Конспект лекций по технической механике

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Конспект лекций по технической механике"

Транскрипт

1 С.Н. Кривошапко Конспект лекций по технической механике Для студентов II курса специальности «Строительство» Москва 0

2 С.Н. Кривошапко Конспект лекций по технической механике Для студентов II курса специальности «Строительство» Москва 0

3 У т в е р ж д е н о РИС Ученого совета Российского университета дружбы народов Р е ц е н з е н т доктор технических наук, профессор С.И. Трушин МГСУ Кривошапко С.Н. Конспект лекций по технической механике. М.: РУДН, 0. 6 с. Для студентов II курса инженерного факультета специальности «Строительство». Подготовлено на кафедре прочности материалов и конструкций РУДН. С.Н. Кривошапко, 0

4 Л е к ц и я ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Прочность это способность сооружений сопротивляться разрушению под действием приложенных к ним внешних нагрузок. Жесткость способность элемента конструкции сопротивляться деформации. Изменение формы или размеров тела называется деформацией. Устойчивость способность элемента конструкции сохранять одну форму равновесия под действием внешней нагрузки. Признаком потери устойчивости является внезапная смена одной формы равновесия другой. Простейшие типы конструкций Брус тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим. Брус с прямолинейной осью называют стержнем. Ось бруса это линия, которая соединяет центры тяжести его поперечных сечений. Горизонтальный брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой. Пластинка пластина конструкция, ограниченная двумя плоскостями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Оболочка конструкция, ограниченная двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью. Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, является пластинкой. Массив тело, у которого все три размера одного порядка. Нагрузки Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Нагрузки могут рассматриваться как сосредоточенные Н или кг или распределенные по поверхности Н/м или кг/см или вдоль линии Н/м или кг/м. Нагрузки, распределенные по объему тела собственных вес конструкции, силы инерции называются объемными силами Н/м или кг/см. Кроме силовых имеются и моментные нагрузки в виде сосредоточенных моментов Н м или кг см и моментов, распределенных по линии Н м/м или кг см/см. Статическая нагрузка не изменяет своей величины или точку приложения во времени и пространстве. Динамическими называются нагрузки, изменяющиеся во времени например, удар.

5 4 Гипотезы, принимаемые в сопротивлении материалов. Материал конструкции имеет сплошное строение.. Материал конструкции однороден, т.е. обладает одинаковыми свойствами во всех точках.. Материал конструкции изотропен, т.е. обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях. 4. В теле до приложения внешней нагрузки нет внутренних усилий. 5. Принцип независимости действия сил: результат воздействия на конструкцию системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к конструкции последовательно и в любом порядке. 6. В точках тела, удаленных от мест приложения нагрузок, внутренние силы мало зависят от конкретного способа приложения этих нагрузок. 7. Гипотеза плоских сечений Бернулли: поперечные сечения бруса, плоские до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и при действии нагрузки. Деформации и перемещения Под действием приложенных сил тело деформируется. Изменение линейных размеров называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров угловой деформацией. / Удлинение увеличение линейных размеров тела, укорочение уменьшение линейных размеров тела. Рассмотрим прямой брус стержень постоянного сечения длиной l, заделанный одним Δl l Рис.. концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой. Под действием этой силы брус удлиняется на величину Δl рис.., которая называется полным абсолютным удлинением, тогда l,. l где ε относительная продольная деформация. Пусть в результате деформации прямоугольник ---4 рис.., а примет вид параллелограмма / - / - / -4 / рис.., б. В этом случае изменение первоначального / / прямого угла между сторонами рассматриваемого прямоугольни- β 4 / ка будет: α 4 / а б.. Рис.. Угол сдвига γ характеризует угловую деформацию в данной точке. Δb/ b

6 Деформации, исчезающие после разгрузки тела, называются упругими. Перемещение точки расстояние между первоначальным положением точки до приложения внешних нагрузок и ее положением после деформации, взятое в определенном направлении например, вдоль оси стержня. На рис..: Δl продольное перемещение точки А. МЕТОД СЕЧЕНИЙ Для определения внутренних усилий применяется метод сечений, который заключается в следующем.. Мысленно делается разрез через исследуемую точку конструкции.. Отбрасывается одна из частей, а ее действие заменяется внутренними усилиями, которые уравновешивают внешние силы, действующие на отсеченную часть. Внутренние силы, возникающие в теле под действием нагрузки непрерывно распределенные, но они приводятся в сечении к главному вектору и главному моменту внутренних сил.. Составляются уравнения равновесия для отсеченной части тела, из которых определяются внутренние усилия. Рассмотрим порядок расчета для случая, когда внешние силы лежат в одной плоскости рис... I 5 II Рис.. После проведения сечения а-а отбросим левую часть I, а для уравновешивания оставшейся части II в общем случае необходимо в сечении а-а приложить силу N нормальную силу, действующую вдоль оси стержня; Q поперечную силу, действующую в плоскости поперечного сечения а-а; и момент М изгибающий момент. После этого составляем уравнения равновесия для отсеченной части II: 0, 0; M o 0, из которых и определяем N, Q, M. Если же рассматривается пространственная задача, то в поперечном сечении в общем случае будут возникать шесть внутренних усилий, являющихся компонентами главного вектора и главного момента системы внутренних сил рис..4, где N нормальная сила продольная; Q у, Q поперечные силы, М х крутящий момент; M, M изгибающие моменты. 4 N M Q o 5 II 4 5

7 M N o M Q Q M Для определения этих шести усилий необходимо составить шесть уравнений равновесия: приравнять нулю суммы проекций сил на оси координат и суммы моментов сил относительно этих же осей координат. Будем считать, что ось х проходит через центры тяжести поперечных сечений конструкции. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НАГРУЖЕНИЯ Рис..4. Растяжение сжатие в поперечном сечении стержня возникает только нормальная сила N.. Сдвиг в поперечном сечении стержня возникают только поперечные силы.. Кручение в поперечном сечении стержня возникает только крутящий момент. 4. Чистый изгиб в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий момент. 5. Случай сложных деформаций. НАПРЯЖЕНИЯ Сосредоточенные внутренние силы и моменты являются статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по площади сечения. Пусть ΔR равнодействующая внутренних сил на бесконечно малой площади Δ поперечного сечения стержня, тогда R p lim напряжение в точке. 0 Упрощенно можно сказать, что напряжение это внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади. Разложим силу ΔR на две составляющие: касательную ΔQ и нормальную ΔN к поперечному сечению. В этом случае можно получить Q, N,. lim0 lim 0 где τ касательное напряжения, σ нормальное напряжение. Напряжения имеют размерность кг/см, МПа и т.д. Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения p в точке: p. 6

8 Л е к ц и я ДИАГРАММА РАСТЯЖЕНИЯ МАЛОУГЛЕРОДИСТОЙ СТАЛИ σ зона истинных напряжений зона упругих деформаций площадка текучести σ pr σ зона упрочнения σ ut зона условных напряжений 0 ε pl ε el δ σ разр ε До опыта Рис.. Схемы образца После опыта Рис.. На рис.. введены условные обозначения: σ pr предел пропорциональности; σ предел текучести; σ ut предел прочности при растяжении; ε pl остаточная пластическая относительная деформация; ε el упругая относительная деформация. После зоны упрочнения появляется шейка резкое сужение поперечного сечения бруса. Условное напряжение в образце определяется делением растягивающей силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца. Истинное напряжение определяется делением растягивающей силы на площадь поперечного сечения шейки. Остаточным относительным удлинением δ называется отношение остаточной линейной деформации Δl остат. образца к первоначальной его длине l: l l остат. разрыв. l 00%, l l где l разрыв. длина образца после разрыва. Механические характеристики материала включает в себя: E, pr,, ut или u. 7

9 ДИАГРАММЫ СЖАТИЯ Диаграмма сжатия пластической стали имеет вид, представленный на рис... σ σ σ u σ ut 0 Пределы текучести при растяжении и сжатии для одной и той же пластической стали практически одинаковы. Понятие предела прочности при сжатии пластической стали лишено физического смысла, так как при сжатии образец расплющивается и площадь его сечения увеличивается. Поэтому увеличивается также величины сжимающей силы и условных напряжений, отнесенных к первоначальной площади поперечного сечения образца. Хрупкие материалы, например, чугун, имеют иную диаграмму сжатия рис..4. Деформации чугуна с самого начала не следует закону Гука. Они очень малы. Этот материал значительно хуже работает на растяжение σ ut, чем на сжатие σ u. Пластичность, хрупкость Пластичность свойство материала получать значительные остаточные деформации ε pl не разрушаясь медь, латунь, малоуглеродистая сталь. Хрупкость свойство материала разрушаться при незначительных остаточных деформациях чугун, камень, бетон, стекло. Величина остаточного удлинения при разрыве составляет -5%. ДОПУСКАЕМЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Фактические напряжения в конструкции, предел прочности, предел текучести установить точно трудно из-за приближенных методов расчета, разнородности материалов и других причин, поэтому вводится понятие допускаемые напряжения. Условие прочности для хрупких материалов: t t ut t dm при растяжении, где dm, n 8 σ pr σ σ ut Рис.. ε t Рис..4 ε

10 t, u с dm при сжатии, где dm,. n t наибольшие расчетные нормальные растягивающие и сжимающие напряжения; dm, dm допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; n t, n нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности n t, n >. Условие прочности для пластических материалов: dm, dm,. n где σ наибольшее по абсолютной величине нормальное сжимающее или растягивающее напряжение, σ dm допускаемое напряжение, n нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести σ у n >. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ СЖАТИЕ Рассмотрим случай осевого центрального растяжения или сжатия на конкретном примере рис..5. Для определения внутренних усилий в стержне применим раза метод сечений. Для этого сначала проведем сечение I-I и мысленно отбросим верхнюю часть бруса рис..5, а. Действие отброшенной части заменим нормальной силой N рис..5, б, для определения которой составим условие: N 0, тогда N. Полученное значение N откладываем в масштабе на эпюре нормальных сил рис..5, г. Затем проводим сечение II-II рис..5, в и получаем, что N 0, тогда N. Построенный график рис..5, г показывает изменение нормальных N N σ II II II II / I I I N I / а б в г д Рис..5 9

11 сил по длине бруса без учета его собственного веса и называется эпюрой нормальных сил. Нормальная сила N представляет собой равнодействующую внутренних нормальных напряжений, распределенных по площади А поперечного сечения, то есть N N d d, откуда. Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений σ в поперечных сечениях стержня по его длине строится эпюра нормальных напряжений рис..5, д. Растягивающие нормальные силы принято считать положительными, а сжимающие отрицательными рис..5, д. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией в пределах упругости при растяжении и сжатии имеет вид закон Гука: Е,. где Е модуль продольной упругости модуль Юнга. Величина Е физическая постоянная материала, например, для стали Е = 0 5 МПа, для дерева Е = 0 4 МПа. Формулу. представим в виде N l E, l откуда находим абсолютное удлинение стержня Δl рис..6, а: Nl l..4 E N N l n l n l d l а а N = γ А n l n l l N = а б в Рис..6 0 г

12 Формулы.,.4 являются математическими выражениями закона Гука при растяжении и сжатии бруса, который сформулировал Р. Гук в 660 г. Произведение ЕА называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении сжатии. Для бруса переменного поперечного сечения рис..6, б получаем Nd Nd N d d, l. E E E l 0 l 0 Рассмотрим удлинение от собственного веса стержня постоянного сечения рис..6, в: l l Nd l l d d, E E E.5 E где γ объемный вес материала конструкции. Перемещение сечения а-а находим по формуле: l E l d E l l l E Для стержня со ступенчатым изменением площади i рис..6, г и нормальной силы N i удлинения l i вычисляются на каждом участке с постоянными N i и i, а результаты алгебраически суммируются: n n Ni li l li,.6 i i Ei i где n число участков; i номер участка i = ; ; ; ; n. Л е к ц и я ПОПЕРЕЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Существует экспериментально установленная зависимость: t, где t =Δb/b относительная поперечная деформация, b ширина стержня, Δb абсолютная поперечная деформация рис.., коэффициент Пуассона коэффициент поперечной деформации, характеризующий способность материала к поперечным деформациям. Коэффициент Пуассона вместе с модулем продольной упругости Е характеризует упругие свойства материалов. Например, для стали ν = 0,5-0,; для бетона ν = 0,7; для пробки ν = 0. Теперь мы можем записать все параметры, характеризующие механические свойства материала: E,,, или., pr ut u.

13 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Выделим из тела в окрестности произвольной точки бесконечно малую треугольную призму, боковые грани которой перпендикулярны к плоскости чертежа, а высота их равна d рис... Приложим к призме те же напряжения, которые действовали на σ нее до выделения ее из тела. τ Для определения напряжений σ α и τ α, действующих по наклонной площадке, ds составим три уравнения равновесия. τ Вначале составим условие равенства τ α O нулю моментов относительно точки О: α σ d d dd dd 0, σ α откуда получаем закон парности касательных напряжений: d.. Рис.. Запишем условия равенства нулю суммы проекций сил на направления напряжений σ α и τ α : dsd ddsin dsd dd os Из рис.. очевидно, что ddos ddos dd sin dd sin ddsin 0, dd os 0. d d os, sin. ds ds Подставим значения sinα и osα в выражения 0 и 0, а затем сократим полученные уравнения на dds. В результате будем иметь: sin os sin os sin sin os, С учетом равенства. последние две формулы для определения напряжений на наклонных площадках примут вид: os. sin os sin,. d sin os.. Из формулы. можно получить, что o onst. 90, т.е. сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная.

14 Напряжения в наклонных площадках стержня при одноосном растяжении Сравнивая рис.. и., отметим, что, 0. Подставим эти значения напряжений в формулы. и.: sin sin,..4 Формулы.4 дают возможность вычислять σ нормальные σ α и касательные τ α напряжения ds на наклонных сечениях бруса при одноосном растяжении сжатии. σ = / α d τ α Пусть α = 0 о σ, тогда из σ α формул.4 ннаходим τ α 0, а при α = 90 о σ d α имеем а б, 0. Рис.. m Примем α = 45 о, в этом случае. / m ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют главными площадками. Для определения величин главных напряжений используем формулу.: d sin os os sin os 0, d sin os 0, откуда находим tg o,.5 где α о углы наклона главных площадок к площадке, в которой действует напряжение σ х. По главным площадкам касательные напряжения равны нулю. Подставим выражение.5 в формулу. и найдем m 4..6 min d d

15 Площадки, по которым действуют τ m и τ min, называются площадками сдвига. Их находим, используя формулу.: d os sin 0, d tg,.7 где α угол наклона площадки сдвига к площадке, по которой действует напряжение σ х рис... Сравним формулы.5 и.7, очевидно, что o tg, то есть 45. tg o Таким образом, площадки сдвига наклонены к главным площадкам под углами, равными 45 о. Для определения величин τ m и τ min примем, что в формуле. τ ху = 0, σ х = σ m, σ = σ min. Кроме того возьмем α = 45 о. В этом случае σ σ Выделим в окрестности точки элементарный кубик с взаимно перпендикулярными гранями рис. 4.. При пространственном напряженном состоянии через каждую точку всегда можно провести три площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам главными напряжениями. Главные напряжения при трехосном напряженном состояσ Рис.. Пример. Пусть σ х = σ у = σ, τ ху = 0 рис.., тогда по формулам.,. определяем: σ α = σ, τ α = 0. Пример. рис..4 Имеем, что σ х = σ, σ у = σ, τ ху = 0. Требуется определить σ α и τ α на площадках, наклоненных под углом α = 45 о. В этом случае по формулам.,. определяем: σ α = 0, τ α = σ. σ m min σ 4..8 σ σ Рис..4 Л е к ц и я 4 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ σ 4

16 нии принято обозначать через,,, причем. Все три главные площадки взаимно перпендикулярны. σ Сумма нормальных напряжений, τ действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точ- σ τ τ ку, есть величина постоянная: τ τ onst. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА Выделим из тела элементарный параллелепипед рис.4., грани которого совпадают с главными площад- Рис. 4. ками. Обозначим через ε, ε, ε относительные деформации ребер параллелепипеда в направлении главных напряжений σ, σ, σ. Пусть ε относительная деформация в направлении σ от напряжения σ ; ε относительная деформация в направлении σ от напряжения σ ; ε относительная деформация в направлении σ от напряжения σ. Тогда на основании принципа независимости действия сил получаем: E E E E. E По аналогии находим E E E =, σ E dl E E E dl σ =. E Аналогичные формулы можно записать и для случая, когда грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными σ площадками:, Рис. 4. E,. 4. E E σ τ dl 5

17 В общем случае кроме нормальных напряжений σ х, σ, σ действуют также и касательные напряжения рис. 4.. Но касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменения прямых углов между его гранями. 6 ОБЪЕМНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Под действием внешней нагрузки упругое тело деформируется, его объем изменяется. Пусть до деформации объем параллелепипеда был dv dldldl, а после приложения внешней нагрузки его объем можно вычислить по формуле рис. 4.: dv dv dl dl dl dl dl dl dl dl dl dv dv. 4. Из-за малости ε, ε, ε по сравнению с единицей в формуле 4. пренебрегаем их произведениями. Окончательно получаем: dv dv, dv dv 4. где θ относительное изменение объема. Подставим формулы для вычисления ε, ε, ε в выражение 4.:, E E 4.4 откуда определяем, что onst 4.5. Рассмотрим случай трехосного равномерного растяжения, т.е. σ х =σ =σ, тогда из формулы 4.4 находим: 0. E То есть мы приняли, что если имеется трехосное растяжение, то обязательно должно быть 0. В этом случае, согласно последней формулы 0, откуда, или 0,5. РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ dδ δ l Рис. 4. При растяжении сжатии внешние силы совершают работу вследствие перемещения точек их приложения: dw d, 4.6 где dw элементарная работа. Полагаем, что сила растет от нулевого значения до своей ко-

18 нечной величины. Но с другой стороны рис. 4. l l /E; откуда E / l. Полученный результат подставим в формулу 4.6: E dw d, l σ = N/ E E W d. l 4.7 l 0 Работа W внешней статически приложенной силы равна половине произведения Δd окончательного значения силы на окончательную величину соответствующего пере- Рис. 4.4 d мещения δ. При деформации внутренние силы также совершают работу рис. 4.4: N d N Nd N N l d, d. E d E E Величина, равная работе внутренних сил, но имеющая противоположный знак, называется потенциальной энергией деформации. Л е к ц и я 5 СДВИГ Чистым сдвигом называется такой случай плоского напряженного состояния, при котором по боковым граням параллелепипеда действуют только касательные напряжения τ рис. 5.. Из формул.,., полученных ранее, находим sin, os. Указанные на рис. 5. касательные напряжения будут τ m и τ min. При α = ±45 о получаем σ α = τ = σ m и σ α = τ = σ min. Опытным путем установлена линейная σ min = τ σ m = τ зависимость G, 5. которая устанавливает закон Гука при сдвиге, где γ угол сдвига, E G, 5. G модуль сдвига модуль упругости второго рода. Он характеризует способность материала сопротивляться деформации сдвига. τ l 0 σ m = τ τ 45 o σ τ τ σ min = τ Рис. 5. 7

19 τ 8 Объемная деформация при сдвиге 0. E Условие прочности при расчете на сдвиг срез имеет вид: m dm, 5. где τ dm допускаемое касательное напряжение допускаемое напряжение на срез. Например, при расчете заклепок принимают τ dm = 0,6-0,8, а при расчете деревянных конструкций на срез принимают τ dm = 0, для сосны. d Потенциальная энергия при сдвиге t dm t dm Из рис. 5. находим: dh kq tg, dh d d ds, d G G где k поправочный коэффициент, учитывающий неравномерное распределение касательных напряжений по поперечному сечению. Учитывая полученные результаты, по формуле 4.7 определяем kq Q d dw Qdh d, W k U, G 5.4 G где U потенциальная энергия при сдвиге. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ НА СДВИГ Рассмотрим основы практических методов расчета на сдвиг срез заклепочных соединений. Пример. Определить необходимое число n односрезных заклепок диаметром d при действии растягивающей силы рис. 5., а. γ τ б d l 45 o d τ Рис. 5. τ τ d dh Рис. 5. х При действии статической нагрузки можно принимать, что поперечная сила Q в каждой заклепке равна Q. n Будем считать, что касательные напряжения τ по плоскости среза распределяются равномерно рис. 5., б, тогда Q, где А = πd /4 площадь поперечного сечения одной заклепки. l 0

20 Составим уравнение равновесия для отсеченной части рис. 5., б: n 0, откуда. / n Из условия прочности на срез 5. получаем: / 4 dm и n. τ dm n dm d dm Пример. Определить необходимое число n заклепок в двухсрезном соединении рис τ dm б Составим уравнение равновесия отсеченной части рис. 5.4, б: Рис. 5.4 n dm 0, откуда n. d Л е к ц и я 6 dm dm х ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ При изучении вопросов прочности, жесткости и устойчивости приходится иметь дело с некоторыми геометрическими характеристиками поперечных сечений конструкций. Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения: d. 6. Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок d на их расстояния от этой оси рис. 6.: S d, S d ; 6. S dd, S dd; 6. S S, 6.4, где расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси ; расстояние от центра тяжести всего сечения до оси. Статический момент сложного сечения Рис. 6. относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси: S... n n n i ; i O i ρ d 9

21 n n n i S В формулах 6.5 введены обозначения: А, А,, А n площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение;,,,,,,, n, n координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей и у. Из выражений 6.4 можно определить координаты центра тяжести плоского сечения: S S ;. 6.6 Для сложного поперечного сечения формулы 6.6 можно представить в следующем виде S... n n ;... S... n n.... n n i i 6.7 Выводы. Изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента S. Аналогично, изменение положительного направления оси х вызывает изменение знака статического момента S.. Статический момент сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести этого сечения.. Если плоское сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит через центр тяжести плоского сечения, а поэтому, согласно п., статический момент сечения относительно оси симметрии всегда равен нулю. 4. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей симметрии. Осевым моментом инерции плоского сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок d на квадраты их расстояний от этой оси, т.е. I d, I d. 6.8 Полярным моментом инерции плоского сечения относительно некоторой точки полюса О называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок d на квадраты их расстояний от этой точки, т.е. I d d

22 Сумма осевых моментов инерции плоского сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения указанных осей: I I I. 6.0 Центробежным моментом инерции плоского сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей и у называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок d на их расстояния от этих осей, т.е. I d. 6. d Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей Из рис. 6. следует: I d d b d b d b d I bs b. Рис. 6. Если предположить, что ось проходит через центр тяжести поперечного сечения, то S = 0, и полученное выражение примет вид: I I b. 6. По аналогии можно получить формулу для определения I : I I. 6. Центробежный момент инерции относительно новых осей, будет: I d b d I bs S b. Если предположить, что оси, проходят через центр тяжести сечения, то S = S у = 0 и I I b Пример. Рассмотрим прямоугольное сечение рис. 6.: d = bd; I I h / h / bh d bd b I h / h h / bh h bh bh. 4 d b d d b, O h/ d h/ O b/ b d b/ Рис. 6. d

23 Но I можно получить, используя формулу 6.8: I d h / h / bd b h / h / bh hb hb Аналогично находим: I, I. Принимая dа = dd рис. 6., определяем центробежный момент инерции поперечного сечения: I d h / b / h / b / dd b / h / b / h /. d 0. Полученная формула показывает, что центробежный момент инерции плоского поперечного сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю. Л е к ц и я 7 ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ O Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей, и моментами инерции относительно осей,, повернутых на угол α. Из рис. 7. находим os sin, тогда os sin, I d os sin d I os I sin I sin ; I d os sin d I sin I os I sin ; α Рис. 7. I d d os sin os sin d I I sin I os. 7. Определим экстремальные значения осевых моментов инерции для рассматриваемого поперечного сечения рис. 7., для чего приравняем нулю первые производные: di d I I sin I os 0 I, /

24 di / d I I sin I os 0 I. 7. Следовательно, экстремальные значения осевых моментов инерции будут относительно осей, для которых I = 0. Максимальные и минимальные значения осевых моментов инерции называются главными моментами инерции. Из любой формулы 7. определяем: I tg, 7. I I где α угол наклона главных осей, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Центральные оси оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения. Подставляя формулу 7. в выражения 7., можно найти значения главных моментов инерции: I I I m I I 4I. 7.4 min По структуре формула 7.4 аналогична формуле для определения главных напряжений.6. Из формулы 7.4 очевидно, что I I I I onst.. Пример. Пусть I = I u = I m, I = I v = I min, то есть осевые моменты инерции I u, I v главные моменты инерции относительно главных осей u, v. Тогда имеем, что I uv = I = 0 рис. 7.. В этом случае формулы 7. дают: m I I u os I v sin, I I v os I u sin, I u I v I sin. 7.5 Рис. 7. Пример. Рассмотрим поперечное сечение в виде неравнобокого уголка /7, t = 0,8 см и остальные геометрические размеры рис. 7.. Из таблицы ГОСТ выписываем все необходимые данные: I = 54,6 см 4 ; I = 7 см 4 ; I min = I u =, см 4 ; =,9 см ; tgα = 0,4, следовательно, α = о 48 / рис. 7.; =,64 см; =,6 см. v Тогда I + I = I u +I v, откуда u min I v = I +I I u = 94, см 4 ; I uv = 0. Применяя формулы 7.5, определяем: I u I v α < 0 I sin, 94, o 4,9 см sin 48 55,9 см. Рис. 7. с =,64 см min,v 9,6 см α, u

25 I I 9,6,9,9 56 см, I I,9 7,9,9 5,4 см ; I I 9,6 54,6 9,6,9 7,4 см КРУГ МОРА I I I I min I α α I I, I I m, I min I m Рис. 7.4 Л е к ц и я 8 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ При малом угле закручивания φ рис. 8. принимаются следующие допущения:. Круговые сечения вала остаются круговыми и диаметр их не меняется.. Расстояния между круговыми сечениями остаются постоянными. M х γ d M φ Рис. 8. d б M γ dφ / b M 4

26 . Поперечные сечения вала, плоские и нормальные к оси до приложения внешней нагрузки, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации. Рассмотрим элементарный цилиндрик рис. 8., б: ds rd tg r, d d где γ сдвиг угол сдвига, θ относительный угол закручивания. Тогда d, d r. 8. Применим закон Гука при сдвиге: G Gr на внешней поверхности, G G на любой r цилиндрической внутренней поверхности радиусом r. В рассматриваемом случае отсутствуют нормальные напряжения, следовательно, это чистый сдвиг. Как отмечалось ранее, модуль поперечной упругости можно определить по формуле E G. 8. Составим уравнение равновесия рис. 8.: M d M 0, M d G d GI ; где I ρ = πr 4 / полярный момент инерции круглого поперечного сечения, d M I d M G или d, 8. d GI M M GI или r. 8.4 d GI Подставляем формулу 8.4 в закон Гука при сдвиге: M G. 8.5 I M M Из последней формулы очевидно, что m r r, I W I r где W - полярный момент сопротивления. r Таким образом, условие прочности при сдвиге 5. можно записать M как m dm. 8.6 W τ ρ d ρ Рис. 8. 5

27 Подбор сечения круглого вала Из условия прочности 8.6 определяем: W M r d 6M, откуда находим d. 6 dm Эпюры крутящих моментов dm М = кн м М= кн м кн м B М=,6 кн м C М4 = 5 кн м D E,4 кн м кн м Рис. 8.,6 кн м 6 КРУЧЕНИЕ ПОЛОГО ВАЛА d d Для полого вала имеем: I, W тогда из формулы 8.6 получаем: / W. h 4 4 I 4 4 d d, m M d 6d Если толщина стенки h полого вала мала, то можно предположить, что касательные напряжения распределяются равномерно по толщине и равны τ ср, в этом случае согласно рис. 8.4 запишем d ср d ср d hd h, А ср h Рис. 8.4 d M ср ср где А ср площадь, ограниченная контуром средней линии стенки полого вала. И, наконец, M ср. 8.7 h ср ср ср

28 Л е к ц и я 9 КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА НЕКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Задачи на кручение прямых брусьев некруглого поперечного сечения решаются методами теории упругости. В отличие от круглых брусьев, при кручении которых поперечные сечения остаются плоскими и круглыми, сечения стержней любой другой формы искривляются. Происходит депланация поперечного сечения. При этом диагонали и оси симметрии прямоугольного сечения не искривляются и остаются в одной плоскости. Брус прямоугольного поперечного сечения Для удобства пользования формулам, применяемым при расчете брусьев прямоугольного сечения, придается такой же вид, как и в случае круглого сечения. В соответствии с этим наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении бруса и углы закручивания φ определяются по формулам: M M l m,, 9. W GI к где I к = αb 4, W к = βb 9. I к геометрическая характеристика крутильной жесткости, W к момент сопротивления при кручении; коэффициенты α, β определяются по таблице 9.; h, b размеры сторон прямоугольного сечения. При h / b 0 можно пользоваться Таблица 9. упрощенными формулами: hb I к hb I к, Wк. 9. b Касательные напряжения τ в серединах коротких сторон прямоугольного сечения определяют по формуле: τ = γτ m, 9.4 к h/b α β γ,0 0,40 0,08,000,5 0,94 0,46 0,859,0 0, ,795,0 0,790 0,80 0,79 4,0,,50 0,745 6,0,789,789 0,74 8,0,456,456 0,74 0,, 0,74 а τ m возникают в серединах длинных сторон. При h / b 4 можно принимать γ 0,74 = сonst. Из приведенных формул видно, что напряжения при кручении не зависят от физических свойств материала конструкции, так как модуль сдвига G не входит в формулы напряжений 9., 9.4. Пример. Дан брус прямоугольного сечения с h = 40 см, b = 0 см и длиной l = м, на который действует крутящий момент M = 4 т м. Материал бруса сталь с G = кг/см. 7

29 h = 40 см 5 см 0 см 5 см 8 Решение. Имеем h/b = рис. 9., тогда из табл. 9. выбираем α = 0,457; β = 0,49; γ = 0,795. По формулам 9. находим 4 4 I к 0, см ; Wк 0, см. Максимальное касательное напряжение в точках С τ Д = 80 кг/см поперечного сечения рис. 9. определяем по первой формуле 9.: Д M m 0,5 кг/см. Wк 940 τ С m Касательные напряжения в точках Д вычисляем по С формуле 9.4: 0,795 0,5 80 кг/см. Д b = 0 см Рис. 9. Д m ч Полный угол закручивания находим по второй формуле 9.: o 70 рад 0, Тонкостенный стержень открытого профиля Пример. Рассмотрим тонкостенный стержень открытого профиля в виде двутавра рис. 9.. Сечение разбиваем на прямоугольника и для С каждого из них определяем: и : h/b = 0/5 = 4, α =,; β =,5; I к I к b, 5 70 см, см 0 4 : hb 70 см. С I к Для всего сечения в целом имеем: I к = I к + I к + I к = = 674 см 4 ; W к = 674/5 = 5 см, 0 см где за b m необходимо принять размер меньшей Рис. 9. стороны прямоугольного сечения, входящего в общее сечение, и имеющего наибольшую толщину в нашем случае это элементы и ; b m = 5 см. Наибольшее касательное напряжение возникает в серединах длинных сторон прямоугольников и точки С: M 4 0 m 9 кг/см, Wк 5 где для примера взято М х = 4т м; l = 00 см длина двутавра; 5

30 M l GI к ,06 рад. 674 Кручение тонкостенных стержней с замкнутым профилем Если поперечное сечение имеет замкнутый контур, то необходимо применять формулы 8.7: ср M M Sd m, d, 9.5 h 4G h ср где А ср площадь поперечного сечения, ограниченного средней линией контура, S длина средней линии. Пример. Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания φ трубчатого сечения рис. 9., если внешний крутящий момент М = кн м действует на участке длиной l = м, а модуль сдвига материала стержня G = МПа. Решение. По рис. 9. находим t min = 0,5 см, А ср = 6,5 = см 0,5 см, тогда формула 9.5 дает 0,5 см см m 958 КПа 95, 8 МПа , 005 Максимальное касательное напряжение будет в середине длинной стороны точка С поперечного сечения, имеющей минимальную толщину t min = 0,5 см.,5 см По второй формуле 9.5 определяем угол закручивания сечения на длине стержня в м: Рис. 9.,5 6 0,044 рад ,5 Значительно более жесткими и поэтому более целесообразными при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля. Л е к ц и я 0 ИЗГИБ Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Они возникают, если стержень подвергается действию поперечной нагрузки или сосредоточенных моментов. При действии такой нагрузки ось стержня искривляется. Указанный вид нагружения называют изгибом, а стержни, работающие в основном на изгиб балками. ср С см см 5 см С 6 см 9

31 Чаще встречается поперечный изгиб, когда в поперечных сечениях балки наряду с изгибающими моментами возникают также и поперечные силы. Если плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных осей поперечного сечения, изгиб балки носит название плоского простого изгиба. Типы опор балок R R Подвижная шарнирная опора H R Шарнирно неподвижная опора Балка с одним заделанным концом называется консольной балкой консолью. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил Поперечная сила в сечении балки а а считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от рассматриваемого сечения направлена снизу вверх, а справа сверху вниз рис. 0., а, и отрицательной в противоположном случае рис. 0., б. Иногда пользуются следующим правилом: положительная поперечная сила стремится повернуть балку вокруг рассматриваемого сечения по часовой стрелке, а отрицательная против часовой стрелки. M H R Жесткая заделка защемление M R Температурная заделка Q - >0 Q - <0 а а а а а б М - >0 М М Рис. 0. Рис. 0. а а а М М - <0 а а б М Ординаты эпюр поперечных сил, соответствующие положительным значениям, будем откладывать вверх от осей эпюр, а отрицательным вниз ось эпюры должна быть направлена параллельно оси балки. Изгибающий момент в сечении балки а-а считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа против часовой стрелки рис. 0., а, и отрицательным в противоположном случае рис. 0., б. 0

32 Ординаты эпюр изгибающих моментов, соответствующие положительным значениям, будем откладывать вниз от осей этих эпюр, а отрицательным вверх ось эпюры должна быть направлена параллельно оси балки. Таким образом, устанавливаясь откладывать положительные ординаты эпюры изгибающих моментов вниз от оси балки, мы получим, что эпюра оказывается построенной со стороны растянутых волокон балки. Пример. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, изображенной на рис. 0.. Решение. Определим вертикальные опорные реакции R и R B балки. Отметим, что левая опора шарнирно неподвижная опора, поэтому в ней возникает вертикальная опорная реакция R, препятствующая вертикальному смещению, и горизонтальная опорная реакция Н, исключающая горизонтальное смещение закрепленного сечения балки. Однако при заданной вертикальной нагрузке имеем: X H 0, следовательно, H = 0. Для определения реакций R и R B составим уравнения равновесия в R =ql Q M А ql MI,m=0,5ql I l I q II l а II В l R B =ql ql III m = ql III Рис. 0. виде сумм моментов всех сил относительно точек А и В: M B R l ql l l m 0, откуда находим R = ql; M m RB l ql l 0, откуда определяем R B = ql. Для проверки найденных значений R и R B составим условие равенства нулю суммы всех сил на вертикальную ось : ql х R R q х б I I в l М I O I Q I Q III O III q М III III III г М II II II O II Q II m = ql

33 Y R ql R ql ql ql 0. B Следовательно, реакции R и R B определены правильно. Для построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил балку необходимо разбить на три участка. Назовем участком балки каждую ее часть, в пределах которой законы изменения внешней нагрузки остаются постоянными. Границами участков являются поперечные сечения балки, в которых к ней приложены сосредоточенные нагрузки в том числе опорные реакции или, в которых начинается или заканчивается распределенная нагрузка. За границу участка необходимо также считать поперечное сечение балки, в котором интенсивность распределенной нагрузки начинает изменяться по новому закону. В рассматриваемом примере это явление не встречается. Учитывая это, устанавливаем, что участок I расположен в пределах 0 l, участок II расположен в границах l l, а участок III имеет пределы l 4l. У ч а с т о к I. Проведем на этом участке сечение I I на расстоянии х от левого конца балки. Отбросив правую часть балки, составим уравнения равновесия для оставшейся левой части балки рис. 0., б. Действие отброшенной части балки заменяем положительной поперечной силой Q I и положительным изгибающим моментом M I метод сечений. В этом случае Y R q Q 0, тогда Q R q q l ; I q q M o I R M I 0, тогда M I R q l. Здесь q равнодействующая равномерно распределенной нагрузки в пределах отрезка длиной х участка I. Эта равнодействующая приложена посередине участка длиной х, а поэтому ее момент относительно точки 0 I будет равен I q q. Полученные значения Q I и M I действительны только в пределах участка I 0 l. Зависимость QI q l от х линейная, следовательно, для построения эпюры Q в пределах участка I достаточно определить величины Q I в начале участка х = 0: Q ql при х = 0 и в конце участка I l : I QI q l l ql при l. Зависимость M I q l / от х квадратичная, т.е. эпюра М на участке I представляет собой параболу. Для построения эпюры М вычисляем значения M I в начале и в конце участка I:

34 0 M I 0; l M I q l l 4l / 0. Для определения максимального или минимального значения изгибающего момента М в пределах участка I воспользуемся положением, что функция достигает своего экстремума, когда первая производная ее по аргументу равна нулю. Принимая dm I / d q l 0, находим l абсцисса поперечного сечения балки, где М принимает экстремальное значение. И наконец, определяем M I,m l q l l l / ql /. У ч а с т о к II. Проведем сечение II II и, отбросив правую часть балки, составим уравнения равновесия для оставшейся левой части балки рис. 0., в. В этом случае: Y R ql QII 0, тогда QII ql ; M II R ql l M 0, тогда M ql l. O II Величина поперечной силы Q II на втором участке имеет постоянное значение Q II = ql, а зависимость изгибающего момента M II от х линейная, следовательно, для построения эпюры М на участке II достаточно определить величины M II при двух значениях абсциссы х: при = l имеем M II = qll l = 0; а если = l, тогда M II = qll l = ql. У ч а с т о к III. Проведем сечение III III. Сейчас удобнее отбросить левую часть балки и рассмотреть оставшуюся правую часть балки рис. 0., г. В сечении III III показываем положительную поперечную силу Q III и положительный изгибающий момент M III см. рис. 0. и 0.. Для оставшейся части составим уравнения равновесия: II Y Q 0, следовательно, Q III 0; III M O III M III m 0, откуда находим M III m ql. По полученным значениям Q III и M III на рис. 0., а построены эпюры Q и М для участка III балки. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ИЗГИБАЮЩИМ МОМЕНТОМ, ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ И РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ Выделим двумя сечениями элемент балки рис. 0.4: q q dq Y Q Q dq d 0, откуда dq +qd +dqd/ = 0. Бесконечно малыми величинами второго порядка пренебрегаем и окончательно M Q d Рис. 0.4 k q +dq M + dm Q + dq

35 dq получаем: q. 0. d Составим еще одно уравнение равновесия: d dqd d M k M M dm Qd qd В уравнении 0. оставляем только бесконечно малые первого порядка, в результате получаем: dm dm Qd 0, то есть Q. 0. d Таким образом, первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского. Используя полученные зависимости 0., 0., можно сделать несколько важных выводов:. Тангенс угла между касательной к линии, ограничивающей эпюру М, и осью эпюры М равен поперечной силе Q.. На участках балки, где поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает слева направо, а на участках, где она отрицательна убывает.. Чем больше по абсолютной величине значение поперечной силы Q, тем круче линия, ограничивающая эпюру М. 4. Если эпюра Q имеет постоянное значение, то на этом участке эпюра М ограничена прямой линией. 5. Если на границе соседних участков балки в эпюре Q имеется скачок, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются с изломом, то есть не имеют в точке сопряжения общей касательной. 6. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях балки, в которых поперечная сила равна нулю. 7. На участках балки, где распределенная нагрузка q отсутствует, поперечные силы постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону. Л е к ц и я ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ Помимо уже известных гипотез лекция будем считать, что продольные волокна не давят друг на друга. Слой балки, не испытывающий при изгибе ни растяжения, ни сжатия, называется нейтральным слоем. Рассмотрим случай чистого изгиба. На рис.., а показан изогнутый 4

36 участок балки, где /ρ кривизна нейтрального слоя, ds d, ds d но по закону Гука имеем E E, откуда. E. M ρ dα M M σ х а Составим уравнение равновесия рис.., б: E E E d 0, d d d S 0, нейтральный слой ds B Δds Рис.. откуда находим S = 0, следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения. Из другого уравнения равновесия определяем рис.., б E E E M o M d 0, M d d d I, M или.. EI Приравняем соответствующие члены уравнений. и.: M E M, откуда.. EI I В результате получили уравнение, позволяющее определить нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки, если известен изгибающий момент и момент инерции сечения. Опуская индекс х в обозначениях, запишем формулу. в виде: M..4 I I Обозначим W,.5 m где W момент сопротивления поперечного сечения. Следовательно б ds О d 5

37 M m dm.6 W условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям. Для сечений, не симметричных относительно нейтральной оси, например, для треугольного, расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых волокон m различны, поэтому для таких сечений имеются два момента сопротивления: t W I m, W t I где m, m расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных сжатых и растянутых волокон соответственно. t m ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ При поперечном изгибе в поперечных сечениях возникают, помимо изгибающих моментов, и поперечные силы. Наличие поперечной силы связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечениях балки, а по закону парности касательных напряжений и в ее продольных сечениях рис... σ + dσ τ τ σ d, d η τ b η Тремя сечениями выделим элемент балки рис.. и составим уравнения равновесия: d d d bd 0, где 6 d M dm M d d d bd I I d bd отс dm Q S d, di b bi.7 Рис.. отс S статический момент отсеченной площади поперечного сече-

38 ния относительно оси, проходящей через его центр тяжести. Зависимость.7 впервые была установлена Д.И. Журавским и называется его именем. Пример. Построим эпюру касательных напряжений для прямоугольного поперечного сечения рис... Для прямоугольного поперечного сечения имеем: отс h h b h bh S b, I. 4 По формуле.7 определяем: Q 6 b. 4 4 h Q h.8 bbh bh Построим эпюру τ по трем точкам: τ Q Q 0 m ; bh h h τ 0. m Эпюра τ показана на рис... Она представляет собой параболу см. формулу.8. Наибольшее касательное напряжение для балки прямоугольного b поперечного сечения имеет место на Рис.. уровне нейтральной оси х у = 0, там где нормальное напряжение равно нулю см. формулу.4. h/ h/ Л е к ц и я h/ + / НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ БАЛКИ. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Сравнивая рис.. и рис.., делаем вывод, что необходимо положить σ = σ, τ = τ, σ = 0, тогда из формулы. получаем os sin,. а из формулы. находим sin os,. Главные напряжения получаем из формулы.6: ds τ α σ α τ α d Рис.. τ d σ 7

39 m min 4,. а формула.5 дает: tg o..4 Максимальные касательные напряжения находим из выражения.8: m min 4..5 Пример. Построить эпюры главных напряжений и τ m, τ min для прямоугольного поперечного сечения рис... σ τ σ m σ min M /W M /W τ m τ min M /W h Q Q Q b M /W M /W Рис.. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ ТОНКОСТЕННОГО БРУСА. ЦЕНТР ИЗГИБА Теория определения касательных напряжений, изложенная на лекции, справедлива лишь для сплошных сечений. В тонкостенных стержнях, даже при совпадении силовой плоскости с одной из главных осей сечения, может наблюдаться явление закручивания. Рассмотрим балку открытого профиля рис... В вертикальной стенке касательные напряжения τ у определяются по формуле Журавского.7: QS. bi Равнодействующая касательных напряжений τ у в стенке дает силу, равную Q рис.., б. Примем, что касательные напряжения τ в горизонтальных полках распределены по толщине стенки равномерно. Рассмотрим равновесие элемента полки, изображенного на рис.., в: отс M /W 8

40 Q ti td h / h h 4 h / h / h / d d d dt 0, откуда dd ii h h dm d h / h / h / h / Q ti d отс h t QS ti Q ii h h 4 4. τ t τ А отс h h/ B R Q h/ σ τ х отс d σ + dσ τ t а τ,m τ τ R б Рис.. в Таким образом, формула для вычисления касательного напряжения τ отс QS.6 ti по структуре похожа на формулу.7 для вычисления τ у. Наибольшее касательное напряжение τ будет в месте соединения полки со стенкой, там где th /, то есть S отс Qth Qh,m. ti I Равнодействующая касательных напряжений τ вычисляется следующим образом: Qh Q ht R,m t t. I 4I Существует такая точка В сечения, относительно которой момент равнодействующих касательных напряжений равен нулю. Эта точка называется центром изгиба. Положение этой точки находим из уравнения: M B R h Q 0, а R h /, или окончательно Q 9

41 Q ht h h t..7 4I Q 4I Чтобы при изгибе не возникало кручения, необходимо внешнюю силу прикладывать в центре изгиба. Если сечение имеет две оси симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. 40 Л е к ц и я РАСЧЕТ НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ Расчет балок на прочность обычно ведется по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях, то есть необходимо рассматривать сечение, где M = M имеет наибольшее значение. При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на изгиб, возможны три следующих вида задач:. Проверка напряжений проверочный расчет.. Подбор сечения.. Определение допускаемой нагрузки. Рассмотрим основные случаи расчетов на прочность при изгибе на примерах. Пример. Подобрать сечение стальной балки из двутавра рис... Из СНИПа принимаем R = 40 МПа, где R расчетные сопротивления проката для стальных конструкций. Расчет на прочность стальных элементов, изгибаемых в одной из главных 4 кн плоскостей, следует выполнять по формуле: 4 м 4 м кн кн M,m m R с dm,. W кн 48 кн м кн Рис.. t n,min где γ коэффициент условий работы, принимаемый по таблице; W n,min момент сопротивления нетто относительно оси, определяемый по одной из формул t I I W, W,. t Для двутавра W W W. Пусть в нашем случае γ =. По эпюре изгибающих моментов принимаем M,m = 48 кнм рис... Из формулы. находим: M,m Wn, min 0 м 00 см. R M Q m m

42 По сортаменту стальных прокатных профилей «Двутавры стальные» находим соответствующий номер двутаврового профиля: 6 с моментом сопротивления одного двутавра W = 09 см или для двух двутавров W n = 09 = 8 см. Прочность назначенного сечения будет: 480 m 0 МПа 40 МПа. 6 dm Недонапряжение составляет: 00% 8%. 40 Сечение считается подобранным удовлетворительно, если недонапряжение составляет до 5-7%. Проверяем подобранное сечение по максимальному касательному напряжению. Имеем Q m = кн, статический момент половины сечения одного двутавра 6 берем из сортамента стальных прокатных профилей «Двутавры стальные» S = 6, см, толщина стенки двутавра b = 5 мм, осевой момент инерции I = 87 см 4. В этом случае по формуле.7 определяем: / 0 6, 0 m 8,6 МПа. 8 dm 0, Пример. Подобрать прямоугольное поперечное сечение однопролетной шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной по всей длине балки нагрузкой q = 6 кн/м, причем γ =, R = 40 МПа, длина балки l = 4 м. Из формулы. находим M, m ql bh W 0, 0 м. R 8R Положим, что задано отношение высоты балки h к ее ширине b: h = b. В этом случае, согласно последней формулы bb 0, 0 0, 0,5b, откуда находим b 0,045 м. 6,5 Окончательно принимаем b = 4,5 см; h = b =,5 см. Пример. Запроектируем балку, во всех поперечных сечениях которой нормальные напряжения, возникающие от заданной нагрузки, будут одинаковыми. Такая балка называется балкой равного сопротивления при изгибе. Рассмотрим балку прямоугольного сечения, заделанную одним концом и нагруженную на другом конце силой. Наибольший изгибающий момент возникает на опоре M m = l, а в других сечениях будет M =, где х расстояние от свободного конца балки до рассматриваемого сечения. Установим размеры поперечных сечений балки при условии, что b = onst. Тогда 6 4

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ"

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ" ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов - есть наука о расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Основными задачами сопротивления

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» И. И. Еремеева, Р. И. Никулина, А. А. Поляков Д. Е. Черногубов, В. В. Чупин СОПРОТИВЛЕНИЕ

Подробнее

Расчет элементов стальных конструкций.

Расчет элементов стальных конструкций. Расчет элементов стальных конструкций. План. 1. Расчет элементов металлических конструкций по предельным состояниям. 2. Нормативные и расчетные сопротивления стали 3. Расчет элементов металлических конструкций

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

Прямой поперечный изгиб Расчёты на прочность

Прямой поперечный изгиб Расчёты на прочность МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Прямой поперечный изгиб

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина» В.В. Чупин СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное электронное

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Примеры решения задач Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

Подробнее

Задание по расчетно-графической работе 4 Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность. Задача 1

Задание по расчетно-графической работе 4 Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность. Задача 1 Задание по расчетно-графической работе 4 Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность. Задача 1 Произвести расчет прокатной двутавровой балки на прочность по методу предельных состояний,

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке к практическим занятиям (для студентов всех

Подробнее

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1.1. Основные определения сопротивления материалов Введение. Общие понятия и принципы дисциплины «Сопротивление материалов». Реальный объект и расчетная схема. Внешние силовые факторы (классификация). Определение внутренних усилий методом мысленных сечений.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов Сибирский Федеральный Университет Сопротивление материалов Методические указания к контрольным работам Красноярск СФУ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ При изучении курса «Сопротивление материалов» студенты знакомятся с

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины Цель дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины Цель дисциплины 2 1.1. Цель дисциплины 1. Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Сопротивление материалов» относится к общетехническому циклу и имеет своей целью усвоение будущими специалистами основ инженерной подготовки

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный

Подробнее

Оглавление. 10c. Лекция 9. Определение перемещений при изгибе. Лекция 10. Продольный изгиб прямого стержня. 11с. 99с. Всего

Оглавление. 10c. Лекция 9. Определение перемещений при изгибе. Лекция 10. Продольный изгиб прямого стержня. 11с. 99с. Всего Оглавление Лекция. Введение. Задачи курса. Понятие о расчетной схеме. Лекция. Внутренние силовые факторы. Метод сечений. Напряжения, перемещения и деформации. Лекция. Растяжение. Построение эпюр продольных

Подробнее

У ч е б н о е п о с о б и е

У ч е б н о е п о с о б и е Министерство образования и науки Российской Федерации Ивановский государственный химико-технологический университет А.Э. Козловский Р А С Ч Ё Т Э Л Е М Е Н Т О В К О Н С Т Р У К Ц И Й Н А Р А С Т Я Ж Е

Подробнее

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб Введение Настоящая программа базируется на основных разделах следующих дисциплин: Математика; Физика; Теоретическая механика; Сопротивление материалов; Теория упругости и пластичности; Статика, динамика

Подробнее

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие

19. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие Лекция 19 Понятие об устойчивости систем. Формы и методы определения устойчивости. Задача Эйлера. Условия закрепления концов стержня. Критические напряжения. Расчет на устойчивость. Расчет на устойчивость

Подробнее

ПРОГРАММА вступительных испытаний по дисциплине «Техническая механика»

ПРОГРАММА вступительных испытаний по дисциплине «Техническая механика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет морского и речного

Подробнее

Лекция 01. Предмет сопротивления материалов. Понятия о деформациях и напряжении. Закон Гука Диаграмма растяжения Сопротивление материалов наука,

Лекция 01. Предмет сопротивления материалов. Понятия о деформациях и напряжении. Закон Гука Диаграмма растяжения Сопротивление материалов наука, Лекция 01. Предмет сопротивления материалов. Понятия о деформациях и напряжении. Закон Гука Диаграмма растяжения Сопротивление материалов наука, изучающая состояние различных элементов неподвижной или

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технологический институт «ВТУ» Контрольные задания по дисциплине «Строительная механика» 1 Оглавление Общие

Подробнее

4. ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

4. ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ 4. ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ Основы расчетов на прочность и жесткость элементов конструкций составляют часть науки о сопротивлении материалов. Сопротивление материалов

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к выполнению контрольных заданий по теме «Геометрические характеристики

Подробнее

Внецентренное действие продольных сил

Внецентренное действие продольных сил Внецентренное действие продольных сил C C Центральное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) Внецентренное сжатие (растяжение) это случай нагружения, когда линия действия сжимающей (растягивающей

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет РАБОЧАЯ ПРОГРАММА спецкурса: СОПРОМАТ. ЧАСТЬ 1 Кафедра Газовой и волновой и динамики Лектор - профессор Звягин

Подробнее

Томский государственный архитектурно-строительный университет М.О. Моисеенко, О.Н. Попов, Е.В. Евтюшкин, Д.Н. Песцов

Томский государственный архитектурно-строительный университет М.О. Моисеенко, О.Н. Попов, Е.В. Евтюшкин, Д.Н. Песцов Учет взаимосвязи учебного материала предметов теоретической и строительной механики в условиях формирования национальной доктрины инженерного образования Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический

Подробнее

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max );

Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки! Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=y max ); Лекция Деформация балок при изгибе Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Метод начальных параметров Универсальное уравнение упругой линии ДЕФОРМАЦИЯ БАЛОК ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ Основные понятия и

Подробнее

Организация-разработчик: Финансово-технологический колледж ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ»

Организация-разработчик: Финансово-технологический колледж ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ» Рабочая программа учебной дисциплины Техническая механика разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 70841.51

Подробнее

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ МЕТОДОМ БУБНОВА ГАЛЁРКИНА Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет Расчет пластинки на изгиб методом Бубнова Галеркина: методические указания /Сост ИЮ Смолина, ЛЕ Путеева,

Подробнее

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. СОДЕРЖАНИЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ... 5 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА ПЛАСТИНКИ... 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ... 9 СИММЕТРИЧНЫЙ

Подробнее

Лекция 6. Нагрузки, напряжения и деформации. Механические свойства.

Лекция 6. Нагрузки, напряжения и деформации. Механические свойства. Лекция 6 http://www.supermetalloved.narod.ru Нагрузки, напряжения и деформации. Механические свойства. 1. Физическая природа деформации металлов. 2. Природа пластической деформации. 3. Дислокационный механизм

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (ЧАСТЬ II)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (ЧАСТЬ II) ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (ЧАЬ II) Хабаровск 00 Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Хабаровский

Подробнее

1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. УЧЕБНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ...4 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ...4 2.1. Цель преподавания дисциплины...4 2.2. Задачи изучения дисциплины...4 2.3. Перечень базовых дисциплин...5 2.4. Перечень дисциплин,

Подробнее

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 35 УДК 539.3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины ОП.05. ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА для специальности: «Техническое регулирование и управление качеством»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины ОП.05. ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА для специальности: «Техническое регулирование и управление качеством» Департамент образования и науки Кемеровской области государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Кемеровский коммунально-строительный техникум» имени В.И. Заузелкова

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.... Введение..... Задачи и методы сопротивления материалов..... Реальный объект и расчетная схема..... Внешние и внутренние силы. Метод сечений..... Напряжения....5.

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости» СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ К Р АТКИЙ КУРС М и н с к 01

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по сопротивлению материалов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по сопротивлению материалов .. Э. А. Буланов РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по сопротивлению материалов 5-е издание (электронное) Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2015 УДК 539.3/.6 ББК 30.121 Б90 Б90 Буланов Э. А. Решение задач по сопротивлению материалов

Подробнее

В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН О. В. КОНДРАТЬЕВ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ

В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН О. В. КОНДРАТЬЕВ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН О. В. КОНДРАТЬЕВ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Львов Геннадий Иванович ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Учебник ВВЕДЕНИЕ Основные уравнения теории упругости В теории упругости существуют три группы формул которые образуют основные уравнения теории

Подробнее

Отпечатано в типографии ТюмГАСУ Тюмень, 2014

Отпечатано в типографии ТюмГАСУ Тюмень, 2014 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

О.В. ДЁМИН, В.Е. БУЛАНОВ МЕХАНИКА: ОСНОВЫ РАСЧЁТОВ НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОН- СТРУКЦИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

О.В. ДЁМИН, В.Е. БУЛАНОВ МЕХАНИКА: ОСНОВЫ РАСЧЁТОВ НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОН- СТРУКЦИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ О.В. ДЁМИН, В.Е. БУЛАНОВ МЕХАНИКА: ОСНОВЫ РАСЧЁТОВ НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОН- СТРУКЦИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный

Подробнее

Драган Ю.Е. Краткий конспект лекций по «Сопротивлению материалов» Часть I

Драган Ю.Е. Краткий конспект лекций по «Сопротивлению материалов» Часть I Драган Ю.Е. Краткий конспект лекций по «Сопротивлению материалов» Часть I Разделы Введение 1 1. Растяжение и сжатие 7 2. Испытания образцов материалов на растяжение. Механические характеристики материалов

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Сопротивление материалов» Часть I

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Сопротивление материалов» Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Кафедра «Материаловедение и механика материалов» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Сопротивление материалов» Часть I Методическое

Подробнее

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей

Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» А. А. Лахтин Расчет прямоугольной пластины методом конечных

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. СБОРНИК ЗАДАЧ

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. СБОРНИК ЗАДАЧ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» Кафедра инженерной графики ВЫШИНСКИЙ Н. В. ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.

Подробнее

Статика стержневых систем Курс лекций по строительной механике Часть 1. Статически определимые системы

Статика стержневых систем Курс лекций по строительной механике Часть 1. Статически определимые системы Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет» С. А. Маврина Статика стержневых систем Курс

Подробнее

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Ю.Т. Селиванов РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ УДК 539.4 ББК Жя73- С9 Р е ц е н з е н т Кандидат технических наук, доцент В.М. Червяков С9 Селиванов, Ю.Т. Растяжение

Подробнее

3. Расчет элементов ДК цельного сечения

3. Расчет элементов ДК цельного сечения ЛЕКЦИЯ 3 Деревянные конструкции должны рассчитываться по методу предельных состояний. Предельными являются такие состояния конструкций, при которых они перестают удовлетворять требованиям эксплуатации.

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 1 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС По дисциплине «Сопротивление

Подробнее

«Техническая механика»

«Техническая механика» МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» УТВЕРЖДАЮ

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по дисциплине ОП.02. Техническая механика, часть 1 «Статика»

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по дисциплине ОП.02. Техническая механика, часть 1 «Статика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.И. ВЕРНАДСКОГО» (ФГАОУ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный химико-технологический университет» 5 МЕХАНИКА Методические

Подробнее

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p.

после интегрирования получаем: = 2 pa, то есть формулу Лапласа. Растягивающие напряжение σ , если считать трубу тонкостенной (h<<a), = p. УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ Рассмотрим круглую трубку длины l, радиуса а, и толщиной h Приложим к ней следующие нагрузки: растягивающую силу Р, крутящий момент М и внутреннее давление р Мысленно вырежем малый

Подробнее

М. Ю. Кабакова, Е.С. Носкова ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Учебное пособие для студентов заочной формы обучения

М. Ю. Кабакова, Е.С. Носкова ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Учебное пособие для студентов заочной формы обучения М. Ю. Кабакова, Е.С. Носкова ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Учебное пособие для студентов заочной формы обучения Архангельск 014 Рекомендовано к изданию методической комиссией Института энергетики и транспорта Северного

Подробнее

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ. «Расчет статически определимых многопролетной балки, плоской фермы, арки. Метод сил.»

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ. «Расчет статически определимых многопролетной балки, плоской фермы, арки. Метод сил.» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный университет им. Я. Купалы» Факультет строительства и транспорта Кафедра «Строительное производство» ЗАДАНИЕ

Подробнее

Лабораторная работа 104 Деформация твердого тела. Определение модуля Юнга

Лабораторная работа 104 Деформация твердого тела. Определение модуля Юнга Лабораторная работа 14 Деформация твердого тела. Определение модуля Юнга Приборы и принадлежности: исследуемая проволока, набор грузов, два микроскопа Теоретические сведения Изменение формы твердого тела

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебно-методический комплекс для студентов специальности 1-70 0 01 «Промышленное

Подробнее

ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра прикладной механики, динамики и прочности

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ТРЁХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ Общие понятия и определения. Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие

Подробнее

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. 4 Постоянное магнитное поле в вакууме Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Закон Био-Савара-Лапласа: [ dl, ] db =, 3 4 π где ток, текущий по элементу проводника dl, вектор dl направлен

Подробнее

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ, ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ, ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ УДК. МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕУПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ ЧАСТИЧНО ОПЕРТОЙ НА УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ д.ф.-м.н. Яровая А. В. асп. Поддубный А. А. УО «Белорусский государственный университет

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (для студентов заочной формы обучения

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от Примеры решения задач к практическому занятию по темам «Электростатика» «Электроемкость Конденсаторы» Приведенные примеры решения задач помогут уяснить физический смысл законов и явлений способствуют закреплению

Подробнее

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН

ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН ВН ЗАВЬЯЛОВ, ЕА МАРТЫНОВ, ВМ РОМАНОВСКИЙ ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН Учебное пособие Омск Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ----------------------------------------------------------------------------------- С.П.Борисов, П.В.Павленко СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра «Строительная механика» ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И РАСЧЕТЫ

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (СОПРОМАТ)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (СОПРОМАТ) ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (СОПРОМАТ) Приер. Стальной ступенчатый стержень (рис ), защелен одни концо и нагружен силаи F и F. Все действующие нагрузки и разеры показаны на рисунке.

Подробнее

2 =0,1 мккл/м 2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

2 =0,1 мккл/м 2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями. Задачи для подготовки к экзамену по физике для студентов факультета ВМК Казанского госуниверситета Лектор Мухамедшин И.Р. весенний семестр 2009/2010 уч.г. Данный документ можно скачать по адресу: http://www.ksu.ru/f6/index.php?id=12&idm=0&num=2

Подробнее

Репозиторий БНТУ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Репозиторий БНТУ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости» ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Минск

Подробнее

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно 9 класс. 1. Перейдем в систему отсчета, связанную с кораблем А. В этой системе корабль В движется с относительной r r r скоростью Vотн V V1. Модуль этой скорости равен r V vcos α, (1) отн а ее вектор направлен

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ РЫЛЬСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Сопротивление материалов на базе Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, с.: ил. ISBN Группа подготовки издания:

Сопротивление материалов на базе Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, с.: ил. ISBN Группа подготовки издания: Å. Ã. Ìàêàðîâ Рекомендовано учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по группе направлений

Подробнее

Рабочая программа ОПД.В.02 «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Вид учебной работы Очная форма обучения Заочная форма обучения

Рабочая программа ОПД.В.02 «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Вид учебной работы Очная форма обучения Заочная форма обучения МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный технический университет УПИ МЕХАНИКА

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный технический университет УПИ МЕХАНИКА Федеральное агентство по образованию Уральский государственный технический университет УПИ МЕХАНИКА Сборник заданий по статике и сопротивлению материалов и методика их решения Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ Хабаровск 4 Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный технический

Подробнее

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ УЛЬЯНОВСК 2001 УДК 539.9(076) ББК30.12я7 М23 Манжосов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕКСТИЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕКСТИЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕКСТИЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА «СТАТИКА» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

В.И. Липкин, А.П. Малиновский РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

В.И. Липкин, А.П. Малиновский РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ Томский государственный архитектурно-строительный университет В.И. Липкин, А.П. Малиновский МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ Учебное пособие

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Областное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «КУРСКИЙ МОНТАЖНЫЙ ТЕХНИКУМ» ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА основной профессиональной образовательной программы (ОПОП) по специальности

Подробнее

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера 3 Магнитное поле 3 Вектор магнитной индукции Сила Ампера В основе магнитных явлений лежат два экспериментальных факта: ) магнитное поле действует на движущиеся заряды, ) движущиеся заряды создают магнитное

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2001. Т. 42, N- 4 155 УДК 539.370 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ФОРМ ИЗГИБА АРОК Л. И. Шкутин Институт вычислительного моделирования СО РАН, 660036 Красноярск

Подробнее

Растяжение-сжатие колонн

Растяжение-сжатие колонн Приемы быстрого построения простейших эпюр Час работы научит больше, чем день объяснений (Ж.-Ж. Руссо) Почти все задачи, решаемые в курсе сопротивления материалов, требуют построения эпюр внутренних силовых

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.3. Динамика. Динамика это часть теоретической механики, в которой рассматривается движение материальной точки или тела под действием приложенных сил, а также устанавливается связь

Подробнее

СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.1. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.1. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 1 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 11 ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Нормальное напряжение распределенное равномерно по поперечному сечению стержня определяется

Подробнее

Турнир имени М.В. Ломоносова Заключительный тур 2015 г. ФИЗИКА

Турнир имени М.В. Ломоносова Заключительный тур 2015 г. ФИЗИКА Задача Турнир имени МВ Ломоносова Заключительный тур 5 г ФИЗИКА Небольшой кубик массой m = г надет на прямую горизонтальную спицу, вдоль которой он может перемещаться без трения Спицу закрепляют над горизонтальным

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ. Курс лекций

МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ. Курс лекций МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ Курс лекций МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ "ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Г.Н. Федосеев, В.Н. Сакевич МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНО- СЖАТОЙ КОЛОННЫ

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНО- СЖАТОЙ КОЛОННЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 05.23.17 «Строительная механика» по техническим наукам Программа-минимум содержит 8 стр.

Подробнее

Программа дисциплины

Программа дисциплины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Филиал г.чистополь

Подробнее