Кривые второго порядка

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Кривые второго порядка"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные задания Пособие разработано ст. преп. Зубко Т. Я., доцентом Седовой С. М., доцентом Сулавко Т. С.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» 007, каф. «Высшая математика» ПГТУ Пермь 007

2 В данных методических указаниях содержится 30 вариантов, каждый из которых состоит из 5 заданий по теме «Кривые порядка и их построение». Выполнение этих заданий поможет студентам научиться : 1) приводить уравнения линий второго порядка к простейшему (каноническому) виду путем преобразования систем координат; ) строить данную линию по ее каноническому уравнению; 3) переводить уравнение линии, заданное в декартовых прямоугольных координатах, в полярные координаты; 4) строить эту линию по ее полярному уравнению. После ознакомления с данным пособием можно приступить к выполнению расчетно-графической работы (вариант указывается преподавателем). Предварительно необходимо самостоятельно изучить указанные вопросы и ответить на контрольные теоретические вопросы, используя литературу : Рекомендованная литература Привалов И.И. Аналитическая геометрия. СПб; М.: Лань, 004, гл.4,5,6.. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Физматлит, 003, гл.5,6. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Дрофа, 003. Контрольные вопросы Вывести уравнение окружности.. Вывести каноническое уравнение эллипса. 3. Исследовать форму эллипса по его уравнению. Эксцентриситет эллипса, эксцентриситет окружности. 4. Вывести каноническое уравнение гиперболы. Сопряженная гипербола. 5. Асимптоты гиперболы. Исследование формы гиперболы по ее уравнению. 6. Вывести каноническое уравнение параболы. 7. Исследование формы параболы по ее уравнению. 8. Преобразование координат на плоскости : параллельный перенос и поворот осей координат. 9. Две канонические формы равносторонней гиперболы. График дробнолинейной функции. 10. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы, оси симметрии которых параллельны осям координат. 1 Исследование общего уравнения второй степени Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 : а) Преобразование общего уравнения линии второго порядка к новому началу координат. б) Центральные кривые. Необходимое и достаточное условие расположения центра кривой в начале координат. в) Упрощение уравнения кривой с помощью поворота осей координат.

3 г) Инвариант δ AC - B уравнения второго порядка. Признаки принадлежности кривых к эллиптическому, параболическому и гиперболическому типам. д) План приведения к каноническому виду центральной кривой. е) План приведения к каноническому виду нецентральной кривой. Краткая теория, приведенная в задании, носит справочный характер и должна лишь помочь студенту в самостоятельной работе над литературой. В общем случае кривую второго порядка определяет уравнение Ax Bxy Cy Dx Ey F 0.(1) Коэффициенты при старших членах здесь одновременно не равны нулю. Так как уравнение отражает не только форму, но и положение линии на плоскости относительно системы координат, то в общем виде оно сложнее, чем известные нам канонические уравнения эллипса x y 1 b a, гиперболы x y 1 или b a и параболы x py или y px. Простота канонических уравнений объясняется тем, что при выводе их используется специально выбранная система координат, а именно: в случае эллипса и гиперболы начало координат выбирается в центре кривой, а координатные оси совпадают с осями симметрии; в случае параболы начало координат выбирается в вершине кривой, а одна из осей совпадает с осью симметрии. Изменяя положение системы координат на плоскости, можно добиться такого упрощения уравнения (1), что оно станет каноническим. Т.о., наша задача состоит в том, чтобы найти новую систему координат, в которой уравнение (1) примет канонический вид. При нахождении этой системы координат будем использовать два вида преобразований координат. Параллельный перенос осей координат. Даны две системы координат с разными началами O и O 1 и одинаковыми направлениями осей (рис.1). Обозначим через x, y и x, y координаты произвольной точки M соответственно в старой xoy и новой xo 1 y системах координат. Если x 0, y 0 координаты нового начала O 1 в системе xoy, то справедливы формулы преобразования параллельного переноса осей координат x x x 0, y y y0, или () x x x 0, y y y0. A,B,C xy k

