ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ"

Транскрипт

1 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанская государственная академия ветеринарной медицины имени НЭБаумана» ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Методические указания по высшей математике для практических и самостоятельных занятий студентов (направления подготовки «Стандартизация и метрология» «Зоотехния» «Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции» «Менеджмент» «Ветеринарно-санитарная экспертиза» квалификация бакалавр) Казань

2 УДК () ББК +p М - Печатается по решению Ученого совета факультета биотехнологии и стандартизации ФГБОУ ВПО КГАВМ от марта г протокол Рецензенты: зав кафедрой метрологии и управления качеством ФГОУ ВПО КГАВМ доктор тн наук профессор Шигабиев ТН ст преподаватель кафедры информационных систем института вычислительной математики и информационных технологий КФУ к ф-м н Хайруллина ЛЭ Матвеева СГ М- Практика вычисления пределов Методические указания по высшей математике для практических и самостоятельных занятий студентов (направления подготовки «Стандартизация и метрология» «Зоотехния» «Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции» «Менеджмент» «Ветеринарно-санитарная экспертиза»квалификация бакалавр) / СГМатвеева СГМингазова Казань: ФГБОУ ВПО КГАВМ с Подготовлено на кафедре физики ФГБОУ ВПО КГАВМ УДК () ББК +p Матвеева СГ Мингазова СГ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанская государственная академия ветеринарной медицины имени НЭ Баумана»

3 СОДЕРЖАНИЕ Введение Понятия последовательности и предела последовательности Понятие предела функции Вычисление пределов Непосредственное вычисление пределов Раскрытие неопределенностей Неопределенность Неопределенность Неопределенности Показательно-степенная неопределенность Смешанные задачи на вычисление пределов Сравнение бесконечно малых Непрерывность и точки разрыва функции Правило Лопиталя Асимптоты Расчетное задание Контрольные вопросы Контрольный тест по теме «Пределы» Рекомендуемая литература

4 ВВЕДЕНИЕ Настоящие методические указания предназначены для студентов очной и заочной форм обучения изучающих математику в соответствии с учебными программами и планами разработанными на основе стандартов высшего профессионального образования третьего поколения по направлению подготовки бакалавр Методические указания посвящены одной из наиболее важных и сложных тем математического анализа практике вычисления пределов они содержат основные теоретические сведения: понятия определения и теоремы необходимые при вычислении пределов исследовании функций на непрерывность и наличие точек разрыва основные виды неопределенностей и способы их раскрытия в конкретных примерах В методических указаниях приведены контрольные вопросы расчетные задания и тематический тест указана основная и дополнительная литература позволяющая глубже изучить данную тему Представление излагаемого материала в виде схем помещенных в начале методических указаний должно облегчить студентам усвоение темы «Пределы» и существенно помочь им при выборе способа решения практических заданий

5 Способы вычисления пределов Вычиcление пределов f ( ) A R D( f ) D( f ) Непосредственное вычисление Неопределенность Алгебраические преобразования Умножение на сопряженное выражение Замена переменной si или si Деление почленно числителя и знаменателя на в высшей степени или замена или e e Путем преобразований приводятся к виду или Исследование функций на непрерывность Функция y f ( ) в точке ( R D( y ) или D( y )) Непрерывна Имеет разрыв I рода Имеет разрыв II рода Если существуют f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) и f ( ) f ( ) f ( ) Если существуют f ( ) f ( ) и они конечны Если f ( ) или f ( ) не существуют (равны ) Если f ( ) f ( ) f ( ) точка устранимого разрыва Если f ( ) f ( ) точка скачка

6 ПОНЯТИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Функция натурального аргумента заданная на множестве N называется числовой последовательностью f () и обозначается Число называется пределом последовательности если для всякого сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число N что при N Это обозначается следующим образом: () Пример Пользуясь определением предела последовательности доказать что По определению число называется пределом числовой последовательности если N ( ) : N( ) Найдем при каких справедливо неравенство те решим это неравенство относительно Неравенство имеет решение N( ) Следовательно предел числовой последовательности Решить следующие примеры Пользуясь определением предела последовательности доказать что

7 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ Число A называется пределом функции f () при если для любого сколь угодно малого найдется такое что f ( ) A при Это записывают так: f ( ) A () Аналогично f ( ) A если при N Условно записывают f ( ) если f ( ) M при где M произвольное положительное число В этом случае функция f () называется бесконечно большой при Если ( ) то функция () называется бесконечно малой при Если и то употребляют запись если и запись Числа f ( ) f ( ) и f ( ) f ( ) () называются соответственно левым и правым пределом функции f ( ) в точке Для существования предела функции f ( ) при необходимо и достаточно чтобы f ( ) f ( ) Пример Доказать что Число называется пределом функции f ( ) в точке если

8 ) ( : ) ( Для того чтобы найти ) ( сначала найдем множество M такое что M те решим неравенство Затем найдем ) ( такое что ) ( M Решаем неравенство: (тк в определении предела функции в точке те то можно сократить дробь на множитель ) Таким образом M Следовательно если то ) ( те Решить следующие примеры Пользуясь определением предела функции в точке доказать равенства

9 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ Непосредственное вычисление пределов основано на определении непрерывности функции в точке на определении предела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции Замечание Чаще всего в примерах встречаются f ( ) и f ( ) Если некоторая формула верна для всех пределов то в дальнейшем пишем f ( ) Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах Если существуют u ( ) и v ( ) где u( ) функции аргумента то y и v( ) y некоторые ) ( u v ) u v ) ( uv) u v u u ) если u v ) (при v ) v v то ( u v) A ) если v то ) если u v то (uv ) v (здесь A cost ) A ) если v то v v ) u если v v (здесь A cost ) v ) u если v v Утверждение Значение предела в точке непрерывности функции равно значению функции в этой точке То есть для основных элементарных функций опираясь на их известные свойства предел в любой точке из области определения кроме граничных можно вычислять как частное значение соответствующей функции в этих точках

10 Пример Найти rctg rctg rctg rctg Так как функция арктангенса непрерывна на всей области определения то она непрерывна и в точке Следовательно значение предела равно значению функции в этой точке: РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Более сложные случаи при решении задач на пределы если подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям символически обозначаемым как Нахождение предела в этом случае называется раскрытием неопределенности Рассмотрим элементарные приемы раскрытия неопределенностей НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ Для раскрытия неопределенности вида многочленов существует два способа: заданной отношением двух ) каждый член числителя и знаменателя необходимо разделить на в наивысшей степени ) применить метод замены переменной: (при ) Пример Найти способ: дробей и стремится к нулю так как при каждая из

11 способ: Решить следующие примеры НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ а) Дробно-рациональные функции В этом случае: в числителе и знаменателе выделяется множитель ) ( и рассматривается выражение получаемое после сокращения на этот множитель Пример Найти Применим способ группировки слагаемых в числителе и знаменателе дроби: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( б) Дробно-иррациональные функции Для избавления от неопределенности в этом случае существует два способа: ) умножение числителя и знаменателя дроби на множитель сопряженный множителю содержащему иррациональность ) метод замены переменной

12 В результате таких преобразований удается свести данный случай к уже рассмотренному в предыдущем пункте Пример Найти Пример Найти t t t t t t t ( t ) ( t ) t t ( t ) ( t t t t t ) в) Пределы от функций в которых участвуют тригонометрические выражения обычно сводятся к первому замечательному пределу Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге выраженной в радианах называется первым замечательным пределом Этот предел равен единице: cos Пример Найти Применяя формулу для косинуса двойного угла: si или () si cos si cos si находим Иногда с помощью тригонометрических преобразований неопределенность приводится к непосредственному вычислению предела Пример Найти tg si tg si si si cos si cos

13 Решить следующие примеры ( ) cos si si si si tg tg si m si cos cos НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Неопределенность вида можно привести к случаю или путем преобразования функции к виду дроби Пример Найти Рассматривая данную функцию как дробную со знаменателем равным единице избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби на : Неопределенность формально легко сводится к неопределенности : пусть f ( ) g( ) при Тогда g( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) и получена неопределенность g( ) Пример Найти ( ) tg

14 Преобразуем ее к виду дроби числитель и знаменатель которой одновременно стремиться к нулю ( )tg ( )si si cos cos si ( ) si Этот пример можно решать другим путем заменив переменную Полагая получим cos ( ) tg tg ctg si Решить следующие примеры ( ) tg cos si si si tg tg tg cos l ( e ) ctg si ctg rcctg rctg ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ Показательно-степенную неопределенность непосредственно ко второму замечательному пределу («типа e») часто сводят

15 Предел последовательности замечательным пределом Этот предел равен числу е: при называется вторым e () Положив получим e это тоже второй замечательный предел Пример Найти e Решить следующие примеры СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ При решении примеров полезно иметь в виду также следующие равенства: Решить следующие примеры l( ) ( ) l si m m si( ) l( )

16 cos ( ) e si si СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ Пусть () и () бесконечно малые при Если то говорят что является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с В этом случае пишут o( ) Если m где m число отличное от нуля то говорят что и бесконечно малые одного и того же порядка В частности если то бесконечно малые и называются эквивалентными Запись ~ означает что и эквивалентные бесконечно малые Если то это означает что Таким образом является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с те o( ) k Если и бесконечно малые одного и того же порядка причем k то говорят что бесконечно малая имеет порядок k по сравнению с Отметим некоторые свойства бесконечно малых: Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями те если то o( ) и o( ) Бесконечно малые и эквивалентны тогда и только тогда когда их разность является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с и те если o( ) и o( ) то ~ Если отношение двух бесконечно малых имеет предел то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечной малой те если m ~ ~ то m

17 Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых: если то Пример Пусть t t t t Имеем t t t t t si ~ tg ~ rctg ~ l( ) ~ t бесконечно малая Сравнить бесконечно малые t t t число отличное от нуля то и порядка Так как предел отношения и есть бесконечно малые одного и того же l( si ) si si Пример Здесь числитель и tg знаменатель дроби заменили эквивалентными бесконечными малыми: l( si ) ~ si tg ~ Решить следующие примеры Определить порядок бесконечно малых: ) cos ) tg si относительно бесконечно малой Показать на чертеже что при уменьшении угла вдвое величина величина cos уменьшается приблизительно в четыре раза а tg si приблизительно в восемь раз Если то какие из следующих бесконечно малых: ) ) ) ) e ) и эквивалентны? tg имеют порядок высший чем низший чем тот же что и Сравнить бесконечно малые: ) t si t и t tgt если t ) и l если Определить порядки бесконечно малых: ) si ) si ) относительно бесконечно малой Найти следующие пределы: si tg si rctg

18 si l ( ) l l l cos e tg si tg si rctg tg rcsi si tgb si si si НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ Функция y f () называется непрерывной в точке если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента малое приращение функции f ( ) f ( ) y те если y = f ( ) f ( ) Этому определению равносильно следующее: соответствует бесконечно Функция f () называется непрерывной в точке если при предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке те если f ( ) f ( ) Для непрерывности функции f () в точке необходимо и достаточно выполнение следующих условий: ) функция должна быть определена в некотором интервале содержащем точку (те в самой точке и вблизи этой точки) ) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы f ( ) f ( ) ) эти односторонние пределы должны быть равны f () Точка принадлежащая области определения фунции или являющаяся граничной для этой области называется точкой разрыва если в этой точке нарушается условие непрерывности функции

19 Если сущетсвуют конечные пределы f ( ) f ( ) и f ( ) f ( ) причем не все три числа f ( ) f ( ) f ( ) равны между собой то назвается точкой разрыва I рода Точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда f ( ) f ( ) f ( ) те когда левый и правый пределы функции в точке равны между собой но не равны значению функции в этой точке) и на точки скачка (когда f ( ) f ( ) те когда левый и правый пределы функции в точке различны) в последнем случае разность f ( ) f ( ) называется скачком функции в точке Точки разрыва не являющиеся точками разрыва I рода называются точками разрыва II рода В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов Пример Функция y в точке имеет точку разрыва II рода так как функция при не имеет ни левого ни правого конечного предела те (см рис ) Рис Пример Найти точки разрыва функции ( ) Неэлементарная функция () определена для всех значений Она может иметь разрвы в точках и где меняется ее аналитическое выражение Во всех остальных точках своей области определения функция () непрерывна посколько каждая из формул которыми она задана определет собой элементарную функцию непрерывную в своем интервале изменения аргумента Исследуем точки и : а) ( ) ( ) ( )

20 Согласно условию значение функции () в точке определяется первой формулой ( ) Следовательно в точке выполняются все условия непрерывности: функция определена в окрестности точки и ( ) ( ) () Поэтому в точке функция () непрерывна б) ( ) ( ) ( ) ( ) Здесь левый и правый пределы функции конечны но не одинаковы те не выполняется -е условие непрерывности Следовательно является точкой разрыва I рода точкой скачка Скачок функции в этой точке равен ( ) ( ) ( ) (см рис) Рис Решить следующие примеры Найти точки разрыва установить их род и построить графики функций y f (): y y ( )( ) y y si y y y e y y y y tg y si y ( ) y ( ) y

21 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ Неопределенность Первое правило Лопиталя Если f то f f когда последний существует и Неопределенность Второе правило Лопиталя Если f то f f когда последний существует и Неопределенности сводятся к неопределенностям и путем алгебраических преобразований В случае когда и отношение производных приводит в «неопределенностям» вида или снова применяют правило Лопиталя Пример e e Пример e e (В этом примере правило Лопиталя применили два раза) e Решить следующие примеры si l tg tg si cos e l si e cos ( e ) ctg rctg si si ( ) e l( ) tg cos l

22 АСИМПТОТЫ Асимптотой кривой называется прямая к которой неограниченно приближается точка кривой при ее удалении по кривой в бесконечность Прямая является вертикальной асимптотой кривой y f () если f ( ) или f ( ) Прямая y b является горизонтальной асимптотой кривой y f () если f ( ) b или f ( ) b Прямая y k b является наклонной асимптотой кривой y f () если существуют пределы k f ( ) b f ( ) k или k b f ( ) k f ( ) Если в правой части уравнения кривой y f () можно выделить линейную часть y f ( ) k b ( ) так что оставшаяся часть ( ) когда и то прямая y k b является наклонной асимптотой Пример Кривая y имеет наклонную асимптоту y (и вертикальную асимптоту ) Пример Найти асимптоты кривой y ( ) Функция определена в интервалах ( ) и ( ) Так как ( ) то прямая является вертикальной асимптотой кривой Горизонтальных асимптот кривая не имеет так как ( ) и ( ) не являются конечными величинами Определим существуют ли наклонные асимптоты Находим: f ( ) ) k ( ) b f ( ) k ( )

23 ( ) ( ) ( ) Таким образом существует правая наклонная асимптота y f ( ) ) k ( ) ( ) (разделили числитель и знаменатель на положительную величину ) те k b f ( ) k ( ) ) ( ) ( ) ( ) Итак существует левая наклонная асимптота y (см рис) Решить следующие задачи Найти асимптоты кривых и построить кривые: y y y y y y y y rctg y y y y y y y

24 РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ I Пользуясь определением предела последовательности доказать что II Пользуясь определением предела функции в точке доказать равенства

25 III Найти пределы функций с помощью преобразований и правила Лопиталя а) б) в) г) д) si а) б) в) г) д) si а) б) ( ) в) г) cos д) cos а) б) ( ) в) cos г) д) а) б) ( ) в) г) si д) а) б) ( ) в)

26 г) cos д) а) б) в) г) cos si д) а) б) в) г) si д) а) б) в) г) cos д) а) б) в) г) si cos д) а) б) в) г) tg д) а) б) в) г) si д) а) б) в) г) cos д) а) б) в)

27 г) si д) а) б) в) г) cos д) а) б) в) г) cos cos д) а) б) в) г) cos д) а) б) в) г) si д) а) б) ) ( в) г) cos д) а) б) в) г) cos si д) а) б) в) г) si д) а) б) в)

28 г) cos д) а) б) в) г) si д) а) б) в) г) cos si д) а) б) в) г) cos д) IV Найти точки разрыва установить их род и построить графики функций ) ( f y : y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

29 V Найти асимптоты и построить графики функций y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

30 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Понятия числовой последовательности и ее предела Теорема об ограниченности сходящейся последовательности Понятие предела функции в точке Понятие функции ограниченной в окрестности точки Теорема об ограниченности функции имеющей предел cos Теорема о переходе к пределу в неравенствах Теорема о пределе промежуточной функции Понятие непрерывности функции Доказать непрерывность функции si Первый замечательный предел Понятие бесконечно малой функции Теорема о связи между функцией ее пределом и бесконечно малой функцию Теорема о сумме бесконечно малых функций Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную Теорема об отношений бесконечно малой функции к функции имеющей предел отличной от нуля Теорема о пределе суммы Теорема о пределе произведения Теорема о пределе частного Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции Непрерывность суммы произведения и частного Непрерывность сложной функции Понятие бесконечно большой функции Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно малыми Сравнение бесконечно малых функций Эквивалентные бесконечно малые функции Теорема о замене бесконечно малых функций эквивалентными Условие эквивалентности бесконечно малых функций

31 КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО ТЕМЕ «ПРЕДЕЛЫ» Предел si cos представляет собой ) неопределённость вида ) неопределённость вида ) неопределённость вида ) случай когда предел вычисляется непосредственно Вторым замечательным пределом называется предел вида ) e ) e ) ) Число А называется пределом функции y f ( ) в точке если для любого положительного бесконечно малого числа найдется такое бесконечно малое положительное число что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство ) f ( ) A ) f ( ) A ) f ( ) A ) f ( ) A Точка к которой сходится последовательность значений независимой переменной называется точкой ) перехода ) возврата ) накопления ) перехода В какой из формул эквивалентностей допущена ошибка? ) si ) cos ) rcsi ) l( ) Предел равен ) ) ) ) Правило Лопиталя при вычислении пределов имеет следующий вид ) ) f ( ) f ( ) g( g( ) ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) g( ) ) g( ) f ( ) ) f ( ) f ( ) g( ) g( )

32 Предел равен ) ) ) ) Первым замечательным пределом называется предел вида si si ) e ) Предел равен si ) si ) ) ) ) ) Какое из приведенных утверждений не является верным при условии что U и V ( R ) существуют ) ( U V ) U V ) ( U V ) U V ) ( U V ) U V ) U V U V Точка для функции y является точкой ) непрерывности ) разрыва второго рода ) разрыва первого рода ) возврата Предел t t t равен ) ) ) ) Предел представляет собой ) неопределённость вида ) неопределённость вида ) неопределённость вида ) неопределённость вида если х Точка для функции y х если является точкой если х ) непрерывности ) разрыва второго рода

33 ) разрыва первого рода ) возврата Предел равен ) e ) ) ) Бесконечно малые функции и называются эквивалентными если ) ) ) ) если х В точке функция y х если если х ) не имеет разрыва ) имеет скачок равный единицам ) имеет скачок равный ) имеет скачок равный единицам Предел si равен ) ) ) ) В какой из формул эквивалентностей допущена ошибка? ) l ) k k ) rctg ) l( ) Функция f () называется непрерывной в точке если ) она определена в самой точке и вблизи этой точки имеет одинаковые односторонние пределы f ( ) f ( ) и эти пределы равны f () ) она определена в самой точке имеет одинаковые односторонние пределы f ( ) f ( ) но эти пределы не равны f () ) она определена вблизи этой точки имеет разные односторонние пределы f ( ) f ( ) один из которых равен f () ) она определена в самой точке и вблизи этой точки имеет разные односторонние пределы f ( ) f ( ) один из которых равен f ()

34 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА а) основная литература: Баврин ИИ Высшая математика: учебник / ИИ Баврин ВЛ Матросов М: Владос с Зайцев ИА Высшая математика: учебник / ИА Зайцев -е изд испр М: Дрофа с Запорожец ГИ Руководство к решению задач по математическому анализу / ГИ Запорожец -е изд М: Высшая школа с б) дополнительная литература: Данко ПЕ Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб пособие / ПЕ Данко АГ Попов ТЯ Кожевникова М: Оникс с Зимина ОВ Высшая математика / Под ред АИ Кириллова -е изд испр М: ФИЗМАТЛИТ с Кудрявцев ВА Краткий курс высшей математики: учеб пособие / ВА Кудрявцев БП Демидович М: АСТ с Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб пособие для втузов / ЛАКузнецов -е изд доп М: Высшая школа с: ил Минорский КП Сборник задач по высшей математике: учеб пособие / КП Минорский -е изд М: Физматлит с

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

«Пределы, непрерывность. Производные»

«Пределы, непрерывность. Производные» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности 76 «Промышленное и гражданское строительство» семестр Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Математический анализ Конспект лекций

Математический анализ Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Математический анализ в вопросах и задачах

Математический анализ в вопросах и задачах ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Математический

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

7. Производные основных элементарных функций. Таблица производных

7. Производные основных элементарных функций. Таблица производных 7 Производные основных элементарных функций Таблица производных Производная показательной функции y, 0, ( ) ln, R По определению производной (определение ) имеем ( ) lim 0 = ( ) e ( Δ ln ) lim lim 0 0

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Мариуполь 2009 УДК 517.2

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет-упи» РМ Минькова Дифференциальное исчисление функции одной переменной Учебно-методическое пособие Научный

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: по направлению подготовки: факультеты: кафедра: курс: Трудоёмкость: семестры: лекции: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА НА Кулагина МВ Черепанова ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ -е издание, исправленное Новосибирск 04 УДК 5 ББК К90 Рецензенты БП Зеленцов д-р техн наук, профессор

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра высшей математики УТВЕРЖДАЮ

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА вступительных испытаний по математике

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА вступительных испытаний по математике МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «УРАЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ» ФАКУЛЬТЕТ БИОТЕХНОЛОГИИ КАФЕДРА ФИЗИКИ, БИОФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ РАБОЧАЯ

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее