ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ"

Транскрипт

1 Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое поведение последовательностей.... Основные определения Введем сначала основные определения (эти понятия частично уже известны из материала -го курса). Пусть R числовая прямая. Определение. Окрестностью (ɛ-окрестностью) точки x 0 R называется множество Ω = {x R : x x 0 < ɛ }, где ɛ > 0 некоторое число. Окрестность Ω называется проколотой, если сама точка x 0 ей не принадлежит. Во многих случаях приходится рассматривать также расширенную числовую прямую, получаемую добавлением к R бесконечно удаленной точки. Окрестностью точки x 0 = называется множество Ω = {x R : x > K}, где K > 0 некоторое число. Вводится понятие односторонней окрестности (полуокрестности). Если x 0 R, ее правой полуокрестностью называется множество Ω + = {x R : x 0 < x < x 0 + ɛ}, где ɛ > 0 некоторое число. 3

2 Иногда множество Ω + называют окрестностью точки x 0 + Если x 0 = +, ее окрестностью называется множество {x R : x > K}, где K > 0 некоторое число. Аналогично определяются левая полуокрестность точки x 0 R, а также окрестность x 0 =. Определение 2. Пусть функции f(x) и g(x) заданы на некотором множестве D R. Говорят, что на множестве G D ( ) f(x) = O g(x), x G (читается: "о-большое от g(x)"), если существуют такая постоянная M, что при x G выполнено неравенство f(x) M g(x). Определение 3. Пусть функции f(x) и g(x) заданы на некотором множестве D, а x 0 предельная точка этого множества. ( ) Говорят, что f(x) = o g(x) при x x 0, (читается: "о-малое от g(x)"), если существует такая бесконечно малая при x x 0 функция α(x), что f(x) = α(x) g(x) для всех x из некоторой проколотой окрестности Ω точки x 0, Ω D. Определение 4. Пусть функции f(x) и g(x) заданы на некотором множестве D, а x 0 предельная точка этого множества. Эти функции эквивалентны при x x 0, если в некоторой проколотой окрестности точки x 0 ( ) f(x) = g(x) + o g(x). 4

3 Данное соотношение кратко записывается следующим образом: f(x) g(x), x x 0 (x D). Замечания. ) Соотношения, указанные в определениях - 4, называются отношениями порядка. 2) В определении 2 в качестве множества G может выступать как все множество D, так и окрестность Ω точки x 0, принадлежащая D (как в определениях 3-4). 3) Отношения порядка из определений 3-4 следует рассматривать только как предельные, получающиеся в процессе стремления переменной x к предельной точке множества D. Иногда, если из контекста ясно, о какой предельной точке x 0 этого множества идет речь, запись x x 0 опускают, хотя и постоянно имеют ее в виду. 4) Отношение эквивалентности является примером так называемого бинарного отношения; оно обладает свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности. 5) Равенства, указанные в определениях 2-3, не являются равенствами в обычном смысле, для них не выполнено свойство симметрии. А именно, ( когда) мы говорим, например, что при x x 0 f(x) = o g(x), это не значит, что ( ) o g(x) = f(x). Знак равенства в записях, использующих символы o или O, понимается как обозначение принадлежности функции f(x) к некоторому множеству...2. Достаточные условия отношений порядка Пусть функции f(x) и g(x) заданы на некотором множестве D, а x 0 предельная точка этого множества. Здесь допускается возможность x 0 = (а также x 0 = + или x 0 = ). Легко доказать следующие утверждения. 5

4 Утверждение. Если существует предел x x 0 ( ) то f(x) = O g(x) f(x) g(x) = A, A,, x x 0. Утверждение 2. Если существует x x 0 ( ) то f(x) = o g(x), x x 0. f(x) g(x) = 0, Утверждение 3. Если существует x x 0 то f(x) g(x), x x 0. f(x) g(x) =, Замечания. ) Условия, сформулированные в утверждениях 2-3, на практике обычно используют как определения для "о"малого и эквивалентности соответственно. Мы тоже будем в основном придерживаться этого варианта определений. 2) Условия утверждений 2-3 являются частными случаями утверждения. 3) Если в утверждении ( значение ) предела ( A ) 0;, то одновременно f(x) = O g(x) и g(x) = O f(x), x x 0, (т.е. f(x) и g(x) имеют одинаковый порядок при x x 0 ). Это соотношение записывают следующим образом: ) f(x) = O (g(x), x x 0. 6

5 Другая возможная запись: f(x) g(x), x x 0. 4) Из определений следует: а) если f(x) = O(), x x 0, то функция f(x) ограничена в проколотой окрестности точки x 0 ; б) если f(x) = o(), x x 0, то f(x) бесконечно малая функция в проколотой окрестности точки x Примеры. Доказать, что a) sin x x, x 0 ; b) sin x = o(x), x ; c) sin x = O(x), x R. a) Пусть D = R, x 0 = 0, f(x) = sin x, g(x) = x. Вычислим x 0 f(x) g(x) = x 0 sin x x =. В соответствии с утверждением 3 получаем sin x x, x 0. b) Если x 0 =, то sin x = o(x), x, поскольку sin x x x = 0. c) Пусть по-прежнему D = R. Известно, что sin x x x. Отсюда по определению 2 следует sin x = O(x), x R 2. Доказать, что ) для m, n N, m < n, ) a) x n = o (x m, x 0 ; b) x m = o (x n, x +. Пусть D числовая полуось x >, f(x) = x m, g(x) = x n, m < n. ) a) Если x 0 = 0, то x n = o (x m, x 0, так как x 0 x n x m = x 0 xn m = 0. 7

6 b) Указанное равенство справедливо, потому что для x 0 = + x m x + x = n x + x = 0 n m В дальнейшем мы будем указывать лишь точку x 0, потому что множество D обычно ясно из контекста. 3. Доказать, что при x 0 : ( a) f(x) g(x), где f(x) = x 2 + sin ), x g(x) = x ; b) f(x) { = o(g(x)), где { x f(x) =, x Q, x, x Q, g(x) = 0, x I, 0, x I. (Здесь Q и I обозначают множества рациональных и иррациональных чисел соответственно). a) Так как 2 + sin x то f(x) = x 2 + sin x x f(x). ( ) Отсюда, согласно определению 2, следует f(x) = O ( ) g(x) и g(x) = O f(x), т.е. f(x) g(x). Заметим при этом, что отношение f(x) g(x) = 2 + sin x не имеет предела при x 0 b) Очевидно, f(x) = x g(x). Поскольку α(x) = x бесконечно малая функция при x 0, то по определению 3 f(x) = o(g(x)). 8

7 f(x) В то же время, как и в a), не существует предела x 0 g(x), так как знаменатель дроби обращается в нуль в точках, сколь угодно близких к a = 0 Эти два примера показывают, что понятия О-большого и о-малого, основанные на утверждениях и 2, не равносильны исходным определениям 2 и 3 соответственно. Очень часто проводится сравнение поведения данной функции f(x) со степенной функцией, т.е. g(x) = x α. 4. a) Доказать, что x 2 + x 2 = O(x), x. Требуемое равенство справедливо, так как x x 2 + x(x 2) =. Точнее, мы получили утверждение, что x 2 + x 2 x, x b) Исследовать асимптотическое поведение функции f(x) = x2 + sin 3x при x 0. x 2 Для сравнения возьмем степенную функцию g(x) = C x α (C 0) и вычислим f(x) x 0 g(x) = x 2 + sin 3x x 0 x 2 C x = α 2C sin 3x. x 0 x α Последний предел существует и не равен нулю только при α =. Имеем f(x) x 0 g(x) = 2C sin 3x = 3 x 0 x 2C = 9