4 Рис. 1 Рис.. Поворот осей координат. Даны две системы координат с одинаковым началом и разными направлениями осей. Пусть α (рис.) угол между Ox и (угол поворота системы координат). Справедливы формулы преобразования поворота осей координат x x cosα - y sinα (3) y x sinα ycosα, где ( x, координаты произвольной точки в xoy, ( x, координаты этой точки в новой системе координат x Oy. Образец задания 5x 3 Дано уравнение гиперболы в виде y. Путем параллельного x 3 переноса системы координат привести ее уравнение к виду xy k, указать асимптоты гиперболы, построить соответствующие системы координат и данную гиперболу по уравнению xy k.. Даны уравнения кривых второго порядка : а) y 6y x 11 0, б) 16x 5y 3x 100y Требуется по данному уравнению определить, какого типа кривую (эллиптического, гиперболического, параболического) оно представляет, затем следует привести это уравнение к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат, построить соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению. 3. Дано уравнение кривой второго порядка 4xy 3y 16x 1y Требуется привести данное уравнение путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому виду. Построить соот- Ox

5 ветствующие системы координат и данную кривую по ее каноническому уравнению. 4. а) Дано уравнение кривой в полярных координатах ρ a(1- cosφ). Требуется построить эту кривую по ее полярному уравнению. б) Дано уравнение кривой в прямоугольных декартовых координатах 4 ( x y ) 3 a y. Записать это уравнение в полярных координатах, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению. 5. Составить уравнение линии, каждая точка которой в два раза ближе к точке A(6,3), чем к началу координат. Решение задания ax b Из школьного курса алгебры известно, что график функции y cx d есть гипербола, асимптоты которой параллельны Ox и Oy (см. Привалов, k гл.5, 5, п.). С другой стороны, график функции y ( xy k) гипербола, асимптоты которой есть Ox и Oy. Таким образом, взяв за координатные x ax b оси асимптоты функции y, мы приведем эту функцию к более простому виду xy k (при этом пользуемся формулами преобразования парал- cx d лельного переноса () ). Итак, в системе xoy задана линия уравнением 5x 3 y.(4) x 3 Выполним параллельный перенос системы xoy по формулам () x x x 0, y y y0,() где ( x 0, y 0) координаты нового начала ( x, координаты произвольной точки в системе xoy; ( x, координаты той же точки в системе xo 1 y. Воспользовавшись формулами (), запишем уравнение (4) в виде 5( x x0) 3 y y0. ( x x0 ) 3 Умножим обе части этого уравнения на выражение ( x x 0 ) 3 и раскроем скобки, получим x y xy0 yx0 x0 y0 3y 3y0 5x 5x0 3. Сгруппируем члены, содержащие x, y, xy x(y 5) y(x 3) 5x 3 x y y.(5) O 1 в системе xoy;

6 Выберем точку O 1 ( x 0, y 0) так, чтобы члены, содержащие, обратились 3 5 в нуль, т.е. положим y 0 5 0, x0 3 0, откуда x 0, y 0 координаты нового начала. Подставим эти значения в уравнение (5), имеем, или 3 x y. (6) Уравнение (6) уравнение равнобочной гиперболы, асимптотами которой являются новые оси координат. Изобразим обе системы координат и построим данную линию по ее xy 3 уравнению (6) в системе координат xo 1 y (рис.3) x, y Рис. 3 Решение задания (см. Привалов, гл.5, 6, п.3) Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид Ax Cy Dx Ey F 0.(7) Такой вид уравнения определяет кривую, оси симметрии которой параллельны осям координат Ox, Oy (или, в случае нецентральной кривой, ось симметрии параллельна одной из осей). Выбрав в качестве новых осей координат оси симметрии, или осуществив параллельный перенос системы координат, уравнение (7) может быть приведено к каноническому виду. Известно также, что 1) если AC 0, то уравнение (7) определяет кривую эллиптического типа ; ) если AC 0, то гиперболического ; 3) если AC 0 параболического. Первый способ решения задания а). Линия второго порядка задана уравнением y 6y x В этом уравнении A 0,C 1. Так как AC 0, то данная линия параболического типа. Путем параллельного переноса системы координат приведем

7 x cy x, y уравнение к виду. Подставим вместо их выражения через по формулам () : x x x0, y y y0, получим y y0 ) 6( y y ) ( x x ) 11 0, или Подберем ( 0 0 yy0 y0 6y 6y0 x x0 x y y( y0 6) ( y0 6y0 x0 y 11 0, или ( x 0, y0) так, чтобы слагаемое с y x, y 11).(8) и свободный член обратились в нуль, т.е. полагая y 0 6 0, y 0 6y0 x0 11 0, найдем x 0, y 3 координаты нового начала 0 x O Найденные значения x 0, y 0 подставим в уравнение (8), получим. Построим системы координат xoy (данную) и x y xo 1 y y xo 1 y. Уравнение в системе координат определяет параболу с вершиной в точке (рис.4). O 1 и осью симметрии O 1 x Рис. 4 Второй способ решения задания а). Возьмем то же уравнение y 6y x 11 0 и разрешим его относительно x : x y 6y 11. Выделим полный квадрат относительно y ( x y 6y 9) 9 11, или x - (y - 3). Таким образом, имеем уравнение параболы с вершиной в точке, координаты которой x 0, y 0 3. Поместим начало новой системы координат в вершину параболы, в точку O 1 (,3 ), и выполним параллельный перенос осей координат, используя формулы x x -, y y 3,

8 xo 1 y тогда уравнение данной параболы в системе (см. рис.4) будет. Решение задания б). Дано уравнение 16x 5y 3x 100y Так как A 16,C 5, AC , то уравнение определяет кривую эллиптического типа. Приведем уравнение к каноническому виду. Сгруппируем слагаемые с x и слагаемые с (16x 3x) (5y y , или 16( x x) 5( y , выделим полный квадрат относительно x и y 16( x x 1) 16 5( y 4y 4) , или 16( x 1) 5( y ) 400, окончательно имеем ( x 1) ( y ) Перенесем начало координат O в точку O 1( 1,) и воспользуемся формулами параллельного переноса системы координат x x - x0, y y y 0, или, учитывая координаты выбранного начала, x x - (-1), y y, тогда уравнение данного эллипса в системе xo 1 y будет выглядеть так : x y Построим обе системы координат и эллипс. x y Рис. 5

9 Решение задания 3. Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида Ax Bxy Cy Dx Ey F 0.(9) Инвариантом δ уравнения (9) называют алгебраическое выражение AC - B, составленное из коэффициентов при старших членах уравнения (9) A,B,C, которое не изменяется при любом преобразовании координат. С помощью инварианта δ AC - B определяют принадлежность кривой к определенному типу : 1) если δ 0, то уравнение определяет кривую эллиптического типа ; ) если, то гиперболического типа ; 3) если δ 0, то параболического типа. B 0 δ 0 Так как в уравнении (9), то оси симметрии кривой не параллельны осям координат. Повернем оси координат так, чтобы они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами поворота осей координат (3) : x x cosα - y sinα, y x sinα ycosα. Подставим выражения для в уравнение (9), имеем A( xcosα - ysinα) Ox,Oy x, y B( x cosα ysinα)( x sinα ycosα) C ( x sinα ycosα) D( x cosα ysinα) E( x sinα ycosα) F 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах x, y получаем уравнение A1 x B1 xy C1 y D1 x E1 y F 0,(10) где A 1 Acos α Bsinα cosα C sin α, 1 B1 ( C A)sinα cosα B(cos α sin α) ( C A) sinα Bcosα, C 1 Asin α Bsinα cosα C cos α, D1 Dcosα E sinα, E1 Dsinα E cosα. Выберем угол α так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были параллельны осям координат O x,oy, т.е. положим B 1 0, или ( C - A)sin α Bcosα 0. A C Так как B 0, поэтому ctgα. После поворота осей координат на B этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение переменных x y. В задании 3 дано уравнение 4xy 3y 16x 1y Так как A 0,B, C 3, δ AC B 4 0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат xoy на угол α, для которого ctg α ; по формулам тригонометрии A C 3 B 4

10 cosα ctgα 1 cosα 1 cosα, cosα, sinα находим 1 ctg α 3 1 cosα, cosα, sinα и записываем по формулам поворота осей координат (3) x x cosα - y sinα x 1 1 y ( x, y x sinα y cosα x 1 1 y (x Подставим выражения x и y в данное уравнение, получим ( x (x 3 (x ( x (x Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим x 4 y 8 5x 4 5y Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными 4( x 5x) ( y , выделим полные квадраты относительно x, 4( x 5x 5) 0 ( y 4 5y 0) , или 4( x 5) ( y 5) 36, или ( x 5) ( y 5) 9 36 Поместим начало новой системы координат y x~ O ~ 1 y в точку O ~ 1( 5, 5), воспользуемся формулами параллельного переноса () x x x, ~ y y y 0 0, или, учитывая координаты нового начала O 1, x ~ x 5, ~ y y 5, окончательно получим x ~ ~ y (11) Построим все три системы координат xo y, x Oy, x ~ O ~ 1 y, учитывая, что угол поворота системы xo y

11 sinα α arctg ( tg α 5 ), cosα 1 5 а точка O 1 в системе координат x Oy имеет координаты ( 5, 5). В систему координат поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11). x~ O ~ 1 y Рис. 6 К заданию 4. Как известно, пара чисел ( x, на плоскости определяет точку, а уравнение, связывающее и, линию на плоскости. Помимо декартовых, на плоскости можно построить большое число других систем координат. Каждая из систем употребляется там, где это удобнее (и декартова чаще всех бывает удобной), но при исследовании вращательных движений самой эффективной является полярная система координат. x y Рис. 7

12 Полярная система координат определяется заданием некоторой точки (полюса), исходящего из этой точки луча (полярной оси) и указанием единицы масштаба. Рассмотрим произвольную точку плоскости M ; обозначим расстояние точки M от полюса O через ρ, угол, на который нужно повернуть луч OP для совмещения его с OM, через φ. Угол φ будем понимать так, как это принято в тригонометрии (т.е. углы, получаемые при вращении полярной оси вокруг полюса против часовой стрелки, положительны ; при вращении полярной оси по часовой стрелке отрицательны). Числа ρ (полярный радиус) и φ (полярный угол) называют полярными координатами точки M и записывают M( ρ, φ ). Для того чтобы соответствие между точками плоскости и парами чисел считают, что 0 ρ и 0 φ π (или π φ π). Запишем формулы, устанавливающие связь декартовых координат с полярными. Из получим x cos, y sin, (1) y а также ρ x y, tgφ. x Решение задания 4 а). Построим линию, заданную уравнением ρ a(1- cosφ), где a 0. Для построения указанной линии составим таблицу значений φ и ρ (придавая φ значения, равные π k, k 0, 1,,..., 1 ). 1 O ΔOMD (ρ,φ ) было взаимно однозначным, обычно Ввиду четности cos φ значения ρ для одинаковы. На плоскости построим точки, соответствующие имеющимся в таблице парам чисел φ и ρ, в выбранной нами полярной системе координат. Соединяя последовательно эти точки, получим линию, называемую кардиоидой (Рис.8). φ Рис. 8

13 Решение задания 4 б). Дано уравнение кривой 4 ( x y ) 3 a y,. Воспользуемся формулами (1) и запишем уравнение в полярных координатах 3 4 (ρ cos φ ρ sin φ) a ρ sin φ, или ρ a ρ sin φ, ρ a sin φ, окончательно имеем 4 ρ a sinφ. (13) a 0 Составим таблицу соответствующих значений ρ и φ ,51 0,71а 0,84а 0,93а 0,98а 1а 0,98а 0,84а 0,71а 0,51а 0 Нанесем на плоскость точки, соответствующие найденным парам чисел. Соединив последовательно точки, получим линию, определяемую уравнением (13). Рис. 9 Решение к заданию 5. Пусть M(x, - текущая точка искомой линии. Запишем уравнение линии в векторной форме (см. рис. ) : OM AM. Перейдем к координатной форме : OM x y,

14 Следовательно, AM ( x 6) ( y 3). x y ( x 6) ( y 3). Избавимся от иррациональности, возведя обе части уравнения в квадрат, x y 4( x 6) 4( y 3), или 3x 48x 3y 4y Преобразуем уравнение, как в задании б), 3( x 16x 64) 19 3( y 8y 16) , или 3( x 8) 3( y 4) 60, окончательно имеем ( x 8) ( y 3) 0. Полученное уравнение задает окружность с центром в точке R 0. O(8,4) радиуса Рис. 10

15 Варианты заданий Путем параллельного переноса системы координат привести уравнение гиперболы к виду, указать асимптоты, построить системы координат и данную гиперболу по уравнению.. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат. Построить соответствующие системы координат и кривые по их каноническим уравнениям. 3. Привести уравнение кривой второго порядка путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению. 4. а) Построить линию по ее уравнению в полярных координатах. б) Дано уравнение кривой в декартовых координатах. Следует записать это уравнение в полярной системе координат, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению. 5. Решить текстовую задачу. xy k xy k 4x 3 y x 4 4x y 3 Вариант 1. а) x 0, б) x 5y 1x 10y x 4xy 36y 8x 96y а) a cos ; б) ( x y ) y 5. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от начала координат и точки A(-5,3). - 3x 7 y x y 3x 18 Вариант. а) x 19, б) 4x 3y 8x 1y x 4xy y x 14y а) a sin ; б) ( x y ) a x 5. Написать уравнение линии, по которой движется точка M(x, вдвое дальше от оси Ox, чем от оси Oy., оставаясь

16 4x 1 y x x 8 y 5 Вариант 3. а) x 0, б) 3x 5y 1x 5y xy 8y 18x 48y а) a ( 4 cos ); б) ( x y 3x) 9( x y ) 5. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки F(,) и от оси Ox. x 5 y x 6 1 x y 1 x 8 x y 40x 36xy 5y 8x 14y 1 Вариант 4. а) x 0, б) 6 y а) a 4 sin ; б) x a ( x 3y ) 5. Найти уравнение траектории точки, которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке A(3,0), чем к оси абсцисс. 8x 3 y x 4 x 4x y 1 M( x, Вариант 5. а) y 0, б) x 3y 18y x 4xy 16y 0x 110y а) a sin ; б) ( x y ) a x 5. Найти уравнение траектории точки M ( x,, которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке A(,0), чем к точке B(8,0). 6x 7 y 3x 9 x 4x 1 Вариант 6. а) y 0, б) 4x y 8x y x 4xy 16y 0x 110y а) acos ; б) ( x y ) a ( 4x y ) 5. Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстояний каждой из которых от точки F 1 (,0) и точки F (-,0) равна 5.

17 Вариант 7 3x - 7 y x -. а) x y 4x 3, б) 9x 16y 54x 64y x 4xy 11y 64x 4y 51 0, равноуда- 4. а) a ( 1 cos ); б) x y 4 ( x y x) 5. Написать уравнение линии, по которой движется точка ленная от точек A(0,) и. B( 4, ) M(x, 4x 6 y x 1 y y Вариант 8. а) x 3, б) 4x 9y 40x 36y xy 8y 1x 6y а) a sin ; б) ( x y ) a x ( 4x 3y ) 5. Найти уравнение траектории точки, которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке A(1,0), чем к точке B(-,0). x - 5 y 4x - 6 5x 10x 3 M( x, Вариант 9. а) y 0, б) 16x 5y 3x 50y x 4xy 16y 30x 40y а) a cos3 ; б) ( x y ) 36 ( x y ) 5. Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой x 4. 4x 6 y x 1 x 5x 7 Вариант 10. а) y 0, б) 4x 9y 8x 36y x 4xy 8y 8x 14y а) a ( 1 sin ) ; б) x y 4 ( x y 5. Написать уравнение траектории точки M ( x,, которая при своем движении находится вдвое ближе к точке A(-1,1), чем к точке B(-4,4).

18 x - 3 y x Вариант 11. а) 3y x 6y 4, б) 9x 4y 18x 18y x 4xy 9y 4x 18y а) a sin ; б) ( x y ) a ( x y ) 5. Определить уравнение траектории точки, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке A(1,0), чем к точке B(4,0). 8x y x 3 1 y 6 y 1 x y x 10xy 3y x 14y 15 1 M( x, Вариант 1. а) x 19, б) x y а) a sin ; б) 4 ( x y ) ( 3 5. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси Ox и от точки F ( 0, 4). 3x 1 y x - 5 x x 3 Вариант 13. а) y 0, б) 16x 9y 64x 18y x xy y x 6y а) a sin ; б) x a ( x 3y ) 5. Найти уравнение геометрического места точек, разность расстояний каждой из которых от точки F 1 (-,-) и точки F (,) равна 4. 8x 3 y x 4 x 8 y 1 Вариант 14. а) x 0, б) x 8x 4y xy 3y 16x 1y а) a ( 1 sin ); б) x a ( x y ) 5. Определить уравнение траектории точки M ( x,, которая движется так, что ее расстояние от точки A(3,0) остается вдвое меньше расстояния от точки B(6,0).

19 - x 3 y x - 1 y y 4 x x xy y 10x 6y 5 Вариант 15. а) x 0, б) 4 y 4 x 8 y а) a ( cos ) ; б) ( x y ) 4y 5. Определить уравнение траектории точки, которая движется так, что ее расстояние от точки F(-1,0) остается вдвое меньше расстояния от прямой. x 4-3x 7 y x 6 x 8 y 5 M( x, Вариант 16. а) x 0, б) x 8x 4y 8y x 14xy 5y 64x 64y а) a sin ; б) ( x y ) 4x 5y 5. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до точки F(-4,0) к расстоянию до прямой 4x 5y 0 равно 8x 6 y x 1 y 5x 10 Вариант 17. а) x 3 0, б) 16x 5y 3x 50y x 4xy 1y 4x 18y а) a sin4 ; б) ( x y ) a x y 5. Определить уравнение траектории точки M ( x,, которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке A(1,0), чем к точке B(4,0). 15x 8 y 5x 5 x 5x 7 Вариант 18. а) y 0, б) 4x 9y 8x 36y x xy y x 14y а) a ( sin cos ) ; б) ( x y ) a x y 5. Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой x

20 x 5 y x - 7 x 4x Вариант 19. а) y 3, б) 9x 16y 54x 64y x 6xy y 8x 1y а) a cos 4 ; б) ( x y ) a ( x 4y ) 5. Написать уравнение линии, по которой движется точка M(x, вдвое дальше от оси Ox, чем от оси Oy. Вариант 0, оставаясь 3x 1 y x - 5, равноуда-. а) 4x y 8x 1, б) y 6y x x x 6xy 11y 38x 6y а) a ( cos 4) ; б) ( x y 3x) 9( x y ) 5. Написать уравнение линии, по которой движется точка ленная от точек A(0,) и. B( 4, ) M(x, x -1 y 3x 6 y y Вариант 1. а) x 3, б) 4x 9y 40x 36y x 4xy 4y 3x 6y 0 4. а) a ( cos ); б) x y x y 0 5. Найти уравнение траектории точки M ( x,, которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке A(3,0), чем к оси абсцисс. - 3x y x 3y 6y Вариант. а) x 4, б) 9x 4y 18x 18y x 0xy 4y 0x 8y а) a sin 4 ; б) ( x y ) y( 3x 5. Найти уравнение траектории точки M ( x,, которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке A(1,0), чем к точке B(-,0).

21 4x 1 y 3x - 6 Вариант 3. а) x y 4x 1 0, б) 5x 9y 30x 18y x xy 5y 4x 0y а) a ( sin) ; б) x a ( x y )( x y ) 5. Найти уравнение траектории точки, которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке A(,0), чем к точке B(8,0). 6x - 5 y x - 6 3x 6 y 4 M( x, Вариант 4. а) x 0, б) x y 6x 4y x 4xy 4y 8x 4y а) a sin3 ; б) ( x y ) y 5. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки F(,) и от оси. x -1 y x 6 x 4x 5 Ox Вариант 5. а) y 0, б) 16x 9y 64x 18y x 60xy 3y 14x 60y а) a ( 1 sin) ; б) x y 4 ( x y 5. Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстояний каждой из которых от точки F 1 (,0) и точки F (-,0) равна. 1- x y x 1 x 4 y 3 Вариант 6. а) x 0, б) 36x 36y 36x 4y x 8xy 5y 36x 36y а) a ( cos) ; б) x y x y 0 5. Найти уравнение геометрического места точек, разность расстояний каждой из которых от точки F 1 (,0) и точки F (-,0) равна 4. 5

22 3x -1 y 3x y x Вариант 7. а) x 3, б) x y x 6y x 4xy x 4y а) a sin ; б) ( x y ) a ( x y ) 5. Определить уравнение траектории точки, которая движется так, что ее расстояние от точки F(-1,0) остается вдвое меньше расстояния от прямой x -4. 4x 3 y 4x 5 x 4x M( x, Вариант 8. а) y 3, б) x 4y 8y x 4xy y x 14y а) a cos3 ; б) ( x y ) 36 ( x y ) 5. Определить уравнение траектории точки, которая движется так, что ее расстояние от точки A(3,0) остается вдвое меньше расстояния от точки B(6,0). Вариант x y x 1 x y 1 x x 4xy 4y x 6y. а) x 0, б) 8 x y 6 y 1 0 M( x, а) a sin ; б) ( x y ) a x ( 4x 3y ) 5. Написать уравнение траектории точки M ( x,, которая при своем движении находится вдвое ближе к точке A(-1,1), чем к точке B(-4,4). 3 - x y x 1 y 1y Вариант 30. а) x 7, б) 16x 9y 64x 54y x 8xy 3y 18x 18y а) a ( 1 cos) ; б) x y ( x y 5. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси Ox и от точки F(0,4).

23


8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка (продолжение)

Тема: Кривые второго порядка (продолжение) Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка (продолжение) Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 4. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямые a m называются дирек-

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой k Уравнение прямой с угловым коэффициентом ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a.

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a. 1) Привести уравнение кривой второго порядка x 4x y 0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой x y 0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА Кафедра высшей математики Д.Л. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Методическое

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Исследование уравнений поверхностей второго порядка

Исследование уравнений поверхностей второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Глава 3. Геометрические преобразования

Глава 3. Геометрические преобразования Глава 3. Геометрические преобразования Пусть дана прямоугольная система координат O на плоскости или Oz в пространстве. В теории геометрических преобразований рассматриваются две основные задачи, которые

Подробнее

x = a cos t, y = b sin t x = a ch t = a et + e t y = b sh t = b et e t

x = a cos t, y = b sin t x = a ch t = a et + e t y = b sh t = b et e t Глава 1 Кривые и поверхности второго порядка Во всех разделах, кроме 1.9, система координат прямоугольная. 1.1. Составление уравнений кривых второго порядка и других кривых 1. р) Доказать, что множество

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д.Ю. ВОЛКОВ, К. В. ГАЛУНОВА, В. В. КРАСНОЩЕКОВ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к практическим занятиям

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

Кривые и поверхности второго порядка

Кривые и поверхности второго порядка МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Л.К. Додунова Т.М. Митрякова Кривые и поверхности второго порядка Учебно-методическое

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x.

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x. Вариант.. Вычислить меньшую из площадей, содержащуюся между линиями: x + y = 6; x = 6y.. Найти обьем тела, образованного вращением вокруг прямой параллельной оси OX и проходящей через { вершину циклоиды,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

«Тихоокеанский государственный университет»

«Тихоокеанский государственный университет» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия МЛ Каган, ТС Кузина, ТА Мацеевич Аналитическая геометрия Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности Тема. Кривые и поверхности второго порядка... Лекция 1. Кривые второго порядка... 1. Каноническое уравнение окружности.... Каноническое уравнение эллипса... 3 3. Каноническое уравнение гиперболы... 6 4.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

Элементарные функции. Иррациональные ф-ии. Дробные рац. ф-ии. 6. Функции, заданные параметрически и в полярных координатах

Элементарные функции. Иррациональные ф-ии. Дробные рац. ф-ии. 6. Функции, заданные параметрически и в полярных координатах 7 5. Классификация функции Имеет место следующая классификация функций n n 1 n 1. Функция вида Pn ( x) = ax 0 1 +... + an, где n N { 0}, a0, a1,..., an R, называется целой рациональной функцией или многочленом

Подробнее

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов МАТЕМАТИКА. Понятие о комплексных числах

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов МАТЕМАТИКА. Понятие о комплексных числах Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского В.А. Иванов МАТЕМАТИКА Понятие о комплексных числах Учебное пособие для студентов биологического факультета ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Подробнее

Построение кривой, заданной уравнением в полярной системе координат

Построение кривой, заданной уравнением в полярной системе координат Построение кривой, заданной уравнением в полярной системе координат М. В. Лыткин Руководитель: Е. А. Максименко Южный федеральный университет 9 марта 2008 г. М. В. Лыткин (ЮФУ) Построение кривой в полярной

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Подробнее

Д.В. Сорокин АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Д.В. Сорокин АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева»

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее