ ( ) d + d ψ( ) ϕ ( ) ϕ( ) ψ ( ) d + d ψ ( ) ϕ ( ) Пример Найти решение задачи Коши для уравнения удовлетворяющее начальным условиям ( ) Решение Разделим переменные: d b a; d d d b a Проинтегрируем полученное равенство: d( b a) d; a b a ln b a + a ' + а b ψ Упростим результат интегрирования и запишем общее решение (общий интеграл) уравнения: ln b a a a b a b a пусть b a a a + aa Найдём значение произвольной постоянной: подставляя начальные условия в общее решение находим a a a b a a Запишем ответ частное решение уравнения: b a ( a ) Пример Найти решение задачи Коши для уравнения ( )' удовлетворяющее начальным условиям () 5

7 Решение Данное уравнение где ( f ) f ( ) ' Разделим переменные: - уравнение с разделяющимися переменными d d d ; d d d Проинтегрируем обе части равенства: ln ln + ln C Для удобства преобразований постоянная выбрана в логарифмической форме Упростим результат интегрирования: ± ( ( ) ) 6 где ± ( ) то Подставим начальные условия При получаем с Запишем ответ: Пример Найти частное решение уравнения sin ln удовлетворяющее начальному условию π / d Решение Имеем sin ln или d sin ln d d Разделяем переменные для этого обе части уравнения делим на произведение sin ln Интегрируя найдем общий интеграл d d ln sin ln ln ln tg + ln C в качестве производной константы C взяли После потенцирования получим решение исходного уравнения ln ln C C tg C tg или - общее

8 или Найдем константу C используя начальное условие C отсюда C Искомое частное решение или решение задачи Коши Ответ: tg / π C tg (π / ) tg / Упражнения Решить уравнения с разделяющимися переменными: ) (+ ) d + (+ )d d d ) + ) d + d 4) 5) + 6) (+ )d d ; () 7) (+ )d + d 8) ( + ) d + ( )d ; () 9) sin os ) tg ; ( π/ ) ) ( + ) d d ) sin os ; ( π/ ) ) ) d + d ; () 5) ( + ) 6) ln d + d ; () 7) ( + ) d ( + )d 7

9 8) sin ln ; ( π/ ) 9) ( + ) ) + ; () + ) / ) sin os d os sin d; () π/ 4 ) + 4) d ( + )d ; () 5) + 6) tg d + ( + )s d ; () π / 4 7) ( + ) + 8) os( + ); () 9) + ) ; () + ) sin os ) ; () ) ( + ) d + ( + ) d () 4) + ; () Однородные дифференциальные уравнения Функция f ( K n ) называется однородной функцией k го порядка однородности относительно переменных n если при любом t справедливо равенство k f ( t t K t ) t f ( ) n K n Пример Определить порядок однородности функций: а) f ( ) + - функция порядка однородности тк 8

10 f ( tt ) б) t + t ( + ) t + t f ( ); ( t ) + ( t ) t f ( ) os - функция нулевого порядка однородности тк t f ( tt ) os os f ( ); t в) f ( ) + - функция третьего порядка однородности тк f ( t t ) t ( t ) t + ( t ) t + t ( + ) t f ( ); г) f ( ) - функция нулевого порядка однородности тк f ( t д) f ( t + 5 t t t t ) f ( ) ; ( t ) + 5( t ) t + 5t + 5 f ( ) - функция нулевого порядка однородности тк t ) ( t ) ( t ) t t f ( ) Однородную функцию нулевого порядка можно представить как функцию отношения переменных или Пример Представить функцию f ( ) как функцию отношения переменных или + 5 Решение f ( ) + 5 f ( ) ( ( ) : ) : или ( ) : ( + 5 ) : f f Дифференциальное уравнение Ι порядка ' f ( ) называется однородным дифференциальным уравнением если его правая часть однородная функция нулевого порядка те функция отношения (или ) или ' f 9

11 Уравнение записанное в симметричной форме P ( )d Q( )d является однородным уравнением если функции P ( ) и Q ( ) - однородные функции одинакового порядка + Любое однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой u( ) откуда u ' u' + u Пример Среди интегральных кривых уравнения ' (ln ln ) найти ту которая проходит через точку М() Решение Преобразуем дифференциальное уравнение получим: ' ln Правая часть преобразованного дифференциального уравнения f ( ) ln является функцией отношения то дифференциальное уравнение является однородным Запишем подстановку: u( ) u ' u' + u Осуществим подстановку в уравнение: u ' + u u ln u Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными Разделим переменные: u' u(ln u ) u' u(ln u ) du d u(ln u ) du u(ln u Проинтегрируем обе части равенства: ) du u(ln u ) Упростим результат интегрирования: d ln ln u ln ln u u Запишем общее решение (общий интеграл) уравнения: + d

12 + + Найдём значение произвольной постоянной: при получаем + C + C Запишем ответ частное решение уравнения: Пример Решить уравнение + Решение Запишем уравнение в виде + разделив на обе части уравнения Сделаем замену z() Тогда z z + z Получим z z z + + z или z z Разделяя переменные будем иметь Отсюда интегрированием находим arsin z ln + lnc ( C > ) или d z z arsin Z lnc так как C ± C то обозначая ± С С получим arsin z lnc Заменяя z на будем иметь общий интеграл d arsin lnc отсюда sin ln C - общее решение Ответ: sin ln C Упражнения Решить однородные дифференциальные уравнения ) ( )d + d ) ln ; ()

13 ) (ln ln ) 4) ( )d + d ; () 5) d ( + ) d 6) ( + + )d d ; () 7) + 8) + ; () 9) + ) ; () ) ( 4 ) d + ( ) d ) ( )artg ; () ) ( )d + ( + )d 4) ( ) d + d ; () 5) + 6) sin + sin ; () 7) + sin 8) 9) π tg ; () + ) ( + )d d ; () ) ( ) d + d ) + ; () ) d + d d 4) + ( + ) ; () 5) ( + )

14 6) + ; () 7) + tg 8) + ; () 9) ) ( + ) d d ; () Уравнения в полных дифференциалах Уравнение P ( )d + Q( )d называется уравнением в полных дифференциалах если его левая часть полный дифференциал некоторой функции u ( ) те P ( )d + Q( )d du( ) Необходимым и достаточным условием полного дифференциала является P Q равенство частных производных Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид где функция u ( ) может быть найдена по одной из формул: u( ) u( ) P( )d P( + Q( )d; )d + Q( )d Пример Указать уравнения в полных дифференциалах: а) ( + sin )d + ( os + )d Дифференциальное уравнение записано в симметричной форме где Найдём частные производные: P ( ) + sin Q( ) os + u ( ) P Q ( + sin ) os ( os + ) os Сравним частные производные Так как уравнением в полных дифференциалах P Q то уравнение является

15 б) ( 5 )d ( + 6 )d Дифференциальное уравнение записано в симметричной форме где Найдём частные производные: P( ) Q( ) P Q ( 5 ) ( + 6 ) Сравним частные производные Так как уравнением в полных дифференциалах P Q то уравнение является Пример Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' Решение Запишем уравнение в симметричной форме: d d ( ) d d d ( ) d тогда + P ( ) Q( ) Найдём частные производные: P Q ( ) ( ) Сравним частные производные Так как P Q уравнением в полных дифференциалах Запишем формулу общего интеграла: u ( ) C Выберем формулу для отыскания функции u ( ): Найдём функцию u ( ): u ( ) P( )d + Q( )d то уравнение является

16 u( ) d + ( ) + ( ) Запишем общий интеграл уравнения: d + ( ) + + C C C C Пример Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения (ln )d + d удовлетворяющее начальным условиям ( ) Решение Дифференциальное уравнение записано в симметричной форме где P( ) Найдём частные производные: P ( ln ) ln Q( ) Q Сравним частные производные Так как то уравнение является уравнением в полных дифференциалах 5 P Q Запишем формулу общего интеграла: u ( ) C Выберем формулу для отыскания функции u ( ): Найдём функцию ( ) u : u ( ) u( ) ln ( ( ln P( (ln )d + )-( ln - Запишем общий интеграл уравнения: ) )d + Q( )d + ln ) + (ln ln ) ( - ln + d ln + + C ln )

17 ln - 4 ln C C ln - C Найдём значение произвольной постоянной При получим ln C C Запишем ответ частное решение уравнения: ln + Пример Решить уравнение ( sin os) d + os d + Решение Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах M( ) N os sin + os ; N( ) os M os + os sin sin os sin M N Получили что условие () выполнено значит данное уравнение в полных дифференциалах Найдем функцию u ( ) Для этого имеем систему: u M( ) sin + os u N( ) os Из первого уравнения интегрированием по при постоянном определяем u ( ) : ( sin + os) u ( ) d + ϕ() где ϕ () - произвольная функция (вместо постоянной интегрирования С берем функцию ϕ () ) Частная производная силу второго уравнения системы u найденной функции u ( ) должна равняться в os что дает 6

18 u ( ) u sin +ϕ(); os + ϕ () os + ϕ () os Отсюда ϕ ( ) ϕ() C u ( ) sin + C ; sin + C - общий интеграл C Ответ: sin C где C C C Упражнения Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах: + ) ( + ( + ) ) ( + 6 ) d + (6 + 4 ) d ) tg d + s d sin sin 4) + х d + d 5) ( ) d + ( + ) d 6) + d + ( + + ln ) d + 7) ( sin + sin + / ) d + ( os os + / ) d 8) ( + a ) d + ( + a ) d + 9) ( ) d + ( + ) d + ) ( ) d + ( + 6 ) d + ) ( + + ) d + ( ) d ) ( ) d d + ) ( h + sh ) d + ( h + sh ) d 4) d + d 5) d d 7

19 + d + d 6) d + ( / ) d 7) ( ) ( ) 8) d + d 4 9) ( ) d + ( + ) d + ) ( 8 + ) d + ( ) d ) ( + 6 ) d + ( 4 ) d ) + d d + ) ( ) d + d + 4) d + ( / ) d 5) os d ( sin ) d + 6) ( sin sin + / ) d + ( os os / ) d 7) ( ) d + ( ) d 8) d ( ) d + d 9) d + + ) ( + + ) d + ( + + ) d 4 Линейные дифференциальные уравнения Ι порядка Линейным дифференциальным уравнением Ι порядка называется уравнение линейное относительно функции и её производной: ' + P( ) Q( ) - уравнение линейное относительно ( ) ; ' + P( ) Q( ) - уравнение линейное относительно ( ) Здесь P ( ) Q( ) - заданные функции или константы При Q уравнение называется однородным при Q - неоднородным Общее решение неоднородного уравнения можно найти следующими способами: 8

20 ) методом вариации произвольной постоянной который состоит в том что решение уравнения () находится в виде p() d C() где С() - новая неизвестная функция ) уравнение () может быть проинтегрировано с помощью подстановки U() V() где U () и V() - неизвестные функции от ) решение уравнения () можно найти еще и по формуле p ( ) d p( ) d C + q ( ) d Замечание Может оказаться что дифференциальное уравнение линейно d относительно как функции от Нормальный вид (коэффициент при d равен ) такого уравнения d + r() ϕ() d Пример Определить тип уравнений: а) ( + ) ' - линейное относительно ( ) стандартной форме ' б) + где P( ) ( ) ' os + sin + Q ; приводится к - линейное относительно ( ) ; подстановкой приводится к стандартной форме ' os sin где P( ) os ( ) sin Q ' Пример Среди уравнений указать линейные: а) ' os sin - линейное относительно ( ) б) ' + - не является линейным; dv в) m P kv dt - линейное относительно ( t) г) ' - линейное относительно ( ) V ; ; Однородные линейные уравнения (Q) могут быть решены разделением переменных Неоднородные линейные уравнения можно свести к 9

21 последовательности двух уравнений с разделяющимися переменными подстановкой u( ) v( ) ( ) v( ) + u( ) v' ( ) u' Пример Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения ' удовлетворяющее начальным условиям Решение Приведём к стандартной форме записи делением на получим: ' - линейное уравнение относительно функции ( ) Запишем подстановку: u( ) v( ) u' ( ) v( ) + u( ) v' ( ) Осуществим подстановку в данное уравнение: u ' v + uv' uv Запишем последовательность уравнений относительно функций u ( ) и ( ) Подстановка uv позволяет одну из функций сомножителей выбрать произвольно Поступим так: сгруппируем первый и третий (можно второй и третий) члены уравнения Выберем функцию ( ) u ' u v + uv' u так чтобы она обращала в нуль скобку u ' u Тогда функция v ( ) должна удовлетворять условию Итак получили последовательность уравнений: u' u uv' Найдём функции u ( ) и ( ) v uv ' Каждое из уравнений последовательности является уравнением с разделяющимися переменными: u' u du d u ln u ln u ; v Запишем общее решение дифференциального уравнения:

22 uv + C Найдём значение произвольной постоянной При получаем C 5 Запишем ответ частное решение уравнения: 5 5 Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: ' a b ' + a b + - уравнение линейное относительно функции ( ) Запишем подстановку: u( ) v( ) u' ( ) v( ) + u( ) v' ( ) Осуществим подстановку в данное уравнение: u ' v + uv' + a uv b Запишем последовательность уравнений относительно функций ( ) Сгруппируем первый и третий члены уравнения: ( u ' + au) v + uv' b u и ( ) Выберем функцию u ( ) так чтобы она обращала в нуль скобку получим последовательность уравнений: u' + a u u v' b Найдём функции u ( ) и ( ) v v b a u' + au du u a d ln u a u a dv d a v' b b dv b a ; v' b a a a b a d a + Запишем общее решение дифференциального уравнения: a b b uv + a a Пример Решить уравнение + v Решение: p() q()

23 () d х ( C + е d ) ( C + d ) ( C + ) C + Ответ: ( C + ) d d Упражнения Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка: ) + os; ( π/ ) ) + ) + ; () 4) 5) + tg + ; () os 6) + 7) + ; () / 4 8) os 9) + + ; () ) ln ln ) os + sin ; () ) ( ) ) ( + ) + artg ; () 4) ln + 5) + arsin ; () 6) ln 7) ln ln ; ( ) /

24 8) + 9) sin os ; ( π / ) ) + ) tg s; () ) + tg / os ) + ; (a) b 4) ( + + ) ( ) 5) + os ; () 6) + 7) + ; () 8) + / ln + 9) + ; () ) ( + ) d (artg ) d 5 Уравнения Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение вида n ( ) q( ) ' + p () n или + p( ) q( ) ' Уравнение Бернулли отличается от линейного правой частью и сводится к последовательности уравнений с разделяющимися переменными по той же схеме что и линейное подстановкой Уравнение () умножим на u ' u' u ' u' ( ) v( ) ( ) v( ) + u( ) v' ( ); α или ( ) v( ) ( ) v( ) + u( ) v' ( ) α d α + p ( ) q ( ) () d

25 Обозначим α α z ( ); z ( α) Уравнение () умножим на ( α) Получаем: α α ( α) + ( α) p( ) ( α) q ( ) или z + ( α) p ( ) z ( α) q ( ) () () линейное уравнение относительно переменной z () Таким образом уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению Замечание Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной как линейное уравнение и с помощью подстановки () u () v() Пример Решить уравнение Бернулли Решение: Приведем уравнение к виду + p ( ) q ( ) α ln + ; α Обе части уравнения умножим на z ) ( получим относительно z () Получили Поэтому Ответ: z ( ) ln z z + ln и сделаем замену z ( ) - это линейное уравнение p( ) d C + ( ) p( { d d d d ln + C d ln C d ln C + + z C + q ln + z C + ln + C + ln + причем Пример Найти общее решение дифференциального уравнения ' P Q n u' v + u v' 4 Решение: ' - уравнение Бернулли где ( ) ( ) Запишем подстановку: u( ) v( ) ( ) ( ) ( ) ( )

26 Осуществим подстановку в данное уравнение: u ' v + u v' uv uv Запишем последовательность уравнений относительно функций u ( ) и ( ) Сгруппируем первый и третий члены уравнения: Выберем функцию ( ) 4 u ' u v + u v' u так чтобы она обращала в нуль скобку получим последовательность уравнений: 4 u u u v' uv Найдём функции u ( ) и ( ) v 4 u' u du 4u d du d 4 u ln u ln u u v' 4 v' 4 ; 4 uv 4 v dv d v v v ln + C ( ln + C) Запишем общее решение дифференциального уравнения: u v 4 ( ln + ) Упражнения uv Решить уравнения Бернулли: 4 v ) + ; () ) + 5

27 ) ; () 4) 5) ( + ) ; ( ) () 6) + 7) + ln ; () 8) 5 / 9) 9 ( + ) ; () ) ln + os ) ; () ) sin + os sin ) ; () 4) os os 5) + ; () 6) + 4 7) + + ; () 8) + 9) ( + ) ; () ) tg os ) ; () ) + ) + ; () 4) ) ; () 6) tg + os 7) ; () 6

28 8) 4 9) ; () ) 6 Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка Укажем три вида дифференциальных уравнений допускающих понижение порядка I Уравнение вида ( ) n f ( ) () После n кратного интегрирования получается общее решение II Уравнение не содержащее искомой функции и ее производных до порядка k включительно ( k ) ( k+ ) ( n) F () ( ) Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой ( ) k ( ) z ( ) ( nk ) Тогда уравнение () примет вид ( z z z ) F Из последнего уравнения если это возможно определяют z f ( C C C n k ) а затем находят из уравнения ( k ) ( C C C ) f k кратным интегрированием III Уравнение не содержит независимого переменного ( n) ( ) nk F () Подстановка p() позволяет понизить порядок уравнения на единицу Все производные выражаются через производные от новой функции p по : p ( ) p d d p d ( p p) ( p p ) p p p + p p Пример Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения '' ' ' ln d удовлетворяющее начальным условиям 7

29 Решение: '' ' ln Запишем подстановку: - уравнение допускающее понижение порядка ΙΙ типа ' '' ( ) P P' ( ) Осуществим подстановку в данное уравнение: P P' P ln Решим полученное дифференциальное уравнение первого порядка P' P P ln - однородное уравнение P Запишем подстановку: u( ) P u P' u' + u Осуществим подстановку в уравнение: u' + u u ln u Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными: Запишем общее решение: P u ' C+ + ; u' ( u ln u u ) ; u du ( lnu ) ln lnu ln C lnu C u C + ; d ; Определим значение произвольной постоянной C Указание При решении уравнений ΙΙ и ΙΙΙ типа с начальными условиями рекомендуется определять произвольную постоянную сразу как она появилась При ' имеем C тогда ' Решим уравнение ' ' - уравнение с разделяющимися переменными d d; + C Определим значение произвольной постоянной При х уе имеем C Запишем ответ частное решение уравнения: ( + ) ; C 8

30 Пример Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения ' ' ( ' ) удовлетворяющее начальным условиям ( ) ' ( ) Решение: ' ' ( ' ) - уравнение допускающее понижение ΙΙΙ типа Запишем подстановку: ' P( ) ' ' P( ) P' ( ) Осуществим подстановку в уравнение: P P' P Решим это уравнение PP' P - уравнение с разделяющимися переменными ln PdP d ; P + ( P + ) P P ( ' ) ' ln C + C ; C ; C ; C Найдём значение произвольной постоянной C При ' имеем Тогда ' C Решим это уравнение ' - уравнение с разделяющимися переменными d d; + C 4 ; ; ( + C ) + Определим значение произвольной постоянной При имеем C Запишем ответ частное решение уравнения: + 4 Пример Найти общее решение уравнения sin + os Решение os + sin + C sin os + C + C os sin + C + C + C C 9

31 Пример Решить уравнение + ( ) Решение Данное уравнение не содержит искомой функции и ее производной уравнение II типа Полагаем z () тогда z После этого уравнения примет вид z z + Разделяя переменные найдем z sh ( + C) заменяя на получим sh ( + C ) Интегрируя последовательно будем иметь h ( + C ) + C; sh ( + С ) + C + C ) + C C Ответ: sh ( + С + Пример Решить уравнение + Решение Данное уравнение III типа Введем обозначение p ( ) p p получим p p + p - уравнение Бернулли Подстановкой p z() оно сводится к линейному уравнению z C d C d d ( C d ) z + z 4 ± 4 + C Интегрируя будем Заменяя z на p получим иметь + C ± 4 + C или ( ) C ~ C + C + ; C ~ 4 Замечание При решении задачи Коши для уравнений высших порядков целесообразно определять значения постоянных С i в процессе решения а не после нахождения общего решения уравнения Пример Решить задачу Коши ; () () Решение Полагая p () получим 4 4 откуда p + C ; + C или p dp d p p + d Интеграл в правой части в элементарных функциях не вычисляется как интеграл от дифференциального бинома случай неберущегося интеграла Но если использовать начальные условия () () то C и тогда 4 Разделяя переменные найдем + C ( C ) ; + C; ; C + C ; ; /

32 Ответ: Упражнения Решить уравнения допускающие понижение порядка: ) IV ) ; () () ) + os ln 4) ; () () 5) + sin 5 6) ( + ) ; ( ) /; ( ) / 4 7) + 8) ; () () 9) + ) ; () () () ) + tg sin ) ) + ; () ; () 5 4) ; () ; () 5) + 6) ( + ) ; () () 7) + 8) + ; () () 4 + 9) ( ) + ) + ( ) ; () ()

33 ) + ) ; ( ) ( ) ) tg 4) ; () () 5) ( ) 6) 4 ; () () 7) + ( ) 8) + ; () () 9) ) 4 ; () () 7 Однородные линейные уравнения ΙΙ порядка с постоянными коэффициентами Однородное линейное уравнение ΙΙ порядка с постоянными коэффициентами имеет вид '' + P' + g где P g - заданные числа Структура решения уравнения определяется следующими теоремами Теорема Всякое линейное однородное уравнение ΙΙ порядка имеет систему двух линейно независимых частных решений ( ) ( ) ( ) onst ( ) Эта система носит название фундаментальной системы решений Теорема (о структуре решения) Общее решение линейного однородного уравнения ΙΙ порядка есть линейная комбинация частных решений его фундаментальной системы: + Для отыскания фундаментальной системы решений составляют так называемое характеристическое уравнение k + Pk + g

34 В зависимости от вида корней (вещественные различные вещественные равные комплексные) фундаментальная сис решений имеет различный вид (табл) Виды фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения Таблица Дискриминант характеристического уравнения D > D D < Корни характеристического уравнения вещественные различные k k вещественные равные k k k Комплексные k α ± β i Фундаментальная система частных решений k k k k α α os β sin β Общее решение k k + k ( + ) α + ( os β + sin β ) Пример Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения '' ' удовлетворяющее начальным условиям ( ) 6 ' ( ) 5 Решение: '' ' - линейное однородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами Запишем формулу общего решения: + Составим и решим характеристическое уравнение: k k k k (корни вещественные различные) Запишем фундаментальную систему решений: Запишем общее решение уравнения: k k ' Найдём значения произвольных постоянных и При 6 ' 5получаем 5 + ' :

35 Запишем ответ частное решение уравнения: Пример Найти общее решение дифференциального уравнения '' 4' + 49 Решение: '' 4' линейное однородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами Запишем формулу общего решения: + Составим и решим характеристическое уравнение: k 4k + 49 k k 7 (корни вещественные равные) Запишем фундаментальную систему решений: Запишем общее решение уравнения: k ( + ) Пример Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения '' + 4' + удовлетворяющее начальным условиям ( ) 6 ' ( ) Решение: '' + 4' + - линейное однородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами Запишем формулу общего решения: + Составим и решим характеристическое уравнение: k k + 4k + ± i (корни комплексные) Запишем фундаментальную систему решений: Запишем общее решение уравнения: os + sin ( os + sin ) Найдём значения произвольных постоянных и ( os + sin ) ' ( + ) os + ( ) sin [ ] При 6 ' получаем os sin :

36 Запишем ответ частное решение уравнения: ( 6os + 4sin ) Упражнения Решить однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: ) 4 + ; () 6 () ) 8 ) + ; () () 4) + 5) + ; () () 6) '' + 5' + 6 7) '' + 5 8) '' + 6' + 9 9) ) ) + ; () () ) '' 5 ) '' + 4' + 4) '' + 5' 5) ; () () 6) + 7) ; () () 8) ) + ; ( π/ ) ( π/ ) ) 4 + ( ) 6 ( ) ) + ; () () ( ) ( ) ) + ) ; () () 4)

37 5) + + ; () () 6) ( ) ( ) 7) ) ( ) ( ) 9) + ; () () ) + 4 ( ) 7 ( ) 8 8 Неоднородные линейные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами Метод вариации произвольных постоянных Неоднородное линейное уравнение ІІ порядка с постоянными коэффициентами имеет вид ''+ p'+ g f ( ) где f ( ) Теорема (о структуре решения) Общее решение он линейного неоднородного уравнения ІІ порядка равно сумме общего решения оо соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения чн данного неоднородного уравнения: оо + чн он Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных Он является общим универсальным методом в том смысле что может применяться для уравнений с произвольной правой частью Суть его в следующем Сначала записывают общее решение оо соответствующего однородного уравнения '' + p' + g : + оо Затем конструируют функцию чн ( ) + ( ) где ( ) ( ) - теперь уже функции переменной х Доказано что функция чн является решением уравнения '+ p'+ g f ( ) если функция ( ) и ( ) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 6 '

38 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + f ' ' ' ' ' ' Пример Найти общее решение дифференциального уравнения + + ' ' ' Решение: + + ' ' ' - линейное неоднородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами Запишем формулу общего решения: он оо + чн Найдём общее решение однородного уравнения оо : ' ' ' о о k k k k Сконструируем формулу частного решения уравнения чн : ( ) ( ) н ч + Запишем систему уравнений относительно функций ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) + + ' ' ' Решим систему: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ln d ' ' ; ' ' ( ) ' ' + ( ) ( ) ln d + +

39 Запишем частное решение чн : ln + ln + ч н ч н ( ) ( ) ( + ) ln( + ) Запишем ответ общее решение уравнения: оо + чн он ( + ) ln( ) о н Пример Решить уравнение + os Решение Соответствующее однородное уравнение будет + Его характеристическое уравнение λ + ; λ i λ i и общее решение имеет вид о о C os + C sin Общее решение исходного уравнения имеем в виде C ( ) os + C ( ) sin (*) os sin ф с р C () и C () неизвестные функции от Для их нахождения составим систему C () os + C () sin C () sin + C () os os Решаем эту систему относительно C () и C () : C () tg C () Интегрируя находим C () ln os + C ~ C () + C ~ Подставляя выражения C () и C () в (*) получаем общее решение искомого уравнения C ~ os + C ~ sin + os ln os + sin Здесь чн os ln os + sin частное решение исходного уравнения 8

40 Упражнения Решить методом вариации произвольных постоянных следующие уравнения: + sin os + 5 sin os sin sin 8 os os os + tg + 4 sin + tg ln tg 6 + sin sin os 6 + s tg tg sin os 9

41 9 Линейные неоднородные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами Метод неопределенных коэффициентов Продолжаем рассматривать методы решения уравнения ''+ p + g f ( ) () Общий вид правой части f () уравнения () при котором возможно применить метод подбора следующий: f () α [ Pm () osβ + Qn () sinβ] () где Pm () и Qn () многочлены степени m и n соответственно В этом случае частное решение чн уравнения () находится в виде [ ~ r α учн Pk () osβ + Qk () sinβ] () ~ где k ma (mn) P () и Q ~ k k () многочлены от k й степени общего вида с неопределенными коэффициентами а r кратность корня λ α ± i β характеристического уравнения (если α ± i β не является корнем характеристического уравнения то r ) Частные случаи f () определяемые формулой (): I f () α Pm () ) если число α не является корнем характеристического уравнения то α Q () чн m где Q m () многочлен той же степени что и P m () но с неопределенными коэффициентами ) число α является корнем кратности r то чн r α Q m () II f () Pn () osβ + Qm () sinβ то если ) ± i β не является корнем характеристического уравнения то ~ Q ~ чн Pk () osβ + k () sinβ k ma(mn) ) число ± i β является корнем характеристического уравнения кратности r то r ~ ~ ч н ( Pk ( ) os β + Qk ( ) sin β ) III f () α [ Pn () osβ + Qm () sinβ] то если ) число α ± i β не является корнем характеристического уравнения то ~ Q ~ f () α P () osβ + () sinβ [ ] k k 4

42 ) число α ± i β является корнем характеристического уравнения кратности r то ~ ~ [ P ( ) os β Q ( ) sin β ] r α ч н k + k Замечание Первые два вида являются частными случаями III вида Пример Найти общее решение дифференциального уравнения + 4 ' + Решение: + 4 ' + - линейное неоднородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью Запишем формулу общего решения: оо + чн он Найдём общее решение однородного уравнения оо : k '' + 4 ' k + 4k k Проведём анализ правой части уравнения: + o ( + ) os o + o sin) α β f ( ) P ( ) Вычислим основной параметр уравнения: α ± βi Определим параметр r : Основной параметр α ± βi является однократным корнем характеристического уравнения следовательно r Сконструируем частное решение чн : ч н M ( ) ( A + B + CX + D) Вычислим коэффициенты функции чн : Найдём производные от функции чн : ч н A 4 + B + D ( ч н )' 4A + B + C + D ( ч н )'' A + 6B + C Поставим функцию чн и её производные в данное уравнение: 6 A + ( A + B) + ( 6B + 8C) ( C + 4D) + Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и правой части равенства: + C

43 6 A A + B 6B + 8C C + 4D Решим систему: Запишем частное решение чн 9 A B C D : 4 9 н ч Запишем ответ общее решение уравнения: о н Пример Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения ' ' + 8sin удовлетворяющее условиям ( ) ' ( ) Решение: ' ' + 8sin - линейное неоднородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью Запишем формулу общего решения он оо + чн Найдём общее решение однородного уравнения оо : '' + оо k k + ± i os + sin Проведём анализ правой части уравнения: o 8 sin ( o os + 8sin ) α β f ( ) p os + Q sin Вычислим основной параметр уравнения: α ± βi ± i Определим параметр r : Значения основного параметра ± i являются однократными корнями характеристического уравнениями следовательно r Сконструируем частное решение чн : ( Aos + Bsin ) чн Вычислим коэффициенты функции чн : Найдём производные от функции чн : чн A os + Bsin ; 4

44 ( ч н )' ( A + B) os + ( B A) sin ; ( ч н )'' ( B A) os + ( A 8) sin Поставим функцию чн и её производные в данное уравнение: B os Asin 8sin Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и правой части равенства Решим систему: Запишем частное решение чн : B A 8 A 4 B чн 4 os os sin Запишем общее решение уравнения: ( ) 4 + Найдём значения произвольных постоянных и : ( 4) os + sin ' ( 4) os + ( 4 ) sin При х у у имеем 4 Запишем ответ частное решение уравнения: ( 4) os + 4sin Упражнения Для следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений определить вид частного решения не находя числовых значений коэффициентов: ) + ) ) 4) 5) 6) ( ) ) + 5 os5 8) + sin os 9) (sin + os ) ) ( sin os ) 4

45 ) os ) + ) sin 4) + os 5) sin + 6) + sin 7) + 4 sin 8) 4 os 4 7 9) ( ) ) 4 + ( os sin ) ) + + os ) sin ) + ( + ) sin 4) + + ( os ) 5) Решить следующие линейные неоднородные уравнения с правой частью специального вида методом подбора частного решения по виду правой части: ) ) + ( ); () () ) ) ; () () 5) 7 4 6) ; () () 6 7) + 8) ; () () 9) ( ) 44

46 ) + ; () () ) ) sin ; () () ) + + ( + ) 4) + os ; () () 5) sin 6) + 4 sin ; () () 7) + 4 os 8) + 4 os ; () () 9) sin ) + ) ; () () ) + 4 ; () 4 () ) + ; 4) + 4 ; 5) + 6 sin ; 6) ' ' ' + ; 7) ' ' + 4' + 4 ( ) ' ( ) Системы дифференциальных уравнений Нормальная система дифференциальных уравнений Нормальная система двух дифференциальных уравнений порядка с двумя неизвестными имеет вид d f d dz f d ( z) ( z) где - аргумент; z - искомые функций Порядок системы определяется числом входящих в неё уравнений; Система нормальная система II порядка 45

47 Совокупность функций ϕ ( ) z ϕ ( ) определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале ( a ;b) называется решением системы в этом интервале если она обращает в тождество каждое уравнение системы: dϕ f ϕ ( ) ϕ ( ) d dϕ d f [ ] [ ϕ ( ) ϕ ( ) ] Нормальная система II порядка допускает общее решение содержащее две произвольных постоянных: ϕ ( ) z ϕ ( ) Решение удовлетворяющее начальным условиям z z называется частным решением системы Пример Найти общее решение системы дифференциальных уравнений dz dt d dt Решение: Имеем простейший случай когда одно из уравнений второе содержит только одну искомую функцию Решим его: d ln dt t + ln Подставим полученную функцию в первое уравнение системы: Ответ: t z + t t dz z dz dt t t t + dt В общем случае нормальная система II порядка решается сведением её к равносильному уравнению II порядка относительно одной из искомых функций 46

48 Пример Найти частное решение системы дифференциальных уравнений d d z dz z d Решение: Продифференцируем одно из уравнений системы Например если мы хотим свести систему к равносильному её уравнению II порядка относительно функции у необходимо продифференцировать первое уравнение системы: d d ( z ) dz d ( ) ( ) Выразим из данной системы функцию z и её производную : z + d d (б) dz d dz Подставим функцию z и её производную в уравнение (а): d d d d d Решим уравнение (а) '' ( ' ) - уравнение II порядка допускающее понижение подстановкой ( ) '' p' ( ) p( ) ' p ; dp d pp' p p ; p ' d Найдём функцию z по формуле (б): d z ' (а) dz d Запишем общее решение системы: z + Найдём произвольные постоянные: 47

49 При z имеем Запишем ответ: z + Упражнения Найти общее решение системы дифференциальных уравнений: ) d d dz z d 7) d + dt d + 4 dt ) ) z z + z + 8) d + z dt d + 5 z dt dz + z dt 4) 5) 6) z + w z + w w + z d + dt d + dt d + dt d + 4 dt 9) ) d dt d dt 5 dz dt d dt 48

50 Библиографический список Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов/нспискунов М: Наука Т Щипачев ВС Курс высшей математики/всщипачев-м:издмгу 98 Т Минорский ВПСборник задач по высшей математике/впминорский М: Наука 97 4 Филиппов АФ Сборник задач по дифференциальным уравнениям/ АФФилиппов М: Наука Сборник задач по математике для втузов/ под редавефимова БПДемидовича М: Наука 98 49

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Витебский государственный технологический университет

Витебский государственный технологический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные интегралы Дифференциальные уравнения Ряды Методические указания к практическим занятиям для студентов второго

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее