Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ЛВ Китаева МО Сысоева ТА Шайхудинова МАТЕМАТИКА В четырех частях Часть Методические рекомендации к практическим занятиям по темам «Линейная алгебра» «Векторная алгебра» «Аналитическая геометрия» «Комплексные числа» и «Введение в анализ» для студентов направлений подготовки 6 «Технологические машины и оборудование» 66 «Продукты питания из растительного сырья» 76 «Биотехнология» 86 «Экономика» 86 «Менеджмент» 86 «Бизнес-информатика» 76 «Торговое дело» 86 «Товароведение» 6 «Приборостроение» 6 «Информационные системы и технологии» 786 «Строительство» 966 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» и специальностей 6 «Химическая технология органических соединений азота» 6 «Химическая технология полимерных композиций порохов и твердых ракетных топлив» 6 «Автоматизированное производство химических предприятий» Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им ИИ Ползунова

2 УДК (76) К Рецензент: ТД Васильева к ф-м н доцент АГАО К Китаева ЛВ Математика В ч Ч Методические рекомендации к практическим занятиям по темам «Линейная алгебра» «Векторная алгебра» «Аналитическая геометрия» «Комплексные числа» и «Введение в анализ» для студентов направлений подготовки 6 «Технологические машины и оборудование» 66 «Продукты питания из растительного сырья» 76 «Биотехнология» 86 «Экономика» 86 «Менеджмент» 86 «Бизнес-информатика» 76 «Торговое дело» 86 «Товароведение» 6 «Приборостроение» 6 «Информационные системы и технологии» 786 Строительство» 966 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» и специальностей 6 «Химическая технология органических соединений азота» 6 «Химическая технология полимерных композиций порохов и твердых ракетных топлив» 6 «Автоматизированное производство химических предприятий» / ЛВ Китаева МО Сысоева ТА Шайхудинова; Алт гос техн ун-т БТИ Бийск: Изд-во Алт гос техн ун-та с В методических рекомендациях сформулированы цели и задачи практических занятий по дисциплине «Математика» приведены краткие теоретические сведения и примеры решения типовых задач по разделам математики: линейная и векторная алгебра аналитическая геометрия комплексные числа и введение в анализ УДК (76) Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики и математической физики Протокол 6 от 7 г Китаева ЛВ Сысоева МО Шайхудинова ТА БТИ АлтГТУ

3 СОДЕРЖАНИЕ Цели и задачи практических занятий по математике Содержание занятий Понятие матрицы и определителя Матрицы Действия над матрицами Системы линейных уравнений 7 Ранг матрицы Теорема Кронекера Капелли Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными Метод Гаусса Системы линейных однородных уравнений 6 Элементы векторной алгебры 7 Базис Разложение вектора по базису Линейные операции над векторами в координатной форме 8 Cкалярное произведение векторов 9 Векторное произведение векторов 8 Cмешанное произведение векторов Собственные векторы линейного преобразования Квадратичные формы приведение их к каноническому виду Простейшие задачи аналитической геометрии: деление отрезка в данном отношении расстояние между двумя точками Уравнение линии на плоскости Полярная система координат 6 Прямая на плоскости 69 Линии второго порядка 77 Плоскость 89 6 Прямая линия в пространстве 9 7 Прямая и плоскость в пространстве 99 8 Поверхности второго порядка 9 Комплексные числа Литература

4 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ Цель данного методического пособия помочь студенту научиться с наименьшей затратой времени самостоятельно решать задачи по курсу математики Каждое практическое занятие содержит необходимые теоретические сведения: основные определения понятия формулировки теорем формулы используемые при решении задач и выполнении упражнений и подробное решение типовых задач различной степени трудности Перед каждым практическим занятием студенты должны выучить относящийся к нему раздел теории и ответить на предложенные вопросы для самоконтроля Практические занятия способствуют закреплению теоретических знаний и приобретению навыков решения конкретных задач по математике Целью практических занятий является развитие познавательных способностей самостоятельности мышления и творческой активности студентов при изучении дисциплины «Математика» Задачами практических занятий являются: закрепление углубление и расширение знаний студентов по математике; обучение студентов методам решения основных классов задач; приобретение студентами умений и навыков использования математических знаний для решения прикладных задач На практических занятиях реализуются компетенции: 6 ОК-9 66 ОК- ПК- ПК- ПК-6 76 ОК-7 ПК- 86 ПК- ПК- ПК- 86 ОК-ОК- ОК-8 ОК- ОК-7 ПК- ПК- ПК- 86 ОК- ОК-6 ОК- ОК- ПК- 86 ОК- ПК-9 ПК- 76 ОК- ОК- ОК-8 ПК- ПК- 86 ОК- ОК- ПК- ПК-6 6 ОК- ПК- ПК- ПК-7 6 ОК- ОК-6 ОК- 786 ПК- ПК- ПК- 966 ОК- ОК- ОК- 6 ПК-8 6 ПК-8 6 ПК-8

5 СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ Понятие матрицы и определителя Определение Матрицей называется прямоугольная таблица чисел содержащая m строк и n столбцов Матрицы обозначаются A B C Матрицы записываются в виде A m m где ij элементы матрицы; i номер строки i m ; j номер столбца j n n n или A ( ij ) mn Матрицу A называют матрицей размерности m n и пишут Am n Матрица у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной матрицей Квадратную матрицу размерности n n называют матрицей n-го порядка Квадратной матрице A порядка n можно сопоставить число называемое определителем которое обозначается det A или А Определение Определителем -го порядка называется число определяемое равенством: det A Пример Вычислить определитель 7 6 Решение ( ) 6 Определение Определителем -го порядка называется число определяемое равенством:

6 det A ( ) Элементы образуют главную диагональ Элементы образуют побочную диагональ При вычислении определителя -го порядка используют правило треугольника которое символически записывают так: Пример Вычислить определитель 6 методом треугольника Решение Вычислим определитель используя схему вычисления 6 = ( ) 6 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 6 ) 8 ( 8) Определение Минором элемента ij определителя n-го порядка называется определитель n -го порядка полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых он находится Обозначается минор M ij ; M ; M Определение Алгебраическим дополнением 6 A ij элемента определителя называется его минор взятый со своим знаком если ij

7 сумма i j четное число и взятый с противоположным знаком если i j нечетное число: i j ij A ij M Так A M A M Свойства определителя Определитель не изменится если строки заменить столбцами и наоборот: При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный: Если определитель имеет две одинаковых строки (столбца) то он равен нулю: Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца) то определитель равен нулю: k k Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя: k k k 6 Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю то определитель равен нулю 7 Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых то определитель равен сумме двух определителей: b b b b 7

8 8 Определитель не изменится если к элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно число: k k 9 Разложение определителя по элементам строки Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения: или A A A A A A A A A Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю: A A A Если в определителе все элементы стоящие ниже или выше главной диагонали нули то определитель равен произведению элементов главной диагонали те Пример Вычислить определитель 8 6 разложением по элементам строки Решение Вычислим определитель используя метод разложения по элементам первой строки: 6 А А А М М М 6 6 ( 6) ( 8) ( ) 6 6 6

9 Возможность вычисления определителя разложением по любой строке или по любому столбцу позволяет выбрать строку или столбец с наибольшим количеством нулей и следовательно уменьшить количество вычислений алгебраических дополнений Пример Вычислить определитель 7 Решение Произведем следующие действия: ) из элементов -й строки вычтем соответствующие утроенные элементы -й строки (получим -ю строку); ) к элементам -й строки прибавим соответствующие удвоенные элементы -й строки (получим -ю строку); ) из элементов -й строки вычтем соответствующие элементы -й строки (получим -ю строку) Определитель преобразуется к виду 7 Разложим данный определитель по элементам -го столбца A 7 7 Прибавляя к элементам -й строки элементы -й строки получим: 7 Разложим определитель по элементам -й строки 7 A Выполнить: ( 8) ( 6) 6 () [] 9

10 Вопросы для самоконтроля Сформулируйте определение матрицы Сформулируйте определение квадратной матрицы Сформулируйте определение определителя матрицы Сформулируйте правило вычисления определителя -го порядка Как вычислить определитель -го порядка методом треугольника? 6 Перечислите свойства определителя 7 Сформулируйте определение минора элемента определителя 8 Сформулируйте определение алгебраического дополнения элемента определителя 9 Сформулируйте правило вычисления определителя с помощью разложения его по элементам строки или столбца Дома Выполнить: ( ) ( ) 6 () 7 [] Изучить теоретический материал по теме «Матрицы Действия над матрицами» Матрицы Действия над матрицами Определение Квадратная матрица у которой все элементы кроме элементов главной диагонали равны нулю называется диагональной: A nn Определение Диагональная матрица у которой каждый элемент главной диагонали равен единице называется единичной матрицей Обозначается E : E Определение Матрица у которой все элементы равны нулю называется нулевой матрицей:

11 O Определение Матрица содержащая один столбец или одну строку называется вектором: A n вектор-строка A вектор-столбец m Определение Квадратная матрица называется треугольной если все элементы расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю: n n или nn n n nn Определение 6 Матрица полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером называется транспонированной T матрицей к данной и обозначается A T A T A Определение 7 Квадратная матрица определитель которой не равен нулю называется невырожденной Определение 8 Если определитель матрицы равен нулю то ее называют вырожденной Действия над матрицами Определение 9 Матрицы называются равными если они имеют одинаковую размерность и соответствующие элементы равны Сложение Пусть A и B матрицы одинаковой размерности Суммой матриц Am и n Bm называется матрица n Cm элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B : n A B b C c где m n ij m n ij m n ij cij ij bij

12 Пример Найти сумму матриц A и B A b 7 Решение A B Аналогично определяется разность матриц Умножение матрицы на число Произведением матрицы ij Bm n b такая что ij на число m n k называется матрица k ij ij Пример Умножить матрицу Решение C 8 k A 8 A на число k Пример Найти матрицу A B если A B Решение 6 8 A B A B Произведение матриц Произведение матриц A и B существует только тогда когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы A B b Произведением матрицы на матрицу m n ij n p jk называется матрица C c m p ik каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B те c b b b где i m k p ik i k i k in nk Если A и B квадратные матрицы одной размерности то произведения A B и B A всегда существуют причем А В В А

13 Пример Найти B A если A и 8 7 B Решение 8 7 B A C ) ( 7 8 ) ( 7 Пример Найти произведения матриц AB и BA если B A Решение AB BA А В В А Свойства произведения матриц ) A B B A ;

14 ) A B C A B C ; ) A E E A A ; ) A B C A B A C ; ) k A B k A B ; T T T 6) A B B A ; T T T 7) A B A B ; 8) Если A и B квадратные матрицы то det A B det A det B det B A Если A B B A то матрицы A и B называются перестановочными n n Рассмотрим матрицу A n n nn Определение Матрицей союзной к матрице A называется матрица состоящая из алгебраических дополнений к элементам матрицы A : Т A A An ~ A A An A A A A n n nn Определение Матрица A называется обратной матрице A если выполняется условие A A A A E Всякая невырожденная матрица имеет обратную которая находится по формуле: ~ A А det A Свойства обратной матрицы ) det A ; det A A B B A ; ) T T ) A A

15 Пример 6 Найти A для матрицы A Решение Вычислим определитель матрицы: det A следовательно матрица A имеет обратную матрицу Найдем союзную матрицу: M A M A M A M A 6 6 M A M A M A 7 M A 9 8 M A ~ A Запишем обратную матрицу A Проверим выполнимость условия E A A A A A A

16 E Выполнить: [] Задания для самостоятельного решения Задание Найти матрицу X удовлетворяющую следующим условиям: ) ; ) X B A B X A где ; B A Задание Даны матрицы B A Найти обратные матрицы AB C и BA D Задание Даны матрицы B A Найти обратные матрицы A и B Вопросы для самоконтроля Какие матрицы можно складывать? Как сложить две матрицы? Как умножить матрицу на число? Какие матрицы можно перемножать? Как умножить матрицу на матрицу? 6 Верно ли равенство АВ = ВА для произвольных матриц? 7 Всякая ли матрица имеет обратную? 8 Может ли иметь обратную матрицу прямоугольная матрица? Дома Выполнить: 99 6 [] Изучить теоретический материал по теме «Системы линейных уравнений»

17 Системы линейных уравнений Определение Системой линейных уравнений содержащей n уравнений и n неизвестных называется система вида: где коэффициенты системы; ij b свободные члены; i неизвестные i Определитель вида b n n n n b n n nn n bn n n называется определителем системы Решить систему уравнений значит найти совокупность значений неизвестных которые при подстановке в каждое уравнение обращают его в тождество Такая совокупность называется решением системы Система для которой существует хотя бы одно решение называется совместной Совместная система имеющая единственное решение называется определенной Совместная система имеющая множество решений называется неопределенной Система не имеющая решений называется несовместной Решение систем линейных уравнений Правило Крамера Рассмотрим систему состоящую из трех уравнений с тремя неизвестными: 7 n n nn b b b ()

18 Введем обозначения: ; b b b ; 8 b b b ; b b b ) Если то система имеет единственное решение которое находится по формулам Крамера: ; ; () ) Если а хотя бы один из определителей или то система не имеет решения ) Если то система имеет множество решений Пример Решить систему уравнений: y z y z 7 y z 8 Решение Найдем главный определитель системы: 6 следовательно система имеет единственное решение Найдем заменяя в главном определителе соответственно первый второй и третий столбцы столбцом свободных членов:

19 Найдем решение системы по формулам Крамера: y z Проверка: Ответ: y z Пример Решить систему уравнений: 8 6 z y z y z y Решение Найдем главный определитель системы: Найдем заменяя в главном определителе соответственно первый второй и третий столбцы столбцом свободных членов: Так как а то система не имеет решений

20 Пример Решить систему уравнений: y z 6 y z y z Решение Найдем главный определитель системы: Найдем заменяя в главном определителе соответственно первый второй и третий столбцы столбцом свободных членов: Так как то система имеет множество решений (одно уравнение является следствием двух других) Найдем решение системы Возьмем два уравнения: y z 6 y z Одну неизвестную будем считать свободной перенесем ее в правую часть:

21 6 z y z y Найдем решение данной системы по формулам Крамера y : 7 z z z z z z z z z z тогда 7 7 z 7 7 z y z z Ответ: 7 7 z 7 7 z y z z Решение систем линейных уравнений средствами матричного исчисления Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными: n n nn n n n n n n b b b Введем обозначения: nn n n n n A b n b b B n X Запишем систему в виде матричного уравнения B X A () Умножив обе части равенства () слева на матрицу обратную матрице А получим: B A X A A B A X E B A X решение матричного уравнения ()

22 Пример Решить систему линейных уравнений средствами матричного исчисления: Решение Обозначим A 8 X B 8 Найдем определитель A Так как A то матрица A невырожденная и существует обратная матрица A Найдем матрицу A Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A и составляем из них союзную матрицу A ~ : A M A M A M A M A M A M A M A M A M ~ A

23 Запишем обратную матрицу A ~ A : A A Найдем решение по формуле X A B : ( ) 8 X A B 8 8 ( ) 8 Ответ: решение системы уравнений: Выполнить: 7 ( ) [] Вопросы для самоконтроля Сформулируйте определение системы линейных уравнений Сформулируйте определение решения системы уравнений Сформулируйте определение совместной системы линейных уравнений Сформулируйте определение несовместной системы линейных уравнений Сформулируйте определение определенной системы линейных уравнений 6 Сформулируйте определение неопределенной системы линейных уравнений 7 Назовите формулы Крамера Изложите метод исследования системы по формулам Крамера 8 В чем состоит матричный метод решения системы линейных уравнений Дома Выполнить: 7 ( 6) [] Изучить теоретический материал по теме «Элементарные преобразования матриц Ранг матрицы Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными Метод Гаусса»

24 Ранг матрицы Теорема Кронекера Капелли Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными Метод Гаусса Элементарные преобразования матриц Элементарными преобразованиями матриц являются: Перестановка местами двух строк матрицы Умножение всех элементов строки матрицы на число отличное от нуля Прибавление ко всем элементам строки матрицы соответствующих элементов другой строки умноженных на одно и то же число Вычеркивание строки все элементы которой равны нулю Ранг матрицы Свойства ранга матрицы Дана прямоугольная матрица n n A m m mn Выделим в матрице A k строк и k столбцов где k число меньшее или равное меньшему из чисел m и n Определитель порядка k составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов называется минором k-го порядка матрицы A Определение Рангом матрицы A называется наибольший порядок минора отличного от нуля Обозначается r A или rng A Определение Всякий отличный от нуля минор матрицы порядок которого равен рангу матрицы называется базисным минором матрицы Ранг матрицы обладает следующими свойствами: При транспонировании матрицы ее ранг не меняется Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд то ранг не изменится Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы Ранг матрицы равен числу ненулевых строк ступенчатой матрицы Матрицы A и B называются эквивалентными если r A = r B Обозначается A ~ B

25 Одним из методов нахождения ранга матрицы является метод окаймляющих миноров Минор M k порядка k содержащий в себе минор M k порядка k называется окаймляющим минора M k Если у матрицы A существует минор M а все окаймляющие его миноры M k то ra k Пример Найти ранг матрицы A 6 9 Решение Найдем миноры матрицы: M 8 6 k Для M окаймляющими будут только два минора: M 6 и M каждый из которых равен нулю Поэтому r ( A) а указанный минор M может быть принят за базисный Пример Найти ранг матрицы (самостоятельно) A Теорема Кронекера Капелли Метод Гаусса Пусть дана система m линейных уравнений с n переменными: j j n n b j j nn b i i ij j in n bi m m mj j mn n bm Матрица составленная из коэффициентов при неизвестных называется основной матрицей или матрицей системы: ()

26 n n A m m mn Матрица составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов называется расширенной матрицей системы: n b b n A/ B b m m mn m Теорема Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы Если ранг матрицы равен числу неизвестных то система имеет единственное решение Если ранг матрицы меньше числа неизвестных то система имеет множество решений Рассмотрим решение системы () методом Гаусса методом последовательного исключения переменных Он заключается в том что с помощью элементарных преобразований система уравнений сводится к равносильной системе ступенчатого вида из которой последовательно начиная с последних (по номеру) переменных находятся все остальные переменные Переход системы () к равносильной системе () называется прямым ходом метода Гаусса а нахождение переменных из системы () обратным ходом b j j n n j j n n b а j j n n b jj j jnn b j mmm mnn bm 6 ()

27 7 Преобразования Гаусса удобно проводить осуществляя преобразования не с самими уравнениям а с расширенной матрицей системы которую с помощью элементарных преобразований над строками приводят к ступенчатому виду: * * * * * * * т тр п п тт т т b b b а Пример Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: 8 7 z y z y z y Решение Запишем расширенную матрицу системы: 8 7 / B A Для упрощения вычислений поменяем местами первую и вторую строки: 8 7 Умножим элементы первой строки на и вычтем из соответствующих элементов второй строки; умножим элементы первой строки на и вычтем из соответствующих элементов третьей строки: Умножим элементы второй строки на ( ) и сложим с соответствующими элементами третьей строки: 6 7

28 Умножим элементы второй строки на и сложим с соответствующими элементами третьей строки: 7 6 Третью строку разделим на ( ): 7 6 Число ненулевых строк матрицы A равно следовательно rng ( A) Число ненулевых строк расширенной матрицы также равно Так как rng( A) rng( A/ B) то система совместна Из условия rng( A) rng( A/ B) n где n число неизвестных следует что система имеет единственное решение Система уравнений приняла треугольный вид и является системой подготовленной для обратного хода метода Гаусса: y z 7 y z 6 z Обратный ход метода Гаусса Из последнего уравнения получаем z Подставляя это значение во второе уравнение получаем y И наконец из первого уравнения находим Пример Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: 6 Решение Выпишем расширенную матрицу системы A / B 6 Преобразуем расширенную матрицу системы: ) для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки; ) первую строку умножим на ( ) и сложим со второй; 8

29 9 ) первую строку умножим на ( ) и сложим с третьей; ) из полученной третьей строки вычтем полученную вторую строку в результате получим нулевую строку которую можно вычеркнуть ~ ~ ~ ~ Система совместна тк ) / ( ) ( B A rng A rng и имеет множество решений тк n A rng ) ( числа неизвестных ( n ) Тк ) ( A rng то две переменные базисные а две свободные Оставляем в левой части которые берем за базисные (определитель из коэффициентов при них отличен от нуля) Остальные переменные переносим в правые части уравнений В результате получим систему уравнений: Откуда находим: Пусть c c Тогда бесконечное множество решений системы: 7 7 ; ; ; c c c c c Задания для самостоятельного решения Решить системы уравнений методом Гаусса: 6 6

30 Выполнить: 7 6 [] Дома Выполнить: 6 8 []; 6 [] Изучить теоретический материал по теме «Системы линейных однородных уравнений» Системы линейных однородных уравнений Определение Уравнение называется однородным если свободный член равен нулю Система линейных однородных уравнений имеет вид: n n n n (6) m m mn n Однородная система всегда совместна так как она имеет нулевое решение: n Система двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными Пусть дана система двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными: (7) Выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных A Рассмотрим случаи: ) если (8) (соответствующие коэффициенты пропорциональны) то система имеет бесконечное множество решений которые находятся по формуле где и принимают произвольные значения

31 ) если условия (8) не выполняются то решение системы найдем по формулам t t (9) t где t параметр получаются путем вычеркивания -го -го и -го столбцов соответственно в матрице системы Пример Решить систему уравнений: y z y z Решение Выпишем матрицу системы: A Найдем определители : Найдем решение системы: t t y t t z t 7t Проверка: подставим найденные значения переменных в систему уравнений t t 7t t t 7t t t 7t t t 8t Верно Ответ: t y t z 7t Система трех однородных уравнений с тремя неизвестными Пусть дана система трех линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:

32 Составим определитель системы: () ) Если то система имеет единственное нулевое решение: ) Если то система имеет множество решений которые находятся вышеизложенным способом для этого необходимо взять два уравнения системы Пример Решить систему уравнений: y z y z 6y z Решение Вычислим определитель системы: Система имеет множество решений Возьмем два уравнения и полученную систему решим вышеизложенным способом: y z y z Выпишем матрицу A Найдем определители : 8 6

33 Запишем решение системы: t 8 t y t t z t t Ответ: 8 t y t z t Пример Решить систему уравнений: Решение y z y z 6 y z Определитель системы 6 тк строки пропорциональны Тогда система имеет множество решений Т к все три строки пропорциональны то два уравнения являются следствием одного Возьмем одно уравнение y z и выразим из него одну переменную z y y принимают любые значения Ответ: z y y y Пример Решить систему уравнений: y z y z y z Решение Вычислим определитель системы: Система имеет единственное решение: y z Выполнить: 9 ( ) 9 [] Вопросы для самоконтроля Сформулируйте определение однородного уравнения Изложите метод решения системы двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными Изложите метод решения системы трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными

34 Дома Выполнить: ( 6) [] Подготовиться к самостоятельной работе по теме «Системы линейных уравнений» 6 Элементы векторной алгебры Величины которые полностью определяются своим численным значением называются скалярными Примерами скалярных величин являются площадь длина объем температура масса Величины которые определяются не только своим численным значением но и направлением называются векторными Например сила скорость ускорение Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора Вектор это направленный отрезок те отрезок имеющий определенную длину и определенное направление Если A начало вектора а B его конец то вектор обозначается символом AB или Вектор BA ( B начало вектора A конец) называется противоположным вектору AB Вектор противоположный вектору обозначается Длиной или модулем вектора AB называется длина отрезка обозначается AB Вектор длина которого равна нулю называется нулевым вектором и обозначается Нулевой вектор направления не имеет Вектор длина которого равна единице называется единичным вектором и обозначается e Единичный вектор направление которого совпадает с направлением вектора называется ортом вектора и обозначается Векторы и b называются коллинеарными если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых Записывают b Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору Два вектора и b называются равными ( b ) если они коллинеарны одинаково направлены и имеют одинаковые длины Вектор можно переносить параллельно самому себе а начало вектора помещать в любую точку O пространства

35 Равные векторы называются также свободными Три вектора в пространстве называются компланарными если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях Линейные операции над векторами Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов а также умножение вектора на число Пусть и b два произвольных вектора Возьмем произвольную точку O и построим вектор OA От точки A отложим вектор AB b Вектор OB соединяющий начало первого вектора с концом второго называется суммой векторов и b : OB b (рисунок ) Это правило сложения векторов называется правилом треугольника Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рисунок ) Рисунок Сложение векторов по правилу треугольника Пусть требуется сложить n векторов Рисунок Сложение векторов по правилу параллелограмма Суммой этих n векторов будет вектор S соединяющий начало первого вектора с концом последнего вектора при условии что начало каждого совмещено с концом предыдущего (рисунок n ) Под разностью векторов и b понимается вектор такой что b c (рисунок ) c b Рисунок Сложение n векторов Рисунок Разность векторов

36 Отметим что в параллелограмме построенном на векторах и b одна направленная диагональ является суммой векторов и b а другая разностью (рисунок ) Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор который имеет длину направление вектора если коллинеарен вектору имеет если Например если дан вектор то векторы и противоположное направление и бу- дут иметь вид (рисунок 6) Рисунок Сложение и разность векторов по правилу параллелограмма Свойства: Рисунок 6 Умножение вектора на число ) если b то b Наоборот если b ( ) то при некотором верно равенство b ; ) каждый вектор равен произведению его модуля на орт: ) орт вектора определяется равенством ) b b ) ( b) c ( b c) 7) ( ) 6) ( 8) ( b ) b ) Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось l те направленная прямая Проекцией точки M на ось l называется основание M перпендикуляра MM опущенного из точки на ось 6

37 Проекция вектора AB на ось l обозначается AB l то пр l AB пр l AB Если AB или Углом между вектором и осью l называется угол между вектором и его проекцией на ось ( ) Рисунок 7 Проекция вектора на ось l (рисунок 7) Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью те прl cos () Разложение вектора по ортам координатных осей Модуль вектора Направляющие косинусы Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oyz Выделим на координатных осях O Oy и Oz единичные векторы (орты) обозначаемые i j k соответственно (рисунок 8) где Рисунок 8 Разложение вектора по ортам координатных осей Формула вида i y j z k () o oy oz np y np z np является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей Числа y z называются координатами вектора те координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси 7

38 Векторное равенство () часто записывается в символическом y z виде: Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат: y z () Пусть углы вектора с осями O Oy и Oz соответственно равны и (рисунок 9) Тогда Отсюда cos y cos z cos y z cos cos cos () Числа cos cos cos называются направляющими косинусами вектора Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице: cos cos cos () а) б) Рисунок 9 Направляющие косинусы являются координатами единичного e cos cos cos вектора Координаты точки Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oyz Для любой точки M координаты вектора OM называются координатами точки M Вектор OM называется радиусвектором точки M обозначается r те OM r Следовательно координаты точки это координаты ее радиус-вектора: 8

39 r ; y; z или r i y j z k Координаты точки M записываются в виде M ( y z ) Координаты вектора Если известны координаты точек A( y z ) и B( y z ) то координаты вектора AB равны разности соответствующих координат AB y y z z его конца и начала: Пример Найти длину вектора i j 6k и его направляющие косинусы Решение Воспользуемся формулами () и (): cos ; cos ; cos Пример Найти проекции вектора AB на оси координат если A (; ; ) и B ( ; 8; ) Решение Проекциями вектора AB на оси координат являются разности соответственных координат точек B и A : y 8 z Следовательно AB i j k Пример Нормировать вектор i j k Решение Нахождение единичного вектора того же направления что и данный вектор называется нормированием вектора Таким образом Найдем длину вектора : y z ( ) Искомый единичный вектор имеет вид: i j k i j k Выполнить: ( ) 78 [] Вопросы для самоконтроля Сформулируйте определение вектора Сформулируйте определение длины вектора Сформулируйте определение единичного вектора Какие векторы называются коллинеарными? Сформулируйте определение орта вектора 9

40 6 Какие векторы называются равными? 7 Какие векторы называются компланарными? 8 Запишите разложение вектора по ортам координатных осей 9 Как найти направляющие косинусы вектора и какому условию они удовлетворяют? Как найти координаты вектора зная координаты его конца и начала? Дома Выполнить: () [] Изучить теоретический материал по теме «Базис Разложение вектора по базису Линейные операции над векторами в координатной форме» 7 Базис Разложение вектора по базису Линейные операции над векторами в координатной форме Определение Линейной комбинацией векторов n называется сумма произведений этих векторов на произвольные числа: nn (6) Определение Векторы n называются линейно независимыми если линейная комбинация (6) равна нулю только в случае когда все числа n равны нулю одновременно в противном случае векторы n линейно зависимы Определение Три упорядоченных линейно независимых вектора e e e в пространстве называются базисом в пространстве Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис в пространстве Любой вектор в пространстве можно разложить по базису e e e те представить в виде линейной комбинации базисных векторов: e ye ze где y z координаты вектора в базисе e e e Базис называется ортонормированным если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину Обозначают такой базис равным i j k (рисунок ) Рисунок Ортонормированный базис i j k

41 Действия над векторами заданными координатами y z b y z заданы своими Пусть векторы и проекциями на оси координат O Oy и Oz или i y j z k b i y j z k Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов то можно записать: При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются) или b ( ) i ( y y ) j ( z z ) k b ; y y ; z z При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр: i y j z k ; y; z Замечания Два вектора и b равны тогда и только тогда когда равны их соответствующие координаты те b y y z z Координаты коллинеарных векторов пропорциональны Так как или b то можно записать b где некоторое число тогда y z = λ (7) y z причем если то векторы и b одинаково направлены если то противоположно направлены Верно и обратное утверждение: векторы имеющие пропорциональные координаты коллинеарны Примеры решения задач Пример Даны два вектора ; m; ; b 6; 8; При каком значении m векторы и b коллинеарны? Решение Воспользовавшись условиями коллинеарности векторов (7):

42 получим m 6 m 8 Пример Проверить коллинеарность векторов ; ; и b 6; ; 9 Установить какой из них длиннее другого и во сколько раз как они направлены в одну сторону или в противоположные стороны Решение Проверим коллинеарность: или 6 9 Следовательно векторы коллинеарны тк их координаты про- порциональны Коэффициент пропорциональности раза и векторы направлены в противоположные стороны Действительно 9 b b в Пример Даны два вектора ; ; 6 и ; ; b Определить проекции на координатные оси следующих векторов: ) b ; ) b Решение ) b ; ; 6 ; ; 6 Ответ: проекция на ось O будет ; на ось Oy y ; на ось Oz z 6 ) 6; ; b 6; ; b ; ; Ответ: ; y ; z Пример Даны три некомпланарных вектора p ; ; q ; ; r ; ; Найти разложение вектора c ; 6; по базису p q r Решение Найдем коэффициенты такие чтобы c p q r p ; ;

43 q ; ; r ; ; Для нахождения суммы векторов необходимо сложить соответствующие координаты Тогда p q r ; ; и этот вектор равен вектору c Значит соответствующие координаты этих векторов равны То есть 6 Решая эту систему находим что ; ; Тогда вектор c p q r Выполнить: ( 6) [] Вопросы для самоконтроля Назовите линейные операции над векторами Какие векторы называются линейно независимыми? Сформулируйте определение базиса в пространстве Какой базис называют ортонормированным? Сформулируйте условия коллинеарности векторов Дома Выполнить: ( ) [] Изучить теоретический материал по теме «Скалярное произведение векторов» 8 Cкалярное произведение векторов Определение Скалярным произведением двух ненулевых векторов и b называется число равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними Обозначается b b или ( b ) Итак по определению где b b b cos (8)

44 cos пр (рисунок ) а b cos прb то получаем: Так как b b пр b b пр (9) те скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них умноженному на проекцию другого на ось сонаправленную с первым вектором b Рисунок Проекция вектора на вектор b Свойства скалярного произведения Скалярное произведение обладает переместительным свойством: b b Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: ( ) b ( b ) Скалярное произведение обладает распределительным свойством: ( b c) b c Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: cos В частности для векторов i j k образующих ортонормированный базис i j k Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень то получим не первоначальный вектор а его модуль те ( ) Если (ненулевые) векторы и b взаимно перпендикулярны то их скалярное произведение равно нулю те если b то b то Справедливо и обратное утверждение: если b и b b

45 В частности для векторов i j k образующих ортонормированный базис i j j k k i Пример Найти длину вектора b Решение c c c b если b ( b ) 9 b 6b 9 b cos 6b Выражение скалярного произведения через координаты Пусть заданы два вектора: i y j z k b i y j z k Cкалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат: b y y z z () Пример Найти скалярное произведение векторов i j 7k и b i j k Решение Воспользовавшись формулой () найдем b ( ) 7 или Так как b и b то b Некоторые приложения скалярного произведения Угол между векторами Определение угла между ненулевыми векторами: cos и b y z y z b cos () b y y z z y z y z

46 Условие перпендикулярности ненулевых векторов и b : b b или y y z z Проекция вектора на заданное направление Проекция вектора на направление заданное вектором b определяется по формуле: или пр b b b b пр b y y z z np b y z Пример Доказать что диагонали четырехугольника заданного координатами вершин A ( ; ; ) B (; ; ) C (; ;) D ( ; ; ) взаимно перпендикулярны Решение Найдем координаты векторов AC и BD являющихся диагоналями данного четырехугольника: 6 ; 9; BD 6; ; Скалярное произведение этих векторов: AC BD 6 6 AC и Отсюда следует что AC BD Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны Пример Даны векторы mi j k и b i mj 7k При каком значении m эти векторы перпендикулярны? Решение Если b то b Находим скалярное произведение этих векторов: b m m 8 отсюда 7m 8 и m Пример Найти ( b ) ( b ) если b b Решение Используя свойства скалярного произведения запишем: ( b ) ( b ) b 6 b b b b b b 7 Пример 6 Определить угол между векторами b 6i j k i j k и 6

47 Решение Так как b b cos то cos b b Имеем b 6 ( ) 8 9 b Следовательно cos и rccos 7 7 Работа постоянной силы Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения A в положение B под действием постоянной силы F образующей угол с направлением AB S (рисунок ): Рисунок Проекция вектора силы F на направление S Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения A F S Пример 7 Вычислить работу произведенную силой F (; ; ) если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения A (; ; 6) в положение B (; ; 7) Под каким углом к A B направлена сила F? Решение Находим S AB ; ; Тогда A F S ( ) 6 (ед работы) Угол между F и S находим по формуле cos F S те F S 6 6 cos rccos Выполнить: 79 ( 6) ( ) 8 () [] Вопросы для самоконтроля Сформулируйте определение скалярного произведения векторов 7

48 Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов Как выражается скалярное произведение через координаты векторов? Сформулируйте условие перпендикулярности векторов Как найти угол между векторами? Дома Выполнить: 796 ( ) 8 ( ) 8 ( ) [] Изучить теоретический материал на тему «Векторное произведение векторов» 9 Векторное произведение векторов Три некомпланарных вектора b и c взятые в указанном порядке образуют правую тройку если с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора ко второму b совершается против хода часовой стрелки (рисунок а) и левую если по часовой (рисунок б): а) б) Рисунок Ориентация векторов: а правая тройка; б левая тройка Определение Векторным произведением вектора на вектор b называется вектор c который удовлетворяет условиям: ) вектор c перпендикулярен векторам и b те 8 c и c b ; ) модуль вектора c равен произведению модулей векторов и b на синус угла между ними: c b sin где b ; ) векторы b и c образуют правую тройку (см рисунок а)

49 или Векторное произведение обозначается b b Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i j и k (рисунок ): i j k j k i k i j Свойства векторного произведения При перестановке множителей векторное произведение меняет знак те b ( b ) Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя те ( b ) ( ) b ( b ) Два ненулевых вектора и b коллинеарны тогда и только тогда когда их векторное произведение равно нулевому вектору те b b В частности i i j j k k а а Векторное произведение обладает распределительным свойством: ( b) c c b c Выражение векторного произведения через координаты Пусть заданы два вектора i y j z k и b i y j z k или Векторное произведение векторов и b выражается формулой i j k b y z () y z y z z y b i j k () y z z y Пример Найти векторное произведение векторов i j k и b i j k 9

50 Решение Для нахождения векторного произведения векторов и b заданных координатами воспользуемся формулой (): i j k b i j k те b 7 i j k Некоторые приложения векторного произведения Условие коллинеарности векторов Если b то b (и наоборот) те i j k y z b y z b y z y z Нахождение площади параллелограмма и треугольника Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма построенного на данных векторах (п определения векторного произведения) (рисунок ): Тогда площадь треугольника Sпар b () S b () Рисунок Параллелограмм построенный на векторах и b Пример Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах 6i j k и b i j 6k Решение Находим векторное произведение векторов и b :

51 i j k 6 6 b 6 i j k i j k Воспользовавшись формулой () вычислим площадь параллелограмма построенного на этих векторах: S b 9 (кв ед) Пример Вычислить площадь треугольника с вершинами A (;;) B (; ; ) C (; ; ) Решение Найдем координаты векторов AB и AC и их векторное произведение: AB ( ) i ( ) j ( ) k i j k AC ( ) i ( ) j ( ) k i j k i j k AB AC i j k i 8 j k Воспользовавшись формулой () вычислим площадь треугольника ABC построенного на этих векторах: S ABC AB AC (кв ед) Пример Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах b : b и b если b b Решение Найдем векторное произведение векторов ( b ) ( b ) b 9b b b b 9 b 8 b b и (тк b b b b свойство и векторного произведения) Итак S ( b ) ( b ) 8 b 8 b 8 b sin 8sin (кв ед)

52 Нахождение вектора перпендикулярного двум заданным векторам В качестве такого вектора можно взять вектор п являющийся векторным произведением двух данных векторов и b : п b Выполнить: 8 8 () 8 ( ) 8 () [] Вопросы для самоконтроля Сформулируйте определение правой тройки векторов Сформулируйте определение векторного произведения векторов Сформулируйте свойства векторного произведения векторов Как выражается векторное произведение через координаты векторов? Сформулируйте условие коллинеарности векторов 6 Как найти площадь параллелограмма и треугольника? Дома Выполнить: 89 8 () 8 () 8 () 8 () 8 87 [] Изучить теоретический материал «Смешанное произведение векторов» Cмешанное произведение векторов Рассмотрим произведение векторов b и c составленное следующим образом: ( b) c Здесь первые два вектора перемножаются векторно а их результат умножается скалярно на третий вектор Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов Смешанное произведение векторов обозначают ( b) c или bc Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах взятому со знаком «плюс» если эти векторы образуют правую тройку и со знаком «минус» если они образуют левую тройку (рисунок 6) ( b ) c V где V объем параллелепипеда образованного векторами b и c

53 Рисунок 6 Параллелепипед Свойства смешанного произведения Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения те ( b ) c ( b c) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его множителей те bc bc cb Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей те bc cb bc cb Смешанное произведение ненулевых векторов b и c равно нулю тогда и только тогда когда они компланарны Если bc то b c компланарны Выражение смешанного произведения через координаты Пусть заданы векторы i y j z k y j z k c i y j z k b i Смешанное произведение векторов b c в координатах выражается формулой: y z bc y z (6) y z Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка составленному из координат перемножаемых векторов Пример Найти смешанное произведение векторов i j k b i j k c i j k

54 Решение bc 6 Некоторые приложения смешанного произведения Определение взаимной ориентации векторов в пространстве Если bc то b c правая тройка; если bc то b c левая тройка Условие компланарности векторов Векторы b и c компланарны когда их смешанное произведение равно нулю ( b c ): y z bc y z векторы b c компланарны y z Вычисление объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды Объем параллелепипеда построенного на векторах b и c вычисляется по формуле V b c (7) Объем треугольной пирамиды построенной на этих же векторах равен V b c (8) 6 Пример Показать что векторы i j 7k b i j k c i j k компланарны Решение Находим смешанное произведение векторов: 7 b c Так как bc то заданные векторы компланарны Пример Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A (; ; ) B (; ; ) C (; ; ) D (; ; 6) Решение Найдем координаты векторов AB AC и AD совпадающих с ребрами пирамиды сходящимися к вершине A :

55 AB i j k AC i j k AD i j k Находим смешанное произведение этих векторов: AB AC AD 6 7 Воспользовавшись формулой (8) вычислим объем пирамиды построенной на векторах AB AC и AD : 7 V (куб ед) 6 Выполнить: 86 ( ) ( ) [] Вопросы для самоконтроля Сформулируйте определение смешанного произведения трех векторов Сформулируйте свойства смешанного произведения векторов Как выражается смешанное произведение через координаты векторов? Сформулируйте условие компланарности трех векторов Как найти объем параллелепипеда и треугольной пирамиды (тетраэдра)? Дома Выполнить: 86 ( 6) () 876 [] Изучить теоретический материал по темам «Собственные векторы линейного преобразования» «Квадратичные формы» Собственные векторы линейного преобразования Квадратичные формы приведение их к каноническому виду Собственные векторы линейного преобразования Пусть R заданное n-мерное линейное пространство Ненулевой вектор R называется собственным вектором линейного преобразования A если найдется такое число что выполняется равенство A Само число называется характеристическим или собственным числом линейного преобразования A соответствующим вектору Если линейное преобразование A в базисе e e e n имеет матрицу

56 n n A n n nn то характеристическими числами линейного преобразования A служат действительные корни n уравнения n-й степени которое можно записать в виде A E или n n n n nn где Е единичная матрица Оно называется характеристическим уравнением а его левая часть характеристическим многочленом линейного преобразования A Собственным вектором k соответствующим характеристическому числу k является любой вектор e e kek координаты которого удовлетворяют системе линейных однородных уравнений ( k ) nn ( k ) nn n n ( nn k ) n Отметим следующие важные теоремы Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса Если матрица A линейного преобразования A является симметрической то все корни характеристического уравнения A E действительные числа Пример Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования A определяемого уравнениями y y 8 9y Решение Матрица преобразования запишется так: Характеристическое уравнение имеет вид или 8 9 Характеристические числа A 8 9 6

57 Для определения координат собственных векторов получаем две системы линейных уравнений: ( ) ( ) 8 (9 ) ; 8 (9 ) Так как то первую систему можно записать следующим образом: 8 8 Таким образом и должны удовлетворять уравнению или Следовательно решение этой системы имеет вид: c c где c произвольная величина Поэтому характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов u ce ce те u c ( e e) Значение приводит к системе уравнений: 8 8 То есть Полагая c получаем c Следовательно характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов v c ( e e ) Итак придавая в равенствах u c ( e e) v c ( e e ) величинам c и c всевозможные числовые значения будем получать всевозможные собственные векторы линейного преобразования A Пример Определить характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования A с матрицей A Решение Составим характеристическое уравнение: Разложим определитель по элементам первой строки: 6 7

58 Разделив многочлен на найдем остальные его корни: те Отсюда 6 собственные числа Найдем собственные векторы соответствующие данным характеристическим числам из системы уравнений: а) Если то для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений 7 7 Получили систему двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными найдем ее решение Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и вычислим определители: 7 8


Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Математика. Лектор: Зюбин С.А.

Математика. Лектор: Зюбин С.А. Математика Лектор: Зюбин С.А. Математика. семестр Линейная алгебра Аналитическая геометрия Математика Основная литература )Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры )Л.А. Беклемишева

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ А.Н. БУРОВ, Э.Г. СОСНИНА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для студентов курса технических и экономических специальностей высших учебных заведений Новосибирск 26 УДК 52.2 ББК 22.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ) ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Составил

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее