ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»"

Транскрипт

1 ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c 11 а) x 1,1,1, p,0, 1, q,,, 1,0,1 б) a,5,7, b 1,,1, a b a r ;, b 1 а) x,1,1, p 0,, 1, q,1,, r 1,0, 1 б) a,,4, b,4,4, a b, a b c c ; 1 а) x 1,1, 1, p 1,0,, q,,, 0,1,1 б) a 6,,, b,,, a b, a b 14 а) x,,1, p,1,, q 1,,,,1, б) a,1,1, b 5,0,, a b a r ; c r ;, b 15 а) x,0,5, p 1,1,1, q,0,, r 0,1, 1 б) a,,1, b 5,4,0, a b a c ;, b 16 а) x 5,0,, p 1,,5, q,0,, r 1, 1,0 ; б) a,,1, b 5,4,0, a b, c a b 17 а) x 0,5,, p 5,,1, q 0,,, r 1,1,0 ; б) a,7,5, b 1,,5, 4a b, c a b 18 а) x,0,5, p,1,5, q,,0, r 0,1, 1 ; б) a 0,,, b 1,,1, 5a b, c a 5b 19 а) x,,1, p 1,,, q,,7, r,1, ; б) a 1,,, b,,1, a b, c a b 110 а) x 1, 1,1, p 0,,, q 1,,7, r,1, ; б) a,,5, b 1,,8, 5a 5b a c, b c

2 111 а) x 0,1,, p,,0, q,7,, r,0, б) a 8,,1, b,6,1, a 4b, 4a b ; c 11 а) x,1,0, p 0,,, q 1,, 1, r,, б) a 6,1,, b 1,0,1, 5a b, 5a b c ; 11 а) x 1,0,, p,,0, q 1,,1, r,, б) a, 1,, b,,8, a b a ;, b 114 а) x 1,4,1, p,,5, q 0,,1, 1,, б) a,1,, b,1,, a b a c r ;, 4b 115 а) x 1,4, 1, p 1,,5, q 1,1,1,,,1 б) a 1,7,, b,0,5, a b, a b c c r ; 116 а) x,0,, p 1,, 1, q,1,1, 1,1, б) a,7,1, b 5,0,, a b a r ;, b 117 а) x 7,,1, p 1,1,1, q,1,,,1,1 б) a 7,1,, b 0,,5, a b a c r ;, b 118 а) x 1,7,, p 0,1,1, q 1,, 1, 1,,1 б) a 7,,1, b 0,5,, a b, a b c r ; c 119 а) x,1,7, p 1,0,1, q 1,1,1, r 1,,1 б) a,5,4, b 5,,0, a b ;, 4a 4b 10 а) x 1,,1, p,1,, q,,5,,0, б) a 5,,4, b,,0, a 4b a c r ;, b 11 а) x 1,0,1, p,1,, q,1,,,5,1 б) a 4,,5, b 0,,, 4a b c a 1 а) x,1,, p,1,1, q,,5, r 5,, ; б) a 4,5,, b,0,, a 4b a c r ;, 4b, b 1 а) x,,1, p 1,1,, q 5,,,,,5 c r ;

3 б) a,,, 1,,0 b, a b, a b 14 а) x 1,,, p 1,,1, q,,5, 5,1, б) a 1,7,, b,7,1, a b a c r ;, b 15 а) x,,4, p 1,4,4, q,,, 1,,5 б) a 7,1,, b 1,7,, a b c r ;, 6a b 16 а) x 1,4,, p 4,1,4, q,,, 5,,1 б) a,7,1, b 7,1,, a b a c r ;, 5b 17 а) x,1,4, p 4,4,1, q,,,,1,5 б) a 1,0,, b 1,1,1, 5a b a c r ;, b 18 а) x 4,1,, p 1,4,4, q 1,,, 5,1, б) a 1,,1, b,,, a 5b a c r ;, 5b 19 а) x 5, 5,0, p 1,1,1, q,1,,,0,1 б) a,,5, b 5,1,1, a b 7a c r ;, b 10 а) x 5,0,5, p 1,,, q,1,,,5,4 б) a 1,1,1, b,7,1, a b, a b Задание c c r ; 1 Найти вектор x, коллинеарный вектору a i j k, образующий с ортом j острый угол и имеющий длину x 15 Найти вектор x, образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если x Найти вектор x, образующий с ортом j угол 60, с ортом k угол 10, если x 5 4 Найти вектор x, направленный по биссектрисе угла между векторами a 7i 4j 4k и b i j k, если x 5 6

4 5 Из одной и той же точки проведены векторы a ;0;4 и b 5; ; 14 Найти единичный вектор, который, будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между векторами a и b 6 Даны модуль a 5 и углы 45, 60, 10 Вычислить проекции вектора a на координатные оси и орт вектора a 7 Вычислить направляющие косинусы вектора a 1;5; 15 Найти вектор, коллинеарный вектору a, направленный в противоположную сторону и длиннее вектора a в три раза 8 Вектор x составляет с осями OY и OZ соответственно углы 60, 15 Какой угол он составляет с осью OX? Найти координаты вектора x, если модуль x 9 Вектор a составляет с координатными осями OX и OZ углы 60, 15 Вычислить его координаты, если a Найти орт вектора a 10 Даны a, b 5, a b 19 Найти a b 11 Даны a 11, b, a b 0 Найти a b 1 Векторы a и b образуют угол 60, причем a 5, b 7 Определить a b, a b 1 Проверить коллинеарность векторов a 6; ;4 и b 1;4; 8 Какой из них длиннее другого, во сколько раз, как они направлены? 14 Определить, при каких значениях и векторы a i k j и яв- b i 1j 8k коллинеарны 15 Проверить, что точки 1;1;1 ляются вершинами трапеции 16 Определить a b и b A, B5; 4;8, C ;;1, D 5;1; 1 a векторов a ; 1;, ;;4 b 17 Найти проекции вектора a на оси координат, если a AB CD, 0;0;1 ;;1 4;;5 D ;6; A, B, C, 18 Даны радиусы-векторы вершин треугольника ABC: i j k, r B i j k, r C i 4j k Показать, что треугольник ABC равносторонний 19 Вычислить модуль вектора r A

5 0 Даны точки M 1, 1 a i j k 4i 8j k и найти его направляющие косинусы 5 1;; M ; 4;6 Найти длину и направляющие косинусы вектора M 1M 1 Дан вектор a 4i j k Найти вектор b, если b a, by a y, b x 0, и найти направляющие косинусы вектора b Радиус-вектор точки M составляет с осью OY угол 60, а с осью OZ угол 45, его длина r 8 Найти координаты точки M, если ее абсцисса отрицательна Дан вектор a i 5j k Найти его проекцию на ось, составляющую с осями координат равные острые углы 4 Вектор a задан координатами своих концов A и B: A;1; 4, B 1;; Найти проекции вектора a на координатные оси и его направляющие косинусы 5 Найти вектор x, коллинеарный вектору a i j k, образующий с ортом k тупой угол и имеющий длину x 45 6 Радиус-вектор точки M составляет с осью OX угол 45, с осью OY 60, его длина r 8 Найти координаты вектора OM, зная, что третья координата точки M отрицательна a ; и b ; 4 Найти косинус угла между векторами x и y, удовлетворяющими системе уравнений x y a, 7 Даны векторы x y b 8 Даны a 1, b 19, a b 4 Найти a b 9 Найти вектор a, образующий с ортом j угол 60, с ортом i 10, если a 0 Найти вектор x, направленный по биссектрисе угла между векторами a ; ;6 b 1;;, если x 4 и Задание Даны координаты вершин пирамиды ABCD Найти: а) косинус угла между ребрами AB и AD; б) проекцию вектора AC на вектор AD; в) площадь грани ABC; г) объем пирамиды ABCD

6 1 A 4;0;0, B ;1;, C 1;;, D ;;7 A ;1;, B 4;0;0, C ;;7, D 1;; A 1;;, B ;;7, C 4;0;0, D ;1; 4 A ;;7, B 1;;, C ;1;, D 4;0;0 5 A;1;, B1; ;1, C ;1;0, D ;;5 6 A1; ;1, B;1;, C ;;5, D ;1;0 7 A ;1;0, B ;;5, C ;1;, D1; ;1 8 A ;;5, B ;1;0, C1; ;1, D ;1; 9 A1; 1;6, B4;5;, C 1;;0, D 6;1;5 10 A 6;1;5, B 1;;0, C4;5;, D1; 1;6 11 A 5; 1;8, B ;;1, C4;1;, D 6;;7 1 A5;1; 4, B1;; 1, C;; 4, D ;; 1 A 1;1;1, B ;;4, C 4;;, D ;;4 14 A 1;1;, B;; 1, C; ;4, D 1;1; 15 A; ;5, B 0;;1, C ; ;, D ;;4 16 A1; ; 4, B 1;0;, C; 4; 6, D 1;1;1 17 A;1;, B ;;, C 1;1;, D 1; ; 18 A 1;1;1, B ;0;, C ;;, D;4; 19 A 0;0;0, B 1;1;0, C ;1;0, D 0;0;6 0 A 0;0;0, B 4;1;1, C 1;1;0, D 0;0;8 1 A1;; 1, B 0;1;5, C 1;;1, D ;5; A1; 1;, B5; 6;, C1;; 1, D ;;1 A; 1;1, B 5;5;4, C;; 1, D 4;1; 4 A ;;1, B4;1;, C 6;;7, D 5; 4;8 5 A;1; 1, B ;0;1, C; 1;, D 0;8;0 6 A 4;0;1, B ;1;, C 1;;, D ;;5 7 A ;1;, B 4;1;1, C 1;;, D ;;6 8 A 1;;5, B ;;4, C 4;1;1, D ;1; 9 A ;1;5, B 1;;, C ;0;, D ;5; 0 A 6;5;4, B 1;1;1, C 1;0;, D 5;6;4

7 Задание 4 41 a 1, a 5, a1,a Вычислить a 1 a 4 a 1, a 5, a1,a Вычислить a1 aa 1 a 4 a 1, a 5, a1,a Вычислить a 1 a 44 Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a p q, b p q, если p, q, p, q 45 Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор c образует с ними углы, равные Зная, что a b, 1 c, найти a bc a 46 Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор c образует с ними углы, равные Зная, что a 1, b, 1 c, найти a b c 47 Векторы a и b образуют угол Зная, что a 5, b 4, найти дли- ну вектора c 5a b 48 Три вектора a, b, c расположены в одной плоскости, a, b, c, векторы b и c составляют с вектором a углы в 60 Определить угол между векторами b и c и длину вектора s a b c 49 Три вектора a, b, c попарно взаимно перпендикулярны, а длины их соответственно равны a, b, c 6 Найти длину вектора s a b c 410 Вычислить скалярное произведение векторов, b и b p 4q, где p и q единичные векторы, a, b m m, n 4n 411 Найти числовое значение скаляра n 6, m, n a, если a p q 4 1, если m,

8 41 Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a 5p q, b p q, если известно, что p, q, p, q 4 41 К одной и той же точке приложены две силы: P и Q, действующие под углом 10, причем P 7, Q 4 Найти величину равнодействующей силы R 414 Зная, что a, b 5, a, b, определить, при каком значении коэффициента векторы p a 15b, q a b будут перпен- дикулярными 415 Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах AB m n, AD m n, где m 5, n, m, n 416 Векторы a и b образуют угол Зная, что a 5, b 8, вычислить 4 угол между векторами p a b и q a b 417 Векторы a, b, c попарно образуют углы, каждый из которых равен Зная, что a 1, b, c, определить модуль вектора S a b c 418 Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору a 5;; и удовлетворяющего условию a, x Даны два вектора a 1;1;5 и b 1;; 5 Найти вектор x, удовлетворяющий условиям a, x, b, x, i j kx 4 40 Найти угол между диагоналями параллелограмма e 1 e и 4e1 5e, если e 1, e единичные векторы и e1, e 41 Найти скалярное произведение векторов a b и 5a 6b, если a 4, b 6, a, b

9 4 Найти скалярное произведение векторов a b 4c и 5a 6b 7c, если a 1, b, c, a, b a, c b, c 4 Найти единичный вектор, перпендикулярный к векторам a i j k и b i j k 44 Даны векторы a i j k и b 6i j k Найти вектор x, перпендикулярный к векторам a и b и удовлетворяющий условию x i j k 1 45 Найти угол между векторами a и b, если известно, что a b a b 45, a 1, b 46 Векторы a, b, c образуют попарно друг с другом углы 90 Зная длины этих векторов a, b 4, c 5, определить модуль вектора s a 5c b 47 Векторы a и b образуют угол Зная, что a 5, b 5, вычислить np q p q, если p 5a 5b, q 5a 5b 48 Векторы a и b составляют угол Зная, что a, b 7, вычислить 7a ba 7b 49 Вычислить m n p, если m n p, n, p, m, n m, p 6 40 Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a p 11q, b p q, если p q, p, q Задание 5 51 a 1 4, 6 a,,a Вычислить a a,a a1 1 1 a

10 56 Вектор x, перпендикулярный к векторам a, 5 Найти синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a p 11q, b p q, если p q, p, q, используя векторное произведение векторов 5 a b 5, a, b Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a b и a b 4 54 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a p q, b p q, где p и q единичные векторы, p, q 55 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах AB m n, AD m n, где m 5, n, m, n 1;; b 1;;, образует тупой угол с осью OZ Зная, что x 1, найти его координаты, приложен- 57 Сила F i j k приложена к точке A ;; этой силы относительно точки O ;;5 58 Даны три силы: F 1 1; ; 5, F ;;, F 0;; ные к точке A 0;1; момента равнодействующей этих сил относительно точки 1;1;1 Определить момент Определить величину и направляющие косинусы O 59 Найти координаты вектора x, если известно, что он перпендикулярен к ; 1; a 1;1;1, образует с ортом i острый угол и векторам, x a Найти координаты вектора x, если он перпендикулярен к векторам 5;7;1 a 1;;5, а также удовлетворяет условию a 1, x i j 7k 511 Зная разложение векторов l, m, n по трем некомпланарным векторам a, b, c, проверить, будут ли l, m, n компланарны, и в случае утвердительного ответа дать линейную зависимость, их связывающую, если l a b c, m b c a, n c a b 51 Показать, что точки A5;7;, B;1; 1, C9;4; 4, D 1;5;0 лежат в одной плоскости

11 51 Дано: a, Найти площадь треугольника, построенного на векторах a b, a b b, a, b 514 Найти синус угла между векторами AB и AC, если A 1;;5, B 7;0;, C 1;;, используя векторное произведение векторов 515 Векторы a и b образуют угол Зная, что a 5, b, вычислить 5 a b, 7a b 516 В треугольнике с вершинами A ;5;6, B 6;1;0, ;7;8 высоты AM C найти длину 517 Векторы a и b образуют угол 6 Найти площадь треугольника, построенного на векторах 7a b и a 7b, если a 5, b Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a 6m n и b m 11n, если m n 5, m, n 519 Вычислить синус угла между векторами a ;4;5 и b ;;, используя векторное произведение векторов 50 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a 6m n и b m 6n, где m, n единичные векторы, образующие угол 6 51 Векторы a и b взаимно перпендикулярны Зная, что a, b 7, вычислить 11a b, 5a b 5 Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD, известно, что она лежит на оси OZ Объем тетраэдра v кубед и A 1;;, B 0;1;, C ;1; 5 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a p 11q, b p 11q, если p q, p, q 4 54 Даны сила F ;4; и точка ее приложения A; 1; Найти момент силы относительно начала координат и углы, составляемые им с координатными осями

12 55 В треугольнике с вершинами A 1;;1, B ;7;0, C; 1; 1 длину высоты BD 56 Сила F i j 5k приложена к точке A ;; этой силы относительно точки O 1;1;1 найти Определить момент 57 Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы e1 4e, e1 5e, где e 1, e единичные векторы и e1, e 4 58 Найти координаты вектора x, если известно, что он перпендикулярен 4;; a 1;1;1, образует тупой угол с ортом j и к векторам a 1 и x 1 59 Найти координаты вектора x, если он перпендикулярен к векторам ; 5;6 1; ; 7 и удовлетворяет условию a 1 x и i j k 1 a 50 Векторы a, b, c образуют левую тройку, a, b 1, c, b 60 a, c a, c b Найти a bc Задание 6 61 Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, A 1; ; и перпендикулярной к плоскости x y z 4 0 точку 6 Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OY перпендикулярно к плоскости x 4y 5z Через точку 5;16;1 M проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая ось OY Найти уравнения этих плоскостей и вычислить угол между этими плоскостями 64 Составить уравнение плоскости, проходящей через две данные точки M 1 ;; 1 и M 1;5; перпендикулярно к плоскости x y z Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ;4; B и отсекающей на оси OX и OZ отрезки, соответственно равные a, c 5

13 66 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки 1;; 4 B 1;;, отсекающей на осях OX и OY равные отрезки A, 67 Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости x y z 1 0 и отстоящей от нее на расстояние 68 Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и составляющей с плоскостью x y 5z 0 угол 69 Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OX и составляющей с плоскостью y x угол 610 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 ; ;5 и перпендикулярной к двум плоскостям x y z 1 0, x y z 5 0 M 0 па- 611 Найти уравнение плоскости, проходящей через точку ; ;1 раллельно векторам a ;; 1 и b 1;; 61 Найти расстояние от точки ;;5 три точки M 1 0;1; 1, M 1;1;, ;;7 M до плоскости, проходящей через M 61 Найти уравнение плоскости, зная, что точка 1;1;1 P служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость 614 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки 1;1;1 M ;;1 параллельно вектору a ;;1 M 1, 615 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ;0; перпендикулярно к двум плоскостям 7x z 1 0, x Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 1;1;1 M перпендикулярно к двум плоскостям x y z 5 0 и z Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OZ и точ- M 1 1;;1 ку 618 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 1;; N параллельно плоскости XOY M 1

14 619 При каком значении параметра плоскости x y z 8 0 и x y z 5 0 перпендикулярны? 60 При каких значениях и плоскости x y z 5 0 и x 6y 4z 8 0 параллельны? 61 Найти расстояние между параллельными плоскостями 4x y 5z 8 0 и 4x y 5z Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OX и составляющей угол 60 с плоскостью y x A от плоскости, отсекающей на осях координат отрезки a 1, b, c 64 Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям x y 5z 0, x y z Найти расстояние точки 1;; 65 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки 1;1;1 M 0;;1 параллельно вектору a ;0;1 M 1 и 66 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки 1;;0 M ;1;1 и перпендикулярной к плоскости x y 1 0 M 1, 67 Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки A ;1;0, B 0;7;, C 1;0; 5, D 4;1;5 В случае утвердительного ответа найти уравнение данной плоскости 68 Найти угол между плоскостью x y z 5 0 и плоскостью YOZ 69 Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки A1; 1;1, B 0;;4, C 1;; и D4;0; В случае утвердительного ответа найти уравнение данной плоскости 60 Составить уравнение плоскости, проходящей от начала координат на расстоянии 6 единиц и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением a : b : c 1:: Задание 7 71 Написать уравнение прямой, проходящей через точку A 4;;0 и па- x y z 4, раллельной прямой x y z 0

15 A и перпендикулярной к оси OX 7 Написать уравнение прямой, проходящей через точку B ;0; и перпендикулярной к оси OZ 74 Написать уравнение прямой, проходящей через точку C 1;;4 и перпендикулярной к оси OY 75 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку B; ;1 и образует с осями координат углы, соответственно равные 45, 10, Установить, лежат ли три данные точки A 1;;, B 10;8;4, C ;0; на одной прямой x t 1, x y z 8 0, 77 Найти угол между прямыми и y 6t, x y z 1 0 z t 4 x y z 1 0, 78 Общие уравнения прямой привести к каноническому виду x y 4z 14 0 x y 0, 79 Найти косинус угла между прямыми и x y z 0 x y z Доказать перпендикулярность прямых x y z x y 0, и x y z Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку x y z 1, M 1;; параллельно прямой x y z x 1 y z 71 Доказать параллельность прямых, 5 1 x y z 0, x y z 0 7 Написать уравнение прямой, проходящей через точку 1;;

16 x y z 1 71 Доказать перпендикулярность прямых и 1 x y z 1 0, x y z Составить канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости XOZ, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x y 1 z 5 1 x y 0, 715 Общие уравнения прямой привести к каноническому y z 1 0 виду x 1 y z x 1 y 11 z Доказать, что прямые и пересекаются Найти точку пересечения x y 1 z x y z 0, 717 Доказать, что прямые и параллельны 1 x y 5z Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A 1;; и x, перпендикулярной к прямой y z Найти уравнения прямой, проходящей через точку A;7; 1 и образующей с осями OY и OZ углы 10 и Найти уравнения прямой, проходящей через точку A 1;;4 и образующей с осями OX и OZ углы 10 и Даны три последовательные вершины параллелограмма A;0;, B1;; 4 и C0;7; Найти уравнения сторон AD и CD 7 В плоскости YOZ найти прямую, проходящую через начало координат x y, и перпендикулярную к прямой x z 7 При каких значениях коэффициентов A и B плоскость x y 5 z Ax By 6z 7 0 перпендикулярна к прямой? 4 Найти орт вектора нормали плоскости

17 74 При каком значении коэффициента A плоскость Ax y 5z 1 0 x 1 y z будет параллельна прямой? Найти орт вектора нормали плоскости 4 1 A ;;0 и 75 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 70 Даны точки A, B и x 1, через прямую y t, z t x t, x t 5, 76 Доказать, что прямые y t, и y 4t 1, пересекаются z 4t 6 z t 4 Найти точку их пересечения 77 Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные x 1 y z 1 x y 1 z прямые и 5 78 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x t 5, y t 1, и точку M 1;; z t 79 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 1;1;0, x y z 1 M ;0; 1 параллельно прямой 5 5 1;1;1 ;; C ;; Составить уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной к векторам AB и AC Задание 8 81 Через линию пересечения плоскостей 4x y z 1 0 и x 5y z 0 провести плоскость, проходящую через точку A 1;1;1

18 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A ;;0 и x 1, через прямую y t, z t 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой пересечения плоскости x y 4z 0 с плоскостью OXZ 84 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x y 0, параллельно прямой x y z x y z 0 y x 9, 85 Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости x 4y 7z 0 z 9x 4 x y 1 z x 8 y 1 z 6 86 Проверить, что прямые, пересекаются, и написать уравнение плоскости, проходящей через них Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения x y 5 z 1 плоскости x y z 1 0 с прямыми, 1 5 x 5 y z x y z 1 88 Через прямую провести плоскость, перпендикулярную плоскости x 4y z Написать уравнение к плоскости, проходящей через прямую 5 1 x y 4 z x 5 y z и параллельной прямой Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 1;1;1 параллельно плоскости x y z 1 0, и найти расстояние между этими плоскостями x y z 0, 811 Написать уравнение проекции прямой на координатную плоскость x y 0 OXZ

19 81 Убедиться, что прямые x 1 y z 5 x 7 y z 1, 4 принадлежат одной плоскости, и написать уравнение этой плоскости x y z 1 0, x 7 y 5 z 9 81 Доказать, что прямые и x y z параллельны, и найти расстояние между ними 814 Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями x y 5z 0, x 10y 4z 0 x t, 815 Найти расстояние между прямыми y t 4, и z t 1 x 1 y 8 z 1 A на плоскость y z 0 x y 1 z 1 x 4 y z 817 Показать, что прямые и пересекаются, и найти точку их пересечения Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые x 1 y 1 z x y 1 z 1 и 1 1 x 5t, 819 Составить уравнение проекции прямой y 1 t, на плоскость z 4 t x y z Через точку A 1;; провести плоскость, перпендикулярную к плоскости 5x y 5z 10 0 и образующую с плоскостью 816 Найти проекцию точки ;1;0 x 4y 8z 1 0 угол 4 81 Найти расстояние от точки ; 1; P до прямой x 1 y z 1 4 5

20 8 Показать, что прямая x y z 0 x 1 y 1 z 1 лежит в плоскости x t 1, 8 Найти угол между прямой y t 5, и плоскостью z t x y z Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 1;0; перпендикулярно к плоскости 4x 7y z 0, найти точку их пересечения 85 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую x y z и точку M 1;7; M 1 ;;, 86 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки x t, M 1;1;1 параллельно прямой y t 4, z t 1 87 Найти точку пересечения прямой x 1 y z 7 1 и плоскости x y 0 и угол между ними 88 Доказать перпендикулярность прямых x 1 y 1 z, 5 x y z 0, x y z Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые x t, x 1 y z 1 y t 1, и 5 1 z t x 5 y z 80 Через прямую 1 4 провести плоскость, параллельную плоскости x y z 15 0

21 Задание 9 M, симметричную точке 91 Найти точку 1 M 1;0;1 относительно плоскости 4x 6y 4z Найти проекцию точки A ;;4 на прямую x y z 9 Найти точку B, симметричную точке C 1;;0 относительно плоскости 4x 5y z 7 0 M 0;;1 и обра- 94 Составить уравнение прямой, проходящей через точку зующей равные углы с векторами a 1;;, b 0;;0, 0;0; c x y z 95 Найти уравнение проекции прямой на плоскость 1 x y z Найти точку A, симметричную точке B; 1;1 относительно прямой x 4,5 y z 1 0,5 1 x 1 y 1 z 97 Найти проекцию точки M0; ; на прямую Найти проекцию точки A 1;0; 1 на плоскость x 6y z 11 0 B 1;; относительно прямой 99 Найти точку A, симметричную точке x 0,5, y t 1,5, z t 1,5 910 Найти проекцию точки 1;1;1 x t, A на прямую y t 1,5, z t 1 x y z 1 0, A 1;;5 до прямой x y z 0 B ;1;0 относительно прямой 911 Найти расстояние от точки 91 Найти точку A, симметричную точке x, y z 0

22 A относительно прямой x 1 y z 4 5 x t 1,5, 914 Найти проекцию точки A 0;;1 на прямую y t, z t 915 Найти расстояние между двумя параллельными прямыми x y 1 z x 7 y 1 z, 4 4 B ; ;1 относительно прямой 91 Найти точку, симметричную точке 4;; Найти точку A, симметричную точке x 5t 6, y 4t,5, z 0,5 x y 1,5 0, 917 Найти проекцию точки A 0;;1 на прямую y z Найти точку, симметричную точке A ;7;1 относительно плоскости x 4y z 7 0 x y z 0, 919 Написать уравнение проекции прямой на координатную плоскость OXY x y 0 90 Провести через точку пересечения плоскости x y z 1 0 с прямой прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикуляр- y 1, z 1 0 ную к данной прямой 91 Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую x y 1 z x y z 1 параллельно прямой x y z 5 9 Найти расстояние от точки M ;;5 до прямой Составить канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из x 1 y z точки A ;;1 на прямую 1

23 94 Найти проекцию прямой x y z 8 0 x 4 y 4 z 1 на плоскость 95 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ; ;0 x 1 y z перпендикулярно к прямой и расположенной в 1 плоскости XOY x y z 4 0, x y z 1 96 Доказать, что прямые и пересекаются, и найти их точку пересечения x y z x t, x t, 97 Найти расстояние между двумя прямыми y t 1, и y t 5, z 1 z t x y z 98 Найти расстояние от точки A ;1;1 до прямой Написать уравнение прямой, проходящей через точку M; ;5 и x 1 y 4 z 5 точку пересечения прямой с плоскостью 1 4 x y z Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A 1; ; x y z 5 x y z и параллельной прямым и Задание 10 Заданы координаты вершин некоторого треугольника ABC Найти: а) уравнение стороны BC ; б) уравнение высоты, проведенной из точки A ; в) уравнение медианы, проведенной из точки C ; г) уравнение биссектрисы внутреннего угла B 101 A 1;4, B7; 4, C; 7 10 A ;1, B 7;1, C 1;1 10 A ;, B10; 1, C ; A 4;1, B 4; 5, C 0; 7 1; C 6; ;0 A, B,

24 106 A ;1, B 15;17, C 6;9 107 A 4;, B 1;4, C 8;1 108 A ;5, B9; 19, C1; 109 A 0;, B 4;6, C 8; 1010 A 1;, B 7;10, C 1; A 1;4, B 17;16, C 5; 101 A ;1, B14; 8, C; 101 A ;, B 9;11, C 5; A4; 1, B 1;11, C 1; A 5;0, B 8;4, C16; 1016 A ;1, B 15;17, C 6; A 4;, B1; 10, C19; 1018 A ;1, B9;, C1; A 0;, B 16; 10, C 4; A 1;, B ;0, C5; A 0;0, B 7;4, C 1; 10 A 1;1, B 1;17, C 9;0 10 A 1; 1, B11; 10, C ;6 104 A 1;, B 7;11, C 19; 105 A ;4, B 6;7, C 18; A 4;0, B 1;4, C 1;0 107 A; 1, B10; 5, C1; A ;, B14; 1, C6; A 1;, B 7;10, C 1; 100 A 1;1, B ;4, C 1;16 Задание 11 С помощью выделения полного квадрата привести заданное уравнение кривой второго порядка к каноническому виду Определить тип кривой, найти ее полуоси, эксцентриситет, координаты вершин и фокусов, уравнения директрис и асимптот (если они имеются) Сделать чертеж 111 5x 0x y 4y 1 0

25 11 x 4x y 4y x 4x 4y 8y x x 4y 16y y 4x x x x y 4y x 8x y 18y x 4x y 1y x 4y y x 1x y 6y y 16x 4x 4y x 4x y 8y x 4x 5y 0y x 0x 4y x 1x y 4y x 8x y 0y y 0x x 16y x 0x y 1y x 6x 4y 16y y 1y 5x x x 5y 40y x 0x 5y 0y x 16x 5y x 8x 5y 0y x 1x 5y 40y x 0x y 4y 8 0

26 117 5y 10y 4x y 4x 4x 10y x 1x y 1y x 0x 6y 4y 16 0 Задание 1 Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат 11 5x 4xy 8y x 56y x 4xy 4y 4x y x 1xy 4y 1x 8y x xy y 10x 6y x xy y x y x 4xy 16y 50x 100y x 6xy 6x 1y x 4xy 6y 16x 8y 0 19 x 4xy 4y 8x 6y x 1xy x 1y x xy y x y 0 11 x 4xy 5y 8x y xy 5y 1x y x 4xy 4y 4x y x 6xy 5y 6x 10y xy 8y 1x 6y x 4xy x 4y x 4xy 1y 4x 18y x xy y x 5y x 4xy 8y x 56y x xy y 6x y 9 0

27 1 x 4xy 5y 6x 8y xy 8y 1x 6y x 4xy 4y x 6y x 4xy 8x 4y x 8xy 5y 18x 18y x 16xy y 14x 16y x 4xy 4y 5x xy y 16x 1y x 6xy 5y 16x 16y 16 0 Задание 1 Семейство поверхностей задано уравнением, содержащим параметр Определить тип поверхности при всевозможных значениях ( 0, 0, 0 ) Построить полученные поверхности 11 x y z y z x 1 x y z x y z 1 x y z 118 z x y 14 x y z 119 x y z 15 x y z 10 x z 16 x y 4z 11 y x z y 17 x y z 4 1 4y x z 18 x y z 1 x y z 19 x y z 14 y z 110 x y z 15 y x z 111 x y z 16 x y 11 x y z 17 z x z y 11 x y z 18 x y z 114 x y 19 y z x 115 x y z 10 x y z

28 Задание 14: а) построить по точкам в полярной системе координат кривые 0 б) перейдя к полярной системе координат, построить кривые r ; б) 4x y x 9x y r e ; б) x y 4y 5x y 141 а) sin 14 а) 14 а) r sin ; б) x y 6xy 0 r sin ; б) x y y 9x y 1 r ; б) x y x 5x y 144 а) 145 а) 146 а) 4 r ; б) x y x 4x y 147 а) 4 cos r ; б) x y 8x y а) r sin ; б) x y x y 0 sin ; б) x y y 9x y 149 а) r 1410 а) r cos ; б) x y x r ; б) x y x x y r 4sin 4 ; б) x y y x y 1411 а) cos 141 а) 141 а) sin r ; r ; б) x y 4xy а) r cos 5 ; б) x y x y 0 r 4cos ; б) x y y 9x y 1415 а) 1416 а) r 4sin ; б) x y 6x y а) 4 4cos r ; б) x y 8xy 1418 а) sin r ; б) x y 8x y а) r e 4 ; б) x y 8y

29 140 а) 141 а) r sin ; б) x y 4xy 0 8 r ; б) x y x x y 1 14 а) e r ; б) x y 4y r ; б) x y y 16x y 14 а) cos 144 а) r cos 145 а) 146 а) 1 ; б) x y 10x y 0 r ; б) x y x 9x y r ; б) x y 6xy 147 а) cos r ; б) x y y x y 148 а) cos r ; б) x y 4xy r cos 4 ; б) x y x 16x y r 4cos ; б) x y x 16x y 149 а) 140 а)


Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НОВОТРОИЦКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ» Кафедра

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 1); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Псковский государственный университет И.Н. Медведева ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии ПсковГУ и редакционно-издательского

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ 1 1. Направленные отрезки и их равенство. 2. Линии и поверхности. Параметрическое задание линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. 3. К вершине куба приложены три

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее