Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина"

Транскрипт

1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания Москва

2 Предел числовой последовательности Определение.Бесконечной числовой последовательностью называется функция a f : натуральных чисел. =, заданная на множестве Обозначается она следующим образом: { a }. + 4 : ;;;4;... ; ; ; ;...; + ; Пример. { } Определение. Число a называется пределом числовой последовательности{ a }, если для любого сколь угодно малого ε > найдется такой номер N N( ε ) неравенство: a a < ε. =, что для любого > N выполняется Запишем определение, используя логические символы: ( ε ε ε) ( ) : ( : ) a = a = > N = N > N a a <, где знак := равенство по определению. Рассмотрим неравенство из определения: a a < ε ε < a a< ε a ε < a < a+ ε для > N. Таким образом, вне интервала ( a ε, a ε ) + окажется только конечное число членов последовательности a, a, a,..., an, a N. Начиная же с номера, все члены последовательности попадают в интервал ( a ε, a ε ) +. Определение.Если предел числовой последовательности существует и конечен, то числовая последовательность называется сходящейся. Если предел последовательности не существует (в частности равен ), то числовая последовательность называется расходящейся.

3 В задачах, :доказать a = a, определить для каждого значения,,,,,число N N( ε ) всех > N, где a и a заданы. = такое, что a a < ε для + Задача. a =, a=. Вычислим предел заданной числовой последовательности: + + = = Возьмем произвольное число ε >. Найдем N N( ε ) =, начиная с которого выполняется неравенство a a < ε, т.е. + < ε + < ε < ε. Поскольку >, = < ε > ε. N ( ε ) = ε N ε. - целая часть числа, т.к. При ε =, N = =,. Значит, при > { a, a,...}, + = (,4;,6) 6 7 При ε =, N = =,. Следовательно, при > { a, a,...}, + = (,49;,) При ε =, N = =,. Таким образом,при >

4 { a, a,...}, + = (,499;,) Задача. a, a 4+ = = Вычислим = = Возьмем произвольное число. ε >. Найдем N N( ε ) =, начиная с которого выполняется неравенство a a < ε, т.е < ε ( + ) 4 < ε 4 ( + ) < ε 4 > >. ε ε 4 4+ > ε > ε 4 Таким образом N ( ε ) = ε N = =,8 =. При ε =, [ ] N = 8 = 9, = 9. При ε =, [ ] N = 98 = 9,6 = 9. При ε =, [ ] Пример. последовательность. + + = расходящаяся числовая Определение 4. Числовая последовательность { a } называется ограниченнойсверху, если существует такое число M, что для любого выполняется неравенство a M.

5 Определение. Числовая последовательность { a } называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для любого выполняется неравенство a m. Определение 6. Числовая последовательность { a } называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. для любого выполняется неравенство m a M. Пример. Последовательность { ; 4; 9;...; ;...} сверху и не ограничена снизу, т.к. a M. a. Пример 4. Последовательность ; ; ;...; ;... ограничена ограничена, т.к. Пример. Последовательность { ;;;;...;; ;; + ;... } ограничена снизу, поскольку a. Определение 7. Числовая последовательность { a } называется возрастающей (убывающей), еслидля любого выполняется неравенство a < a+ ( a > a+ ) Определение 8. Числовая последовательность { a } называется невозрастающей (неубывающей), еслидля любого выполняется неравенство a a+ ( a a+ ). Определение 9. Возрастающие и убывающие последовательности называются строгомонотонными. Неубывающие и невозрастающие числовые последовательности называются монотонными. Пример 6.Последовательность ; ; ;...; ; возрастающая. Последовательность { ;;;;...; ; ;...}- неубывающая.

6 Последовательность Последовательность ;; ; ;...; ; ;... - невозрастающая. ; ; ;...; ;... - убывающая. Определение. Числовая последовательность { a } называется бесконечно малой, если a =, т.е. для любого сколь угодно малого числа ε > найдется такой номер N N( ε ) =, что для всех > N справедливо неравенство a < ε. Пример 7. ; ; ;...; ; бесконечно малые числовые последовательности. 6 Определение. Числовая последовательность { a } называется бесконечно большой, если a =, т.е.для любого сколь угодно большого числа M > найдется такой номер N N( M) > N выполняется неравенство a > M. Пример 8.{ }; {}; { }; { };...; { }; { } большие числовые последовательности. =, что для всех бесконечно Теорема.c= c, где c постоянная. Теорема (арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями). Если существуют и конечны a = a и b = b, то существуют и конечны: ) a ± b = a ± b = a± b; ) ) a b = a b = a b; a a a = =, где b. b b b

7 Следствие. c a = c a, где c постоянная. Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности). Любая сходящаяся числовая последовательность ограничена. Замечание. Не всякая ограниченная числовая последовательность является сходящейся. Пример 9.{ ;;;;;;...;;;... } последовательность ограничена, но не имеет предела, т.е. не является сходящейся. задач. Рассмотрим некоторые приемы, которые помогут при решении При вычислении пределов вида f g = нужно в числителе и в знаменателе «главное»слагаемое (растущее быстрее всех) вынести за скобки. Если слагаемое, выносимое за скобки, выбрано верно, то предел скобки равен константе, неравной нулю. + + Задача. = =. В приведенном примере в качестве функций f ( ) и g использованы многочлены,поэтому «главными» будут слагаемые, содержащие старшие степени многочленов. Задача = = + 6 = =

8 Если неопределенность вида многочленов, то A, если k = m; B k k A + A Ak = =, если k m; m m < B + B B m, если k > m. связана с отношением двух Задача = = Задача 6. = = при =. Раскрытие неопределенности вида [ ] обычно сводится к неопределенности вида преобразованием разности двух последовательностей к дроби. Это можно сделать, например, приведя слагаемые к общему знаменателю или домножив имеющуюся разность на сопряженное выражение. Задача ( + ) = = = = = = Задача 8.

9 = = = = 4 ( + )... = + + = = = Пределы функций Пусть и δ >. Определение.δ окрестностью конечной точки называется интервал с центром в точке длиной δ. Обозначается она так: = ( ; + ) = { : < < + } = { : < } Uδ δ δ δ δ δ Определение.Проколотой δ окрестностью конечной точки называется окрестность этой точки без самой точки. Обозначается следующим образом: ( ) = ( ; ) ( ; + ) = { :< < } U δ δ δ δ Определение 4.Окрестностью бесконечноудаленной точки называется объединение следующих интервалов: ( ) = ( ; ) ( ; + ) = { : > } U M M M, где M > ; M. Рассмотрим различные стремления аргумента и соответствующие им проколотые окрестности. Результаты запишем в виде таблицы. Тип стремления Проколотая окрестность 9

10 a = ( ; ) ( ; + ) = { < < } Uδ a a δ a a a δ a δ + a = a+ ( a, > a) a = a ( a, < a) + + = ( ; + ) = { < < + } Uδ a a a δ a a δ = ( ; ) = { < < } Uδ a a δ a a δ a ( ) = ( ; ) ( ; + ) = { > } U M M M ( + ) = ( ; + ) = { > } U M M ( ) = ( ; ) = { < } U M M Приведем определения пределов функции f ( ) при разных стремлениях аргумента. точке Определение. Число A называется пределом функции f ( ) в = a, если для любого сколь угодно малого ε > найдется такое δ = δ( ε) >, что для всех Uδ ( a) выполняется неравенство f ( ) A < ε. (или для всех :< a < δ ) ( f A) Или с помощью логических символов: ( ε = : = a > δ ) δ = δ ε > : U a f A < ε. Определение 6. Число A называется правым пределом функции f ( ) в точке = a, если для любого сколь угодно малого ε > найдется такое δ = δ( ε) >, что для всех Uδ ( a) выполняется неравенство f ( ) A < ε. + (или для всех : a< < a+ δ )

11 ( f A) Или с помощью логических символов: = : = a+ ( δ ) ε > δ = δ ε > : U a f A < ε. + Определение 7. Число A называется левым пределом функции f ( ) в точке = a, если для любого сколь угодно малого ε > найдется такое δ = δ( ε) >, что для всех Uδ ( a) выполняется неравенство f ( ) A < ε. Или с помощью логических символов: > δ δ( ε) : Uδ ( a)) ( ε = > (или для всех : a δ < < a) ( f A) = : = a ( f ( ) A ε ) <. Определение 8.Число A называется пределом функции f ( ) в бесконечноудаленной точке( ), если для любого сколь угодно малого ε > найдется такое M = M( ε ) >, что для всех U( ) для всех : > M ) выполняется неравенство f ( ) A < ε. f ( f A) Или с помощью логических символов: > M = M( ε ) > : U( )) ( ε = : = ( f ( ) A ε ) <. (или Определение 9. Число A называется правым пределом функции в бесконечноудаленной точке( + ), если для любого сколь угодно малого (или для всех : ε > найдется такое M = M( ε ) >, что для всех U( + ) > M ) выполняется неравенство f ( ) A < ε. ( f A) Или с помощью логических символов: > M = M( ε ) > : U( + )) ( ε = : = ( f ( ) A ε ) <.

12 f Определение. Число A называется левым пределом функции в бесконечноудаленной точке( ), если для любого сколь угодно малого (или для всех : ε > найдется такое M = M( ε ) >, что для всех U( ) < M ) выполняется неравенство f ( ) A < ε. ( f A) Или с помощью логических символов: > M = M( ε ) > : U( )) ( ε Определение. f ( ) числа a = : = ( f ( ) A ε ) <. =, если для сколь угодно большого K > найдется такое δ = δ ( K ) >, что для всех Uδ ( a) выполняется неравенство f ( ) > K. Или с помощью логических символов: f ( ) ( K = : = a > δ δ : δ ) = K > U a f > K Определение. f ( ) ( K = : = a+ = > Uδ ( a)) > δ δ ( K ) : Определение. f ( ) ( K = + : = a = > Uδ ( a)) > δ δ ( K ) : Определение 4. f ( ) ( K = : = > M M( K) : U) + = > Определение. f ( ) = : = > M M( K) : U) ( K = > + ( f ( ) K). <. ( f ( ) K) >. ( f ( ) K) >. ( f ( ) K) <.

13 Пределы 6, 7, 9,,,, называют односторонними.все рассмотренные определения определения предела функции по Коши. Задача 9. Доказать по определению: ( ) Возьмем произвольное + =. ε > и найдем δ δ( ε) = > : + < ε ε ε < ε < = δ ( ε ). Таким образом для ε > δ( ε ) = > такое, что для : < δ выполняется неравенство + < ε. Например для ε =, δ =,. Задача. Доказать по определению: 9 = 6. + Возьмем произвольное ε > и найдем δ δ( ε) = > : + 6 < ε < ε = δ( ε). Таким образом для ε 9 6 <ε > δ ( ε) = ε > такое, что для :< < + δ выполняется неравенство 9 6 <ε. + Задача. Доказать по определению: =. Возьмем произвольное ε > и найдем M M( ε ) = > : + <ε + < ε < ε > = M( ε ). Таким образом,для ε > ε M = > такое, что для : > M выполняется неравенство ε + < ε. Рассмотрим определение конечного предела функции по Гейне.

14 Определение 6. Число A называется пределом функции f ( ) в точке = a, если для любой такой последовательности { } значений аргумента, что = a и a при любых, соответствующие { } последовательности f значений функции сходятся к одному и тому же A (имеют один и тот же предел, равный A). Или с помощью логических символов: { } : = a, a f ( ) = A. ( f A) = : = Определение 7. Число A называется правым пределом функции f ( ) в точке = a, если для любой такой последовательности { } значений аргумента, что = a и { } соответствующие последовательности a > a при любых, f значений функции сходятся к одному и тому же A (имеют один и тот же предел, равный A). ( f A) Или с помощью логических символов: { } : = a, > a f ( ) = A. = : = a+ Определение 8. Число A называется левым пределом функции f ( ) в точке = a, если для любой такой последовательности { } значений аргумента, что = a и { } соответствующие последовательности < a при любых, f значений функции сходятся к одному и тому же A (имеют один и тот же предел, равный A). ( f A) Или с помощью логических символов: { } : = a, < a f ( ) = A. = : = a 4

15 Определение 9. Число A называется пределом функции f ( ) при, если для любой бесконечно большой последовательности { } значений аргумента соответствующие последовательности f ( ) значений функции имеют один и тот же предел, равный A. Или с помощью логических символов: { } : = f ( ) = A. { } ( f A) = : = Теорема 4. Определения конечного предела функции по Коши и Гейне эквивалентны. Задача. Доказать, что si не существует. Для доказательства, что функция f ( ) не имеет предела, удобно пользоваться определением предела функции по Гейне. Для этого достаточно показать, что существуют две последовательности { } такие, что последовательности { } () ( ) f и () { } { } () { } и = = a, но соответствующие ( ) f не имеют одинаковых пределов. Выберем две числовые последовательности: ( ) π 4 + =. Тогда () ( ) = π =+, f = si π=, а ( ) () { } { π } ( 4 + ) = и π = =+,но ( + ) π 4 f = si =. Следовательно, функция f ( ) = si не имеет предела при +.

16 Основные теоремы о пределах функций Теорема (о единственности предела). Если предел функции в точке существует, то он единственный. Определение. Функция y= f ( ) называется локально ограниченной, если она ограничена при такая U( a) a : существуют такое c > и, что для всех U ( a) выполняется неравенство f c. Пример. Функция y = + локально ограничена при. Теорема 6 (о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел). Если функция y= f ( ) имеет конечный предел в точке = a, то она локально ограничена. Теорема 7 (о пределе промежуточной функции). Если существуют конечный =, конечный =, и такая f A a g A a U a любых U ( a) выполняется неравенство f ( ) h( ) g( ) существует конечный h( ) = A. a, что для, то Теорема 8 (арифметические операции с функциями, имеющими конечные пределы). Если существуют конечный g a = B, то: ) существует конечный ( ) f ± g = f ± g = A± B; a a a ) существует конечный ( ) f g = f g = A B; a a a f = A и конечный a 6

17 f f a A ) существует конечный = = при условии, что a g g B g = B. a Теорема 9 (о замене переменной в пределе или о пределе сложной функции).если функция y= f ( ) имеет в точке a конечный предел b и не принимает значение b в некоторой проколотой окрестности U( a) точки a, а функция g( y ) имеет в точке b конечный предел c, то сложная функция g( f ( )) имеет предел в точке a и он равен c. Задача. Вычислим замена : + y y = + = = = = y ( y )( y + y y+ ) y a k k y y k y k k причем y для U = =. y k k y + y y+ k Вычисление пределов функций Если точка функции f ( ), то = a принадлежит области определения элементарной f = f a. a π Задача 4. si = si π =. 6 6 Рассмотрим задачи на вычисление пределов, когда f ( a ) не существует. Решение любого примера начинаем с подстановки вместо его предельного значения. Лишь убедившись, что получается 7

18 неопределенность ; ; [ ], решаем, как преобразовать функцию, чтобы эту неопределенность раскрыть. В случае неопределенности при a в числителе и знаменателе дроби необходимо выделить «критический» множитель вида ( a) k, на который затем дробь сократить. Задача.Вычислить При подстановке = в числитель и знаменатель получаем. Это значит, что и в числителе и в знаменателе есть общий множитель ( + ). Разложим на множители многочлены числителя и знаменателя. ( + ) ( ) = = = = = ( ) Задача 6. Вычислить Снова имеем неопределенность вида. Для выделения «критического» множителя в этом случае удобно использовать замену переменной, выбрав ее так, чтобы избавиться от иррациональностей в числителе и знаменателе: 6 6 = t. При 64, t 64 = ( t )( t + t+ 4) 8 t 8 t + t+ 4 = = = = =. 4 t 4 t t+ t t t t Задача 7. Вычислить. 8

19 Для раскрытия неопределенности снова можно воспользоваться заменой переменной = t, устранив при этом иррациональность. Но мы рассмотрим другой способ: перевод иррациональности из числителя в знаменатель. Для этого домножим числитель на сопряженное. Для того чтобы равенство не нарушилось, знаменатель будем домножатьна тоже выражение: ( )( + ) 9 = = = + + = = = Задача 8. Вычислить предел 8. Как видим, здесь + неопределенность, но в условии присутствуют корни с разными подкоренными выражениями, а значит, метод замены переменной не подойдет. Числитель будем домножать на сопряженное, а знаменатель до формулы суммы кубов: ( )( + ) 8 8 ( 4 + ) = = + ( )( 4 ) ( ) ( 8+ )( + ) = = = Правила раскрытия неопределенностей вида ; [ ] как при вычислении пределов числовых последовательностей. Задача 9. такие же, 9

20 + + ( + ) = [ ] = = + + = =. + Для сведения выражения к дроби мы домножили числитель на неполный квадрат разности (до формулы разности кубов), поэтому и в знаменателе появился тот же множитель. Задача. замена : 6 = [ ] = = t = =, t t t t ( t) ( t t ) t t ( t)( t)( t t t ) ( t)( t)( t t ) = = = = t t t+ t + + = = = =. t ( t)( + t)( + t+ t t ) ( + t)( + t+ t ) Задача = = = = = 7 Далее рассмотрим примеры односторонних пределов. Задача. Вычислить = = ; + + ±. Раскрывая модуль, получим = =. ( )

21 Задача. = = = = ; = = = =+. π Задача 4. arctg = (по графику функции видно, что при π arctg ); π arctg = Задача. + e = e = e = e = ; ( + )( 4) 7( 4+ 4) + + e e e e = = = =+. Задача 6. Вычислить предел ( ) ( ) В приведенном примере существует неопределенность вида [ ]. Чтобы раскрыть ее, необходимо свести выражение, стоящее под знаком предела, к дроби. Сделаем это, домноживна сопряженное. В результате тип неопределенности сменится на. Раскроем эту неопределенность, вынося самые «весомые» слагаемые числителя и знаменателя за скобки: ( ) = ( )( ) ( ) = = = =

22 напомним, что = =, если ; = = 4 = , если < = = = = = ( ) = ( )( ) ( ) = = = = = = = задачи Контрольное задание (для самостоятельной работы): Вычислить Ответ. + +, 4

23 ( + )( + )( + ) ( + ) ( ) ( + ) + ( ) 6. ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) + 4. ( + ) ( )( ) 7 Контрольное задание Вычислить задачи. ( )( + ) Ответ

24

25

26 Контрольное задание задачи Вычислить Ответ 6

27 ( 4 ) ( + ) ( )

28 ( + 9) ( + 4 )

29 Литература. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. Б.П.Демидовича. М.: Астрель,.. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В- ч т. Т.. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 98.. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.м.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит, 97.. Морозова В.Д. Введение в анализ. М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,. 6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб.пособ. для втузов: В -ч т. Т.. М.: Интеграл-Пресс, Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/ Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. В -ч т. Т.. М.:Наука, 99. 9

30 Оглавление Предел числовой последовательности... Пределы функций...9 Основные теоремы о пределах функций... 6 Вычисление пределов функций... 7 Контрольное задание (для самостоятельной работы):... Контрольное задание... Контрольное задание... 6 Литература... 9


Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа # январь Кандаурова И Е УДК: 57 Россия МГТУ им НЭ Баумана hadaur@gyrplaru Введение Классический курс математического анализа

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

2. Числовые последовательности. 1. Основные понятия

2. Числовые последовательности. 1. Основные понятия Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1,2 Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа Запорожец Г.И.

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Тема: Предел функции

Тема: Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции предел функции и его свойства, бесконечно большие функции и их свойства Лектор Янущик ОВ 215 г 3 Предел функции 1 Определение предела

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно малых функций

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно малых функций Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно малых функций # 05, май 2015 Ахметова Ф. Х. 1,*, Ласковая Т. А. 1, Пелевина И. Н. 1 УДК: 517 1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение В инженерном

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие Санкт-Петербургский государственный университет Т.А. Ефимова Предел и непрерывность функции Методическое пособие Санкт-Петербург 8 Предисловие Методическое пособие предназначено для студентов нематематических

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

3. Бесконечно большие последовательности

3. Бесконечно большие последовательности 3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { n } называется бесконечно большой, если M> NN такое, что n >M, n>n. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанская государственная академия ветеринарной

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций # 04, апрель 2015 Ахметова Ф. Х. 1,*, Ласковая Т. А. 1, Пелевина И. Н. 1 УДК: 517 1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Классический

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Лабораторная работа 1 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 1 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ Практическое

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

казанский федеральный университет институт физики Кафедра теории относительности и гравитации Т. В. Кропотова, В. Г. Подольский, П. Е.

казанский федеральный университет институт физики Кафедра теории относительности и гравитации Т. В. Кропотова, В. Г. Подольский, П. Е. казанский федеральный университет институт физики Кафедра теории относительности и гравитации Т В Кропотова, В Г Подольский, П Е Кашаргин ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Учебно-методическое

Подробнее

3 1 Последовательности и их свойства

3 1 Последовательности и их свойства Глава 3 Предел 3 1 ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ последовательности Последовательности представляют собой особый класс функций, для которых областью определения является множество натуральных чисел. В этой

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Теория пределов Составила: Миргородская Ирина Николаевна,

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа ЯА Барлукова, СФ Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть II Улан- Удэ Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет ЯА Барлукова СФ Долбеева ПРАКТИКУМ

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций. Типовой расчёт Пределы числовых последовательностей и функций Образец выполнения типового расчѐта Задание Найти пределы числовых последовательностей, или установить их ( ) ( a ) : ; ; ; ; ; ; 8 Данную

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Лекция 7БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Определение и свойства бесконечно малых функций Основные теоремы о пределах Замечательные пределы 4 Сравнение асимптотического поведения функций Определение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ПРЕДЕЛЫ Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ПРЕДЕЛЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее