ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ

Save this PDF as:

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Download "ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ"

Андрей Бологовский
2 лет назад
Просмотров:

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ

2 Электронные методические указания «Трехшарнирные системы» предназначены для студентов специальностей 71 «Мосты и транспортные тоннели» и 74 «Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство». Они содержат указания по расчету трехшарнирных арок и рам. Методические указания сопровождаются примерами расчета на неподвижную нагрузку. Методические указания разработаны на кафедре «Мосты и транспортные тоннели». Зав. кафедрой д.т.н. Назаренко Павел Петрович. Разработчик - к.т.н. Шабанов Леонид Александрович. Самара 6.

3 Содержание. Общие сведения о трехшарнирных системах. Определение опорных реакций трехшарнирной арки. Определение изгибающих моментов в сечениях трехшарнирной арки. Рациональная ось трехшарнирной арки. Определение поперечных и продольных сил в сечениях трехшарнирной арки. Расчет трехшарнирной арки с помощью ЭВМ. Расчет трехшарнирных рам. 3

4 Общие сведения о трехшарнирных системах. К трехшарнирным системам относятся трехшарнирные арки и рамы. Трехшарнирная арка состоит из двух криволинейных стержней, соединенных между собой шарниром и двумя шарнирами прикрепленных к земле. Рис. 1. На рисунке 1 изображена схема трехшарнирной арки. На схеме, опорные шарниры, C средний (ключевой) шарнир, L пролет арки, F стрела подъема. Трехшарнирная арка представляет собой геометрически неизменяемую систему без лишних связей. Трехшарнирная рама состоит из двух ломаных стержней рис.. Рис.. 4

5 Определение опорных реакций трехшарнирной арки. Трехшарнирная арка представляет собой статически определимую систему, поэтому для определения опорных реакций используются обычные уравнения статики. На рисунке 3 изображена арка и приложенная к ней внешняя нагрузка. Рис. 3. Внешняя нагрузка обычно передается на арку через вспомогательные элементы, образующие так называемое надарочное строение. (На рисунке не показано.) Обозначение опорных реакций : V, V - вертикальные реакции, H, H - левый и правый распоры. Рекомендуется определять опорные реакции в следующей последовательности: - отсюда находим V, = = = - отсюда находим V, Y - это уравнение используется для проверки. Для определения распоров составляются уравнения моментов относительно шарнира C левых и правых сил. Л - отсюда находим H, C = П C = - отсюда находим H. Если на арку действует только вертикальная нагрузка, то правый и левый X = распоры будут равны: H = H = H. (Это следует из уравнения ) Трехшарнирная арка относится к так называемым распорным системам, в таких системах вертикальная нагрузка вызывает не только вертикальные, но и горизонтальные реакции. Определение опорных реакций в трехшарнирных рамах производится аналогично. 5

6 Определение изгибающих моментов в сечениях трехшарнирной арки. Изгибающий момент в сечении трехшарнирной арки равен сумме моментов сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести сечения. На рисунке показано положительное направление изгибающих моментов. Как видно, изгибающий момент считается положительным, если он стремится р а з о г н у т ь арку. На рисунке 4 показана арка, нагруженная внешней нагрузкой. Наряду с аркой будем рассматривать балку, имеющую такой же пролет и нагруженную такой же нагрузкой. Рис. 4. Определим изгибающий момент в сечении по левым силам. V = V x P ( x a) H y x P ( x a Обозначим = ) - балочный изгибающий момент, то-есть изгибающий момент в сечении рассматриваемой балки. Окончательно получаем формулу = H y Из этой формулы видно, что наличие распора уменьшает изгибающие моменты в сечениях арки, что является преимуществом арки перед балкой такого же пролета и с такой же нагрузкой. 6

7 Рациональная ось трехшарнирной арки. Рациональной осью арки называется ось такого очертания, при которой изгибающие моменты во всех сечениях арки равны нулю. Приняв в полученной формуле =, получим уравнение рациональной y = / H оси арки в общем виде. Как видно, уравнение рациональной оси арки зависит от внешней нагрузки. П р и м е р. Найти рациональную ось для арки, загруженной по всему пролету равномерно распределенной нагрузкой рисунок 5. Рис. 5. Находим вертикальные реакции Распор найдем по левым силам Л L q L L =. V H F = 4 V V q L = =. C, отсюда Балочный изгибающий момент в произвольном сечении q x x q L q x x V = H q L = 8 F =. Подставив найденные значения и H в формулу для y, получим уравнение рациональной оси арки. y = 4 F x ( L x) L. Это уравнение параболы. Таким образом, если ось арки очерчена по параболе, то в сечениях арки будут действовать только продольные силы. 7

8 Определение поперечных и продольных сил в сечениях трехшарнирной арки. Поперечная сила в сечении трехшарнирной арки равна сумме проекций сил, расположенных по одну сторону от сечения, на плоскость сечения. Положительное направление поперечных сил показано на рисунке. Как видно, поперечная сила считается положительной, если она вращает выделенный элемент арки по часовой стрелке. На рисунке 6 показана арка, нагруженная внешней нагрузкой. Рис. 6. На рисунке показан угол ϕ - угол между касательной к оси арки и осью абсцисс. Определим поперечную силу в сечении по левым силам. Q = ( V P1 ) cosϕ H sinϕ. Обозначим Q = V P1 - балочная поперечная сила, то-есть поперечная сила в балке с таким же пролетом и с такой же нагрузкой. Окончательно получаем формулу Q = Q cosϕ H sinϕ Продольная сила в сечении трехшарнирной арки равна сумме проекций сил, расположенных по одну сторону от сечения, на касательную к оси арки. 8

9 На рисунке показано положительное направление продольной силы. Как видно, положительной продольной силой считается с ж и м а ю щ а я. Найдем продольную силу в сечении по левым силам. N Окончательно = ( V P1 ) sinϕ + H cosϕ N = Q sinϕ + H cosϕ Пример расчета. Рис. 7. Исходные данные: L = 4 м, F = 6 м - пролет арки и стрела подъема, P = 8 кн, q = 3 кн/м нагрузка. Ось арки парабола. X k = 4 м абсцисса сечения. Определяем вертикальные опорные реакции L L L =, V L P q = 4 Отсюда V = 13 кн. L 3 L =, V L + q L + P = 4 Отсюда V = 44 кн. Распор найдем по левым силам Л L C =, V H F = Отсюда H =6 кн. 9

10 (Для контроля можно найти распор по правым силам.) 4 F L Ось арки парабола, уравнение которой запишется так y = x ( L ). x = 4, = 3.33 Приняв найдем ординату сечения : y x м. Далее находим балочный изгибающий момент и изгибающий момент в сечении арки. = V 4 = 5 кн м, = H y = кн м. Для того, чтобы вычислить поперечную и продольную силы, нужно предварительно найти тригонометрические функции угла ϕ. Сначала найдем тангенс этого угла, а затем синус и косинус. dy 4 F tgϕ = = ( L x), при x = 4, y =. dx L tgϕ cosϕ = =, sinϕ = = 1+ tg ϕ tg ϕ Балочная поперечная сила Q = V = 13 кн. Поперечная сила в сечении арки : Q = Q cosϕ H sinϕ = Продольная сила в сечении арки N = Q sinϕ + H cosϕ = кн кн. 1

11 Расчет трехшарнирной арки с помощью ЭВМ. Для расчета трехшарнирной арки можно использовать разработанную на кафедре программу rka3. Программа определяет внутренние усилия, Q, N - в сечениях трехшарнирной арки. Программа работает в диалоговом режиме под управлением операционных систем Windows 98/e//XP. Исходные данные вводятся с помощью клавиатуры, используется также мышь. Результаты расчета выводятся на дисплей. Результаты можно также записать в текстовый файл с последующей распечаткой с помощью любого редактора. Пример расчета. Рис. 7. Исходные данные: L = 5 м, F = 7.5 м - пролет арки и стрела подъема, P = 8 кн, q = 3 кн/м нагрузка. Ось арки парабола. Используя уравнения статики, определяем опорные реакции. V = 1 кн, V = 8 кн вертикальные реакции, H = кн распор. (Опорные реакции на рисунке не показаны.) Разбиваем пролет арки на 1 равных частей, наносим и нумеруем сечения. В том месте, где приложена сосредоточенная сила, наносим два сечения: левее и правее силы. Абсциссы этих сечений будем считать одинаковыми. Исходные данные и результаты расчета удобно оформлять в виде таблицы. Сеч. x Q Q N

12 В первые два столбца вводим номера и абсциссы сечений. Далее вычисляем балочные изгибающие моменты и поперечные силы и заполняем 3-й и 4-й столбцы. Далее расчет выполняется с помощью программы rka3. Распечатка работы программы приведена ниже. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ Пролет арки L = 5 Стрела подъема F = 7,5 Распор H = 16,66667 Ось арки - парабола Исходные данные и результаты расчета Сеч. X o Qo Q N 1 1-6,4 18,35, ,38 18, ,63 19, , ,83 19, ,834 18,54 6 1, , 16, ,5 15, 16, ,834 15, ,5 15,6-5,5,6,54 17,45 1 1,5-13,5 -,81 1,1 11,5 6,65 -,5 15,65-3,46 6, ,11 3,18 По полученным результатам заполнены столбцы 5, 6 и 7 таблицы,а также построены эпюры, Q, N (рисунок 8). 1

13 Рис

14 Расчет трехшарнирных рам. Определение опорных реакций трехшарнирных рам производится так же, как определение опорных реакций трехшарнирных арок. Внутренние усилия в сечениях рамы определяются по правым или левым силам. Рассмотрим пример расчета. П р и м е р. Для изображенной на рисунке 9 рамы нужно найти опорные реакции и внутренние усилия (, Q, N) в двух сечениях m и n. Составляем уравнения для определения опорных реакций =, P1 4 + P 3 V 4 = =, P1 4 P 1+ V 4 = Л C =, V H 4 = П C =, P 1+ H 4 V = Из этих уравнений находим Рис. 9. V = 1,5кН, V = 4,5кН, H =,65кН, H = 1,375 кн. Находим изгибающие моменты в сечениях m и n m = H = 1,5кН м, n = V.5 H =,65кН м. Находим поперечную и продольную силы в сечении m Q m = H =,65кН, N = V = 1,5кН. m Для определения поперечной и продольной сил в сечении n нужно вычислить тригонометрические функции угла наклона правой стойки tg ϕ = 4, cosϕ =.4, sinϕ =.97. Далее находим 14

15 Q N n n = V cosϕ + H sinϕ =,34 кн, = V sinϕ + H cosϕ = 4,45кН. Литература. 1. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. М.: Высшая школа, стр.. Саргсян А.Е. и др. Строительная механика. М.: Высшая школа,. 416 стр. 15

Похожие документы

Московский государственный университет путей сообщений (МИИТ)

Московский государственный университет путей сообщений (МИИТ) Кафедра «Строительная механика» РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Строительная механика»