1 Метрические пространства

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1 Метрические пространства"

Транскрипт

1 Содержание Введение Метрические пространства 5 Тема Сходящиеся последовательности в метрических пространствах 5 Тема Топология метрических пространств Тема Полнота метрических пространств 9 Тема Непрерывные отображения 5 Тема 5 Компактные множества в метрических пространствах Тема 6 Сжимающие отображения 5 Линейные нормированные пространства и операторы в них Тема Линейные нормированные пространства Тема Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах 8 Тема Обратные операторы 57 Литература 6

2 Введение Функциональный анализ является одним из важнейших разделов математического анализа, воплотившим в себе единство абстрактной и прикладной математики Данный сборник содержит задачи, подобранные в соответствии с программой курса «Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов специальности - - «Математика (научно-педагогическая деятельность)» (5-й семестр обучения) В сборнике представлены наиболее типичные задачи по разделам «Метрические пространства», «Линейные нормированные пространства и операторы в них» Предлагаемый материал направлен на закрепление теоретического материала путем самостоятельного решения задач, а также на овладение основными приемами и методами решения задач по функциональному анализу Сборник предназначен, в первую очередь, для проведения лабораторных и практических занятий по курсу «Функциональный анализ и интегральные уравнения» Подбор задач осуществлен в соответствии с расположением учебного материала в программе дисциплины Задачи объединены в группы по темам, по каждой из которых учебным планом по дисциплине «Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов специальности - - «Математика (научно-педагогическая деятельность)» предусмотрено выполнение лабораторной работы Для каждого типового задания подобрано 6 вариантов задач примерно одинаковой сложности Это позволит также использовать сборник для самоконтроля при подготовке к экзамену Самостоятельное решение задач по функциональному анализу часто вызывает большие трудности у студентов, поэтому пособие содержит примеры решения типовых задач

3 Метрические пространства Тема Сходящиеся последовательности в метрических пространствах Проверить, сходится ли заданная последовательность точек метрического пространства X к точке, если выполнены следующие условия (таблица ) Таблица вариант X [;] [;5] [ ;] C C C C [;8] ( /8) ( /8) 5 C [;] 6 C [; ] / /( ) Проверить, сходится ли заданная последовательность точек метрического пространства X к точке, если выполнены следующие условия (таблица ) Таблица вариант X l,,,,, e /, e /, 8 / 5 cos(/ ) cos(/ ) l,,,,,,, l si,,si,,,,,,

4 Окончание таблицы l ( / ),(si ) /,(si ) /,(si ) /, e,,, / 5 l,,,,,,,, 6 l,,,,,,,,, Проверить, сходится ли заданная последовательность точек метрического пространства X к точке, если выполнены следующие условия (таблица ) Таблица вариант X L [;] L [;] L / [ ;] si si L [;] e 5 L / [ ;] si 6 L [;] si Является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным, в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности в метрическом пространстве X (таблица )? Таблица вариант X Условие C [ ; b] [ ; b] существует предел числовой последовательности ( существует предел числовой последовательности () l l limsup ( ) ( ), где (), (),, ( ), l N N существует предел числовой последовательности ()

5 Окончание таблицы 5 c lim ( ) ( ), где (), (),, ( ), 6 l lim ( ) ( ), где (), (),, ( ), 5 Найти предел последовательности в метрическом пространстве X, если он существует (таблица 5) Таблица 5 вариант X l g,, g,,, l,,,,, l si,,si,,, c,,,,, 5 l g (/ ), g(/ ), g(/ ), 6 si si,,,,, l Примеры решения типовых задач Проверить, сходится ли заданная последовательность точек метрического пространства X к точке C Пример (, (, X [ ;] 5

6 Решение Рассмотрим расстояние (, ) при всех [ ;] имеем ( ( при, то (, ) C ( ) Пример (, (, Решение Рассмотрим (, ) через ( C [,] m ( ( Так как Значит, сходится к в [ ;] X C[;] m C C Обозначим и найдем наибольшее значение функции ( на отрезке [ ;] Имеем ' ( () ( ), ' ( (, если или, (), Значит, (по правилу нахождения наибольшего значения функции на отрезке), (, ) C а поэтому сходится к в [;] e C, Пример =,,,,, раз, (,,,), X l Решение / (, ) i i i / / / 6 при Так как (, ) не стремится к нулю, то не сходится к в l / 6

7 Пример = si,, si,,, раз, (,,,), X l Решение (, ) / / si si si i i при / i Значит, сходится к в l ( Пример 5 /, (, X L [;] Решение L (, ) / ( ( d d / d / d Применим теорему Беппо Леви о предельном переходе под знаком интеграла Обозначим f / ( Функция f ( является интегрируемой на [ ;] для любого N ( f Кроме того, f ( ( ) Значит, по теореме Б Леви, lim L (, ) lim Следовательно, сходится к в [;] Пример 6 ( Решение L si( / ), (, X L [;] L (, ) cos si cos d si, и ( f ( ) f () d cos при (мы воспользовались тем, что si ~ сходится к в L [;] f si si при d ) Значит, Является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным, 7

8 в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности в метрическом пространстве X? Пример X CL [ ; b] пространство непрерывных функций с метрикой (, y) L b y d Условие: последовательность ( поточечно сходится к непрерывной функции ( Решение Не нарушая общности, можем считать, что, b Покажем, что условие не является ни необходимым, ни достаточным Для выяснения достаточности условия рассмотрим следующую последовательность (, заданную на [ ;] графически (рисунок ): Рисунок График функции ( Последовательность сходится к поточечно на [ ;] (почему?), но L (, а) п d / ( d то есть L ( п, а) не стремится к нулю Значит, данное условие не является достаточным для сходимости последовательности в метрическом пространстве C L [ ; b] Теперь допустим, что в C L[;], то есть d при Покажем на примере, что отсюда не следует поточечная схо-, 8

9 димость к Рассмотрим последовательность ( Имеем Значит, L (, а) п в C L[;] при d ) при ( и функцию Но не сходится к Значит, данное условие не является необходимым для поточечно, так как сходимости последовательности в метрическом пространстве C L [ ; b] Пример X l Условие: lim ( ) ( ), где,,,,) ( Решение Положим : ( ) ( ) Тогда данное условие означает, что при Докажем, что это условие является достаточным для сходимости последовательности к а в пространстве l Поскольку при выполнении этого условия при достаточно больших, то при этих и при всех имеем ( ) ( ) Поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) при этих и при всех Значит, ( ( )), ( ), а это значит, что (, ) Следовательно, в l Достаточность доказана Теперь покажем, что условие не является необходимым Рассмотрим последовательность,,,,,,,,,,,, из l Имеем (, ) и точку / ( ) как остаток сходящегося ряда Значит, в l Но в этом примере (сравните с гармоническим рядом), а потому данное условие не выполняется Найти предел последовательности в метрическом пространстве X, если он существует 9

10 Пример X l,,,,,,, 5 Решение способ Допустим, сходится к некоторому в l Так как для любого справедливо неравенство ( ) ( ) (, ) ( ), то имеем и покоординатную сходимость к Но покоординатно «сходится» к последовательности,,,,, 5 которая не принадлежит пространству l (ряд, расходится, по необходимому признаку) Мы пришли к противоречию Значит, не сходится в l ( ) ( ) ( способ Так как, ) при, последовательность не является фундаментальной Следовательно, не сходится в l Пример X l, =,,,,,,, Решение способ Допустим, сходится к некоторому в l Так как ( ) ( ) (, ) при для любого, то имеем покоординатную сходимость к Но покоординатно «сходится» к последовательности для которой (, ),,,,,, sup l, (почему?) при Следовательно, не сходится к в l Противоречие способ Заметим, что последовательность не является фундаментальной в l Действительно, + =,,,,,,,,, (, ) она не сходится в l при Так как не фундаментальна в l, то

11 Тема Топология метрических пространств Является ли данное множество М открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве C [ ; b]? Найти его замыкание, внутренние и граничные точки (таблица ) Таблица вариант М вариант М () C [ ; b] ) () ( ) b) 5 ( cos b () d 6 C [ ; b] ) `( ) Для данного множества А выяснить, является ли множество B A l p открытым, замкнутым, ограниченным в l p (таблица ) Таблица вариант p А вариант p А ) : () () 5 / ( ) ) ( ) 6 { ( ) } Примеры решения типовых задач

12 Является ли данное множество M открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве C [ ; b]? Найти его замыкание, внутренние и граничные точки Пример M () Решение Множество M не является открытым, и более того, ни одна его точка не является внутренней Действительно, M и для любого шара B (, ) имеем / B(, ), но M, так как ( ) ( ) Множество M является замкнутым, так как оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей Действительно, если ( ( в C [ ; b], (), то и ( ) А это значит, что M Граница множества М совпадает с самим множеством M, что теперь сразу следует из формулы M M \ IM Множество M не является ограниченным, так как последовательность ( ( ) M, но (,) ( b ) ( ) Пример b M d Решение Покажем, что M является открытым Возьмѐм есть Тогда b b ( d : ( d Покажем, что шар B, /( b )) M ( Возьмѐм y B(, /( b )) Это значит, что b b b ( d ( d ( y( y ( ) d b m ( b M, то y( b Тогда b ( d y( ( d ( b ) b Значит, y M Так как M открыто, то IM M Множество M не является замкнутым, так как содержит не все свои предельные точки Действительно, возьмѐм последовательность

13 b ( из M Тогда b d (, но b b, те M b Замечание Нормированное пространство X всегда связно, так как любые две его точки х и у можно связать непрерывным путем ( y, [;], лежащим в X, а потому в нем нет открытых и одновременно замкнутых собственных подмножеств Замыкание b M d M, то найдется последовательность на [ ; b] А тогда ( Действительно, если принадлежит b M равномерно сходящаяся к b b ( d lim ( d lim ( d b Обратно, если ( ) d, то последовательность /( ) принадлежит M и сходится к равномерно (проверьте!), а потому принадлежит M Теперь ясно, что граница M \ IM M \ M d M Наконец, M не является ограниченным, так как (,) b ( M, но Пример M m ( Решение Покажем, что M открыто Возьмѐм M Тогда m (, а потому : m ( Рассмотрим B (, ) Для любого y B(, ) имеем m y( (, а тогда b m y ( m y( ( m ( Покажем, что замыкание множества M есть M m ( Действительно, если принадлежит M, то найдется последовательность M, равномерно сходящаяся к на [ ; b] А тогда ( lim ( ) Обратно, если m ( ), то последовательность /( ) принадлежит M и сходится к равномерно на [ ; b] (проверьте), а потому принадлежит M Теперь ясно, что граница M M \ IM M \ M m (

14 Очевидно, что данное множество ограничено Для данного множества А выяснить, является ли множество B A l p ( p ) открытым, замкнутым, ограниченным в l p Пример p /, A ) Решение Множество B A l / замкнуто, так как содержит в себе все свои предельные точки Действительно, если, A, то N ( ) ( ) (почему?) Но так как ( ) /, то и ( ) / Значит, B Так как В замкнуто, то оно не является открытым, поскольку p пространство l p связно (см замечание к примеру в задаче ) Но легко дать и прямое доказательство Действительно, точка e (,,,) принадлежит В, но для любого точка ( /,,,) B, хотя и лежит в окрестности точки e Наконец, В ограничено, так как B / ( / / /,) ) / Пример p, A ( ) Решение Множество B A l не является открытым Для доказательства покажем, что точка (/,/, ) B не является для него внутренней Возьмѐм N N и найдѐм такое натуральное N, что Тогда,,,,) B(, ), но B, поскольку ( ) ( N N Множество В не замкнуто Действительно, рассмотрим (, B,) Тогда (,) при, но,,) B сходится к точке (,,), так как ( Множество В ограничено, так как,), ( B

15 Пример p, A ) Решение Покажем, что множество B A l открыто Возьмѐм B Найдется такое, что ( ) ( ) Если B(, ) (шар рассматривается, конечно, в Тогда и ( ) ( ) ) ( ) Минковского, имеем Значит, l ), то ( ) ( ) Теперь, в силу неравенства ( ) ) ( ) ( ) ( ), т е B Итак, B (, ) B Так как В открыто, то В не замкнуто по замечанию из решения примера к задаче Дадим прямое доказательство этого факта Точ- ки c(,/,,/,,,), где c / /, очевидно, принадлежат l к c (,/,/,) B В Но в то же время сходится в Покажем, что B не ограничено Рассмотрим последовательность Имеем: B но в то же время, так как 6 6 6,,,,,, 6 6 ( ), 6 (,) при K Пример p, A ) Решение Покажем, что B A l не является открытым Возьмѐм (,,) B и Найдѐтся такое натуральное N, что N / Тогда ) (,,,, /,,,) B(, ), но ( ) B ( N e место Множество В не является и замкнутым Для доказательства рассмотрим последовательность 6,,,,,, B Она сходится 5

16 6 ( ) к точке,,,,,, которая не принадлежит В, так как 6 ( ) Множество В ограничено, поскольку неравенство / / (,) ) 6 ) влечет 6

17 Тема Полнота метрических пространств Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X? Найти lim, если он существует (таблица ) Таблица вариант X [ ;] / [;] L [ ;] L [ ; ] 5 L [;] 6 [; ] L L () si, Q [ ;], (), [ ;] \ Q () () () L () e, K,, [;] \ K, Q [,], e, [,] \ Q, [ ;] \ K, cos(, K [ ;] si, Q [;], [;] \ Q si( / ), [; /] \ Q, ep(, Q [; / ] Выяснить, является ли заданное пространство ( X, ) полным () Вариант а) пространство C [ ; b] непрерывно дифференцируемых на отрезке [ ; b] функций с метрикой ( ; ) m ( ) ( ) m ' ( ) ' ( ) b b y y y ; б) пространство всех дважды дифференцируемых на отрезке [ ; b] функций с метрикой ( ; y) m y( ) b 7

18 Вариант а) пространство lp( p ) числовых последовательностей ( ), ),, ),), удовлетворяющих условию, с метрикой / p p (, y) ) y( ) ; ( ) p б) пространство всех непрерывных на отрезке [ ; b] функций с метрикой ( b /, y) y( d Вариант а) пространство l всех ограниченных числовых последовательностей ( (), (),, ( ),) б) C[;] y y ; с метрикой ( ; ) sup ( ) ( ) X с метрикой, y) y( d ( Вариант а) пространство c сходящихся к нулю последовательностей ( (), (),, ( ),) б) y y ; с метрикой ( ; ) sup ( ) ( ) X C[ ;] d с метрикой ( ; y) m y( ) Вариант 5 а) Пространство с сходящихся последовательностей ( ), ),, ),) с метрикой ( ; ) sup ( ) ( ) б) X C[;] с метрикой ( y y ; b /, y) y( d Вариант 6 а) Пространство CB [ ; b] ограниченных и непрерывных на интервале ( ; b) функций с метрикой ( ; y) sup y( ) ; б) X l с метрикой ( ; ) sup ( ) ( ) y y b Примеры решения типовых задач Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X? Найти lim, если он существует Пример / 5 / 5 ;], (, y) y( 5 / X L [ d, 8

19 ( ( ep(,, [;] \ K, K [;], где K канторово множество Решение Так как канторово множество имеет лебегову меру нуль, то и K [; ] множество меры нуль Значит, ( ( почти всюду Покажем, что сходится к в L ] Для этого рассмотрим / 5 (,) / 5 d 5( / 5 /5[; и воспользуемся разложением по формуле Тейлора: Получаем: 5 ( ) ( ) / 5 ( ) ( ) / 5 5 o при / 5 5 / 5 (,) o / / 5 o 5 8 / при / 5 Тот же результат мы получим, применив теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Итак, сходится к, а потому она фундаментальна / 5 Пример X ], L 5 / [; cos, [;] \ K, ( ep( ), K [;] Решение Так как K [;] множество меры нуль, то ( cos почти всюду на [ ;] Покажем, что эта последовательность не фундаментальна в нашем пространстве: 5 / 5 / 5 / (, ) ( ( d si si( ) d 5 / 5 / 5 / cos ( ) si si ( ) d si d / / si si cos( ) d si d 5 / d ( ) (мы воспользовались леммой Римана из теории рядов Фурье, согласно которой si si ( ) d, но можно было бы вычислить интеграл и непосредственно) 9

20 Является ли метрическое пространство ( X, ) полным? Пример X B[;] пространство вещественнозначных ограниченных функций на [ ;], наделенное метрикой (, y) sup y( ) [;] Решение Покажем, что любая фундаментальная последовательность ( ) в B [;] является сходящейся Ее фундаментальность означает, что :, m выполняется неравенство ( ( ) () sup [;] Зафиксируем произвольное число [;] Тогда числовая последовательность ( () ), в силу (), является фундаментальной в R По причине полноты пространства R, последовательность () сходится Положим ( ) lim ( ), [ ;] Тем самым на [ ;] определена функция (, к которой () ) B [;] ; m сходится поточечно Осталось доказать, что ) (, ) при С этой целью перейдем в () (а точнее, в неравенстве m( ), справедливом при всех из [ ;] ) к пределу при m Получим, что () sup [;] ( ) ( ) В частности, при N + [;] выполняется оценка: sup ( ( sup (, [;] N [;] из которой следует ограниченность Следовательно, [;] Наконец, формула () означает, что (, ) Поэтому (, ) при Пример p, X l ( p N B ) пространство числовых последовательностей ( ), ),, ),), удовлетворяющих условию: где ( (), (),, ( ),), ( ) заданная числовая последовательность; / p p (, y) ) y( ) ( ) ) p ( ), Решение Покажем, что данное пространство полно Пусть ( ) фундаментальная последовательность в l p, Это значит, что

21 :, m / p p ( i) m ( i) ( i) () Тогда для любого фиксированного i имеем: p p / p, m i) m( i) ( i ), или ( i) m ( i) / ( i) Следовательно, для любого фиксированного i числовая последовательность ( ( i)) является фундаментальной, а потому сходится Обозначим ( i) lim ( i) и положим ( (), (),, ( ),) Осталось показать, что ) p, l и ) (, ) при Из () следует, что M i p p ( i) ( i) ( i ) любого фиксированного M, m p p что в пределе при m дает M ( i) ( i) ( i ) Переходя теперь к пределу при M, получим ( ) ( ) p p i i ( i ), т е M i i : ( ) ( ) ( ) Возьмем какие-нибудь и N и обозначим i i p p i i i () / p p (,) ( i) ( i) ( i) C Вследствие неравенства Минковского, имеем i N / p / p p p p i) ( i) ( i) N ( i) ( i) N ( i) ( i) i i N ( C, а это значит, что l p, Теперь () показывает, что, а потому ( ) сходится в нашем пространстве к / p (, ) при () Пример X C [ ;] множество непрерывно дифференцируемых на [ ;] функций с метрикой (, y) y( d Решение Рассмотрим последовательность ( rcg( и покажем, что она является фундаментальной, но не является сходящейся в нашем пространстве Заметим, что эта последовательность поточечно сходится к функции ( sg L[ ;] \ X, где

22 , (;], sg,, А так как ( ( / /, то, по теореме Лебега, ) ( (, d, при Это означает, что в пространстве L [ ;] последовательность сходится к Следовательно, она фундаментальна в Х С другой стороны, если предположить, что последовательность сходится в данном пространстве Х к некоторой функции C [ ;], то получим, что () имеет два предела ( и ) в L [ ;] Противоречие Итак, данное пространство не является полным [ ;)

23 Тема Непрерывные отображения Выяснить, является ли заданное отображение F : X Y на своей естественной области определения непрерывным в точке (таблица )? Таблица вариант X Y F ( ) L [;] L [;] ( F )( / si C [;] L [;] ( F )( si ( L [;] L [;] ( F )( ) C [;] C [;] ( F)( s 5 C [;] C [;] ( F )( ( / ) 6 L [;] L [;] ( F )( Является ли заданное отображение F : X Y : а) непрерывным; б) равномерно непрерывным; в) удовлетворяющим условию Липшица (таблица )? Таблица вариант X Y F C [;] [;] ( F)( e ( F )( C [ ;] C [ ;] ( L [ ; ] L [ ; ] C ( F)( ( e C [ ;] ( F )( L [ ; ] e 5 l l F (cos ), ), ),, ),) 6 C [ 5;] L [ 5;] / F (

24 Примеры решения типовых задач Является ли заданное отображение F : X Y на своей естественной области определения непрерывным в точке? Пример F : C[;] L [;], ( )( ) () ( ) F s, ( Решение Очевидно, что заданное отображение определено на всем C [;] Представим его в виде F F F, где ) F, и покажем, что F и F непрерывны в любой точке последовательность ( ) сходится к в C [;] Тогда ( F, F L ) () () m [;] ( - ( ) ( ) ( ) F s, C [;] Пусть C (, ) ( ) Отсюда следует, что F непрерывно Докажем непрерывность F Так как функция C [;], то она ограничена на [ ;], т е M R : ( M s [;] А так как равномерно на [ ;], то, начиная с некоторого номера, ( M на [ ;] (почему?) Тогда ( F, F L ) ( ( d ( ( s [;] M C (, ) ( ) M m ( s ) ( s ) Отсюда следует, что F F в L ] [; Поэтому в силу произвольности отображение F непрерывно в любой точке из C [;] Пример L [;] L [;], ( F)( ), ( ) F : Решение Пусть последовательность ( ) сходится к / / L ( ( ( d ( d Тогда, ) в L [;] при Теперь в силу неравенства Коши-Буняковского, ( F, F ) L d ( ) s d s s s [;] ( / s

25 / / ( / L (, ) ( ) s (аналогичные вычисления показывают, что F принадлежит L [;] при из L [;] ; поэтому отображение F определено на всем L [;] ) Значит, F непрерывное отображение в точке : Пример L [;] L [;], ( F)( s (, ( ) F Решение Покажем, что отображение не является непрерывным Возьмѐм последовательность / [;/], которая стремится к нулю в L [;] Действительно, / / L (,) / d / Рассмотрим теперь выражение = при L L ( F, F ) ( F,) F ( d = d s () s = / s () s d = / / / s s 7 Следовательно, последовательность L ( F, F ) не стремится к нулю при, а потому F не стремится к F ( F : s Пример L [;] L [;],( F)(, ( ) Решение Покажем, что отображение не является непрерывным Заметим, что L ( F, F ) ( F L,) () s d s d / () s s = () s s 8 Возьмем последовательность 7 /, которая сходится к нулю [; ] в [;] / L, так как 7 / d при 7 / / 8 / / Тогда L ( F,) при, / а потому 7 / s 7 / s F F не стремится к 7 / 5

26 Является ли заданное отображение F : X Y : а) непрерывным; б) равномерно непрерывным; в) удовлетворяющим условию Липшица? M Пример Y C[ ;], ( F)( si X Решение а) Отображение F является непрерывным, так как ( F, F ) m si ( si ( m si ( si ) [ ; ] [ ; ] ( si ( si ( m ( ) { ; ] ( ( m ( si cos m ( M m ( [ ; ] [ ; ] [ ; ] M ) (, ) (мы воспользовались неравенством si ; здесь ( m [ ;] ( ) ) б) Покажем, что F не является равномерно непрерывным Возьмѐм ( /, y ( Тогда, y ) ( F, Fy ) ( / ) ( при, но si - si si + si si si а значит, ( F, Fy ) не стремится к нулю при Это противоречит определению равномерной непрерывности (проверьте) в) Так как F не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет условию Липшица (почему?), Пример X l, Y l, F,,, Решение Покажем, что F удовлетворяет условию Липшица с константой L Заметим, что Рассмотрим функцию f () y l ( F, Fy) sup{ y f '( ) Тогда ; y y ; ;} = 6

27 Следовательно, по теореме Лагранжа, f ( ) f ( y) y, а значит, l ( F, Fy) y sup{ y ; y y ; ;} sup y l (, ) y Так как F удовлетворяет условию Липшица, то оно равномерно непрерывно, а потому и непрерывно Пример X L [ ;], Y L[ ;], ( F)( e rcg Решение Покажем, что F удовлетворяет условию Липшица Действительно, ( F, Fy) L Так как rcg F Fy( d = ch ( ) Поэтому при любых,y / e rcg rcgy( rcg rcgy( d, то по теореме Лагранжа rcg rcgy y ( F, Fy) L ch (, ) L y Так как F удовлетворяет условию Липшица, то оно является равномерно непрерывным / Пример X l, Y l, F,, (),,, Решение а) Покажем, что F непрерывно Действительно, если l, то числовая последовательность () сходится к ) в Тогда, ) l ( F F () () при б) Покажем, что F не является равномерно непрерывным Пусть Тогда (, y ) l Но ( F, Fy ) l (), y ( ), ( ) y ( ), при при ( в) Так как F не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет и условию Липшица 7

28 Пример 5 / [ 5;], ( F)( X C[ 5;], Y L Решение а) Покажем, что F не удовлетворяет условию Липшица Допустим противное, то есть что L R :, y C[ 5;] ( F( ), F( y)) L (, y) C ( /, y( Возьмем Так как L / / / / ( F, Fy) y( d y( L то получим L ( F, Fy) L / /, то есть L, N, () Противоречие б) Покажем, что F является равномерно непрерывным Заметим, что функция f ( является равномерно непрерывной на R (она равномерно непрерывна на [ ;] по теореме Кантора и равномерно непрерывна на ( ; ] [; ), так как ) Равномерная непрерывность функции ( :, R :, тогда, в силу равен- Теперь если C (, y), то ( y( ства (), / / f '( при f означает, что s [ 5;] / / L ( F, Fy) ( y ( 8

29 Тема 5 Компактные множества в метрических пространствах 5 Выяснить, является ли множество М предкомпактным, компактным в C [;] (таблица 5) Таблица 5 вариант М вариант М, { si ; 5 cos b ), b } { b, b } 6 { rcg b, b } 5 Является ли множество М предкомпактным в l p (таблица5)? Таблица 5 вариант р М { ( ), N } { ), N } { ), N } { ), N } 5 { ), ), N } 5 6 { ( ), } Примеры решения типовых задач Выяснить, являются ли данные множества предкомпактными, компактными в C [;] b Пример а) M e,b, [;] ; 9

30 b б) M e, [;], (;) b Решение Проверим для множества М условия теоремы Арцела- Асколи b Рассмотрим функцию f (,, b, ) e Пусть K [;] Тогда f непрерывна на [ ;] K и M f (, s K Множество [ ;] K является компактом По теореме Вейерштрасса, f ограничена на [ ;] K, те С R : [;] (, b, ) [;] справедливо неравенство e C Значит, М равномерно ограничено ( b впрочем, легко проверить и непосредственно, что при наших условиях b e e) Проверим равностепенную непрерывность множества М По теореме Кантора, f равномерно непрерывна на [ ;] K Если обозначить через s (, b, ) произвольную точку из К, то равномерная непрерывность f означает, что :, [ ;], таких, что, и s, s K, таких, что ( s, (ρ обозначает евклидову метрику в К), справедливо неравенство f, s f, s Отсюда следует равностепенная непрерывность множества М (см определение) Значит, по теореме Арцела-Асколи, М предкомпактно Для доказательства компактности множества М теперь достаточно проверить его замкнутость в C [;] Но это тоже следует из непрерывности функции f В самом деле, если х предельная точка множества М, то найдется последовательность f(, s ) функций из М, сходящаяся к х в C [;] По теореме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности s точек множества К можно выбрать подпоследовательность s, l сходящуюся к точке s K Тогда поточечно f (, s l ) f (, s ), а потому, в силу единственности предела, f (, M Итак, М компакт Далее, так как М М, то множество М предкомпактно Но М не является компактом, так как не замкнуто в C [;] Действительно, функции ( e / М, но предел этой последовательности ( не принадлежит множеству М Пример M N

31 Решение способ Это множество является равномерно ограниченным, но не является равностепенно непрерывным Действительно, возьмем и / Тогда найдется такое натуральное, что точки / [;] удовлетворяют неравенству / же время /, но в то Значит, по теореме Арцела-Асколи, М не является предкомпактным, а потому и компактным множеством способ М не является предкомпактным, так как из него нельзя извлечь сходящейся в C [;] подпоследовательности Действительно, все его подпоследовательности сходятся к разрывной функции Пример M {si R } Решение Множество М равномерно ограничено, так как R R si Множество М равностепенно непрерывно, так как R, [ ;, таких, что, имеем ] si( ) si( ) si cos и Значит, по теореме Арцела-Асколи, М предкомпактно Покажем, что М содержит все свои предельные точки Пусть х есть предельная точка множества М, si( ) ) равномерно на [ ;] В силу периодичности синуса, можно считать, что [; ) При этом промежуток [; ) удобно отождествлять с фактор-группой R / Z, то есть с единичной окружностью, наделенной естественной топологией, в которой она компактна (Отличие здесь в том, что если последовательность [; ) в R сходится к, то в этой топологии предел считается равным ) Заметим, что в этой топологии существует lim [; ) Действительно, если допустить противное, то найдутся две подпоследовательности и, имеющие различные пределы ' и ', откуда '' [; ) соответственно Но тогда ( ) si( ) si( ) M '' Противоречие Следовательно, ( ) si( ) Значит, М замкнутое множество, откуда следует, что М компакт Пример M si N

32 Решение Множество М равномерно ограничено, так как R N si Но множество не является равностепенно непрерывным Действительно, возьмем / Тогда найдется такое натуральное, что точки и / [;] удовлетворяют неравенству /, но в то же время si si si / Значит, по теореме Арцела-Асколи, М не является предкомпактным, а потому и компактным множеством Является ли множество М предкомпактным в l? Пример M { l ), ), ) } Решение Проверим критерий предкомпактности в l ) Множество М является ограниченным, поскольку, а потому M ( ) / ) Так как ряд то есть N N : ( ) Поэтому N N : N ( ) / сходится, то его остаток стремится к нулю, ( ) M N ) Значит, множество М предкомпактно N ( )

33 Тема 6 Сжимающие отображения 6 Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим? Найти, где F( ), Оценить расстояние от до неподвижной точки в случае, если F является сжимающим (таблица 6) Таблица 6 вариант X F 8 ) ) ) l F( ),,,,, ) ) ) l F ( ) (,,,,) C [ ;] ( F )( ep(si l F( ) (si( / 6) ),,(si( / 6)) ) /,) 5 C [ ;] ( F )( ) 6 L [;] ( F )( ) 8 6 Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному уравнению в пространстве Х при,,? При с точностью до, найти приближенное решение и сравнить его с точным решением (таблица 6) Таблица 6 вариант Х Уравнение 5 6 C [; ] 8 / ( s C [ ; ] 8 ( ) ( ) ( ) s s

34 Окончание таблицы C [ ;] C [ ; ] 5 C [; ] 6 C [ ; ] ( ( s ( 5 s Примеры решения типовых задач Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим? Найти, где F( ), Оценить расстояние от до неподвижной точки, если F является сжимающим Пример X C ) [ ;],( F)( / si e Решение Оценим расстояние в C [ ;] ( F, Fy) m y( m si si y( m si y( cos m y( si si y( (, y) F( ) e, F( ) si e e, F( ) si( si e e ) e (мы воспользовались неравенством si ) Значит, F является сжимающим отображением с константой Липшица / Построим последовательность F( ) По условию, поэтому А так как ( ; *) ( ; ), где * неподвижная точка, то Пример, ( ) e 7 e, ( ; *) m e,5 X l ) ) 5) f ( ) (,,, 5 6 7,)

35 Решение Оценим расстояние в l ( f ( ), f ( y)) ) y( ) / 5 (, y) Значит, F сжимающее отображение с константой / 5 По условию, (,,,) Тогда (,,,), (,,,) а потому ( 5) ( ; *) ( ; ), 5 (на самом деле, как легко проверить, является неподвижной точкой) Пример L [ ;], ( F)( l( ) X Решение Допустим, что отображение F является сжимающим, то есть [;) :, y X ( F, Fy) (, y ) При y из этого неравенства следует, что X ( ) ( ) / d d () Подставив в левую часть неравенства (), получим / d [ ;] 7 / 7 / ( ( ) 7 7 ) ~ 7 7 при (мы воспользовались эквивалентностью ( ) ~ при ) Правая же часть неравенства (), как легко проверить, при этом значении х равна Следовательно, неравенство () при указанных,y и примет вид:, противоречие Значит, F не является сжимающим (Аналогичное решение получается и при ( ) [ ;] Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному уравнению в пространстве Х при, 6,? При с точностью до, найти приближенное решение и сравнить его с точным решением Пример X C[ ;], s () 5

36 Решение Определим отображение f : C[;] C[;] по формуле ( f ( ))( s Тогда исходное уравнение запишется в виде f ( ), и искомое решение есть неподвижная точка отображения f Метрическое пространство C [;] является полным, поэтому если мы покажем, что f сжимающее отображение C [;] в себя, то можно будет применить принцип сжимающих отображений То, что отображение f непрерывную на [;] функцию переводит в непрерывную, в данном случае очевидно (а в общем следует из свойств интеграла, зависящего от параметра) Определим, при каких отображение f является сжимающим Известно, что отображение b ( A)( K( s, g( ) является сжимающим в C [ ; b], если M ( b ), где M m K( s, s, [ ; b] s, [;] При этом константа Липшица M ( b ) (Заметим, что это утверждение дает лишь достаточное условие сжимаемости) В данном случае K( s, s, M m s Следовательно, f является сжимающим при, то есть, в частности, при и Докажем, что f не является сжимающим при Если допустить, что f сжимающее, то для, y X и некоторого [;) должно выполняться неравенство При y ( ), ( m s( y( ) m y( последнее неравенство примет вид: s Вычислив интеграл в левой части, получим Это противоречие доказывает, что f не является сжимающим при Решим уравнение () при / 6 При этом отображение f является сжимающим, а потому для нахождения приближенного решения можно воспользоваться методом итераций (последовательных приближений) 6

37 Поскольку выбирается произвольно, возьмѐм ( ) Дальнейшие приближения находятся по формулам f ( ), f ( ),, f ( ), Установим номер, при котором элемент будет давать точность приближения, Используем оценку погрешности (х точное решение) (, ) (, ), В нашем случае M ( b ) / 6 Кроме того, легко подсчитать, что ( Следовательно, для нахождения нужного числа итераций имеем неравенство 6 (, ), 6 5 будет приближенным реше- Поскольку ему удовлетворяет, то нием исходного уравнения с точностью, Найдѐм f ( )( s, 6 9 ( f ( )( s s,9 6 Итак, приближѐнное решение с нужной точностью есть 9 ( Найдем точное решение данного уравнения Из () следует, что его решение имеет вид c 6 c, где то есть вид Подставив () в (), получим Отсюда Следовательно, точное решение есть c c s s, 6 c c c s s c, 8 Сравним его с приближѐнным: c 9 7 9, ( ; ) m : c s, () 7

38 Примечание Первую часть решения можно сократить, если воспользоваться тем фактом, что норма линейного оператора ( A )( ( s, в пространстве C [; ] дается формулой: b b A m (, [ ; b] Поскольку норма есть точная константа в неравенстве ограниченности, отображение A является сжимающим тогда и только тогда, когда A То же верно и для отображения f ( ) A g (почему?) 8

39 Линейные нормированные пространства и операторы в них Тема Линейные нормированные пространства Проверить, является ли функция p нормой в пространстве X Образует ли пара X,, где, y p y, метрическое пространство (таблица )? Таблица вариант X () C [; ] l p() m B R sup R () [; ] C 5 l ( d ) 6 () C [ ; b] ( ) m '( : [ ; b] Является ли множество А выпуклым в пространстве X (таблица )? Таблица вариант X A C [;] неубывающие функции l l ) C [ ; b] многочлены степени l l ), N 5 () C [;] многочлены степени 6 () () С [ ; b] C [ ; b] '(, [ ; b], N 9

40 Проверить, является ли данная последовательность векторов в бесконечномерном пространстве X линейно независимой (таблица ) Таблица вариант X l l,,,,,, p ( ) ( ),,,,,, p ( ) ( ) C [ ; b],,,, p i C [ ; b] e,,,, p 5 L [ ; ] D,,,, p, D функция Дирихле b 6 C [;],, Привести пример последовательности X Y, которая сходится в X, но не сходится в Y, если пространства X и Y наделены естественными нормами (таблица ) Таблица вариант 5 6 X l l с C [;] L [;] l Y l l l () [;] C [;] l C 5 Являются ли нормы p и q эквивалентными в пространстве E (таблица 5)? Таблица 5 вариант E p q sup ) N ( ) l C [;] () C [;] m m ; ' m ; ; ( d d / /

41 Окончание таблицы 5 sup ) ) N sup с N sup ) 5 ) R 6 () ' C [;] m m ; 6 Построить изоморфизм между фактор-пространством L/M и одним из стандартных линейных пространств (таблица 6) Таблица 6 вариант L M С [ ;] C[ ;], [;] C [;] C[ ;] ) C [;] C [ ;] ) '() l l 5 () () C [ ; b] C [ ; b] ) b) 6 l l ; Примеры решения типовых задач Является ли множество А выпуклым в пространстве Х? Пример c A c : ) () X, Решение Воспользуемся определением выпуклости Возьмем, y A, ; и покажем, что ( ) Действительно, так как ( ) ) y A и y ( ) y(), то ( ) ( ) y() ) ( ) y() ) ( ) y() ) ( ) y() ( () ) ) ( )( y() y() ) Значит, множество А является выпуклым

42 в беско- Проверить, является ли заданная система векторов ( ) нечномерном пространстве Х линейно независимой Пример X C[ ; b], ( ( ),,,, Решение Покажем по определению, что система,,( ),,( ) является линейно независимой Пусть ( ) ( ) ( ) ; b () Подставив в это равенство, получим, а потому ( ) ( ) ( ) Сокращая на и снова полагая, получим Продолжая этот процесс, окончательно будем иметь Возможно другое решение: алгебраическое уравнение () не может иметь более корней, если не все его коэффициенты равны нулю (почему?) Пример X C[;], (, (, ( Решение Заметим, что (, ( ( ( ) ( Тогда ( ( ( ( ( ( ) (, а значит, данные функции линейно зависимы 5 Привести пример последовательности X Y, сходящейся в Х, но не сходящейся в Y, если пространства Х и Y наделены естественными нормами Пример X c, Y l Решение Рассмотрим последовательность (,/,,/,,,), принадлежащую пространству X Y В пространстве c она сходится к вектору,/,,/,/( ),, так как, : m ( ) ( ) /( ) при Допустим, что X l : Y (, ),

43 Так как, m ( ) ( ) ( ) ( ), X Y сходится к а и в пространстве X сюда следует, что,/,,/, Но зывает, что в l данная последовательность не сходится Пример X L[;], Y L[;] Решение Рассмотрим последовательность в пространстве X Y Тогда в L [;] (,) / d /, то c В силу единственности предела, от- l Это противоречие дока- имеем: L при, то есть, /,/ в L [;] Допустим, что сходится в L [;] к некоторому а В силу неравенства Коши-Буняковского, (, ) ( ( d ( ( d (, ) L L Отсюда следует, что если в L [; ], то и в L [;] В силу единственности предела, С другой стороны, легко проверить, что L, Противоречие Следовательно, в L [;] данная последовательность не сходится () Пример X C[;], Y C [;] Решение Рассмотрим последовательность имеем, но в C [;], () в [;] Y / ( X Y В C [;] / ( ) Значит, C Воспользовавшись неравенством: рассуждая, как в предыдущих примерах, получим, что () C [;] C[ ; b] C [ ; b],, и не сходится в Выяснить, являются ли нормы p и q эквивалентными в данном пространстве X Пример l, X p( ) sup ), q ( ) N )

44 Решение Очевидно, l праз p ( ) q( ) : l ( ) p( ) Допустим теперь, что q, т е ) sup ), l При,,,,, l последнее неравенство примет вид: N N, Полученное противоречие доказывает, что нормы p и q не эквивалентны Пример X C[;], p m, q d Решение Заметим, что C[;] q d m p Допустим, что : C[;], и положим здесь примет вид p ( ) q( ) ( ), N,, то есть m d N Тогда последнее неравенство, т е а, N, N Полученное противо- речие показывает, что нормы p и q не эквивалентны Пример, X R p( ) ), / q ( ) ( ) Решение Так как ),, С другой стороны, так как ( ) ( ) /, то / ( ), то есть p q ( ) ) ) ) ) ), то / ( ) ), те q( ) p( ), R Итак, мы доказали, что p и q эквивалентные нормы Пример X L [;], p ( ) d, / q ( ) d Решение В силу неравенства Коши-Буняковского, X p q

45 Допустим, что : X q ( ) p( ) Возьмем, ;/, / ; Тогда q, p, и последнее неравенство примет вид:, N, что невозможно ни при каком Значит, нормы p и q не эквивалентны 5 Построить изоморфизм между фактор-пространством L/M и одним из стандартных линейных пространств Пример L c, M c Решение Возьмем произвольный элемент с Его класс эквивалентности есть [ ] y c y M y c y y y c y, y Это равенство показывает, что отображение f : L / M R, f ([ ]) ( ; ) корректно определено и инъективно Очевидно также, что оно линейно и является сюръекцией (проверьте) Значит, f изоморфизм линейных пространств L / M и R 5

46 Тема Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах Пусть X,Y нормированные пространства Выяснить, совпадет ли область определения D ( A) X A Y оператора А с нормированным пространством Х Является ли оператор А линейным, непрерывным оператором из D(A) в Y (таблица )? Таблица вариант Х Y A C [ ; ] C [ ; ] ( A )( L [;] L [;] L 8[;] R C [ ;] C [ ;] 5 l C ( A )( A 8 d ( A )( ( A ) 6 l l A ( ),), ),) Доказать, что оператор умножения А: Х Y является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица ) Таблица вариант Х Y A L / [ ;] L / [ ;] ( A )( C [ ;] C [ ;] ( A )( ( ) L 5 / [; ] L 5 / [; ] ( A )( ( ) L [;] L [;] ( A )( ( 5 ) 5 L [ ; ] L [ ; ] ( A )( cos 6 C [ ;] C [;] ( A )( ( ) Доказать, что диагональный оператор, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица ) 6

47 Таблица вариант Х Y A l 7 / l 7 / A ( ), ),, ),) l 5 / l 5 / ) ) ) A (,,,,) l A (( ) ),,( / ) ),) / 5 / l / l l 5 / 5 l 6 5 / l 5 / ) ) ) A (,,,,) l ) ) ) A (,,,,,,) l A (, ),/ ),,( / ) ),) Доказать, что оператор данный замены переменной, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица ) Таблица вариант Х Y A C [ ;] C [ ;] ( A )( (si ) C [ ;] C [ ;] ( A )( si 7 ) C [ ;] C [ ;] ( A )( si ) C [;] C [;] ( A )( ) 5 C [ ;] C [;] ( A )( ( ) 6 L [;] L [;] ( A )( / ) 5 Доказать, что интегральный оператор, действующий из X в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 5) Таблица 5 вариант Х Y A C [;] C [;] C [ ;] C [; ] C [ ;] C [ ;] C [ ;] C [;] ( A )( si ( ( A)( e s s ( A )( s sigs cos ( A )( s l( 7

48 Окончание таблицы 5 5 C [;] C [ ;] 6 C [;] C [ ;] ( A )( ( s / )cos / ( A )( ( 6 Для последовательности операторов ( A ) LB( X, Y ), X,Y Norm и A LB( X, Y) установить: ) сходится ли ( A ) поточечно (сильно) к оператору А; ) сходится ли ( A ) по норме к оператору А (таблица 6) Таблица 6 вариант Х Y А п l l A ( / ) ),,( / ) ), l c c A (,, ),,,) l l A (,,, ), ),) C [; ] C [; ] ( A )( ( ) 5 () C [; ] C [; ] ( A )( ( ) 6 L [; ] L [; ] ( A )( ( ) A А Примеры решения типовых задач Пусть X,Y нормированные пространства Выяснить, совпадает ли область определения D ( A) X A Y оператора А с нормированным пространством Х Является ли оператор А линейным, непрерывным оператором из D (A) в Y? Пример L ;], Y L [;], ( A)( ) X [ Решение Если L [;], то Коши-Буняковского, = ( d В силу неравенства ( d d d () Отсюда следует, что A L [;] Поэтому D A) X ( 8

49 Оператор А не является линейным (рассмотрите, например, A( )) Исследуем его на непрерывность Для любой точки X оценим расстояние A A ( ( d ( ( d (мы воспользовались числовым неравенством, а затем неравенством ()) Поэтому получаем при, что X из следует A A Значит, оператор A непрерывен на X A ) ) ) X,, Пример l Y l A ( ),,,,,) Решение В этом примере l l D ( A) X, так как l l, но (в обоих случаях сходимость ряда исследуется с помощью интегрального признака; проверьте это) Очевидно, A является линейным оператором, поэтому исследование непрерывности равносильно исследованию ограниченности Докажем, что A не является ограниченным Допустим противное, то есть что c R : X c Y X A При (,,,,,,) l последнее неравенство примет вид c / Поскольку частичные суммы ряда, те N c не являются ограниченными, мы пришли к противоречию Значит, A не является непрерывным Пример X L s [;], Y L / [;], ( A)( e Решение Возьмем L [;], тогда d Рассмотрим ( A)( / d e s / / то есть A ] Значит, D A) X L / [; d e ( / d e / /, 9

50 Легко проверить, что А линейный Докажем, что А ограниченный Используя предыдущее неравенство, получаем A / / / / s e d e d e / Наконец, как известно, из ограниченности А следует его непрерывность d / e Пример / /, Y C, A ) X l Решение Здесь D ( A) X, так как последовательность / X, но A Далее, оператор A не является линейным (как в примере ) Докажем, что он не является непрерывным Действительно, возьмѐм следующую последовательность точек из l / : Тогда в l / В то же время A A, так как, ( ), / / / / ( ) при ( ) / () / / / / () Таким образом, из того, что, не следует, что A ( ) Мы показали, что А не является непрерывным в нуле, значит, A не является непрерывным на D (A) Пример 5 C[ ;], Y, ( A)( () ) X R / A Решение Очевидно, что D ( A) X и что A нелинейный Покажем, что A не является непрерывным в нуле Возьмѐм последовательность ( ( / из C [;] Она сходится к, так как / при X Но в то же время A A ( ) при То есть из того, что, не следует, что A A, Значит, A не является непрерывным на D (A) 5

51 Доказать, что оператор A : X Y является линейным ограниченным, и найти его норму а) Оператор умножения, действующий из X в Y X Пример Y C[ ;], ( A)( Решение Ясно, что A линейный оператор Так как A m m m [;] [;] [;], () то A ограничен с константой ограниченности / А так как норма оператора есть наименьшая из констант ограниченности, то A / Докажем теперь противоположное неравенство, т е что A / Для этого постараемся подобрать такой ненулевой вектор, для которого неравенство () превращается в равенство Возьмѐм ( ) A Тогда, как легко посчитать,, A (, / А так как A sup{ A }, то A / заключаем, что A / Сопоставляя полученные неравенства, б) Диагональный оператор, действующий из l p в l p ) ) ) A : 7 7 Пример l l, A (,,,,,,) Решение Ясно, что A линейный оператор Так как A ) 7 / 7 ) то оператор A ограничен, причем A / Возьмѐм e (,,,,,) Тогда, A / Значит, A / (почему?) Из полученных неравенств следует, что A / ) ) A 5 / 5 / Пример : l l, A (,,,,,,( ) ),,) 7 / 7, 5

52 Решение Оператор A линейный Докажем неравенство ограниченности: A / 5 5 / 5 / 5 / ( ) ) ) () A Значит, оператор А ограничен, причем В отличие от предыдущих примеров, здесь не существует ненулевого вектора, при котором неравенство () превращается в равенство (подумайте, почему?) Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части () мало отличались друг от друга Возьмѐм e (,,,,,,) (единица стоит на -м месте) Тогда имеем, A /( ), откуда N A /() (см решение примера ) Ввиду произвольности, отсюда следует, что A Окончательно получаем: A в) Оператор замены переменной 8 Пример C[;] C[;], ( A)( ( ) ) A Решение Oчевидно, оператор A линеен Докажем его ограниченность: A m ) s, s m s s / 5 8 / / 8 / [;] s [;] 8 / поскольку, как легко проверить, m s / s A / Далее, так как при ( неравенство () превращается в ра- A (см решения предыдущих примеров) Итак, венство, то / A / s [;], () / Следовательно, 8 Пример : L [;] L [;], ( A)( ) A Решение Oчевидно, что оператор A линеен Докажем его ограниченность: A 8 ( ) d / z z, d 8z d 8z ( z ), dz / / ( z) dz (5) (мы воспользовались тем, что z ) Значит, A 5

53 Как и в примере пункта б), не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (5) превращается в равенство (подумайте, почему) Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (5) мало отличались друг от друга Возьмѐм последовательность (, состоящую из функций, сосредоточенных в [ ;] окрестности точки z и таких, что Тогда Значит, A / / / z dz z / / A, 8 N Перейдем в последнем неравенстве к пределу при Воспользовавшись тем, что ( ) ~ при, получим: Из полученных неравенств следует, что A lim 8 / A г) Интегральный оператор, действующий из X в Y Пример 5 : C[ ;] C[ ;], ( A)( ( s A Решение Из свойства линейности интеграла следует, что А линейный оператор Далее, A m [ ;] ( s 5 m [ ;] s 5 s 5 (6) Значит, оператор А ограничен, причем A Заметим, что неравенство (6) превращается в равенство при sg, но эта функция не принадлежит C [ ;] Возьмем следующую последовательность функций из C [ ;], которые «похожи» на sg при больших (сделайте чертеж):, [ ; / ] (, [ / ;/ ], [/ ;] Легко видеть, что в C [ ;] Вычислим 5 функция s ( четная на [ ;], то A в C [ ;] Так как 5

54 A Значит, что / m s ( s ( 6 s s [ ;] 6 / 7 A 6 A /(7 ), N, а потому A Окончательно получаем, Для последовательности операторов ( A ) LB( X, Y ), X,Y Norm и A LB( X, Y) установить: ) сходится ли ( A ) поточечно (сильно) к оператору А; ) сходится ли ( A ) по норме к оператору А Пример A ( ),, ),,,), A l, X Y l Решение ) Заметим, что l A A (,, ), ),) ) при как остаток сходящегося ряда Значит, последовательность ( A ) сходится поточечно (то есть сильно) к оператору А ) Воспользуемся тем, что A A, : Возьмем вектор e (,,,,,) (единица стоит на ( ) -м месте) Тогда A A A A (,,,,,) (,,,,,) (,,,,,) Так как A A, то A ) не сходится по норме к А ( 5

55 Тема Обратные операторы Пусть A: X Y Доказать, что существует непрерывный обратный оператор A, и построить его (таблица ) Таблица вариант X Y A () () C [;] C [; ] C [; ] C [; ] () () C [;] C [; ] C [; ] C [; ] 5 l 6 l s ( A)( e ( A )( ( s ( A )( ( ( A )( s l A (( / ) ),( / ) ),( / ) ),) l A ( (si /) ),(si / ) ),(si / ) ),) Пусть A : X Y ) Что представляет собой область значений R (A) оператора А? ) Существует ли на R (A) левый обратный оператор В? ) Является ли оператор B : R( A) X ограниченным, если он существует? ) Существует ли обратный оператор A (таблица )? Таблица вариант X Y A l 5 l 5 A ( ), ),, ),) l A ( ), ),, ),) l l l l A ( ), ), ), ),, ), ),) l A ( ),, ), ),, ), ) 5 () C [; ] C [; ] ( A )( ( 6 C [; ] C [; ] ( A)( 55

56 Пусть A LB( X, Y ), где числовой параметр, X банахово пространство Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору A, построить его При каких оператор A непрерывно обратим (таблица )? Таблица вариант X Y A 5 6 C () [;] : ) () C [;] C () [;] : () C [;] C () [;] : ) () C [;] C () [;] : () C [;] C () [;] : () C [;] C () [;] : ) () C [;] d d d d d d d d d d I I I ( I, C[;] d d I I Примеры решения типовых задач Пусть A : X Y Доказать, что существует непрерывный обратный оператор A, и построить его Пример l l, A A (( / ) ),( / ) ),( / ) ),) : Решение Очевидно, что А линейный оператор Докажем, что А является биекцией Рассмотрим уравнение A y, которое равносильно системе уравнений Отсюда ( /( )) ) y( ),,, y( ) ( ) () ( ) А так как несложно найти константу С, такую, что 56

57 C y, () то l Мы получили, что y l уравнение A y имеет единственное решение х из l Значит, А биекция Более того, из () следует, что обратный оператор A задается формулой y( ) y( ) y( ) A y,, / / /, Ограниченность этого оператора следует из оценки A y C y( ) C y (см ()) s Пример A : C[;] C[;], ( A)( e Решение Очевидно, что А линейный оператор Запишем его в виде и рассмотрим уравнение Пусть ( A)( A y e, то есть s e s e e y(, () e s c () Тогда () примет вид c e y(, откуда ( y( c e Мы получили общий вид решения уравнения () с неопределенным коэффициентом с Подставив это выражение в (), без труда находим, что Таким образом, Итак, C[;] c y( e e s e y( s e y( A y( ) (5) y уравнение () имеет единственное решение из [; ] Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (5) Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла Действительно, по этой теореме C 57

58 A s y( y( m y( e C y, e s [;] а потому выполняется неравенство ограниченности A y C y (другое доказательство непрерывности получается из (5) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана) Пусть A : X Y ) Что представляет собой область значений R (A) оператора А? ) Существует ли на R (A) левый обратный оператор В? ) Является ли оператор B : R( A) X ограниченным (в случае, если он существует? ) Существует ли обратный оператор A? Пример : l l, A (, ), ),, ),) A Решение Очевидно, что R A) {(, ), ),, ),) ( ) l } { y l () } ( y множество последовательностей из l, первая координата которых равна нулю Заметим, что R ( A) l Так как уравнение A имеет только нулевое решение, то Ker A А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор В существует Легко проверить, что B ( ), ), ),) Действительно, при всех х из l имеем BA B(, ), ),) ( ), ), ),) Оператор B ограничен, так как B Поскольку уравнение A y не при всех у имеет решение (например, при y (,,, )), то А не является сюрьекцией А это значит, что правого обратного оператора не существует Следовательно, оператор А необратим Пример A : C[;] C[;], ( A)( Решение По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом (теорема Барроу), функция y( 58

59 () дифференцируема, причем y ( ) Значит, y C [;] Кроме того, () очевидно, что y () Обратно, если y C [;] и y (), то, по формуле Ньютона-Лейбница, R( A) { y( y'( Поэтому C[;]} { y Рассмотрим оператор дифференцирования Поскольку (снова по теореме Барроу) ( BA)( d d C () [;] y() B d d } при всех C [;], то B левый обратный для оператора А Покажем, что B не является ограниченным оператором Допустим противное, т е c R : B m '( c m c Возьмѐм ( ( N ) Тогда последнее неравенство примет вид c, N Противоречие Поскольку R ( A) C[;], то А не является сюръекцией Значит, правого обратного оператора не существует Следовательно, не существует и A Пусть A LB( X, Y ), где числовой параметр, X банахово пространство Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору A, построить его При каких оператор A непрерывно обратим? d Пример X C () [;] () ), Y C[;], A I d Решение Для нахождения обратного оператора рассмотрим в X уравнение A y, т е линейное дифференциальное уравнение y (6) Нужно выяснить, при каких у этого уравнения для любого y C [;] существует единственное решение X Другими словами, для любого y C [;] краевая задача () () (7) для уравнения (6) должна иметь единственное непрерывно дифференцируемое решение Воспользовавшись формулой для общего ре- 59

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

ПОЛНОТА И КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

ПОЛНОТА И КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ПОЛНОТА И КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть X. Отображение : X X R которое каждой паре ( x y) X X ставит в

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12А Компактность в метрических и нормированных пространствах. Основные идеи. 1. Топологическое определение компактности

ЛЕКЦИЯ 12А Компактность в метрических и нормированных пространствах. Основные идеи. 1. Топологическое определение компактности ЛЕКЦИЯ 12А Компактность в метрических и нормированных пространствах. Основные идеи 1. Топологическое определение компактности Напомним (см. лекции 4, 5) основное определение. Определение 1. Топологическое

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства Г. Н. Яковлев Функциональные пространства УДК 517 Я47 Пособие содержит краткое введение в теорию метрических, нормированных и евклидовых пространств, а также в теорию обобщённых функций, и является заключительной

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА В этой лекции мы рассмотрим такие фундаментальные понятия современного нелинейного функционального анализа, как сильная, слабая и слабая

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 4 4.1. Банаховы пространства Напомним, что последовательность (x n ) в метрическом пространстве (, ρ) называется фундаментальной (или последовательностью Коши),

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 курс, 2 семестр) Жирным шрифтом ниже выделены (за исключением названий разделов) важнейшие понятия этого семестра 0 Определения и формулировки из программы

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым" λ.

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с малым λ. ТЕМА 4 Принцип сжимающих отображений Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма -рода с "малым" λ Основные определения и теоремы Пусть D оператор вообще говоря нелинейный действующий D:

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 18 18.1. Компактные метрические пространства (продолжение) В качестве простого следствия доказанной на прошлой лекции теоремы 17.5 мы получаем известный вам

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Кафедра Высшей математики ММФ Автор программы: доцент М.П.Вишневский Лектор: 1-й семестр 1. Введение. Множества и операции над ними. Отображения множеств. Счетные множества. Действительные

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этом параграфе мы докажем теорему, которой пользовались в

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона ВВЕДЕНИЕ При изучении стационарных процессов различной физической природы (колебания теплопроводность диффузия и др обычно приходят к уравнениям эллиптического типа Наиболее распространенным уравнением

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

ПРОГРАММА КУРСА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (осенний семестр 2015 г.)

ПРОГРАММА КУРСА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (осенний семестр 2015 г.) ПРОГРАММА КУРСА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (осенний семестр 205 г.). Измеримые по Лебегу множества и мера Лебега в R n. Аксиома выбора и существование неизмеримого по Лебегу множества. Измеримые функции и их

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Лекция 7. Банаховы пространства

Лекция 7. Банаховы пространства Лекция 7. Банаховы пространства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 декабря 2012 г. Определение. Определение 1. Банаховым пространством

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ

ЗАДАЧИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах ЛЕКЦИЯ 7Б Линейные функционалы (продолжение). Некоторые следствия из теорем Банаха Штейнгауза и Хана Банаха. Нерефлексивность некоторых функциональных пространств 1. Некоторые общие свойства линейных функционалов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

В. Т. Волков, А. Г. Ягола

В. Т. Волков, А. Г. Ягола В Т Волков, А Г Ягола ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (курс лекций) Предисловие Учебное пособие "Интегральные уравнения Вариационное исчисление (курс лекций)" написано на основе опыта чтения

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 16 16.1. Спектральный радиус Пусть A унитальная банахова алгебра, a A ее элемент. Определение 16.1. Число r(a) = sup{ λ : λ σ(a)} называется спектральным радиусом

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Сазонов Л. И. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. Примеры и контрпримеры Определение. Множество M в банаховом пространстве B называется слабо замкнутым, если из x x, {x } M следует x M. (Иными словами, речь

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. I. Теоретические задачи

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. I. Теоретические задачи ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ I. Теоретические задачи 1. Пусть X - полное метрическое пространство и B n, n N, - последовательность вложенных замкнутых шаров, радиус

Подробнее

2М 0,2, следовательно, М М 2М

2М 0,2, следовательно, М М 2М Глава 3 НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Векторные пространства Пусть поле действительных чисел или поле комплексных чисел и будем рассматривать векторные пространства над этим полем Это значит будем рассматривать:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0.

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0. Глава 2. Предел последовательности. 1. Сходящиеся числовые последовательности. Опр. 2.1.1. Числовой последовательностью называется отображение x :. Число x = x() называется -ым членом последовательности.

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 7.1 Определение гильбертова пространства.

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 2 2.1. Топологические и метрические свойства линейных операторов Операторы, о которых пойдет речь в следующем определении, являются аналитическими аналогами

Подробнее