8 при C = 3 2, следовательно, f(x) 3 2 x, x 0 5. Аналогично примеру а) можно провести сравнения для основных элементарных функций. Таким образом, получается известная из начального курса математического анализа таблица эквивалентных бесконечно малых функций при x 0 : e x x, ln( + x) x, ( + x) a a x, a R, sin x x, cos x x2 2, tg x x, arcsin x x, arctg x x. Эти соотношения остаются в силе, если в них заменить x на некоторую бесконечно малую функцию α(x) : α(x) 0 при x x Используя таблицу эквивалентностей, решим задачу из 4 b). f(x) = x2 + x 2 sin 3x 2 sin 3x 3 2 x при x 0 7. Верно ли утверждение: x 2 = o (f(x)), x 0, если a) f(x) = x sin 2x ; b) f(x) = x cos(x 2 ) ; c) f(x) = 5 5 x ln( x) ; d) f(x) = x arctg(x2 )? 0

9 Ответ: a) неверно ; b) d) верно. Для случая a) имеем x 0 x 2 f(x) = x 0 x sin 2x = 2 0, поэтому предлагаемое утверждение неверно. Справедливость b) следует из того, что x 0 x 2 f(x) = x 0 x cos(x 2 ) = 0. В случае c) получаем x 0 x 2 f(x) = x 0 x 2 x 2 = = 5 5 x ln( x) x x ( x) = 5 x 0 т.е. утверждение верно. d) x 0 5 x4 = 0, x 2 f(x) = x 0 x x 2 arctg(x 2 ) = x 0 x x2 x 2 = 0, поэтому утверждение верно 8. Верно ли утверждение: f(x) = O ( ) x, x, если a) f(x) = x ln ( + 3x ) ; b) f(x) = 2 x 2 arctg(x2 ) ; ( ) c) f(x) = (2x + ) sin ; d) f(x) = 2 + x x 2 3x 0 cos Ответ: Верны a) c), неверно d). ( x )?

10 Равенство a) верно, поскольку существует f(x) : x x = x x2 ln ( + 3x ) = {y = 3x } = 2 2 = y 0 3 ln( + y) y = 3. В случае b) поскольку arctg(x 2 ) = π x 2, то f(x) : x x = x x arctg(x2 ) = 0, ( ) ( ) поэтому f(x) = o, значит, и f(x) = O, x. x x Утверждение в случае c) верно, так как f(x) : ( ) x x = x (2x + ) sin x x 2 Здесь мы учли, что sin ( ) x 2 x, x. 2 В случае d) имеем f(x) : ( ) x x = x(2 + x) x 3x 0 cos = x ( ) x + 2 = x x 3x 0 cos =, x так как ( ) x + 2 x 3x 0 cos = x 3, поэтому утверждение неверно = x x(2x + ) x 2 = Рассмотрим функцию f(x) = x 2 sin в проколотой x окрестности точки x = 0. Надо проверить, какие из следующих ниже утверждений верны, а какие нет (при x 0 ) : 2

11 (a) x 2 sin x = o(), (b) x 2 sin x = O(), (c) x 2 sin x = o(x), (d) x 2 sin x = O(x), (e) x 2 sin x = o(x2 ), (f) x 2 sin x = O(x2 ), (g) x 2 sin x x, (h) x 2 sin x x2. Ответ: Верны (a) (d), (f). Неверны (e), (g), (h). Например, справедливость (c) и (d) следует из того, что f(x) x 0 x = x 0 x sin x = 0. Равенство (f) следует из оценки f(x) x 2. f(x) Соотношение (e) неверно, так как = sin x 2 x не является бесконечно малой функцией при x 0 (не имеет предела)..4. Вопросы и задачи. Докажите утверждения Приведите примеры, показывающие, что условия утверждений - 3 не являются необходимыми. 3

12 3. Приведите примеры функций f(x), для которых справедливо a) f(x) = o (x), x 0 ; b) f(x) = O(x), x 0 ; c) f(x) = o (x), x 5 ; d) f(x) = O(x), x 5 ; e) f(x) = o(x), ( ) x ; f) f(x) = O(x), ( ) x ; 5. g) f(x) = o i) f(x) = o ( x x, x 0 ; h) f(x) = O ), x ; j) f(x) = O ( x, x 0 ; x), x. 4. Верно ли утверждение: x 3 = o (f(x)), x 0, если a) f(x) = x ; b) f(x) = x 4 ; c) f(x) = x 2 3 x ; d) f(x) = (x + ) 2 ; e) f(x) = (x arctg x ) 2 ; f) f(x) = (x cos x) 2? 5. Верно ли утверждение: = O (f(x)), x, если x2 a) f(x) = ) (e x + 9 ; b) f(x) = ( ) x 2 x sin ; ( ) x 2 c) f(x) = x sin ; d) f(x) = ( ) 2 x 2 x cos ; x e) f(x) = ( ) 3 x arctg ; f) f(x) = x 2 x arctg(x2 + 3) ; g) f(x) = x x 3 + 4? 6. Проверьте справедливость эквивалентностей из примера 7. Для функции f(x) = x 2 sin проверьте, какие из восьми утверждений примера 9 верны, а какие нет, если x x. 4

13 .2. Действия с отношениями порядка.2.. Основное утверждение Теорема. Пусть функция f = f(x) определена на некотором множестве D. Пусть x 0 предельная точка этого множества, причем функция f(x) не обращается в нуль в некоторой окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки x 0 ). Тогда при x x 0 имеют место следующие утверждения: ) o(f) + o(f) = o(f) ; 2) O(f) + O(f) = O(f) ; 3) O(f) + o(f) = O(f) ; 4) o(o(f)) = o(f) ; 5) O(O(f)) = O(f) ; 6) O(o(f)) = o(f) ; 7) o(o(f)) = o(f). Докажем, например, первые два соотношения: ) o(f) + o(f) = o(f). Для левой части F (x) = g (x) + g 2 (x) доказываемого равенства, где g (x) = o(f(x)), g 2 (x) = o(f(x)) при x x 0, имеем F (x) x x 0 f(x) = g (x) + g 2 (x) = 0, x x 0 f(x) так как x x 0 g i (x) f(x) 5 = 0 (i =, 2).

14 Следовательно, F (x) = o(f(x)), что и требовалось доказать. 2) Пусть F (x) = g (x) + g 2 (x), где g (x) M f(x), g 2 (x) M 2 f(x), M, M 2 > 0, для всех x из некоторой проколотой окрестности точки x 0. Тогда для этих значений x F (x) g (x) + g 2 (x) M f(x) + M 2 f(x) = = (M + M 2 ) f(x) = M f(x), M = M + M 2 > 0, что и требовалось доказать. Остальные соотношения доказываются аналогичным образом Замечания. ) Все равенства в утверждении теоремы читаются слева направо (см. также замечание 5) п...). 2) Обратите внимание на то, что имеют место соотношения т.е. в правой части не нуль. o(f) o(f) = o(f), O(f) O(f) = O(f),.2.2. Сравнения со степенной функцией Как было отмечено выше, часто приходится сравнивать поведение функций при x x 0 со степенями (x x 0 ) n. При этом говорят, что бесконечно малая (x x 0 ) n, n > 0, имеет порядок n. Если x, то функция x n, n > 0, является бесконечно большой порядка n. Если имеет место равенство f(x) = C n (x x 0 ) n + C n+ (x x 0 ) n

15 +C n+k (x x 0 ) n+k + o((x x 0 ) n+k ), x x 0 ( C n 0 ), то выражение C n (x x 0 ) n называется главным членом, а o((x x 0 ) n+k ) остаточным членом асимптотического представления f(x) при x x 0. Замечание. Остаточный член может иметь другой вид, например, O ( (x x 0 ) n+k). Полезные соотношения (частные случаи сформулированных в теореме утверждений) дает следующая теорема. Теорема 2. Пусть на некотором множестве D, для которого x 0 предельная точка, определена бесконечно малая функция α = α(x) : α(x) 0 при x x 0, причем функция α(x) не обращается в нуль в некоторой окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки x 0 ). Пусть m, n N. Тогда справедливы следующие утверждения: ) o(α n ) = o(α m ), m n ; 2) O(α n ) = O(α m ), m n ; 3) o(α m ) + o(α n ) = o(α m ), m n ; 4) O(α m ) + O(α n ) = O(α m ), m n ; 5) o(α m ) o(α n ) = o(α m+n ) ; 6) O(α m ) O(α n ) = O(α m+n ) ; ) 7) (o(α)) n = o(α n ) ; 8) (O(α)) n = O(α n ) ; 9) α o(α n ) = o(α n+ ) ; 0) α O(α n ) = O(α n+ ) ; o(α n ) α = o(αn ), n > ; 7

16 2) O(α n ) α = O(α n ), n >. Замечание. Аналогичные утверждения можно сформулировать для бесконечно больших функций Примеры. Найти главный член асимптотического представления следующих функций: a) f(x) = 2x 3 + x 4 при x 0 ; b) f(x) = 2x 3 + x 4 при x ; x c) f(x) = при x 0 ; 2x x d) f(x) = при x. 2x a) Ответ: 2x 3. При x 0 f(x) = 2x 3 + x 4 = 2x 3 + o(x 3 ) b) Ответ: x 4. При x ( f(x) = 2x 3 + x 4 = x ) = x 4 + o ( x 4) x x c) Ответ: 5. x 2x = x 5 При x 0 получаем f(x) = = x ( 2 ) 5 5 x3 + o(x 3 ) = x 5 + O(x4 ) d) Ответ: 2x. 2 Для x имеем x 0, поэтому f(x) = x 2x = 8 x 2x 3 ( + 5 ) = 2x 3 ( + 25 x3 )

17 = ( 5 ( )) 2x 2 2x + o = ( ) 3 x 3 2x + O 2 x 5 При решении c) d) использовано равенство ( + x) = x + o(x), x Найти асимптотические представления при x 0 с точностью до членов второго порядка включительно следующих функций: a) f(x) = cos x ; b) f(x) = e x. этого вычислим a) Докажем,что при x 0 cos x = x2 2 +o(x2 ). Для x 0 cos x x 2 2 = x 0 2 sin 2 x 2 x 2 2 = x 0 Следовательно, cos x x2 2, поэтому ( sin x ) 2 2 x =. 2 cos x = x2 2 + o(x2 ), x 0. Можно показать, что остаточный член имеет вид o(x 3 ), или, еще точнее, O(x 4 ) b) Уже известно, что e x x, x 0. Используя первое правило Лопиталя, вычислим предел x 0 e x x x 2 = x 0 e x 2x = 2. Поэтому при x 0 имеем e x x x2 2, т.е. e x = + x + x2 2 + o(x2 ) 3. Найти асимптотическое разложение при x 0 функции f(x) = sin x, выписывая члены до третьего порядка включительно. 9

18 Известно, что sin x x, при x 0, т.е. sin x x = o(x). Найдем x 0 sin x x x 2 = x 0 cos x 2x = x 0 2 sin 2 x 2 2x = 0. Это означает, что sin x x = o(x 2 ). Теперь найдем предел x 0 sin x x x 3 = x 0 cos x 3x 2 = 6 (при вычислении пределов использовались правило Лопиталя и результат примера 2a) ). Последнее равенство означает, что sin x x = O ( x 3), а точнее sin x = x x3 6 + o ( x 3).2.4. Уточнение основных разложений Полученные в примерах - 2 результаты уточняют таблицу эквивалентностей из п.5 раздела..3. Приведем более точную таблицу асимптотических разложений основных элементарных функций при x 0 (ее следует запомнить): e x = + x + x2 2 + O(x3 ) ; ln( + x) = x x2 2 + O(x3 ) ; ( + x) a = + ax + a(a ) 2 sin x = x x3 6 + O ( x 5) ; 20 x 2 + O(x 3 ) ;

19 cos x = x2 2 + O(x4 ) ; tg x = x + O ( x 3) ; arcsin x = x + O ( x 3) ; arctg x = x + O ( x 3) ; shx = ex e x 2 chx = ex + e x 2 = x + x3 6 + O ( x 5) ; = + x2 2 + O(x4 ) Случай числовых последовательностей Для пары числовых последовательностей {f n } и {g n }, n N, так же, как это сделано выше для функций, можно ввести отношения порядка при n (т.е. понятия о-малое, О- большое, эквивалентность). Аналогичный смысл имеют понятия асимптотического представления (разложения), главного и остаточного членов. Рассмотрим примеры. Найти главный член асимптотического представления при n следующих последовательностей: a) f n = a bn + c ; a, b 0 ; b) f n = n 2 2n 5 + n 3 ; c) f n = n 2 + n 2 3 ; d) f n = e n 2 ch n ; e) f n = n2 arctg n n ; f) f n = n2 arctg n n При n последовательность является бесконечно n малой, поэтому мы будем использовать таблицу асимптотических разложений основных элементарных функций

20 a) f n = a bn + c = a bn = a bn ( c bn + O + c bn )) ( n 2 = a bn ( + c bn = a bn + O ( n 2 ) = Таким образом, заменяя при n выражение f n = на ). a bn + c a bn, мы совершаем ошибку, которая имеет порядок n 2 b) f n = поскольку n 2 2n 5 + n 3 = n2 2n 5 + 2n = ( ) 2n + o 2 2n 3 n 3 5 n ( + 2n ) = 2 2n 5 c) f n = n 2 + n 2 3 = n2 + n n2 + + n 2 3 =, так как = 4 n = + n + 2 3n n + o 2 2 n ( + n2 + 3n2 ) ( ) n = 2., Приведем теперь более общий способ решения этого примера: f n = n 2 + ( ( n 2 3 = n + ) ( 2 3 ) ) 2 = n 2 n 2 22

21 ( = n + = n ( 2 n 2 + O ( ) ( 2n + O 3 ( ))) 2 n 4 2n + O = 2 n 4 ( )) = 2n ( ) n n + O, n 4 3 d) f n = e n 2 ch n = + n 2+O ( n 4 ) = ( ) 2n + O 2 n 4 e) f n = n2 arctg n n = n ( + 2n 2 + O, n arctg n + 2 n 3 = π 2n + o ( ) n так как arctg n π 2 для n N, n f) f n = n2 arctg ( n = n2 n + o ( )) n = n n n ( + o()) = n ( ) = ( ) n + o, n n 2 n Вопросы и задачи ( )) = n 4. Докажите утверждения теоремы. 2. Докажите утверждения теоремы Пусть m, n N. Докажите, что для x имеют место равенства: a) O(x m ) = O(x n ), m n ; b) O(x m ) + O(x n ) = O(x n ), m n ; c) O(x m ) O(x n ) = O(x m+n ). 23,

22 4. Найдите асимптотическое разложение при x 0 функции f(x), выписывая члены до второго порядка включительно: a) f(x) = ln( + x) ; b) f(x) = a x (a > 0). 5. Найдите главный член асимптотического представления следующих функций: a) f(x) = x + sin x при x 0 ; x 2 + b) f(x) = x + sin x при x ; x 2 + c) f(x) = x + 4 x2 + 4x + при x 0 ; d) f(x) = x + 4 x2 + 4x + при x + ; 3 x arctg x 2 e) f(x) = при x 0 ; + x 3 2 x arctg x 2 f) f(x) = при x. + x 2 6. Определите порядок бесконечно малой при x 0 функции f(x) : a) f(x) = x sin x ; b) f(x) = tg 2 (2x 2 ) 3x 5 ; c) f(x) = 2x 4 +x 4 ; d) f(x) = x cos x+ln( x) ; e) f(x) = x2 x 2 + ln(cos x) ; f) f(x) = e 4 cos x Найти главный член асимптотического представления при n следующих последовательностей: a) f n = 2n + n n ; b) f n = n + n ; c) f n = n + ; d) f n = cos 5 n n ; e) f n = ch n cos n ; f) f n = ( n n ) ln ( + 2 ) n. 24

23 .3. Шкала роста (убывания) основных элементарных функций и последовательностей.3.. Сравнение асимптотического поведения основных функций Рассмотрим на множестве D = {x : x > 0 } несколько возрастающих функций и изучим их поведение при x +. Утверждение. Для функций из таблицы имеет место равенство ln α x (α > 0) x k (k > 0) a x (a > ) f(x) = o(g(x)), x +, если функция f(x) в этой таблице предшествует g(x). Замечание. Приведенная выше таблица (которую мы назовем шкалой роста) может быть продолжена и вверх, и вниз. Например, ln ln x = o(ln x), x +, ( a x = o a bx), x +, если a, b >. Доказательство утверждения проводится вычислением соответствующих пределов. Например, x + ln α x x k = 0 при k > 0 и любом α. 25

24 Действительно, при α 0 результат очевиден, а для α > 0 предел можно вычислить, используя правило Лопиталя. Остальные соотношения доказываются аналогичным образом Рассмотрим на том же множестве D = {x : x > 0 } при x 0 = 0+ несколько убывающих функций и составим шкалу убывания. Утверждение 2. Для функций из таблицы a x (0 < a < ) ln α x k (k > 0) ( ) (α < 0) x имеет место равенство f(x) = o(g(x)), x 0+, если функция f(x) в этой таблице предшествует g(x). проводится аналогично доказатель- Д о к а з а т е л ь с т в о ству утверждения Случай числовых последовательностей Рассмотрим далее несколько числовых последовательностей, которые являются дискретными аналогами элементарных функций. Утверждение 3. Имеет место следующая шкала роста числовых последовательностей: ln α n (α > 0) n k (k > 0) 26

25 где a n (a > ) n! f n = o (g n ), n, если последовательность {f n } в этой таблице предшествует {g n }. Доказательство также проводится вычислением соответствующих пределов. Заметим только, что эта шкала дополнена последовательностью {n!} Замечание. Таблицы, приведенные в утверждениях 2-3, также могут быть продолжены и вверх, и вниз Простейшее неравенство как следствие отношения порядка Сформулируем далее два очевидных утверждения. Лемма. Пусть функции f(x), g(x), определены на некотором множестве ( ) D, имеющем предельную точку x 0. Если f(x) = o g(x), x x 0, то существует проколотая окрестность точки x 0, в которой f(x) < g(x). По условию леммы существует такая бесконечно малая при x x 0 функция α(x), что f(x) = α(x) g(x) для всех x из некоторой проколотой окрестности точки x 0. Но так как α(x) = 0, x x 0 то в достаточно малой окрестности точки x 0 справедливо неравенство α(x) <, откуда и вытекает утверждение леммы 27

26 Соответствующее утверждение верно для числовых последовательностей, а именно: Лемма 2. Если члены числовых последовательностей {f n } и {g n } при n связаны соотношением f n = o(g n ), то существует такое число N, что для всех n > N справедливо неравенство f n < g n Примеры. Какая из функций принимает б ольшие значения при достаточно больших значениях x : a) f(x) = 0 6 x 3 или g(x) = 0 6 x 4 ; b) f(x) = ln(x ) или g(x) = 0 x? a) Существует такое число A > 0, что f(x) < g(x) x > A. В самом деле, x + f(x) g(x) = x x x 4 = x x = 0, поэтому f(x) = o(g(x)), x +, и ответ следует из леммы п..3.3 b) При достаточно больших значениях x справедливо f(x) < g(x), так как f(x) = o(g(x)), x +, потому что x + f(x) g(x) = x + ln(x ) 0 x = x + (см. шкалу роста из утверждения ) 300 ln x 0 x = 0 2. Выяснить, что больше при достаточно больших значениях n : a) f n = ln 500 n или g n = n 0.00 ; b) f n = ln 25 n или g n = (0.95) n ; c) f n = n n 00 или g n = 00 n ; d) f n = (ln n) ln n или g n = n 0? 28

27 a) Существует такое число n 0, что n > n 0 выполнено неравенство ln 500 n < n 0.00, так как f n = o(g n ), n, что следует из утверждения 3. b) При n последовательность f n, а g n 0, поэтому ln 25 n > (0.95) n n > n 0. c) Известно, что n n =. n ( Поэтому f n = n ) 00 n =. В то же время n n при n последовательность g n = 00 n, значит, g n > f n n > n 0. d) Преобразуем выражение f n, используя основное логарифмическое тождество: f n = e ln n ln ln n = ( e ln n) ln ln n = n ln ln n. Поскольку последовательность {ln ln n} бесконечно большая, найдется такое число n 0, что ln ln n > 0 n > n 0. Значит, f n > g n, если n > n 0 3. Найти, для каких значений α и β при достаточно больших n справедливо неравенство n α < ln β n. Ответ: ) Если α < 0, то β любое ; 2) если α = 0, то β > 0. ) Пусть α < 0. Тогда для β 0 неравенство очевидно. Если β < 0, то согласно шкале роста числовых последовательностей ln β n = o (n α ), n (здесь α > 0, β > 0 ). Поэтому ln β n < n α n α < ln β n n > n 0. 29

28 2) Пусть α = 0. Тогда, очевидно, для n 3 ln β n > β > 0. 3) Пусть α > 0. Тогда по шкале роста числовых последовательностей ln β n = o (n α ), n, для β > 0, тем более для β 0. Следовательно, при любых значениях β справедливо ln β n < n α n > n 0, т.е. данное в условии неравенство не выполнено при α > Несколько полезных неравенств С помощью шкалы роста (убывания) для функций или последовательностей и леммы из.3.3 можно легко получить ряд неравенств, которые полезны при исследовании сходимости несобственных интегралов. Такие неравенства мы будем также использовать в дальнейшем (см. главу 2) при исследовании рядов. Приведем несколько результатов для числовых последовательностей.. Пусть α произвольное фиксированное число, β > 0. Тогда найдется такое натуральное число N (зависящее от α, β ), что для всех n > N справедливо неравенство ln α n n <. +β n + β 2 Заметим, что ln α n n < +β n + β 2 ln α n < n β 2. Поскольку k = β 2 > 0, учитывая, что ln α n = o ( n k), n, 30

29 по лемме 2 получаем ln α n < n k для n > N 2. Пусть α произвольное фиксированное число, β > 0. Тогда найдется такое натуральное число N = N(α, β), что для всех n > N справедливо неравенство ln α n n > β n β 2 Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично. 3. Пусть k произвольное фиксированное число. Тогда n k e n < n 2 для всех n > N, где N = N(k) Вопросы и задачи. Докажите утверждение 2 п Докажите утверждение 3 п Выясните, что больше при достаточно больших значениях x : a) f(x) = x arctg x или g(x) = x ln x ; x 2 b) f(x) = или g(x) = x ln x ; x + 0 c) f(x) = x sin или g(x) = 3 x ; x d) f(x) = или g(x) = ln x x x? 4. Выясните, что больше при x 0 + 0, т.е. в достаточно малой правой полуокрестности точки x 0 = 0 : a) f(x) = x arctg x или g(x) = x ln x ; 3

30 b) f(x) = x 2 x + 0 или g(x) = x ln x ; c) f(x) = x sin или g(x) = 3 x ; x + d) f(x) = или g(x) = x x ln x? 5. Выясните, что больше при достаточно больших значениях n : a) n 0000 или (.00) n ; b) 00 n или n! ; c) n n или n! ; d) ln k n или k ln n, k N ; e) (ln ln n) ln n или n 2 ; f) (ln n) ln ln n или n? 6. Найдите, для каких значений a > 0 и b при достаточно больших n справедливо неравенство a) a bn < n 2 ; b) ln b n < a n ; c) ln b n > a n? 7. Докажите неравенства 2 и 3 п Асимптотические разложения основных элементарных функций В заключение вводной главы напомним асимптотические представления основных элементарных функций, полученные в начальном курсе анализа. Они уточняют приведенную в п..2.4 таблицу. Итак, согласно формуле Тейлора-Маклорена, в некоторой окрестности точки x 0 = 0 для любого фиксированного значения n N имеют место равенства:. ( ) e x = + x + + xn n! + O x n+ 2. sin x = x x3 3! + + ( )n x 2n (2n )! + O ( x 2n+ ) 32

31 cos x = x2 2! + + ( )n x2n (2n)! + O ( x 2n+2 ) shx = x + x3 3! + + x2n (2n )! + O ( x 2n+ ) chx = + x2 2! + + x2n (2n)! + O ( x 2n+2 ) ln( + x) = x x ( )n xn n + O ( x n+ ) ( + x) a a (a ) = + a x + x ! a (a ) (a n + ) ) + x n + O (x n+ n! 33

32 Глава 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2.. Основные понятия. Свойства числовых рядов 2... Определения Рассмотрим последовательность действительных чисел {a n }. Определение. Выражение a + a a n + = a n () называется числовым рядом. Числа a, a 2, a n, называются членами ряда. Определение 2. Конечная сумма s n = a + a a n = называется n-й частичной суммой ряда (). Заметим, что числовым рядом () последовательность {s n } определена однозначно. Обратно, по заданной последовательности чисел {s n } однозначно определяется ряд, для которого {s n } является последовательностью частичных сумм: a = s ; a k = s k s k (k > ). Определение 3. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {s n }, т.е. существует конечный предел n s n. 34 n k= a n a k

33 Число s = n s n называется суммой ряда: a n = s. Если последовательность {s n } расходится, ряд () называется расходящимся. Определение 4. Выражение r n = k=n+ называется n-м остатком ряда. Если ряд сходится к сумме s, то r n = s s n. Примеры. Исходя из определения, исследовать сходимость следующих рядов: a) q n = + q + q q n +. Ответ: ряд сходится тогда и только тогда, когда q <, т.е. когда это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу суммы n членов геометрической прогрессии, найдем для данного ряда частичную сумму: s n = qn q, q. ) Если q <, то существует s n = n n a k q n q = q, т.е. ряд сходится и имеет сумму s = q. 35

34 2) При q > не существует конечного предела n s n, т.е. ряд расходится. 3) Если q =, имеем ряд + +, для которого s 2n =, s 2n = 0. Ряд расходится, так как у последовательности {s n } две предельные точки: 0;. 4) Если q =, получаем ряд у которого s n = n, b) n(n + ). Тогда Заметим, что a n = + + +, s n =, т.е. имеем расходимость n Ответ: ряд сходится. n(n + ) = n n +. s n = n(n + ) = = n n + = n +, т.е. ряд сходится к сумме ( s = ) = n n + c) n(n + )(n + 2). 36 Ответ: ряд сходится.

35 Тогда Нетрудно проверить справедливость равенства a k = k(k + )(k + 2) = 2k k + + 2(k + 2) = = ( 2 k ) + ( k + 2 k + 2 ). k + s n = n(n + )(n + 2) = = 2 ( n n n + 2 n + ) = ( n + 2 ). n + Данный ряд сходится, поскольку существует ( s n = n n n + 2 ) = n + 2 причем сумма этого ряда s = 4 d) n. Ответ: ряд сходится. 2 Используя оценку k < 2 k(k ) = k k ( ) = 2 4, (k > ), (2) покажем ограниченность сверху последовательности частичных сумм: s n = n 2 < 37

36 < n n = 2 n < 2 n. Поскольку a n = n 2 > 0, последовательность {s n} возрастает, значит, она (а вместе с нею и рассматриваемый ряд) сходится Замечание. Исследование сходимости ряда на основе определения 3 предполагает либо вычисление предела последовательности частичных сумм {s n } (см. примеры a) c) ), либо доказательство его существования на основе теории пределов (пример d)). Заметим, что в первом случае мы находим сумму ряда (тем самым доказав его сходимость). Однако на практике эти методы применяются редко, так как обычно последовательность {s n } имеет сложный вид. Тогда решить вопрос о сходимости {s n }, а тем более вычислить ее предел, не представляется возможным. Поэтому используются другие методы (так называемые признаки сходимости), с помощью которых и исследуется сходимость рядов Простейшие утверждения о сходимости Утверждение. Из определения 3 следует: Для сходимости ряда () необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число s, что ɛ > 0 N = N(ɛ), n > N : s s n < ɛ. Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы последовательность остатков ряда была бесконечно малой: r n = o(), n. Утверждение 2 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд () сходится, то a n = 0. (3) n 38

37 a n = s n s n. Так как ряд сходится, существует s n = s, следовательно, существует n n a n = n (s n s n ) = n s n n s n = s s = 0 Замечания. ) Для решения задач важно очевидное следствие последнего утверждения: Если не выполнено условие a n = 0, то ряд a n n расходится. 2) Условие (3) не является достаточным. Покажем, что ряд расходится, в то время n как n = 0, т.е. необходимое условие сходимости выполнено. В самом деле, рассмотрим оценку частичной суммы: n s n = n > n n = n. Отсюда следует, что не существует конечного предела последовательности {s n }, значит, ряд расходится Примеры. Доказать расходимость следующих рядов, используя необходимое условие сходимости: a) q k = + q + q q n +, где q. n=0 Этот ряд уже был рассмотрен в примере a) п Здесь мы остановимся на доказательстве его расходимости. 39

38 Действительно, при q, очевидно, не выполнено условие n qn = 0. А именно, для q > этот предел равен +, для q = предел равен, а при q он не существует 2n 3 b) 3n 3 +. Ряд расходится, так как для него не выполнено необходимое условие сходимости: c) sin n. n 2n 3 3n 3 + = Ряд расходится, поскольку не выполнено необходимое условие сходимости. В самом деле, предположим, существует sin n = 0. n Поскольку sin(n + ) = sin n cos + cos n sin, имеем cos n sin = sin(n + ) sin n cos. Из предположения следует, что существует предел при n правой части последнего равенства, значит, существует n (cos n sin ) = sin(n + ) cos sin n = 0. n n Отсюда с учетом sin 0 получаем cos n = 0. n С другой стороны, предельный переход в основном тригонометрическом тождестве дает n (sin2 n + cos 2 n) =, 40

39 что противоречит sin n = cos n = 0. n n Таким образом, равенство sin n = 0 не имеет места n Критерий Коши сходимости ряда Теорема. Для сходимости ряда () необходимо и достаточно, чтобы ɛ > 0 N = N(ɛ), n > N, p N : a n+ + + a n+p < ɛ. По определению сходимость ряда это сходимость последовательности его частичных сумм {s n }. Используя критерий Коши для последовательности, получаем: {s n } сходитcя тогда и только тогда, когда ɛ > 0 N = N(ɛ), n > N, p N : s n+p s n < ɛ. Но s n+p s n = a n+ + + a n+p = n+p k=n+ a k Примеры. Исследовать сходимость рядов с помощью критерия Коши. a) n 3. Используя очевидное неравенство k 3 < k 2, k >, и оценку (2), рассмотрим a n+ + + a n+p = 4

40 = (n + ) (n + p) < 3 (n + ) (n + p) < 2 < n n n + p n + p = n n + p. Итак, a n+ + + a n+p < n n + p < n < ɛ p N, [ ] если n > N, где N =. Ряд сходится согласно критерию ɛ Коши b) n (гармонический ряд). Рассмотрим n+p k = n n + p > k=n+ если p = n. Таким образом, p n + p = n 2n = 2, ɛ = 2 > 0, N, n > N, p = n : a n+ + + a n+p > ɛ, т.е. по критерию Коши ряд расходится cos(n!) c). n 3 Рассмотрим a n+ + + a n+p = cos(n + )! (n + ) cos(n + p)! (n + p) 3 42

41 cos(n + )! (n + ) cos(n + p)! (n + p) 3 (n + ) (n + p). 3 Далее можно полностью повторить оценки примера a). Поэтому получаем a n+ + + a n+p < n < ɛ n > N, p N, так что ряд сходится 2 + sin n d). n (n + ) Рассмотрим a n+ + + a n+p = 2 + sin(n + ) 2 + sin(n + p) = + + (n + ) (n + 2) (n + p) (n + p + ) > (n + ) (n + 2) + + (n + 2) (n + 2) + + = n n + p + > (n + p) (n + p + ) > (n + p + ) (n + p + ) = p n + p + = n 2n + > n 3n = 3, если p = n >. (Мы использовали очевидные соотношения и идею решения задачи b) ). Таким образом, 2 + sin k = 2 + sin k ɛ = 3 > 0, N, n > N, p = n : a n+ + + a n+p > ɛ, и по критерию Коши ряд расходится 43

42 e) n=2 {ln n} 3 n. Здесь запись {ln n} обозначает дробную часть числа ln n. Известно, что 0 {ln n} <. Оценим сумму a n+ + + a n+p = {ln(n + )} 3 n+ + + {ln(n + p)} 3 n+p < < n+ 3 < n+p n+ 3 + n+p 3 + = n+p+ = 3 ( + + ) = 3 n+ 3 n+ = 2 3, p N. 3 n Поэтому, очевидно, ɛ > 0 найдется такой номер N, что a n+ + + a n+p < ɛ n > N, p N, так что ряд сходится ln n f) n. 5/2 Поскольку ln n = o ( n /2) при n, то найдется такой номер N, что для n > N имеем ln n < (см. п. n/2.3.5). Тогда a n+ + + a n+p = ln(n + ) ln(n + p) + + (n + ) 5/2 (n + p) 5/2 = = ln(n + ) (n + ) /2 < ln(n + p) + + (n + ) 2 (n + p) /2 (n + ) (n + p) (n + p) 2 <

43 Далее, используя оценку (2) и повторяя рассуждения, приведенные в примере a), получаем сходимость данного ряда Некоторые свойства числовых рядов a) Ряды и a n, где m >, сходятся и a n расходятся одновременно. n=m Доказательство следует из того, что критерий Коши сходимости одного из этих рядов является одновременно критерием Коши сходимости и второго ряда Замечание. Утверждение a) означает, что отбрасывание, добавление или изменение любого конечного числа членов данного ряда не влияет на его сходимость (но может повлиять на сумму). b) Пусть c 0 фиксированное число. Тогда сходимость ряда эквивалентна сходимости ряда c a n. При a n этом если s сумма ряда (), то второй ряд имеет сумму c s. Перейдем к рассмотрению частичных сумм этих рядов, которые равны соответственно s n и c s n. Утверждение следует из того, что последовательности {s n } и {c s n } при c 0 сходятся и расходятся одновременно Замечание. Если c = 0, то второй ряд сходится всегда. c) Пусть ряды и a n сходятся и имеют суммы A и B соответственно. Тогда ряд b n 45

44 (a n + b n ) сходится и имеет сумму A + B. Обозначим частичные суммы данных рядов A n = a + a a n, B n = b + b b n. По условию A n = A, B n = B. n n Тогда частичные суммы третьего ряда имеют вид C n = (a + b ) + + (a n + b n ) = = (a + a a n ) + (b + b b n ) = A n + B n. По теореме о сумме сходящихся последовательностей существует C n = (A n + B n ) = A n + B n = A + B n n n n Вопросы и задачи. Исходя из определения, докажите сходимость следующих рядов и найдите их суммы: a) ; b) c) d) ; ; ( n ) n + + n ; 46

45 e) q sin α + q 2 sin 2α + + q n sin nα + ( q < ) ; f) q cos α + q 2 cos 2α + + q n cos nα + ( q < ). 2. Известно, что a n = 0. n a n? Обязан ли сходиться ряд 3. Докажите расходимость рядов, используя необходимое условие сходимости: n a) n + 2 ; b) ( ) 2n n n ; c) n + ln(n + ) ; d) 0, , , n 0, 00 + ; e) cos α + cos 2α + + cos nα + ; f) n! 2. n 4. Исследуйте сходимость рядов, используя критерий Коши: sin (n 5 ) cos (2n + 5) a) ; b) ; 2 n n 2 c) e) 5. Пусть ряд + cos 2 n n ; d) sin n n ; f) a n arctg n n (n + ) ; sin nx arctg ( n + 3) n 2 x R. сходится. Докажите, что полученный из него в результате группировки членов (без переста- 47

46 новок) ряд A n Докажите, что обратное неверно. также сходится и имеет ту же сумму Знакопостоянные ряды. Сходимость рядов с неотрицательными членами Знакопостоянные ряды Определение. Ряд называется знакопостоянным, если его члены a n не меняют знака n n 0. Заметим, что в соответствии со свойством a) п отбрасывание или изменение любого конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, поэтому можно считать, что a n сохраняют знаки n. В дальнейшем будем для определенности рассматривать числовой ряд с неотрицательными членами: p n, где p n 0 () (подчеркивая неотрицательность членов, для них используют обозначение p n вместо a n ). Все утверждения этого параграфа о сходимости остаются справедливыми для знакопостоянных рядов (если a n 0, то нужно произвести умножение на ; сходимость при этом сохраняется, см b) ). Теорема (критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд () c неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда его последовательность частичных сумм 48

47 ограничена сверху, т.е. существует такое число C, что s n C n. Необходимость. Пусть ряд () cходится. Это значит, что сходится последовательность {s n }, поэтому она ограничена. Достаточность. Из условия p n 0 вытекает, что последовательность {s n } монотонно не убывает. Так как по условию теоремы она ограничена сверху, {s n } сходится Признаки сравнения Теорема 2 (первый признак сравнения). Рассмотрим два ряда p n () и p n. (2) Если n 0 p n p n, то ) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (); 2) из расходимости ряда () следует расходимость (2). Обозначим последовательности частичных сумм рядов () и (2) соответственно {s n } и {s n}. Из условия p n p n имеем s n s n. ) Пусть ряд (2) сходится. По теореме существует такое число C, что s n C n. Но тогда и s n C, следовательно, сходится ряд (). 2) Пусть ряд () расходится. Из теоремы следует, что последовательность {s n } не ограничена сверху. Следовательно, не ограничена также и {s n}, поэтому ряд (2) расходится Замечание. Как уже отмечалось, изменение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, поэтому в условиях этой и нижеследующих теорем достаточно требовать выполнения неравенств вида p n 0 или p n p n и т.п. не для всех n, а n n 0, n 0 фиксированное число. 49

48 Следствие. Пусть p n 0, p n 0 и p n = o(p n), n. Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (). Если p n = o(p n), n, то имеет место неравенство 0 p n p n n n 0, откуда в силу теоремы 2 следует утверждение Теорема 3 (второй признак сравнения). Пусть p n 0, p n 0 и p n = O (p n), n (т.е. p n p n, n ). Тогда оба ряда (),(2) сходятся или расходятся одновременно. Из условия p n = O (p n), n, следует, что найдутся такой номер n 0 и такие постоянные M > 0, M 2 > 0, что p n M p n и одновременно p n M 2 p n n > n 0. С учетом неотрицательности p n, p n имеем 0 p n M p n, (3) 0 p n M 2 p n. (4) Остается применить теорему 2. Действительно, пусть сходится ряд (2). Тогда сходится ряд M p n и из неравенств (3) следует сходимость ряда (). Аналогично, имея сходимость (), с помощью неравенств (4) по теореме 2 получаем сходимость ряда (2) Следствия теоремы 3. Утверждение (признак сравнения в предельной форме). Пусть p n > 0, p n > 0 и существует p n n p n = L (L 0, L ). 50

49 Тогда оба ряда (),(2) сходятся или расходятся одновременно. n p n p n n В предположении существования конечного предела = L, где L 0, из этого условия следует p n p n, Важным частным случаем (при L = ) утверждения является Утверждение 2. Пусть p n p n, n. Тогда ряды () и (2) сходятся или расходятся одновременно. Замечание. Обратите внимание на то, что все признаки сравнения сформулированы для рядов с неотрицательными членами. Ниже приведен пример (см h)), показывающий, что для знакопеременного ряда утверждение 2 неприменимо. Примеры использования признаков сравнения. Применение теорем 2, 3, а также их следствий к исследованию сходимости сводится к сравнению членов данного ряда с членами уже известных рядов. Этими рядами чаще всего являются сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии q n, q <, и обобщенный гармонический ряд n p (ряд Дирихле).. Исследуем сходимость обобщенного гармонического ряда 5 n p (5)

50 для a) p > 2 ; b) p <. (Сходимость ряда (5) для < p < 2 будет показана ниже, см. 2.3., пример a)). Очевидно, n при p 2 ; p n 2 n p n при p. Выше было доказано, что ряд n 2 сходится (2.., при- мер d)), а ряд расходится (2..3, пример b)). Поэтому n согласно первому признаку сравнения ряд (5) при p > 2 сходится, а при p < расходится 2. Исследовать сходимость следующих рядов: a) ln n ; b) 2 n sin 3 ; n c) n=2 ln ( + ) ; d) n n=3 n n 2 + tg π n. a) Поскольку 0 < ln n < n, n 2, то ln n > n. Так как гармонический ряд расходится, то по первому n признаку сравнения расходится и данный ряд b) Отметим, что sin 3 n > 0 n. В силу известного неравенства 0 sin α α (α 0) имеем 2 n sin 3 n 2n ( ) n 2 3 =. n 3 52

51 Так как ряд сходящимся ( ) n 2 сходится, наш ряд также является 3 ( c) При n ln + ) > 0. Имеем n ( ln + ) n n, n. Поскольку расходится, данный ряд также расходится n в силу утверждения 2 d) Очевидно, члены этого ряда положительны. При n справедливы асимптотические соотношения tg π n π n ; n n 2 + tg π n n π n = π n. 2 Исходный ряд сходится в силу признака сравнения, потому что сходится ряд n Признаки Даламбера и Коши Теорема 4 (признак Даламбера). ) Пусть члены ряда () p n, где p n > 0, удовлетворяют неравенству p n+ q < p n n n 0. (6) Тогда ряд () сходится. 2) Если p n+ p n, n n 0, то ряд () расходится. 53

52 ) Заметим, что, не уменьшая общности, можно считать n 0 =. Тогда из неравенства (6) следует Так как ряд p n+ q p n q 2 p n q n p. q n при 0 < q < сходится, то сходится ряд p q n, следовательно, сходится () в силу теоремы 2. 2) Если p n+ p n, т.е. p n+ p n > 0 n, то не выполнено необходимое условие сходимости p n = 0, поэтому ряд () n расходится Для практических целей более удобна Теорема 5 (признак Даламбера в предельной форме). Пусть для членов ряда () существует предел p n+ = L. Тогда n p n ) при L < ряд сходится; 2) при L > ряд расходится. Если L <, то найдется такое число ɛ > 0, что L = 2ɛ, т.е. L + ɛ = ɛ. По определению предела для этого ɛ существует такой номер N, что n > N L ɛ < p n+ p n < L + ɛ = ɛ. (7) Число ɛ играет роль q < из неравенства (6). В силу теоремы 4 ряд сходится. Если L >, то существует такое число ɛ > 0, что L = + ɛ, т.е. L ɛ =. Тогда на основании левого неравенства 54

53 из (7) имеем: p n+ p n > L ɛ = n > N, откуда по теореме 4 получаем расходимость ряда () Замечания. ) В теореме 4 условие p n+ заменить на p n+ p n <. p n В самом деле, для гармонического ряда однако этот ряд расходится p n+ p n = n n + <, q < нельзя n, имеем 2) В теореме 5 при L = о сходимости ряда () ничего нельзя сказать. Действительно, легко проверить, что = p n для рядов n и, первый из которых сходится, а n2 второй расходится n p n+ Теорема 6 (признак Коши). Рассмотрим ряд с неотрицательными членами () p n, p n 0. ) Если n p n q < n, (8) то ряд сходится. 2) Если n p n n, (9) то ряд расходится. 55

54 ) Из неравенства (8) следует, что p n q n. По признаку сравнения получаем сходимость ряда (), так как ряд q n, 0 q <, сходится. 2) Из неравенства (9) вытекает p n n, т.е. для ряда () не выполнено необходимое условие сходимости 5. Теорема 7 (признак Коши в предельной форме). Если для членов ряда () существует n p n = L, n то ) при L < ряд сходится; 2) при L > ряд расходится. Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству теоремы Замечания. ) Как и в случае признака Даламбера, условие (8) теоремы 6 нельзя заменить на n p n <. 2) В случае L = признак Коши в предельной форме не решает вопроса о сходимости ряда. Теорема 8 (усиленный признак Коши). Пусть верхний предел n p n = L, n тогда ) при L < ряд () сходится; 2) при L > ряд расходится. Заметим, что верхний предел n p n, возможно бесконечный, существует всегда. n ) Пусть L <. Поскольку верхний предел наибольшая из предельных точек последовательности, то ɛ > 0 найдется такое число N, что n > N выполнено неравенство n pn < L + ɛ. Выбирая ɛ = L, имеем q = L + ɛ = + L <. 2 2 Поэтому утверждение следует из п. ) теоремы 6. 56

55 2) Пусть L >. Рассмотрим монотонно сходящуюся к нулю последовательность чисел ɛ n = L. Из определения n верхнего предела следует, что n N существует такой член рассматриваемой последовательности { k p k } с номером k n, что kn p kn > L ɛ n. Так как при n > справедливо неравенство L ɛ n > L ɛ =, то p kn >. Поэтому для последовательности членов ряда не выполнено необходимое условие сходимости p k = 0, значит, ряд () расходится k Примеры применения признаков Даламбера и Коши. Исследовать следующие ряды на сходимость: x n a) n!, x > 0 ; b) n (log n=2 2 n) ; n 3 n n! c) n ; d) ( ) n 4n + n n 2 ; 7 3n + 2 ( ) n + 3 n ( ( ) n) n e) ; f). 2 n+ 2 n + 3 n a) Находим p n+ n p n x n+ = n (n + )! n! x = x n n n + = 0 <, следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера b) Так как n n =, то n n n log 2 n = 0 <, n pn = n n поэтому ряд сходится в силу признака Коши 57

56 c) Имеем p n+ n p n 3 n+ (n + )! n n = n (n + ) n+ 3 n n! = 3 n n n (n + ) = n = 3 n ( + n )n = 3 e >, следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера d) Вычисляем n n pn = n ( n n) 7 ( ) 4n = 3n >. Итак, ряд расходится по признаку Коши [ p n+ ( ) n+ + 3 ] 2 n+ e) Рассмотрим = = p n 2 n+2 [( ) n + 3] { = 2 ( )n+ + 3, n = 2k +, ( ) n + 3 = 4, n = 2k. { } pn+ Последовательность имеет две предельные точки, p n p n+ поэтому не существует и признак Даламбера в предельной форме не применим. Условия теоремы 4 также не вы- n p n полнены, поэтому признак Даламбера не дает результата. В то же время существует n n pn = 2 n ( )n + 3 n 2 Итак, по признаку Коши ряд сходится = 2 <. 58

57 f) Заметив, что p n > 0, найдем n = n n pn = n n n 0 ( 3 + ( ) n) n 2n + 3 n = n ( n ) n + ( ) = <. 2 n 3 3 Следовательно, по усиленному признаку Коши ряд сходится Замечание. Из доказательства теорем 4, 6 видно, что признаки Даламбера и Коши как средство исследования сходимости рядов примерно одинаковы по точности (сходимость в обоих случаях получается из сравнения с членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а расходимость по причине невыполнения необходимого условия). Однако признак Коши является несколько более сильным, чем признак Даламбера, в следующем смысле: когда признак Даламбера дает результат, тот же результат дает и признак Коши. Если же признак Даламбера не дает ответа о сходимости (или расходимости) ряда, признак Коши такой ответ может дать (см. пример e) ) Вопросы и задачи. Пусть a n b n n N, ряд ли сходиться ряд a n? b n сходится. Обязан 2. Приведите примеры, доказывающие утверждения замечаний ), 2) к теоремам 6 и Докажите усиленный признак Даламбера: 59

58 Если для членов ряда (), где p n > 0, выполнено неравенство <, то ряд () сходится. p n+ n p n 4. Докажите, что ряд a n, a n 0, сходится тогда и только тогда, когда сходится полученный из него в результате произвольной группировки членов ряд A n. (Сравните с утверждением задачи 5 п. 2..5). 5. Докажите, что из сходимости ряда p n, p n > 0, следует сходимость ряда pn p n+. 6. Следует ли из сходимости ряда сходимость ряда p n? pn p n+, p n > 0, 7. Исследуйте сходимость следующих рядов, используя различные признаки: ( ) n a) 5 ; b) n sin n x, x ; n + c) ln n2 + n ; d) ( ) n 2 n + 2 ; n + 3 e) n 0 3 n + 4 ; f) n sin 8 (2n 3) n (3n + ) ; 60

59 g) i) k) n! 4 (3n 2) ; h) (2n)! (n!) ; j) 2 (2n)! (3n)! (n!) (4n)! ; l) ln n + 2 cos(n!) n 3 + ln 3 ; n arctg(n 4 ) 2n + + 3n ; sin ( n + n) 2n Знакопостоянные ряды. (Продолжение) Интегральный признак Коши-Маклорена Теорема. Пусть функция f(x) 0 и не возрастает при x > m, где m некоторое натуральное число. Тогда числовой ряд f(k) = f(m) + f(m + ) + () k=m сходится в том и только том случае, когда сходится последовательность {a n }, где a n = n m f(x)dx, т.е. существует + n конечный предел f(x)dx = f(x)dx n m m (другими словами: сходится несобственный интеграл первого рода + m f(x)dx ). Пусть k любой номер, k m + ; x [k, k] ; по условию теоремы f(k) f(x) f(k ). 6

60 Поскольку функция f(x) ограничена и монотонна, она интегрируема на сегменте [k ; k] и или k k f(k)dx f(k) k k k k f(x)dx k k f(x)dx f(k ). f(k )dx, Выпишем последнее неравенство для всех значений k от m+ до n : f(m + ) f(m + 2) m+ m m+2 m+ f(x)dx f(m), f(x)dx f(m + ), f(n) n n f(x)dx f(n ). Складывая почленно эти неравенства, получаем n k=m+ f(k) n m f(x)dx n k=m Обозначив частичную сумму ряда () n s n = f(k), f(k) 0, имеем k=m f(k). s n f(m) a n s n. (2) Из определения a n и условия f(x) 0 следует, что последовательность {a n } является неубывающей. Поэтому для ее сходимости необходима и достаточна ее ограниченность. 62

61 Пусть ряд () сходится. Тогда {s n } ограничена, следовательно, из (2) получаем ограниченность, а значит и сходимость {a n }. C другой стороны, из (2) имеем s n a n + f(m). Если сходится {a n }, то эта последовательность ограничена. В силу последнего неравенства ограниченной является и {s n }, следовательно, по теореме п ряд () сходится Примеры применения интегрального признака. Исследовать следующие ряды на сходимость: a) n ; b) p n ln n. a) Если p 0, ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. n=2 при x. Оче- Пусть p > 0. Рассмотрим f(x) = x p видно, f(x) > 0 и убывает. Несобственный интеграл + xpdx сходится при p > и расходится при p. Итак, с помощью интегрального признака получен окончательный результат: Ряд n p сходится при p >, расходится при p b) Рассмотрим f(x) = f(x) > 0, убывает. x ln x при x 2. Функция 63

62 Интеграл { } + dx t = ln x + 2 x ln x = dt = dx dt = ln 2 t x расходится, следовательно, данный ряд также расходится Признак Гаусса. Существуют признаки сходимости рядов с положительными членами более сильные, чем признаки Даламбера и Коши. Таковы, например, признаки Гаусса, Раабе. Приведем один из них признак Гаусса. Его доказательству предшествует Лемма. Пусть для последовательности с членами p n > 0 имеет место асимптотическое равенство при n p n = + µ ( ) p n+ n + O. (3) n 2 Тогда найдется такое число C 0, что p n C n µ, n. Возьмем последовательность положительных чисел a n = p n /n µ = n µ p n. Используя (3) и биномиальное разложение (см. п..4), получаем при n ( ) µ ( a n+ n + = pn+ = + µ ( + a n n p n n) µ ( )) n + O = n 2 = ( + µn ( )) n + O ( µn ( )) ( ) n + O = + O. 2 2 Рассмотрим для достаточно больших номеров m и n > m отношение a n = a m+ am+2 a n. a m a m a m+ a n 64 n 2

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C.

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C. ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие является продолжением [7]. Оно создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу [ 6]. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

10. Несобственный интеграл

10. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл ТЕОРИЯ При определении интеграла Римана от участвующих в нем объектов, а именно промежутка интегрирования и заданной на нем функции, предполагались выполненными следующие условия:

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций 3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций Рассмотрим два знака менительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные знаки имеют

Подробнее

16. Формула Тейлора (продолжение)

16. Формула Тейлора (продолжение) 6. Формула Тейлора (продолжение Докажем единственность представления из теоремы 5.7. Предложение 6.. Пусть f : (p; q R функция класса C n, и пусть a (p; q. Предположим, что f(x = c 0 + c (x a + : : : +

Подробнее

Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.

Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Признак Абеля сходимости знакопроизвольных рядов.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Курс лекций по математическому анализу

Курс лекций по математическому анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 2 Издание выходит с 26 года С. А. Теляковский Курс лекций по математическому анализу Семестр III Издание

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ С ( k, s) МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СМЕШАННОЙ КВАЗИНОРМОЙ Б. В. Симонов

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ С ( k, s) МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СМЕШАННОЙ КВАЗИНОРМОЙ Б. В. Симонов Сибирский математический журнал Май июнь, 00 Том 5, 3 УДК 575 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ С k, s МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СМЕШАННОЙ КВАЗИНОРМОЙ Б В Симонов Аннотация: Оцениваются суммы

Подробнее

11. Несобственный интеграл

11. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл.. Говоря в предыдущем параграфе об определенном интеграле, мы рассматривали ограниченные функции, заданные на ограниченных замкнутых промежутках числовой прямой (если хотя бы одно

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;...

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;... ЛЕКЦИЯ N25. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов..числовые ряды 2.Основные теоремы....

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы 7 Занятие Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода Понятие определенного интеграла f() от ограниченной функции по конечному отрезку [; b] распространяют на случаи, когда

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

УДК 517(075.8) ББК ISBN

УДК 517(075.8) ББК ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» В.Н. Горбузов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Учебное

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2014)

Лекция 1 (13 января 2014) Лекция (3 января 24). Фундаментальные последовательности.. Философия. В прошлом семестре были рассказаны различные схемы введения определения вещественных чисел. Все они строились по следующей основной

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВОЕННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ВВС «ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н. Е. ЖУКОВСКОГО и Ю. А. ГАГАРИНА» Н. Г. АФЕНДИКОВА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИМЕРЫ

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее